高等数学7.8常系数非齐次线性微分方程

x f ( x ) e Pm ( x 型 ) 一、 y py qy f ( x ) (1)
* y Y y , 通解结构 x * 代入原方程 Q ( x ) e . Q( x ) 为多项式， 设非齐方程特解为 y
2 Q ( x ) ( 2 p )Q ( x ) ( p q )Q( x ) Pm ( x )
(1) 若 不是特征方程的根， 2 p q 0,
设 Q( x ) Qm ( x ),
x Q ( x ) e ; y m
*
x f ( x ) e Pm ( x 型 ) 一、
y py qy 0, (2) 二阶常系数齐次线性方程
设非齐方程（1）特解为 y 设齐方程（2）通解为 Y 通解结构
]
( i ) x

Pl Pn ( i) 2 2
e
( i ) x
P ( x )e
( i ) x
P ( x )e
( i ) x
,
y py qy f ( x ) (1)
cos x sin x
e ix e ix 2 ix ix e e 2i
Q( x ) ( 2 p )Q( x ) (2 p q )Q ( x ) Pm ( x )
(2) 若 是特征方程的单根 2 p q 0, 2 p 0,
设 Q( x )
*
x Qm ( x ), y xQm ( x )e ;
x
二阶常系数非齐次线性方程 y py qy 0, (2) 二阶常系数齐次线性方程 * 设非齐方程（1）特解为 y 设齐方程（2）通解为 Y
P ( x )e P ( x )e , ( i ) x ( i ) x k y Q y py qy P ( x )e , 1 x me ,
k
Pl Pn ( i ) x Pl Pn ( i ) x ( )e ( )e 2 2i 2 2i
y py qy 0, (2) 二阶常系数齐次线性方程
* 设齐方程（2）通解为 Y y 设非齐方程（1）特解为
y py qy f ( x ) (1) 二阶常系数非齐次线性方程
通解结构
y Y y*,
设非齐方程特解为 y* Q ( x )e x 代入原方程
x
通解结构
y Y y*,
(1) 若 不是特征方程的根， y
*
(2) 若 是特征方程的单根 (3) 若 是特征方程的重根
综上讨论
Qm ( x )e ; x * y xQm ( x )e ; 2 x * y x Qm ( x )e .
0 不是特征根 k 1 是特征单 根 , 2 是特征重根
( i ) x
( i ) x
y py qy P ( x )e ( i ) x ,y x k Q e ( i ) x , 2 m
0
1 k x [ Q e y y1 y2 x e m
i 不是根 , i 是单根
i 2i
不是特征方程的根，
y* x 0 e0 x[(ax b ) cos 2 x (cx d ) sin 2 x ] 设特解为：
例1 求方程 y y x cos 2 x 的特解. 解 设特解为：
P344
x k e x [Qm (cos x i sin x ) Qm(cos x i sin x )]
x e
k
x [ R (1) ( x )cos x
m
(2) Rm ( x )sin x ], 是(1)的特解
(1) ( 2) 其中 Rm ( x ), Rm ( x )为m次多项式
§8. 常系数非齐次线性微分方程
x f ( x ) e Pm ( x 型 ) 一、
Pm ( x ) a0 a1 x am 1 x
m 1
am x
m
y py qy f ( x ) 二阶常系数非齐次线性方程
对应齐次方程 y py qy 0,
*
y py qy f ( x ) (1) 二阶常系数非齐次线性方程
y Y y*,
设非齐方程特解为 y* Q ( x )e x 代入原方程
Q( x ) ( 2 p )Q( x ) (2 p q )Q ( x ) Pm ( x )
(2) 若 是特征方程的单根 2 p q 0, 2 p 0,
(3) 若 是特征方程的重根
p q 0,
2
2 p 0,
设 Q( x ) x Qm ( x ),
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy x Qm ( x )e .
*
2
x
) 一、 f ( x ) e Pm ( x 型 y py qy f ( x ) (1) （1）特解为 y * y py qy 0, (2) （2）通解为Y
二阶常系数非齐次线性方程 二阶常系数齐次线性方程
*
y py qy 0, (2)
*
设非齐方程（1）特解为 y , 设齐方程（2）通解为 Y 设非齐方程特解为 y* Q ( x )e x
(1)的通解结构 y Y y , 代入原方程
Q ( x ) (2 p )Q ( x ) ( 2 p q )Q ( x ) Pm ( x )
y
*
1 x ( x 1)e 2 x 2
2 Ax B 2 A x A
B
1 2
1
,
原方程通解为
y C1 e C 2 e
x
2x
1 2x x ( x 1)e 2
x f ( x ) e [ Pl ( x ) cos x Pn ( x ) sin x ] 型 二、
是(1)的特解
(1) ( 2) 其中 Rm ( x ), Rm ( x )为m次多项式
m
max l , n
k
0
1
i 不是根 , i 是单根
注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.
y py qy f ( x ) (1)
y
f ( x ) e [ Pl ( x ) cos x Pn ( x ) sin x ] 型
i 不是根 , i是单根
P ( x )e ( i ) x , y2 x k Qm e ( i ) x ,
m max l , n
i x
Qm e i x ]
二、 f ( x ) e x [ Pl ( x ) cos x Pn ( x ) sin x ] 型
( i ) x ( i ) x
P ( x )e P ( x )e , ( i ) x ( i ) x k y P ( x ) e , Q y py qy x me , 1
y py qy
k
0
1 k x [ Q e y y1 y2 x e m
f ( x )常见类型 Pm ( x ), Pm ( x )e ,
x
Pm ( x )e cos x , Pm ( x )e sin x ,
难点： 如何求特解？ 方法：待定系数法.
x
x
x f ( x ) e Pm ( x 型 ) 一、
y py qy f ( x ) (1)
f ( x ) e x [ Pl cos x Pn sin x ] 利用欧拉公式
e
x
[ Pl
e
i x
e i x
2
e Pn
i x
e i x
Pn P l ( ) 2 2i Pl Pn ( i) 2 2
e
e
( i ) x
2i ( i ) x Pl Pn ( ) e 2 2i
*
例1 求方程 y 3 y 2 y xe 2 x 的通解. 解 特征方程 r 3r 2 0,
2
特征根
r1 1， r2 2，
对应齐次方程通解
Y C1 e C 2 e ,
x 2x
*
2 是特征方程的单根
代入方程得
2x e , y x( Ax B )
k
x
0 不是特征根 k 1 是特征单 根 , 2 是特征重根
可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.
y py qy f ( x ) (1)
f ( x ) e Pm ( x )
x
k x Q ( x) , y x e 设 m 例1 求方程 y 3 y 2 y xe 2 x 的通解.
x
设
y
*
x Qm ( x ) e
k
x
) 一、 f ( x ) e Pm ( x 型 y py qy f ( x ) (1) （1）特解为 y * y py qy 0, (2) （2）通解为Y
x
通解结构
y Y y*,
设
注意
y*
x Qm ( x ) e
m max l , n
i x
Qm e i x ]共轭相加虚部抵消
(cos x i sin x )] x k e x [Qm (cos x i sin x ) Qm
y py qy f ( x ) (1)
f ( x ) e [ Pl ( x ) cos x Pn ( x ) sin x ] 型