离散数学神秘籍

辛辛苦苦学了一年离散数学了，挂了挺可惜的不是，而且以后很不好补回来，昨天我掉山崖下面去了，在一个很脏的山洞里发现的，旁边还有阳顶天的尸骨，太tm吓人了，小伙伴们快来炫耀下。

一：10道选择题（2/20）1.判断命题（概念）在数学中，一般把判断某一件事情的“陈述句”叫做命题。

一定记得是陈述句。

问句，感叹句等别的句子都不是命题。

比如：这个西瓜真大啊！你吃饭了么？我真是日了狗了！这都不是命题。

命题一定可以判断真假，但没有时间限制。

比如：明天会下雨。

这是命题，重申一遍，这是命题。

明天要么下雨，要么不下雨，可以判断真假，只是现在不能判断真假罢了。

场景模拟：以下四个选项中，是命题的是（）。

A:下雪了，我们出去散散步吧。

B：这饭你怎么做的啊，怎么这么好吃？C：小明每次都迟到，真是大笨蛋。

D：玛雅人是不用睡觉的。

答案：D2.命题符号化通常这种题都是写一个陈述的句子，让你判断下面四个那一个是这种命题的符号化语言，这种题相对简单。

有一点值得注意，用或连接的时候，要看看是不是排斥或（即两种事能不能一起发生）。

如果能一起发生，就用或连接，符号是V；如果不能一起发生，就要用异或来连接，符号是V—，也可以写成（p与非q或非p与q）。

蕴含需要注意的是两个词：只要，除非（可能还有其它的，不过我觉得就这两个，又不考语文）；看到这两个词的时候，这两个条件作为必要条件要放到后面。

其它的直接顺着写过来就好。

场景模拟：除非小明和小静中有一人去看电影，那么小华今天才会出门，如果天气没有下雨的话。

P：小明去看电影；q：小静去看电影；r：小华今天出门；s：天没有下雨。

A：PvQvRvSB：P^Q^R^SC：P→Q→R→SD:（S→R）→（PV—Q）答案：D3.求命题的成假赋值本题是选择题，我想大概不会太难的让画真值表。

应该是蕴含之类的，蕴含只有10时候才会成假，那就把后面的成0，前面的成1.不画真值表就尽量不画，太耗时间了。

场景模拟：求p→（q^r)的成假赋值。

A：000 001 010B：100C：101D：100 101 110答案：D4.判断真命题一般这样的题目都不是自己理解的常识，像两点之间线段最短啊，三角形具有稳定性啊，宇宙大爆炸起源于137亿年前啊，碱基置换突变指DNA分子中一个碱基对被另一个不同的碱基对取代所引起的突变啊，因为这样太不公平了，违了离散数学的初衷。

应该是给出条件能够推理出后面都结果来的这样的题目。

这个就要靠自己推理了，建议多看看推理小说，那么有人问了，那里有得看？贴吧有得看啊，我会祝福你们这题答对的。

如果真是常识的话，送的分大家可不要不要啊。

场景模拟：下面命题是真命题的是（）A：明天会下雨。

B：如果三角形三边相等，那么它们可以组成矩形。

C：如果p^q为假，那么pVq也为假。

D：p→q仅当p取1q取0时为假。

答案：D5.给出三个集合，求它们的并和对称差并我就不多说了，对称差是什么呢？心里是不是充满了小疑惑，不要被它蒙蔽了双眼，很简单的一个小运算。

通常符号化语言的话就是AΔB。

A ΔB = (A∪B) −(A ∩B)。

减就是集合的差，A—B就是在A中不在B中的元素。

比如：A={0，1，2，3}，B={1，2，4}，A-B=｛0，3｝。

对称差通俗点说就是取出来两个集合中不相同的元素组成的集合。

比如：{1,2,3} 和{3,4} 的对称差为{1,2,4}。

场景模拟：A={0,1,3,4};B={0,1,3};C={1,2,4},求（A∪B）Δ（B∪C）=（）A：{1,2,5}B：{0,1,3}C：{2,3,4}D：{2}答案：D6.判断关系的性质关系想必大家都知道吧。

就像我们人类有兄弟姐妹父母师生主仆叔侄祖孙姑姨表一样，关系也有五种性质。

自反，反自反，对称，反对称，传递。

自反：说白了集合中有1，2关系中就得有<1,1>,<2,2>.没有就不是自反关系。

是全部都要有。

对于任何a∈A，总有aRa，即任何a∈A，使得（a,a）∈R，则称集合A上的关系R是自反的。

例如："大于等于"是种自反关系，但"大于"不是自反关系。

反自反：就是集合中有1，2关系中就不能有<1,1>，<2,2>，一个都不能有。

对称：说白了就是关系中有<1,2>,就必须要有<2,1>.反对称：说白了就是关系中有<1,2>就一定不能有<2,1>.注意：对称关系不是反对称关系(满足"aRb且bRa 蕴含b = a"的二元关系)的反义。

有些关系既是对称的又是反对称的，比如数域上的“等于”；有些关系既不是对称的也不是反对称的，比如整数的“整除”；有些关系是对称的但不是反对称的，比如整数的“模n同余”；有些关系不是对称的但是反对称的，比如数域上的“小于或等于”。

传递：说白些吧还是，太专业了恐怕不好理解。

就是关系中有<1,2>,<2,3>.必须有<1,3>。

这种关系恐怕有限集合列出来的都不是传递关系，因为要所有。

列出来大概就是算法表示的。

比如大于等于关系。

这五种关系没有一个是在存在的条件下成立的，都是所有，这点要注意。

这个整除关系要注意下，可能填空题要写，一定要小的写前面，大的写后面。

比如<2,4>,<3,9>,<2,2000>不要记混淆了。

场景模拟：整除关系具有（）A：自反性B：反自反性，传递性C：对称性D：自反性，传递性。

答案：D7.从集合A（m个元素）到集合B（n个元素）的二元关系的映射有多少个？这个题目简单的很呐。

记着答案就好了，过程不必纠结了。

老师也说了好多遍。

是n m。

也就是n的m次方。

看看书上第85页例4.35.不想翻书是吧。

看见书头疼是吧。

好好好。

来来，我给你们打上。

唉。

设A={a,b,c},B={0,1}.从A到B的函数有以下8个。

即23=8.F1={<a,0>,<b,0>,<c,0>}F2={<a,0>,<b,0>,<c,1>}F3={<a,0>,<b,1>,<c,0>}F4={<a,1>,<b,1>,<c,1>}F5={<a,0>,<b,0>,<c,0>}F6={<a,1>,<b,0>,<c,1>}F7={<a,1>,<b,1>,<c,0>}F8={<a,1>,<b,1>,<c,1>}场景就不模拟了。

想看就用3dmax自己捏捏。

8.双射，单射，满射。

这里有满射，单射和双射的定义，来你们感受下：设A和B是集合，f：A→B。

（1）若f（A）=B，则称f为满射的函数，简称为满射。

（2）若对于任意x，y属于A，如果x≠y，则f（x）≠f（y），那么就称f为单射的函数，简称为单射。

（3）若f既是单射，又是满射，则称f为双射的函数，简称为双射，又称为一一（yiyi，不是破折号，才发现两个一打上来这么连）对应。

是不是一头雾水，别怕，找条毛巾擦擦。

其实很简单的。

看看下面这道题你们就会明白了。

单射就是每一个左边的值都有右边唯一的值对应。

（右边的值可以有剩余）满射就是每一个左边的值都有右边的值对应。

（右边可以重复，但也要取满）双射就是即是单射又是满射（每一个左边的值都有右边唯一的值对应，右边要取满）场景就不模拟了，上面很多了，自己来练练手。

当然麒麟臂就可以不用练手了。

9.代数系统子代数（满足封闭性）代数系统定义：非空集合S和S上若干运算f1，…，fm以及S中若干元素a1，…，ak组成的系统成为代数系统，也成为代数结构，记为<S，f1，…，fm，a1，…，ak>。

如果代数系统中的集合是有限集合，则称该代数系统为有限代数系统，否则成为无限代数系统。

有限代数系统中的集合的元素个数称为该有限代数系统的阶。

封闭就是集合里面的元素通过运算得到的结果还在这个集合里，那么就封闭，否则就不封闭。

比如实数的加法就封闭，无理数的加法就不封闭，因为两个无理数相加可能得到有理数。

子代数系统定义：设<S，f1，…，fm，a1，…，ak>是代数系统，A是S的非空子集如果A对于每个fi封闭，并且每个ai都在A中，则称<A，f1，…，fm，a1，…，ak>是<S，f1，…，fm，a1，…，ak>的子代数系统，简称子代数。

这个也没有什么题目来模拟，你们体会下就好了。

这么理解吧。

如果一个代数系统是封闭的，那么往这个代数系统的集合里添几个这个集合以外的元素，那么得到的新代数系统的子代数就可以是起初的那个代数系统。

10.图论（求度数，握手定理）这个题最后的作业上多得很，反正就死记握手定理：一个图，点的总度数等于边的两倍。

还有个推论，度数为奇数的顶点个数必定是偶数。

这种题多说无益。

来，你们练练。

124页例7.2自己看看。

不想看是吧，嫌麻烦是吧。

好，行，我给你们打上。

唉。

已知图G中有1个1度顶点，2个2度顶点，3个3度顶点，4个4度顶点，问G中有多少条边。

？解：设G中有m条边，由握手定理知，2m=1*1+2*2+3*3+4*4，得m=15.所以G中有15条边。

场景模拟：设无向简单图G有9个顶点，其中有6个3度顶点，其余的顶点度数均小于3，问G中至多有多少条边。

A：9B：10C：11D：12答案：D解：设G中有m条边，依题意得，除3度顶点外，其余顶点的度数均小于等于2，故G中顶点的总度数小于等于3*6+2*（9-6）。

根据握手定理，G中顶点的总度数等于2m。

因此2m<=3*6+2*(9-6),解得m<=12.故G中至多有12条边。

二、10道填空（2/20）1.求命题公式的成假赋值这个跟选择题差不多，能不画真值表就不要画，通常都是有蕴含在里面的。

2.给集合求幂集幂集大家都知道吧。

就是一个集合所有子集的集合。

这个通常考的很绕。

大家要按步骤来写。

场景模拟：求集合A=｛Φ，｛Φ｝，｛｛2｝，3｝｝的幂集。

自己先写写看。

按照步骤来，这个集合一共三个元素。

Φ，｛Φ｝，｛｛2｝，3｝。

0元子集：Φ（这个是固定的，任何一个集合的0元子集都是这个，跟集合里面的元素无关，而且只有这个集合不用｛｝括起来）。

1元子集：｛Φ｝，｛｛Φ｝｝，｛｛｛2｝，3｝｝。

（就是挑一个元素用大括号括起来。

）2元子集：｛Φ，｛Φ｝｝，｛｛Φ｝，｛｛2｝，3｝｝，｛Φ，｛｛2｝，3｝｝。

（就是挑两个元素用大括号括起来）。

3元子集：｛Φ，｛Φ｝，｛｛2｝，3｝｝（就是挑三个元素用大括号括起来，也就是它自己）。