第21讲第2课时 菱形

第2课时菱形知识点1菱形的定义及性质1．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是(C)A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．邻边互相垂直2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中不一定成立的是(B)A．AB∥DC B．AC＝BDC．AC⊥BD D．OA＝OC第2题图第3题图3．如图，菱形ABCD的周长是8 cm，AB的长是2cm.4．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD.求证：四边形AODE是矩形．证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD.∴∠AOD＝90°.又∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE是矩形．知识点2菱形的判定5．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个条件：答案不唯一，如：AC⊥BD，使得该平行四边形为菱形．6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.求证：(1)△AEF≌△DEB；(2)四边形ADCF是菱形．证明：(1)∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE.∵E是AD的中点，∴AE＝DE.又∵∠AEF＝∠DEB，∴△AEF≌△DEB(AAS)．(2)∵△AEF ≌△DEB ，∴AF ＝DB. ∵D 是BC 的中点，∴DC ＝DB.∴AF ＝DC.∵AF ∥DC ，∴四边形ADCF 是平行四边形．∵在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，D 是BC 的中点，∴AD ＝CD.∴平行四边形ADCF 是菱形．知识点3 菱形的面积7．如图，已知菱形ABCD 的两条对角线长分别为AC ＝8和BD ＝6，那么，菱形ABCD 的面积为24.重难点 菱形的性质与判定(2017·湖北)如图，AE ∥BF ，AC 平分∠BAE ，且交BF 于点C ，BD 平分∠ABF ，且交AE 于点D ，连接CD.(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)若∠ADB ＝30°，BD ＝6，求AD 的长．【思路点拨】 (1)由平行线的性质和角平分线定义得出∠ABD ＝∠ADB ，证出AB ＝AD ，同理：AB ＝BC ，得出AD ＝BC ，证出四边形ABCD 是平行四边形，即可得出结论；(2)由菱形的性质得出AC ⊥BD ，OD ＝OB ＝12BD＝3，再由三角函数即可得出AD 的长．【自主解答】 (1)证明：∵AE ∥BF ， ∴∠ADB ＝∠CBD.又∵BD 平分∠ABF ，∴∠ABD ＝∠CBD. ∴∠ABD ＝∠ADB.∴AB ＝AD. 同理：AB ＝BC ，∴AD ＝BC. 又AE ∥BF ，即AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．又∵AB ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形． (2)∵四边形ABCD 是菱形，BD ＝6， ∴AC ⊥BD ，OD ＝OB ＝12BD ＝3.∵∠ADB ＝30°，∴cos ∠ADB ＝OD AD ＝32.∴AD ＝332＝2 3.【变式训练】如图，在▱ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，过点E作EF⊥BC，交BC延长线于点F.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若∠ABC＝45°，BC＝2，求EF的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD.∴∠ADB＝∠CBD.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.∴∠ADB＝∠ABD.∴AB＝AD.∴四边形ABCD是菱形．(2)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD＝BC＝2.∵AB∥CD，AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∠ECF＝∠ABC＝45°.∴AB＝DE＝2.∴CE＝CD＋DE＝4.∵EF⊥BC，∠ECF＝45°，∴△CEF是等腰直角三角形．∴EF＝CF＝22CE＝2 2.,方法指导1．判定菱形的基本思路：(1)若已知一组邻边相等，则需要证该四边形是平行四边形或四条边都相等；(2)若对角线互相垂直，则需要证明该四边形是平行四边形；(3)若已知四边形是平行四边形，则需要证明一组邻边相等或对角线互相垂直．2．应用菱形性质计算的一般思路：菱形对边平行、对角相等、四边相等，所以在做题时，可利用等量代换来转换为其他边的长；它的对角线相互垂直，故常借助对角线垂直和勾股定理来求线段的长．1．(2017·益阳)下列性质中菱形不一定具有的性质是(C)A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．既是轴对称图形又是中心对称图形2．(2017·长沙)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6 cm，8 cm，则这个菱形的周长为(D) A．5 cm B．10 cm C．14 cm D．20 cm第2题图 第4题图3．(2017·南充)已知菱形的周长为45，两条对角线的和为6，则菱形的面积为(D )A ．2B . 5C ．3D ．4 4．(2017·河北)求证：菱形的两条对角线互相垂直．已知：如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O.求证：AC ⊥BD.以下是排乱的证明过程： ①又BO ＝DO ；②∴AO ⊥BD ，即AC ⊥BD ；③∵四边形ABCD 是菱形； ④∴AB ＝AD.证明步骤正确的顺序是(B ) A ．③→②→①→④B ．③→④→①→②C ．①→②→④→③D ．①→④→③→②5．(2016·齐齐哈尔)如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，请你添加一个适当的条件AC ⊥BD 或∠AOB ＝90°或AB ＝BC 等使其成为菱形．(只填一个即可)第5题图 第6题图6．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60°的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为30°或60°．7．(2017·菏泽)在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，其周长为24 cm ，则菱形的面积为183cm 2. 8．(2017·自贡)如图，点E ，F 分别在菱形ABCD 的边DC ，DA 上，且CE ＝AF.求证：∠ABF ＝∠CBE.证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，∠A ＝∠C.∵在△ABF 和△CBE 中，⎩⎨⎧AF ＝CE ，∠A ＝∠C ，AB ＝CB ，∴△ABF ≌△CBE(SAS )． ∴∠ABF ＝∠CBE.9．(2017·岳阳)求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程． 已知：如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，AC ⊥BD ．求证：四边形ABCD 是菱形．证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴BO＝DO.∵AC⊥BD，∴AC垂直平分BD.∴AB＝AD.∴四边形ABCD为菱形．10．(2017·江西)如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH 的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是(D)A．当E，F，G，H是各边中点，且AC＝BD时，四边形EFGH为菱形B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形11．(2017·南京)如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连接AC，AE，若∠D＝78°，则∠EAC＝27°．提示：由四边形ABCD是菱形可知DA＝DC，又∠D＝78°，∴∠DAC＝∠DCA＝51°，∵AD∥BC，∴∠ACB ＝∠DAC＝51°.∵∠AEB＝∠D＝78°，∴∠EAC＝∠AEB－∠ACB＝27°.12．(2017·广东)如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD＝∠FAD，∠BAD为锐角．(1)求证：AD⊥BF；(2)若BF＝BC，求∠ADC的度数．解：(1)证明：∵四边形ABCD，ADEF都是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝DE＝EF＝FA.又∵∠BAD＝∠FAD，∴AD⊥BF.(2)∵BF ＝BC ，AB ＝AF ＝BC ， ∴△ABF 是等边三角形．∵AD ⊥BF ，∴∠BAD ＝∠FAD ＝30°. ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD.∴∠ADC ＝180°－∠BAD ＝180°－30°＝150°.13．(2017·滨州)如图，在▱ABCD 中，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧交AD 于点F ，再分别以点B ，F 为圆心，大于12BF 的相同长为半径画弧，两弧交于点P ；连接AP 并延长交BC 于点E ，连接EF ，则所得四边形ABEF 是菱形．(1)根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF 是菱形；(2)若菱形ABEF 的周长为16，AE ＝43，求∠C 的大小．解：(1)证明：由作图过程可得：AE 垂直平分BF ，∴BE ＝FE.在△AEB 和△AEF 中，⎩⎨⎧AB ＝AF ，BE ＝FE ，AE ＝AE ，∴△AEB ≌△AEF(SSS )．∴∠EAB ＝∠EAF. ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC.∴∠EAF ＝∠AEB ＝∠EAB. ∴BE ＝AB ＝AF. 又∵AF ∥BE ，∴四边形ABEF 是菱形． (2)连接BF ，交AE 于G.∵菱形ABEF 的周长为16，AE ＝43，∴AB ＝BE ＝EF ＝AF ＝4，AG ＝12AE ＝23，∠BAF ＝2∠BAE ，AE ⊥BF.在Rt △ABG 中，∠AGB ＝90°， ∴cos ∠BAG ＝AG AB ＝234＝32.∴∠BAG ＝30°.∴∠BAF ＝2∠BAE ＝60°.又∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠C ＝∠BAF ＝60°.。