自动控制系统课件第三章根轨迹分析法(本章四次课)

自动控制系统课件第三章根轨迹分 析法(本章四次课)
第一节 根轨迹的基本概念
一、根轨迹定义：特征方程中某待定参数从0-∞发生 变化时，特征根随之行走的轨迹。
二、简单系统根轨迹的绘制举例
(
1G k )(
s )k ( s 2
; )
(
2G k )(
s )k s (2 s)
三、根轨迹与系统性能之间的关系
1、稳定性——系统所有特征根在S平面的位置 2、稳态性能——系统型别、开环增益 3、动态性能——确定主导极点及其位置
i1
j1
jb
举例 G k (： s s) (3 K * s (2 ) s 2 2 ( s )2 s； )G k ( s (K ) 2 s * (2 s 2 5 s))
开环零极点与闭环极点特性
m
Kg (szi)
n
n
m
1Gk( s)1
i1 n
0 (ssj) (spj)Kg (szi)
(spj)
j1
j1
Байду номын сангаас
i1
j1
n
n
当n-m≥2时，闭环极点之和等于开环极点之和，即
sj pj
j1
j1
n
n
m
闭环极点之积和开环零、极点有如下关系： sj pj Kg zi
j1
j1
i1
举
例k(： s)sG(s 1 k*)(2s )1
K*6 ω2
求另一闭环极点
当n-m≥2时根轨迹分布规律：对称放射性分布。
二、根据开环零极点分布，绘制根轨迹草图。 1、复平面上两个极点、实轴上一个零点； 2、复平面上两个极点、实轴上两个零点； 3、复平面上两个极点和两个零点； 4、复平面上两个零点、实轴上两个极点。
三、 已知系统开环， 传绘 递制 函一 数般根定 轨特 迹殊 ，点 确的参
1
)Gk(
s)s2(
k s2
2)
2
)G k(
s)k
(s4 ) (3s;) s (s2 )
4 )G k( s)(k s 2( 2s4 s22 ) ;)
课后练习二
一、简答题： 1、根轨迹与虚轴交点坐标及参数的计算方法有几种？简述计算依据及步骤。 2、根轨迹与虚轴交点对应的K值在系统性能分析中的作用是什么？ 3、两个极点、两个或一个零点在复平面上有根轨迹时，复平面上根轨迹的 形式如何？复平面上根轨迹的绘制规则又是什么？ 4、“根据开环零极点分布绘制闭环系统的根轨迹，研究的是闭环系统的性 能。”这句话对否？
一、根轨迹的分支数——开环极点数、特征根个数。
二、根轨迹的连续性和对称性——连续，复平面上根轨迹对称于实轴。
三、根轨迹的起点和终点——起于开环极点，终于开环零点或无穷远。
四、根轨迹在实轴上的分布规律——奇偶分布特性。
五、根轨迹的渐近线——坐标：
n
m
pj zi
六、根轨迹的重合点（重根） δa j1
典型开环零极点分布对应的典型根轨迹
开环传递函数含有两个极点和一个或两个零点，则 若复平面上有根轨迹，根轨迹一定是圆或圆弧。
简单绘制方法：依据复平面上的对称性和圆的直径画圆；已知根轨 迹上的三点画圆。
应用举例
1
)G k(
s)k s
(s4;) (s2 )
3 )G k( s)(ks 2( s4 4;))
第二节 一般根轨迹的绘制依据
一、特征方程的一种演变形式——根轨迹方程
m
m
K* ( szi)
K * (s zi)
Gk( s) G( s ) H( s )ni1
( spj) j1
1Gk( s) 0
根轨迹方程：
i1 n
1
(s pj)
j1
k根轨迹增益、n极点个数、m零点个数、-pj极点坐标、-zi零点坐标。
二、根轨迹方程的幅值条件和相位条件 回顾—S平面矢量的表示形式
幅值条件：
m
s zi
i 1 n
1 K*
spj
j 1
相角条件：
m
n
( szi) ( spj)( 21 l ) π( l 0,1,2 )
i1
j1
第三节 一般根轨迹的绘制法则
负反馈系统根轨迹增益k*由0→+∞变化时的
根轨迹，称为一般根轨迹。
;
2
)Gk(
s)(
k s2
3)
;
3
)Gk(
s)s
k (s1 ) (2s4 s5
; )
4
)Gk(
s)k
(2s2 s2 s (s2 )
);
根轨迹的出射角和入射角
m
n
相 角 条 ( s z 件 i) ： ( s p j) ( 2 1k)(π k 0 1 , 2 , )
i 1
j 1
m
n
出 射θ 角 pa(： 21 k )π (pazi) (papj)
i1
j1
ja
n
m
入 射z 角 b(： 21 kθ)π (zbpi) (zbzj)
利用ROUTH判据可以求解！
举例：
Gk(
s) s
k* (s1 ) (s2
1 )
课后练习一
一、简答题： 1、根轨迹方程与特征方程的区别是什么？ 2、怎样检验复平面上的点是否在根轨迹上？ 3、怎样确定根轨迹上确定点的K值？ 4、根轨迹箭头所指的方向是K增加还是减小的方向？
二、根据开环零极点分布，绘制根轨迹草图。 1、两个极点、一个零点在实轴上的不同分布位置； 2、两个极点、两个零点在实轴上的不同分布位置； 3、三个极点、一个零点在实轴上的不同分布位置。
s
)
P
(sQ)
(
sP)(
s
) 0
K*（ 重 合 点 时 ， 根 益 轨 的 迹 取 增 值 ）
s1,（ 2 重 合 点 坐 标 ）
分离角的确定：θd
三重根的确定
180 L
0
举例：
Gk (s)
k s(s
2)
1
Gk (s)
k(s 2) s(s 1)
1
根轨迹与虚轴的交点
令 ： jsω带 入 特 征1方 Gk(程 jω 得 0)： I Rm e [ [G G1 1kk( (j jω ω 0 0) ) ] ] ω k（ * （ 产等 生幅 等振 幅迹 荡 振增 频 荡益 率 时的 ） 根
i1
nm
七、根轨迹与虚轴的交点
倾角：
θ
(
2
l1
)
π
nm
八、根轨迹的出射角和入射角 九、开环零极点与闭环极点特性
课后练习一
十、典型开环零极点分布对应的典型根轨迹 课后练习二
根轨迹的重合点
二重根的确定：满足特征方程和特征方程的导数方程。
Gk( s ) 1
Gk(
s
)
k*Q P (
( s)Q( s )