二元一次方程复习
中考数学总复习《二元一次方程组》专项提升练习(附答案)
中考数学总复习《二元一次方程组》专项提升练习(附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________知识点复习一、二元一次方程组定义1：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程，它的一般形式是()00,0ax by c a b ++=≠≠。
定义2：把两个方程合在一起，就组成了方程组。
定义3：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，这样的方程组叫做二元一次方程组。
定义4：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
定义5：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
二、解二元一次方程组的方法（1）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。
这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
（2）加减消元法：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。
这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
三、方程(组)与实际问题解有关方程(组)的实际问题的一般步骤：第1步：审题。
认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第2步：设未知数。
根据题意及各个量的关系设未知数。
第3步：列方程(组)。
根据题中各个量的关系列出方程(组)。
第4步：解方程(组)。
根据方程(组)的类型采用相应的解法。
第5步：答。
专题练习一、单选题1．已知关于x ，y 的二元一次方程组3221ax y x y +=⎧⎨-=⎩无解，则a 的值是（ ） A ．2 B ．6 C ．2- D ．6-2．已知23a b -=，1a b +=则36a b -的值为（ ）A ．6B ．4C ．3D ．23．某班有x 人，分y 组活动，若每组7人，则余下3人；每组8人，则有一组差5人，根据题意下列方程组正确的是（ ）A ．7385y x y x =+⎧⎨=+⎩B ．7385y x x y =+⎧⎨=-⎩C ．7385y x y x =-⎧⎨=+⎩D ．7385x y x y =-⎧⎨=+⎩ 4．文峰超市以同样的价格卖出同样的牙刷和牙膏，以下是4天的记录：第1天，卖出13支牙刷和7盒牙膏，收入144元；第2天，卖出18支牙刷和11盒牙膏，收入219元；第3天，卖出23支牙刷和20盒牙膏，收入368元；第4天，卖出17支牙刷和11盒牙膏，收入216元．已知第1天和第2天的记录无误，第3天和第4天有一天的记录有误，则记录有误的一天收入（ ）A ．多记1元B ．多记2元C ．少记1元D ．少记2元5．两位同学在解方程组273ax by cx y +=⎧⎨+=⎩时，甲同学正确地解出11x y =-⎧⎨=-⎩，乙同学因把c 抄错了解得32x y =-⎧⎨=-⎩，则a 、b 、c 正确的值应为（ ）A ．315a b c =-=-=-，，B ．115a b c ==-=-，，C ．2410a b c ==-=-，，D ．315a b c ===-，，6．小华准备购买单价分别为4元和5元的两种瓶装饮料，且每种瓶装饮料的购买数量不为0.若小华将50元恰好用完，则购买方案共有（ ）A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种7．在一个停车场，停了小轿车和摩托车一共32辆，这些车一共有108个轮子，则该停车场小轿车和摩托车的辆数分别为（ ）A ．21，11B ．22，10C ．23，9D ．24，8 8．已知关于x ，y 的方程2|18|(26)(2)0n m m x n y +--++=是二元一次方程，则m n +的值（若29m =，则3m =±）是（ ）A ．5-B ．3-C ．1D ．3二、填空题9．当方程组2520x ay x y +=⎧⎨-=⎩解是正整数时，整数a 值为 ． 10．如果35x y =⎧⎨=-⎩是方程22mx y +=-的一组解，那么m 的值为 ． 11．若关于x y ，的方程组1235x y c x y c +=⎧⎨+=⎩的解为56x y =⎧⎨=⎩，则方程组()()()()12113151x y c x y c ⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩的解为 ．12．A，B两地相距80千米，一船从A出发顺水行驶4小时到达B，而从B出发逆水行驶5小时才能到达A，则船在静水中的航行速度是千米/时．13．若关于x的不等式组20,21xx m-<⎧⎨-≥-⎩恰有三个整数解，关于x的方程组26,3x yx y m+=⎧⎨-=⎩的解是正数，则m的取值范围是．三、解答题14．解方程组：(1)25 328 y xx y=-⎧⎨-=⎩(2)434 2312x yx y⎧+=⎪⎨⎪-=⎩15．已知方程组45321x yx y+=⎧⎨-=⎩和31ax byax by+=⎧⎨-=⎩有相同的解，求222a ab b-+的值．16．用加减法解方程组344328x y x y -=⎧⎨-=⎩①②其解题过程如下： 第一步：-①②，得4248y y --=-，解得23y =． 第二步：把23y =，代入①，得8343x -=，解得209x =． 第三步：所以这个方程组的解为20923x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩上述解题过程是否正确？若不正确，则从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程．17．印江河是印江的母亲河，为了确保河道畅通，现需要对一段长为180米的河道进行清淤处理，清淤任务由A 、B 两个工程队先后接力完成，A 工程队每天完成12米，B 工程队每天完成8米，共用时20天． 根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下：甲：128x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 乙：128x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩(1)根据甲同学所列的方程组，请你指出未知数x 、y 表示的意义．x 表示______，y 表示______；请你补全乙同学所列的方程组______(2)求A 、B 两工程队分别完成河道清淤多少米？（写出完整的解答过程）18．“一盔一带”安全守护行动在我县开展以来，市场上头盔出现了热销，某商场购进了一批头盔．已知购进6个A型头盔和4个B型头盔需要440元，购进4个A型头盔和6个B型头盔需要510元．(1)购进1个A型头盔和1个B型头盔分别需要多少元？(2)若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过10200元，那么最多可购买B型头盔多少个？(3)在（2）的条件下，若该商场分别以售价为58元/个、98元/个的售价销售完A、B两类型号的头盔共200个，能否实现利润不少于6190元的目标？若能，直接写出相应的采购方案；若不能，请说明理由．参考答案：1．D2．A3．C4．C5．C6．A7．B8．B9．1或3-10．83/22311．65 xy⎧=⎨=⎩12．1813．21m-<≤-14．(1)21 xy=⎧⎨=-⎩(2)1083 xy=⎧⎪⎨=⎪⎩15．116．不正确，从第一步开始出现错误；正确的解题过程见解析，原方程组的解为：42 xy=⎧⎨=⎩17．(1)x表示A工程队工作的天数，y表示B工程队工作的天数，18020 128x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩(2)A工程队完成河道清淤60米，B工程队完成河道清淤120米18．(1)购进1个A型头盔30元，1个B型头盔65元；(2)最多可购买B型头盔120个；(3)三种购买方案。
二元一次方程组复习
1 、根据市场调查，某消毒液的大瓶装 (500g)和小瓶装(250g)，两种产品的销 售数量的比(按瓶计算)是2:5．某厂每天 生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应 该分装大、小瓶装两种产品各多少瓶？
超过200人．
(2)设甲学校报名参加旅游的学生有x人，乙学校报名参加旅
33
游的学生有y人，则
①当
100＜x≤200
时，得x＋y＝240， 85x＋90y＝20
800.
解得x＝160， y＝80.
②当
x＞200
时，得x＋y＝240， 75x＋90y＝20
800.
解得
x＝5313， y＝18623.
古运河是扬州的母亲河，为打造古运河风光带，
现有一段长为180米的河道整治任务由A、B两个工程
队先后接力完成。A工程队每天整治12米，B工程队每
天整治8米，共用时20天。 x y
x 甲：12 x
y
8
y
20
乙： 180
x 12
y 8
180 20
（2）求A、B两工程队分别整治河道多少米？ （写出完整的解答过程）
答案 解：设这种出租车的起步价是x元，超过3千米后每千米 收费y元，根据题得解得
x＋11－3y＝17， x＋23－3y＝35.
解得xy＝＝15.，5.
所以这种出租车的起步价是5元，泉州)某班将举行“庆祝建党90周年知识竞赛”活动，副市长安排小 明购买奖品，下面两图是小明买回奖品时与班长的对话情境：
8x+11y=420② ②-①×8，得3y=84，即y=28， 代入①，得x=14． 故这个方程的解为：x=14y=28
二元一次方程整章复习
{
y=2x-3 2x+4y=9 3x -y= -8 x+4y= 5
① ②
（2）方程组中某一未知数的系数是 1 或 -1. ）方程组中某一未知数的系数是
{
① ②
2. 加减消元法
同一未知数的系数相等或相反数. （1）方程组中同一未知数的系数相等或相反数 ）方程组中同一未知数的系数相等或相反数
{
3x -y= -8 x +y= 5
说明：要判断结果是否正确，应像解一元一次方程 说明：要判断结果是否正确， 那样进行检验，检验时， 那样进行检验，检验时，注意要把未知数的值代入 方程组中的每一个方程， 方程组中的每一个方程，能使每一个方程都成立的 一对数才是方程组的解。 一对数才是方程组的解。
1.解二元一次方程组的基本思路是
消元
2x-5y=7① 2.用加减法解方程组{ 由①与② 2x+3y=2② 相减 直接消去—— x ———— 3.用加减法解方程组{ 由 6x-5y=12② ①与②——，可直接消去——— 4x+5y=28①
第八章 二元一次方程组 主要习题整理
类型题1 类型题1 1 m − n +3 m−2 2 = 0是关于 x, y P54的第11题：已知方程4 x − 3 y 的二元一次方程，求 m − 6n + 1的值。 解：依题意可得：
m − 2 = 1 1 2 m − n + 3 = 1
m = 3 解得： n = 3.5 所以 m − 6n + 1 = 3 − 6 × 3.5 + 1 = −17
实际问题与二元一次方程组
列方程组解应用题的基本步骤： 列方程组解应用题的基本步骤：
1、审题，设未知数。 、审题，设未知数。 2、找等量关系。 、找等量关系。 3、列出方程组，并解答。 、列出方程组，并解答。 4、检验并答。 、检验并答。
二元一次方程组复习(带解析)
二元一次方程组复习一、知识要点 1、二元一次方程组的有关概念I ．二元一次方程(1)概念：含有______未知数，并且未知数的项的次数都是____，这样的整式方程叫做二元一次方程．(2)一般形式：ax ＋by ＝c(a≠0，b≠0)．(3)使二元一次方程两边的值______的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．(4)解的特点：一般地，二元一次方程有无数个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集．II ．二元一次方程组(1)概念：具有相同未知数的______二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．(2)一般形式：⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a (a 1，a 2，b 1，b 2均不为零)．(3)二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的________，叫做二元一次方程组的解．2、二元一次方程组的解法解二元一次方程组的基本思想是______，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要__________消元法．不要漏掉括号x (或y )的代数式表示出y (或x )，即变成y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )的形式；(2)将y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )代入另一个方程，消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求出x (或y )的值；y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )中，求y (或x )的值．不要漏乘在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同(或互为相反数)，则可以直接相减(或相加)，消去一个未知数；(2)在二元一次方程组中，若不存在(1)中的情况，可选一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同(或互为相反数)，再把方程两边分别相减(或相加)，消去一个未知数；(3)解这个一元一次方程；(4)将求出的一元一次方程的解代入原方程组中系数比较简单的方程内，求出另一个未知数．二、典型例题考点一 ：二元一次方程概念与解法例1．已知⎩⎨⎧==12y x 是二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+18my nx ny mx 的解，则2m －n= .例2．小明和小佳同时解方程组⎩⎨⎧=-=+1325ny x y mx ，小明看错了m ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==227y x ，小华看错了n ，解得⎩⎨⎧-==73y x ，你能知道原方程组正确的解吗总结分析：灵活学会“方程解”概念解题.【巩固】已知方程组⎩⎨⎧-=--=+4652by ax y x 和方程组⎩⎨⎧-=+=-81653ay bx y x 的解相同，求2017)2(b a +的值.【变式】已知关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+f by ex c by ax 的解为⎩⎨⎧==13y x ，你能求得关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=++-=++-f y x b y x e c y x b y x a )()()()(的解吗★剖析总结★：灵活学会“方程解”概念解题，利用解相同，可以将方程重新组合，换位联立；在解题过程中，常常运用类比的思想【巩固2】.考点二：解决实际问题列方程(组)解应用题的一般步骤1、审：有什么，求什么，干什么；2、设：设未知数，并注意单位；3、找：等量关系；4、列：用数学语言表达出来；5、解：解方程(组)；6、验：检验方程(组)的解是否符合实际题意．7、答：完整写出答案(包括单位)．列方程组思想：找出相等关系“未知”转化为“已知”.有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等.列二元一次方程----解决实际问题类型：（1）方案问题：（2）行程问题;（3）工程问题;（4）数字问题;（5）年龄问题;（6）分配问题;（7）销售利润问题;（8）和差倍分问题; （9）几何问题; （10）表格或图示问题; （11）古代问题;（12）优化方案问题. 题型一 二元一次方程组的应用 - 方案问题典例1 （2020·监利县期中）1400元奖金要分给22名获奖员工，其中一等奖每人200元，二等奖每人50元。
8 第八章二元一次方程组复习
③- ④得： y 2
∴原方程组的解是 x 4
y
2
七年级 数学
多媒体课件
方程组
5x 2y 24 ①
ax by 14
和
②
ax by 10 ③ 2x 5y 18 ④
有相同的解，求ａ和ｂ的值．
解：由① ④得 5x 2 y 24① 2x 5 y 18④
35y x 10 40( y 0.5) x
x 220
y
6
2.某中学组织初一学生春游,原计划租用 45座客车若干辆,但有15人没有座位;若 租用同样数量的60座客车,则多出了一辆 车,且其余客车恰好坐满.已知45座客车 日租金为每辆220元, 60座客车日租金为 每辆300元,试问:(1)初一年级的人数是多 少?原计划租用45座客车多少辆?(2)若租 用同一种车,要使每位同学都有座位,怎样 租用更合算?
你能列出方程（组）吗？
解：设牛x头，羊y只，依题意得：
5x 2 y 24 2x 5y 18
你会用两种方法解吗？ (1)代入法; (2)加减法.
七年级 数学
多媒体课件
5x 2 y 24 ① 2x 5y 18 ②
解：由① 得： y 12 5 x ③
2
2.二元一次方程的解: 使二元一次方程两边的值相等的两个未知 数的值,叫做二元一次方程的解.
3.二元一次方程组: 由两个一次方程组成,共有两个未知数的方 程组,叫做二元一次方程组.
四、知识应用
1.二元一次方程 2m+3n=11 ( C ) A.任何一对有理数都是它的解. B.只有两组解. C.只有两组正整数解. D.有负整数解. m=1，n=3； m=4，n=1.
二元一次方程重点讲解(复习专用)
二元一次方程组重点讲解(复习专用) 在学完第八章之后，常会遇到一些变式问题和一些综合性问题,我们具备怎样的素养，才能准确解答这些问题呢？至少要实现以下六会:一、会根据方程意义，巧推系数取值情况例1.方程●x－2y=x+5是二元一次方程，●是被污染的x的系数，请你推断●的值，属于下列情况中的（）A.不可能是－1B.不可能是－2C.不可能是1D.不可能是2析解:由二元一次方程的意义知,●不可能是1，因为当●是1时，把已知方程整理后,所得的方程就会成为，只含有未知数y的一元一次方程,这与已知相矛盾，所以●的值“不可能是1".因此，答案应为：C.评注：紧扣二元一次方程的意义推断是关键.二、会依据解的意义，逆推原方程组例2.小明给小刚出了一道数学题：如果我将二元一次方程组中的方程①里y的系数用◆遮住，②中x的系数用◆覆盖，并且告诉你2,1.xy=⎧⎨=⎩是这个方程组的解，你能求出原来的方程组吗？析解:由二元一次方程组解的意义知2,1xy=⎧⎨=⎩能使①成立，把它代入①得2×2+◆×1=3，解得◆=－1；同样把2,1xy=⎧⎨=⎩代入②可得，◆=1。
把求得的y、x的系数，代入已知方程组即可求得原方程组为213,3. xx y-=⎧⎨+=⎩评注：透彻理解二元一次方程组解得意义，是本题求解的关键.三、会选择恰当的变形方程,使得代入后较易化简①②33.2,yx yx=+=+⎧⎨⎩① ② 21图1例3。
用代入法解方程组342,2 5.x y x y +=⎧⎨-=⎩ 使得代入后化简比较容易的是( ）A 。
由①得x=243y - B.由①得y=234x - C 。
由②得x=52y + D.由②得y=2x －5析解：无论是把A 中的x=243y-代入②，或把B 中的y=234x -代入②，或把C 中的x=52y +代入①，都没有用D 中的y=2x －5代入①后容易化简,所以，答案为：D 。
评注:代入系数为分数的代数式,没有代入系数为整数的代数式容易化简。
二元一次方程组解法复习
x +y=12
3.A、B两地相距36千米，甲从A地步 行到B地，乙从B地步行到A地，两人 同时相向出发，4小时后两人相遇，6 小时后，甲剩余的路程是乙剩余路程 的2倍，求二人的速度？
解：设甲的速度为X 千米/小时, 乙的速度为X 千米/小时
4X+4Y=36 36-6X=2(36-6Y)
x y 90 C、 30x 24 y
y 90 x D、 2(15 x) 24y
例1. 某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨,准备加工后上 市销售,该公司的加工能力是:每天可以精加工6吨或者 粗加工 16 吨 ,现计划用 15天完成加工任务 ,该公司应安 排几天粗加工,几天精加工,才能按期完成任务?如果每 吨蔬菜粗加工后的利润为1000元,精加工后2000元,那 么照此安排,该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多 少元? 解：设粗加工x天，精加工y天.
则：
3a-1=b 解得： 3-b=a
a=1
b=2
用适当的方法解下列方程组 （ 1）
2x+1=5（y+2）
5（3x+2）-2（y+7x）=16
（ 2）
x y 4 4 2 3x-2y=16
(3)已知（3m+2n-16)2与|3m-n-1|互为相反数 求：m+n的值 解：根据题意：得 3m+2n-16=0 3m-n-1=0 m=2 解得： n=5 即：m+n=7
待定系数法 果品批发市场,苹果每千克k元,每位来采 购的批发商需要另交市场管理费b元.若某批发 商买苹果x千克,怎样计算买苹果的总价？ y=kx+b 已知x=80,y=200,能否确定k？需确定k,还需要知道 什么? 若把x=80,y=200代入y=kx+b,得200=80k+b 有多少个未知数？ 知道b,则可知k,若题目中不准给出b的值,则需 多给一对x、y的值. 要知道什么可求出k? 要求两个未知数,就要知两个相等关系.
二元一次方程组知识点复习相关练习及答案
二元一次方程组知识点1、含有未知数的等式叫方程，使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解。
2、方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫二元一次方程，二元一次方程的一般形式为axbyc(a、b、c为常数，并且a0，b 0)。
使二元一次方程组每个方程的左右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程组的解，一个二元一次方程组一般有且只有一个解。
3、用代入法解二元一次方程组的一般步骤：观察方程组中，是否有用含一个未知数的式子表示另一个未知数，如果有，则将它直接代入另一个方程中；如果没有，则将其中一个方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数；再将表示出的未知数代入另一个方程中，从而消去一个未知数，求出另一个未知数的值，将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程，求出另外一个未知数的值。
4、用加减法解二元一次方程组的一般步骤：（1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使同一个未知数的系数相等或互为相反数；（2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数；（3）解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；（4）将求出的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程，求出另外一个未知数的值，从而得到原方程组的解。
5、解三元一次方程组的一般步骤：①观察方程组中未知数的系数特点，确定先消去哪个未知数；②利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程，与另外两个方程分别组成两组，消去同一个未知数，得到一个关于另外两个未知数的二元一次方程组；③解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值；④将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程中，求出第三个未知数的值，从而得到原三元一次方程组的解。
6、二元一次方程组应用题列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；找：找出能够表示题意两个相等关系；列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；解：解这个方程组，求出两个未知数的值；答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案§8.1二元一次方程组一、填空题1、二元一次方程 4x-3y=12，当x=0，1，2，3 时，y=____2、在x+3y=3中，若用x 表示y ，则y= ，用y 表示x ，则x=3、已知方程(k 2-1)x 2+(k+1)x+(k-7)y=k+2 ，当k=______时，方程为一元一次方程；当 k=______时，方程为二元一次方程。
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基础知识预览一、概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的 是2，且系数不为 0，这样的整式方程叫一元二次方程．一般形式： ．其中 称为二次项、 称为一次项，称为常数项， 分别称为二次项系数和一次项系数． 二.一元二次方程的解法 1．直接开平方法 2. 配方法1. 把方程化成一元二次方程的一般形式。
2. 把二次项系数化为1。
3. 把含有未知数的项放在方程的左边，不含未知数的项放在方程的右边。
4. 方程的两边同加上一次项系数一半的平方。
5. 方程的左边化成完全平方的形式，方程的右边化成非负数。
6. 利用直接开平方的方法去解。
3. 公式法 （ 2b x a -±=）1.把方程化成一元二次方程的一般形式。
2. 写出方程各项的系数。
3. 计算出24b ac -的值，看24b ac -的值与0的关系，若24b ac -﹤0，则此方程没有实数根 。
4. 当24b ac -≥0时， 代入求根公式 计算出方程的值4. 因式分解法1. 移项，使方程的右边为0。
2. 利用提取公因式法，平方差公式，完全平方公式，十字相乘法对左边进行因式分解3. 令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程。
4. 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解易错知识辨析：（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0≠a . （2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.三、一元二次方程20ax bx c ++=(a ，b ，c 为常数,a ≠０)根的判式是: △=24b ac - 一元二次方程根的判别式四、一元二次方程根与系数的关系()21212120,0,,,b c x bx c a x x x x x x a a++=≠+=-=如果a 的两个根是那么易错知识辨析：（1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零 这个限制条件.（2）应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：① 根的判别式042≥-ac b ；② 二次项系数0a ≠，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.例1.下列方程中，关于x 的一元二次方程有：( )①2x =0 ，②20ax bx c ++= ，③2x －3=x ， ④20a a x +-= , ⑤1223m xx +-= =0，⑥1133x x += , ⑦2= , ⑧22(1)9x x +=-A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个1、在选择方程082,0105,1,5)2)(1(42222=+=-=+=+-x x x y x x x ，12121,0432242+=+=+-x x x x x 中,应选一元二次方程的个数为( )A 3 个B 4 个C 5 个D 6 个2、方程：①13122=-x x ②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022=y 中一元二次方程是A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ①和③3、下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）A.()()12132+=+x xB.02112=-+xx C.02=++c bx ax D. 1222-=+x x x4、方程x x 3122=-的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是5、关于x 的方程)0(0)(2≠=-+-ab ab x b a abx 中, 二次项是 ; 常数项是 ;一次项是 ;例2、当m 是何值时，关于x 的方程22234)1()2(x x m x m =--++（1）是一元二次方程； （2）是一元一次方程；（3）若x=-2是它的一个根，求m 的值。
总结：你能发现什么？ 练习1、已知方程 1223m xx +-= 是关于x 的一元二次方程，则m=__________2、关于x 的方程 221(1)50aa a x x --++-= 是一元二次方程，则a=__________ 3、关于x 的方程03)3(7=+---x x m m 是一元二次方程，那么m=_______________.4、关于x 的方程是(m 2–1)x 2+(m –1)x –2=0，那么当m 时，方程为一元二次方程5、关于x 的方程023)1()1(2=++++-m x m x m ,当m ________时为一元一次方程；当m ___________时为一元二次方程。
例3、 你觉得用什么方法解下列试题比较好？试一试，用多种方法解答。
（1）9)12(2=-x （2）22321622x x x x ++=-+(3)23(1)0x x --= （4） 025)2(10)2(2=++-+x x（5）42)2)(1(+=++x x x （6）0)4()52(22=+--x x总结：你发现什么?2．一般二次三项式2ax bx c ++型的大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++．反过来，就得到： 我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯，这里按线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，那么2ax bx c++就可以分解成．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．试想一下，若在2ax bx c ++=0（a ≠0）一元二次方程中运用会有什么发现例4、解下列方程(1) 276x x -+ =0 (2) 21336x x -+-=0（3）21252x x --=0 (4) 22568x xy y --+=0能力提升(1) 22(2)7(2)8x x x x +-+- =0 (2)a ax x x 51522---+=0（3）0)23(22=-+--b b a x a x 0)1(122=--+-kx k x x练习、解方程。
(1) x 2 + 8x + 15=0 (2) x 2 - 2x - 15=0(3)-x 2 + 8x -15 =0 (4) -x 2 - 8x + 15=0(5)2x 2 + 11x + 15=0 (6)2x 2 - 13x + 15 =0例5、当k 取什么值时，已知关于x 的方程：222(41)210x k x k -++-= （1）方程有两个不相等的实根； （2）方程有两个相等的实根；（3）方程无实根；例6、（08武汉）下列命题：① 若0a b c ++=，则240b ac -≥；② 若b a c >+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根；③ 若23b a c =+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根；④ 若240b ac ->，则一元二次方程有两个相等的实数根其中正确的是（ ）Ａ.只有①②③ Ｂ．只有①③④ Ｃ．只有①④ Ｄ．只有②③④．例7、已知m 为非负整数，且关于x 的方程 ：2(2)(23)20m x m x m ---++= 有两个实数根，求m 的值。
总结：做这类题你应该注意什么呢？1、若关于x 的一元二次方程0122=+-x kx 有实数根，则k 的取值范围是。
（A ）1<k （B ）1≤k （C ）1<k 且0≠k （D ）1≤k 且0≠k 2，关于x 的一元二次方程 x ²-2mx+m ²+1=0的根的情况是 （ ）A.有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D.不能确定3、a 是任意实数，关于x 的方程01222=-+-a ax x 的根的情况是( ) （A ）有两个不相等的实数根 （B ）有两个相等的实数根 （C ）没有实数根 （D ）根的个数与a 的取值有关4、关于x 的一元二次方程02322=-+-m x x 的根的情况是A. 有两个不相等的实根B. 有两个相等的实根C. 无实数根D. 不能确定5. 方程07)1(82=----k x k x 的一个根为零，则=k （ ）A 1-B 163C 4D 76、等腰三角形的两边的长是方程091202=+-x x 的两个根，则此三角形的周长为 （ ）A. 27B. 33C. 27和33D. 以上都不对7、当k = 时，方程0)1(2=+++k x k x 有一根是0. 8、已知方程032=+-mx x 的两个实根相等，那么=m ； 9.已知322--x x 与7+x 的值相等，则x 的值是10、已知7532=++x x ,则代数式2932-+x x 的值为________________. 11、若一个三角形的三边长均满足方程x 2-6x +8=0，则此三角形的周长为 .12、已知a 、b 、c 为三角形的三边, 求证 ∶方程0)(222222=+-++b x c b a x a 没有实数根13、求证：关于x 的方程：2(2)210x m x m --+-= 有两个不相等的实根。
例8、设x 1，x 2是方程2x 2＋4x －3＝0的两个根，则(x 1＋1)(x 2＋1)= __________，x 12＋x 22＝_________，1211x x +＝__________，(x 1－x 2)2＝_______.例9、2560,2x kx k +-=已知方程的一个根是，求它的另一个根及的值1、已知3是关于x 的方程012342=+-a x 的一个解，则2a 的值是（ ）A.11B.12C.13D.142、如果关于x 的一元二次方程x 2+px +q =0的两根分别为x 1＝3、x 2＝1，那么这个一元二次方程是（ ）A. x 2+3x +4=0B. x 2-4x +3=0C. x 2+4x -3=0D. x 2+3x -4=03、已知1x =-是方程260x ax -+=的一个根，则a=____________，另一个根为_________；4、若x 1 =23-是二次方程x 2+ax +1=0的一个根，则a = ，该方程的另一个根x 2 = .能力提升已知关于x 的一元二次方程()2120x m x m --++=．（1）若方程有两个相等的实数根，求m 的值；（2）若方程的两实数根之积等于292m m -+课后作业：1、方程0122=-+x x 根的判别式的值是_________2、如果()51222+++-m x m x 是一个完全平方公式，则=m ______。
3、已知关于x 的一元二次方程02=++q px x 的两根为2和3，则q p +=________.4、（06泉州）菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长是方程01272=+-x x的一个根，则菱形ABCD 的周长为 .5、设b a ,是一个直角三角形两条直角边的长，且12)1)((2222=+++b a b a ，则这个直角三角形的斜边长为6、若21,x x 是方程0532=-+x x 的两个根，则()()1121++x x 的值为（ ）（A ）–7（B ） 1（C ） 291+-（D ） 291--7、（2009山西省太原市）用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）A ．()216x +=B ．()216x -=C ．()229x +=D ．()229x -=8. （2009年烟台市）设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ） A ．2006 B ．2007 C ．2008 D ．20099．(2009年南充)方程(3)(1)3x x x -+=-的解是（ ）A ．0x =B ．3x =C ．3x =或1x =-D ．3x =或0x =10．（2009年日照）若n （0n ≠）是关于x 的方程220x mx n ++=的根，则m +n 的值为 （ ）A. 1B.2C.-1D.-2。