江苏省高三数学10次周练试卷
高三年级第10次周练数学(附答案)
7 8 9 9 4 4 6 4 73 江苏省高三年级第十次周练 数 学 试 卷必做题部分（满分160分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填在答题纸的相应的横线上）1.已知集合，定义，则集合的所有真子集的个数为 ▲ .2．复数的实部与虚部相等，则实数= ▲3．抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点为二次函数的图象的顶点，则此抛物线的方程为 ▲ .4．一个靶子上有10个同心圆，半径依次为1、2、……、10，击中由内至外的区域的成绩依次为10、9、……、1环，则不考虑技术因素，射击一次,在有成绩的情况下成绩为10环的概率为 .5. 按右图所示的程序框图运算，若输入，则输出= ▲ ．6．首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是 ▲ ． 7．右图是中央电视台举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个 最低分后，所剩数据的平均数为 ▲ ，方差分别为 ▲ 。
8. ▲ ；9．设函数，，数列满足，则数列的前项和等于 ▲ ；10．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A 在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则P 到平面的距离可能是： ①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7以上结论正确的为__ ▲ __（写出所有正确结论的编号）11．若实数满足，在平面直角坐标系中，此不等式组表示的平面区域的面积是 ▲ .{4,5},{1,2}P Q =={|,,}P Q x x p q p P q Q ⊕==-∈∈P Q ⊕)2)(1(i ai -+a 221y x x =++8x =tan 20tan 403tan 20tan 40︒+︒+︒︒=21123()n n f x a a x a x a x-=++++1(0)2f ={}na 2(1)()n f n a n N *=∈{}n a n nS ααααx y ，22120x y x x y x ⎧⎪⎨⎪++⎩，，-4≤≤≥ ABCDA1B1C1 D1第10题图α12．有一道解三角形的题目，因纸张破损有一个条件模糊不清，具体如下：“在△ABC 中，已知， ▲ ，求角A.”经推断，破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示.试在横线上将条件补充完整.13.设M 是 m 、n 、p 分别是的最小值 ▲ ．14. 我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得线段的比都为k ，那么甲的面积是乙的面积的k 倍.你可以从给出的简单图形①、②中体会这个原理.现在图③中的曲线分别是与，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为 ▲ .二、解答题：本大题6小题，共90分，解题时要写出必要的文字说明、解题步骤.15（本小题满分14分）已知函数是的导函数。
江苏省扬州中学2022-2023学年高三上学期10月双周练 数学试题答案
2022-2023学年第一学期高三数学10月双周练参考答案一、单选题：C B D C A B D C 二、多选题：ABC AD AB ABC三、填空题：-2-3π22ln ;10e a <<四、解答题：17.（1）不等式|op|<3的解集为(−1,5)，即−3<B +2<3．可得：−5<B <1，∵不等式的解集为(−1,5)，显然<0，解得=−1，op =−+2，不等式op ⩾1可写成，K1K2⩽0，解得，∈[1，2)，即=[1，2)；（2）∵函数op =log 2(B 2−2+2)的定义域为，且∩≠∅，∴问题等价转化为：不等式B 2−2+2>0在[1，2)上有解，分离参数得，>2(−12+1)，其中1∈(12，1]，所以，>[2(−12+1)]m ，由于，−12+1=−(1−12)2+14∈[0，14)，所以，0的取值范围为：(0,+∞)．18.（1）由图象可知，的最小正周期=4×−=s 所以=2=2.因为在=512处取得最大值，所以2×512+=2+2B,∈Z,又|U <，所以=−3，因为=−1,所以=2，所以=2sin 2令−2+2B⩽2−3⩽2+2B ，∈Z 得：−12+B⩽N 512+B ，∈Z所以op 的单调增区间为[−12+B,512B]，(∈Z).（2）由题可知=2sin 2−2是奇函数，所−2−3=B,∈Z ，解得=−6−B 2,又0<<2，所以=3，此时=−2sin2，因为命题“∃∈op −≥0”是假命题，所以命题“∀∈op −<0”是真命题，即>−2sin2，因为2∈3−2sin2∈−2,3所以≥3，即a 的取值范围3,+∞.19.(1)设BC x =,在ABC 中,由余弦定理2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠得:22228222cos 3x x π=+-⋅⋅⋅,即2 2240x x +-=而 0x >,解得4x =,所以4BC =,则ABC 的面积113sin 24222S ABC AB BC ABC =⋅⋅∠=⋅⋅=,梯形ABCD 中,//,AB GD ABC 与ADC 等高,且52ABCD =,所以ADC 的面积52ABCADC S S ==,则梯形ABCD的面积ABC ADC S S S =+=.(2)在梯形ABCD 中,设ABD α∠=,而AC BD ⊥,则2,,,236BDC BAC DBC BCA πππαααα∠=∠=-∠=-∠=-,在ABC 中,由正弦定理sin sin AB BC BCA BAC =∠∠得:2sin sin 62BCππαα=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,在BDC 中,由正弦定理sin sin CD BC DBC BDC =∠∠得:52sin sin 3BCπαα=⎛⎫- ⎪⎝⎭,两式相除得:3122sin 2sin 22sin sin 3cos 315sin sin 6222παααααππααα⎛⎫⎛⎫⋅+ ⎪- ⎪⎝⎭=⇒⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,整理得227sin0ααα--=,即2tan 7tan 0αα--=,解得tan 3α=或tan 5α=-,因为,62ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则23tan 3α=,即23tan 3ABD ∠=.20.21.（1）当直线OP 的斜率为1时，联立方程22y xy px =⎧⎨-⎩，解得()2,2P p p ，此时2242POC pS ⨯==△，解得2p =，∴抛物线P 的方程为24y x =．（2）设()00,P x y ，()0,M m ，()0,N n ，由题意知04x >，则直线PM ：00y my x m x -=+，即()0000y m x x y mx --+=．∵直线PM 与圆C 相切，∴()()()00220022y m mx d y m x -+==-+-，∴()()()222220000004444y m m x mx y m y m x -++-=-+()20004440x m y m x ⇒-+-=同理可得：()20004440x n y n x -+-=．∴m 、n 是方程()20004440x x y x x -+-=的两个根，zyx。
江苏省启东中学2022-2023学年高三上学期数学周练试题
江苏省启东中学2020级高三上学期数学周练（1）一、单项选择题（本大题共8小题，共40分）1．从集合{1,2,3}U =的非空子集中随机选择两个不同的集合A ，B ，则{1}A B ⋂=的概率为（ ） A ．421B ．542 C ．17D ．5562．若3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，sin 2α=（ ）A ．2425-B ．725-C ．2425D ．7253．复数z 满足20211iz i=+，则12z -=（ ）A ．12iB ．1C ．12D 2 4．已知14sin 4,ln 4,4a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b c a <<5．函数2()1cos e 1x f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．6．双曲线C ：2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ）.A ．25B ．45C 25D 457．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，N 为BC 的中点.当点M 在平面11DCC D 内运动时，有//MN 平面1A BD ，则线段MN 的最小值为（ ）A ．1B 6C 2D 38．已知12x <时，有()21124212nx x x x =-+-+-++，根据以上信息，若对任意12x <都有()()220125112n n x a a x a x a x x x =+++++-+，则10a =( )A ．245B ．246C ．247D ．248二、多项选择题（本大题共4小题，共20分）9．关于函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，有如下命题，其中正确的有（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的图象关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．()f x 的图象关于直线3x π=对称D ．()f x 在54,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 10．甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以1A ，2A 和3A 表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B 表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ） A ．1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件 B ．事件1A 与事件B 相互独立 C ．()2311P B A =D ．()25P B =11．已知抛物线M ：24y x =，圆N ：()()22210x y r r -+=>，过点()1,0的直线l 与圆N 交于C ，D 两点，交抛物线M 于A ，B 两点，则满足AC BD =的直线l 有三条的r 的值有（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．()f x 是定义在R 上的函数，若()2f x x +是奇函数，()f x x -是偶函数，函数()()[]()(),0,121,1,f x x g x g x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩，则（ ）A ．当()1,2x ∈时，()2264g x x x -+-=B ．当()2,3x ∈时，()242020x g x x =-+-C ．()2124212k g k N k g *+⎛⎫ ⎪⎝⎭=∈-⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1212124nk nk g =--⎛⎫=⎪⎝⎭∑ 三、填空题（本大题共4小题，共20分）13．某办公楼前有7个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车辆停放，恰有两辆车停放在相邻车位的概率是__________．14．抛物线具有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．如图，抛物线方程为22(0)y px p =>，一平行x 轴的光线射向抛物线上的点P ，反射后经过抛物线的焦点F 射向抛物线上的点Q ，再反射后又沿平行x 轴方向射出．若抛物线的方程为24y x =，则在每次反射过程中，与x 轴平行的两条光线间的最小距离为__________．15．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB ＝AD ＝2，13AA =，1160DAB DAA BAA ∠=∠=∠=︒，点E 是AB 中点，则异面直线1AC 与DE 所成角余弦值是______．{}n a 各项都是16．已知数列正数，且211n n n a a a ++=-，若{}n a 是递增数列，则1a 的取值范围是_______.若123a =，()111n nn b a +-=-，且12320201k b b b b k <++++<+，则整数k =_______.四、解答题（本题共6小题，共70分）17．在ABC 中，2ABC ACB ∠=∠，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点D . （1）若58AB AC =，求cos DCB ∠的值； （2）若AB CD =，求BDC ∠的大小.18．设数列{}n a 为等比数列，且252,16a a ==，数列{}n b 满足10b =且()12n n b b n n *++=∈N .（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若,n n n n c a b T =⋅是{}n c 的前n 项和，求n T .19．如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为4，1A BC 的面积为22．第14题第15题（1）求A 到平面1A BC 的距离；（2）设D 为1A C 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ， 求二面角A BD C --的正弦值．20．冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线MN 的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O 的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆O 中，得3分，冰壶的重心落在圆环A 中，得2分，冰壶的重心落在圆环B 中，得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为13，14；甲、乙得2分的概率分别为25，12；甲、乙得1分的概率分别为15，16．（1）求甲、乙两人所得分数相同的概率；（2）设甲、乙两人所得的分数之和为X ，求X 的分布列和期望．21．已知点()2,0A -，()2,0B ，动点(),R x y 满足直线AR 与BR 的斜率之积为14-.记R 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）设经过点()1,0Q 的直线l 交曲线C 于M ，N 两点，设直线BM ，BN 的斜率为1k ，2k ，直线AM 与直线BN 交于点G .①求12k k 的值； ①求证点G 在定直线上.22．已知函数()()ln 2xf x e ax a R =--∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；第19题（2）当2a =时，求函数()()ln 2cos g x f x x =+-在,2π⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上的零点个数．。
高三数学上学期周练试卷(十)文(含解析)-人教版高三全册数学试题
2014-2015学年某某省某某外国语学校高三（上）周练数学试卷（文科）（十）一.选择题1．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．下列说法正确的是（）A．若a∈R，则“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件B．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件C．若命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题D．命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3＞0”3．设S n是等差数列a n的前n项和，若，则=（）A．B．C．D．4．若△ABC为锐角三角形，则下列不等式中一定能成立的是（）A．log cosC＞0 B．log cosC＞0C．log sinC＞0 D．log sinC＞05．把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．6．某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（）A．B．C．D．7．对任意非零实数a，b，若a⊗b的运算规则如图的程序框图所示，则（3⊗2）⊗4的值是（）A．0 B．C．D．98．设实数x，y满足约束条件，则u=的取值X围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]9．若函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c＞0）在R上是单调函数，则的取值X围为（）A．（4，+∞）B．（2+2，+∞）C．[4，+∞）D．[2+2，+∞）10．（5分）在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在y轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）=|x+a|（a∈R）在[﹣1，1]上的最大值为M（a），则函数g（x）=M（x）﹣|x2﹣1|的零点的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F引它到渐近线的垂线，垂足为M，延长FM交y轴于E，若=2，则该双曲线离心率为（）A．B．C．D．313．已知P、M、N是单位圆上互不相同的三个点，且满足||=||，则的最小值是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣114．设函数y=f（x）的定义域为D，若函数y=f（x）满足下列两个条件，则称y=f（x）在定义域D上是闭函数．①y=f（x）在D上是单调函数；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上值域为[a，b]．如果函数f（x）=为闭函数，则k的取值X围是（）A．（﹣1，﹣] B．[，1﹚C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，1）二.填空题15．（5分）（2014某某二模）已知||=2，||=2，||=2，且++=，则++=．16．设，若当且仅当x=3，y=1时，z取得最大值，则k的取值X围为．17．（5分）（2014某某一模）已知点P是椭圆=1（x≠0，y≠0）上的动点，F1，F2为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上一点，且=0，则|的取值X围是．18．对于定义在区间D上的函数f（X），若存在闭区间[a，b]⊊D和常数c，使得对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=c，且对任意x2∈D，当x2∉[a，b]时，f（x2）＜c恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“平顶型”函数．给出下列说法：①“平顶型”函数在定义域内有最大值；②函数f（x）=x﹣|x﹣2|为R上的“平顶型”函数；③函数f（x）=sinx﹣|sinx|为R上的“平顶型”函数；④当t≤时，函数，是区间[0，+∞）上的“平顶型”函数．其中正确的是．（填上你认为正确结论的序号）三.解答题19．（12分）（2014正定县校级三模）已知△ABC是半径为R的圆内接三角形，且2R（sin2A ﹣sin2C）=（a﹣b）sinB．（1）求角C；（2）试求△ABC面积的最大值．20．（12分）（2014某某二模）某公司研制出一种新型药品，为测试该药品的有效性，公司选定2000个药品样本分成三组，测试结果如表：分组A组B组C组药品有效670 a b药品无效80 50 c已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组药品有效的概率是0.35．（1）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C组抽取样本多少个？（2）已知b≥425，c≥68，求该药品通过测试的概率（说明：若药品有效的概率不小于90%，则认为测试通过）．21．（12分）（2015某某模拟）已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（1）求此几何体的体积V的大小；（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；（3）试探究在DE上是否存在点Q，使得AQ⊥BQ并说明理由．22．（12分）（2014春雁峰区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知中心在坐标原点且关于坐标轴对称的椭圆C1的焦点在抛物线C2：y2=﹣4x的准线上，且椭圆C1的离心率为．（1）求椭圆C1的方程，（2）若直线l与椭圆C1相切于第一象限内，且直线l与两坐标轴分别相交与A，B两点，试探究当三角形AOB的面积最小值时，抛物线C2上是否存在点到直线l的距离为．23．（12分）（2014某某校级模拟）已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a为常数）．（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（2）当0＜a≤2时，试判断f（x）的单调性；（3）若对任意的a∈（1，2），x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞mlna恒成立，某某数m的取值X围．2014-2015学年某某省某某外国语学校高三（上）周练数学试卷（文科）（十）参考答案与试题解析一.选择题1．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数==﹣i﹣1对应的点（﹣1，﹣1）位于第三象限，故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．下列说法正确的是（）A．若a∈R，则“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件B．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件C．若命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题D．命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3＞0”【分析】利用充要条件的定义，可判断A，B，判断原命题的真假，进而根据命题的否定与原命题真假性相反，可判断C，根据存在性（特称）命题的否定方法，可判断D．【解答】解：若“＜1”成立，则“a＞1”或“a＜0”，故“＜1”是“a＞1”的不充分条件，若“a＞1”成立，则“＜1”成立，故“＜1”是“a＞1”的必要条件，综上所述，“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件，故A正确；若“p∧q为真命题”，则“p，q均为真命题”，则“p∨q为真命题”成立，若“p∨q为真命题”则“p，q存在至少一个真命题”，则“p∧q为真命题”不一定成立，综上所述，“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件，故B错误；命题p：“∀x∈R，sinx+cosx=sin（x+）≤”为真命题，则￢p是假命题，故C 错误；命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3≥0”，故D错误；故选：A．【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了充要条件，命题的否定等知识点，是简单逻辑的简单综合应用，难度中档．3．设S n是等差数列a n的前n项和，若，则=（）A．B．C．D．【分析】由题意可得 S3、S6﹣S3、S9﹣S6、S12﹣S9也成等差数列，由此可得 S6=S9+S3①，S12=3S9﹣3S6+S3②，再由可得 S12=S6③，利用①、②、③化简可得的值．【解答】解：∵S n是等差数列a n的前n项和，∴S3、S6﹣S3、S9﹣S6、S12﹣S9也成等差数列，∴S6﹣2S3=S9﹣2S6+S3，∴S6=S9+S3①．同理可得，S12﹣2S9+S6=S9﹣2S6+S3，即 S12=3S9﹣3S6+S3②．而由可得 S12=S6③．由①、②、③化简可得S3=S9，∴=，故选：C．【点评】本题主要考查等差数列的性质的应用，属于中档题．4．若△ABC为锐角三角形，则下列不等式中一定能成立的是（）A．log cosC＞0 B．log cosC＞0C．log sinC＞0 D．log sinC＞0【分析】由锐角三角形ABC，可得1＞cosC＞0，0＜A＜，0＜B＜，，利用正弦函数的单调性可得sinB＞sin（﹣A）=cosA＞0，再利用对数函数的单调性即可得出．【解答】解：由锐角三角形ABC，可得1＞cosC＞0，0＜A＜，0＜B＜，，∴0＜＜B＜，∴sinB＞sin（﹣A）=cosA＞0，∴1＞＞0，∴＞0．故选：B．【点评】本题考查了锐角三角形的性质、锐角三角函数函数的单调性、对数函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于中档题．5．把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．【分析】先对函数进行图象变换，再根据正弦函数对称轴的求法，即令ωx+φ=即可得到答案．【解答】解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数；再将图象向右平移个单位，得函数，根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程．故选A．【点评】本小题综合考查三角函数的图象变换和性质．图象变换是考生很容易搞错的问题，值得重视．一般地，y=Asin（ωx+φ）的图象有无数条对称轴，它在这些对称轴上一定取得最大值或最小值．6．某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（）A．B．C．D．【分析】从三视图可以推知，几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面，易求侧面积．【解答】解：几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面．且底面直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，四棱锥的高为1．四个侧面都是直角三角形，其中△PBC的高PB===故其侧面积是S=S△PAB+S△PBC+S△PCD+S△PAD==故选A【点评】本题考查三视图求面积、体积，考查空间想象能力，是中档题．7．对任意非零实数a，b，若a⊗b的运算规则如图的程序框图所示，则（3⊗2）⊗4的值是（）A．0 B．C．D．9【分析】由框图知，a⊗b的运算规则是若a≤b成立，则输出，否则输出，由此运算规则即可求出（3⊗2）⊗4的值【解答】解：由图a⊗b的运算规则是若a≤b成立，则输出，否则输出，故3⊗2==2，（3⊗2）⊗4=2⊗4==故选C．【点评】本题考查选择结构，解题的关键是由框图得出运算规则，由此运算规则求值，此类题型是框图这一部分的主要题型，也是这几年对框图这一部分考查的主要方式．8．设实数x，y满足约束条件，则u=的取值X围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合将目标函数进行转化，利用直线的斜率结合分式函数的单调性即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则对应的x＞0，y＞0，则u==，设k=，则u==，由图象可知当直线y=kx，经过点A（1，2）时，斜率k最大为k=2，经过点B（3，1）时，斜率k最小为k=，即．∴，，∴，即，即≤z≤，故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大．9．若函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c＞0）在R上是单调函数，则的取值X围为（）A．（4，+∞）B．（2+2，+∞）C．[4，+∞）D．[2+2，+∞）【分析】利用导数求解，由函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c＞0）在R上是单调函数，可得f′（x）＞0恒成立，找出a，b，c的关系，再利用基本不等式求最值．【解答】解：∵函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c＞0）在R上是单调函数，∴f′（x）≥0在R上恒成立，即3ax2+2bx+c≥0恒成立，即△=4b2﹣12ac≤0 即b2≤3ac，∴==++2≥2+2≥4．故选C．【点评】考查利用导数即基本不等式的解决问题的能力，把问题转化为恒成立问题解决是本题的关键，应好好体会这种问题的转化思路．10．（5分）在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在y轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据椭圆的性质结合椭圆离心率，求出a，b满足的条件，求出对应的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：∵在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，∴，若方程表示焦点在y轴上且离心率小于，则，由e=＜得c＜a，平方得c2＜a2，即a2﹣b2＜a2，即b2＞a2，则b＞a或b a（舍），即，作出不等式组对应的平面区域如图：则F（2，2），E（4，4），则梯形ADEF的面积S==4，矩形的面积S=4×2=8，则方程表示焦点在y轴上且离心率小于的椭圆的概率P=，故选：C．【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据椭圆的性质求出a，b的条件，求出对应的面积，利用数形结合是解决本题的关键．11．已知函数f（x）=|x+a|（a∈R）在[﹣1，1]上的最大值为M（a），则函数g（x）=M（x）﹣|x2﹣1|的零点的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】求出M（a）的解析式，根据函数g（x）=M（x）﹣|x2﹣1|的零点，即函数M（x）=与函数y=|x2﹣1|交点的横坐标，利用图象法解答．【解答】解：∵函数f（x）=|x+a|（a∈R）在[﹣1，1]上的最大值为M（a），∴M（a）=，函数g（x）=M（x）﹣|x2﹣1|的零点，即函数M（x）=与函数y=|x2﹣1|交点的横坐标，由图可得：函数M（x）=与函数y=|x2﹣1|有三个交点，故函数g（x）=M（x）﹣|x2﹣1|有3个零点，故选：C【点评】本题考查函数图象的作法，熟练作出函数的图象是解决问题的关键，属中档题．12．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F引它到渐近线的垂线，垂足为M，延长FM交y轴于E，若=2，则该双曲线离心率为（）A．B．C．D．3【分析】先利用FM与渐近线垂直，写出直线FM的方程，从而求得点E的坐标，利用已知向量式，求得点M的坐标，最后由点M在渐近线上，代入得a、b、c间的等式，进而变换求出离心率【解答】解：设F（c，0），则c2=a2+b2∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x∴垂线FM的斜率为﹣∴直线FM的方程为y=﹣（x﹣c）令x=0，得点E的坐标（0，）设M（x，y），∵=2，∴（x﹣c，y）=2（﹣x，﹣y）∴x﹣c=﹣2x且y=﹣2y即x=，y=代入y=x得=，即2a2=b2，∴2a2=c2﹣a2，∴=3，∴该双曲线离心率为故选C【点评】本题考查了双曲线的几何性质，求双曲线离心率的方法，向量在解析几何中的应用13．已知P、M、N是单位圆上互不相同的三个点，且满足||=||，则的最小值是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣1【分析】由题意可得，点P在MN的垂直平分线上，不妨设单位圆的圆心为O（0，0），点P （0，1），点M（x1，y1），则点N（﹣x1，y1），由得=，求出最小值．【解答】解：由题意可得，点P在MN的垂直平分线上，不妨设单位圆的圆心为O（0，0），点P（0，1），点M（x1，y1），则点N（﹣x1，y1），﹣1≤y1＜1∴=（x1，y1﹣1），=（﹣x1，y1﹣1），．∴===2﹣，∴当y1=时的最小值是故选：B．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，二次函数的性质，属于中档题．14．设函数y=f（x）的定义域为D，若函数y=f（x）满足下列两个条件，则称y=f（x）在定义域D上是闭函数．①y=f（x）在D上是单调函数；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上值域为[a，b]．如果函数f（x）=为闭函数，则k的取值X围是（）A．（﹣1，﹣] B．[，1﹚C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，1）【分析】若函数f（x）=为闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，即，故a，b是方程x2﹣（2k+2）x+k2﹣1=0（x，x≥k）的两个不相等的实数根，由此能求出k的取值X围．【解答】解：若函数f（x）=为闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，即，∴a，b是方程x=的两个实数根，即a，b是方程x2﹣（2k+2）x+k2﹣1=0（x，x≥k）的两个不相等的实数根，当k时，，解得﹣1＜k≤﹣．当k＞﹣时，，无解．故k的取值X围是（﹣1，﹣]．故选A．【点评】本题考查函数的单调性及新定义型函数的理解，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．二.填空题15．（5分）（2014某某二模）已知||=2，||=2，||=2，且++=，则++= ﹣12 ．【分析】把++=两边平方，变形可得++=（），代入数据计算可得．【解答】解：∵++=，∴平方可得（++）2=2，∴+2（++）=0，∴++=（）=（4+8+12）=﹣12故答案为：﹣12【点评】本题考查平面向量数量积的运算，由++=两边平方是解决问题的关键，属中档题．16．设，若当且仅当x=3，y=1时，z取得最大值，则k的取值X围为（﹣，1）．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出a的取值X围．【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图：由z=kx﹣y得y=kx﹣z，要使目标函数z=kx﹣y仅在x=3，y=1时取得最大值，即此时直线y=kx﹣z的截距最小，则阴影部分区域在直线y=kx﹣z的上方，目标函数处在直线x+2y﹣5=0和x﹣y﹣2=0之间，而直线x+2y﹣5=0和x﹣y﹣2=0的斜率分别为﹣，和1，即目标函数的斜率k，满足﹣＜k＜1，故答案为：（﹣，1）．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．根据条件目标函数z=kx﹣y仅在点A（3，1）处取得最大值，确定直线的位置是解决本题的关键．17．（5分）（2014某某一模）已知点P是椭圆=1（x≠0，y≠0）上的动点，F1，F2为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上一点，且=0，则|的取值X围是．【分析】延长PF2、F1M，交与N点，连接OM，利用等腰三角形的性质、三角形中位线定理和椭圆的定义，证出|OM|=||PF1|﹣|PF2||．再利用圆锥曲线的统一定义，化简得||PF1|﹣|PF2||=|x0|，利用椭圆上点横坐标的X围结合已知数据即可算出|的取值X围．【解答】解：如图，延长PF2、F1M，交与N点，连接OM，∵PM是∠F1PF2平分线，且=0可得F1M⊥MP，∴|PN|=|PF1|，M为F1F2中点，∵O为F1F2中点，M为F1N中点∴|OM|=|F2N|=||PN|﹣|PF2||=||PF1|﹣|PF2||设P点坐标为（x0，y0）∵在椭圆=1中，离心率e==由圆锥曲线的统一定义，得|PF1|=a+ex0，|PF2|=a﹣ex0，∴||PF1|﹣|PF2||=|a+ex0﹣a+ex0|=|2ex0|=|x0|∵P点在椭圆=1上，∴|x0|∈[0，4]，又∵x≠0，y≠0，可得|x0|∈（0，4），∴|OM|∈故答案为：【点评】本题求两点间的距离的取值X围，着重考查了椭圆的定义、等腰三角形的性质、三角形中位线定理和椭圆的简单几何性质等知识，属于中档题．18．对于定义在区间D上的函数f（X），若存在闭区间[a，b]⊊D和常数c，使得对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=c，且对任意x2∈D，当x2∉[a，b]时，f（x2）＜c恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“平顶型”函数．给出下列说法：①“平顶型”函数在定义域内有最大值；②函数f（x）=x﹣|x﹣2|为R上的“平顶型”函数；③函数f（x）=sinx﹣|sinx|为R上的“平顶型”函数；④当t≤时，函数，是区间[0，+∞）上的“平顶型”函数．其中正确的是①④．（填上你认为正确结论的序号）【分析】根据题意，“平顶型”函数在定义域内某个子集区间内函数值为常数c，且这个常数是函数的最大值，但是定义并没有指出函数最小值的情况．由此定义再结合绝对值的性质和正弦函数的图象与性质，对于四个选项逐个加以判断，即得正确答案．【解答】解：对于①，根据题意，“平顶型”函数在定义域内某个子集区间内函数值为常数c，且这个常数是函数的最大值，故①正确．对于②，函数f（x）=x﹣|x﹣2|=的最大值为2，但不存在闭区间[a，b]⊊D和常数c，使得对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=2，且对任意x2∈D，当x2∉[a，b]时，f（x2）＜2恒成立，故②不符合“平顶型”函数的定义．对于③，函数f（x）=sinx﹣|sinx|=，但是不存在区间[a，b]，对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=2，所以f（x）不是“平顶型”函数，故③不正确．对于④当t≤时，函数，，当且仅当x∈[0，1]时，函数取得最大值为2，当x∉[0，1]且x∈[0，+∞）时，f（x）=＜2，符合“平顶型”函数的定义，故④正确．故答案为：①④．【点评】本题以命题真假的判断为载体，着重考查了函数的最值及其几何意义、带绝对值的函数和正弦函数的定义域值域等知识点，属于中档题．三.解答题19．（12分）（2014正定县校级三模）已知△ABC是半径为R的圆内接三角形，且2R（sin2A ﹣sin2C）=（a﹣b）sinB．（1）求角C；（2）试求△ABC面积的最大值．【分析】（1）根据正弦定理，已知等式中的角转换成边，可得a、b、c的平方关系，再利用余弦定理求得cosC的值，可得角C的大小；（2）根据正弦定理算出c=R，再由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC的式子，结合基本不等式找到边ab的X围，利用正弦定理的面积公式加以计算，即可求出△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）∵2R（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB，∴根据正弦定理，得a2﹣c2=（a﹣b）b=ab﹣b2，可得a2+b2﹣c2=ab∴cosC===，∵角C为三角形的内角，∴角C的大小为（2）由（1）得c=2Rsin=R由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，可得2R2=a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab=（2﹣）ab，当且仅当a=b时等号成立∴ab≤=（）R2∴S△ABC=absinC≤（）R2=R2即△ABC面积的最大值为R2【点评】本题给出三角形的外接圆半径为R，在已知角的关系式情况下，求三角形面积最大值．着重考查了三角形的外接圆、正余弦定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题．20．（12分）（2014某某二模）某公司研制出一种新型药品，为测试该药品的有效性，公司选定2000个药品样本分成三组，测试结果如表：分组A组B组C组药品有效670 a b药品无效80 50 c已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组药品有效的概率是0.35．（1）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C组抽取样本多少个？（2）已知b≥425，c≥68，求该药品通过测试的概率（说明：若药品有效的概率不小于90%，则认为测试通过）．【分析】（1）利用抽样的性质先求出a，再根据样本总个数得出b+c=500，从而根据分层抽样的特点确定应在C组抽取样本多少个；（2）列举（b，c）的所有可能性，找出满足b≥425，c≥68，情况，利用古典概型概率公式计算即可．【解答】解：（1）∵，∴a=700∵b+c=2000﹣670﹣80﹣700﹣50=500∴应在C组抽取样本个数是个．（2）∵b+c=500，b≥425，c≥68，∴（b，c）的可能性是（425，75），（426，74），（427，73），（428，72），（429，71），（430，70），（431，69），（432，68）若测试通过，则670+700+b≥2000×90%=1800∴b≥430∴（b，c）的可能有（430，70），（431，69），（432，68）∴通过测试的概率为．【点评】本题考查分层抽样的性质，古典概型概率公式的应用，属于中档题．21．（12分）（2015某某模拟）已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（1）求此几何体的体积V的大小；（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；（3）试探究在DE上是否存在点Q，使得AQ⊥BQ并说明理由．【分析】（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，则体积可以求得．（2）求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求．还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解．（3）假设存在这样的点Q，使得AQ⊥BQ．解法一：通过假设的推断、计算可知以O为圆心、以BC为直径的圆与DE相切．解法二：在含有直线与平面垂直垂直的条件的棱柱、棱锥、棱台中，也可以建立空间直角坐标系，设定参量求解．这种解法的好处就是：1、解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．2、即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设满足题设的点Q存在，其坐标为（0，m，n），点Q在ED上，∴存在λ∈R（λ＞0），使得=λ，解得λ=4，∴满足题设的点Q存在，其坐标为（0，，）．【解答】解：（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，∴S梯形BCED=×（4+1）×4=10∴V=S梯形BCED AC=×10×4=．即该几何体的体积V为．（3分）（2）解法1：过点B作BF∥ED交EC于F，连接AF，则∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角．（5分）在△BAF中，∵AB=4，BF=AF==5．∴cos∠ABF==．即异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．（7分）解法2：以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）∴=（0，﹣4，3），=（﹣4，4，0），∴cos＜，＞=﹣∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．（3）解法1：在DE上存在点Q，使得AQ⊥BQ．（8分）取BC中点O，过点O作OQ⊥DE于点Q，则点Q满足题设．（10分）连接EO、OD，在Rt△ECO和Rt△OBD中∵∴Rt△ECO∽Rt△OBD∴∠EOC=∠OBD∵∠EOC+∠CEO=90°∴∠EOC+∠DOB=90°∴∠EOB=90°．（11分）∵OE==2，OD==∴OQ===2∴以O为圆心、以BC为直径的圆与DE相切．切点为Q∴BQ⊥CQ∵AC⊥面BCED，BQ⊂面CEDB∴BQ⊥AC∴BQ⊥面ACQ（13分）∵AQ⊂面ACQ∴BQ⊥AQ．（14分）解法2：以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设满足题设的点Q存在，其坐标为（0，m，n），则=（﹣4，m，n），=（0，m﹣4，n）=（0，m，n﹣4），=（0，4﹣m，1﹣n）∵AQ⊥BQ∴m（m﹣4）+n2=0①∵点Q在ED上，∴存在λ∈R（λ＞0）使得=λ∴（0，m，n﹣4）=λ（0，4，m，1﹣n）⇒m=，n=②②代入①得（﹣4）（）2=0⇒λ2﹣8λ+16=0，解得λ=4∴满足题设的点Q存在，其坐标为（0，，）．【点评】本小题主要考查空间线面关系、面面关系、二面角的度量、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．22．（12分）（2014春雁峰区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知中心在坐标原点且关于坐标轴对称的椭圆C1的焦点在抛物线C2：y2=﹣4x的准线上，且椭圆C1的离心率为．（1）求椭圆C1的方程，（2）若直线l与椭圆C1相切于第一象限内，且直线l与两坐标轴分别相交与A，B两点，试探究当三角形AOB的面积最小值时，抛物线C2上是否存在点到直线l的距离为．【分析】（1）由题意设椭圆C1的方程，（a＞b＞0），且，由此能求出椭圆C1的方程．（2）设直线l的方程为y=kx+m（k＜0，m＞0）由，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式、弦长公式能推导出抛物线C2上不存在点到直线l的距离为．【解答】解：（1）∵椭圆C1的焦点在抛物线C2：y2=﹣4x的准线上，且椭圆C1的离心率为．∴椭圆焦点在x轴上，设椭圆C1的方程：，（a＞b＞0），且，解得a=2，b=，∴椭圆C1的方程为．（2）∵直线l与椭圆C1相切于第一象限内，∴直线l的斜率存在且小于零，设直线l的方程为y=kx+m（k＜0，m＞0）由，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由题可知，△=0，∴m2=4k2+3，当即时上式等号成立，此时，直线l为设点D为抛物线C2上任意一点，则点D到直线l的距离为，利用二次函数的性质知，∴抛物线C2上不存在点到直线l的距离为．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查当三角形面积最小时满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式、弦长公式的合理运用．23．（12分）（2014某某校级模拟）已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a为常数）．（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（2）当0＜a≤2时，试判断f（x）的单调性；（3）若对任意的a∈（1，2），x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞mlna恒成立，某某数m的取值X围．【分析】（1）求导数，利用极值的定义，即可求a的值；（2）当0＜a≤2时，判断导数的符号，即可判断f（x）的单调性；（3）问题等价于：对任意的a∈（1，2），不等式1﹣a＞mlna恒成立．即恒成立．【解答】解：．（1）由已知得：f'（1）=0，∴1+2﹣a=0，∴a=3．…（3分）（2）当0＜a≤2时，f′（x）=因为0＜a≤2，所以，而x＞0，即，故f（x）在（0，+∞）上是增函数．…（8分）（3）当a∈（1，2）时，由（2）知，f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=1﹣a，故问题等价于：对任意的a∈（1，2），不等式1﹣a＞mlna恒成立．即恒成立记，（1＜a＜2），则，…（10分）令M（a）=﹣alna﹣1+a，则M'（a）=﹣lna＜0所以M（a），所以M（a）＜M（1）=0…（12分）故g'（a）＜0，所以在a∈（1，2）上单调递减，所以即实数m的取值X围为（﹣∞，﹣log2e]．…（14分）【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查恒成立问题，正确分离参数是关键．。
扬州中学2022-2023学年高三上学期10月双周练(三)数学试卷(含答案)
江苏省扬州中学2022-2023学年度10月双周练试题高三数学2022.10试卷满分：150分，考试时间：120分钟一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合2{|20}A x x x =--<，{|1}B x x m =-<<，A B A = ，则实数m 的取值范围为()A ．(2,)+∞B ．(1,2)-C ．[2，)+∞D ．(1-，2]2．已知1tan 3α=，则sin 2α=().A 45.B 35.C 310.D 1103．1"0,"3m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭是“函数(31)4,1,(),1m x m x f x mx x -+<⎧=⎨-≥⎩是定义在R 上的减函数”的().A 充分不必要条件.B 必要不充分条件.C 充分必要条件.D 既不充分也不必要条件4．已知函数()y f x =的图象与函数2xy =的图象关于直线y x =对称，函数()g x 是奇函数，且当0x >时，()()g x f x x =+，则(4)g -=（）A.-18B.-12C.-8D.-65．已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||2πϕ<，其图象相邻两条对称轴之间的距离为4π，且直线12x π=-是其中一条对称轴，则下列结论正确的是()A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 在区间[6π-，]12π上单调递增C ．点5(24π-，0)是函数()f x 图象的一个对称中心D ．将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移6π个单位长度，可得到()sin 2g x x =的图象6.设a ，b ，c 都是正数，且469a b c ==，那么（）A.2ab bc ac +=B.ab bc ac +=C.22ab bc ac=+ D.2ab bc ac=+7．已知0.21,ln1.2,tan 0.2e a b c =-==，其中e 2.71828= 为自然对数的底数，则（）A ．c a b>>B ．a c b>>C ．b a c>>D ．a b c>>8．正实数x ，y 满足12(2)xye x y e -=+，则22x yx y x++的最小值为（）A ．2B C ．7D ．4二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．某同学在研究函数()()1||xf x x R x =∈+时，给出下面几个结论中正确的是()A ．()f x 的图象关于点(1,1)-对称B ．()f x 是单调函数C ．()f x 的值域为(1,1)-D ．函数()()g x f x x =-有且只有一个零点10.已知随机事件A ，B 发生的概率分别为()0.3,()0.6==P A P B ，下列说法正确的有（）A.若()0.18=P AB ，则A ，B 相互独立B.若A ，B 相互独立，则()0.6P B A =C.若()0.4P B A =，则()0.12P AB = D.若A B ⊆，则()0.3P A B =11．已知正数a ，b 满足14a b+=()A ．1ab ab+最小值为2B ．ab 的最小值为4C ．4a b +的最小值为8D ．4a b +的最小值为812.已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为2，Q 为棱'AA 的中点，点,M N 分别为线段'',C D CD 上两动点（包括端点），记直线,QM QN 与平面''ABB A 所成角分别为,αβ，且22tan 4tan αβ+=，则（）.A 存在点,M N 使得//'MN AA .B DM DN ⋅为定值.C 不存在点,M N 使得52MN =.D 存在点,M N 使得MN CQ⊥三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.已知“R x ∃∈，使得21202x ax ++≤”是假命题，则实数的a 取值范围为________．14.已知cos 46πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为______.15.定义：在区间上，若函数=()是减函数，且=B ()是增函数，则称=()在区间上是“弱减函数”.若221cos )(kx x x f +=在(0,2)上是“弱减函数”，则k 的取值范围为.16.设a ∈R ，函数⎩⎨⎧≥+++-<-=ax a x a x ax a x x f 5)1(2)22cos()(22ππ，若函数f (x )在区间()+∞,0内恰有6个零点，则a 的取值范围是．四、解答题：（本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.(本小题满分10分)已知:p 0161218541≤+⋅-xx ；().023:2<++-m x m x q R x ∈.（1）若p 为真，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．在ABC ∆中,设角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin sin 2B C a b B +==(1)求sin A ;(2)如图,点M 为边AC 上一点,,2MC MB ABM π=∠=,求ABC ∆的面积.19.(本小题满分12分)设()f x 是R 上的减函数，且对任意实数x ，y ，都有()()()f x y f x f y +=+;函数2()(,)g x x ax b a b R =++∈(1)判断函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论；(2)若1,5a b =-=，且存在[]3,2t ∈-，不等式(()1)(3)0f g t f t m -++>成立，求实数m 的取值范围.如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PAD △是以AD 为斜边的等腰直角三角形.若E 为棱P A 上一点，且BE ∥平面PCD ，BC AD ∥，CD AD ⊥，22AD DC CB ==.（1）求P APE的值；（2）求二面角P BD E --的余弦值.21.(本小题满分12分)甲、乙两人组成“虎队”代表班级参加学校体育节的篮球投篮比赛活动，每轮活动由甲、乙两人各投篮一次。
江苏省2023-2024学年高三上学期10月阶段性联考试题 数学含解析
2023-2024学年度第一学期高三阶段性联考高三数学试题（答案在最后）命题人：审核人：注意事项：1．考试时间120分钟，试卷满分150分.2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3．请用2B 铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答.一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}012M =,,，{}2320N x x x =-+≤，则M N ⋂=（）A.{}1 B.{}2 C.{}0,1 D.{}1,22.i 是虚数单位，复数734ii+=+A.1i- B.1i-+ C.17312525i + D.172577i -+3.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为A.521B.1021C.1121D.14.已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A.a 2=2b 2B.3a 2=4b 2C.a =2bD.3a =4b5.函数y =2sin 2x x 的图象可能是A. B.C. D.6.若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=A.6425B.4825C.1D.16257.已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =（）A.14B.12C.6D.38.当1x =时，函数()ln bf x a x x=+取得最大值2-，则(2)f '=（）A.1- B.12-C.12D.1二、多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求，全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.某中学为了解学生数学史知识的积累情况，随机抽取150名同学参加数学史知识测试，测试题共5道，每答对一题得20分，答错得0分．得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则（）A.该次数学史知识测试及格率超过90%B.该次数学史知识测试得满分的同学有15名C.该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数D.若该校共有1500名学生，则数学史知识测试成绩能得优秀的同学大约有720名10.已知函数2()2cos 21(0)f x x x ωωω=->的最小正周期为π，则下列说法正确的有（）A.1ω=B.函数()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数C.直线π3x =是函数()y f x =图象的一条对称轴D.点5π,012骣琪琪桫是函数()y f x =图象的一个对称中心11.已知0a >，0b >，且1a b +=，则下列结论正确的是（）A.ab 的最大值为14B.11a b+的最小值为4C.+的最大值为1D.1422a b a b+++的最小值为312.设抛物线C ：20)2(y px p =≥的焦点为F ，点M 在C 上，5MF =，若以MF 为直径的圆过点()0,2，则抛物线C 的方程为（）A.24y x= B.28y x= C.216y x= D.22y x=三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a = ，3b =r ，则()2a b b +⋅= _________．14.若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______.15.过三点()0,0，()4,0，()1,1-的圆的方程是______．16.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，直线y a =与双曲线C 交于M ，N 两点，直线y b =-与双曲线C 交于P ，Q 两点，若||||MN PQ =，则双曲线C 的离心率等于________．四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin =+b a C c A ．（1）求A ；（2）若2a =，求ABC 面积的最大值．18.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别是1,AB BB 的中点，12,AA AC CB AB ====．（1）证明：1//BC 平面1ACD ；（2）求锐二面角1D A C E --的余弦值．19.设n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知0n a >，224n n n a a S +=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20.设函数f(x)＝ax ＋(a ，b ∈Z)，曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y ＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y ＝f(x)上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值．21.已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为(25,0)-，5，点1A ，2A 为C 的左，右顶点．P 为直线1x =上的动点，1PA 与C 的另一个交点为M ，2PA 与C 的另一个交点为N ．（1）求C 的方程；（2）证明：直线MN 过定点．22.某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[)20,25,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位:瓶)的分布列.(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y 的数学期望达到最大值?2023-2024学年度第一学期高三阶段性联考高三数学试题命题人：审核人：注意事项：1．考试时间120分钟，试卷满分150分.2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3．请用2B 铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答.一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}012M =,,，{}2320N x x x =-+≤，则M N ⋂=（）A.{}1 B.{}2 C.{}0,1 D.{}1,2【答案】D 【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合N ，再利用集合的交集运算即可得到结论．【详解】2{|320}{|(1)(2)0}{|12}N x x x x x x x x =-+=--= ，{}012M =,,{1M N ∴⋂=，2}，故选：D ．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，考查了一元二次不等式的解法，比较基础．2.i 是虚数单位，复数734ii+=+A.1i - B.1i-+ C.17312525i + D.172577i -+【答案】A 【解析】【详解】试题分析：()()()()()()7342142837134343425i i i ii i i i +-++-++===-++-，故选A ．考点：复数的运算．3.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为A.521B.1021C.1121D.1【答案】B 【解析】【分析】由从共有15个球中任取2个球，共有215C 种不同的取法，其中所取的2个球中恰有1个白球，1个红球，共有11510C C 种不同的取法，再利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解．【详解】由题意，从共有15个除了颜色外完全相同的球，任取2个球，共有215C 种不同的取法，其中所取的2个球中恰有1个白球，1个红球，共有11510C C 种不同的取法，所以概率为11510215501010521C C C ==，故选B.【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，以及古典概型及其概率的应用，其中解答中认真审题，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4.已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A.a 2=2b 2B.3a 2=4b 2C.a =2bD.3a =4b【答案】B 【解析】【分析】由题意利用离心率的定义和,,a b c 的关系可得满足题意的等式.【详解】椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-,化简得2234a b =,故选B.【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.5.函数y =2sin 2x x 的图象可能是A. B.C. D.【答案】D 【解析】【详解】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令||()2sin 2x f x x =，因为,()2sin 2()2sin 2()xx x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以||()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．6.若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=A.6425B.4825C.1D.1625【答案】A 【解析】【详解】试题分析：由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．7.已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =（）A.14B.12C.6D.3【答案】D 【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠，易得1q ≠，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠，若1q =，则250a a -=，与题意矛盾，所以1q ≠，则()31123425111168142a q a a a qa a a q a q ⎧-⎪++==⎨-⎪-=-=⎩，解得19612a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以5613a a q ==.故选：D .8.当1x =时，函数()ln bf x a x x=+取得最大值2-，则(2)f '=（）A.1-B.12-C.12D.1【答案】B 【解析】【分析】根据题意可知()12f =-，()10f '=即可解得,a b ，再根据()f x '即可解出．【详解】因为函数()f x 定义域为()0,∞+，所以依题可知，()12f =-，()10f '=，而()2a bf x x x '=-，所以2,0b a b =--=，即2,2a b =-=-，所以()222f x x x '=-+，因此函数()f x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减，1x =时取最大值，满足题意，即有()112122f '=-+=-．故选：B.二、多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求，全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.某中学为了解学生数学史知识的积累情况，随机抽取150名同学参加数学史知识测试，测试题共5道，每答对一题得20分，答错得0分．得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则（）A.该次数学史知识测试及格率超过90%B.该次数学史知识测试得满分的同学有15名C.该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数D.若该校共有1500名学生，则数学史知识测试成绩能得优秀的同学大约有720名【答案】AC 【解析】【分析】A 选项，利用扇形图的数据得到及格率，B 选项先求出满分所占百分比，进而求出满分学生人数；C 选项，求出中位数和平均数，比出大小；D 选项先求出抽取的学生成绩优秀率，再估算出数学史知识测试成绩能得优秀的同学人数【详解】由图知，及格率为18%92%90%-=>，故A 正确．该测试满分同学的百分比为18%32%48%12%---=，即有12%15018⨯=名，B 错误．由图知，中位数为80分，平均数为408%6032%8048%10012%72.8⨯+⨯+⨯+⨯=分，故C 正确．由题意，1500名学生成绩能得优秀的同学有1500(48%12%)900⨯+=，故D 错误．故选：AC10.已知函数2()2cos 21(0)f x x x ωωω=->的最小正周期为π，则下列说法正确的有（）A.1ω=B.函数()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数C.直线π3x =是函数()y f x =图象的一条对称轴D.点5π,012骣琪琪桫是函数()y f x =图象的一个对称中心【答案】ABD 【解析】【分析】先根据降幂公式和辅助角公式化一，再根据正弦函数的周期性求出ω，再根据正弦函数的单调性和对称性逐一判断即可.【详解】2π()2cos 21cos 222sin 26f x x x x x x ωωωωω⎛⎫=-==+⎪⎝⎭，则2ππ2T ω==，所以1ω=，故A 正确；所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以πππ2,662x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以函数()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，故B 正确；因为π2ππ2sin 1336f ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以直线π3x =不是函数()y f x =图象的一条对称轴，故C 错误；因为5π5ππ2sin 01266f ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点5π,012骣琪琪桫是函数()y f x =图象的一个对称中心，故D 正确.故选：ABD .11.已知0a >，0b >，且1a b +=，则下列结论正确的是（）A.ab 的最大值为14B.11a b+的最小值为4C.+的最大值为1D.1422a b a b+++的最小值为3【答案】ABD【分析】利用基本不等式即可判断AC ；根据基本不等式中“1”的整体代换即可判断BD.【详解】对于A ，因为0a >，0b >，且1a b +=，所以()2144a b ab +≤=，当且仅当12a b ==时取等号，所以ab 的最大值为14，故A 正确；对于B ，()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⎝= ⎪⎭，当且仅当b aa b =，即12a b ==时取等号，所以11a b+的最小值为4，故B 正确；对于C ，因为a b +≥，所以()22a b a b +≥++，+≤=当且仅当12a b ==时取等号，C 错误；对于D ，由1a b +=，得()()22333a b a b a b +++=+=，则()()141142222322a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()421215533223a b a b a b a b ⎛+⎡⎤+ =++≥+=⎢ ++⎣⎦⎝，当且仅当()42222a b a b a b a b++=++，即0,1a b ==时，取等号，所以1422a b a b+++的最小值为3，故D 正确.故选：ABD .12.设抛物线C ：20)2(y px p =≥的焦点为F ，点M 在C 上，5MF =，若以MF 为直径的圆过点()0,2，则抛物线C 的方程为（）A.24y x= B.28y x= C.216y x= D.22y x=【解析】【分析】结合抛物线的定义求得M 点的坐标，将M 点坐标代入抛物线方程，求得p ，由此求得抛物线C 的方程.【详解】因为抛物线C 的方程为()220y px p =>，所以焦点02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设(),M x y ，由抛物线的性质知52p MF x =+=，得52px =-．因为圆心是MF 的中点，所以根据中点坐标公式可得圆心的横坐标为52，由已知得圆的半径也为52，故该圆与y 轴相切于点()0,2，故圆心的纵坐标为2，则点M 的纵坐标为4，即5,42p M ⎛⎫-⎪⎝⎭，代入抛物线方程，得210160p p -+=，解得2p =或8p =．所以抛物线C 的方程为24y x =或216y x =．故选：AC三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a = ，3b =r ，则()2a b b +⋅= _________．【答案】11【解析】【分析】设a 与b的夹角为θ，依题意可得1cos 3θ=，再根据数量积的定义求出a b ⋅ ，最后根据数量积的运算律计算可得．【详解】解：设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a = ，3b =r ，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯= ，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+= ．故答案为：11．14.若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______.【答案】36π.【分析】求出球的半径即可.【详解】解：因为正方体的顶点都在同一球面上，所以球的直径为正方体的对角线，所以26R ==，所以3R =，故球的表面积：24π36πS R ==.故答案为：36π.15.过三点()0,0，()4,0，()1,1-的圆的方程是______．【答案】()()222313x y -+-=【解析】【分析】根据圆心经过弦的中垂线可先求得圆心的坐标，再根据圆心到圆上的点的距离为半径求解即可【详解】由题，设()0,0A ，()4,0B ，()1,1C -，则AB 的中垂线方程为2x =，又()0,0A 和()1,1C -的中点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，且直线AC 的斜率为1-，故直线AC 的中垂线斜率为1，故直线AC 的中垂线方程为1122y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即1y x =+，故圆心的坐标为1y x =+与2x =的交点()2,3，半径r ==故圆的方程为()()222313x y -+-=故答案为：()()222313x y -+-=16.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，直线y a =与双曲线C 交于M ，N 两点，直线y b =-与双曲线C 交于P ，Q 两点，若||||MN PQ =，则双曲线C 的离心率等于________．【答案】3【解析】【分析】将y a =代入双曲线方程可求||MN ，将y b =-代入双曲线可求||PQ ，根据MN =，得出,,a b c 的齐次式，从而可求离心率.【详解】将y a =代入22221x y a b-=，得22221a x a b -=，即()22242222a b a a x a b b=+=+，解得x =所以MN =将y b =-代入22221x y a b-=，得222x a =，即222x a =，解得x =，所以PQ =，因为MN =，所以222MN PQ =，即()22222416a b a a b +=，所以223a b=，所以双曲线C 的离心率为233e ===.故答案为：3.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin =+b a C c A ．（1）求A ；（2）若2a =，求ABC 面积的最大值．【答案】（1）π4A =（21【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合三角形得内角和定理及两角和的正弦公式化简即可得解；（2）利用余弦定理结合基本不等式求出bc 的最大值，再结合三角形的面积公式即可得解.【小问1详解】因为cos sin =+b a C c A ，由正弦定理得sin sin cos sin sin B A C C A =+，又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，所以sin cos cos sin sin cos sin sin A C A C A C C A +=+，即cos sin sin sin A C C A =，又()0,πC ∈，则sin 0C >，所以tan 1A =，又因()0,πA ∈，所以π4A =；【小问2详解】由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即2242b c bc =+≥，所以4bc ≤=+当且仅当b c =时取等号，所以12sin 124ABC S bc A bc ==≤△，即ABC 1．18.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别是1,AB BB 的中点，12,AA AC CB AB ====．（1）证明：1//BC 平面1ACD ；（2）求锐二面角1D A C E --的余弦值．【答案】（1）证明见详解（2）33【解析】【分析】（1）利用中位线定理证得1OD BC ∥，再利用线面平行的判定定理即可证得；（2）易证ACBC ⊥，建立空间直角坐标系C xyz -，分别求出面1A CD 的法向量n 与面1A CE 的法向量m，进而求出cos ,n m 〈〉，故得到锐二面角1D A C E --的余弦值.【小问1详解】连结1AC ,交1AC 于点O ，连结DO ，因为在直三棱柱111ABC A B C -中，面11AA C C 是矩形，则O 为1AC 的中点，又因为D 为AB 的中点，所以1OD BC ∥，又因为OD ⊂平面1A CD ,1BC ⊄平面1A CD ,所以1//BC 平面1ACD ；【小问2详解】由12,22AA AC CB AB ====，可知AC BC ⊥,以C 为坐标原点，CA 方向为x 轴正方向，CB方向为y 轴正方向，1CC方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系C xyz -，则()()()()10,0,0,2,0,0,0,2,0,0,2,2C A B B ，()()()11,1,0,0,2,1,2,0,2D E A ,()1,1,0CD = ,()0,2,1CE = ,()12,0,2CA =，设(),,n x y z =r 是平面1ACD 的法向量，则100n CD n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0220x y x z +=⎧⎨+=⎩，可取()1,1,1n =--；同理，设(),,m a b c =是平面1A CE 的法向量，则100m CE m CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20220b c a c +=⎧⎨+=⎩，可取()2,1,2=-r m ，从而cos ,3n m n m n m ⋅〈〉===，所以锐二面角1D A C E --的余弦值为3.19.设n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知0n a >，224n n n a a S +=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）2n a n =；（2）4(1)nn +．【解析】【详解】分析：（1）利用n S 与n a 的关系式即可求出n a ；（2）裂项相消法求和.详解：（1）由224n n n a a S +=，知211124n n n a a S ++++=.两式相减，得()2211124n n n n n a a a a a +++-+-=，即()()()2211112n n n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-.因为0n a >，所以12n n a a +-=.又因为211124a a a +=，解得10a =（舍去）或12a =.所以{}n a 是首项为2，公差为2的等差数列，通项公式为2n a n =.（2）由2n a n =可知()11111122241n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++⎝⎭.∴12n n T b b b =++⋅⋅⋅+111111142231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()41n n =+.点睛：利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．20.设函数f(x)＝ax ＋(a ，b ∈Z)，曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y ＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y ＝f(x)上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值．【答案】(1)f(x)＝x＋；(2)证明见解析【解析】【详解】(1)解f′(x)＝a－，()()'2023f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得或因为a ，b ∈Z ，故f(x)＝x＋.(2)在曲线上任取一点，由f′(x 0)＝1－知，过此点的切线方程为y －＝[1－](x －x 0)．令x ＝1，得y＝，切线与直线x ＝1的交点为(1,)；令y ＝x ，得y ＝2x 0－1，切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0－1,2x 0－1)；直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)，从而所围三角形的面积为|2x 0－1－1|＝2.所以，所围三角形的面积为定值2.21.已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为(25,0)-，5，点1A ，2A 为C 的左，右顶点．P 为直线1x =上的动点，1PA 与C 的另一个交点为M ，2PA 与C 的另一个交点为N ．（1）求C 的方程；（2）证明：直线MN 过定点．【答案】（1）221416x y -=（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题意，列出方程，求得,a b ，即可得到C 的方程；（2）根据题意，分别得到,M N 的坐标，然后分直线MN 的斜率存在以及不存在分别讨论，即可得到结果.【小问1详解】由题意可设双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>，左焦点为(25,0)-，则5c =，离心率为5，则255c e a a===2a =，22220416b c a =-=-=，则C 的方程为221416x y -=.【小问2详解】因为点1A ，2A 为C 的左，右顶点，P 为直线1x =上的动点，所以()()122,0,2,0A A -，设()1,P t ，()()1122,,,M x y N x y ，则直线1PA 的方程为()23ty x =+，联立直线1PA 与双曲线的方程可得()22231416t y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 可得()222236441440t xt x t ----=，方程两根为1,2x -，由韦达定理可得2124144236t x t +-=-，所以21227236t x t +=-，()112482336t t y x t =+=-，即22227248,3636t t M t t ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭；设直线2PA 方程为()2y t x =--，联立直线2PA 与双曲线的方程可得()2221416y t x x y ⎧=--⎪⎨-=⎪⎩，消去y 可得()2222444160t xt x t -+--=，方程两根为2,2x ，由韦达定理可得22241624t x t +=-，则222284t x t +=-，()2221624t y t x t -=--=-，即2222816,44t t N t t ⎛⎫+- ⎪--⎝⎭；由对称性可知，若直线MN 过定点，则定点在x 轴上，当直线MN 的斜率不存在时，222227228364t t t t ++=--，可得212t =，此时，124x x ==，则直线MN 经过点()4,0E ，当212t ≠时，22224883627212436MEt t t k t t t -==+---，22221684281244NE MEt t t k k t t t --===+---，所以,,M N E 三点共线，即直线MN 经过点()4,0E .综上，直线MN 经过定点()4,0.22.某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[)20,25,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位:瓶)的分布列.(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n (单位:瓶)为多少时,Y 的数学期望达到最大值?【答案】（1）详见解析；（2）300.【解析】【分析】（1）由题意知的可能取值为200，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列．（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，只需考虑200500n ≤≤，根据300500n ≤≤和200300n ≤≤分类讨论．【详解】解：（1）由题意知，所有的可能取值为200，300，500，由表格数据知的分布列为2003005000.20.40.4（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200500n ≤≤当300500n ≤≤时，若最高气温不低于25，则2n ；若最高气温位于区间，则1200-2n ；若最高气温低于20，则=800-2n因此当00时，若最高气温不低于20，则2n ，若最高气温低于20，则=800-2n ，因此160+1.2nn 时，的数学期望达到最大值，最大值为520元．所以300。
江苏省沭阳县建陵中学2011-2012年第二学期数学周周练3
江苏省沭阳县建陵中学2011-2012年第二学期数学周周练3一、填空题（每题5分，共50分）.},200100,*,8{M 1素的和为中所有元则且、设集合M m N n n m m <<∈==.,15,15}{22754===+a a a a a n 则中，若、在等差数列。
为和项的则它的前中，、已知等差数列662516,10,4}{3S a a a a a n =+=+.,24,1}{41561==-=S S a a n 则中，若、在等差数列。
的两个根，则是方程若、已知等差数列==-+n n a x x a a a 0124,},{5262 。
的值为成等比数列，则，、若x x 32,326-+.252},{等比数列753645342=+=++a a a a a a a a a n ，则已知、。
是等差数列，那么又数列中，、已知数列=+==1863}21{,1,2}{8a a a a a n n 。
则为整数，且公比为等比数列，且、设==+-=138374,124,512}{9a q a a a a a n .120,4,2,10的取值范围是，则且其最大角不超过边分别为、已知钝角三角形的三a a a a ++二解答题（第11题10分，第12题12分，第13题14分，第14题14分）11、在ABC ∆中，已知=-+++=))((,sin sin cos 2c b a c b a C B A 且 ab 3，是判断三角形的形状。
.}{,)1()2(;)1(,12中,}{数列正 12n n n n n n n n n T n b a b a a S a 项和的前求数列若求项、-=+=13、已知数列}{n a 满足1144,4--==n n a a a ，令21-=n n a b （1）求证数列}{n b 是等差数列；（2）求数列}{n a 的通项公式。
14、已知数列}{n a 是等比数列，数列}{n b 是等差数列,且,,2311a b a b == ,37a b =求数列}{n a 的公比q .15、（2011年金山中学质检一）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，))(1(31*N n a S n n ∈-=；（1）求21,a a 的值； （2）证明数列}{n a 是等比数列，并求n S江苏省沭阳县建陵中学2011-2012年第二学期数学周周练3答案 1、1776 2、0； 3、21； 4、195 5、-2n+6/2n-8 6、1或-1 7、5或-5 8、32- 9、259或-259 ；10、[4,6) 11C B A B A C C B A sin sin cos 2),sin(sin ,=+=∴ 为三角形三个内角、、 为等边三角形。
高三数学周练试卷试题
卜人入州八九几市潮王学校洪泽县2021届高三数学周练试卷一.选择题:(题一共12小题,每一小题5分，一共60分) 1.集合}3x 3|N x {A≤≤-∈=,那么必有()A.A 1∈-B.A 0∈C.A 3∈D.A 2∈2.不等式0x32x ≥--的解集是() A.)3,2( B.)3,2[ C.]2,( -∞ D.),3(∞+ 3.函数xcos x2sin )x (f =的最小正周期是() A.2πB.πC.2πD.4π 4.假设)3,2( a=,)x ,4( b =,且a ∥b ,那么x 的值是()A.38-B.38C.－6D.6 5.以下函数中,在区间)1,0( 上为减函数的是()A.)x 1(log y31-= B.2xx 22y -= C.x 1)31(y-= D.)x 1(31y 2-= 6.假设,2y lg x lg =+那么y1x 1+的最小值是() A.2B.21C.51D.201 7、从{1，2，3，4，………,20}中任取3个不同的数，使这三个数仍成等差数列，那么这样的等差数列最多有〔〕(A)90个(B)120个(C)180个(D)200个8.两位同学一起去一家单位应聘,面试前单位负责人对他们说:“我们要从面试的人中招聘3人,你们俩同时被招聘进来的概率是701〞.根据这位负责人的话可以推断出参加面试的人数为() A.21B.35 C.42D.70 9.设l 1、l 2为直线,α正确的选项是()C.l 1、l 2与所成的角相等⇒l 1∥l 210.离心率为黄金比215-的椭圆称为“优美椭圆〞.设1by a x 2222=+)0b a (>>是优美椭圆,F 、A 分别是它的左焦点和右顶点,B 是它的短轴的一个端点,那么AB F ∠等于()A.60°B.75°C.90°D.120° 11.设函数x cos b x sin a )x (f ⋅-⋅=图象的一条对称轴方程为4x π=,那么直线0c by ax =+-的倾斜角为() A.4πB.43πC.3πD.32π 12、定义在R 上的函数y=f(x)，在〔-∞，a 〕上是增函数，且函数y=f(x+a )是偶函数，当x 1<a ，x 2>a 且a x a x -<-21时，有〔〕(A)f(2a -x 1)>f(2a -x 2)(B)f(2a -x 1)=f(2a -x 2) (C)f(2a -x 1)<f(2a -x 2)(D)-f(2a -x 1)<f(x 2-2a )二.填空题：(本大题一一共6小题；每一小题4分，一共24分) 13.在n 5)x1x (-的展开式中,第4项是常数项,那么n ＝.14.假设直线沿向量,,)1,0()0,3(又回到后来的位置移动后平移再沿向量==b a 那么直线l的斜率是__________. 15.假设曲线x x )x (f 4-=在点P 处的切线平行于直线0y x 3=-,那么点P 的坐标为.16．圆x 2＋y 2＝2上到直线x －y －4＝0间隔最近的点的坐标是_________．17.将容量为100的样本数据按从小到大的顺序分成8个组，如下表：18.半球内有一内接正方体,正方体的一个面在半球的底面圆内.假设正方体的棱长为6,那么半球的体积为.三.解答题：(本大题5小题，一共66分) 19.(此题12分)向量)1,x (sin a =,)21,x (cos -= b .(1)当b a ⊥时,求||b a +的值;(2)求函数)()x (f b a a -⋅=的值域.解:,1x sin ||22+=a ,41x cos ||22+=b 21x cos x sin -⋅=⋅b a ……(3分)(1),b a⊥ ∴.0=⋅b a ……(4分)又2222|||2|)(||b |b a |a b a b a +⋅+=+=+,4941x cos 1x sin 22=+++=∴.23||=+b a ……(7分) (2)21x 2sin 211x sin )()x (f 222+-+=⋅-=⋅-=-⋅=b a a b a a b a a ……(8分)).4x 2sin(22221x 2sin 2112x 2cos 1π+-=+-+-=……(10分) ∴]222,222[)x (f +-∈ .……(12分) 20.〔此题12分〕:如图,长方体AC 1中,棱AB ＝BC ＝3,棱BB 1＝4,连结B 1C,过点B 作B 1C 的垂线交CC 1于点E,交B 1C 于点F. (1)求证:A 1C ⊥平面EBD; (2)求点A 到平面A 1B 1C 的间隔; (3)求ED 与平面A 1B 1C 所成角的大小. 解:1中,A 1C 在底面ABCD 上的射影为AC,AC ⊥BD, ∴AC 1⊥BD.……(2分)在长方体AC 1中,A 1C 在平面BB 1C 1C 上的射影为B 1C,B 1C ⊥BE,∴A 1C ⊥BE.……(3分) 又BD BE ＝B,∴A 1C ⊥平面EBD.……(4分) (2)∵BF ⊥B 1C,BF ⊥AB 1,B 1C A 1B 1＝B 1, ∴BF ⊥平面A 1B 1C 1,……(5分)又∵A 1B 1∥AB,A 1B 1⊂平面A 1B 1C,AB ⊄平面A 1B 1C, ∴AB ∥平面A 1B 1C,点A 到平面A 1B 1C 的间隔即为点B 到平面A 1B 1C 间隔,也就是BF.……(7分)在△B 1BC 中,易知224343BF +⨯=512=, 点A 到平面A 1B 1C 的间隔为512.……(8分) (3)连结A 1D 、FD.由(2)知BE ⊥平面A 1B 1C, 即BE ⊥平面A 1B 1CD,∴∠EDF 为ED 与平面A 1B 1C 所成的角.……(9分)矩形B 1BCC 1中,易求得B 1F ＝516,CF ＝59,EF ＝,2027F B CF BF 1=⋅EC ＝.49F B BB FC 11=⋅ 又在Rt △CDE 中,415CD EC ED22=+=,……(11分) ,259BD EF EDF sin ==∠即ED 与平面A 1B 1C 所成角为259arcsin .……(12分) 21.〔14分〕某渔业公司年初用98万元购置一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元．〔1〕问第几年开场获利〔2〕假设干年后，有两种处理方案： 方案一：年平均获利最大时，以26万元出售该渔船方案二：总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案合算． 解析：〔1〕由题意知，每年的费用以12为首项，4为公差的等差数列． 设纯收入与年数n 的关系为f 〔n 〕，那么++-=1612[50)(n n f …9840298)]48(2-+-=-++n n n ．………2分由题知获利即为f 〔n 〕＞0，由0984022>-+-n n，得-10511051+<<n ．∴＜n ＜1.而n ∈N ，故n ＝3，4，5，…，17……………5分 ．∴当n ＝3时，即第3年开场获利．…………………6分〔2〕方案一：年平均收入)49(240)(nn n n f +-==．由于1449249=≥+nn n n ，当且仅当n ＝7时取“＝〞号．…………8分 ∴1214240)(=⨯-≤nn f 〔万元〕．……………9分 即第7年平均收益最大，总收益为12×7＋26＝110〔万元〕．………10分 方案二：f 〔n 〕＝22n -＋40n -98＝-22)10(-n ＋102．当n ＝10时，f 〔n 〕取最大值102，总收益为102＋8＝110〔万元〕．………12分 比较如上两种方案，总收益均为110万元，而方案一中n ＝7，应选方案一．…14分22.(此题总分值是14分)正方形ABCD 的外接圆方程为x 2+y 2－24x+a=0(a<144)，正方形一边CD 所在直线的方向向量为(3,1)，〔1〕求正方形对角线AC 与BD 所在直线的方程；〔2〕假设顶点在原点焦点在x 轴的抛物线E 经过正方形在x 轴上方的两个顶点A 、B ，求抛物线E 的方程。
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7 8 9 94 4 6 4 7 3 江苏省2010届高三年级第十次周练数 学 试 卷必做题部分（满分160分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填在答题纸的相应的横线上）1.已知集合{4,5},{1,2}P Q ==，定义{|,,}P Q x x p q p P q Q ⊕==-∈∈，则集合P Q ⊕的所有真子集的个数为 ▲ .2．复数)2)(1(i ai -+的实部与虚部相等，则实数a = ▲3．抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点为二次函数221y x x =++的图象的顶点，则此抛物线的方程为 __ ▲ _.4．一个靶子上有10个同心圆，半径依次为1、2、……、10，击中由内至外的区域的成绩依次为10、9、……、1环，则不考虑技术因素，射击一次,在有成绩的情况下成绩为10环的概率为 .5. 按右图所示的程序框图运算，若输入8x =，则输出k = ▲ ．6．首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是 ▲ ．7．右图是2007年中央电视台举办的挑战主持人大赛上，七位 评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为 ▲ ，方差分别为▲ 。
8.tan 20tan 4020tan 40︒+︒︒︒= ▲ ；9．设函数21123()n n f x a a x a x a x -=++++，1(0)2f =，数列{}n a 满足2(1)()n f n a n N *=∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 等于 ▲ ；10．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到α的距离分别为1，2和4，P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则P 到平面α的距离可能是：①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7 以上结论正确的为__ ▲ __（写出所有正确结论的编号．．） 11．若实数x y ，满足22120x y x x y x ⎧⎪⎨⎪++⎩，，-4≤≤≥，在平面直角坐标系中，此不等式组表示的平面区域的面积是 ▲ .12．有一道解三角形的题目，因纸张破损有一个条件模糊不清，具体如下：“在△ABC 中，已知4a B π==， ▲ ，求角A.”经推断，破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示6A π=.试在横线上将条件补充完整.13.设M 是其中定义且内一点),,,()(,30,32,p n m M f BAC AC AB ABC =︒=∠=⋅∆ABCDA 1B 1C 1D 1第10题图αm 、n 、p 分别是114,,,()(,,),2MBC MCA MAB f P x y x y∆∆∆=+的面积若则的最小值 ▲ ．14. 我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得线段的比都为k ，那么甲的面积是乙的面积的k 倍.你可以从给出的简单图形①、②中体会这个原理.现在图③中的曲线分别是22221(0)x y a b a b+=>>与222x y a +=，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为 ▲ .二、解答题：本大题6小题，共90分，解题时要写出必要的文字说明、解题步骤. 15（本小题满分14分）已知函数)(,cos sin )(x f x x x f '+=是)(x f 的导函数。
（Ⅰ）求函数)()()()(2x f x f x f x F +'=的最大值和最小正周期；（Ⅱ）若xx x xx f f cos sin cos sin 1),(2)2(22-+'=求的值。
16．（本小题满分14分）如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点． （1）求证：EF ∥平面CB 1D 1；（2）求证：平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．（3）如果AB =1，一个点从F 出发在正方体的表面上依次经过棱BB 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1D 、DA 上的点，又回到F ，指出整个线路的最小值（直接写出答案，不要过程）17．（本小题满分14分）据预测，某旅游景区游客人数在600至1300人之间，游客人数x （人）与游客的消费总额y （元）之间近似地满足关系式：100000024002-+-=x x y ．（1）若该景区游客消费总额不低于400000元时，求景区游客人数的范围．（2）当景区游客的人数为多少人时，游客的人均消费最高？并求游客的人均最高消费额．A 1l ① ②(将l 向右平移)18．（本小题满分16分）已知F 1（－c ,0）, F 2（c ,0） (c ＞0)是椭圆的两个焦点，O 为坐标原点，圆M 的方程是22259()416c x c y -+=．（1）若P 是圆M 上的任意一点，求证：12||||PF PF 是定值；（2）若椭圆经过圆上一点Q ，且cos ∠F 1QF 2=35，求椭圆的离心率； （3）在（2）的条件下，若|OQ，求椭圆的方程． 19．（本小题满分16分）数列{}n a 满足a a =1，a a -=2（0>a ），且{}n a 从第二项起是公差为6的等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和． （1）当2≥n 时，用a 与n 表示n a 与n S ；（2）若在6S 与7S 两项中至少有一项是n S 的最小值，试求a 的取值范围；（3）若a 为正整数，在（2）的条件下，设n S 取6S 为最小值的概率是1p ，n S 取7S 为最小值的概率是2p ，比较1p 与2p 的大小．20．（本小题满分16分）已知函数()f x 是定义在[)(],00,e e -上的奇函数,当(]0,x e ∈时,()ln f x ax x =+(其中e 是自然界对数的底, a R ∈). (1) 求()f x 的解析式;(2) 设ln (),x g x x=，求证：当[),0x e ∈-，1a =-时，1()()2f x g x >+；（3）是否存在负数a ，使得当[),0x e ∈-时，()f x 的最小值是3 ？如果存在，求出实数a 的值；如果不存在，请说明理由．江苏省 2010届高三年级第十次周练 数学试卷答题纸一、填空题：1._________________2.___________________3._________________4.____________5._________________6.___________________7._________________8.____________9._________________10.__________________11.________________12.___________13.________________14.___________________二、解答题：15.16. 17．A118．19．B20．数学试题第二部分（加试部分）（总分40分，加试时间30分钟）21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．（选修4—1 几何证明选讲）如图，AB 是⊙O 的直径，C 、F 为⊙O 上的点，且CA 平分∠BAF ，过点C 作CD ⊥AF交AF 的延长线于点D . 求证：DC 是⊙O 的切线.B ．（选修4—2 矩阵与变换）已知二阶矩阵M 有特征值8λ=及对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，并且矩阵M 对应的变换将点(1,2)-变换成(2,4)-。
（1）求矩阵M ；（2）求矩阵M 的另一个特征值，及对应的一个特征向量e 2的坐标之间的关系。
C ．（选修4—4参数方程与极坐标）已知曲线:C 3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩，直线:l (cos 2sin )12ρθθ-=．⑴将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；⑵设点P 在曲线C 上，求P 点到直线l 距离的最小值．D ．（选修4—5 不等式证明选讲）已知0m a b >∈R ，，，求证：()22211a mba mb mm++≤++.解：选选【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22、（本题满分10分）如图，三棱锥P ABC -中，PB ⊥底面ABC 于B ，90,BCA PB BC CA ∠==== 点,E F 分别是,PC PA 的中点，求二面角A BE F --的余弦值．23．（本小题满分10分）已知函数f(x)=021n n C x --1n C 2nx 1212131(1)n r r n r n n n n n C x C x C x +-+-+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+，其中n ()n N +∈． （1）求函数f(x)的极大值和极小值； （2）设函数f(x)取得极大值时x=n a ，令n b =2-3n a ，n S =12231n n bb b b b b +++⋅⋅⋅+，若p≤n S <q 对一切n ∈N ＋恒成立，求实数p 和q 的取值范围．江苏省 2010届高三年级第十次周练数 学 试 卷 答 案1.7 2． 3 3.24y x =- 4． 0.01 5．4 6． ]3,38( 7.85; 8/5 8. 39．1n n + 10．①③④⑤ 11.22π-12． 6=b 或写成2623+=c 13.18．14. ab π 15解（1）x x x f sin cos )(-=' ，…………………………2分)()()()(2x f x f x f x F +'=∴x x x x cos sin 21sin cos 22++-=)42sin(212cos 2sin 1π++=++=x x x ……………………4分)(82242Z k k x k x ∈+=⇒+=+∴πππππ当时，21)(max +=x F ……………………6分最小正周期为ππ==22T ……………………7分 （2）x x x x x f x f sin 2cos 2cos sin )(2)(-=+⇒'=31tan sin 3cos =⇒=∴x x x ……………………11分xx x x x x x x x cos sin cos cos sin 2cos sin cos sin 122222-+=-+∴ =.61132911tan 11tan 22==-+x x ……………………14分16．（1）证明:连结BD .在长方体1AC 中，对角线11//BD B D .又 E 、F 为棱AD 、AB 的中点，//EF BD ∴. 11//EF B D ∴. 又B 1D 1⊂≠ 平面11CB D ，EF ⊄平面11CB D ，∴ EF ∥平面CB 1D 1. …………6分（2）在长方体1AC 中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，而B 1D 1⊂≠ 平面A 1B 1C 1D 1，∴ AA 1⊥B 1D 1.又在正方形A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1⊥B 1D 1，∴ B 1D 1⊥平面CAA 1C 1.又 B 1D 1⊂≠ 平面CB 1D 1，∴平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．…………12分（3）最小值为14分如图，将正方体六个面展开，从图中F 到F ，两点之间线段最短，而且依次经过棱BB 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1D 、DA 上的中点，所求的最小值为.17．解：（1）由已知：400000100000024002≥-+-x x ，即0140000024002≤+-x x ，解得14001000≤≤x ---------------------------------6分 又1300600≤≤x ，所以景区游客人数的范围是1000至1300人 -------------7分 （2）设游客的人均消费额为y ，则4002400)1000000(100000024002≤++-=-+-=xx x x x y ----------------------10分当且仅当1000=x 时等号成立． ----------------------------------------------------13分 答：当景区游客的人数为1000时，游客的人均消费最高，最高消费额为400元．14分18． （1）证明：设P （x ,y ）是圆22259()416c x c y -+=上的任意一点，12||||PF PF= =3 FF∴12||||PF PF =3 -------------------------------5分 （2）解：在△F 1QF 2中，F 1F 2=2c ，Q 在圆上，设|QF 2|=x ，则|QF 1|=3x ，椭圆半长轴长为2x ，4c 2=x 2＋9x 2－6x 2×3，5c 2=8x 2e 2=22()25c x =，e．-----------11分（3）由（2）知，x，即|QF 2，则|QF 1 22121||||4QO QF QF =+22212121222221||(||||2||||cos )41455153(2)488853416QO QF QF QF QF FQF c c c c =++∠=++⋅⋅= 由于|OQ ，∴c =2，进一步由e =ca得到a 2=10，b 2=6所求椭圆方程是221106x y +=． ------------16分 19．解：（1）由已知，当2≥n 时，)2(6-+-=n a a n ，即)12(6+-=a n a n ．62)2)(1())(1(21⋅--+--+=+++=n n a n a a a a S n n62)9(32+++-=a n a n ．……………………………………………5分 （2）解法一：由已知，当2≥n 时，{}n a 是等差数列，公差为6，数列递增．若6S 是n S 的最小值，则⎩⎨⎧≥≤0076a a ，即⎩⎨⎧≥-≤-030024a a ，得3024≤≤a ．若7S 是n S 的最小值，则⎩⎨⎧≥≤0087a a ，即⎩⎨⎧≥-≤-036030a a ，得3630≤≤a ．∴ 当6S 与7S 两项中至少有一项是n S 的最小值时，a 的取值范围是]36,24[． (11)分（2）解法二：由（1）， 当2≥n 时，62)9(32+++-=a n a n S n ，且a S =1也满足 此式，∵ 在6S 与7S 两项中至少有一项是n S 的最小值，∴ 5.7695.5≤+≤a ， 解得3624≤≤a ，从而a 的取值范围是]36,24[． （3）由（2）知24{∈a ，25，26， (36)若6S 是n S 的最小值，则5.6695.5≤+≤a ，即30,,26,25,24 =a 若7S 是n S 的最小值，5.7695.6≤+≤a ，即36,,32,31,30 =a∴ 13721==p p ．……………………………………………………………………16分 20.解：（1）设[,0)x e ∈-，则(0,]x e -∈，所以()ln()f x ax x -=-+-.又因为()f x 是定义在[,0)(0,]e e -上的奇函数，所以()()ln()f x f x ax x =--=-- .故函数()f x 的解析式为ln(),[,0)()ln ,(0,]ax x x e f x ax x x e --∈-⎧=⎨+∈⎩. …………………4分（2）证明：当[,0)x e ∈-且1a =-时，l n ()()l n (),()x f x x x g x x-=---=-，设l n ()1()2x h x x -=+-.因为11()1x f x x x+'=--=-，所以当1e x -≤≤-时，()0f x '<，此时()f x 单调递减；当10x -<<时，()0f x '>，此时()f x 单调递增，所以min ()(1)10f x f =-=>………6分又因为2ln()1()x h x x--'=，所以当0e x -≤<时，()0h x '≤，此时()h x 单调递减，所以max min 1111()()1()222h x h e f x e =-=+<+==.所以当[,0)x e ∈-时，()(),f x h x >即1()()2f xg x >+ .……………………10分（3）解：假设存在负数a ，使得当[,0)x e ∈-时，()ln()f x ax x =--有最小值是3，则11()ax f x a x x -'=-=.①当10a e -≤<，由于[,0)x e ∈-，则1()0f x a x '=-≥，故函数()ln()f x ax x =-- 是[,0)e -上的增函数．所以min ()()13f x f e ae =-=--=，解得41a e e=-<-（舍去）.……………………12分②当1a e<-时，则当1e x a -≤<时，1()0f x a x'=-<，此时函数()ln()f x ax x =--是减函数； 当10x a <<时，1()0f x a x'=->，此时函数()ln()f x ax x =--是增函数． 所以min 11()()1ln()3f x f a a==--=，解得2a e =-满足题意。