8.2 直线的点斜式和斜截式方程(二)
直线的点斜式方程和斜截式方程
直线的点斜式方程和斜截式方程1. 引言嘿，大家好！今天我们来聊聊数学里的两个老朋友：直线的点斜式方程和斜截式方程。
这听起来有点高大上，但其实没那么复杂。
就像喝一杯清茶，慢慢品味，才会觉得其中的奥妙。
别担心，我们会把这些枯燥的公式变得有趣一点，谁说数学不能好玩呢？2. 点斜式方程2.1 什么是点斜式方程？点斜式方程，顾名思义，就是用一个点和一个斜率来定义一条直线。
想象一下，你正在一片草地上，发现了一条小路，这条小路的起点就是你脚下的那个点，而它的倾斜程度，就是那条路的斜率。
简单来说，点斜式方程的形式是 ( y y_1 = m(x x_1) )，这里的 ( (x_1, y_1) ) 就是你那颗脚下的心灵归宿，而 ( m ) 就是你走路时的步伐。
明白了吗？就像你跟朋友约好一起出门，你得告诉他从哪里出发，往哪个方向走。
2.2 点斜式的应用那么，点斜式有什么用呢？想象一下，你在一个小山坡上，旁边有一块石头，你想告诉朋友这个石头的确切位置，和你从石头走到小河的路径。
你可以用点斜式方程告诉他这条路的方向。
比如，你在 ( (2, 3) ) 这个点，斜率是 ( 2 )，那么就可以写成 ( y 3 = 2(x 2) )。
这就像给他发了个“定位”，让他也能找到你。
而且，这个公式在图纸上也特别好用，轻松画出一条直线，谁不喜欢画画呢？3. 斜截式方程3.1 斜截式方程的定义接下来，我们来聊聊斜截式方程。
斜截式听起来有点酷，对吧？它的形式是 ( y = mx + b )。
这里的 ( m ) 依旧是斜率，而 ( b ) 则是这条直线在 y 轴上的截距。
想象一下，你在公园里散步，看到一条直线从地面上“冒出来”，它和 y 轴的交点就是 ( b )。
就像是你看到的风筝线，风筝在空中飞舞，而这个点就是风筝的“起飞点”。
3.2 斜截式的用途斜截式方程的好处就是它特别容易看懂，尤其是对那些数学小白来说。
你只要知道斜率和 y 轴的交点，立马就能画出那条直线。
直线的点斜式方程与斜截式方程
亲爱的同学们，下节课见！
Байду номын сангаас
一、填空题 1.已知直线的点斜式方程是y＋1＝k（x－4），则直线经过的一个定点坐标是 （4，－1） . 2.直线2x＋y－7＝0的斜截式方程为 y＝－2x＋7 . 3.若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则k ＜ 0且b ＞ 0.
二、解答题 1.已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（－3，1），B（7，－1），C（－1，4）， 求AB边上的中线CD所在的直线方程.
3.斜率为3，且在y轴上的截距为－2的直线的斜截式方程（ C ）.
A. y＝－2x＋3 B. y＝－2x－3 C. y＝3x－2 D. y＝3x＋2
4.若直线l的斜截式方程为y＝－2x＋4，则直线l的斜率为（ A ）.
A. －2
B. 2
C. －4
D. 4
5.若直线l的斜截式方程为y＝3x－6，则直线l在y轴上的截距为（ C ）.
4.倾斜角60°，在y轴上的截距是2； k＝tan60°＝ 3，b＝2. ∴直线方程为y＝ 3x＋2 5.过点A（－2，－4），B（0，－3）； 解：k＝−03++24 ＝ 12，由点斜式可得y＋3＝12（x－0） ∴所求直线方程为x－2y－6＝0 6.斜率是2，在x轴上的截距是3， k＝2过点（3，0）. 直线方程为：y－0＝2（x－3）. 即y＝2x－6
A. －3
B. 3
C. －6
D. 6
二、填空题 1.直线l经过点P（－2，3），且斜率为12，则直线l的点斜式方程 y－3＝12（x ＋2 . 2.已知直线的点斜式方程是y－2＝3（x＋1），则直线的斜率k＝ 3 . 3.斜率为－12，且在y轴上的截距为1的直线的斜截式方程 y＝－12x＋1 . 4.直线y＝3x－2与y轴的交点坐标为 （0，－2） .
8.2.2 直线的方程-点斜式 教案
呢？
已知直线的倾角为45，并且经过点
0(0,1)
P ，由此
可以确定一条直线l ．设点(,)P x y 为直线l 上不与点
0(0,1)
P 重合的任意一点（图8－6）．
图8－6
1tan 450-==
-y k x ，
即 10x y -+=．
这说明直线上任意一点的坐标都是方程
．这说明点
一般地，如果直线（或曲线）
图8－7
在直线l 上任取点(,)P x y （不同于
P 点），由斜率公
式可得 0
0y y k x x -=
-，
即 00()
y y k x x -=-．
显然，点000(,)
P x y 的坐标也满足上面的方程．
方程
00()
y y k x x -=-， （8．4）
叫做直线的点斜式方程．其中点000(,)
P x y 为直线上的
点，k 为直线的斜率． 【说明】
当直线经过点
000(,)
P x y 且斜率不存在时，直线的
倾角为90°，此时直线与x 轴垂直，直线上所有的点横坐标都是0x ，因此其方程为0x x =．
例2 在下列各条件下，分别求出直线的方程：
．
又因为直线经过点
P。
直线的点斜式斜截式方程
9、已知直线l : ( 3a 1) x ( a 2) y 1 0 (1)求证：对a R，l 恒过第一象限 ( 2)若 l 不过第二象限，求 a 的取值范围
10、过点 M (0,1)的直线 l，使它被 直线l1 : x 3 y 10 0, l2 : 2 x y 8 0 所截得的线段恰好被 M平分， 求直线 l 的方程
直线方程的两点式不能 表示哪些直线？
怎么弥补缺陷？
我 们 推 导 两 点 式 是 通点 过斜 式 的 ， 还有其他推导方法吗？
利用三点共线，斜率相等 或 共线向量
直线方程的两点式和截 距式
新课
直线的方程—两点式、截距式
直线方程的截距式
特殊地，当直线 l 经过点 A(a ,0)，B(0, b) y0 xa 时的方程为 b0 0a
5、ac 0, bc 0, 直线a x by c 0 不通过第( )象限 A 一 B 二 C 三 D 四
6、过点（ 5， 2 ），且在x轴上的截距是在 y轴上的 截距的2倍的直线方程
7、证明直线 ax y 5a 2 0(a R)必过定点
8、证明直线 ax by 5a 2b 0 (a , b R且a b 0)必过定点
4、已知点P (6,4)，l：y 4 x，点Q在 直线 l上(Q在第一象限)直线 PQ交 x 轴正半轴于点M，要使 OMQ 的面积最小，求点Q 的坐标
复习
直线的方程—一般式
1 、直线的倾斜角、斜率
斜 y1 k ( x x1 ) 2 、直线方程的y 点 式
y y1 x x1 4 、直线方程的两点式 y 2 y1 x 2 x1 x y 5 、直线方程的截 式 距 1 a b
直线的点斜式和斜截式方程说课稿
直线的点斜式和斜截式方程说课稿直线的点斜式和斜截式方程说课稿作为一无名无私奉献的教育工作者，很有必要精心设计一份说课稿，借助说课稿可以更好地提高教师理论素养和驾驭教材的能力。
说课稿要怎么写呢？下面是小编帮大家整理的直线的点斜式和斜截式方程说课稿，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
我本节课说课的内容是直线的点斜式和斜截式方程。
新课标指出，学生是教学的主体。
教师要以学生活动为主线。
在原有知识的基础上，构建新的知识体系。
我将以此为基础从教材地位和内容分析，教学目标分析，重点和难点分析，教法和学法分析，教学过程分析这几个方面加以说明。
一、教材地位和内容分析直线方程初步体现了解析几何的实质——用代数的知识来研究几何问题。
直线作为最常见的几何图形，在生产实践和生活应用中都有着广泛的应用。
直线的方程是是解析几何的基础知识，对后续圆、直线和圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论从知识上还是方法上都有着积极的作用。
二、教学目标分析1、识记直线的点斜式和斜截式方程，了解其推导过程2、会根据已知条件熟练求出直线的方程3、培养学生主动探究知识、合作交流的.意识三、重点与难点分析重点：会根据已知条件熟练求出直线的方程难点：直线点斜式方程的推导四、教法与学法分析1、教法分析遵循“教师的主导作用和学生的主体地位相统一的教学规律”，本节课通过教师点拨，启发学生自主探究来达到对知识的发现和接受。
2、学法分析本节课所面对的是职高二年级的学生，这个年龄段的学生思维活跃，求知欲强，但思维习惯还有待教师引导。
本节课从学生原有的知识和能力出发，教师将带领学生创设疑问，通过合作交流，共同探索，寻求解决问题的方法。
五、教学过程分析根据新课标的理念，我把整个的教学过程分为几个阶段：1、温故知新上课前复习特殊角的正切值以及斜率的求法，为研究新课打下基础。
2、创设情境直线是点的集合，求直线方程实际上就是求直线上点的坐标所满足的一个等量关系。
直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式
【课 题：】直线的点斜式方程【教学目的：】知识目标：在直角坐标平面，已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程，能观察直线的斜率和直线经过的定点能力目标：通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡，训练学生由一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力．德育目标：通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识．【教学重点：】由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的斜截式方程上．实质上它也是整个直线方程理论的基础。
【教学难点：】在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线上．【授课类型：】新授课【课时安排：】1课时【教 具：】【教学过程：】1、复习引入：2、讲解新课：(1)点斜式已知直线l 的斜率是k ，并且经过点P 1(x 1，y 1)，直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线l 的方程(图1-24)？设点P(x ，y)是直线l 上不同于P 1(x 1，y 1)的任意一点，根据经过两点的斜率公式得11x x y y k --= (1) 即y-y 1=k(x-x 1) (2)注意方程(1)与方程(2)的差异：点P 1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)，因此，点P 1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线l 的方程．重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l 上，所以这个方程就是过点P 1、斜率为k 的直线l 的方程．(实质上是证明了直线的方程与方程的直线的关系)这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式．注：当直线的斜率为0°时(图1-25)，k=0，直线的方程是y=y 1．当直线的斜率为90°时(图1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点(2)斜截式已知直线l在y轴上的截距为b，斜率为b，求直线的方程．这个问题，相当于给出了直线上一点(0，b)及直线的斜率k，求直线的方程，是点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得：y-b=k(x-0)也就是y=kx+b上面的方程叫做直线的斜截式方程．为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的．当k≠0时，斜截式方程就是直线的表示形式，这样一次函数中k和b的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y轴上的截距．注：斜截式方程因为形式是直线方程中最简的，故在后续的课程中有十分重要的运用，但上述两种直线方程的形式都要求有斜率，故运用它们时往往要先对斜率的存在与否进行讨论，而这正是最容易错的地方。
直线方程的点斜式、斜截式 、两点式和截距式
直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式一、教学目标(一)知识教学点在直角坐标平面内，已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程，能观察直线的斜率和直线经过的定点；能化直线方程成截距式，并利用直线的截距式作直线．(二)能力训练点通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡，训练学生由一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力．(三)学科渗透点通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识．二、教材分析1．重点：由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，截距式方程是两点式方程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上．2．难点：在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线上．的坐标不满足这个方程，但化为y-y1=k(x-x1)后，点P1的坐标满足方程．三、活动设计分析、启发、诱导、讲练结合．四、教学过程(一)点斜式已知直线l的斜率是k，并且经过点P1(x1，y1)，直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线l的方程(图1-24)？设点P(x，y)是直线l上不同于P1的任意一点，根据经过两点的斜率公式得注意方程(1)与方程(2)的差异：点P1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)，因此，点P1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线l的方程．重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点P1、斜率为k的直线l的方程．这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式．当直线的斜率为0°时(图1-25)，k=0，直线的方程是y=y1．当直线的斜率为90°时(图1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1．(二)斜截式已知直线l在y轴上的截距为b，斜率为b，求直线的方程．这个问题，相当于给出了直线上一点(0，b)及直线的斜率k，求直线的方程，是点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得：y-b=k(x-0)也就是上面的方程叫做直线的斜截式方程．为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的．当k≠0时，斜截式方程就是直线的表示形式，这样一次函数中k和b的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y轴上的截距．(三)两点式已知直线l上的两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，(x1≠x2)，直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的，请同学们求直线l的方程．当y1≠y2时，为了便于记忆，我们把方程改写成请同学们给这个方程命名：这个方程是由直线上两点确定的，叫做直线的两点式．对两点式方程要注意下面两点：(1)方程只适用于与坐标轴不平行的直线，当直线与坐标轴平行(x1=x2或y1=y2)时，可直接写出方程；(2)要记住两点式方程，只要记住左边就行了，右边可由左边见y就用x代换得到，足码的规律完全一样．(四)截距式例1 已知直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a≠0，b≠0)，求直线l的方程．此题由老师归纳成已知两点求直线的方程问题，由学生自己完成．解：因为直线l过A(a，0)和B(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得就是学生也可能用先求斜率，然后用点斜式方程求得截距式．引导学生给方程命名：这个方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，叫做直线方程的截距式．对截距式方程要注意下面三点：(1)如果已知直线在两轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程；(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图；(3)与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示．(五)例题例2 三角形的顶点是A(-5，0)、B(3，-3)、C(0，2)(图1-27)，求这个三角形三边所在直线的方程．本例题要在引导学生灵活选用方程形式、简化运算上多下功夫．解：直线AB的方程可由两点式得：即 3x+8y+15=0这就是直线AB的方程．BC的方程本来也可以用两点式得到，为简化计算，我们选用下面途径：由斜截式得：即 5x+3y-6=0．这就是直线BC的方程．由截距式方程得AC的方程是即 2x+5y+10=0．这就是直线AC的方程．(六)课后小结(1)直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式的命名都是可以顾名思义的，要会加以区别．(2)四种形式的方程要在熟记的基础上灵活运用．(3)要注意四种形式方程的不适用范围．五、布置作业1．(1.5练习第1题)写出下列直线的点斜式方程，并画出图形：(1)经过点A(2，5)，斜率是4；(4)经过点D(0，3)，倾斜角是0°；(5)经过点E(4，-2)，倾斜角是120°．解：2．(1.5练习第2题)已知下列直线的点斜方程，试根据方程确定各直线经过的已知点、直线的斜率和倾斜角：解：(1)(1，2)，k=1，α=45°；(3)(1，-3)，k=-1，α=135°；3．(1.5练习第3题)写出下列直线的斜截式方程：(2)倾斜角是135°，y轴上的截距是3．4．(1.5练习第4题)求过下列两点的直线的两点式方程，再化成截距式方程，并根据截距式方程作图．(1)P1(2，1)、P2(0，-3)；(2)A(0，5)、B(5，0)；(3)C(-4，-3)、D(-2，-1)．解：(图略)六、板书设计。
2课时直线的点斜式方程与斜截式方程
8．2 直线的方程
设直线在y轴上的截距是b，即直线经过点 B(0,b) ，且斜率为k．
则这条直线的方程为
y b k(x 0)．
即
y kx b．
方程y kx b 叫做直线的斜截式方程．其中k为直线的斜率，
b为直线在y轴上的截距．
8．2 直线的方程
例3 设直线l的倾斜角为60°，并且经过点P（2，3）． （1）写出直线l的方程； （2）求直线l在y轴上的截距．
与x轴垂直，直线上所有的
点横坐标都是 x0，
显然，点P0
(x0 ,
y0
)
的坐标也满足上面的因方此程其．方程为 x x0．
方程 y y0 k(x x0 ) 叫做直线的点斜式方程．其
中点 P0 (x0, y0 )为直线上的点，k 为直线 的斜率．
8．2 直线的方程
例2 在下列各条件下，分别求出直线的方程：
求下列直线的方程：
（1）过点（－3，2），斜率为 －1 ； （2）过点（1，2），倾斜角为 60 ； （3）截距为 －2 ，倾斜角为 45 ．
作业：课本P53练习1、2
六、情感s 升华
生活中的路不止一条，但要 仔细思考、善于选择，不同的选 择结果往往大有不同。
二、设疑激探，自主学习
自主阅读教材10分钟，尝试完成下列问题： 1、直线与方程有什么关系? 2、直线的点斜式方程和斜截式方程是什么？ 分别有什么特征？
、 、
三、合作讨论，共同探究
【议一议】 1、直线与方程的关系如何理解？ 2、直线的点斜式方程与斜截式方程中分
别包含哪些变量，针对不同情况，应该分别 采用什么样的计算方法？
第八章 直线和圆的方程
8.2.2 直线的点斜式方程与斜截式 （2课时）
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课 后 记
56
数学基础模块
下册
【教学过程】 环节 教学内容 1、斜率的定义、过两点的斜率公式及特 殊角的正切。 2、在直线坐标系内确定一条直线，应知 道哪些条件？ 一点+斜率 ⇒ 确定一条直线 且斜率为 k 。 3、 直线 l 经过点 p1 x1, y1 ， 设点 P ( x, y ) 是直线 l 上不同于 p1 的任 新 意一点， 请建立 x, y 与 k , x1, y1 之间的关 系。
1 斜式方程，得 y − 1 = − ( x + 5 ) 2
化简后直线 l 的方程为 x + 2 y + 3 = 0 8、巩固练习
线的方 法。
p76 练习第二题，第 1 题
梳理
小 结 1、直线的点斜式方程 师生合作．
总结也可 针对学生 薄弱或易 错处进行 强调和总 结．
作 业
教材 p76 ，练习第 3 题
第八章
直线与圆的方程
广西机电工程学校教案
本课题共 3 页
课 题 授课顺序 目 的 及 要 求 第3周
8.2.1 直线的点斜式和斜截式方程（二）
授课班级 数媒 101 班
1、知识与技能 （1）理解直线方程的点斜式的形式特点和适用范围； （2）能正确利用直线的点斜式公式求直线方程。 2、过程与方法 在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过 师生探讨，得出直线的点斜式方程。 3、情态与价值观 培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的 观点看问题。
学生分组互相讨论，然后说明理由。 直线 l 上的点，其坐标都满足方程（1） 教师学生引导通过画图分析，求得问题的解决。 吗？ y 5、 直线的点斜式方程能否表示坐标平面 P0 上的所有直线呢？ 6、 （1） x 轴所在直线的方程是什么？
y 轴所在直线的方程是什么？
（2）经过点 P0 ( x0 , y 0 ) 且平行于 x 轴 （即垂直于 y 轴）的直线方程是什么？ （3） 经过点 P0 ( x0 , y 0 ) 且平行于 y 轴 （即垂直于 x 轴）的直线方程是什么？
°
用范 围。
°
例 2 已知直线 l 的倾斜角为 45 ，且过
学会运用 点斜式方 程解决问 题，清楚 用点斜式 公式求直 线方程必 须具备的 两个条 件： （1） 一个定 点； （2）
k=
−3 − 1 1 =− 3 − ( −5 ) 2
1 代入点 2
有斜率。 同时掌握 已知直线 方程画直
将点 p1 ( −5,1) 的坐标和 k = −
线的方
师生互动
设计意 图
使学生 在已有 知识和 经验的 基础上， 探索新 知。 培养学 生自主 探索的 能力， 并
导 入
学生回顾，并回答。然后教师指出，直线的方程， 就是直线上任意一点的坐标 ( x, y ) 满足的关系式。
(
)
学生根据斜率公式，可以得到，当 x ≠ x1, 时，
y − y1 k= ，即 x − x1
O
x
程的方 法。
y
使学生 了解方 程为直 线方程 必须满 O 两个条 x 件。 使学生 教师引导学生分析要用点斜式求直线方程应已知那些 理解直 线的点 条件？题目那些条件已经直接给予，那些条件还有待 斜式方 已去求。在坐标平面内，要画一条直线可以怎样去画。 程的适
P0
57
第八章
直线与圆的方程
7、例题分析 新 点 A ( −2,3) ，求直线 l 的方程. 解：直线 l 的斜率 k = tan 45 = 1 又直线 l 过点 A ( −2,3) ，代入点斜式方 程，得 y − 3 = x + 2 化简，得 x − y + 5 = 0 ，这就是所求的 直线方程. 课 例 3 直线 l 经过 p1 ( −5,1) , p2 ( 3, −3) 两 点，求直线 l 的方程. 解：由过两点的斜率公式，得
y − y1 = k ( x − x1 )
（1）
体会直
y P P0
教师对基础薄弱的学生给予关注、引导，使
程， 就是
每个学生都能推导出这个方程。
直线上 任意一 ，教师引导。
满足的 关系式， 从而掌 握根据 条件求 直线方
课
4、 （1）过点 P0 ( x0 , y 0 ) ，斜率是 k 的
教 学 重 点 教学难点 课型 教学方法
直线的点斜式方程
直线的点斜式方程的应用
新授课 启发式教学
教具
直尺或三角板
教学内容及教学过程(含时间分配)（90 分）
第一课时（45 分钟） 1、导入（5 分钟） 2、介绍定义（5 分钟） 3、讲解例题（15 分钟） 4、练习及讲解（15 分钟） 5、本节课小结（5 分钟） 第二课时（45 分钟） 1、回顾上节课定义（5 分钟） 2、讲解例题（15 分钟） 3、练习及讲评（20 分钟） 4、本次课小结（5 分钟）
巩固拓 展．
58