第十六章分式
第十六章分式复习
第十六章分式知识点和典型例习题第一讲 分式的运算【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc daa c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法:b d bd ac ac ∙=,b c b d bda d a c ac ÷=∙= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m )n = a mn7.负指数幂: a -p =1pa a 0=18.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2- b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：y x yx y x y x ba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+x x（3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 1-题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x（2）42||2--x x （3）653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x 为何值时，分式x-84为正； （2）当x 为何值时，分式)1(35-+-x x 为负；（3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.（二）分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质：M B MA MB M A B A ÷÷=⨯⨯= 2．分式的变号法则：bab a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）y x yx 41313221+- （2）ba ba +-04.003.02.0题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）y x yx --+- （2）b a a --- （3）b a ---题型三：化简求值题【例3】已知：511=+y x ，求yxy x yxy x +++-2232的值.提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出yx 11+. 【例4】已知：21=-x x ，求221xx +的值. 【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.（三）分式的运算1．确定最简公分母的方法： ①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂. 2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂. 题型一：通分【例1】将下列各式分别通分. （1）cb ac a b ab c 225,3,2--； （2）a b b b a a 22,--；（3）22,21,1222--+--x x x x xx x ； （4）aa -+21,2题型二：约分【例2】约分： （1）322016xy y x -； （2）n m m n --22； （3）6222---+x x x x .题型三：分式的混合运算【例3】计算：（1）42232)()()(abc ab c c b a ÷-⋅-；（2）22233)()()3(xy x y y x y x a +-÷-⋅+；（3）112---a a a（4）mn mn m n m n n m ---+-+22；（5） 2121111x x x ++++- （6）)12()21444(222+-⋅--+--x x x x x x x（四）、整数指数幂与科学记数法题型一：运用整数指数幂计算【例1】计算：（1）3132)()(---⋅bc a（2）2322123)5()3(z xy z y x ---⋅（3）24253])()()()([b a b a b a b a +--+--（4）6223)(])()[(--+⋅-⋅+y x y x y x题型二：科学记数法的计算【例3】计算：（1）223)102.8()103(--⨯⨯⨯；（2）3223)102()104(--⨯÷⨯.第二讲 分式方程（一）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程 （1）x x 311=-；（2）0132=--x x ；（3）114112=---+x x x ；提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根.题型二：求待定字母的值【例4】若关于x 的分式方程3132--=-x mx 有增根，求m 的值.【例5】若分式方程122-=-+x ax 的解是正数，求a 的取值范围. 提示：032>-=ax 且2≠x ，2<∴a 且4-≠a .（三）分式方程求待定字母值的方法例1．若分式方程xmx x -=--221无解，求m 的值。
人教版数学八年级下册第十六章分式
分式1. 分式的概念（1）如果A 、B 表示两个整式，且B 中含有字母，那么式子A B叫做分式。
（2）分式与整式的区别： 分式的分母中含有字母,整式的分母中不含有字母。
例：()7m n p +为整式，m n c为分式。
2. 分式有意义 分式的分母不能为0，即A B中，0B ≠时，分式有意义。
（因为分母表示除数，除数不能为0）3. 分式的值为0的条件分子为0，且分母不为0，对于A B，即00A B =≠⎫⎬⎭时，0AB=. 4. 分式（数）的基本性质分式（数）的分子、分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式（数），分式（数）的值不变。
,A A M A A M B B MB B M⋅÷==⋅÷（M 为≠0的整式）5. 分式通分应注意（1）通分的依据是分式的基本性质。
（2）通分后的各分式的分母相同。
（3）通分后的各分式分别与原来的分式相等。
（4）通分的关键是确定最简公分母。
（5）分式的通分与分数的通分类似。
6. 分式通分的步骤 （1）确定最简公分母①取各分母系数的最小公倍数。
②凡出现的字母（或含字母的式子）为底的幂的因式都要取。
③相同字母（或含字母的式子）的幂的因式取指数最大的。
④当分母中有多项式时，要先将多项式分解因式。
（2）将各分式化成相同分母的分式。
7. 分式的约分（1）约分的依据：分式的基本性质 （2）约分后不改变分式的值。
（3）约分的结果：使分子、分母中没有公因式，即化为最简分式。
8. 分子的变号规则 分式的分子、分母及分式本身的符号改变其中任意两个，分式的值不变。
用式子表示为：9. 分式的乘除法则乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作积的分子，用分母的积作积的分母。
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
10. 分式的乘方分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即nnna ab b =⎛⎫ ⎪⎝⎭11. 分式的加减（1）同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
第十六章分式-精选.ppt
a n b
a n b n.
分式的乘方法则：
分式的乘方,把分子分母分别乘方.
•
a 即：
是正整数）
例题2:
(1)
( 3x )2 2y
(3x)2 32x2 (2y)2 22y2
9x2 4y2
(2)
(ab)3 2c
(ab )3
2c
(ab )3 (2c)3
a3b3 8c3
(am)n a mn (ab)n anbn
a a a n中的 可以是数,也可以是整式,那
可不可以是一个分式呢?即两个整式的商
n 的次 方? 即
( a )n
?
b
动脑筋
填一填：
a2 b
ba
ba
ba
2
2
;
a3 b
ba
a
b
ba
ba 33 ;
b a 4ba
ba
ba
ba
ba 44
;
猜想
利用率（易拉罐总体积与纸箱容积的比，结果精确到
1%）.解 设易拉罐的底面半径为r由题意得，易拉罐的总数为
l b 2r 2r
lb 4r2
（个）
由于纸箱的高度与易拉罐的高度相等，因此易拉罐
所占空间的总体积与纸箱的容积之比为
4 lr 2 b •r2• h lb • h l 4 r b • 2• r l2 b • • h h 4 7% 9 l
(3)
( xy )3 xy
(xy)
3
x3y3
(xy)3 (xy)3
例3:计算
(1)
2a2b 3c
2
(2) ac2bd33d2a3 •2ca2
(1)( 2x4 y2 )2 3z
华师版八下数学第16章分式知识归纳
华东师大版八年级下册数学第16章 分式§16.1分式及基本性质一、分式的概念1、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。
2、对于分式概念的理解，应把握以下几点：（1）分式是两个整式相除的商。
其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式；（3）分母不能为零。
3、分式有意义、无意义的条件（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0；（2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。
4、分式的值为0的条件：当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。
即，使BA =0的条件是：A=0，B ≠0。
5、有理式整式和分式统称为有理式。
整式分为单项式和多项式。
分类：有理式单项式：由数与字母的乘积组成的代数式；⎪⎩⎪⎨⎧−→−⎩⎨⎧分式多项项单项式整式多项式：由几个单项式的和组成的代数式。
二、分式的基本性质1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
用式子表示为：A B = A ·M B ·M= A÷M B÷M ，其中M （M ≠0）为整式。
2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。
确定最简公分母的一般方法是：（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。
（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。
3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
第十六章分式的基本性质
16、 1、2分式的基本性质（1）学习目标：1、能类比分数的基本性质，推出分式的基本性质。
2、 理解并掌握分式的基本性质，能进行分式的等值变形。
3、 通过类比分数的基本性质，推出分式的基本性质，在学生已有数学经验 的基础上，提高学生学数学的乐趣。
重点：分式的基本性质及其应用。
难点：利用分式的基本性质，判断分式是否有意义。
一、 预习新知：1、 小学里学过的分数的基本性质的内容是什么？2 22、 分解因式（1）x -2x（ 2）3x +3xy 23、 计算：（1） b （a+b ） （2）（ 3x +3xy ）- 3x4、 你能通过小学里学过的分数的基本性质猜想分式的基本性质吗？试一试。
5、 自主探究：P 5的“思考”。
归纳：分式的基本性质： _____________________________________________________________ 用式子表示为 __________________________________________________________ 。
二、 课堂展示：1、例1、p 5的“例2”2、例2、下列分式的变形是否正确？为什么?3、例3、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“一”号:2a-©b匸 的分子与分母各项的系数化为整数。
(1) a -2b (2) -2x 3y (3)钊 -4n (4)— -4m 5n (1)xy 2 a —b ⑵THb (a-b)2 a 2 -b 24、例4、不改变分式的值，使分式三、随堂练习: 1、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“一”号: -3x / c 、 2x(1) 、( 2) 、(3)— -3b 2y -2a6x(y z)2 —3( y z) y z 四、课堂检测:1、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“一”号/八-2m a (1) = 、(2) 2 - 。
n -b 23、若把分式一丄 中的x 、y 都扩大3倍，那么分式的值是 ______________________x —y4、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数化为正数。
第16章 分 式
知识点 分式的加减
(1)某人用电脑录入汉字文稿的速度相当于手抄的3倍,设他手抄的速度为a字/时,
那么他录入3000字文稿比手抄少用
小时.
所以这个人录入3000字文稿比手抄少用
小时.本题中的同分母分式的加减可以类比同分母分数的加减进行哟!
知识点 分式的加减
(2)甲、乙两地相距s千米,汽车从甲地到乙地按每小时v千米的速度行驶,可按时
知识点 分式方程
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航
行100千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,根
据题意我们可以列方程求江水的流速v,
.这种方程就是分
式方程.
知识点 分式方程的解法
在创建“国家卫生城市”的活动中,市园林公司加大了对市区干道两旁植“
景观树”的力度,平均每天比原计划多植5棵,现在植60棵所需的时间与原
知识点 分式有(无)意义或等于零的条件
已知甲、乙两城市之间的路程为s km.如果A车的速度为a km/h,B
车比A车每小时车速度为30 km/h时,这个分式的分母为0,则此问题
没有意义啦!
知识点 分式的基本性质
欢欢有m本课外书,乐乐有n本课外书,这时欢欢的课外书数量是乐乐课外书数量
到达.若每小时多行驶a千米,则可提前
小时到达.将式子进行分式加减
计算得
.这就用到了异分母分式的减法运算.
知识点 分式的混合运算
采摘冬枣工作,甲采摘队单独完成需a小时,乙采摘队单独完成需b小时,
利用分式的混合运算,可求甲、乙两采摘队合作完成需要
1÷
(小时).
第16章 分 式
16.3 可化为一元一次方程的分式方程
到
华师版八下数学第16章分式知识归纳
华东师大版八年级下册数学第16章 分式§16.1分式及基本性质一、分式的概念1、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。
2、对于分式概念的理解，应把握以下几点：（1）分式是两个整式相除的商。
其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式；（3）分母不能为零。
3、分式有意义、无意义的条件（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0；（2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。
4、分式的值为0的条件：当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。
即，使BA =0的条件是：A=0，B ≠0。
5、有理式整式和分式统称为有理式。
整式分为单项式和多项式。
分类：有理式单项式：由数与字母的乘积组成的代数式；⎪⎩⎪⎨⎧−→−⎩⎨⎧分式多项项单项式整式多项式：由几个单项式的和组成的代数式。
二、分式的基本性质1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
用式子表示为：A B = A ·M B ·M= A÷M B÷M ，其中M （M ≠0）为整式。
2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。
确定最简公分母的一般方法是：（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。
（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。
3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
人教版数学八年级下《第16章分式》ppt课件
(1)求第一批购进书包的单价是多少元;
(2)若商店销售这两批书包时,每个售价都是120元,全部售出后,商店共赢利 多少元?
解:(1)设第一批购进书包的单价是x元,则
2000 6300 ×3= ,解得x=80. x x4
经检验,x=80是原方程的根. 答:第一批购进书包的单价是80元. (2) ×(120-80)+ ×(120-84)=1 000+2 700=3 700(元). 答:商店共赢利3 700元.
2000 80 6300 84
方法二:由已知条件,得x2+x=3.
3 x 2 x3 3 x( x 2 x) 所以 = x 1 x 1
3 3x 3( x 1) = = =-3. x 1 x 1
答案:-3
跟踪训练 GENZONGXUNLIAN
1 1.已知x -3x+1=0,则x + 2 = x
通过这段对话,请你求出该地驻军原来每天加固的米数.
分析:设原来每天加固x米,则加固了600米后,每天加固2x米,加固了(4 800-6 00)米.
解:设原来每天加固x米,根据题意,得
600 4800 600 + =9, x 2x
去分母,得1 200+4 200=18x(或18x=5 400),
2 2
.
解析:因为x2-3x+1=0,x≠0, 所以x-3+ =0,即x+ =3.
1 1 2 x 所以x2+ = 2=3 -2=7. 2 x x
1 x 1 x
Hale Waihona Puke 2答案:7二、分式方程的实际应用
【例2】 进入防汛期后,某地对河堤进行了加固.该地驻军在河堤加固的工 程中出色地完成了任务.这是记者与驻军工程指挥官的一段对话:
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快乐假期专题复习（一）
考点一 识别出分式
知识 分式的定义：式子为
B
A
的形式.A 、B 都是整式，并且B 中都含有字母 1.下列各式中是分式的有 。
①9x+4， ②x
7 , ③20
9y +, ④5
4-m , ⑤2
38y y -， ⑥91
-x ⑦
y x 72+ 考点二 指出分式有意义或无意义时字母的取值范围 知识 分式
B A 有意义只要满足 ，若分式B
A
无意义只要满足 。
2． 当x______时，
1
1
+x 有意义 考点三 指出分式的值为零时字母的取值 知识 分式
B
A
＝0必须同时满足两个条件① ② 3．若分式1
1
2+-x x 的值为零,则x 的值是( )
A.1或-1
B.1
C.-1
D.0
考点四 识别出最简分式
知识 分子与分母没有公因式的分式叫最简分式。
也就是分子与分母不能再约分。
4. 分式:①
223a a ++,②22a b a b --,③412()
a
a b -,④12x - ⑤22b a b a ++⑥22+x 中,最简分式有 个
考点五 了解负整数指数幂的意义 知识 当n 是正整数时，n
a
-=n a
1
（a ≠0 ，0
0无意义）
5． -3
-3
= (-3) -3
=
()
3
21b 2a --=
考点六 用科学记数法表示绝对值小于1的小数 知识 科学记数法表示为n a 10⨯，101〈≤a ，n 为整数
6. 用科学计数法表示
132000000= 0.0012= -0.000 305=
考点七 分式的基本性质
知识 一个分式的分子、分母同乘（或除以）一个不为0的 ，分式的值不变。
7、如果把分式
10x
x y
+中的X 、Y 都扩大10倍，则分式的值是（ ） A 、扩大100倍
B 、扩大10倍
C 、不变
D 、缩小到原来的
110
考点八 找最简公分母
方法：一般取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积。
分母是多项式要先因式
分解
8．
c ab b a b a 2322-与的最简公分母是 x x x --21和x
x x +-21
的最简公分母是 考点九 简单分式的加减乘除四则运算 知识1 分式的乘除法法则：
和分数的乘法与除法法则一样。
只是分子、分母是多项式时，要先分解因式，再进行约分.
9．请从下列三个代数式中任选两个构造一个分式，并化简该分式．
2a ab b b ab --1， ， +
知识2 分式的加减法则：同分母分式相加减：分母不变，分子相加减。
异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减。
10. 学完分式运算后，老师出了一道题“化简：
23224
x x
x x +-++-” 小明的做法是：原式22222
2(3)(2)2628
4444
x x x x x x x x x x x +--+----=-==----； 小亮的做法是：原式2
2
(3)(2)(2)624x x x x x x x =+-+-=+-+-=-； 小芳的做法是：原式32313112(2)(2)222
x x x x x x x x x x +-++-=
-=-==++-+++． 其中正确的是（ ）
A ．小明
B ．小亮
C ．小芳
D ．没有正确的
知识3 混合运算顺序是 ；
注意： 运算的结果要
11. 先化简，再选择一个你喜欢的数代入求值：2
11
1x x x -⎛⎫+÷ ⎪⎝⎭
考点十 解可化为一元一次方程的分式方程
知识 通过去分母将分式方程化为整式方程。
整式方程的解有可能使原分式方程中分母为
0.这个解不是原分式方程的解。
所以解分式方程一定要检验。
12. 解方程：
① 23
=
13
x x -- ②x x 1821320=+
③3215122=-+-x x x ④13
321++=+x x
x x
考点十一利用分式方程解简单的实际问题
13. 轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等，已知水流速
度为2千米/时，求船在静水中的速度是多少？
14. 面对全球金融危机的挑战，我国政府毅然启动内需，改善民生．国务院决定从2009年2月1日起，“家电下乡”在全国范围内实施，农民购买人选产品，政府按原价购买总额的
．．．
．．．．．13%给予补贴返还．某村委会组织部分农民到商场购买人选的同一型号的冰箱、电视机两种家电，已知购买冰箱的数量是电视机的2倍，且按原价购买冰箱总额为40000元、电视机总额为15000元．根据“家电下乡”优惠政策，每台冰箱补贴返还的金额比每台电视机补贴返还的金额多65元，求冰箱、电视机各购买多少台？
（2）列出方程（组）并解答．。