2015中考数学总复习教学案：第21讲 特殊三角形

第21讲特殊三角形及直角三角形的性质，但在综合题中，常常会用到本节的知识，如对垂径定理的考查会涉及勾股定理，求线段长会用到等腰或直角三角形的性质，在解答题中有时会涉及特殊三角形的判定等，因此学好本节内容是解决几何综合题的基础，预计2015年中考仍会涉及特殊三角形的相关性质与判定，可能会与四边形或圆结合考查．1．等腰三角形(1)性质：__两腰__相等，__两底角__相等，底边上的高线、中线、顶角的角平分线“三线合一”；是轴对称图形，有__1__条对称轴；面积S ＝12ah(h 是边a 上的高)；(2)判定：有两边相等、两角相等或两线合一的三角形是等腰三角形． 2．等边三角形(1)性质：__三边__相等，三内角都等于__60°__；是轴对称图形，有__3__条对称轴；面积S ＝12ah(h 是边a 上的高)．(2)判定：三边相等、三内角相等或有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 3．直角三角形在△ABC 中，∠C ＝90°.(1)性质：边与边的关系(勾股定理)：a 2＋b 2＝__c 2__； (2)角与角的关系：∠A ＋∠B ＝__90°__；(3)边与角的关系：若∠A ＝30°，则a ＝12c ，b ＝32c ；若a ＝12c ，则∠A ＝30°；若∠A ＝45°，则a ＝b ＝22c ；若a ＝22c ，则∠A ＝45°；S Rt △ABC ＝12ch ＝12ab ，其中a ，b 为两个直角边，c 为斜边，h 为斜边上的高，Rt △ABC内切圆半径r ＝a ＋b －c 2，外接圆半径R ＝c2＝斜边上的中线．(4)判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形；如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形；如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．一个方法 面积法：用面积法证题是常用的技巧方法之一，使用这种方法时一般是利用某个图形的多种面积求法或面积之间的和差关系列出等式，从而得到要证明的结论．两个特殊角：在直角三角形中斜边上中线等于斜边的一半，同时这条中线将直角三角形分成了两个等腰三角形，这一特征在解题中时有运用；在直角三角形中，含锐角30°、45°这两类是较为特殊的，它们的边、角有一些特殊的数量关系，应该熟记在心．三个防范(1)在解有关等腰三角形的问题时，有一种习惯上的认识，总认为腰大于底，这是造成错解的原因．实际上底也可以大于腰，此时也能构成三角形．(2)有关等腰三角形的问题，若条件中没有明确底和腰时，一般应从某一边是底还是腰这两个方面进行讨论，还要特别注意构成三角形的条件；同时，在底角没有被指定的等腰三角形中，应就某角是顶角还是底角进行讨论．注意运用分类讨论的方法，将问题考虑全面，不能想当然．(3)在已知三角形三边的前提下，判断这个三角形是否为直角三角形，首先要确定三条边中的最大边，再根据勾股定理的逆定理来判定．在解题时，往往受思维定式的影响，误认为如果是直角三角形，则c 就是斜边，从而造成误解．(2013·陕西)如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且BD 平分AC.若BD＝8，AC ＝6，∠BOC ＝120°，则四边形ABCD 的面积为．等腰三角形有关边角的讨论【例1】 (1)(2014·盐城)若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为( D ) A ．40° B ．50° C ．60° D ．70° (2)(2014·潍坊)等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x 的一元二次方程x 2－12x ＋k ＝0的两个根，则k 的值是( B )A ．27B ．36C ．27或36D ．18 【点评】 在等腰三角形中，如果没有明确底边和腰，某一边可以是底，也可以是腰．同样，某一角可以是底角也可以是顶角，必须仔细分类讨论．1．(2014·宜昌)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝30°，以B 为圆心，BC 的长为半径圆弧，交AC 于点D ，连接BD ，则∠ABD ＝( B )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°等腰三角形的性质 【例2】 (2014·杭州)在△ABC 中，AB ＝AC ，点E ，F 分别在AB ，AC 上，AE ＝AF ，BF 与CE 相交于点P.求证：PB ＝PC ，并直接写出图中其他相等的线段．解：在△ABF 和△ACE 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，∠BAF ＝∠CAE ，AF ＝AE ，∴△ABF ≌△ACE(SAS )，∴∠ABF ＝∠ACE(全等三角形的对应角相等)，∴BF ＝CE(全等三角形的对应边相等)，∵AB ＝AC ，AE＝AF ，∴BE ＝CF ，在△BEP 和△CFP 中，⎩⎨⎧∠BPE ＝∠CPF ，∠PBE ＝∠PCF ，BE ＝CF ，∴△BEP ≌△CFP(AAS )，∴PB ＝PC ，∵BF ＝CE ，∴PE ＝PF ，∴图中相等的线段为PE ＝PF ，BE ＝CF ，BF ＝CE【点评】 在证明线段相等时，利用全等三角形的对应角相等向两腰转化构造等腰三角形是常用的解题方法之一．2．(2012·肇庆)如图，已知AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC 与BD 交于点O ，AC ＝BD.求证：(1)BC ＝AD ；(2)△OAB 是等腰三角形．解：(1)∵AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，∴∠D ＝∠C ＝90°，在Rt △ACB 和Rt △BDA 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ，∴△ACB ≌△BDA(HL )，∴BC ＝AD (2)由△ACB ≌△BDA 得∠CAB ＝∠DBA ，∴△OAB 是等腰三角形等边三角形【例3】 (2013·聊城)如图，在等边△ABC 中，AB ＝6，D 是BC 的中点，将△ABD绕点A 旋转后得到△ACE ，那么线段DE 的长度为【点评】 在解题的过程中要充分利用等边三角形特有的性质，每个角都相等，每条边都相等，这可以让我们轻松找到证明全等所需的条件．3．(2014·益阳)如图，将等边△ABC 绕顶点A 顺时针方向旋转，使边AB 与AC 重合得△ACD ，BC 的中点E 的对应点为F ，则∠EAF 的度数是__60°__.直角三角形、勾股定理【例4】 (1)(2014·无锡)如图，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点．若AD ＝6，DE ＝5，则CD 的长等于__8__．,第(1)题图) ,第(2)题图)(2)(2013·山西)如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝12，BC ＝5，点E 在AB 上，将△DAE沿DE 折叠，使点A 落在对角线BD 上的点A′处，则AE 的长为__103__．【点评】 在线段的长无法直接求出时，可利用另一线段把这一线段表示出来，然后利用勾股定理得到一个方程，最后得解，这是利用勾股定理解决线段长的常用方法．4．(2014·东营)如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行__10__米．试题 在△ABC 中，高AD 和高BE 相交于H ，且BH ＝AC ，求∠ABC 的度数．错解解：如图①，在Rt △BHD 和Rt △ACD 中，∠C ＋∠CAD ＝90°，∠C ＋∠HBD ＝90°，∴∠HBD ＝∠CAD.又∵BH ＝AC ，∴△BHD ≌△ACD ，∴BD ＝AD.∵∠ADB ＝90°，∴∠ABC ＝45°.正解解：这里的∠ABC 有两种情况，∠ABC 是锐角(图①)或∠ABC 是钝角(图②)．如图②，在Rt △BHD 和Rt △ACD 中，易得∠DCA ＝∠DHB.又∵AC ＝BH ，∴△DHB ≌△DCA ，∴AD ＝DB ，∴∠DBA ＝45°，∴∠ABC ＝135°.综上：∠ABC ＝45°或∠ABC ＝135°.试题 已知△ABC 是等腰三角形，由A 所引BC 边上的高恰好等于BC 边长的一半，试求∠BAC 的度数．错解解：如图③，∵AD ⊥BC ，AD ＝12BC ＝BD ＝CD ，∴∠BAD ＝∠B ＝∠C ＝∠CAD ＝45°，∴∠BAC ＝90°.剖析(1)对于等腰三角形问题，当给出的条件(如边、角情况)不明时，一般要分情况逐一考察，否则容易出现错解或漏解的错误．(2)当顶角是锐角时，腰上的高在三角形内；当顶角为直角时，腰上的高与另一腰重合；当顶角为钝角时，腰上的高在三角形外．这是在解与等腰三角形腰上的高有关的问题时，应考虑的几个方面．正解 解：题目中并没有指明BC 是等腰△ABC 的底或腰．当BC 为底时，可求得∠BAC ＝90°；当BC 为腰时，还应对∠B 的大小进行讨论：(1)当顶角B 是锐角时，如图④，∵AD ＝12BC ＝12AB ，AD ⊥BC ，∴∠B ＝30°，从而∠BAC＝∠C ＝75°.(2)当顶角B 为直角时，高AD 和腰AB 重合，与已知矛盾，故∠B ≠90°.(3)当顶角B 为钝角时，如图⑤，∵AD ＝12BC ＝12AB ，AD ⊥BC ，∴∠DBA ＝30°，从而∠BAC ＝∠C ＝12∠DBA ＝12×30°＝15°.综上，∠BAC 的度数为90°或75°或15°.。