1_2020年银川市统测文科数学答案
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(宁夏卷,含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（宁夏卷，含答案）第I 卷一， 选择题：（本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中 ，中有一项是符合题目要求的。
（1） 已知集合}{{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==,则A B =I (A) }{3,5 (B) }{3,6 (C) }{3,7 (D) }{3,9 （2） 复数3223ii+=- （A ）1 （B ）1- （C ）i (D)i -（3）对变量,x y 有观测数据（1x ，1y ）（1,2,...,10i =），得散点图1；对变量,u v 有观测数据（1u ，1v ）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断。
（A ）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 （B ）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 （C ）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D ）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 （4）有四个关于三角函数的命题：1p ：∃x ∈R, 2sin 2x +2cos 2x =122p : ,x y R ∃∈, sin()sin sin x y x y -=-3p : ∀x ∈[]0,π1cos 2sin 2x x -= 4p : sin cos 2x y x y π=⇒+= 其中假命题的是（A ）1p ，4p （B ）2p ，4p （3）1p ，3p （4）2p ，3p（5）已知圆1C ：2(1)x ++2(1)y -=1，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为（A ）2(2)x ++2(2)y -=1 （B ）2(2)x -+2(2)y +=1 （C ）2(2)x ++2(2)y +=1 （D ）2(2)x -+2(2)y -=1（6）设,x y 满足24,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩则z x y =+（A ）有最小值2，最大值3 （B ）有最小值2，无最大值 （C ）有最大值3，无最小值 （D ）既无最小值，也无最大值 （7）已知()()3,2,1,0a b =-=-，向量a b λ+与2a b -垂直，则实数λ的值为（A ）17-（B ）17 （C ）16- （D ）16（8）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2110m m m a a a -++-=，2138m S -=,则m =（A ）38 （B ）20 （C ）10 （D ）9（9） 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱线长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且12EF =，则下列结论中错误的是 （A ）AC BE ⊥（B ）//EF ABCD 平面（C ）三棱锥A BEF -的体积为定值（D ）AEF BEF ∆∆的面积与的面积相等（10）如果执行右边的程序框图，输入2,0.5x h =-=，那么输出的各个数的和等于 （A ）3 （B ） 3.5 （C ） 4 （D ）4.5（11）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：2cm ）为（A ）48122+ （B ）48242+（C ）36122+ （D ）36242+（12）用min{a,b,c}表示a,b,c 三个数中的最小值。
2020届宁夏回族自治区银川一中高三下学期第五次模拟考试数学(文)试题
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2,1,01,2U =--，，{}012A =，，，则U C A = A ．{}2,1,0-- B ．{}2,1--C ．{}01,2，D ．{}1,22．已知复数z 满足13z i =-（其中i 为虚数单位），则zz= A ．132-+ B ．13i 22-- C ．1322i + D ．1322- 3．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<4．某口罩厂一年中各月份的收入、支出情况如图 所示（单位：万元），下列说法中错误的是 （注：月结余=月收入一月支出） A ．上半年的平均月收入为45万元B ．月收入的方差大于月支出的方差C ．月收入的中位数为70D ．月结余的众数为305．已知1cos 3α=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan α等于 A ．2-B ．2C ．2D 26．平面向量a r与b r 的夹角为60︒，且3a =r，b r 为单位向量，则2a b +=r rA 3B 19C ．19D ．237．已知焦点在x 轴上的椭圆C ：22214x y a +=的焦距为4，则C 的离心率A ．13B ．12C ．2D ．228．等比数列{a n }中，a 5、a 7是函数f （x ）＝x 2﹣4x +3的两个零点，则a 3•a 9等于 A ．﹣2B ．2C ．﹣3D ．39．函数()3cos x x f x x x -=+在-22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的图像大致为A ．B ．C ．D ．10．已知a b ，是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且a α⊂，b β⊂，a ∥β，b ∥α，则“a 与b 为异面直线”是“α∥β”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请100名同学每人随机写下一个x ，y 都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数m ；最后再根据统计数m 估计π的值，假如某次统计结果是28m =，那么本次实验可以估计π的值为 A ．227B ．4715C ．7825D ．531712．已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，ABC ∆的外接圆的面积为3π，且222cos cos cos A B C -+1sin sin A C =+，则ABC ∆的最大边长为A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线()ln f x x x x =+在点1x =处的切线方程为 ．14．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为3y x =，若其右顶点到这条渐近线的距离为3，则双曲线方程为______．15．过点(2,2)M 的直线l 与圆22280x y x +--=相交于A ，B 两点，则||AB 的最小值为_ _ 16．（本小题第一空2分，第二空3分）农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为______；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为_______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分 17．（12分）已知等比数列{}n a 各项均为正数，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且116,a =328S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12log n n b a =，求数列{}nn b a +的前n 项和n T .18．（12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面PAC ⊥平面ABCD ，PA =PC ，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，且CD =2AD =4AB =4. （1）求证：BD ⊥PC ；（2）过BD 作截面与线段PC 交于点H ，使得 AP ∥平面BDH ，试确定点H 的位置，并给出证明.19．（12分）已知鲜切花A 的质量等级按照花枝长度L 进行划分，划分标准如下表所示.花枝长度/L cm30L <3045L ≤<45L ≥鲜花等级三级二级一级某鲜切花加工企业分别从甲、乙两个种植基地购进鲜切花A ，现从两个种植基地购进的鲜切花A 中分别随机抽取30个样品，测量花枝长度并进行等级评定，所抽取样品数据如图所示.（1）根据茎叶图比较两个种植基地鲜切花A 的花枝长度的平均值及分散程度(不要求计算具体值，给出结论即可)；（2）若从等级为三级的样品中随机选取2个进行新产品试加工，求选取的2个全部来自乙种植基地的概率；（3）根据该加工企业的加工和销售记录，了解到来自甲种植基地的鲜切花A 的加工产品的单件利润为4元；来自乙种植基地的鲜切花A 的加工产品的单件成本为10元，销售率(某等级产品的销量与产量的比值)及单价如下表所示.三级花加工产品 二级花加工产品 一级花加工产品销售率 252389单价/(元/件)121620由于鲜切花A 加工产品的保鲜特点，未售出的产品均可按原售价的50%处理完毕.用样本估计总体，如果仅从单件产品的利润的角度考虑，该鲜切花加工企业应该从哪个种植基地购进鲜切花A ？20．（12分）已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，点()0,1A x 在抛物线C 上，且3AF =.（1）求抛物线C 的方程及0x 的值；（2）设点O 为坐标原点，过抛物线C 的焦点F 作斜率为34的直线l 交抛物线于()11,M x y ，()()2212,N x y x x <两点，点Q 为抛物线C 上异于M 、N 的一点，若OQ OM tON =+u u u r u u u u r u u u r，求实数t 的值.21．（12分）已知函数()()ln 1xf x x ae a R =-+∈.（1）当1a =时，讨论()f x 极值点的个数； （2）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．[选修4－4：坐标系与参数方程]已知曲线C，的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，(θ为参数)。
2020年宁夏银川一中高考数学一模试卷(文科)
2020年宁夏银川一中高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合2{|40}A x x =-<，{|326}B x x =-<<，则(A B =I ) A ．3(,2)2-B ．(2,2)-C ．3(,3)2-D ．(2,3)-2．（5分）复数12z i =+，若复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则12(z z =)A ．5-B ．5C ．34i -+D ．34i -3．（5分）下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在(,0)-∞上单调递增的函数是( ) A ．2()f x x =B ．||()2x f x =C ．21()||f x log x = D ．()sin f x x =4．（5分）已知向量a r ，b r ，其中|||2a b ==r ，且()a b a -⊥r r r ，则a r与b r 的夹角是( )A ．6πB ．4π C ．2π D ．3π 5．（5分）为了坚决打赢新冠状病毒的攻坚战，阻击战，某小区对小区内的2000名居民进行模排，各年龄段男、女生人数如表．已知在小区的居民中随机抽取1名，抽到20岁50-岁女居民的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全小区抽取64名居民，则应在50岁以上抽取的女居民人数为( )A ．24B ．16C ．8D ．126．（5分）我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍薨．如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为( )A ．1003B ．1043C ．27D ．187．（5分）已知2sin()34πα+=，则sin 2(α= )A ．12B ．3 C ．12-D ．3-8．（5分）已知数列{}n a 为等差数列，前n 项和为n S ，且55a =，则9(S = ) A ．25B ．90C ．50D ．459．（5分）函数3||3()44x x f x =-的大数图象为( )A ．B ．C ．D ．10．（5分）在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若1b =，23,3c C π==，则(ABC S ∆= ) A 3B 3C 3D ．3411．（5分）已知椭圆22221(0) x ya ba b+=>>的两焦点分别是1F，2F，过1F的直线交椭圆于P，Q两点，若212||||PF F F=，且112||3||PF QF=，则椭圆的离心率为() A．35B．45C．34D．32512．（5分）已知定义在R上的函数满足(2)()f x f x+=-，(0x∈，2]时，()sinf x x xπ=-，则20201()(if i==∑)A．6B．4C．2D．0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设x，y满足约束条件2102702350x yx yx y--⎧⎪+-⎨⎪+-⎩…„…，则23z x y=-的最小值为．14．（5分）如图，()y f x=是可导函数，直线:2l y kx=+是曲线()y f x=在3x=处的切线，令()()g x xf x=，其中()g x'是()g x的导函数，则g'（3）=．15．（5分）已知双曲线的方程为22221(0,0)x ya ba b-=>>，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为5(c c为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率为．16．（5分）如图所示，某住宅小区内有一正方形草地ABCD，现欲在其中修建一个正方形花坛EFGH，若已知花坛面积为正方形草地面积的23，则θ=．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分）17．（12分）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，18a =，322(3)S a =+． （1）求{}n a 的通项公式；（2）已知12n n T a a a =⋯，求n T 的最大值．18．（12分）在直三棱柱111ABC A B C -中，13AB AC AA ===，2BC =，D 是BC 的中点，F 是1C C 上一点．（1）当2CF =，求证：1B F ⊥平面ADF ； （2）若1FD B D ⊥，求三棱锥1B ADF -体积．19．（12分）某种植物感染α病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗α病毒的制剂，现对20株感染了α病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效．测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计；并对植株吸收制剂的量（单位：)mg 进行统计．规定：植株吸收在6mg （包括6)mg 以上为“足量”，否则为“不足量”．现对该20株植株样本进行统计，其中“植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表．已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株． 编号 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 吸收量()mg683895662775 10 6788469（1）完成以22⨯下列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关？（2）若在该样本“制剂吸收不足量”的植株中随机抽取3株，求这3株中恰有1株“植株存活”的概率． 参考数据：2()()()()K a b c d a c b d =++++，其中n a b c d =+++20．（12分）已知动点M 到定点(1,0)F 的距离比M 到定直线2x =-的距离小1． （Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 任意作互相垂直的两条直线1l ，2l ，分别交曲线C 于点A ，B 和M ，N ．设线段AB ，MN 的中点分别为P ，Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求FPQ ∆面积的最小值． 21．（12分）设函数()xf x ax lnx=-． （1）若函数()f x 在(1,)+∞上为减函数，求实数a 的最小值；（2）若存在1x ，2[x e ∈，2]e ，使12()()f x f x a '+„成立，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做．则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为11cos :(sin x C y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），曲线222:12x C y +=．（Ⅰ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）射线(0)6πθρ=…与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的交点为B ，求||AB ．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x 的不等式|2||3||1|x x m --++…有解，记实数m 的最大值为M ． （1）求M 的值；（2）正数a ，b ，c 满足2a b c M ++=，求证：111a b b c+++…．2020年宁夏银川一中高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合2{|40}A x x =-<，{|326}B x x =-<<，则(A B =I ) A ．3(,2)2-B ．(2,2)-C ．3(,3)2-D ．(2,3)-【解答】解：Q 3{|22},{|3}2A x xB x x =-<<=-<<，∴3(,2)2A B =-I ．故选：A ．2．（5分）复数12z i =+，若复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则12(z z =)A ．5-B ．5C ．34i -+D ．34i -【解答】解：由题意可知22z i =-+， 所以12(2)(2)415z z i i =+-+=--=-． 故选：A ．3．（5分）下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在(,0)-∞上单调递增的函数是( ) A ．2()f x x =B ．||()2x f x =C ．21()||f x log x = D ．()sin f x x =【解答】解：2()f x x =，||()2x f x =在(,0)-∞单调递减； 21()||f x log x =是偶函数，且0x <时，21()()f x log x=-是复合函数，在(,0)-∞上单调递增，所以C 正确；()sin f x x =在定义域R 上是奇函数．故选：C ．4．（5分）已知向量a r ，b r ，其中|||2a b ==r ，且()a b a -⊥r r r ，则a r与b r 的夹角是( )A ．6πB ．4π C ．2π D ．3π【解答】解：由|||2a b ==r ，且()a b a -⊥r r r，所以()0a b a -=r r rg ，即20a b a -=r r r g ， 所以22a b a ==r r r g ，所以cos ||||a b a b θ===⨯rr g r r又[0θ∈，]π， 所以4πθ=，即a r 与b r 的夹角是4π．故选：B ．5．（5分）为了坚决打赢新冠状病毒的攻坚战，阻击战，某小区对小区内的2000名居民进行模排，各年龄段男、女生人数如表．已知在小区的居民中随机抽取1名，抽到20岁50-岁女居民的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全小区抽取64名居民，则应在50岁以上抽取的女居民人数为( )A ．24B ．16C ．8D ．12【解答】解：由题意20~50岁内女性有20000.19380⨯=（人)，即380X =， 所以50岁以上女性有2000373380377370250250Y =-----=（人)， 用分层抽样法在全区抽取64名居民，应在50岁以上抽取的女居民人数为2506482000⨯=（人)．故选：C ．6．（5分）我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍薨．如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为( )A ．1003B ．1043C ．27D ．18【解答】解：原图为正四棱台，两底的长分别为2和6，高为2， 该刍薨的体积为1104(436436)233V =++⨯⨯=，故选：B ．7．（5分）已知2sin()34πα+=，则sin 2(α= ) A ．12B ．3 C ．12-D ．3-【解答】解：由2sin()34πα+=，得3sin()4πα+=，231sin 2cos(2)[12()][12]2442sin ππααα∴=-+=--+=--⨯=．故选：A ．8．（5分）已知数列{}n a 为等差数列，前n 项和为n S ，且55a =，则9(S = ) A ．25B ．90C ．50D ．45【解答】解：根据题意，数列{}n a 为等差数列， 则19595()92994522a a a S a +⨯⨯====， 故选：D ．9．（5分）函数3||3()44x x f x =-的大数图象为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：由题意，可知：x R ∈，33||||3()3()()4444x x x x f x f x ---==-=---，∴函数()f x 为奇函数，故排除C 、D 选项；又1213138()021644f ==-<-g Q ．故只有A 选项的图象正确． 故选：A ．10．（5分）在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若1b =，23,3c C π==，则(ABC S ∆= ) A 3B 3 C 3 D ．34【解答】解：由余弦定理可得，222cos 2a b c C ab +-=，即211322a a +--=，解可得1a =，则1133sin 1122ABC S ab C ∆==⨯⨯=故选：B ．11．（5分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点分别是1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于P ，Q 两点，若212||||PF F F =，且112||3||PF QF =，则椭圆的离心率为( )A ．35B ．45C ．34D 【解答】解：由题意作图如右图， 1l ，2l 是椭圆的准线，设点0(Q x ，0)y ， 112||3||PF QF =Q ，∴点053(22P c x --，03)2y -； 又1||||c PF MP a =Q ，1||||cQF QA a=， 2||3||MP QA ∴=，又2053||22a MP c x c =--+Q ，20||a QA x c =+，2200533()2()22a a x c x c c ∴+=--+，解得，22056c a x c +=-，212||||PF F F =Q ，2053()222a cc x c c a ∴++=； 将22056c a x c+=-代入化简可得，223580a c ac +-=，即25()830c ca a-+=；解得，1ca=（舍去）或35c a =；故选：A ．12．（5分）已知定义在R 上的函数满足(2)()f x f x +=-，(0x ∈，2]时，()sin f x x x π=-，则20201()(i f i ==∑ )A ．6B ．4C ．2D ．0【解答】解：因为(0x ∈，2]时，()sin f x x x π=-，所以f （1）1sin 1π=-=，f （2）2sin22π=-=，因为(2)()f x f x +=-，所以(0)f f =-（2）2=-，(1)f f -=-（1）1=-， 所以(1)(0)f f f -++（1）f +（2）0=．因为(2)()f x f x +=-，将x 换为2x +，则(4)(2)f x f x +=-+，所以()(4)f x f x =+，即函数的周期为4，所以20201()505[(1)(0)i f i f f f ==⨯-++∑（1）f +（2）]0=．故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设x ，y 满足约束条件2102702350x y x y x y --⎧⎪+-⎨⎪+-⎩…„…，则23z x y =-的最小值为 5- ．【解答】解：作出x ，y 满足约束条件2102702350x y x y x y --⎧⎪+-⎨⎪+-⎩…„…的可行域，当直线23z x y =-经过点(2,3)A 时，22335min z =⨯-⨯=-． 故答案为：5-．14．（5分）如图，()y f x =是可导函数，直线:2l y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线，令()()g x xf x =，其中()g x '是()g x 的导函数，则g '（3）= 0 ．【解答】解：Q 直线:2l y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线，f ∴（3）1=，又点(3,1)在直线l 上， 321k ∴+=，从而13k =-，f ∴'（3）13k ==-，()()g x xf x =Q ， ()()()g x f x xf x ∴'=+'则g '（3）f =（3）3f +'（3）113()03=+⨯-=故答案为：0．15．（5分）已知双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为5(c c 为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率为 32． 【解答】解：双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为0bx ay ±=，焦点坐标为(,0)c ±，其中22c a b =+∴一个焦点到一条渐近线的距离为225d c a b ==+，即5b c =， 因此，2223a c b c =-=，由此可得双曲线的离心率为32c e a ==故答案为：3216．（5分）如图所示，某住宅小区内有一正方形草地ABCD ，现欲在其中修建一个正方形花坛EFGH ，若已知花坛面积为正方形草地面积的23，则θ= arctan(23)- ．【解答】解：设CG x =，()FC y x y =<，则22FG x y =+，BC x y =+．Q 花坛面积为正方形草地面积的23， ∴2222()3x y x y +=+，即2240x y xy +-=． 24()10x x y y∴-+=． 解得23x y =或23xy=+（舍)． arctan(23)θ∴=-．故答案为arctan(23)．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分）17．（12分）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，18a =，322(3)S a =+． （1）求{}n a 的通项公式；（2）已知12n n T a a a =⋯，求n T 的最大值．【解答】解：（1）设{}n a 的公比为q ，由题意得：1326a a a +=+ 所以28886q q +=+，即24410q q -+= 则12q =． 所以1418()22n n n a --=⨯=．（2）(7)321(4)21222n n n n n T a a a -+++⋯+-=⋯==，当3n =或4时，n T 取得最大值，且()64n max T =．18．（12分）在直三棱柱111ABC A B C -中，13AB AC AA ===，2BC =，D 是BC 的中点，F 是1C C 上一点．（1）当2CF =，求证：1B F ⊥平面ADF ； （2）若1FD B D ⊥，求三棱锥1B ADF -体积．【解答】（1）证明：AB AC =Q ，D 是BC 的中点，AD BC ∴⊥．在直三棱柱111ABC A B C -中，1B B ⊥Q 底面ABC ，AD ⊂底面ABC ，1AD B B ∴⊥．1BC B B B =Q I ，AD ∴⊥平面11B BCC ．1B F ⊂Q 平面11B BCC ，1AD B F ∴⊥．-------------（3分）在矩形11B BCC 中，11C F CD ==Q ，112B C CF ==，Rt DCF Rt ∴∆≅△11FC B ．11CFD C B F ∴∠=∠．190B FD ∴∠=︒，1B F FD ∴⊥．AD FD D =Q I ，1B F ∴⊥平面ADF ．-------------（6分）（2）解：AD ⊥Q 面1B DF，AD =又1B D =，1CD =，-------------（8分） 1FD B D ⊥Q ，Rt CDF Rt ∴∆∽△1BB D ，∴11DF CDB D BB =．∴13DF ==-------------（10分）∴11111332B ADF B DF V S AD -==⨯V g ．-------------（12分） 19．（12分）某种植物感染α病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗α病毒的制剂，现对20株感染了α病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效．测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计；并对植株吸收制剂的量（单位：)mg 进行统计．规定：植株吸收在6mg （包括6)mg 以上为“足量”，否则为“不足量”．现对该20株植株样本进行统计，其中“植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表．已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株．（1）完成以22⨯下列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关？（2）若在该样本“制剂吸收不足量”的植株中随机抽取3株，求这3株中恰有1株“植株存活”的概率． 参考数据：2()()()()K a b c d a c b d =++++，其中n a b c d =+++ 【解答】解：（1）由题意可得“植株存活”的13株，“植株死亡”的7株； “吸收足量”的15株，“吸收不足量”的5株， 填写列联表如下：4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分计算2220(12431) 5.934 6.635137155K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以不能在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关；8⋯⋯⋯分（2）样本中“制剂吸收不足量”有5株，其中“植株死亡”的有4株，存活的1株， 设事件A ：抽取的3株中恰有1株存活，记存活的植株为a ，死亡的植株分别为1b ，2b ，3b ，4b ；则选取的3株有以下情况：{a ，1b ，2}b ，{a ，1b ，3}b ，{a ，1b ，4}b ，{a ，2b ，3}b ，{a ，2b ，4}b ，{a ，3b ，4}b ，1{b ，2b ，3}b ，1{b ，2b ，4}b ，1{b ，3b ，4}b ，2{b ，3b ，4}b共10种，其中恰有一株植株存活的情况有6种； 所以63()105P A ==．12⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分 20．（12分）已知动点M 到定点(1,0)F 的距离比M 到定直线2x =-的距离小1．（Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 任意作互相垂直的两条直线1l ，2l ，分别交曲线C 于点A ，B 和M ，N ．设线段AB ，MN 的中点分别为P ，Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求FPQ ∆面积的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：动点M 到定点(1,0)F 的距离等于M 到定直线1x =-的距离， 根据抛物线的定义可知，点M 的轨迹C 是抛物线． ⋯（2分）2p =Q ，∴点M 的轨迹C 的方程：24y x =．⋯（3分）证明：（Ⅱ）设A ，B 两点坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ， 则点P 的坐标为12(2x x +，12)2y y +．由题意可设直线1l 的方程为(1)y k x =-，(0)k ≠， 由24(1)y xy k x ⎧=⎨=-⎩，得2222(24)0k x k x k -++=． △2242(24)416160k k k =+-=+>．⋯（5分）Q 直线1l 与曲线C 于A ，B 两点，∴12242x x k +=+，12124(2)y y k x x k+=+-=． ∴点P 的坐标为22(1k+，2)k ．⋯（6分） 由题知，直线2l 的斜率为1k-，同理可得点Q 的坐标为2(12k +，2)k -．⋯（7分）当1k ≠±时，有222112k k+≠+， 此时直线PQ 的斜率2222221112PQkk k k k k k+==-+--．⋯（8分） ∴直线PQ 的方程为222(12)1ky k x k k+=---， 整理得2(3)0yk x k y +--=． 于是，直线PQ 恒过定点(3,0)E ，当1k =±时，直线PQ 的方程为3x =，也过点(3,0)E ．综上所述，直线PQ 恒过定点(3,0)E ． ⋯（10分） 解：（Ⅲ）由题意得||2EF =，FPQ ∴∆的面积12||(2||)42||S EF k k +⨯⨯+…．当且仅当1k =±时，“=”成立，FPQ ∴∆面积的最小值为4．⋯（12分）21．（12分）设函数()xf x ax lnx=-． （1）若函数()f x 在(1,)+∞上为减函数，求实数a 的最小值；（2）若存在1x ，2[x e ∈，2]e ，使12()()f x f x a '+„成立，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）由已知得()f x 的定义域为(0，1)(1⋃，)+∞，()f x Q 在(1,)+∞上为减函数，21()0()lnx f x a lnx -∴'=-+„在(1,)+∞上恒成立， 2211111()()24a lnx lnx lnx --=--„， 令2111()()24g x lnx =--， 故当112lnx =，即2x e =时， ()g x 的最小值为14-，14a ∴--„，即14a …a ∴的最小值为14． （Ⅱ）命题“若存在1x ，2[x e ∈，2]e ，使12()()f x f x a '+„成立”， 等价于“当[x e ∈，2]e 时，有()()min max f x f x a '+„”， 由（Ⅰ）知，当[x e ∈，2]e 时，[1lnx ∈，2]，11[2lnx ∈，1]， 221111()()()24lnx f x a a lnx lnx -'=-+=--+-， 1()4max f x a '+=， 问题等价于：“当[x e ∈，2]e 时，有1()4min f x „”， ①当14a --„，即14a …时，由（Ⅰ），()f x 在[e ，2]e 上为减函数，则2221()()24mine f x f e ae ==-+„，21142a e ∴--„， 21124a e∴-…．②当104a -<-<，即104a <<时，[x e ∈Q ，2]e ，1[2lnx ∴∈，1]，21()()lnx f x a lnx -'=-+Q ，由复合函数的单调性知()f x '在[e，2]e 上为增函数， ∴存在唯一20(,)x e e ∈，使0()0f x '=且满足：000()()min x f x f x ax lnx ==-+， 要使1()4min f x „，00111114424a x lnx ∴--<-=-„，与104a -<-<矛盾，104a ∴-<-<不合题意．综上，实数a 的取值范围为211[24e-，)+∞．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做．则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为11cos :(sin x C y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），曲线222:12x C y +=．（Ⅰ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）射线(0)6πθρ=…与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的交点为B ，求||AB ．【解答】解：（Ⅰ）曲线11cos :(sin x C y ααα=+⎧⎨=⎩为参数）可化为普通方程：22(1)1x y -+=， 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为22(1sin )2ρθ+=．（Ⅱ）射线(0)6πθρ=…与曲线1C 的交点A的极径为12cos6πρ==射线(0)6πθρ=…与曲线2C 的交点B 的极径满足222(1sin )26πρ+=，解得2ρ=，所以12||||ABρρ=-=[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式|2||3||1|x x m--++…有解，记实数m的最大值为M．（1）求M的值；（2）正数a，b，c满足2a b c M++=，求证：111a b b c+++…．【解答】解：（1）由绝对值不等式得|2||3||2(3)|5x x x x--+--+=厔，若不等式|2||3||1|x x m--++…有解，则满足|1|5m+„，解得64m-剟．4M∴=．（2）由（1）知正数a，b，c满足足24a b c++=，即1[()()]14a b b c+++=∴11111111 [()()]()(11)(2414444b c a ba b b ca b b c a b b c a b b c+++=++++=++++⨯= ++++++厖，当且仅当b c a ba b b c++=++即2a b b c+=+=，即a c=，2a b+=时，取等号．∴111a b b c+++…成立．第21页（共21页）。
2020年宁夏银川一中高考数学三模试卷(文科)(含答案解析)
2020年宁夏银川一中高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B.C. D.2.若复数z与其共轭复数满足，则A. B. C. 2 D.3.已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A. B. C. D.4.在区间内随机取两个数a、b，则使得“命题，不等式成立为真命题”的概率为A. B. C. D.5.若向量与平行，则A. B. C. D.6.F是抛物线的焦点，A、B是抛物线上的两点，，则线段AB的中点到y轴的距离为A. 4B.C.D. 37.已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是A. 若，，则B. 若，，，则C. 若，，，则D. 若，，则或8.已知函数的部分图象如图，则的解析式可能是A.B.C.D.9.已知函数，，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.10.天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯，又名依巴谷在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为已知“心宿二”的星等是，“天津四”的星等是，“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则与r最接近的是当较小时，A. B. C. D.11.已知数列的通项公式是，其中的部分图象如图所示，为数列的前n项和，则的值为A. B. C. D. 012.已知函数，若函数有4个零点，则实数m的取值范围是A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1800名学生中抽取一个容量为36的样本．若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数为______．14.已知实数x，y满足，则的最大值为______．15.等差数列的前n项和为，，，则______．16.在三棱锥中，，，，点P到底面ABC的距离是；则三棱锥的外接球的表面积是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.年龄岁人数人221282293305314323402合计20Ⅰ求这名教师年龄的众数与极差；Ⅱ以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名教师年龄的茎叶图；Ⅲ现在要在年龄为29岁和31岁的教师中选2位教师参加学校有关会议，求所选的2位教师年龄不全相同的概率．18.开放题在锐角中，，_______，求的周长l的范围．在，，且，，，注：这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解．19.如图所示的多面体中，四边形ABCD是正方形，平面平面ABCD，，，．Ⅰ求证：；Ⅱ求点D到平面BCF的距离．20.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点．求椭圆的标准方程；直线l：交椭圆于P，Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数k的取值范围．21.已知函数．Ⅰ若曲线与直线相切，求实数a的值；Ⅱ若不等式在定义域内恒成立，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，曲线C的极坐标方程为．写出直线l和曲线C的直角坐标方程；已知点，若直线l与曲线C交于P，Q两点，P，Q中点为M，求的值．23.已知函数．求不等式的解集；若，使得恒成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：集合，，，．故选：D．求出集合A，B，得到，由此能求出．本题考查补集、并集的求法，考查补集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：解：设，由，得，即，即，．，则．故选：A．设，代入，整理后利用复数相等的条件求得a，b的值，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数相等的条件，考查复数模的求法，是基础题．3.答案：D解析：解：双曲线的离心率为，可得，即，可得，由双曲线的渐近线方程可得，即为．故选：D．运用双曲线的离心率公式和a，b，c的关系，可得a，b的关系式，再由双曲线的渐近线方程即可得到所求．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率和渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．4.答案：A解析：解：两个数a、b在区间内随地机取，以a为横坐标、b为纵坐标建立如图所示直角坐标系，可得对应的点在如图的正方形OABC及其内部任意取，其中，，，O为坐标原点若命题，不等式成立为真命题，则，解之得，满足条件的点在直线的下方，且在正方形OABC内部的三角形，其面积为，正方形OABC的面积为，使得“命题，不等式成立为真命题”的概率为：，故选：A．根据题意，以a为横坐标、b为纵坐标建立如图所示直角坐标系，得到所有的点在如图的正方形OABC 及其内部任意取，由命题，不等式成立为真命题，知，解之得，满足条件的点在正方形内部且在直线的下方的直角三角形，因此用所得直角三角形面积除以正方形的两种，即可得到所求的概率．本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.答案：C解析：解：，，解得，，，．故选：C．根据即可求出，从而可得出向量的坐标，进而求出的值．本题考查了平行向量的坐标关系，向量坐标的加法和数乘运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．6.答案：C解析：【分析】本题考查抛物线定义及性质，属于基础题．根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标的和，求出线段AB的中点到y轴的距离．【解答】解：是抛物线的焦点，，准线方程，设，，，，线段AB的中点横坐标为，线段AB的中点到y轴的距离为．故选C．7.答案：A解析：解：若，，则或，故A错误；若，，则或，又，则，故B正确；若，，则或，又，则，故C正确；若，，则或，故D正确．故选：A．由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系逐一分析四个选项得答案．本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．8.答案：C解析：解：由图可知，函数的定义域为R，为奇函数且单调递增，选项A，定义域为，排除选项A；选项B，在上并不是恒成立，排除选项B；选项D，，与既非奇也非偶关系，排除选项D．故选：C．由图可知，函数的定义域为R，为奇函数且单调递增，而选项A中函数的定义域为，选项B不是单调增函数，选项D不是奇函数．本题考查函数的图象与性质，一般从函数的奇偶性、单调性和特殊点处的函数值等方面着手思考问题，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题．9.答案：A解析：解：，则在R上单调递增，，，，，，．故选：A．可得出，从而可根据指数函数的单调性判断在R上单调递增，然后可得出，从而根据的单调性即可得出a，b，c的大小关系．本题考查了指数函数、对数函数的单调性，增函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．10.答案：C解析：解：设“心宿二”的星等是，“天津四”的星等是，“心宿二”的亮度是，“天津四”的亮度是，则，，，两颗星的星等与亮度满足，，即：，，与r最接近的是，故选：C．根据题意，结合对数的运算性质即可求出结果．本题主要考查了简单的合情推理，是基础题．11.答案：B解析：解：由图象可得，即，，再将代入，可得，，即有，，可令，可得，即，，为最小正周期为6的数列，由，，，，，，可得一个周期的和为0，则．故选：B．求得的周期，可得，再将代入，可得的解析式，求得的周期，计算可得所求和．本题考查三角函数的解析式的求法，注意运用数形结合，考查数列的周期性的判断和运用，考查运算能力，属于中档题．12.答案：B解析：【分析】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，属于中档题．依题意，函数的图象与直线有4个交点，作出函数图象，通过图象分析找到临界情况，即可得解．解析：解：依题意，函数的图象与直线有4个交点，当时，，则，故此时，取得最大值时对应的点为；当时，，则，故此时，取得最大值时对应的点为；作函数图象如下：由图象可知，直线OA与函数有4个交点，且；直线OB与函数有6个交点，且；又过点作函数在上的切线切于点C，则又，同理作函数在上的切线切于点D，则．由图象可知，满足条件的实数m的取值范围为．故选：B．13.答案：700解析：解：设从高三年级抽取的学生人数为2x人，则从高二、高一年级抽取的人数分别为，．由题意可得，．设我校高三年级的学生人数为N，再根据，求得，故答案为：700．设从高三年级抽取的学生人数为2x人，由题意利用分层抽样的定义和方法，求出x的值，可得高三年级的学生人数．本题主要考查分层抽样，属于基础题．14.答案：22解析：解：作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，由可得，观察可知，当直线过点B时，z取得最大值，由，解得，即，所以．故答案为：22．作出不等式组对应的平面区域，，利用数形结合即可的得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．15.答案：解析：【分析】本题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力，属于中档题．利用已知条件求出等差数列的前n项和，然后化简所求的表达式，求解即可．解析：解：等差数列的前n项和为，，，由，可得，数列的公差为1，首项为1，，，则．故答案为．16.答案：解析：解：因为，，，所以可得AC的中点为底面ABC的外接圆的圆心，且外接圆的半径，，，设面ABC交于D，连接，则，可得，所以，过作垂直于底面的垂线，则，取O为外接球的球心，过O作交于H，则为矩形，可得，，设球的半径为R，连接OC，OP，则，在中，，在中，，，由可得，，所以外接球的表面积，故答案为：．由题意如图，求出底面外接球的半径，及球心O到棱锥的高线的距离OH，在两个三角形中求出球的半径，进而求出外接球的表面积．本题考查三棱锥的棱长与外接球的半径之间的关系及外接球的表面积公式，属于中档题．17.答案：解：Ⅰ年龄为30岁的教师人数为5，频率最高，故这20名教师年龄的众数为30，极差为最大值与最小值的差，即．Ⅱ以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名教师年龄的茎叶图，如下：Ⅲ设事件“所选的2位教师年龄不全相同”为事件A．年龄为29，31岁的教师共有7名，从其中任选2名教师共有种选法，3名年龄为29岁的教师中任选2名有3种选法，4名年龄为31岁的教师中任选2名有6种选法，所以所选的2位教师年龄不全相同的选法共有种，所以所选的2位教师年龄不全相同的概率．解析：Ⅰ年龄为30岁的教师人数为5，频率最高，由此能求出这20名教师年龄的众数为30，极差为最大值与最小值的差．Ⅱ以十位数为茎，个位数为叶，能作出这20名教师年龄的茎叶图．Ⅲ设事件“所选的2位教师年龄不全相同”为事件年龄为29，31岁的教师共有7名，从其中任选2名教师共有种选法，3名年龄为29岁的教师中任选2名有3种选法，4名年龄为31岁的教师中任选2名有6种选法，所选的2位教师年龄不全相同的选法共有种，由此能求出所选的2位教师年龄不全相同的概率．本题考查众数、极差的求法，考查茎叶图、概率的求法，考查频率分布表、茎叶图、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.答案：解：若选，则由，，且，得，，又，所以；又，的周长为，即；因为锐角中，，所以，所以，所以的周长为若选，由cos C，所以，所以；又，所以，所以；又，所以；所以，的周长为，即；因为锐角中，，所以，所以，所以的周长为若选，则x sin，又，所以，又，所以；所以，的周长为，即；因为锐角中，，所以，所以，所以的周长为解析：选时，由平面向量的数量积与三角恒等变换求出A的值，再利用正弦定理和三角恒等变换求出周长的取值范围；选时，由正弦定理和三角恒等变换求出A的值，再利用正弦定理和三角恒等变换求出周长的取值范围；选时，由三角恒等变换求得A的值，再利用正弦定理和三角恒等变换求出周长的取值范围．本题考查了平面向量的数量积和三角恒等变换应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是中档题．19.答案：解：Ⅰ四边形ABCD是正方形，，又平面平面ABCD，平面平面，面ABCD，平面ADE，分又平面ADE，，分．在中，，，，由余弦定理得，，，分又，平面分又平面分Ⅱ过点E做交AD于点H，连结FD．平面平面ABCD，平面平面，平面ADE，平面ABCD，在中，分又，面ABCD，面ABCD面到面ABCD的距离等于F到面ABCD的距离分，分在直角梯形EFBA中，，，，，可得，分设D点到平面BFC的距离为d，，即，点D到平面BCF的距离分解析：Ⅰ首先证明平面ADE，，又在中，由余弦定理得可得即可得平面．Ⅱ过点E做交AD于点H，连结FD，求得，易知E到面ABCD的距离等于F到面ABCD的距离，设D点到平面BFC的距离为d，得到点D到平面BCF的距离．本题考查了空间线线垂直的证明，等体积法求点到面的距离，属于中档题．20.答案：解：由题意知，，，解得，可得椭圆的标准方程为：；设，联立，消去y，得，依题意：直线l：恒过点，此点为椭圆的左顶点，所以，，由式，，得，由，可得，由点B在以PQ为直径圆内，得为钝角或平角，即．即，整理得，解得．解析：由题意可得，，解得，进而得到椭圆方程；设，，联立直线l的方程和椭圆方程，运用韦达定理，可得Q的坐标，由点B在以PQ为直径圆内，得为钝角或平角，即有，运用数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求范围．本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的性质，考查实数的取值范围，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查点在圆内的条件：点与直径的端点的张角为钝角或平角，运用数量积小于0，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21.答案：解：Ⅰ根据题意，由，得，设切点横坐标为，依题意得，解得，即实数a的值为1．Ⅱ由在定义域内恒成立，得在定义域内恒成立，令，则，再令，则，即在上递减，又，所以当时，，从而，在递增；当时，，从而，在递减，所以在处取得最大值，所以实数a的取值范围是．解析：Ⅰ根据题意，由函数的解析式求出其导数，设切点横坐标为，则有，解可得a的值，即可得答案；Ⅱ根据题意，原问题可以转化为，在定义域内恒成立，令，求出的导数，利用导数分析的最大值，据此分析即可得答案．本题考查导数的应用，涉及利用导数求函数的最值与切线的方程，注意将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题．22.答案：解：因为直线，故，即直线l的直角坐标方程为．因为曲线C：，则曲线C的直角坐标方程为，即．根据转换为直线l的参数方程为为参数，将其代入曲线C的直角坐标方程，得．设P，Q对应的参数分别为，，则，，所以M对应的参数，故．解析：直接利用转化关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：，，即为，当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得．综上可得不等式的解集为；，即为，由，可得，即有，可得，解得．解析：由题意可得，由绝对值的意义，对x讨论，去绝对值，解不等式，求并集即可；由题意可得，运用绝对值不等式的性质可得，解不等式可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想，考查化简运算能力，属于中档题．。
银川一中2020下学期高三数学(文科)二模试卷含答案
7
7
sin C 7 a sin C a 7 ...................................4 分 7
sin 2 A sin A 2 sin A cos A sin Acos A 1 A (0, ) A ...........6 分；
2
3
（2）由余弦定理得
a2 b2 c2 2bc cos A 7 b2 c2 bc, 7 (b c)2 bc, 7 4 bc,bc 3 ,.........8 分
sin 2A sin A .
（1）求 A 及 a； （2）若 b c 2 ，求 BC 边上的高. 18．(12 分) 银川市某商店销售某海鲜，经理统计了春节
前后 50 天该海鲜的日需求量 x （10 x 20 ，
单位：公斤），其频率分布直方图如下图所示.该海 鲜每天进货 1 次，每销售 1 公斤可获利 40 元；若 供大于求，剩余的海鲜削价处理，削价处理的海
所以估计日利润不少于 620 元的概率为 0.12 0.08 2 0.4 .......................12 分
19 解析 (1)证明：过点 P 作 PO⊥AD，垂足为 O.
由于点 P 在平面 ABCD 内的射影恰好在 AD 上，
∴PO⊥平面 ABCD，∴PO⊥AB，....................2 分
y
x2
生两组(每组 100 个)区间[0,1]上的均匀随机数 x1，x2，…，x100 和 y1，y2，…，y100，由
此得到 100 个点(xi，yi)(i＝1,2，…，100)，再数出其中满足 yi xi2 (i＝1,2，…，100)
的点数为 33，那么由随机模拟方法可得平面区域 Ω面积的近似值为
宁夏银川2020届高三下学期第一次模拟考试数学(文)试题 含解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|40}{|326}A x x Bx x ，，则A B =（ ）A. 3(,2)2-B. (2,2)-C. 3(,3)2-D. (2,3)-【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合A ，解不等式求得集合B ，然后求两个集合的交集. 【详解】由240x -<，解得22x -<<；由326x -<<，解得332x -<<，故3,22A B ⎛⎫⋂=- ⎪⎝⎭.故选A.【点睛】本小题主要考查集合的交集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 2.复数12z i =+，若复数1z ， 2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则12z z =（ ） A. 5- B. 5 C. 34i -+ D. 34i -【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知22z i =-+，据此结合复数的乘法运算法则计算12z z 的值即可.【详解】由题意可知22z i =-+，所以212(2i)(2i)4i 5z z =+-+=-+=-，故选A ．【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，复数的对称性，属于基础题.3.下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在(,0)-∞上单调递增函数是 （ ）A. 2()f x x =B. ||()2x f x =C. 21()log ||f x x = D.()sin f x x =【答案】C 【解析】试题分析：A ：函数2yx 为偶函数，在(),0-∞上单调递减，B ：函数2x y =为偶函数，在(),0-∞上单调递减，C ：函数21log y x=为偶函数，在(),0-∞上单调递增， D ：函数sin y x =为奇函数． 所以综上可得：C 正确．考点：函数奇偶性、函数的单调性．4.若2a =，2b =，且()-⊥a b a ，则a 与b 的夹角是（ ） A.6π B.4π C.3π D.2π 【答案】B 【解析】 【分析】根据相互垂直的向量数量积为零，求出a 与b 的夹角. 【详解】由题有()20a b a a b a -⋅=-⋅=， 即22b a a ⋅==，故cos 2cos b a a b θθ⋅=⨯⨯=⇒= 因为[]0,θπ∈，所以4πθ=.故选：B.【点睛】本题考查了向量的数量积运算，向量夹角的求解，属于基础题.5.为了坚决打赢新冠状病毒的攻坚战，阻击战，某小区对小区内的2000名居民进行模排，各年龄段男、女生人数如下表.已知在小区的居民中随机抽取1名，抽到20岁~50岁女居民的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全小区抽取64名居民，则应在50岁以上抽取的女居民人数为（ ） 1岁—20岁20岁—50岁 50岁以上 女生 373XY男生 377 370250A. 24B. 16C. 8D. 12【答案】C 【解析】 【分析】先根据抽到20岁~50岁女居民的的概率是0.19，可求出20岁~50岁女居民的人数， 进而求出50岁以上的女居民的人数为250，根据全小区要抽取64人，再根据分层抽样法，即可求出结果．【详解】因为在全小区中随机抽取1名，抽到20岁~50岁女居民的概率是0.19 即：0.192000x=， ∴380x =． 50岁以上的女居民的人数为2000373380377370250250Y =-----=， 现用分层抽样的方法在全小区抽取64名居民， 应在应在50岁以上抽取的女居民人数为6425082000⨯=名． 故选：C.【点睛】本题考查分布的意义和作用，考查分层抽样，属于基础题．6.我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（ ）A.1003B.1043C. 27D. 18【答案】B 【解析】 【分析】由题得几何体为正四棱台，再利用棱台的体积公式求解.【详解】由题意几何体原图为正四棱台，底面的边长分别为2和6，高为2，所以几何体体积1104(436233V =++⨯=. 故选B【点睛】本题主要考查三视图还原几何体原图，考查棱台体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.已知2sin()4πα+=sin 2α=（ ）A.12B.2C. 12-D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题中的角2α看作未知角，条件中的角4απ+看作已知角，由未知角与已知角的关系2()242ππαα+-=，可以用已知角表示未知角，然后通过利用诱导公式以及二倍角公式即可求解未知角的正弦值.【详解】因为sin 42πα⎛⎫+=⎪⎝⎭， 又因为2()242ππαα+-=，所以22()42ππαα=+-，则有2sin 2sin 2()42sin 2()24cos 2()412sin ()412ππααππαπαπα⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦=-+⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦= 故选A.【点睛】本题考查了三角函数值的求解问题，属于给值求值类型，常常利用角的关系对问题进行等价转化，再运用相关的诱导公式、两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式进行求解，属于基础题.8.已知数列{}n a 为等差数列，前n 项和为n S ，且55a =则9S =（ ） A. 25 B. 90C. 50D. 45【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的前n 项和公式和等差中项的概念，即可求出结果. 【详解】因数列{}n a 为等差数列且55a =，所以()199599=452a a S a +⨯==.故选：D.【点睛】本题主要考查了等差数列的前n 项和公式和等差中项的概念的应用，属于基础题.9.函数f （x ）=3344x x -的大数图象为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】由函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除C 、D 项；再由当()0,1x ∈时，函数()f x 的值小于0，排除B ，即可得到答案.【详解】由题知，函数()f x 满足()333()3()4444xx x x f x f x ---==-=---，所以函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除C 、D 项；又由当()0,1x ∈时，函数()f x 的值小于0，排除B ，故选A.【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和函数的取值范围，利用排除法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 10.在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若1b =，3c =23C π=则ABC S ∆=（ ） 3 33 D.34【答案】B 【解析】 【分析】首先根据余弦定理，即可求出1a =，然后再根据1sin 2ABC S ab C ∆=，即可求出结果. 【详解】由余弦定理可知，2222cos c a b ab C =+-，即23+1a a =+，所以1a =，所以13sin 2ABC S ab C ∆==. 故选：B.【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形的中应用，同时考查了三角形面积公式的应用，属于基础题.11.已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的两个焦点分别是1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于P ，Q两点，若212PF F F =且1123PF QF =，则椭圆的离心率为（ ） A.34B.45C.35D.325【答案】C 【解析】 【分析】由题意作出草图，设点()00,Q x y ，从而由1123PF QF =可写出点00533,222P c x y ---⎛⎫ ⎪⎝⎭；再由椭圆的第二定义可得11c cPF MP QF QA a a==，，从而可得2200533222a a x c x c c +=--+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而化简得到22056c a x c +=- ，再由212PF F F =及椭圆的第二定义可得223580a c ac +-=，从而解得． 【详解】由题意作出草图，如下图所示，其中12,l l 是椭圆的准线，设点()00,Q x y ，∵1123PF QF =， ∴点00533,222P c x y ---⎛⎫ ⎪⎝⎭；又∵11c cPF MP QF QA a a==， ， ∴23MP QA =， 又∵205322a MP c x c =--+ ，20a QA x c =+， ∴2200533222a a x c x c c +=--+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，解得，22056c a x c+=-，∵212PF F F =，∴2053222a c c x c c a ⎛⎫++= ⎪⎝⎭； 将22056c a x c +=- 代入化简可得， 223580a c ac +-=， 即28530c c a a -⎛⎫⎪⎭+ =⎝ ； 解得1c a = (舍去)或 35c a =，所以椭圆的离心率为35. 故选：C ．【点睛】本题考查了椭圆的性质应用及数形结合的思想应用，属于中档题．12.已知定义在R 上的函数满足(2)()f x f x +=-，2(]0,x ∈时，()sin f x x x π=-，则20201()i f i ==∑（ ）A. 6B. 4C. 2D. 0【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分析可得()()4f x f x +=，即()f x 是周期为4的周期函数，结合函数的解析式求出()()1,2f f 的值，分析可得()()3,4f f 的值，进而可得()()()()12340f f f f +++=，又由()()()()()20201()5051234i f i f f f f ==+++∑，分析可得答案．【详解】根据题意，函数()f x 满足()()2f x f x +=-， 则()()4f x f x +=，即()f x 是周期为4的周期函数，当(]02x ∈，时，()sin f x x x π=-，则()11sin 1f π=-= ，()22sin 22f π=-=， 又由()()2f x f x +=-，则()()311f f =-=-，()()422f f =-=-， 所以()()()()12340f f f f +++=，所以()()()()()20201()50512340i f i f f f f ==+++=∑.故选：D ．【点睛】本题考查函数的周期性的应用，关键是分析函数的周期，属于基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设x ，y 满足约束条件2102702350x y x y x y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则23z x y =-的最小值为__________.【答案】5- 【解析】 【分析】作可行域，结合目标函数所表示的直线确定最优解，解得结果．【详解】作出,x y 满足约束条件210?270?2350x y x y x y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩的可行域，如下图：当直线23z x y =-经过点()23A ，时，min 22335z =⨯-⨯=-． 故答案为：5-．【点睛】本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属中档题．14.如图，y=f （x ）是可导函数，直线l: y=kx+2是曲线y= f （x ）在x=3处的切线，令g （x ）=xf（x ），其中是g （x ）的导函数，则'(3)g ＝ ．【答案】0 【解析】试题分析：由题意直线: y=kx+2是曲线y=f （x ）在x=3处的切线，由图像可知其切点为（3,1）代入直线方程得k=,,所以.考点：导数的运算.15.已知双曲线的方程为()222210,0x y a b a b -=>>，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为5c（c 为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率e 为__________. 【答案】【解析】试题分析：由题意可得：双曲线的渐近线方程为，所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为，即.考点：双曲线的定义及性质.16.如图所示，某住宅小区内有一个正方形草地ABCD ，现欲在其中修建一个正方形花坛EFGH ，若已知花坛面积为正方形草地面积的23，则θ=________【答案】12π或512π 【解析】 【分析】设CG x =，FC y =，用x ，y 表示出草地和正方形的面积，根据面积比列出方程得出 x y． 【详解】设()CG x FC y x y ==<,，则22FG x y BC x y =+=+，．∵花坛面积为正方形草地面积的23， ∴ ()22223x y x y +=+，即2240x y xy +-=． ∴2410x x y y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得 23x y = 23x y =，即tan 23θ=23 ∴12πθ=或512π．故答案为：12π或512π．【点睛】本题考查了解三角形的实际应用，属于基础题．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共60分)17.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，18a =，322(3)S a =+. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）已知12n n T a a a =，且n T 的最大值.【答案】（1）42nn a -=；（2）max ()64n T =.【解析】【分析】（1）根据等比数列通项公式及求和公式，代入即可求得公比，进而求得通项公式． （2）根据等比数列的乘积，表示为指数为等差数列求和，进而求得n T ，再根据二次函数的单调性求得最大值即可．【详解】（1）设{}n a 的公比为q ，由题意得：1326a a a +=+ 所以28886q q +=+，即24410q q -+= 则12q =所以141822n n n a --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.（2）()()7321421222n nn n n T a aa -++++-===当3n =或4时，n T 取得最大值，且()max 64n T =.【点睛】本题考查了等比数列基本量的计算，等差数列求和公式的应用及最值求法，属于基础题．18.在直三棱柱111ABC A B C -中，13,2,AB AC AA BC D ====是BC 的中点，F 是1CC 上一点.（1）当2CF =时，证明：1B F ⊥平面ADF ； （2）若1FD B D ⊥，求三棱锥1B ADF -的体积.【答案】（1）见解析（2【解析】试题分析：（1）证明1B F 与两线,AD DF 垂直，利用线面垂直的判定定理得出 1B F ⊥ 平面ADF ；（2）若1FD B D ⊥ ，则1R R t CDF t BB D ∆~∆ ，可求DF ，即可求三棱锥1B ADF - 体积.试题解析：（1）证明：因为,AB AC D =是BC 的中点，所以AD BC ⊥，在直三棱柱111ABC A B C -中，因为1BB ⊥底面ABC ，AD ⊂底面ABC ，所以1AD B B ⊥, 因为1BC B B B ⋂=，所以AD ⊥平面11B BCC ，因为1B F ⊂平面11B BCC ，所以1AD B F ⊥. 在矩形11B BCC 中，因为1111,2C F CD B C CF ====，所以11Rt DCF FC B ∆≅∆，所以11CFD C B F ∠=∠，所以0190B FD ∠=,（或通过计算11FD B F B D ==，得到1B FD ∆为直角三角形） 所以1B F FD ⊥，因为AD FD D ⋂=，所以1B F ⊥平面ADF . （2）解：因为AD ⊥平面1B DF，AD =因为D 是BC 的中点，所以1CD =，在1Rt B BD ∆中，11,3BD CD BB ===,所以1B D ==因为1FD B D ⊥，所以1Rt CDF BB D ∆~∆，所以11DF CD B D BB =，所以13DF ==，所以1111332B ADF ADF V S AD -∆=⨯=⨯=19.某种植物感染α病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗α病毒的制剂，现对20株感染了α病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效.测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计；并对植株吸收制剂的量(单位：mg )进行统计规定：植株吸收在6mg （包括6mg ）以上为“足量”，否则为“不足量”.现对该20株植株样本进行统计，其中“植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表.已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株.（1）完成以22⨯下列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关？（2）若在该样本“制剂吸收不足量”的植株中随机抽取3株，求这3株中恰有1株“植株存活”的概率. 参考数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++【答案】（1）填表见解析；不能在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关（2）35【解析】 【分析】（1）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）用列举法计算基本事件数，求出对应的概率值．【详解】解析：(1)由题意可得“植株存活”的13株，“植株死亡”的7株；“吸收足量”的15株，“吸收不足量”的5株，填写列联表如下：2220(12431) 5.934 6.635137155K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯所以不能在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关 (2)样本中“制剂吸收不足量”有5株，其中“植株死亡”的有4株，存活的1株 设事件A ：抽取的3株中恰有1株存活记存活的植株为a ，死亡的植株分别为1b ，2b ，3b ，4b则选取的3株有以下情况：{}12,,a b b ，{}13,,a b b {}14,,a b b ，{}23,,a b b ，{}24,,a b b {}34,,a b b ，{}123,,b b b ，{}124,,b b b ，{}134,,b b b ，{}234,,b b b共10种，其中恰有一株植株存活的情况有6种 所以63()105P A ==(其他方法酌情给分.) 【点睛】本题考查了独立性检验与列举法求古典概型的概率问题，是基础题． 20.已知动点M 到定点()1,0F 的距离比M 到定直线2x =-的距离小1. （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过点F 任意作互相垂直的两条直线1l ，2l ，分别交曲线C 于点A ，B 和M ，N .设线段AB ，MN 的中点分别为P ，Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点； （3）在（2）条件下，求FPQ ∆面积的最小值.【答案】（1）24y x =（2）证明见解析（3）4 【解析】 【分析】（1）由题意可知：动点M 到定点()1,0F 的距离等于M 到定直线1x =-的距离，由此利用抛物线的定义能求出点M 的轨迹C 的方程．（2）设,A B 两点坐标分别为()()1122,,x y x y ， ，则点P 的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭．由题意可设直线1l 的方程为(1)y k x =-，(0)k ≠，由24(1)y xy k x ⎧=⎨=-⎩，得()2222240k x k x k -++=．由此利用根的判别式、韦达定理、直线的斜率、直线方程，结合已知条件能证明直线PQ 恒过定点()30E ，． （3）求出2EF =，利用基本不等式能求出三角形面积的最小值．【详解】解：(1)由题意可知：动点M 到定点()1,0F 的距离等于M 到定直线1x =-的距离.根据抛物线的定义可知，点M 的轨迹C 是抛物线.2p =，∴抛物线方程为：24y x =(2)设A ，B 两点坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则点P 的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭.由题意可设直线1l 的方程为(1)y k x =-(0)k ≠.由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得()2222240k x k x k -++=. ()24224416160k k k ∆=+-=+>.因为直线1l 与曲线C 于A ，B 两点，所以12242x x k +=+，()121242y y k x x k+=+-=. 所以点P 的坐标为2221,k k ⎛⎫+⎪⎝⎭.由题知，直线2l 的斜率为1k-，同理可得点Q 的坐标为()212,2kk +-.当1k ≠±时，有222112k k+≠+，此时直线PQ 的斜率2222221112PQ kk k k k k k+==-+--. 所以，直线PQ 的方程为()222121k y k x k k+=---，整理得()230yk x k y +--=. 于是，直线PQ 恒过定点()3,0E ；当1k =±时，直线PQ 的方程为3x =，也过点()3,0E . 综上所述，直线PQ 恒过定点()3,0E .(3)可求得2EF =.所以FPQ ∆面积1212242S FE k k k k ⎛⎫⎛⎫=+=+≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当且仅当1k =±时，“=”成立，所以FPQ ∆面积的最小值为4.【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线恒过定点的证明，考查三角形面积的最小值的求法，考查抛物线、根的判别式、韦达定理、直线的斜率、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． 21.已知函数()ln xf x ax x=-. （1）若函数()f x 在()1,+∞上是减函数，求实数a 的最小值；（2）若存在1x ，22,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使()()12f x f x a '≤+成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）14（2）211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，结合二次函数的性质求出导函数的最大值，从而求出a 的范围即可； （2）问题等价于当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，有()()min max f x f x a '≤+，通过讨论a 的范围，得到函数的单调区间，从而求出a 的具体范围即可．【详解】解：已知函数()f x 的定义域为(0,1)(1,)⋃+∞. (1)因为()f x 在()1,+∞上为减函数，故2ln 1()0(ln )x f x a x -'=-≤在(1,)+∞上恒成立，即当(1,)x ∈+∞时，max ()0f x '≤.又222ln 111111()(ln )ln ln ln 24x f x a a a x x x x -⎛⎫⎛⎫'=-=-+-=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故当11ln 2x =，即2x e =时，max 1()4f x a '=-.所以104a -≤，于是14a ≥，故a 的最小值为14.(2)命题“若存在1x ，22,x e e ⎡⎤∈⎣⎦使()()12f x f x a '≤+成立”等价于“当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，有min max ()()f x f x a '≤+”.由(1)知，当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，max 1()4f x a '=-，所以max 1()4f x a '+=. 故问题等价于：“当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，有min 1()4f x ≤” ①当14a ≥时，由(2)知，()f x 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上为减函数， 则()222min 1()24e f x f e ae ==-≤，故21124a e ≥-.②当14a <，2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，1()ln ln 4x x f x ax x x x =->-，由(1)知，函数1()ln 4x x x x ϕ=-在2,e e ⎡⎤⎣⎦上是减函数，()2222min ()244e e e x e ϕϕ==-=，所以2min 1()44e f x >>，与14a <矛盾，不合题意.综上，得实数a 的取值范围211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．(二)选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做.则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为11cos :sin x C y αα=+⎧⎨=⎩ (α为参数)，曲线222:12x C y .（1）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求1C ，2C 的极坐标方程； （2）若射线((0)6πθρ=≥与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的交点为B ，求AB .【答案】（1）2cos ρθ=，()222cos 2sin 2ρθθ+=；（2210. 【解析】 【分析】（1）由曲线1C ：1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)化为普通方程，再结合极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得1C ，2C 的极坐标方程； （2）分别求得点,A B 对应的的极径2123,10p ，根据极经的几何意义，即可求解. 【详解】（1）曲线1C ：1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)可化为普通方程：()2211x y -+=， 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=， 曲线222:12x C y 的极坐标方程为()222cos 2sin 2ρθθ+=.（2）射线(0)6πθρ=≥与曲线1C 的交点A 的极径为1236cos， 射线(0)6πθρ=≥与曲线2C 的交点B 的极径满足22126sin ，解得2210， 所以122103AB. 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标方程的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.23.已知关于x 的不等式231x x m --+≥+有解，记实数m 的最大值为M . （1）求M值；（2）正数 a b c ，，满足2a b c M ++=，求证：111a b b c+≥++. 【答案】（1）4M =；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）利用绝对值不等式可求得235x x --+≤，所以15m +≤，解这个不等式可求得4M =.（2）由（1）得214a b c++=，将此式乘以要证明不等式的左边，化简后利用基本不等式可求得最小值为1.试题解析：（1）()()23235x x x x --+≤--+=, 若不等式231x x m --+≥+有解， 则满足15m +≤，解得64m -≤≤， ∴4M =.（2）由（1）知正数a b c ，，满足24a b c ++=， ∴()()111114a b b c a b b c a b b c ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭124b c a b a b b c ++⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭124⎛≥+ ⎝ 1=.当且仅当a c =，2a b +=时，取等号.。
2020年宁夏银川一中高考数学一模试卷(文科)(有解析)
2020年宁夏银川一中高考数学一模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|2x2+x>0}，B={x|2x+1>0}，则A∩B=()A. {x|x>−12} B. {x|x>12} C. {x|x>0} D. R2.已知i是虚数单位，复数z1=3−4i.若在复平面内，复数z1与z2所对应的点关于虚轴对称，则z1·z2=()A. −25B. 25C. −7D. 73.下列函数中与函数y=12|x|的奇偶性相同且在区间(0,+∞)上单调递增的函数是()A. y=1x B. C. y=√|x| D. y=1x24.已知|a⃗|=1，b⃗ =(0,2)，且a⃗·b⃗ =1，则向量a⃗与b⃗ 夹角的大小为()A. π6B. π4C. π3D. π25.一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人．现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员人数为()A. 12B. 10C. 8D. 66.如图所示为某几何体的三视图，正视图是高为1，长为2的长方形；侧视图是高为1，底为32的直角三角形；俯视图为等腰三角形，则几何体的体积为()A. 12B. 1 C. 32D. 37.已知sin(π3−α)=13，则sin(π6−2α)=()A. −79B. 79C. ±79D. −298.已知数列{a n}是等差数列，S n是其前n项和，且S7=21，则a4等于()A. 1B. 2C. 3D. 69.函数f(x)=x22x−2−x的大致图象为()A. B.C. D.10.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若C=30°，b=3，△ABC的面积为3√34，则c=()A. 1B. 2C. √32D. √311.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点B与两焦点F1、F2构成等边三角形，则此椭圆的离心率为()A. 15B. √34C. √33D. 1212.已知f(x)满足f(x)+f(y)=f(xy)，且f(5)=m，f(7)=n，即f(175)=()．A. 2mnB. m+2nC. m+nD. 2m+n二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件{x≥0x+y−3≥0x−2y≤0，则z=x+2y的取值范围是______．14.函数y=f(x)的图象在点P(3,f(3))处的切线方程为y=12x+2，f′(x)为f(x)的导函数，则f(3)+ f′(3)=______．15.双曲线Γ：y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于________．16.如图所示在平面四边形ABCD中，AB=1，BC=2，△ACD为正三角形，则△BCD的面积的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，满足S4=2a4−1，S3=2a3−1．(1)求{a n}的通项公式；)，求b1+b2+⋯+b n的最大值．(2)记b n=log√2(16S n+118.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=π，D为AC中点，E为2BC上一点，且∠CDE=∠ABC．(1)求证：DE⊥平面BCC1B1；(2)若AA1=AC=2AB=2，求三棱锥D−BCB1的体积．19.2017年9月13日，国际奥委会在秘鲁首都利马举行的第131次全会上，最终确定巴黎为2024年夏季奥运会举办地、洛杉矶为2028年夏季奥运会举办地．一次会议决定两届奥运会的举办地是很少见的，原因是无国家申请举办2028年奥运会．某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下：(1)根据已有数据，把表格数据填写完整；(2)能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关？(3)已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性，其中2位是女教师，现从这5名女性中随机抽取3人，求至多有1位教师的概率．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20.已知抛物线C：x2=2y，过点A(0,1)且互相垂直的两条动直线l1，l2与抛物线C分别交于P，Q和M，N．(1)求四边形MPNQ面积的取值范围；(2)记线段PQ和MN的中点分别为E，F，求证：直线EF恒过定点．21.已知函数f(x)=e x−ax−1．(1)求f(x)的单调递增区间；(2)是否存在实数a，使f(x)在(−2,3)上为减函数？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．22.已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：{x=4cos 2θy=4sin2θ(θ为参数)，C2：{x=t+1ty=t−1t(t为参数)．(1)将C1，C2的参数方程化为普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程．23.已知函数f(x)=|x−m|+|x+1|(m∈R)的最小值为4．(1)求m的值；(2)若a，b，c∈(0,+∞)，且a+2b+3c=m，求证：1a +12b+13c≥3．【答案与解析】1.答案：C解析：解：A={x|x<−12,或x>0},B={x|x>−12}；∴A∩B={x|x>0}．故选：C．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.答案：A解析：由题意可知z2=−3−4i，再利用复数的运算法则即可得出．解：由题意可知z2=−3−4i，所以z1z2=(3−4i)(−3−4i)=−16−9=−25．故选A．3.答案：C解析：本题考查了函数的奇偶性和单调性，属于基础题．因为函数y=12|x|为偶函数，故排除A，再检验其他选项的单调性即可．解：函数f(x)=12|x|=f(−x)为偶函数，故排除A，y=cosx在区间(0,+∞)上有增有减，不符合题意，故排除B；y=√|x|在区间(0,+∞)上单调递增，符合题意；y=1x2在区间(0,+∞)上为减函数，不符合题意，故排除D．故选C．4.答案：C解析：由b⃗ =(0,2)可知，|b⃗ |=2，由向量夹角的公式求解即可．解：由b⃗ =(0,2)可知，|b⃗ |=2，，又夹角的范围为[0,π]，所以夹角为π3，故选C．5.答案：D解析：本题考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样的特征是解题的关键．设抽取的女运动员人数为x，根据在分层抽样中，在各部分抽取的比例相等求得x．解：设抽取的女运动员人数为x，∵在分层抽样中，抽取的比例相等，∴856=x42⇒x=6．故选：D．6.答案：B解析：解：∵正视图是高为1，长为2的长方形；侧视图是高为1，底为32的直角三角形；俯视图为等腰三角形，可得如图的四棱锥P−ABCD．平面ABCD⊥平面PCD，由正视图和俯视图可知AD=1，CD=2，P到面ABCD的距离为32．∴四棱锥P−ABCD.的体积为V=13×S ABCD×ℎ=13×1×2×32=1．故选：B．画出其直观图，判断几何体的高，计算底面面积，代入体积公式计算．本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是由三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量．7.答案：A解析：解：∵sin(π3−α)=cos[π2−(π3−α)]=cos(π6+α)=13，∴sin(π6−2α)=cos[π2−(π6−2α)]=cos[2(π6+α)]=2cos2(π6+α)−1=2×19−1=−79．故选：A．由已知利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．8.答案：C解析：本题考查等差数列前n项和的性质.属于基础题．利用S7=7a4=21，即可求出结果．解：∵数列{a n}是等差数列，且S7=21，∴7a4=21，∴a4=3．故选C．9.答案：A解析：本题考查函数的奇偶性，由函数为奇函数排除B，D，又由f(2)=1615>1，排除C，即可求解．解：因为f(−x)=(−x)22−x−2x=−f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除B，D，又f(2)=44−14=1615>1，排除C．故选A．10.答案：D解析：解：在△ABC中，由题意可得：S=12absinC，∴3√34=12×3asin30°，解得a=√3．∴c2=a2+b2−2abcosC=3+9−6√3×√32=3，解得c=√3．故选：D．利用三角形面积计算公式可得a，再利用余弦定理即可得出c．本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.答案：D解析：本题考查椭圆的简单性质，求得|BF1|=a是关键，属于中档题．利用椭圆的性质知|F1F2|=2c，|BF1|=a，从而可求此椭圆的离心率．解：依题意，作图如下：∵|F1F2|=2c，|BE|=√OF12+OB2=√c2+b2=a，△BF1F2为等边三角形，|BF1|=|F1F2|=2c，a=2c，∴离心率e =c a =12． 故选：D ．12.答案：D解析：因为f(x)+f(y)=f(xy)，所以f(175)=f(25×7)=f(25)+f(7)=f(5×5)+f(7)=2f(5)+f(7)=2m +n ．13.答案：[4,+∞)解析：解：x ，y 满足约束条件{x ≥0x +y −3≥0x −2y ≤0，表示的可行域如图：目标函数z =x +2y 经过C 点时，函数取得最小值， 由{x +y −3=0x −2y =0解得C(2,1)， 目标函数的最小值为：4 目标函数的范围是[4,+∞)． 故答案为：[4,+∞)．画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．14.答案：4解析：本题主要考查导数的基本运算，根据导数的几何意义是解决本题的关键，属于基础题． 根据导数的几何意义，即可得到结论．解：∵函数y =f(x)的图象在点P(3,f(3))处的切线方程为y =12x +2， ∴f(3)=12×3+2=72，f ′(3)=12， 即f(3)+f ′(3)=72+12=4， 故答案为：4．15.答案：8解析：本题考查了双曲线的性质及几何意义，由焦点到渐近线的距离为3，得√b2+a2=b=3，又2c=10，即c=5，所以a=√c2−b2=√52−32=4，从而得出结果．解：其中一条渐近线方程为y=bax，即bx−ay=0，因为焦点到渐近线的距离为3，得√b2+a2=b=3，又2c=10，即c=5，所以a=√c2−b2=√52−32=4，所以实轴长为2a=8，故答案为8．16.答案：√3+1解析：本题考查三角形的面积的最值的求法，注意运用余弦定理和面积公式，同时考查基本不等式的运用，属于中档题．运用余弦定理，表示出AC，进而用三角函数表示出S△BCD．解：在△ABC中，设∠ACB=α，∠ABC=β，由余弦定理得：AC2=12+22−2×1×2cosα=5−4cosα，∵△ACD为正三角形，∴CD2=5−4cosα，由正弦定理得：1sinβ=ACsinα，∴AC⋅sinβ=sinα，∴CD ⋅sinβ=sinα，∵(CD ⋅cosβ)2=CD 2(1−sin 2β)=CD 2−sin 2α=5−4cosα−sin 2α=(2−cosα)2， ∵β<∠BAC ，∴β为锐角，CD ⋅cosβ=2−cosα，∴S △BCD =12⋅2⋅CD ⋅sin(π3+β)=CD ⋅sin(π3+β) =√32CD ⋅cosβ+12CD ⋅sinβ=√32⋅(2−cosα)+12sinα=√3+sin(α−π3)，当α=5π6时，(S △BCD )max =√3+1．故答案为√3+1．17.答案：解：(1)设{a n }的公比为q ，由S 4−S 3=a 4得，2a 4−2a 3=a 4，所以a4a 3=2，所以q =2．又因为S 3=2a 3−1所以a 1+2a 1+4a 1=8a 1−1，所以a 1=1． 所以a n =2n−1． (2)由(1)知，S n =1−2n 1−2=2n −1，所以b n =log √2(16Sn +1)=2log 224−n =8−2n ，b n −b n−1=−2，所以{b n }是首项为6，公差为−2的等差数列， 所以b 1=6，b 2=4，b 3=2，b 4=0，当n >5时b n <0， 所以当n =3或n =4时，b 1+b 2+⋯+b n 的最大值为12．解析：(1)设{a n }的公比为q ，由S 4−S 3=a 4得，2a 4−2a 3=a 4，可得a4a 3=2=q ，由S 3=2a 3−1，可得a 1+2a 1+4a 1=8a 1−1，解得a 1.即可得出． (2)由(1)知，S n =1−2n 1−2=2n −1，可得b n =log √2(16Sn +1)=2log 224−n =8−2n ，b n −b n−1=−2，利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了等比数列与等差数列的通项公式与求和公式、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：(1)证明：∵ABC −A 1B 1C 1是直三棱柱，∴B 1B ⊥平面ABC ，又DE ⊂平面ABC ，∴B 1B ⊥DE ， ∵∠CDE =∠ABC ，∠DCE =∠BCA ， ∴△EDC∽△ABC ，∴∠DEC =∠BAC =π2，即DE ⊥BC ，又B1B∩BC=B，∴DE⊥平面BCC1B1；(2)S△BCD=S△ABC−S△ABD=12×1×2−12×1×1=12，∵B1B⊥平面ABC，∴B1B为三棱锥B1−BCD的高，∴由等体积可得三棱锥D−BCB1的体积=13×12×2=13．解析：本题考查线面垂直的判定，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确利用线面垂直的判定是关键．(1)证明：B1B⊥DE，DE⊥BC，即可证明DE⊥平面BCC1B1；(2)利用等体积法，求三棱锥D−BCB1的体积．19.答案：解：(1)根据题意，填写列联表如下：(2)根据表中数据，计算K2=100×(20×10−10×60)280×20×30×70≈4.762>3.841；∴能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关；(3)记抽取的5人分别为A、B、c、d、e，其中A、B为教师；从这5人中任意抽取3人，所以可能的基本事件是：ABc、ABd、ABe、Acd、Ace、Ade、Bcd、Bce、Bde、cde共10个；其中至多1位教师有7个基本事件，为Acd、Ace、Ade、Bcd、Bce、Bde、cde；故所求的概率值是P=710．解析：本题考查了列联表与独立性检验的问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题．(1)根据题意填写列联表即可；(2)根据表中数据计算观测值，对照临界值得出结论；(3)利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．20.答案：解：(1)由题意可知两直线l1，l2的斜率一定存在，且不等于0．设l1：y=kx+1(k≠0)，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则l2：y=−1kx+1(k≠0)．联立直线l1与抛物线的方程，有{y=kx+1,x2=2y,⇒x2−2kx−2=0．其中Δ=4k2+8>0，由韦达定理，有{x1+x2=2k, x1x2=−2.由上可得|PQ|=√1+k2|x1−x2|=√(1+k2)(8+4k2)，同理|MN|=√(1+1k )(8+4k)，则四边形MPNQ面积S=12|PQ||MN|=12√(2+k2+1k2)(80+32k2+32k2)．令k2+1k2=t≥2，则S=12√(2+t)(80+32t)=√8t2+36t+40．所以，当且仅当t=2，即k=±1时，S取得最小值12，且当t→+∞时，S→+∞．故四边形MPNQ面积的范围是[12,+∞)．(2)由(1)有x1+x2=2k，y1+y2=2k2+2，所以PQ的中点E的坐标为(k,k2+1)，同理点F的坐标为(−1k ,1k2+1)．于是，直线EF的斜率为k EF=k 2+1−(1k2+1)k+1k=k2−1k2k+1k=k−1k．则直线EF的方程为：y−(k2+1)=(k−1k )(x−k)⇒y=(k−1k)x+2．所以直线EF恒过定点(0,2)．解析：本题主要考查抛物线及其性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查运算求解、推理论证能力和创新意识；考查化归与转化、数形结合等数学思想．属于中档题．(1)设出直线l1，l2的方程，分别与抛物线联立，利用弦长公式求出|PQ|，|MN|的长度，写出四边形MPNQ的面积，利用换元法和二次函数的性质求出四边形MPNQ面积的取值范围；(2)由(1)分别求出点E和点F的坐标，写出直线EF的方程，判定出无论k取何值，直线EF恒过的定点．21.答案：解f′(x)=e x−a，(1)若a≤0，则f′(x)=e x−a≥0，即f(x)在R上递增，若a>0，e x−a≥0，∴e x≥a，x≥ln a．因此f(x)的递增区间是[lna,+∞)．(2)由f′(x)=e x−a≤0在(−2,3)上恒成立．∴a≥e x在x∈(−2,3)上恒成立．又∵−2<x<3，∴e−2<e x<e3，只需a≥e3．当a=e3时f′(x)=e x−e3在x∈(−2,3)上，f′(x)<0，即f(x)在(−2,3)上为减函数，∴a≥e3．故存在实数a≥e3，使f(x)在(−2,3)上单调递减．解析：(1)先求出函数的导数，再讨论①若a≤0，②若a>0的情况，从而求出单调区间；(2)由f′(x)=e x−a≤0在(−2,3)上恒成立．从而a≥e x在x∈(−2,3)上恒成立，从而f(x)在(−2,3)上为减函数，得a≥e3.故存在实数a≥e3，使f(x)在(−2,3)上单调递减．本题考察了函数的单调性，导数的应用，求参数的范围，是一道基础题．22.答案：解：(1)对于C1：x+y=4cos2θ+4sin2θ=4，即x+y=4，x⩾0,y⩾0，对于C2：x2=t2+1t2+2，y2=t2+1t2−2，即有：x2−y2=4，(2)联立C1，C2，可得P点坐标为(52,32 )，设圆心为(a,0)a>0，则：a2=(52−a)2+94，即a=1710，则圆的直角坐标方程为：(x−1710)2+y2=(1710)2转换为极坐标方程为：ρ=175cosθ．解析：本题主要考查参数方程化为直角坐标方程以及圆的极坐标方程．23.答案：解：(1)f(x)=|x −m|+|x +1|≥|(x −m)−(x +1)|=|m +1|，所以|m +1|=4，解得m =−5或m =3． (2)由题意，a +2b +3c =3．于是1a +12b +13c =13(a +2b +3c)(1a +12b +13c ) =13(3+2b a +a 2b +3c a+a 3c +3c 2b +2b 3c )≥13(3+2√2b a ⋅a 2b +2√3c a ⋅a 3c +2√3c 2b ⋅2b3c )=3，当且仅当a =2b =3c 时等号成立，即a =1，b =12，c =13时等号成立， 故1a +12b +13c ≥3．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质，是一道中档题． (1)根据绝对值不等式的性质得到关于m 的方程，解出即可； (2)求出a +2b +3c =3，根据基本不等式的性质证明即可．。
2020届宁夏银川市高三上学期统考数学文试题word版含答案
2020届宁夏银川市高三上学期统考数学文试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合{0,1234,5}{12}U A ==，，，，，，{}2540B x x x =∈-+<Z ，则()U AB =ð DA ．{0,1,2,3}B ．{5}C ．{124}，，D ．{0,4,5}2.在ABC ∆中，31cos =B ，则)cos(C A +等于（ B ） A ．31 B ．31- C ．322D ．322-3.函数()()13lg 132++-=x xx x f 的定义域是 （ A ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,31 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,31C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-31,D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+-,31 4．若函数2()()af x x a R x=+∈，则下列结论正确的是（ D ） A ．,()a R f x ∀∈在(0,+∞)上是增函数 B ．,()a R f x ∃∈是奇函数 C ．,()a R f x ∀∈在(0,+∞)上是减函数 D ．,()a R f x ∃∈是偶函数5．函数22-3,0)-2ln ,0x x x f x x x ⎧+≤=⎨+>⎩（的零点个数为 CA ．0B ．1C ．2D ．3 6．已知627.4)2()1lg()(22=+++=f x x x x f 且，那么f (－2)=（ B ）A ．－4.627B ．3.373C ．－3.373D ．4.6277. 已知()f x 是周期为2的偶函数，当(0,1),x ∈()lg ,f x x =设62(),()53a f b f ==,5()2c f =，则a ,b,c 的大小关系CA.a b c <<B.b a c <<C.c<b<aD.c<a <b 8.函数1()ln f x x x=+的单调递减区间A A.（0,1） B. (1,)+∞ C.(,1)-∞ D.(0,)+∞ 9曲线313y x x =+在点413⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（A ）Ａ．19Ｂ．29Ｃ．13Ｄ．2310．已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，且()(0,1)()x f x a a a g x =>≠且， (1)(1)5()()()(),(1)(1)2f f f xg x f x g x g g -''<+=-，则a 的值为 （ B ）A ．2B ．12C ．35D ．5311. 函数f(x)=2sin(2x －3π)的图象为E ，①图象E 关于直线x=π1211对称；②函数f(x)在区间(125,12ππ-)内是增函数； ③由y=2sin2x 的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象E ．以上三个论断中，正确论断的个数是（ C ）A ．0B ．1C ．2D ．312.若函数f (x)=x -13sin2x+asinx 在(,)-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是 （ ）C A [1,1]- B 1[1,]3- C 11[,]33- D 1[1,]3--二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.sin7500= 1/214.函数y=xe x在其极点处的切线方程 y=-(1/e)15.函数f(x)=sin(x+2ϕ)-2sin ϕcos(x+ϕ)的最大值为 1 16.已知θ是第四象限角，且3sin()45πθ+=，则tan()4πθ-= (-4/3) 三、解答题：本大题共6小题，共70分。
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∵ x cos , y sin ∴ 2 4 cos 0 ，
∴曲线 C1 的极坐标方程为 4 cos .
(2)依题意设 A(1, ), B(2 , ) ，
∴由
4 cos
得
1
4 cos
，由
4 sin
得
2
4 sin
.
∵
0
4
,
∴
1
2
.
∴| AB || OA OB | 1 2 4 cos 4 sin .
环保部门等相关带来了压力，故建议：各地旅游管理部门应在开发、统筹旅游资源、创新旅游项
目、统筹风景区建设、规划旅游路线、提高服务意识、提升服务水平上做好准备，建立风险评估
机制及应急预案；环保部门应与旅游管理部门协调做好风景区的环境保护预案防止在风景区的开
发、建设及运营过程中造成的生态破坏或环境污染。等等。
好的解释数据，模型的拟合效果更好，故选择模型②。
（2）将 t=11 代入模型②中可得 2025 年国内游客人次预测值为 91.08 亿人次，结合已有数据可
以看到国内游客人数逐年稳步增长，到 2025 年国内游客人次已是非常巨大的数字，国内游热成
为越来越突出的社会热点现象。国内游热为我国社会发展贡献了经济增长点的同时也对旅游管理、
∵PA平面 PAB，∴CB⊥PA. ∵PB，BC 平面 PBC，PB∩BC=B，
∴PA⊥平面 PBC，则 FP 就是三棱锥 F-PBC 的高.
∴ VE PBC
VFPBC
1 3
SPBC
FP
1 (1 33)2 32
3.
19. 【解析】(1)当 n=1 时， a1 S1 2 .
当
n≥2
时， an
Sn
m 1
m 1
∵
1
3
,
∴
f
(x)
1 m(m 1)
3 ,当 m
2
，且
x
1 2
,2
时等号成立.
∴EF//平面 PBC. (说明：也可取 AB 的中点 H，先证明平面 EHF//平面 PBC.)
(2)∵EF//平面 PBC，∴VEPBC VFPBC . (说明：也可用VEPBC VPBCE .)
∵AB=5，PA=4，PB=3，∴PB⊥PA. ∵平面 ABCD⊥平面 PAB，平面 ABCD∩平面 PAB=AB，BC⊥AB， ∴CB⊥平面 PAB，
18.【解析】(1)证明：取 PB 的中点 G，连结 FG， D
∵F 是 PA 的中点，∴FG //1AB. 2
E
C
∵在矩形 ABCD 中，E 是 CD 的中点.∴EC //1AB， 2
∴EC //FG. ∴EFGC 是平行四边形，故 EF//CG.
A
B
F
G
P
∵EF 平面 PBC，CG 平面 PBC，
OM
是圆 C1 的直径，∴ OAM
2
.
∴在 RtOAM 中， | AM | 4sin .
∵在 RtBAM 中， AMB . 4
∴| AB || AM | ，即 4 cos 4 sin 4 sin .
∴ 4 cos 8sin ，即 tan 1 . 2
23. 【解析】(1)当 m 2 时， f (x) | x 2 | | x 1 | . 2
3 5
，则
(说明：也可用向量解决.)
kMQ＝14－k2＋4k12＋35＝－85k2＋85＝k2－1，kNQ＝kk22－＋44＋35＝85k2－85＝k2－1，
－ 8k
－8k
5k
8k
8k
5k
4k2＋1
k2＋4
所以 kMQ＝kNQ，故 M，N，Q 三点在一条直线上.
21. 【解析】(1) f (x)的定义域为 (0，＋∞)，
Sn1
n(n 2
3)
(n
1)(n 2
2)
n
1，
验证，当 n=1 时，上述通项公式仍然成立.
所以，{an} 的通项公式为 an n 1. (2)由(1)知， bn 2n1 ，所以,数列{bn} 是 b1=4,q=2 的等比数列.
所以,
Tn
4(1 1
2n 2
)
2n2
4
.
20. 【解析】(1)由椭圆定义知，| PF2|= 1 a ，在直角三角形 PF2F1 中， (2c)2 (1 a)2 (7 a)2，
∵m=－2，∴
f
(x)
2
2x2 ln x2
x
.
令 g(x) 2 2x2 ln x ，则 g(x) 4x 1 4x2 1 (2x 1)(2x 1) .
xx
x
令 g′(x)＝0，得 x＝1，由 g′(x)>0，得 x>1；由 g′(x)<0，得 0<x<1.
2
2
2
所以，g(x)在区间(0, 1)上单调递减，在区间(1,+∞)上单调递增，
2020 年银川市高三质量检测 文科数学参考答案
一、选择题：BDDA ADBA CCBC
二、填空题：13.x+y=0 14. 四尺五寸. 15. 3
16. 60°， 16 . 9
三、解答题：
17. 参考答案：
（1）我认为选择模型②所得预测值更可靠。
理由一：观察散点图，散点分布更接近一条直线，故选择线性回归模型②； 理由二：比较 3 个模型的相关指数 R2，模型②的相关指数 R2 最大且最接近 1，说明该模型能更
4
4
4
可得 3a2＝4c2，解得 e＝
3
.
2
(2) 证明：由 b=1 及 e＝ 3 ，得椭圆 E 的标准方程为x2＋y2＝1.
2
4
显然直线 l1，l2 的斜率存在．
y＝kx＋1，
设直线 l1 的方程为 y＝kx＋1，联立方程组 x2＋y2＝1， 4
得(4k2＋1)x2＋8kx＝0，
解得
x1＝－4k82＋k 1，x2＝0，所以
2
2
所以，g(x)min＝g(1)＝5+ln2>0,即 f ′(x)>0. 22
(说明：对于 g(x)的符号，也可从图形的角度加以证明.)
所以函数 f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)． (2)证明：由 x>0，f(x)<－1，等价于ln x－1－mx<－1，等价于 mx2－x＋1－ln x>0.
x 设 h(x)＝mx2－x＋1－ln x，只需证 h(x)>0 成立．
2
2
1
又
h′(1)＝2m－2>0，h′
2
＝2
m 2
3 2
＝m－3<0，
所以12<x0<1，则3－2 x0>0，－ln
x0>0，因此3－x0－ln 2
x0>0，即
h(x0)>0，所以
h(x)>0.
所以 f(x)<－1.
22.
【解析】(1)∵
x
y
2
2
2 cos sin
（
为参数）,
∴曲线 C1 的普通方程为 (x 2)2 y2 4 ，即 x2 y2 4x 0 .
当 x 1 时，原不等式等价于 (2 x) (x 1) 3 ,解得 x 3 ;
2
2
4
当 1 x 2 时，原不等式等价于 5 3 ，不等式无解;
2
2
当 x 2 时，原不等式等价于 (x 2) (x 1) 3 ，解得 x 9 .
2
4
综上，不等式 f (x) 3 的解集为 (, 3) (9 ,) . 44
(2) 证明： f (x) | x m | | x 1 || m 1 | ，
m
m
∵ m 0 ，∴| m 1 | m 1 .
m
m
∴
f
(x)
|
m
1 m
| ，当且仅当
x
1 m
, m
时等号成立.
∴ f (x) 1 m 1 1 m 1 (m 1) 1 1.
m(m 1)
m m(m 1)
因为 h′(x)＝2mx－1－1＝ 2mx2 x 1 ，1<m<2，
x
x
由 h′(x)＝0，得 2mx2－x－1＝0 有异号两根．令其正根为 x0，则 2mx20－x0－1＝0.
在(0，x0)上 h′(x)<0，在(x0，＋∞)上 h′(x)>0.
则 h(x)的最小值为 h(x0)＝mx20－x0＋1－ln x0＝1＋x0－x0＋1－ln x0＝3－x0－ln x0.
xM＝－4k82＋k 1，yM＝14－k2＋4k12，即
M(－ 8k ，1－4k2). 4k2＋1 4k2＋1
由
l1，l2
垂直，可得直线
l2
的方程为
y＝－1x＋1. k
用－1替换前式中的 k
k，可得
xN＝k28＋k 4，yN＝kk22－＋44，即
N( 8k ，k2－4). k2＋4 k2＋4
又
Q
0,