河北师范大学数学分析习题集Ch10
数学分析十讲习题册、课后习题答案_
数学分析十讲习题册、课后习题答案_数学分析十讲习题册、课后习题答案习题1-1 1．计算下列极限（1）, 解：原式= == （2）；解：原式（3）解：原式（4），解：原式（5）解：原式= （6），为正整数；解：原式2．设在处二阶可导，计算. 解：原式3．设，，存在，计算. 解：习题1-2 1.求下列极限（1）; 解：原式，其中在与之间（2）; 解：原式===，其中在与之间（3）解：原式，其中在与之间（4）解：原式，其中其中在与之间2．设在处可导，，计算. 解：原式习题1-3 1．求下列极限（1）, 解：原式（2）; 解：（3）; 解：原式（4）; 解：原式2. 求下列极限（1）; 解：原式（2）; 解：原式习题1-4 1．求下列极限（1）；解：原式（2）求；解：原式（3）；解：原式（4）；解：原式此题已换3．设在处可导，，.若在时是比高阶的无穷小，试确定的值. 解：因为，所以从而解得：3．设在处二阶可导，用泰勒公式求解：原式4. 设在处可导，且求和. 解因为所以,即所以习题1-5 1. 计算下列极限(1) ; ; 解：原式(2) 解：原式2．设，求(1) ；解：原式(2) ，解：由于，所以3．设，求和. 解：因为，所以且从而有stolz定理，且所以，4．设，其中，并且，证明：. 证明：因，所以，所以，用数学归纳法易证，。
又，从而单调递减，由单调有界原理，存在，记在两边令，可得所以习题1-6 1. 设在内可导，且存在. 证明: 证明：2. 设在上可微，和存在. 证明:. 证明：记（有限），（有限），则从而所以 3. 设在上可导，对任意的, ，证明:. 证明：因为，所以，由广义罗必达法则得4．设在上存在有界的导函数，证明:. 证明：，有界，，所以习题2-1 （此题已换）1. 若自然数不是完全平方数，证明是无理数. 1.证明是无理数证明：反证法. 假若且互质，于是由可知,是的因子，从而得即,这与假设矛盾2. 求下列数集的上、下确界. （1）解：（2）解：（3）解：（4）. 解：3．设，验证. 证明：由得是的一个下界. 另一方面，设也是的下界，由有理数集在实数系中的稠密性，在区间中必有有理数，则且不是的下界.按下确界定义， . 4．用定义证明上（下）确界的唯一性. 证明：设为数集的上确界，即.按定义，有.若也是的上确界且 .不妨设，则对有即矛盾. 下确界的唯一性类似可证习题2-2 1．用区间套定理证明：有下界的数集必有下确界. 证明：设是的一个下界，不是的下界，则. 令，若是的下界，则取；若不是的下界，则取. 令，若是的下界，则取；若不是的下界，则取；……，按此方式继续作下去，得一区间套，且满足：是的下界，不是的下界. 由区间套定理，且. 下证：都有，而，即是的下界. 由于，从而当充分大以后，有.而不是的下界不是的下界，即是最大下界2. 设在上无界.证明：存在, 使得在的任意邻域内无界. 证明：由条件知，在上或上无界，记使在其上无界的区间为；再二等分，记使在其上无界的区间为，……，继续作下去，得一区间套，满足在上无界. 根据区间套定理，，且. 因为对任意的，存在，当时，有，从而可知在上无界3.设,在上满足,,若在上连续, 在上单调递增. 证明：存在,使. 证明：记且二等分.若，则记若则记. 类似地,对已取得的二等分,若，则记；若，则记按此方式继续下去，得一区间套，其中根据区间套定理可知，且有 . 因为在上连续，所以注意到可得，再由可知， . 习题2-3 1. 证明下列数列发散. (1), 证因为，所以发散.(2), 证明：因为所以发散. 2．证明:单调数列收敛的充要条件是其存在一个收敛子列. 证明：由收敛数列与子列的关系，结论显然不妨假设数列单调递增，且存在收敛子列，由极限定义对任意给定的，总存在正整数，当时，，从而有；由于，对任意，存在正整数，当时，，取，则任意时，所以，即3. 设极限存在,证明：. 证明：记由海茵定理，取，得取，得取，得，解得（此题取消）4. 数列收敛于的充要条件是：其偶数项子列和奇数项子列皆收敛于（此题改为4）5. 已知有界数列发散，证明:存在两个子列和收敛于不同的极限. 证明：因为有界，由致密性定理，必有收敛的子列，设. 又因为不收敛，所以存在，在以外，有的无穷多项，记这无穷多项所成的子列为，显然有界.由致密性定理，必有收敛子列，设，显然 . 习题2-5 1. 用柯西收敛准则判定下列数列的收敛性(1) 解：所以，对，即为柯西列(2) . 解：所以，对，即为柯西列2. 满足下列条件的数列是不是柯西列? (1) 对任意自然数,都有解：不是柯西列，如，对任意的自然数，但数列不收敛。
河北师范大学考研数学专业真题2022
河北师范大学考研数学专业真题20221、50．式子（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）+1化简的结果为（）[单选题] *A．21024B．21024+1C．22048(正确答案)D．22048+12、14．将△ABC的三个顶点坐标的横坐标都乘以-1，并保持纵坐标不变，则所得图形与原图形的关系是（）[单选题] *A．关于x轴对称B．关于y轴对称(正确答案)C．关于原点对称D．将原图形沿x轴的负方向平移了1个单位3、第三象限的角的集合可以表示为（）[单选题] *A. {α|180°<α<270°}B. {α|180°+k·360°<α<270°+k·360°}(正确答案)C. {α|90°<α<180°}D. {α|90°+k·360°<α<180°+k·360°}4、若2? ＝3，2?＝4，则23??2?等于( ) [单选题] *A. 7B. 12C. 432(正确答案)D. 1085、6.有15张大小、形状及背面完全相同的卡片，卡片正面分别画有正三角形、正方形、圆，从这15张卡片中任意抽取一张正面的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是1/3?，则正面画有正三角形的卡片张数为（）[单选题] *Ａ.3Ｂ.5Ｃ.10(正确答案)Ｄ.156、向量与向量共线的充分必要条件是（）[单选题] *A、两者方向相同B、两者方向相同C、其中有一个为零向量D、以上三个条件之一成立(正确答案)7、函数y=kx（k是不为0的常数）是（）。
[单选题] *正比例函数(正确答案)一次函数反比例函数二次函数函数8、5.在数轴上点A，B分别表示数-2，-5，则A，B两点之间的距离可表示为（）[单选题] *A.-2+(-5)B.-2-(-5)(正确答案)C.(-5)+2D(-5)-29、21．已知集合A={x|－2m}，B={x|m＋1≤x≤2m－1}≠?，若A∩B=B，则实数m的取值范围为___. [单选题] *A 2≤x≤3(正确答案)B 2<x≤3C 2≤x<3D 2<x<310、300°是第（）象限角？[单选题] *第一象限第二象限第三象限第四象限(正确答案)11、48．如图，M是AG的中点，B是AG上一点．分别以AB、BG为边，作正方形ABCD和正方形BGFE，连接MD和MF．设AB＝a，BG＝b，且a+b＝10，ab＝8，则图中阴影部分的面积为（）[单选题] *A．46B．59(正确答案)C．64D．8112、3．如图，OC为∠AOB内的一条射线，下列条件中不能确定OC平分∠AOB的（）[单选题] *A．∠AOC＝∠BOCB．∠AOC+∠COB＝∠AOB(正确答案)C．∠AOB＝2∠BOCD．13、29.若（2，a）和（3，b）是直线y=x+k上的两点，那么这两点间的距离为（）[单选题] *A.8C.√2(正确答案)D.214、已知直线l的方程为2x-y+7=0，（）是直线l上的点[单选题] *A、（2，3）B、（2，4）(正确答案)C、（2，-3）D、（-2，-3）15、下列各式：①(x-2y)(2y+x)；②(x-2y)(-x-2y)；③(-x-2y)(x+2y)；④(x-2y)(-x+2y).其中能用平方差公式计算的是（）[单选题] *A. ①②(正确答案)B. ①③C. ②③D. ②④16、计算的结果是( ) [单选题] *A. -p2?(正确答案)B. p2?C. -p1?17、33、点P(-5,-7)关于原点对称的点的坐标是（）[单选题] *A. (-5,-7)B. (5,7)(正确答案)C. (5,-7)D. (7,-5)18、椭圆的离心率一定（）[单选题] *A、等于1B、等于2(正确答案)C、大于1D、等于019、8. 下列事件中，不可能发生的事件是(? ? )．[单选题] * A．明天气温为30℃B．学校新调进一位女教师C．大伟身长丈八(正确答案)D．打开电视机，就看到广告20、9．如果向东走记为，则向西走可记为() [单选题] *A+3mB+2mC-3m(正确答案)D-2m21、33．若x2﹣6x+k是完全平方式，则k的值是（）[单选题] *A．±9B．9(正确答案)C．±12D．1222、下列说法正确的是（）[单选题] *Ａ、任何直线都有倾斜角(正确答案)B、任何直线都有倾斜角Ｃ、直线倾斜角越大斜率就越大Ｄ、直线与Ｘ轴平行则斜率不存在23、8．数轴上一个数到原点距离是8，则这个数表示为多少（）[单选题] * A．8或﹣8(正确答案)B．4或﹣4C．8D．﹣424、代数式a3?a2化简后的结果是（）[单选题] *A. aB. a?(正确答案)C. a?D. a?25、13．在数轴上，下列四个数中离原点最近的数是（）[单选题] * A．﹣4(正确答案)B．3C．﹣2D．626、已知二次函数f（x）=2x2-x+2，那么f（-2）的值为（）。
数学分析十讲习题册、课后习题答案
数学分析十讲习题册、课后习题答案习 题1-11．计算下列极限（1）lim xax aa xx a→--, 0;a > 解：原式lim[]x a a ax a a a x a x a x a→--=---=()|()|xa x ax aa x ==''-=1ln aa a a a a --⋅=(ln 1)aa a - （2）sin sin lim sin()x ax ax a →--； 解：原式sin sin lim x ax a x a→-=-(sin )'cos x ax a===（3）2lim 2), 0;n n a →∞>解：原式2n =20[()']x x a ==2ln a = （4）1lim [(1)1]p n n n→∞+-，0;p >解：原式111(1)1lim ()|p p p x n n nx =→∞+-'===11p x px p -==（5）10100(1tan )(1sin )lim ;sin x x x x→+--解：原式101000(1tan )1(1sin )1lim lim tan sin x x x x x x→→+---=--=99010(1)|10(1)|20t t t t ==+++=（6）1x →，,m n 为正整数；解：原式1111n x x x →-=-1111()'()'mx nx x x ===n m=2．设()f x 在x 处二阶可导，计算0002()2()()limh f x h f x f x h h →+-+-.解：原式000()()lim2h f x h f x h h →''+--=00000()()()()lim 2h f x h f x f x f x h h→''''+-+--=000000()()()()limlim 22h h f x h f x f x h f x h h →→''''+---=+-00011()()()22f x f x f x ''''''=+=3．设0a >，()0f a >，()f a '存在，计算1ln ln ()lim[]()x a x a f x f a -→.解：1ln ln ()lim[]()x a x a f x f a -→ln ()ln ()ln ln lim f x f a x ax a e --→= ln ()ln ()limln ln x a f x f a x a e→--=ln ()ln ()lim ln ln x a f x f a x ax ax ae→----='()()f a a f ae=习 题1-21.求下列极限 （1）lim x →+∞;解：原式1lim [(1)(1)]02x x x ξξ→+∞=+--= ，其中ξ在1x -与1x +之间（2）4cos(sin )cos lim sin x x xx→-; 解：原式=4sin (sin )lim x x x x ξ→--=3sin sin lim()()()x x x x x ξξξ→--⋅=16，其中ξ在x 与sin x 之间（3） lim x →+∞解：原式116611lim [(1)(1)]x x x x →+∞=+--56111lim (1)[(1)(1)]6x x x x ξ-→+∞=⋅+⋅+--5611lim (1)33x ξ-→+∞=+= ，其中ξ在11x -与11x+之间（4）211lim (arctan arctan );1n n n n →+∞-+解：原式22111lim ()11n nn n ξ→+∞=-++1=，其中其中ξ在11n +与1n之间2．设()f x 在a 处可导，()0f a >，计算11()lim ()nn n n f a f a →∞⎡⎤+⎢⎥-⎣⎦. 解：原式1111(ln ()ln ())lim (ln ()ln ())lim n n f a f a n f a f a n nn nn e e→∞+--+--→∞==11ln ()ln ()ln ()ln ()[lim lim ]11n n f a f a f a f a n n n ne→∞→∞+---+-=()()2()()()()f a f a f a f a f a f a ee'''+==习 题1-31．求下列极限（1）0(1)1lim (1)1x x x λμ→+-+-,0;μ≠解：原式0lim x x x λλμμ→== （2）0x →;解：02ln cos cos 2cos lim12x x x nxI x→-⋅⋅⋅=20ln cos ln cos 2ln cos 2lim x x x nx x →++⋅⋅⋅+=-20cos 1cos 21cos 12limx x x nx x →-+-+⋅⋅⋅+-=-22220(2)()lim x x x nx x →++⋅⋅⋅+=21ni i ==∑（3）011lim )1xx x e →--（;解：原式01lim (1)x x x e x x e →--=-201lim x x e x x →--=01lim 2x x e x →-=01lim 22x x x →==（4）112lim [(1)]xxx x x x →+∞+-;解：原式11ln(1)ln 2lim ()x x xxx x ee+→+∞=-21lim (ln(1)ln )x x x x x →+∞=+-1lim ln(1)x x x→+∞=+1lim 1x xx→+∞==2. 求下列极限（1）2221cos ln cos lim sin x x x x x e e x -→----;解：原式222201122lim 12x x xx x→+==-（2）0ln()2sin limsin(2tan 2)sin(tan 2)tan x x x e xx x x→++--; 解：原式0ln(11)2sin lim sin(2tan 2)sin(tan 2)tan x x x e x x x x →++-+=--012sin lim sin(2tan 2)sin(tan 2)tan x x x e xx x x→+-+=--02lim442x x x xx x x→++==--习 题1-41．求下列极限（1）21lim (1sin )n n n n→∞-； 解：原式2331111lim [1(())]3!n n n o n n n →∞=--+11lim((1))3!6n o →∞=+= （2）求33601lim sin x x e x x→--；解：原式3636336600()112lim lim 2x x x x x o x x e x x x →→++---===（3）21lim[ln(1)]x x xx→∞-+；解：原式222111lim[(())]2x x x o x xx →∞=--+12=（4）21lim (1)x xx e x-→+∞+；解：原式211[ln(1)]2lim x x xx ee+--→∞==此题已换3．设()f x 在0x =处可导，(0)0f ≠，(0)0f '≠.若()(2)(0)af h bf h f +-在0h →时是比h 高阶的无穷小，试确定,a b 的值. 解：因为 ()(0)(0)()f h f f h o h '=++，(2)(0)2(0)()f h f f h o h '=++所以00()(2)2(0)(1)(0)(2)(0)()0lim limh h af h bf h f a b f a b f o h h h→→'+-+-+++==从而10a b +-=20a b += 解得：2,1a b ==-3．设()f x 在0x 处二阶可导，用泰勒公式求02()2()()limh f x h f x f x h h→+-+- 解：原式22220000100022''()''()()'()()2()()'()()2!2!limh f x f x f x f x h h o h f x f x f x h h o h h →+++-+-++=22201220''()()()limh f x h o h o h h →++=0''()f x =4. 设()f x 在0x =处可导，且2sin ()lim() 2.x x f x x x →+=求(0),(0)f f '和01()lim x f x x →+.解 因为220sin ()sin ()2lim()limx x x f x x xf x x x x →→+=+=[]22()(0)(0)()limx x o x x f f x o x x →'++++=2220(1(0))(0)()lim x f x f x o x x →'+++=所以 1(0)0,(0)2f f '+==,即(0)1,(0)2f f '=-= 所以01()limx f x x →+01(0)(0)()lim x f f x o x x →'+++=02()lim 2x x o x x→+==习 题1-51. 计算下列极限 (1)1n n++; ;解：原式n =2n ==(2)2212lim (1)n n n a a na a na +→∞+++⋅⋅⋅+>解：原式21lim (1)n n n n na na n a ++→∞=--2lim (1)n n na n a →∞=--21a a=-2． 设lim n n a a→∞=，求 (1) 1222lim n n a a na n →∞+++；解：原式22lim (1)n n na n n →∞=--lim 212n n na an →∞==-(2) 12lim111n nna a a →∞+++，0,1,2,,.i a i n ≠=解：由于1211111lim lim n n n na a a n a a →∞→∞+++==，所以12lim 111n nnaa a a →∞=+++3．设2lim()0n n n xx -→∞-=，求lim nn x n →∞和1lim nn n xx n-→∞-. 解：因为2lim()0nn n xx -→∞-=，所以222lim()0nn n xx -→∞-=且2121lim()0n n n xx +-→∞-=从而有stolz 定理2222lim lim022nnn n n x xx n -→∞→∞-==， 且212121lim lim 0212n n n n n x xx n ++-→∞→∞-==+所以lim 0nn x n→∞=，111lim lim lim 01n n n n n n n x x x x n n n n n --→∞→∞→∞--=-=-4．设110x q <<，其中01q <≤，并且1(1)n n n x x qx +=-，证明：1lim nn nxq→∞=.证明：因110x q<<，所以 211211(1)111(1)()24qx qx x x qx q q q+-=-≤=<，所以210x q<<，用数学归纳法易证，10nxq<<。
河北师大点集拓扑习题与参考答案(1)
河北师大点集拓扑习题与参考答案(1)点集拓扑学练习题一、单项选择题（每题1分）1、未知x?{a,b,c,d,e},以下集族中，（）就是x上的流形.①t?{x,?,{a},{a,b},{a,c,e}}②t?{x,?,{a,b,c},{a,b,d},{a,b,c,e}}③t?{x,?,{a},{a, b}}④t?{x,?,{a},{b},{c},{d},{e}}答案：③2、设x?{a,b,c}，下列集族中,（）是x上的拓扑.①t?{x,?,{a},{a,b},{c}}②t?{x,?,{a},{a,b},{a,c}}③t?{x,?,{a},{b},{a,c}}④t?{x, ,{a},{b},{c}}答案：②3、未知x?{a,b,c,d},以下集族中，（）就是x上的流形.①t?{x,?,{a},{a,b},{a,c,d}}②t?{x,?,{a,b,c},{a,b,d}}③t?{x,?,{a},{b},{a,c,d}}④t?{x,?,{a},{b}}答案：①4、设x?{a,b,c}，下列集族中,（）是x上的拓扑.①t?{x,?,{b},{c},{a,b}}②t?{x,?,{a},{b},{a,b},{a,c}}③t?{x,?,{a},{b},{a,c}}④t {x,,{a},{b},{c}}答案：②5、未知x?{a,b,c,d},以下集族中，（）就是x上的流形.①t?{x,?,{a,b},{a,c,d}}②t?{x,?,{a,b},{a,c,d}}1③t?{x,?,{a},{b},{a,c,d}}④t?{x,?,{a},{c},{a,c}}答案：④6、设x?{a,b,c}，下列集族中,（）是x上的拓扑.①t?{x,?,{a},{b},{b,c}}②t?{x,?,{a,b},{b,c}}③t?{x,?,{a},{a,c}}④t?{x,?,{a},{b },{c}}答案：③7、未知x?{a,b,c,d}，流形t?{x,?,{a}},则{b}=（）①φ②x③{b}④{b,c,d}答案：④8、未知x?{a,b,c,d}，流形t?{x,?,{a}},则{b,c,d}=（）①φ②x③{b}④{b,c,d}答案：④9、未知x?{a,b}，流形t?{x,?,{a}},则{a}=（）①φ②x③{a}④{b}答案：②10、已知x?{a,b}，拓扑t?{x,?,{a}},则{b}=（）①φ②x③{a}④{b}答案：④11、未知x?{a,b,c,d}，流形t?{x,?,{a}},则{a}=（）①φ②x③{a,b}④{b,c,d}答案：②12、未知x?{a,b,c,d}，流形t?{x,?,{a}},则{c}=（）2①φ②x③{a,c}④{b,c,d}答案：④13、设x?{拓扑t?{x,?,{a},{b,c,d}},则x的既开又闭的非a,b,c,d}，空真子集的个数为（）①1②2③3④4答案：②14、设x?{拓扑t?{x,?,{a},{b,c}},则x的既开又闭的非空真a,b,c}，子集的个数为（）①1②2③3④4答案：②a,b,c}，15、设x?{流形t?{x,?,{b},{b,c}},则x的既上开又闭合的非空真子集的个数为（）①0②1③2④3答案：①16、设x?{a,b}，拓扑t?{x,?,{b}},则x的既开又闭的子集的个数为（）①0②1③2④3答案：③17、设x?{a,b}，拓扑t?{x,?,{a},{b}},则x的既开又闭的子集的个数为（）①1②2③3④4答案：④a,b},{b,c}}18、设x?{a,b,c}，流形t?{x,?,{a},{b},{,则x的既上开又闭的非空真子集的个数为（）①1②2③3④4答案：②19、在实数空间中，有理数集q的内部q?是（）①?②q③r-q④r3答案：①20、在实数空间中，有理数集q的边界?(q)就是（）①?②q③r-q④r21、在实数空间中，整数集z的内部z?就是（）①?②z③r-z④r22、在实数空间中，整数集z的边界?(z)就是（）①?②z③r-z④r23、在实数空间中，区间[0,1)的边界就是（）①?②[0,1]③{0,1}④(0,1)24、在实数空间中，区间[2,3)的边界就是（）①?②[2,3]③{2,3}④(2,3)25、在实数空间中，区间[0,1)的内部就是（）①?②[0,1]③{0,1}④(0,1)4答案：④答案：①答案：②答案：③答案：③答案：④26、设x是一个拓扑空间，a,b是x的子集,则下列关系中错误的是（）①d(a?b)?d(a)?d(b)②a?b?a?b③d(a?b)?d(a)?d(b)④a?a答案:③27、设x是一个拓扑空间，a,b是x的子集,则下列关系中正确的是（）①d(a?b)?d(a)?d(b)②a?b?a?b③d(a?b)?d(a)?d(b)④a?a答案:①28、设x是一个拓扑空间，a,b是x的子集,则下列关系中正确的是（）①d(a?b)?a?b②a?b?a?b③d(a?b)?d(a)?d(b)④d(d(a))?a?d(a)答案:④29、已知x是一个离散拓扑空间，a是x的子集,则下列结论中正确的是（）①d(a)??②d(a)?x?a③d(a)?a④d(a)?x答案：①30、已知x是一个平庸拓扑空间，a是x的子集,则下列结论中不正确的就是（）①若a??,则d(a)??②若a?{x0},则d(a)?x?a③若a={x1,x2},则d(a)?x④若a?x,则d(a)?x答案：④31、未知x就是一个愤世嫉俗流形空间，a就是x的子集,则以下结论中恰当的5。
数学分析习题集(2010年高等教育出版社出版的图书)
形式分类
数学分析习题集按形式分类，可分为完全无解答的习题集（如吉米多维奇《数学分析习题集》）、有部分解 答（例如奇数题有解答偶数题无解答、练习题有解答思考题无解答、困难题有解答容易题无解答等）的习题集与 每道题都有解答的习题集（如《伯克利数学问题集》）。
R.柯朗（Richard Courant）与F.约翰（Filtz John）的名著《微积分与数学分析引论》中有两种类型的习 题：一种是问题，一般不容易解答甚至比较难，大多数是对正文材料的补充；一种是练习，题面比较常规，主要 目的是通过训练增进技巧。A.A.布朗克（Albert A. Blank）把后一类型习题及解答汇集成书，作为《微积分与 数学分析引论》的附册单独出版。1986年科学出版社出版了该习题书的中文译本。
本习题集最大的有点在于有很精到的铺垫和提示，而证明题也占到了三分之二以上，因此即使在过去这么多 年后，北大乃至全国许多高校的数学分析初学者还使用这本习题集作为训练教材。
随时间推移，这本书在城市甚这本书用TEX语言重新排版，并在不改解第三版封面 紧接着，1980年，山东大学的费定晖、周学圣在山东科技出版 社出版了该书题解，共6分册，二十年来重印无数，1999年修订第二版，2005年此题解书出至第三版。由于此题 解书的出现及蔓延，导致原习题书的训练价值越来越低。于是，北京大学率先推出了自己的和教材配套的习题集。
其它相关
分析中的问题与定理 由著名的数学家、数学教育家G.Polya与其合作者G.Szego所著。本书共分两卷，上卷内容是级数、积分、解 析函数的特性；下卷是一些专题内容，包括零点性质、特殊多项式、行列式与二次型、数论问题、几何问题。 本书首版是德文版，在1925年即出版。在将近一个世纪的时间里，无数数学家于其中受益。1972年由作者修 订，出版英文版。分卷中文译本分别在1981年与1985年分别由上海科技出版社出版。 Problems in Mathematical Analysis 作者是波兰的Piotr Biler与Alfred Witkovski。1990年由Marcel Dekker出版社出版英文译版。尚无中文 译本。 Problems in Analysis 作者是B.Gelbaum。1982年由Springer出版社出版英文版。尚无中文译本。 伯克利数学问题集 是1977年以来加州大学伯克利分校用来考核攻读博士学位的学生所掌握的数学能力的试题汇编。
数学分析习题集答案13
。再令
⎧x
⎨ ⎩
y
= =
u u
− +
v v
，则
∂(x, ∂(u,
y) v)
=2，
{ } S = ∫∫ 2dxdy = ∫∫ 4dudv ，其中 D'= (u, v) (u + 2a)2 + 3v2 ≤ 6a2 。
D
D'
（3） (2 − 2)πa 2 ；
（4） 2a2 ，提示： S = ∫∫ a dzdx ， D = {(z, x) − x ≤ z ≤ x, 0 ≤ x ≤ a}。 D a2 − x2
∫∫Σ f (ax + by + cz)dS = ∫∫Σ f ( a2 + b2 + c2 z')dS 。
计算这一曲面积分，令 x' = sin ϕ cosθ ， y' = sin ϕ sinθ ， z' = cosϕ 。
11．需要 100 小时. 提示：设在时刻 t 雪堆的体积为V (t) ，雪堆的侧面积为 S (t) ，
此得到
∫∫
Σ
z ρ(x, y,
dS z)
=
3π 2
。
10. 提示：将 xyz − 坐标系保持原点不动旋转成 x' y' z'− 坐标系，使 z' 轴上的单位
向量为
1
(a,b, c) ，则球面 Σ 不变，面积元 dS 也不变。设球面 Σ 上一
a2 + b2 + c2
点 (x, y, z) 的新坐标为 (x', y', z') ，则 ax + by + cz = a 2 + b2 + c2 z' ，于是
考研数学十月试题及答案
考研数学十月试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 设函数f(x)=x^3-3x，求f'(x)的值为：A. 3x^2 - 3B. 3x^2 + 3C. x^3 - 3xD. x^3 + 3x答案：A2. 已知等比数列{a_n}的首项为a_1=2，公比q=3，求a_3的值为：A. 18B. 24C. 54D. 81答案：A3. 计算定积分∫(0到1) x^2 dx的值为：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：A4. 设矩阵A=\[\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}\]，求A^2的值为：A. \[\begin{pmatrix}5 & 10 \\ 11 & 22\end{pmatrix}\]B. \[\begin{pmatrix}7 & 14 \\ 15 & 30\end{pmatrix}\]C. \[\begin{pmatrix}10 & 20 \\ 21 & 42\end{pmatrix}\]D. \[\begin{pmatrix}15 & 30 \\ 31 & 62\end{pmatrix}\]答案：A5. 已知圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9，求圆心坐标为：A. (2, 3)B. (-2, -3)C. (3, -2)D. (-3, 2)答案：A6. 计算极限lim(x→0) (sinx/x)的值为：A. 0B. 1C. 2D. 无穷大答案：B7. 设函数f(x)=ln(x+1)，求f'(x)的值为：A. 1/(x+1)B. 1/xC. x/(x+1)D. x+1答案：A8. 已知直线y=2x+3与抛物线y^2=4x相交于点A和点B，求AB的长度为：A. 2√5B. √5C. 5D. 2答案：A9. 计算二重积分∬(D) xy dA，其中D为x^2+y^2≤4的区域，其值为：A. 8πB. 4πC. 2πD. π答案：B10. 设函数f(x)=x^2-6x+8，求f(x)的最小值为：A. 2B. 1C. 0D. -2答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f'(x)=______。
河北师范大学数学分析习题集Ch12
S
2
2
2
S
3
3
3
2
2
2
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2
2
3
2
2
2
2
S
2
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2
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L
2
2
2
2
2
2
L
习题 12.6 1. 求 u = x + 2 y + 3 z + 2 xy − 4 x + 2 y − 4 z 在点 O (0, 0, 0), A(1,1,1), B ( −1, −1, −1) 的梯 度,并求梯度为零的点. 2. 证明: (1) div ( F = g ) = divF + divG; (2) div (uF ) = udivF + graduxF . 3. 求 (1) div ( gradu ); (2) div (ugradv ) . 4. 证明(1) rot ( F + G ) = rotF + rotG; (2) rot (uF ) = urotF + graduxF 其中 F,G 是向量, u 是标量 5. 求(1) rot ( gradu ) ; (2) div ( rotF ) . 6.计算下列向量场 A 的散度与旋度
3 2
L
2
2
2
2
2
2
L
2
2
2
2
s
（2） ∫∫ (1 + xds , 其中 S 为四面体 x + y + z ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 的边界； + y)
2 s
（3） ∫∫ zxyds ，其中 S 为平面 x + y + z = 1 在第一象限中的部分；
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习题10.1
1. 计算下列曲线所围成的图形的面积
(1)2y x =与22y x =− (2)2
6,0y x x y =−=
(3)2,,2y x y x y x === (4)2228,2(x y y x +==两部分都要计算)
(5)sin 3(0)r a θα=> (6)22(1)y x x =−
(7)cos ,sin x a t y b t == (8)2,3sin 2ρθρθ=
=
2. 求下列旋转体的体积 (1)24y ax =与2x a =围成的图形绕x 轴旋转(0)a >
(2)sin ,0y x x π=≤≤绕x 轴
(3)(sin ),(1cos )(0)02x a t t y a t a t π=−=−≥≤≤绕x 轴
(4)(cos )(0)r a H a θ=>绕极轴
(5)22(5)16x y +−=绕x 轴旋转.
3. 求下列曲线的弧长: (1)3232y x =相应于01x ≤≤一段弧;
(2)33cos ,sin (02);x a y a t t π==≤≤
(3)(cos sin ),(sin cos ),(02);x a t t t y a t t t t π=+=−≤≤ (4)21,ln(1),(01).2
x arctgt y t t ==+≤≤ 4. 求曲线：(sin ),(1cos )x a t t y a t =−=−在2t π
=的曲率。
5.
求下面曲线绕轴旋转所的旋转曲面的面积 （1）222()()x y R r r R +−=<绕x 轴一周；
（2）双纽线22
2cos 2r a θ=绕极轴。
6．一矩形水闸门，宽20米，高16米，水面与闸门顶齐，求闸门上所受的总压力。
7．一半球（直径为20米）形的容器内盛满水，试计算把水抽尽所作功。
8．求椭圆22
221x y a b
+=在第一象限部分的重心坐标。
9．求锥面z =被柱面22z x =所截部分的曲面面积。
10．求两个圆柱面222222
,x y a x z a +=+=相交部分所围立体的表面积。
习题10.2
1. 求下列均密度的平面薄板重心: (1)半椭圆22
221,0;x y y a b
+≤≥ (2)高为h ,底分别为,a b 的等腰梯形. 2. 求下列均匀密度物体重心:
(1)221;z x y ≤≤+ (2)由坐标面及平面21x y z +−=所为四面体. 3. 求下列均匀密度的平面薄板的转动惯量。
(1) 半径为R 的圆关于其切线的转动惯量;
(2) (2222222)()x y z a x y ++=+对坐标原点的转动惯量.
4. 计算下列引力:
(1) 均匀薄片222,0,x y R z +≤=对于轴z 上一点(0,0,C)(C>0)处单位质量的引力
. (2) 均匀柱体222,0,x y a z h +≤≤≤P(0,0,c )()c h >点处的单位质量的引力.
复习题10
1. 求曲面22z xy =被平面1,0,0x y x y +===所截下那部分的面积.
2. 求曲面z =包含在圆柱222x y x +=内部那部分的面积.
3. 半径为a 的球沉入水中深度为h (由球心算),已知,h a ≥求球面上部和下部的压力
. 4. 求函数222(,,)f x y z x y z =++在域222x y z x y z ++≤++内的平均值. 5. 求曲面1,0,0,0x
y
z
x y z a b c ++====所围的均匀物体对于坐标平面的转动惯量
. 求密度为0ρ的均匀椎体对于其顶点为一单位质量的质点的吸引力设球的半径为R,而轴截面的扇形的角等于2.α。