单元测评(三)

单元测评(三) 导数应用第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)解析：令g (x )＝f (x )－2x －4，则 g ′(x )＝f ′(x )－2＞0. ∴g (x )在R 上递增．又∵g (－1)＝f (－1)－2(－1)－4＝0. ∴g (x )＞0⇔x ＞－1.故选B. 答案：B2．函数y ＝ax 3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( ) A ．a ＝13 B ．a ＝1 C ．a ＝2D ．a ≤0 解析：y ′＝3ax 2－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立．当a ≤0时，y ′≤－1<0满足题意．答案：D3．已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3.那么此函数在[－2,2]上的最小值为( )A ．－37B ．－29C ．－5D ．5解析：令f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)＝0，则x＝0或x＝2，又f(－2)＝m－40，f(0)＝m，f(2)＝m－8.∴最大值为f(0)＝3，即m＝3.∴最小值为－37.答案：A4．已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图像如图，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图像可能是()A BC D解析：由f′(x)＞0及f′(x)的值随x增大出现先快后慢递减的趋势知，y＝f(x)的图像递增且每点处的切线斜率逐渐变小，故y＝f(x)的图像递增的方式应是先快后慢；由g′(x)＞0及g′(x)的值随x增大出现先慢后快的递增趋势知，y＝g(x)的图像递增且每点处的切线斜率逐渐增大，故y＝g(x)的图像的递增方式应是先慢后快．又由f′(x0)＝g′(x0)知，y＝f(x)与y＝g(x)在x0处的切线斜率应相等，故选D.答案：D5．如果函数y＝1－x3＋x2在x＝t时取得极小值，那么t＝()A．3 B．1 C．－1 D．－3解析：∵y＝1－x3＋x2，∴y′＝－3－x2－(1－x)×2x(3＋x2)2＝x2－2x－3(3＋x2)2.∵当x＜－1或x＞3时，y′＞0，当－1＜x＜3时，y′＜0，∴当t＝3时，y取得极小值．故选A.答案：A6．函数f(x)在其定义域内可导，y＝f(x)的图像如下图所示，则导函数y ＝f′(x)的图像为()ABCD解析：观察y＝f(x)的图像可知，单调性是：增→减→增，相应导函数f′(x)变化情况是正→负→正．答案：D7．函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在x ＝1a 处有极值，则ac ＋2b 的值为( )A ．－3B ．0C ．1D ．3解析：f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题意知f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝0，即3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋2b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋c＝0，∴3a ＋2ba ＋c ＝0，∴2b ＋ac ＝－3. 答案：A8．已知曲线f (x )＝x n (n 为正偶数，x ∈R )，若f ′(2a )＝n ，则以a －a 为半径的球的表面积为( )A ．16πB ．8πC ．πD ．82π解析：f ′(x )＝nx n －1，∴f ′(2a )＝n (2a )n －1＝n . ∴a ＝12.∴a －a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＝ 2.∴球的表面积为S ＝4π(2)2＝8π. 答案：B9．已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )，若函数f (x )＝a·b 在区间(－1,1)上是增函数，则实数t 的取值范围是( )A ．t ＜5B ．t ＞5C ．t ≤5D ．t ≥5解析：f (x )＝a·b ＝x 2(1－x )＋(x ＋1)t ＝x 2－x 3＋tx ＋t ，∴f ′(x )＝2x －3x 2＋t . ∵f (x )在(－1,1)上为增函数， ∴f ′(x )≥0，即t ≥3x 2－2x . 令g (x )＝3x 2－2x ＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －132－13. 在x ∈(－1,1)时，g (x )＜g (－1)＝5， ∴t ≥5. 答案：D10．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( ) A ．f (0)＋f (2)＜2f (1) B ．f (0)＋f (2)＜2f (1) C ．f (0)＋f (2)≥2f (1) D ．f (0)＋f (2)＞2f (1)解析：当x ≥1时，f ′(x )≥0，函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数；当x ＜1时，f ′(x )≤0，f (x )在(－∞，1)上是减函数，故f (x )当x ＝1时取最小值，即有f (0)≥f (1)，f (2)≥f (1)，得f (0)＋f (2)≥2f (1)．答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．已知函数f (x )＝kx 3＋3(k －1)x 2－k 2＋1(k ＞0)的单调减区间是(0,4)，则k 的值是__________．解析：f ′(x )＝3kx 2＋6(k －1)x ＝3kx ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2k －2k ， ∵函数的单调递减区间为(0,4)， ∴－2k －2k ＝4，解得k ＝13. 答案：1312．周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为__________．解析：设矩形的一边长为x cm，则另一边长为(10－x) cm，0＜x＜10，则V＝π(10－x)2·x＝πx3－20πx2＋100πx，令V′＝3πx2－40πx＋100π＝0，得x＝103或x＝10(舍)，则V(x)max＝V⎝⎛⎭⎪⎫103＝4 000π27(cm3)．答案：4 000π27cm313．如图，函数f(x)的图像是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝__________；函数f(x)在x＝1处的导数f′(1)＝__________.答案：2－214．已知函数f(x)＝x3＋x对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)＜0恒成立，则x的取值范围是__________．解析：函数f(x)＝x3＋x在R内是奇函数且为增函数，又f(mx－2)＋f(x)＜0，∴f(mx－2)＜－f(x)＝f(－x)．∴mx－2＜－x在m∈[－2,2]恒成立．即(m＋1)x－2＜0在m∈[－2,2]恒成立．即令g (m )＝(m ＋1)x －2，则⎩⎪⎨⎪⎧g (－2)＜0，g (2)＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧(－2＋1)x －2＜0，(2＋1)x －2＜0，即－2＜x ＜23. ∴x 的取值范围是－2＜x ＜23. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)已知函数f (x )的图像与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图像关于点A (0,1)对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋ax ，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围．解：(1)设f (x )图像上任一点坐标为(x ，y )，点(x ，y )关于点A (0,1)的对称点(－x,2－y )在h (x )图像上．∴2－y ＝－x ＋1－x ＋2，∴y ＝x ＋1x ，即f (x )＝x ＋1x .(6分) (2)g (x )＝x ＋a ＋1x ，∵g ′(x )＝1－a ＋1x 2，g (x )在(0,2]上递减， ∴1－a ＋1x 2≤0在x ∈(0,2]时恒成立．即a ≥x 2－1在x ∈(0,2]时恒成立． ∵x ∈(0,2]时，(x 2－1)max ＝3，∴a ＞3. 又∵a ＝3时，g ′(x )＝1－4x 2不恒为0， g (x )在(0,2]上是减函数，∴a ≥3.(12分)16．(12分)用总长为14.8米的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制的容器的底面的长比宽多0.5米，那么高为多少时容器的容器最大？并求出它的最大容积．解：设容器底面宽为x m ， 则长为(x ＋0.5)m ，高为(3.2－2x )m.由⎩⎪⎨⎪⎧3.2－2x ＞0，x ＞0，解得0＜x ＜1.6. 设容器的容积为y m 3，则有y ＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x ， (6分)y ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6，令y ′＝0，即－6x 2＋4.4x ＋1.6＝0， 解得x ＝1或x ＝－415(舍去)．(8分)∵在定义域(0,1.6)内只有一个点x ＝1使y ′＝0， 且x ＝1是极大值点，∴当x ＝1时，y 取得最大值为1.8. 此时容器的高为3.2－2＝1.2 m.因此，容器高为1.2 m 时容器的容积最大，最大容积为1.8 m 3.(12分) 17．(12分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2的图像经过点M (1,4)，曲线在点M 处的切线恰好与直线x ＋9y ＝0垂直．(1)求实数a ，b 的值；(2)若函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增，求m 的取值范围． 解：(1)∵f (x )＝ax 3＋bx 2的图像经过点M (1,4)． ∴a ＋b ＝4.①又f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，则f ′(1)＝3a ＋2b ，由条件f ′(1)(－19)＝－1，得3a ＋2b ＝9.②由①、②解得a ＝1，b ＝3.(6分) (2)f (x )＝x 3＋3x 2，f ′(x )＝3x 2＋6x ， 令f ′(x )＝3x 2＋6x ≥0得x ≥0或x ≤－2， 若函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增， 则[m ，m ＋1]⊆(－∞，－2]∪[0，＋∞)， ∴m ≥0或m ＋1≤－2，即m ≥0或m ≤－3. ∴m 的取值范围是(－∞，－3]∪[0，＋∞)． (12分)18．(14分)已知函数f (x )＝12x 2＋P ln x (P ∈R ，P ≠0)，g (x )＝23x 3. (1)求f (x )的单调区间；(2)当P ＝1时，试确定x 的取值范围，使函数f (x )的图像在函数g (x )的图像的下方．并证明．解：(1)f (x )＝12x 2＋P ln x ，∴f ′(x )＝x ＋Px . 函数f (x )的定义域是(0，＋∞)， ①当P ＞0时，f ′(x )＝x ＋Px ＞0， ∴函数f (x )只有单调递增区间(0，＋∞)．11 高中·北师大版·数学·选修2-2②当P ＜0时，由f ′(x )＝x ＋P x ＞0，得x ＞－P .由f ′(x )＝x ＋P x ＜0，得0＜x ＜－P .∴当P ＜0时，函数f (x )的单调递增区间为 (－P ，＋∞)，函数f (x )的单调递减区间为(0，－P )．(7分)(2)构造函数F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋ln x －23x 3，x ∈(0，＋∞)．则F ′(x )＝x ＋1x －2x 2＝(1－x )(1＋x ＋2x 2)x .当x ＞1时，F ′(x )＜0，即F (x )在(1，＋∞)上是单调递减函数，当0＜x ＜1时，F ′(x )＞0，即F (x )在(0,1]上是单调递增函数，∴F (x )在x ＝1处取得极大值也是最大值－16.又∵F (1)＝－16＜0，∴F (x )在(0，＋∞)上恒小于零，即f (x )＜g (x )．∴当x ∈(0，＋∞)时，函数f (x )的图像在函数g (x )的图像的下方．(14分)。