2014-2015年甘肃省张掖市高台一中高三上学期数学期末试卷(理科)与解析

2014-2015学年甘肃省张掖市高台一中高三（上）期末数学试卷（理科）一.选择题1．（5分）若复数a2﹣1+（a﹣1）i（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a=（）A．±1B．﹣1C．0D．12．（5分）设全集U=R，A={x|2x（x﹣2）＜1}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则如图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x≥1}B．{x|1≤x＜2}C．{x|0＜x≤1}D．{x|x≤1} 3．（5分）已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中的最大面积是（）A．6B．8C．2D．34．（5分）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，，则=（）A．8B．4C．2D．15．（5分）把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，不许有空盒且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的放法有（）A．36种B．45种C．54种D．84种6．（5分）将甲、乙、丙、丁、戊共五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，且甲不能被保送到北大，则不同的保送方案共有（）种．A．114B．150C．72D．1007．（5分）已知函数，则f（x）在区上的最值和最小值分别是（）A．2，﹣1B．1，﹣1C．1，﹣2D．2，﹣28．（5分）如果执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A．﹣3B．2C．﹣D．9．（5分）已知三边长分别为4、5、6的△ABC的外接圆恰好是球O的一个大圆，P为球面上一点，若点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则三棱锥P﹣ABC 的体积为：（）A．8B．10C．20D．3010．（5分）已知等比数列{a n}满足a n＞0，n=1，2，…，且a5•a2n﹣5=22n（n≥3），则当n≥1时，log2a1+log2a3+…+log2a2n﹣1=（）A．n（2n﹣1）B．（n+1）2C．n2D．（n﹣1）211．（5分）已知，且函数的最小值为b，若函数则不等式g（x）≤1的解集为（）A．B．C．D．12．（5分）若在曲线f（x，y）=0（或y=f（x））上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0或y=f（x）的“自公切线”．下列方程：①x2﹣y2=1；②y=x2﹣|x|；③y=3sinx+4cosx；④|x|+1=对应的曲线中存在“自公切线”的有（）A．①③B．①④C．②③D．②④二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在题中的横线上）13．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆x2+y2﹣4x﹣5=0相切，则P 的值为．14．（5分）设的展开式中的常数项等于．15．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b ＞0）的最大值为12，则的最小值为．16．（5分）定义函数f（x）=[x•[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，当x ∈[0，n）（n∈N*）时，设函数f（x）的值域为集合A，记A中的元素个数为a n，则的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤）17．（12分）已知函数f（x）=cos2x+2sinxcosx﹣sin2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和值域；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若且a2=bc，试判断△ABC的形状．18．（12分）某学校高三（1）班学生举行新年联欢活动；准备了10张奖券，其中一等奖的奖券有2张，二等奖的奖券有3张，其余奖券均为3等奖．（Ⅰ）求从中任意抽取2张，均得到一等奖奖券的概率；（Ⅱ）从中任意抽取3张，至多有1张一等奖奖券的概率；（Ⅲ）从中任意抽取3张，得到二等奖奖券数记为ξ，求ξ的数学期望．19．（12分）如图所示，已知平行四边形ABCD和平行四边形ACEF所在的平面相交于直线AC，EC⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，ADC=60°，AF=．（1）求证：AC⊥BF；（2）求二面角F﹣BD﹣A的余弦值．20．（12分）在直角坐标系xoy上取两个定点A1（﹣2，0），A2（2，0），再取两个动点N1（0，m）、N2（0，n）且mn=3．（Ⅰ）求直线A1N1与A2N2交点的轨迹M的方程；（Ⅱ）已知F2（1，0），设直线l：y=kx+m与（Ⅰ）中的轨迹M交于P、Q两点，直线F2P、F2Q的倾斜角分别为α、β，且α+β=π，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣ax2（a∈R）．（1）求函数f（x）在点P（0，1）处的切线方程；（2）若函数f（x）为R上的单调递增函数，试求a的范围；（3）若函数f（x）不出现在直线y=x+1的下方，试求a的最大值．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，已知PE切圆O于点E，割线PBA交圆O于A，B两点，∠APE的平分线和AE、BE分别交于点C，D（Ⅰ）求证：CE=DE；（Ⅱ）求证：=．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．选修4﹣4：坐标系与参数方程已知极点与坐标原点重合，极轴与x轴非负半轴重合，M是曲线C：ρ=4sinθ上任意一点，点P满足=3，设点P的轨迹为曲线Q．（Ⅰ）求曲线Q的方程；（Ⅱ）设曲线Q与直线l：（t为参数）相交于A，B两点且|AB|=4，求实数a的值．选修4-5：不等式选讲24．（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M．（1）求M；（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．2014-2015学年甘肃省张掖市高台一中高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题1．（5分）若复数a2﹣1+（a﹣1）i（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a=（）A．±1B．﹣1C．0D．1【解答】解：因为复数a2﹣1+（a﹣1）i（i为虚数单位）是纯虚数，所以a2﹣1=0且a﹣1≠0，解得a=﹣1．故选：B．2．（5分）设全集U=R，A={x|2x（x﹣2）＜1}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则如图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x≥1}B．{x|1≤x＜2}C．{x|0＜x≤1}D．{x|x≤1}【解答】解：图中阴影部分表示的集合是A∩（C U B）．∵A={x|2x（x﹣2）＜1}=（0，2）B={x|y=ln（1﹣x）}=（﹣∞，1）∴C U B=[1，+∞）A∩（C U B）=[1，2）故选：B．3．（5分）已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中的最大面积是（）A．6B．8C．2D．3【解答】解：因为三视图复原的几何体是四棱锥，顶点在底面的射影是底面矩形的长边的中点，底面边长分别为4，2，后面是等腰三角形，腰为3，所以后面的三角形的高为：=，所以后面三角形的面积为：×4×=2．两个侧面面积为：×2×3=3，前面三角形的面积为：×4×=6，四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积最大的是前面三角形的面积：6．故选：A．4．（5分）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，，则=（）A．8B．4C．2D．1【解答】解：由=16，得||=4，∵=||=4，而∴=2故选：C．5．（5分）把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，不许有空盒且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的放法有（）A．36种B．45种C．54种D．84种【解答】解：第一类，第5球独占一盒，则有4种选择；如第5球独占第一盒，则剩下的三盒，先把第1球放旁边，就是2，3，4球放入2，3，4盒的错位排列，有2种选择，再把第1球分别放入2，3，4盒，有3种可能选择，于是此时有2×3=6种选择；如第1球独占一盒，有3种选择，剩下的2，3，4球放入两盒有2种选择，此时有2×3=6种选择，得到第5球独占一盒的选择有4×（6+6）=48种，第二类，第5球不独占一盒，先放1﹣4号球，4个球的全不对应排列数是9；第二步放5号球：有4种选择；9×4=36，根据分类计数原理得，不同的方法有36+48=84种．故选：D．6．（5分）将甲、乙、丙、丁、戊共五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，且甲不能被保送到北大，则不同的保送方案共有（）种．A．114B．150C．72D．100【解答】解：（1）甲被保送到上海交大，乙、丙、丁、戊保送到另外两所学校，可能有三人上一所学校，剩余一人上另一所学校，也可能有二人上一所学校，剩余二人上另一所学校，故共有（+）•=14种；同理甲被保送到浙大，乙、丙、丁、戊保送到另外两所学校，也有14种；（2）甲被保送到上海交大，乙、丙、丁、戊有一人也保送到上海交大，其余3人保送到另外两所学校，可采用如下方法先取一人与甲绑定，四种方法，把余下三人分为两组有 3 种分法，再分到两个学校有两种分法，故共有=24种；同理甲被保送到浙大，乙、丙、丁、戊有一人也保送到浙大，其余3人保送到另外两所学校，也有24种；（3）甲被保送到上海交大，乙、丙、丁、戊有两人也保送到上海交大，其余2人保送到另外两所学校，则有=12种；同理甲被保送到浙大，乙、丙、丁、戊有两人也保送到浙大，其余2人保送到另外两所学校，也有12种；综上可知，共有2×（14+24+12）=100种．故选：D．7．（5分）已知函数，则f（x）在区上的最值和最小值分别是（）A．2，﹣1B．1，﹣1C．1，﹣2D．2，﹣2【解答】解：由题意得，=，∵，∴，则，∴f（x）在上的最大值是2，最小值是﹣1．故选：A．8．（5分）如果执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A．﹣3B．2C．﹣D．【解答】解：由程序框图知：第一次循环i=1，S==；第二次循环i=2，S==﹣；第三次循环i=3，S==﹣3；第四次循环i=4，S==2．不满足条件i＜4，跳出循环体，输出S=2．故选：B．9．（5分）已知三边长分别为4、5、6的△ABC的外接圆恰好是球O的一个大圆，P为球面上一点，若点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则三棱锥P﹣ABC 的体积为：（）A．8B．10C．20D．30【解答】解：P在面ABC上的射影为O，则OA=OB=OC=OP=R，==∴S△ABC∴V P==10，﹣ABC故选：B．10．（5分）已知等比数列{a n}满足a n＞0，n=1，2，…，且a5•a2n﹣5=22n（n≥3），则当n≥1时，log2a1+log2a3+…+log2a2n﹣1=（）A．n（2n﹣1）B．（n+1）2C．n2D．（n﹣1）2【解答】解：∵a5•a2n﹣5=22n=a n2，a n＞0，∴a n=2n，∴log2a1+log2a3+…+log2a2n﹣1=log2（a1a3…a2n﹣1）=log221+3+…+（2n﹣1）=log2=n2．故选：C．11．（5分）已知，且函数的最小值为b，若函数则不等式g（x）≤1的解集为（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴tanx＞0．∴==．当且仅当，即x=时取等号．因此b=．不等式g（x）≤1⇔①或②，解②得．因此不等式f（x）≤1的解集为=．故选：D．12．（5分）若在曲线f（x，y）=0（或y=f（x））上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0或y=f（x）的“自公切线”．下列方程：①x2﹣y2=1；②y=x2﹣|x|；③y=3sinx+4cosx；④|x|+1=对应的曲线中存在“自公切线”的有（）A．①③B．①④C．②③D．②④【解答】解：①、x2﹣y2=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；②、y=x2﹣|x|=，在x=和x=﹣处的切线都是y=﹣，故②有自公切线．③、y=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），cosφ=，sinφ=，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合，故此函数有自公切线．④、由于|x|+1=，即x2+2|x|+y2﹣3=0，结合图象可得，此曲线没有自公切线．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在题中的横线上）13．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆x2+y2﹣4x﹣5=0相切，则P 的值为2．【解答】解：由抛物线y2=2px（p＞0）得准线为．由圆x2+y2﹣4x﹣5=0得（x﹣2）2+y2=9，得圆心C（2，0），半径r=3．∵抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆x2+y2﹣4x﹣5=0相切，∴，解得p=2．故答案为2．14．（5分）设的展开式中的常数项等于﹣160．【解答】解：∵=﹣（cosπ﹣cos0）=2，则=的展开式的通项公式为T r+1=••=•26﹣r•x3﹣r．令3﹣r=0，解得r=3，故展开式中的常数项等于﹣160，故答案为﹣160．15．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b ＞0）的最大值为12，则的最小值为4．【解答】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，∴4a+6b=12⇒2a+3b=6．∴=（）×=（12++）≥2+=4．即的最小值为4．故答案为：4．16．（5分）定义函数f（x）=[x•[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，当x ∈[0，n）（n∈N*）时，设函数f（x）的值域为集合A，记A中的元素个数为a n，则的最小值为．【解答】解：由题意：[x]=，∴x[x]=，∴[x[x]]在各区间中的元素个数是：1，1，2，3，…，n﹣1∴a n=+1，∴=（n+）≥（2×10﹣1）=，当且仅当n=10时取等号．故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤）17．（12分）已知函数f（x）=cos2x+2sinxcosx﹣sin2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和值域；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若且a2=bc，试判断△ABC的形状．【解答】解：﹙Ⅰ﹚==∴T=π，f（x）∈[﹣2，2]﹙Ⅱ﹚由，有，∴．∵0＜A＜π，∴，即．由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA及a2=bc，∴（b﹣c）2=0∴b=c，∴．∴△ABC为等边三角形．18．（12分）某学校高三（1）班学生举行新年联欢活动；准备了10张奖券，其中一等奖的奖券有2张，二等奖的奖券有3张，其余奖券均为3等奖．（Ⅰ）求从中任意抽取2张，均得到一等奖奖券的概率；（Ⅱ）从中任意抽取3张，至多有1张一等奖奖券的概率；（Ⅲ）从中任意抽取3张，得到二等奖奖券数记为ξ，求ξ的数学期望．【解答】解：（Ⅰ）准备了10张奖券，从中任意抽取2张，基本事件总数n==45，均得到一等奖奖券包含的基本事件个数m1==1，∴从中任意抽取2张，均得到一等奖奖券的概率：P1==．（Ⅱ）从中任意抽取3张，至多有1张一等奖奖券的情况有两种：没有一等奖或恰有1张一等奖，∴至多有1张一等奖奖券的概率P2==．（Ⅲ）由题意得ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，∴Eξ==．19．（12分）如图所示，已知平行四边形ABCD和平行四边形ACEF所在的平面相交于直线AC，EC⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，ADC=60°，AF=．（1）求证：AC⊥BF；（2）求二面角F﹣BD﹣A的余弦值．【解答】（1）证明：∵AB=1，BC=AD=2，∠ADC=60°，∴AC2=1+4﹣2×1×2×cos60°=3∴AC=，又∵AB=1，BC=2∴∠BAC=∠ACD=90°，∴AC⊥AB又AF⊥AC，AB∩AF=A∴AC⊥平面ABF，又∵BF⊂平面ABF，∴AC⊥BF；（2）解：建立如图所示的坐标系，则C（0，0，0），D（1，0，0），A（0，，0），F（0，，），B（﹣1，，0）平面ABD的一个法向量=（0，0，1），设平面FBD的法向量为=（x，y，z）∵=，=，由，可得令z=1，得=（）为平面FBD的一个法向量．∴故所求二面角F﹣BD﹣A的余弦值为．20．（12分）在直角坐标系xoy上取两个定点A1（﹣2，0），A2（2，0），再取两个动点N1（0，m）、N2（0，n）且mn=3．（Ⅰ）求直线A1N1与A2N2交点的轨迹M的方程；（Ⅱ）已知F2（1，0），设直线l：y=kx+m与（Ⅰ）中的轨迹M交于P、Q两点，直线F2P、F2Q的倾斜角分别为α、β，且α+β=π，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．【解答】解：（I）依题意知直线A1N1的方程为：y=（x+2）…①；直线A2N2的方程为：y=﹣（x﹣2）…②设Q（x，y）是直线A1N1与A2N2交点，①、②相乘，得y2=﹣（x2﹣4）由mn=3整理得：∵N1、N2不与原点重合，可得点A1（﹣2，0），A2（2，0）不在轨迹M上，∴轨迹M的方程为（x≠±2）．（II）由题意，可得直线l的斜率存在且不为零由消去y，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），可得x1+x2=且x1x2=，∵α+β=π，=，=，∴+=+=0，化简得2kx 1x2+（m﹣k）（x1+x2）﹣2m=0．即2k+（m﹣k）•﹣2m=0，整理得m=﹣4k因此，直线l：y=kx+m即y=k（x﹣4），经过定点（4，0）．综上所述，直线l过定点，该点的坐标为（4，0）．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣ax2（a∈R）．（1）求函数f（x）在点P（0，1）处的切线方程；（2）若函数f（x）为R上的单调递增函数，试求a的范围；（3）若函数f（x）不出现在直线y=x+1的下方，试求a的最大值．【解答】解：（1）函数f（x）=e x﹣ax2．则导数f′（x）=e x﹣2ax，∴f′（0）=1，∴函数f（x）在点P（0，1）处的切线方程是y=x+1；（2）函数f（x）为R上的单调递增函数即导数f′（x）=e x﹣2ax≥0恒成立，画出曲线y=e x和直线y=2ax，即要求曲线恒在直线的上方．设直线与曲线相切时的切点为（m，n），则n=2am，n=e m，e m=2a，解得m=1，n=e，a=，由图象观察得a的范围是[0，]；（3）由题意可知，f（x）≥x+1恒成立，记F（x）=e x﹣ax2﹣x﹣1，即F（x）≥0恒成立，若a＞0，则x＜﹣＜0，F（x）＜1﹣x（ax+1）﹣1＜0，与F（x）≥0矛盾，∴a≤0，F′（x）=e x﹣2ax﹣1，则x＞0时，F′（x）＞e0﹣1=0，x＜0时，F′（x）＜e0﹣1=0，∴x=0为F（x）的最小值点，即最小值为0，即F（x）≥0恒成立，故函数f（x）不出现在直线y=x+1的下方，a的最大值为0．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，已知PE切圆O于点E，割线PBA交圆O于A，B两点，∠APE的平分线和AE、BE分别交于点C，D（Ⅰ）求证：CE=DE；（Ⅱ）求证：=．【解答】证明：（Ⅰ）∵PE切圆O于E，∴∠PEB=∠A，又∵PC平分∠APE，∴∠CPE=∠CPA，∴∠PEB+∠CPE=∠A+∠CPA，∴∠CDE=∠DCE，即CE=DE．（Ⅱ）因为PC平分∠APE∴，又PE切圆O于点E，割线PBA交圆O于A，B两点，∴PE2=PB•PA，即∴=【选修4-4：坐标系与参数方程】23．选修4﹣4：坐标系与参数方程已知极点与坐标原点重合，极轴与x轴非负半轴重合，M是曲线C：ρ=4sinθ上任意一点，点P满足=3，设点P的轨迹为曲线Q．（Ⅰ）求曲线Q的方程；（Ⅱ）设曲线Q与直线l：（t为参数）相交于A，B两点且|AB|=4，求实数a的值．【解答】解：（Ⅰ）设点P（x，y）、M（x1，y1），曲线C：ρ=4sinθ 即ρ2=4ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+（y﹣2）2=4．由=3，可得，代入曲线C的方程可得x2+（y﹣6）2=36，即为所求的曲线Q 的方程． （Ⅱ）直线l ：（t 为参数）化为普通方程为 x +y ﹣a=0，曲线Q 的圆心N（0，6），半径r=6， 圆心到直线l 的距离d=∴|AB |=4=2=2，解得a=﹣2，或a=14．选修4-5：不等式选讲24．（选做题）已知f （x ）=|x +1|+|x ﹣1|，不等式f （x ）＜4的解集为M ． （1）求M ；（2）当a ，b ∈M 时，证明：2|a +b |＜|4+ab |．【解答】（Ⅰ）解：f （x ）=|x +1|+|x ﹣1|=当x ＜﹣1时，由﹣2x ＜4，得﹣2＜x ＜﹣1； 当﹣1≤x ≤1时，f （x ）=2＜4； 当x ＞1时，由2x ＜4，得1＜x ＜2． 所以M=（﹣2，2）．…（5分）（Ⅱ）证明：当a ，b ∈M ，即﹣2＜a ，b ＜2，∵4（a +b ）2﹣（4+ab ）2=4（a 2+2ab +b 2）﹣（16+8ab +a 2b 2）=（a 2﹣4）（4﹣b 2）＜0，∴4（a +b ）2＜（4+ab ）2， ∴2|a +b |＜|4+ab |．…（10分）赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 函数名称指数函数定义 函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a > 01a <<xa y =yxa y =y定义域R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质函数 名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a >01a <<定义域 (0,)+∞ 值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。