江苏专用2018高考数学一轮复习第七章数列推理与证明第38课直接证明与间接证明课时分层训练

第七章数列、推理与证明第38课直接证明与间接证明课时分层训练A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法；⑤反证法是间接证法．其中正确的个数有____________．(填序号)①②③④⑤[由分析法、综合法、反证法的定义知①②③④⑤都正确．]2．用反证法证明命题：若整数系数的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理实数根，则a，b，c中至少有一个是偶数．下列假设中正确的是____________．(填序号)①假设a，b，c至多有一个是偶数；②假设a，b，c至多有两个偶数；③假设a，b，c都是偶数；④假设a，b，c都不是偶数．④[“至少有一个”的否定为“一个都没有”，即假设a，b，c都不是偶数．]3．若a，b，c为实数，且a<b<0，则下列命题正确的是____________.【导学号：62172207】①ac2<bc2；②a2>ab>b2；③1a<1b；④ba>ab.②[a2－ab＝a(a－b)，∵a<b<0，∴a－b<0，∴a2－ab>0，∴a2>ab.又ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2，即a2>ab>b2.]4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证b2－ac <3a”索的因应是________．(填序号)①a－b>0; ②a－c>0；③(a－b)(a－c)>0; ④(a－b)(a－c)<0.③[由题意知b2－ac<3a⇐b2－ac<3a2⇐(a＋c)2－ac<3a2⇐a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0⇐－2a 2＋ac ＋c 2<0 ⇐2a 2－ac －c 2>0⇐(a －c )(2a ＋c )>0⇐(a －c )(a －b )>0.]5．用反证法证明“若x 2－1＝0，则x ＝－1或x ＝1”时，应假设__________．x ≠－1且x ≠1 [“x ＝－1或x ＝1”的否定是“x ≠－1且x ≠1”．]6．设a >b >0，m ＝a －b ，n ＝a －b ，则m ，n 的大小关系是__________．m <n [法一(取特殊值法)：取a ＝2，b ＝1，得m <n .法二(分析法)：a －b <a －b ⇐b ＋a －b >a ⇐a <b ＋2b ·a －b ＋a －b ⇐2b ·a －b >0，显然成立．]7．下列条件：①ab >0，②ab <0，③a >0，b >0，④a <0，b <0，其中能使b a ＋ab≥2成立的条件的个数是__________．3 [要使b a ＋a b ≥2，只要b a >0，且a b>0，即a ，b 不为0且同号即可，故有3个．] 8．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2>0，则f (x 1)＋f (x 2)____________0.(填“>”“<”或“＝”) 【导学号：62172208】< [∵x 1＋x 2>0，∴x 1>－x 2，又f (x )是奇函数，且在[0，＋∞)上单调递减， 故f (x )在R 上单调递减， 故f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)， 所以f (x 1)＋f (x 2)<0.]9．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a ，b 是正实数，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为____________．A ≤B ≤C [∵a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b ，又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上是减函数．∴f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，即A ≤B ≤C .] 10．凸函数的性质定理为：如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2…，x n ，有f x 1 ＋f x 2 ＋…＋f x n n ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，已知函数y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为____________．332[∵f (x )＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数， 且A 、B 、C 、∈(0，π)，∴f A ＋f B ＋f C3≤f ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋B ＋C 3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332，所以sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332.]二、解答题11．已知a ≥b >0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b . [证明] 要证明2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b 成立， 只需证：2a 3－b 3－2ab 2＋a 2b ≥0， 即2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)≥0， 即(a ＋b )(a －b )(2a ＋b )≥0.∵a ≥b >0，∴a －b ≥0，a ＋b >0,2a ＋b >0， 从而(a ＋b )(a －b )(2a ＋b )≥0成立， ∴2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .12．设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和． (1)求证：数列{S n }不是等比数列；(2)数列{S n }是等差数列吗？为什么？ 【导学号：62172209】 [解] (1)证明：假设数列{S n }是等比数列，则S 22＝S 1S 3， 即a 21(1＋q )2＝a 1·a 1·(1＋q ＋q 2)， 因为a 1≠0，所以(1＋q )2＝1＋q ＋q 2， 即q ＝0，这与公比q ≠0矛盾， 所以数列{S n }不是等比数列．(2)当q ＝1时，S n ＝na 1，故{S n }是等差数列； 当q ≠1时，{S n }不是等差数列，否则2S 2＝S 1＋S 3， 即2a 1(1＋q )＝a 1＋a 1(1＋q ＋q 2)， 得q ＝0，这与公比q ≠0矛盾．综上，当q ＝1时，数列{S n }是等差数列； 当q ≠1时，数列{S n }不是等差数列．B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．设x ，y ，z >0，则三个数y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋x y____________.(填序号) ①都大于2; ②至少有一个大于2；③至少有一个不小于2; ④至少有一个不大于2.③ [因为x >0，y >0，z >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋y z ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z x ＋z y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋x y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y z ＋z y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋z x ≥6，当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立，则三个数中至少有一个不小于2.]2．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则下列说法正确的是____________．(填序号)①△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形； ②△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形；③△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形； ④△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形；④ [由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 1得⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1.那么，A 2＋B 2＋C 2＝π2，这与三角形内角和为180°相矛盾．所以假设不成立，又显然△A 2B 2C 2不是直角三角形． 所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．]3．已知数列{a n }满足a 1＝12，且a n ＋1＝a n3a n ＋1(n ∈N ＋)．(1)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n a n ＋1(n ∈N ＋)，数列{b n }的前n 项和记为T n ，证明：T n <16.[解] (1)由已知可得，当n ∈N ＋时，a n ＋1＝a n3a n ＋1.两边取倒数得，1a n ＋1＝3a n ＋1a n ＝1a n＋3，即1a n ＋1－1a n＝3，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝2，公差为3的等差数列，其通项公式为1a n ＝1a 1＋(n －1)×3＝2＋(n －1)×3＝3n －1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝13n －1.(2)证明：由(1)知a n ＝13n －1，故b n ＝a n a n ＋1＝13n －1×13 n ＋1 －1＝13n －1 3n ＋2＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋2，故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－15＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫15－18＋…＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋2＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13n ＋2＝16－13×13n ＋2. 因为13n ＋2>0，所以T n <16.4．若f (x )的定义域为[a ，b ]，值域为[a ，b ](a <b )，则称函数f (x )是[a ，b ]上的“四维光军”函数．(1)设g (x )＝12x 2－x ＋32是[1，b ]上的“四维光军”函数，求常数b 的值；(2)是否存在常数a ，b (a >－2)，使函数h (x )＝1x ＋2是区间[a ，b ]上的“四维光军”函数？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．[解] (1)由题设得g (x )＝12(x －1)2＋1，其图象的对称轴为x ＝1，区间[1，b ]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b ]上单调递增．由“四维光军”函数的定义可知，g (1)＝1，g (b )＝b ， 即12b 2－b ＋32＝b ，解得b ＝1或b ＝3.因为b >1，所以b ＝3. (2)假设函数h (x )＝1x ＋2在区间[a ，b ](a >－2)上是“四维光军”函数， 因为h (x )＝1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧h a ＝b ，h b ＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋2＝b ，1b ＋2＝a ，解得a ＝b ，这与已知矛盾．故不存在．。