2020-2021学年江苏省徐州市中考数学模拟试题及答案解析

最新江苏省徐州市中考数学模拟试卷（一）一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在答题卡相应的位置上．1．下列各数中，最大的数是（）A．﹣B．0 C．|﹣4| D．π2．下面是一位同学做的四道题：①a3+a3=a6；②（xy2）3=x3y6；③x2•x3=x6；④（﹣a）2÷a=﹣a．其中做对的一道题是（）A．①B．②C．③D．④3．我国质检总局规定，针织内衣等直接接触皮肤的制品，每千克的衣物上甲醛含量应在0.000075千克以下．将0.000075用科学记数法表示为（）A．7.5×105B．7.5×10﹣5C．0.75×10﹣4 D．75×10﹣64．盒子里有3支红色笔芯，2支黑色笔芯，每支笔芯除颜色外均相同．从中任意拿出一支笔芯，则拿出黑色笔芯的概率是（）A．B．C．D．5．解一元二次方程（x﹣2）2=3时，最佳的求解方法是（）A．配方法B．因式分解法C．求根公式法D．以上方法均可6．如图，⊙O的弦AB=8，P是劣弧AB中点，连结OP交AB于C，且PC=2，则⊙0的半径为（）A．8 B．4 C．5 D．107．某种药品原价为35元/盒，经过连续两次降价后售价为26元/盒，设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（）A．35（1﹣x）2=35﹣26 B．35（1﹣2x）=26 C．35（1﹣x）2=26 D．35（1﹣x2）=268．如图，将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点C在x轴上，点D（3，1）在BC上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E．若抛物线y=ax2﹣4ax+10（a≠0且a为常数）的顶点落在△ADE的内部，则a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共10小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．9．= ．10．正六边形的一个内角是．11．某班体育委员记录了第一小组七位同学定点投篮（每人投10个）情况，投进篮筐的个数为6，10，5，3，4，8，4，这组数据的中位数是．12．抛物线y=（x+1）2﹣2的顶点坐标是．13．分解因式：x2﹣9x= ．14．已知圆锥的底面半径是2cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是cm3（结果保留π）15．若x≠y，则x4+y4x3y+xy3（填“＞”或“＜”）16．新定义：[a，b]为一次函数y=ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”[2，m+1]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程+=1的解为．17．如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，=，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于．18．任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[]=1．现对72进行如下操作：72[]=8[]=2[]=1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似的，①对81只需进行次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是．三、解答题：本大题共10小题，共86分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．计算：（5）0+（﹣1）2+|﹣2|﹣tan60°．20．（1）解方程x2﹣2x﹣3=0（2）解不等式组．21．如图，已知四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形．22．据报载，在“百万家庭低碳行，垃圾分类要先行”活动中，某地区对随机抽取的1000名公民的年龄段分布情况和对垃圾分类所持态度进行调查，并将调查结果分别绘成条形图（图1）、扇形图（图2）．（1）图2中所缺少的百分数是；（2）这次随机调查中，如果公民年龄的中位数是正整数，那么这个中位数所在年龄段是（填写年龄段）；（3）这次随机调查中，年龄段是“25岁以下”的公民中“不赞成”的有5名，它占“25岁以下”人数的百分数是；（4）如果把所持态度中的“很赞同”和“赞同”统称为“支持”，那么这次被调查公民中“支持”的人有名．23．老师和小明同学玩数学游戏．老师取出一个不透明的口袋，口袋中装有三张分别标有数字1，2，3的卡片，卡片除数字外其余都相同，老师要求小明同学两次随机抽取一张卡片，并计算两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率．于是小明同学用画树状图的方法寻求他两次抽取卡片的所有可能结果．如图是小明同学所画的正确树状图的一部分．（1）补全小明同学所画的树状图；（2）求小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率．24．如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于T，AC⊥PQ于C，交⊙O于D．（1）求证：AT平分∠BAC；（2）若AO=2，AT=2，求AC的长．25．某市因水而名，因水而美，因水而兴，市政府作出了“五水共治”决策：治污水、防洪水、排涝水、保供水、抓节水．某区某乡镇对某河道进行整治，由甲乙两工程队合作20天可完成．已知甲工程队单独整治需60天完成．（1）求乙工程队单独完成河道整治需多少天？（2）若甲乙两工程队合做a天后，再由甲工程队单独做天（用含a的代数式表示）可完成河道整治任务．（3）如果甲工程队每天施工费5000元，乙工程队每天施工费为1.5万元，先由甲乙两工程队合作整治，剩余工程由甲工程队单独完成，问要使支付两工程队费用最少，并且确保河道在40天内（含40天）整治完毕，问需支付两工程队费用最少多少万元？26．一、阅读理解：在△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c；（1）若∠C为直角，则a2+b2=c2；（2）若∠C为锐角，则a2+b2与c2的关系为：a2+b2＞c2；（3）若∠C为钝角，试推导a2+b2与c2的关系．二、探究问题：在△ABC中，BC=a=3，CA=b=4，AB=c，若△ABC是钝角三角形，求第三边c 的取值范围．27．如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC和Rt△ADC拼在一起，使斜边AC完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=30°，AB=BC=4cm （1）填空：AD= （cm），DC= （cm）（2）点M，N分别从A点，C点同时以每秒1cm的速度等速出发，且分别在AD，CB上沿A →D，C→B方向运动，点N到AD的距离（用含x的式子表示）（3）在（2）的条件下，取DC中点P，连接MP，NP，设△PMN的面积为y（cm2），在整个运动过程中，△PMN的面积y存在最大值，请求出y的最大值．（参考数据sin75°=，sin15°=）28．已知：如图在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的负半轴上，OC在x 轴的正半轴上，OA=2，OC=3，过原点O作∠AOC的平分线交线段AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交线段OA于点E．（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；（2）如图2将∠EDC绕点D按逆时针方向旋转后，角的一边与y轴的负半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G，如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，求证：EF=2GO；（3）对于（2）中的点G，在位于第四象限内的该跑物像上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在答题卡相应的位置上．1．下列各数中，最大的数是（）A．﹣B．0 C．|﹣4| D．π【考点】实数大小比较．【分析】利用任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，进而比较即可．【解答】解：∵﹣＜0，|﹣4|=4＞π，∴各数中，最大的数是：|﹣4|．故选；C．2．下面是一位同学做的四道题：①a3+a3=a6；②（xy2）3=x3y6；③x2•x3=x6；④（﹣a）2÷a=﹣a．其中做对的一道题是（）A．①B．②C．③D．④【考点】整式的混合运算．【分析】利用多项式的加法；积的乘方；同底数幂相乘；同底数幂相除的运算法则可对四个小题进行分析，即可的问题答案．【解答】解：①a3+a3=2a3，故该选项错误；②（xy2）3=x3y6，该选项正确；③x2•x3=x5，该选项错误；④（﹣a）2÷a=a，故该选项错误．故选B．3．我国质检总局规定，针织内衣等直接接触皮肤的制品，每千克的衣物上甲醛含量应在0.000075千克以下．将0.000075用科学记数法表示为（）A．7.5×105B．7.5×10﹣5C．0.75×10﹣4 D．75×10﹣6【考点】科学记数法—表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：将0.000075用科学记数法表示为：7.5×10﹣5．故选B．4．盒子里有3支红色笔芯，2支黑色笔芯，每支笔芯除颜色外均相同．从中任意拿出一支笔芯，则拿出黑色笔芯的概率是（）A．B．C．D．【考点】概率公式．【分析】先确定盒子里全部笔芯的总数及黑色笔芯的支数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：因为全部是5支笔，2支黑色笔芯，所以从中任意拿出一支笔芯，拿出黑色笔芯的概率是．故选C．5．解一元二次方程（x﹣2）2=3时，最佳的求解方法是（）A．配方法B．因式分解法C．求根公式法D．以上方法均可【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【分析】根据因式分解法解方程的方法得出答案．【解答】解：解一元二次方程（x﹣2）2=3时，最佳的求解方法是：因式分解法．故选：B．6．如图，⊙O的弦AB=8，P是劣弧AB中点，连结OP交AB于C，且PC=2，则⊙0的半径为（）A．8 B．4 C．5 D．10【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】首先连接OA，由P是劣弧AB中点，可得OP⊥AB，且AC=4，然后设⊙0的半径为x，利用勾股定理即可求得方程：x2=42+（x﹣2）2，解此方程即可求得答案．【解答】解：连接OA，∵P是劣弧AB中点，∴OP⊥AB，AC=AB=×8=4，设⊙0的半径为x，则OC=OP﹣PC=x﹣2，在Rt△OAC中，OA2=OC2+AC2，∴x2=42+（x﹣2）2，解得：x=5，∴⊙0的半径为5．故选C．7．某种药品原价为35元/盒，经过连续两次降价后售价为26元/盒，设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（）A．35（1﹣x）2=35﹣26 B．35（1﹣2x）=26 C．35（1﹣x）2=26 D．35（1﹣x2）=26【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率）=26，把相应数值代入即可求解．【解答】解：第一次降价后的价格为35×（1﹣x），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，为35×（1﹣x）×（1﹣x），则列出的方程是35（1﹣x）2=26．故选C．8．如图，将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点C在x轴上，点D（3，1）在BC上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E．若抛物线y=ax2﹣4ax+10（a≠0且a为常数）的顶点落在△ADE的内部，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】二次函数综合题．【分析】利用对折的性质，得到线段的关系，用勾股定理建立方程，最后用相似△AFG∽△ABD得到比例式，计算出点G，H的纵坐标即可．．【解答】解：如图，过点E作EF⊥AB于F，EF分别与AD、OC交于点G、H，过点D作DP⊥EF于点P，则EP=PH+EH=DC+EH=1+EH，在Rt△PDE中，由勾股定理可得，DP2=DE2﹣PE2=9+（1+EH）2，∴BF2=DP2=9+（1+EH）2，在Rt△AEF中，AF=AB﹣BF=3﹣，EF=4+EH，AE=4，∵AF2+EF2=AE2，即：（3﹣）2+（4+EH）2=16，解得EH=1，∴AB=3，AF=2，E（2，﹣1）．∵∠AFG=∠ABD=90°，∠FAG=∠BAD，∴△AFG∽△ABD．∴，即：=，∴FG=2．∴EG=EF﹣FG=3．∴点G的纵坐标为2．∵y=ax2﹣4ax+10=a（x﹣2）2+（10﹣20a），∴此抛物线y=ax2﹣4ax+10的顶点必在直线x=2上．又∵抛物线的顶点落在△ADE的内部，∴此抛物线的顶点必在EG上．∴﹣1＜10﹣20a＜2，∴．故选B．二、填空题：本大题共10小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．9．= 2 ．【考点】算术平方根．【分析】如果一个数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求解．【解答】解：∵22=4，∴=2．故答案为：210．正六边形的一个内角是120°．【考点】多边形内角与外角．【分析】利用多边形的内角和公式180°（n﹣2）计算出六边形的内角和，然后再除以6即可．【解答】解：由题意得：180°（6﹣2）÷6=120°，故答案为：120°．11．某班体育委员记录了第一小组七位同学定点投篮（每人投10个）情况，投进篮筐的个数为6，10，5，3，4，8，4，这组数据的中位数是 5 ．【考点】中位数．【分析】根据中位数的定义求出各数解答即可．【解答】解：按次序排列为3，4，4，5，6，8，10，故中位数为5．故答案为：5．12．抛物线y=（x+1）2﹣2的顶点坐标是（﹣1，﹣2）．【考点】二次函数的性质．【分析】直接利用顶点式的特点可求顶点坐标．【解答】解：因为y=（x+1）2﹣2是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣1，﹣2），故答案为（﹣1，﹣2）．13．分解因式：x2﹣9x= x（x﹣9）．【考点】因式分解的意义．【分析】首先确定多项式中的两项中的公因式为x，然后提取公因式即可．【解答】解：原式=x•x﹣9•x=x（x﹣9），故答案为：x（x﹣9）．14．已知圆锥的底面半径是2cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是10πcm3（结果保留π）【考点】圆锥的计算．【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．【解答】解：圆锥的侧面积=2π×2×5÷2=10π．故答案为：10π．15．若x≠y，则x4+y4＞x3y+xy3（填“＞”或“＜”）【考点】因式分解的应用．【分析】首先作差，利用因式分解得出：（x4+y4）﹣（x3y+xy3）＞0即可得出结论．【解答】解：（x4+y4）﹣（x3y+xy3）=x4+y4﹣x3y﹣xy3）=x3（x﹣y）﹣y3（x﹣y）=（x﹣y）（x3﹣y3）=（x﹣y）2（x2+xy+y2），∵x≠y，x2+y2≥2xy＞0，∴2xy≥xy，∴x2+xy+y2＞0，∴x4+y4＞x3y+xy3．故答案为：＞．16．新定义：[a，b]为一次函数y=ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”[2，m+1]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程+=1的解为x=．【考点】解分式方程；正比例函数的定义．【分析】根据题中的新定义化简求出m的值，代入分式方程计算即可求出解．【解答】解：根据关联数”[2，m+1]的一次函数是正比例函数，得到m+1=0，即m=﹣1，则方程为﹣1=1，即x﹣1=，解得：x=，经检验是分式方程的解．故答案为：17．如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，=，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于．【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．【分析】首先根据=设AD=BC=a，则AB=CD=2a，然后利用勾股定理得到AC=a，然后根据射影定理得到BC2=CE•CA，AB2=AE•AC从而求得CE=，AE=，得到=，利用△CEF∽△AEB，求得=（）2=．【解答】解：∵=，∴设AD=BC=a，则AB=CD=2a，∴AC=a，∵BF⊥AC，∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，∴BC2=CE•CA，AB2=AE•AC∴a2=CE•a，2a2=AE•a，∴CE=，AE=，∴=，∵△CEF∽△AEB，∴=（）2=，故答案为：．18．任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[]=1．现对72进行如下操作：72[]=8[]=2[]=1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似的，①对81只需进行 3 次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255 ．【考点】估算无理数的大小．【分析】①根据规律依次求出即可；②要想确定只需进行3次操作后变为1的所有正整数，关键是确定二次操作后数的大小不能大于4，二次操作时根号内的数必须小于16，而一次操作时正整数255却好满足这一条件，即最大的正整数为255．【解答】解：①[]=9，[]=3，[]=1，故答案为：3；②最大的是255，[]=15，[]=3，[]=1，而[]=16，[]=4，[]=2，[]=1，即只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的正整数是255，故答案为：255．三、解答题：本大题共10小题，共86分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．计算：（5）0+（﹣1）2+|﹣2|﹣tan60°．【考点】实数的运算．【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用乘方的意义计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：原式=1+1+2﹣=4﹣．20．（1）解方程x2﹣2x﹣3=0（2）解不等式组．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元一次不等式组．【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）分别解两个不等式得到x＜2和x≥﹣1，然后根据大于小的小于大的取中间确定不等式组的解集．【解答】解：（1）（x﹣3）（x+1）=0，x﹣3=0或x+1=0，所以x1=3，x2=﹣1；（2），解①得x＜2，解②得x≥﹣1，所以不等式组的解集为﹣1≤x＜2．21．如图，已知四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形．【考点】平行四边形的判定．【分析】利用四边形的内角和和已知条件中的对角相等得到邻角互补，从而判定两组对边平行，进而证得结论．【解答】证明：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∠A=∠C，∠B=∠D，∴∠A+∠B=180°，又∵∠A=∠C，∴∠B+∠C=180°，∴AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．22．据报载，在“百万家庭低碳行，垃圾分类要先行”活动中，某地区对随机抽取的1000名公民的年龄段分布情况和对垃圾分类所持态度进行调查，并将调查结果分别绘成条形图（图1）、扇形图（图2）．（1）图2中所缺少的百分数是12% ；（2）这次随机调查中，如果公民年龄的中位数是正整数，那么这个中位数所在年龄段是36～45岁（填写年龄段）；（3）这次随机调查中，年龄段是“25岁以下”的公民中“不赞成”的有5名，它占“25岁以下”人数的百分数是5% ；（4）如果把所持态度中的“很赞同”和“赞同”统称为“支持”，那么这次被调查公民中“支持”的人有700 名．【考点】条形统计图；扇形统计图；中位数．【分析】（1）本题需先根据已知条件，再结合图形列出式子，解出结果即可．（2）本题需先根据中位数的概念即可得出答案．（3）本题需先求出25岁以下的总人数，再用5除以总人数即可得出答案．（4）本题需先求出这次被调查公民中支持的人所占的百分比，再乘以总人数即可得出答案．【解答】解：（1）图2中所缺少的百分数是：1﹣39%﹣18%﹣31%=12%（2）∵共1000名公民，∴这个中位数所在年龄段是第500和第501个数的平均数，∴这个中位数所在年龄段是：36～45岁（3）∵年龄段是“25岁以下”的公民中“不赞成”的有5名，“25岁以下”的人数是1000×10%，∴它占“25岁以下”人数的百分数是×100%=5%，（4）∵所持态度中“很赞同”和“赞同”的人数所占的百分比分别是；39%，31%，∴这次被调查公民中“支持”的人有1000×（39%+31%）=700（人），故答案为：12%，36～45，5%，700．23．老师和小明同学玩数学游戏．老师取出一个不透明的口袋，口袋中装有三张分别标有数字1，2，3的卡片，卡片除数字外其余都相同，老师要求小明同学两次随机抽取一张卡片，并计算两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率．于是小明同学用画树状图的方法寻求他两次抽取卡片的所有可能结果．如图是小明同学所画的正确树状图的一部分．（1）补全小明同学所画的树状图；（2）求小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）根据题意可得此题是放回实验，即可补全树状图；（2）由树状图可求得所有等可能的结果与小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）补全小明同学所画的树状图：（2）∵共有9种等可能的结果，小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的有4种情况，∴小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率为：．24．如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于T，AC⊥PQ于C，交⊙O于D．（1）求证：AT平分∠BAC；（2）若AO=2，AT=2，求AC的长．【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）连接OT，如图，根据切线的性质得OT⊥PQ，加上AC⊥PQ，则可判断OT∥AC，所以∠TAC=∠OTA，而∠OTA=∠OAT，所以∠TAC=∠OAT；（2）连接BT，如图，证明Rt△ABT∽Rt△ATC，然后利用相似比克计算出AC的长．【解答】（1）证明：连接OT，如图，∵PQ切⊙O于T，∴OT⊥PQ，∵AC⊥PQ，∴OT∥AC，∴∠TAC=∠OTA，而OT=OA，∴∠OTA=∠OAT，∴∠TAC=∠OAT，∴AT平分∠BAC；（2）解：连接BT，如图，∵AB为直径，∴∠ATB=90°，∵∠TAC=∠BAT，∴Rt△ABT∽Rt△ATC，∴=，即=，∴AC=3．25．某市因水而名，因水而美，因水而兴，市政府作出了“五水共治”决策：治污水、防洪水、排涝水、保供水、抓节水．某区某乡镇对某河道进行整治，由甲乙两工程队合作20天可完成．已知甲工程队单独整治需60天完成．（1）求乙工程队单独完成河道整治需多少天？（2）若甲乙两工程队合做a天后，再由甲工程队单独做（60﹣3a）天（用含a的代数式表示）可完成河道整治任务．（3）如果甲工程队每天施工费5000元，乙工程队每天施工费为1.5万元，先由甲乙两工程队合作整治，剩余工程由甲工程队单独完成，问要使支付两工程队费用最少，并且确保河道在40天内（含40天）整治完毕，问需支付两工程队费用最少多少万元？【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．【分析】（1）设乙工程队单独完成河道整治需x天，根据工作量为“1”列出方程并解答；（2）设甲工程队单独做x天，根据甲的工作量+乙的工作量=1列出方程并解答；（3）利用（2）的结果求得a的取值范围．设费用为y，则由总费用=甲施工费+乙施工费列出方程并解答．【解答】解：（1）设乙工程队单独完成河道整治需x天，依题意得：（+）×20=1，解得x=30．经检验，x=30是原方程的根并符合题意．答：设乙工程队单独完成河道整治需30天；（2）设甲工程队单独做x天，依题意得：（+）×a+x=1，解得x=60﹣3a．故答案是：（60﹣3a）；（3）由（2）得，一共用了a+60﹣3a=60﹣2a≤40，a≥10．设费用为y，则y=（0.5+1.5）a+0.5（60﹣3a）=0.5a+30．当a=10时，y最小值为35．答：最少费用为35万元．26．一、阅读理解：在△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c；（1）若∠C为直角，则a2+b2=c2；（2）若∠C为锐角，则a2+b2与c2的关系为：a2+b2＞c2；（3）若∠C为钝角，试推导a2+b2与c2的关系．二、探究问题：在△ABC中，BC=a=3，CA=b=4，AB=c，若△ABC是钝角三角形，求第三边c 的取值范围．【考点】勾股定理．【分析】一、（1）由勾股定理即可得出结论；（2）作AD⊥BC于D，则BD=BC﹣CD=a﹣CD，由勾股定理得出AB2﹣BD2=AD2，AC2﹣CD2=AD2，得出AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，整理得出a2+b2=c2+2a•CD，即可得出结论；（3）作AD⊥BC于D，则BD=BC+CD=a+CD，由勾股定理得出AD2=AB2=BD2，AD2=AC2﹣CD2，得出AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，整理即可得出结论；二、分两种情况：①当∠C为钝角时，由以上（3）得：＜c＜a+b，即可得出结果；②当∠B为钝角时，得：b﹣a＜c＜，即可得出结果．【解答】一、解：（1）∵∠C为直角，BC=a，CA=b，AB=c，∴a2+b2=c2；（2）作AD⊥BC于D，如图1所示：则BD=BC﹣CD=a﹣CD，在△ABD中，AB2﹣BD2=AD2，在△ACD中，AC2﹣CD2=AD2，∴AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，∴c2﹣（a﹣CD）2=b2﹣CD2，整理得：a2+b2=c2+2a•CD，∵a＞0，CD＞0，∴a2+b2＞c2；（3）作AD⊥BC于D，如图2所示：则BD=BC+CD=a+CD，在△ABD中，AD2=AB2=BD2，在△ACD中，AD2=AC2﹣CD2，∴AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，∴c2﹣（a+CD）2=b2﹣CD2，整理得：a2+b2=c2﹣2a•CD，∵a＞0，CD＞0，∴a2+b2＜c2；二、解：当∠C为钝角时，由以上（3）得：＜c＜a+b，即5＜c＜7；当∠B为钝角时，得：b﹣a＜c＜，即1＜c＜；综上所述：第三边c的取值范围为5＜c＜7或1＜c＜．27．如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC和Rt△ADC拼在一起，使斜边AC完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=30°，AB=BC=4cm （1）填空：AD= 2（cm），DC= 2（cm）（2）点M，N分别从A点，C点同时以每秒1cm的速度等速出发，且分别在AD，CB上沿A →D，C→B方向运动，点N到AD的距离（用含x的式子表示）（3）在（2）的条件下，取DC中点P，连接MP，NP，设△PMN的面积为y（cm2），在整个运动过程中，△PMN的面积y存在最大值，请求出y的最大值．（参考数据sin75°=，sin15°=）【考点】相似形综合题．【分析】（1）由勾股定理求出AC，由∠CAD=30°，得出DC=AC=2，由三角函数求出AD即可；（2）过N作NE⊥AD于E，作NF⊥DC，交DC的延长线于F，则NE=DF，求出∠NCF=75°，∠FNC=15°，由三角函数求出FC，得NE=DF=x+2，即可得出结果；（3）由三角函数求出FN，得出PF，△PMN的面积y=梯形MDFN的面积﹣△PMD的面积﹣△PNF的面积，得出y是x的二次函数，即可得出y的最大值．【解答】解：（1）∵∠ABC=90°，AB=BC=4cm，∴AC===4，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，∴DC=AC=2，∴AD=DC=2；故答案为：2，2；（2）过点N作NE⊥AD于E，作NF⊥DC，交DC的延长线于F，如图所示：则NE=DF，∵∠ABC=∠ADC=90°，AB=BC，∠CAD=30°，∴∠ACB=45°，∠ACD=60°，∴∠NCF=180°﹣45°﹣60°=75°，∠FNC=15°，∵sin∠FNC=，NC=x，∴FC=x，∴NE=DF=x+2，∴点N到AD的距离为x+2；（3）∵sin∠NCF=，∴FN=x，∵P为DC的中点，∴PD=CP=，∴PF=x+，∴△PMN的面积y=梯形MDFN的面积﹣△PMD的面积﹣△PNF的面积=（x+2﹣x）（x+2）﹣（2﹣x）×﹣（x+）（x）=x2+x+2，即y是x的二次函数，∵＜0，∴y有最大值，当x=﹣=时，y有最大值为=．28．已知：如图在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的负半轴上，OC在x 轴的正半轴上，OA=2，OC=3，过原点O作∠AOC的平分线交线段AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交线段OA于点E．（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；（2）如图2将∠EDC绕点D按逆时针方向旋转后，角的一边与y轴的负半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G，如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，求证：EF=2GO；（3）对于（2）中的点G，在位于第四象限内的该跑物像上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线解析式；（2）利用待定系数法求解直线解析式，得到F（0，3），EF=2，从而得出∠FDA=∠GDK，KG=AF 即可；（3）分三种情况，①PG=PC，②若PG=GC，③若PG=GC，由勾股定理解得即可．【解答】解：（1）由已知，得C（3，0），D（2，2），∵∠ADE90°﹣∠CDB=∠BCD，∴AD=BC，AD=2，∴E（0，1），设过点E，D，C的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），将点E，D，C的坐标分别代入，得；解这个方程组，得，∴抛物线点的解析式为y=﹣x2+x+1；（2）证明：∵点M在抛物线上，且它的横坐标为，设DM的解析式为y=kx+m（k≠0），将点D，M的坐标分别代入，得，解得，，∴DM的解析式为y=﹣x+3，∴F（0，3），EF=2．过点D作DK⊥OC于K，∴DA=DK，∵∠ADK=∠FDG=90°，∴∠FDA=∠GDK，∴KG=AF=1，∵OC=3，∴EF=2GO．（3）如图：∵点P在AB上，G（1，0），C（3，0），则设P（t，2），∴PG2=（t﹣1）2+22，PC2=（3﹣t）2+22，CG=2 ①PG=PC，∴（t﹣1）2+22=（3﹣t）2+22，∴t=2∴P（2，2），此时点Q与点P重合，∴Q（2，2），②若PG=GC，∴（t﹣1）2+22=22，∴t=1，∴P（1，2），此时GP⊥x轴，GP与抛物线在第一象限内的交点Q的横坐标为1，∴Q的纵坐标为，∴Q（1，）．③若PG=GC，∴（3﹣t）2+22=22，∴t=3，∴P（3，2），此时PC=GC=2，∴△PGC为等腰直角三角形，过点Q作QH⊥x轴于点H，∴QH=GH，SHE QH=h，∴Q（h+1，h），∴﹣（h+1）2+（h+1）+1=h，∴h=﹣2（舍）或h=7，∴Q（，），∴Q（2，2）或Q（1，）或Q（，）．2016年6月9日。