第四章 投影变换
投影变换
1. 直线的实长、倾角：直角三角形法，变换一次投影面 2. 平面的实形、倾角：最大斜度线法求倾角，变换投影面法 3. 距离: 点到直线、两直线、点到平面、直线与平面、两平面
点、线、面法，变换投影面法 4. 夹角: 两直线、直线与平面、两平面
变换投影面法
28
综合举例 1. 求A点到三角形BCD的距离及两面投影。
第四章 投 影 变 换
§4－1 投影变换的目的和方法 §4－2 变换投影面法（换面法） §4－3 旋转法 §4－5 度量问题和定位问题举例
1
§4－1投影变换的目的和方法
特殊位置的直线： 可直接反映实长、倾角问题
a
b
a(b)
X
O
X
O
a
实长
b
水平线
b
实长
a 正垂线
2
§4－1投影变换的目的和方法
特殊位置的平面： 可直接反映实形、倾角问题
6
§4－2 换 面 法
一、 基本概念：
a' A
V
c' C b'
a
实形 a1'
V c1'
b1' B
V
b'
X
X
bH
b
H
换面法：空间几何元素不动，改
X1
变投影面的位置使其有利于解题。
a'
c'
O a(c)
O1
c1'
b1'
a1'
V1
7
§4－2 换 面 法
二、基本条件
建立新投影面的条件：
（1）新投影面要垂直原有的 一个投影面。
c
H
第四章 投影变换
1∶2000标准图框的投影结果如图：
大比例尺非标准框
以1：2000为例，其他大比例尺的非标准框生成方法类似； 单击“系列标准图框”菜单下“生成1：2000图框”命令， 弹出“1：2000图框”如图：
矩形分幅方法为： 任意矩形分幅；
•
• 设置起始公里值、 结束公里值、公里值 间隔后，单击“确定” 按钮，即可生成1： 2000非标准框；
第三步：设置用户投影参数
设置结果投影参数
第四步：设置结果投影参数
第五步：设置分隔符，系统提示要求设置分 隔来自功能，选择属性名称所在行，如右图
第六步：设置投影后点图元参数
第七步：点击投影变换，系统自动进行投影。关 闭投影转换对话框，系统提示是否保存NONAME.WT 点文件,点击“是”
在输入编辑系统中，通过添加背景图框文件，显示 投影点文件文件
在点编辑中，根据属性标注释，标注地质点 “GPOINT”，检查属性，则显示右下图
常用地图投影经纬线网的自动绘制 ①选择原始坐标系为大地坐标系，目的投影系为绘 制经纬网的坐标系；
②设置好投影经纬网的比例尺及单位； ③输入投影经纬网投影方程的一系列参数，如中央
子午线经度、标准纬线纬度、位置偏移等；
④输入绘制投影经纬网的起止经纬度值，经纬度
间隔值。
⑤设置网线参数、网线类型、刻度尺、比例尺及
大于 1：5000 时，图幅为大比例尺，矩形图幅，单位为公 里值； 四类图框： ①、小比例尺的标准框
②、小比例尺的非标准框
③、大比例尺的标准框 ④、大比例尺的非标准框
小比例尺标准框
投影变换
投影变换投影变换就是要确定一个取景体积，其作用有两个：1). 确定物体投影到屏幕的方式，即是透视投影还是正交投影。
2). 确定从图象上裁剪掉哪些物体或物体的某些部分。
投影变换包括透视投影和正交投影（平行投影）。
●透视投影透视投影的示意图如下，其取景体积是一个截头锥体，在这个体积内的物体投影到锥的顶点，用glFrustum()函数定义这个截头锥体，这个取景体积可以是不对称的，计算透视投影矩阵M，并乘以当前矩阵C，使C=CM。
void glFrustum(GLdouble left,GLdouble right,GLdouble bottom,GLdouble top,GLdouble near,GLdouble far);该函数以透视矩阵乘当前矩阵left, right 指定左右垂直裁剪面的坐标。
bottom,top 指定底和顶水平裁剪面的坐标。
near,far 指定近和远深度裁剪面的距离，两个距离一定是正的。
程序函数gluPerspective()可以创建一个与调用glFrustum()所得到的同样形状的视图体，它创建的是一个沿视线关于x和y轴均对称的平截台体，在很多实际应用中都采用函数gluPerspective()。
void gluPerspective(GLdouble fovy,GLdouble aspect, GLdouble zNear,GLdouble zFar)；fovy是在x-z平面内视区的角度，其值必须在区间【0.0，180.0】内。
Aspect为长宽比，是平截台体的宽度与高度之比。
zNear和zFar的值是视点（沿z轴负向）与两个裁剪平面的距离。
参数恒为正。
图1透视投影示意图●正交投影正交投影的示意图见下：其取景体积是一个各面均为矩形的六面体，用glOrtho()函数创建正交平行的取景体积，计算正交平行取景体积矩阵M，并乘以当前矩阵C，使C=CM。
void glOrtho(Gldouble left,Gldouble right,Gldouble bottom,Gldouble top,Gldoublenear,Gldouble far);该函数以正交投影矩阵乘当前矩阵。
画法几何课件第四章平面的投影及投影变换应用
§4-3 平面内的直线和点
一、直线在平面内的几何条件 二、平面内的一般位置直线
三、平面内的投影面平行线
四、平面内对投影面的最大斜度线 五、平面内的点
§4-1 平面的表示法
一、直线在平面内的几何条件
通过一平面上的两个点；
通过平面上一点同时又平行该平面上另一直线。
M N
平行
§4-1 平面的表示法
Z
V
Z
X
O
PW
YW
P
X o
PW
Y
PH
YH
PH
§4-1 平面的表示法
二、投影面平行面
3.侧平面 投影特点： W 投影反映实形；
H 投影和 V 投影积聚为直线； 积聚投影垂直于OX 轴。
V
Z
实形
Z
X
o Y
X
O
YW
YH
§4-1 平面的表示法
二、投影面平R RV
X
Z
RV
O
X
o
a‟ c‟
迹线表示平面
a‟ 30° x o
b‟ x
d‟
30°
RV
o
d b a c
§4-1 平面的表示法
RH
a
一、投影面垂直面
例2 包含AB（ab，a‟b‟ ）作铅垂面。
b‟
a‟
X
c‟ b c O
a
§4-1 平面的表示法
一、投影面垂直面
例3 完成侧垂面的水平投影。
1„ 2„ Z 1“ 2“ 3„ 6„ 1 2 4 3
投影分析：
侧垂面 注意：
4„
X 5„
4“ 3“
5“ 6“ YW
V、H 投影的
投影变换
V X H
ax
a2
a ax1
H X1 P 1
.
ax2 .
a1
P2 P1 X 2
四、换面法的四个基本问题 1. 把一般位置直线变换成投影面平行线
例：求直线AB的实长及与H面的夹角。
空间分析： 用P1面代替V面，在P1/H投影体系中，AB//P1。 b 作图： a P1 a a1
V
A
b
●
n
d b
d1
.
●
D
a1≡b1≡m1
●
c1
n1
d1
n1
H P1 X1
圆半径=MN
c1
●
求交叉两直线AB、CD间的距离。
b
m
d k a k d m a d 1 c c b c 1 k 1 m2 a2 b2 c2 k2 d2
V XH
b1
m1
a1
Why？
例3: 过C点作直线CD与AB相交成60º 角。
H X1 P 1
.
求C点到直线AB的距离， 就是求垂线CD的实长。 如下图：当直线AB垂直 于投影面时，CD平行于投 影面，其投影反映实长。所 以，需要把直线AB变换成 投影面垂直线。
AD C B abd P c
X
V H
直线CD在P1 / P2两投 影体系中，平行于新 投影面P2。则CD直线 在P1平面中的投影有 什么特点?
c d a1 d1 .
距离
b b1 . a2 2d2
P1 P2
c2
如何确定d1 c1 点的位置？ 过c1作线平行于x2轴。
X2
求C点到AB直线的距离。
a1
a k1 b1 c k' b c1
投影变换
投影变换由于数据源的多样性，当数据与我们研究、分析问题的空间参考系统（坐标系统、投影方式）不一致时，就需要对数据进行投影变换。
同样，在对本身有投影信息的数据采集完成时，为了保证数据的完整性和易交换性，要对数据定义投影。
空间数据与地球上的某个位置相对应。
对空间数据进行定位，必须将其嵌入到一个空间参照系中。
因为GIS 描述的是位于地球表面的信息，所以根据地球椭球体建立的地理坐标（经纬网）可以作为空间数据的参照系统。
而地球是一个不规则的球体，为了能够将其表面的内容显示在平面的显示器或纸面上，就必须将球面的地理坐标系统变换成平面的投影坐标系统当系统使用的数据取自不同地图投影的图幅时，需要将一种投影的数字化数据转换为所需要投影的坐标数据。
投影转换的方法可以采用：1.正解变换通过建立一种投影变换为另一种投影的严密或近似的解析关系式，直接由一种投影的数字化坐标x、y 变换到另一种投影的直角坐标X、Y。
2.反解变换即由一种投影的坐标反解出地理坐标(x、y→B、L)，然后再将地理坐标代入另一种投影的坐标公式中(B、L→X、Y)，从而实现由一种投影的坐标到另一种投影坐标的变换(x、y→X、Y)。
3.数值变换根据两种投影在变换区内的若干同名数字化点，采用插值法，或有限差分法，最小二乘法、或有限元法，或待定系数法等，从而实现由一种投影的坐标到另一种投影坐标的变换。
目前，大多数GIS 软件是采用正解变换法来完成不同投影之间的转换，并直接在GIS 软件中提供常见投影之间的转换。
借助ArcToolbox 中Projections and Transformations工具集中的工具，可以实现对数据定义空间参照系统、投影变换，以及对栅格数据进行多种转换，例如翻转（Flip）、旋转（Rotate）和移动（Shift）等操作。
1. 定义投影定义投影（Define Projection），指按照地图信息源原有的投影方式，为数据添加投影信息。
第四章.投影变换
【案例4-2】已知直线AB及线外一点M，求作M 案例4 已知直线AB及线外一点M 求作M AB及线外一点 点到直线AB的距离及其投影。 AB的距离及其投影 点到直线AB的距离及其投影。
① 选取新投影面V1代替V面。作 X1∥ab，求得AB、M在V1面上的新投 影a1′b1′、m1′； ② 再取新投影面H2代替H面。作 X2⊥a1′b1′，求得AB、M在H2面上的新 投影a2b2、k2，a2、b2必重合为一点； ③ 连接m2和a2（b2），即为点到直 线AB的实际距离（垂足K的投影k2与 a2b2重合）。 ④ 过点m1′作直线m1′k1′∥X2得k1′， 再根据K点从属于直线AB，由k1′求出k ，由k求出k′，连接mk、m′k′，即完成 作图。
2．求解角度问题
【案例4-4】已知两一般位置平面△ABC和△ABD，用换面法 案例4 已知两一般位置平面△ 求两平面间的夹角。 求两平面间的夹角。
① 选投影面V1∥AB，求出a1′b1′，a1′b1′反映AB的实长。同时求得c1′、d1′，连接a1′c1′、b1′c1′ 和a1′d1′、b1′d1′。△a1′b1′c1′和△a1′b1′d1′为两平面在V1面上的新投影。 ② 再选取投影面H2⊥AB，即作X2⊥a1′b1′，求得a2b2c2和a2b2d2，分别为两平面有积聚性的投 影。两直线a2b2c2和a2b2d2之间的夹角就是两平面△ABC和△ABD的二面角φ。
一般位置直线变为正平线， 一般位置直线变为正平线，必须变换V面，使新投影面 V1平行于AB，作图步骤如下： 作图步骤如下：
2．把投影面平行线变换为投影面垂直线
这种变换的目的是使线段的投影具有积聚性，以便于求解某些度量问题。 AB在V/H体系中为一正平线，用一垂直于AB的H1面（它必然垂直于V面） 来替换H面，则AB在V/H1体系中就成为新投影面H1的垂直线，它在H1面 上的投影a1b1积聚为一点。
4、投影变换(换面法)
b' a'
X
• i' a c i • b
H X1 V1
c'
•c ' 1
V O H O2 O1
•
c2
• a1' (i1')
•i 2
• a2
实形
• b1'
V1 H2
• b2
是以其中一直线为依据来选择，即将其中一条直线（一般 线）更换成平行线，投射线，其它元素跟着过来。另一种 是以其中一个平面为依据来选择新轴。即将一般面改换成 投射面、平行面。其它元素跟变换过来。
不动，设立新的投影面代替原有的投影面中的一个，使新
投影面与几何元素处于有利于解题的位置。
一、换面法的投影规律：
如图4-2中，先只看A点的投影。如图4-3 （a)所示。
a' V
A
a'1 x1
o
x ax a
V1
ax1 H a'1 V1
o1
图4-3 （a)
新的投影面必须垂直于原投影面体系中的一个投影面。 如 V1H ，这样 V1 与H才能构成一个新的两投影面体系。 a' a x Aa a1' a x1 展开时V不动， V1 摊平到与H在 由图可知 同一面上，然后H面连同 V1 一齐绕OX轴旋转到与V在同一 平面上。 画投影图时，为表示清楚，在OX以上标V，OX下标H，在 的一方标H，另一方标
工程上要解决的问题： （一） 定位问题：包括线面交点、两面交线、截交线、相 贯线
(二） 度量问题：包括求直线实长、平面实形、点线距、 点面距离、平行线间距、两交叉线距离、平行面距离、直 线及平面对投影面倾角、两面夹角、线面夹角等。 一、投影变换的目的：将原来处于一般位置的空间几何元 素，变换为有利于解题的位置。
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兰州大学
换 面
法
[例题5] 平面的旋转
a'1 c'1 b'1
c1
b1
θ θ
a1
θ
兰州大学
（二）几何元素在轴所垂直的投影面上的投影，旋转前后的形 状和大小不变。 当线段和平面图形绕垂直于某一投影面的轴旋转时， 它们对该投影面的夹角不变。因此，它们在该投影面上投 影的形状和大小不变。 [例题6] [例题7] 旋转轴通过端点A 平面的旋转
c'1
C1
c1
兰州大学
二、点旋转时的投影变换规律
当点绕垂直于某一投影面的轴旋转时，点在该投影面 上的投影，作以轴的投影为圆心和以旋转半径为半径的圆 周运动；而在另一投影面上的投影，则作直线运动，且该 直线必垂直于轴在该投影面上的投影。 [ [例题2] 2] [例题3] 点绕正垂轴旋转 点绕铅垂轴旋转
c
换 面
法
[例题15] 一般位置平面旋转为水平面
b'1 n' a'1 c'1 n'1 b'2 a'2 c'2
a1
a2
n
b1 n1 c1
b2 c2
兰州大学
换 面
法
[例题16] 求两平面之间的夹角
b'1 c'1 c'2 d'1 a'1 a'2 c1 c2 d'2 b'2
a1
b1 a2b2 d2
d1
兰州大学
换 面
法
[例题17] 旋转点D至平面ABC上
e' d'1 L f'
E D1
F e d1 f
兰州大学
本章结束
（一）旋转必须遵循“三同”原则
线段和平面图形都是由若干个相距一定位置的点所组 成，为了保证它们之间的相对位置旋转时保持不被改变， 必须遵循：绕同一根轴，向同一方向和旋转同一角度的“ 三同”原则。 [ [例题4] 4] [例题5] 线段的旋转 平面的旋转
换 面
法
[例题4] 线段的旋转
a'1
b'1
θ a1 b1 θ
b1
l
兰州大学
换 面
法
[例题12] 直线绕正垂轴旋转
b'1 l'
b1 l
兰州大学
换 面
法
[例题13] 一般位置线段旋转为铅垂线
a'1 l'
b'1
l'1
b1
a1
l
l1
兰州大学
[例题14]
把一般位置平面变为投影面垂直面
b' b'1 a' a'1 n'1 c'1
n' c'
a1 b n
a
b1 n1 c1
a2 b2
b1 V1 a1
X1
兰州大学
换 面
法
[例题3] 把一般位置直线变为投影面垂直线
a2 b2
兰州大学
换 面
法
[例题4] 求两平行线的距离
b2 (a2)
d2 (c2) X a1 c1
H2 V1
b1 d1
兰州大学
换 面
法
[例题5] 求点C到直线AB的距离
兰州大学
换 面
法
[例题5] 求点C到直线AB的距离
第四章 投影变换
§4.1 换面法 §4.2 旋转法
§4-1 换面法
一、问题的提出 二、换面法的基本概念 三、新投影面的选择原则 四、点的投影变换规律 五、六个基本问题
一、问题的提出
1. 定位问题和度量问题 2. 两平行线间距离求解方法的比较
换 面
法
c' b' a' a' a
直线的实长
c' a' b' d' d c b' a'
换 面
法
1. 点在H/V1体系中的投影
z
a'1V1 X1 aX1 O1
z
a'1
兰州大学
z
换 面
法
2. 点在V/H1体系中的投影
a1 X1 aX1 O1 y a1
兰州大学
y
换 面
法
3． 点的两次变换
z
a2
a2 a1
兰州大学
五、六个基本问题 （一） 把一般位置直线变为投影面平行线 （二） 把投影面平行线变为投影面垂直线 （三） 把一般位置直线变为投影面垂直线 （四） 把一般位置平面变为投影面垂直面 （五） 把投影面垂直面变为投影面平行面 （六） 把一般位置平面变为投影面平行面
换 面
法
[例题8] 求平面与H 面的夹角β
b'
d'
b1
a' c' V X d1H1 H a1 a c1 b d c
D
d c 兰州大学
换 面
法
[例题9] 求平面与H面的夹角α
d' 作X1轴垂直于ad
d
α
b'1 a'（d'1） 1 c'1
兰州大学
换 面
法
[例题10] 求点F 到平面∆ABC 的距离
X1
换面法—空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替旧的投影 面，使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置，然后找出其在新投影面 上的投影。
兰州大学
换 面
法
三、新投影面的选择原则源自a'1 V1X1α
α b'1 O1
兰州大学
四、点的投影变换规律
1．点在H/V1体系中的投影 2．点在V/H1体系中的投影 3．点的两次变换
（一） 把一般位置直线变为投影面平行线
[例1] 求一般位置直线的实长及α角 [例2] 求一般位置直线的实长及 β 角
换 面
法
[例1] 求一般位置直线的实长及α角
b1
α
a1
b1
α
a1
兰州大学
换 面
法
[例2] 求一般位置直线的实长及 β 角
a1
β
b1
兰州大学
换 面
法
（二） 把投影面平行线变为投影面垂直线
兰州大学
§5-2
旋转法——绕投影面垂直轴旋转
一、旋转法的基本概念 二、点旋转时的投影变换规律 三、直线和平面的旋转 四、四个基本问题
一、旋转法的基本概念
旋转法就是投影面保持不动，使空间几何元素绕某一 轴旋转，旋转到有利于解题的位置。 [例题1] 平面旋转为正平面
换 面
法
[例题1 ]
△ABC旋转为正平面
换 面
法
[例题6] 旋转轴通过端点A
b'1 b'1 α B1 b1 b1 (a) (b) α
兰州大学
换 面
法
[例题7] 平面的旋转
兰州大学
（三）不指明轴旋转法
1. 问题的提出 2. 不指明轴旋转法 3. 总可定出旋转轴 [例题8] [例题9] [例题10]
换 面
法
[例题8] 平面的旋转 b'
1
n'
n'1 c'1
两个图形 十分靠近或 重叠，影响 图形的清晰 度。
n
b1 n1
兰州大学
c1
换 面
法
[例题9] 不指明轴旋转法
b'1 a'1 n'1 c'1
a1
n b1 n1 c1
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换 面
法
[例题10]
总可定出旋转轴
l'
l
兰州大学
四、四个基本问题
（一） 把一般位置直线旋转为投影面平行线 例题11 例题12
g' d' 作FG于X1
作X1轴垂直于ad
g f'1 d
α
b'1 a'（d'1） g'1 1 c'1
兰州大学
[例题11] 求平面ABC与直线DE的交点
作X1轴垂直于a' f ' c1 4' k' （1'） 1' 2' 3' f' e1 b1 k1 a1 d1
作图步骤： 1.在三角形平面ABC上 作正平线AF ； 2.作X1轴垂直于a' f ' ； 3. 求三角形平面ABC和 DE在垂直于AF的新投 影面上的投影a1b1c1和 d1e1； 4.求三角形平面ABC和 DE的交点在新投影面 上的投影k1，再求出k' 和k；
（二） 把一般位置直线旋转为投影面垂直线 例题13 （三）把一般位置平面旋转为投影面垂直面 例题14 （四）把一般位置平面旋转为投影面平行面 例题15 [例题16] [例题17] 求两平面之间的夹角 旋转点D至平面ABC上
换 面
法
[例题11] 直线绕铅垂轴旋转
l'
l'
L
b'1
b'1
α
B1
α α
b1 l
f'
c' d' e' b' b e
f d b a c
b a
c
平面的实形
b
a
两平面夹角
直线与平面的交点
兰州大学
换 面
法
换面法就是保持空间几何元素不动，用新的投影面替换旧的投影面，使 新投影面对于空间几何元素处于有利于解题的位置。
兰州大学
换 面
法
二、换面法的基本概念
c1 V1 a1 b1 a1 X1 c1 b1