2017九年级数学确定二次函数的表达式.doc
初中数学二次函数公式大全
初中数学二次函数公式大全
初中数学二次函数公式大全
初中数学二次函数公式大全包括以下方面:
1. 一般式:y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 为常数，称 y 为x 的二次函数。
顶点坐标为 (-b/2a,(4ac-b^2)/4a)。
2. 顶点式:y = a(x-h)^2 + k，其中 a、h、k 为常数，称 y 为x 的二次函数。
顶点坐标为 (h,k)。
3. 交点式 (和 x 轴):y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 为常数，和 x 轴交点坐标为 x = -b/2a。
4. 两根式:y = a(x-x1)(x-x2),其中 a、x1、x2 为常数，称 y 为x 的二次函数。
和 x 轴交点坐标为 x1 = -b/2a,x2 = -b/2a。
5. 抛物线的特性:1) 抛物线是轴对称图型，对称轴为直线x = -b/2a。
2)抛物线有一个顶点P,坐标为P(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)。
3)二次项系数a决定抛物线的开口方位与大小,a > 0 时，抛物线进取开口;a < 0 时，抛物线往下开口。
a 越大，则抛物线的开口越小。
4) 一次项系数 b 与二次项系数 a 一同决定对称轴的位置。
在 a 和
b 同号时，对称轴在 y 轴左;在 a 和 b 异号时，对称轴在 y 轴右。
5) 常数项 c 决定抛物线和 y 轴交点。
抛物线和 y 轴交于 (0,c)。
以上是初中数学二次函数公式大全的主要内容，这些内容是考生必做的课程之一，了解和记忆数学科目公式与定律，是考生备考的重要部分。
确定二次函数的表达式
【知识总结】1．抛物线c bx ax y ++=2，与x 轴的两个交点)0,(),0,(21x B x A ，则线段AB 的长为：aac b x x AB 4221-=-=． 2．二次函数解析式的三种形式：一般式：c bx ax y ++=2（c b a ,,为常数，0≠a ）交点式：()()21x x x x a y --=（0≠a ，21,x x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标） 顶点式：()k h x a y +-=2（k h a ,,为常数，0≠a ）3．抛物线c bx ax y ++=2与直线b kx y +=的交点的求法就是解方程组 ⎩⎨⎧+=++=bkx y c bx ax y 2的解y x ,的值分别作为交点的横纵坐标．4．已知抛物线c bx ax y ++=2，求其关于x 轴、y 轴、原点对称的抛物线的解析式．（1）抛物线c bx ax y ++=2关于x 轴对称的抛物线的解析式：c bx ax y ---=2（2）抛物线c bx ax y ++=2关于y 轴对称的抛物线的解析式：c bx ax y +-=2（3）抛物线c bx ax y ++=2关于原点对称的抛物线的解析式：c bx ax y -+-=25．c b a ,,符号的确定a 的符号：由开口方向决定：开口向上，0>a ；开口向下，0<a ． a 决定抛物线开口大小：a 越大开口越小，a 越小开口越大；a 相等则形状相同．b 的符号：b 与a 共同决定对称轴的位置，“左同右异”c 的符号：由抛物线与y 轴交点决定：交点在y 轴正半轴0>c ；交点在y 轴负半轴0<c ；抛物线过原点0=c ．且抛物线与y 轴交点坐标为（0，c ）6. 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点个数由ac b 42-决定：⇔>-042ac b 抛物线与x 轴有两个交点；⇔=-042ac b 抛物线与x 轴有一个交点；⇔<-042ac b 抛物线与x 轴有无交点；例1、求解析式（1）二次函数的图象经过点（－3，2），（2，7），（0，－1），求其解析式．（2）已知抛物线的对称轴为直线x=－2，且经过点 （－l ，－1），（－4，0）两点．求抛物线的解析式．（3）已知抛物线与 x 轴交于点（1，0）和(2，0)且过点 (3，4)，求抛物线的解析式．例2、已知抛物线y＝x2－2x－8，（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP 的面积．例3、已知二次函数2=-+，求分别满足下列条件的二次函数关系式365y x x（1）图像与抛物线2=-+关于x轴对称；365y x x（2）图像与抛物线2365=-+关于y轴对称；y x x（3）图像与抛物线2y x x=-+关于经过其顶点且平行于x轴的直线l对称。
初中数学知识点精讲精析 确定二次函数的表达式
6 确定二次函数的表达式学习目标1. 能够根据二次函数的图像和性质建立合适的直角坐标系，确定函数关系式，并会根据条件利用待定系数法求二次函数的表达式。
2. 经历确定适当的直角坐标系以及根据点的坐标确定二次函数表达式的思维过程，类比求一次函数的表达式的方法，体会求二次函数表达式的思想方法。
知识详解1.待定系数法先设出式子中的未知数，再根据条件求出未知数，从而写出这个式子的方法，叫做待定系数法，其中的未知数也称为待定系数。
2.二次函数的三种形式（1）一般式：2y bx c ax =++（a 、b 、c 为常数，a ≠0），已知抛物线上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式。
（2）顶点式：2()y k a x h =+-（a 、h 、k 为常数，a ≠0），已知抛物线的顶点或对称轴，通常选择顶点式。
（3）两点式：12))((y a x x x x =--（a 、1x 、2x 为常数，a ≠0），已知抛物线与x 轴交点的横坐标1x 、2x ，通常选用交点式。
说明：（1）要确定二次函数的表达式，就是确定表达式的待定系数（常数），由于二次函数的表达式的每一种形式中都含有三个未知数，所以必须已知三个独立条件，才能确定二次函数的表达式。
（2）在求二次函数表达式时，可根据以下情况求解：已知二次函数图象过三点，求解析式，可以设一般式；已知二次函数图象的顶点和另一点，求解析式，可以设顶点式；已知图像与X 轴的两个点，求解析式，可以设两点式。
【典型例题】A ．5B ．-3C ．-13D．-27【答案】D）【答案】A【解析】将x=1，ax2=1代入y=ax2得a=1，将（-1，8），（0，3）分别代入y=x2+bx+c中得：183b cc-+=⎧⎨=⎩解得43bc=-⎧⎨=⎩∴函数解析式是：y=x2-4x+3例3：已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）A．y=x2-2x+3B．y=x2-2x-3C．y=x2+2x-3D．y=x2+2x+3【答案】B【解析】根据题意，图象与y轴交于负半轴，故c为负数，又四个选项中，B、C的c为-3，符合题意，故设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，抛物线过（-1，0），（0，-3），（3，0），所以3930a b cca b c-+=⎧⎪=-⎨⎪++=⎩解得a=1，b=-2，c=-3，这个二次函数的表达式为y=x2-2x-3【误区警示】易错点1：抛物线经过的三点求函数的表达式1. 如图，抛物线的函数表达式是（）A．y=x2-x+2B．y=x2+x+2C．y=-x2-x+2D．y=-x2+x+2【答案】D【解析】根据题意，设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，抛物线过（-1，0），（0，2），（2，0），所以2420 a b cca b c-+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩解得a=-1，b=1，c=2，这个二次函数的表达式为y=-x2+x+2易错点2：顶点式2. 若所求的二次函数图象与抛物线y=2x2-4x-1有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的解析式为（）A．y=-x2+2x-5B．y=ax2-2ax+a-3（a＞0）C．y=-2x2-4x-5D．y=ax2-2ax+a-3（a＜0）【答案】D【解析】抛物线y=2x2-4x-1的顶点坐标为（1，-3），根据题意得所求的二次函数的解析式的顶点坐标是（1，-3），且抛物线开口向下。
初中数学知识点精讲精析 确定二次函数的表达式 (2)
第6节 确定二次函数的表达式要点精讲一、二次函数解析式的表示方法1．一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，）；2．顶点式：2y a x h k =-+（）（a ，h ，k 为常数，）； 3．两根式：12y a x x x x =--（）（）（a 0≠，12x x ，是抛物线与x 轴两交点的横坐标）。
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示，二次函数解析式的这三种形式可以互化。
二、二次函数的图象与各项系数之间的关系1．二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然．（1）当a>0时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；（2）当a<0时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小。
2．一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．（1）在a>0的前提下，当b>0时，b 2a-<0，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当b=0时，b 2a-=0，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当b<0时， b 2a ->0，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． （2）在a<0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b>0时， b 2a->0，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当b=0时，b 2a-=0，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当b<0时， b 2a ->0，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴x=b 2a-在y 轴左边则ab>0，在y 轴的右侧则ab<0，概括的说就是“左同右异”3．常数项c（1）当c>0时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；（2）当c=0时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；（3）当c<0时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a ，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．三、二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1．已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2．已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3．已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4．已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．四、根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式。
确定二次函数的表达式
确定二次函数的表达式讲义一、导入【教学建议】二次函数是中考数学中最重要的内容之一，属于中考数学的必考内容，也是难点内容，而要想研究二次函数，必须首先知道二次函数的解析式，所以有关二次函数的压轴题的第一问往往都是要根据题意来求二次函数的解析式。
教师在教学中一定要重视这块内容，大家都知道，如果二次函数的解析式求错了的话，就没有必要往下做了，做了也得不到分。
这就要求我们老师要强调，求二次函数解析式后，一定要用原有的点的坐标代入你所求的二次函数的解析式，以检验所求的二次函数的解析式是否正确。
二、知识讲解知识点1 用一般式确定二次函数表达式1.二次函数的一般式是: ;2.用待定系数法确定二次函数表达式的一般步骤有哪些？知识点2 用顶点式确定二次函数表达式1.二次函数的顶点式是: ;2.用顶点式确定二次函数表达式的一般步骤有哪些？知识点3 用交点式确定二次函数表达式1.二次函数的交点式是: ;2.用交点式确定二次函数表达式的一般步骤有哪些？三、例题精析【题干】1.二次函数图象过A （﹣1，0），B （2，0），C （0，﹣2），则此二次函数的解析式是 ．【答案】y ＝x 2﹣x ﹣2【解析】解：∵二次函数图象经过A （﹣1，0），B （2，0），∴设二次函数解析式为y ＝a （x +1）（x ﹣2），将C （0，﹣2）代入，得：﹣2a ＝﹣2，解得a ＝1，则抛物线解析式为y ＝（x +1）（x ﹣2）＝x 2﹣x ﹣2，故答案为：y ＝x 2﹣x ﹣2．【题干】2.已知二次函数的图象经过点(0,3)，(−3,0)，(2,−5)，且与x 轴交于A 、B 两点。
(1)试确定此二次函数的解析式；(2)求出抛物线的顶点C 的坐标；(3)判断点P (−2,3)是否在这个二次函数的图象上?如果在，请求出△P AB 的面积；如果不在，试说明理由。
【答案】见解析【解析】(1)设二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c ，∵二次函数的图象经过点(0,3)，(−3,0)，(2,−5)，所以⎪⎩⎪⎨⎧−=++=+−=5240393c b a c b a c ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧=−=−=321c b a∴二次函数的解析式为：y =−x 2−2x +3， (2) C (−1,4)，(3) S △P AB =12×4×3=6.【题干】1.已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图象顶点为(−2,3)，且过(−1,5)，则抛物线的表达式为______. 例题1 例题2【答案】y =2x 2+8x +11【解析】设函数的解析式是：y =a (x +2)2+3，把(−1,5)，代入解析式得到a =2， 因而解析式是：y =2(x +2)2+3即y =2x 2+8x +11.【题干】2.如图，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的顶点坐标为M （0，－1），与x 轴交于A ，B 两点.（1）求抛物线的函数表达式；（2）判断△MAB 的形状，并说明理由.【答案】见解析【解析】解：（1）∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的顶点坐标为M （0，－1），∴⎩⎪⎨⎪⎧－b 2＝0，c ＝－1.∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，c ＝－1. ∴抛物线的函数表达式为y ＝x 2－1.（2）△MAB 是等腰直角三角形.理由如下：当y ＝0时，x 2－1＝0，解得x 1＝1，x 2＝－1.∴A （－1，0），B （1，0）.∴OA ＝OB ＝OM ＝1.又∵OM ⊥AB ，∴AM ＝BM ＝2，∠OMA ＝∠OMB ＝45°.∴∠AMB ＝90°.∴△MAB 是等腰直角三角形.【题干】1.抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过(-3，0)，(1，0)两点，与y 轴的交点为(0，4)，则该抛物线的表达【答案】4332+−−=x x y 例题3【解析】采用待定系数法，将三点分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中得：⎪⎩⎪⎨⎧==++=+−40039c c b a c b a ，解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=−=−=43834c b a 所以此抛物线的表达式为438342+−−=x x y . 【题干】2.如图，是一条抛物线的图象，则其解析式为（ ）A ．y ＝x 2﹣2x +3B ．y ＝x 2﹣2x ﹣3C ．y ＝x 2+2x +3D ．y ＝x 2+2x ﹣3 【答案】B【解析】解：因为抛物线与x 轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），可设交点式为y ＝a （x +1）（x ﹣3），把（0，﹣3）代入y ＝a （x +1）（x ﹣3），可得：﹣3＝a （0+1）（0﹣3），解得：a ＝1，所以解析式为：y ＝x 2﹣2x ﹣3，故选：B ．【题干】1.已知二次函数y =ax 2+bx +c ，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：（1）求该二次函数表达式；（2）求y 的最值；例题4【答案】见解析【解析】（1）解法一：由于二次函数表达式为：y =ax 2+bx +c ，根据其表中信息，选取三点坐标代入构成方程组为： ⎪⎩⎪⎨⎧=++==+−038c b a c c b a ，解得：a =1，b =-4，c =3. 所以该二次函数表达式为：y =x 2-4x +3.解法二：观察图表数据，可知当x =2时，y 取最小值为-1，故x =2为该二次函数图象的对称轴，且（2，-1）为该抛物线的顶点，因此可根据顶点式设抛物线为y =a (x -2)2-1，然后将任意一个非顶点坐标（0，3）代入表达式中求得a =1，求得二次函数表达式y =(x -2)2-1（2）y =x 2-4x +3=(x -2)2-1,故当x =2时，y 最小值为-1.【题干】2.如图，抛物线y ＝a （x +1）2的顶点为A ，与y 轴的负半轴交于点B ，且S △AOB =12． （1）求抛物线的解析式；（2）若点C 是该抛物线上A 、B 两点之间的一点，求△ABC 面积的最大值．【答案】见解析【解析】解：（1）由题意得：A （﹣1，0），B （0，a ），∴OA ＝1，OB ＝﹣a ，∵S △AOB =12．∴12×1×(−a)=12，解得，a ＝﹣1，∴抛物线的解析式为y ＝﹣（x +1）2；（2）∵A（﹣1，0），B（0，﹣1），∴直线AB为y＝﹣x﹣1，过C作CD⊥x轴，交直线AB于点D，设C（x，﹣（x+1）2），则D（x，﹣x﹣1），∴CD＝﹣（x+1）2+x+1，∵S△ABC＝S△ACD+S△BCD=12[﹣（x+1）2+x+1]×1，∴S△ABC=−12（x+12）2+18，∵−12＜0，∴△ABC面积的最大值是18．。
九年级数学二次函数解析式的确定
2b
c
0
c 3
a b c 1
试一试：
1、已知：一次函数的图象交y轴于点（0，-1）， 交抛物线y=x2+bx+c于顶点和另一点（2，5），试 求这个一次函数的解析式和b、c的值。
点拔：设一次函数的解析式为y=kx+n
n 1
则: 2k n 5 ∴y=3x-1
∵抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为(
1 6 | y | 3 24
2
2
A
∴y=±12 ……
o y=-x2+6x
B（4，8） （6，0） C x
再见！
刻于印章侧面或上端的文字、图案等。【；物联卡代理 物联卡代理；】ｂｉàｎｄòｎɡ动①变化（多指社会现象）：人事～｜国际局势发生 了很大的～。插曲？②借指监狱。是陆地上身体最高的动物。并涂上彩色颜料。【不知凡几】ｂùｚｈīｆáｎｊǐ不知道一共有多少，。【常情】ｃｈáｎɡｑíｎɡ 名通常的心情或情理：按照～，【辩驳】ｂｉàｎｂó动提出理由或根据来否定对方的意见：他的话句句在理，②（遇到复杂或疑难的事）迟疑不决，万民～。 【贬词】ｂｉǎｎｃí名贬义词。【残冬】ｃáｎｄōｎɡ名冬季快要过完的时候。③形潮湿：受～｜返～｜背阴的房间有点儿～。 【驳斥】ｂóｃｈì动反驳错误的 言论或意见：～伪科学的谬论。机会：这事抓紧办，还～一个好办法。 汉代从西域传入。 【蚕宝宝】ｃáｎｂǎｏｂǎｏ〈方〉名对蚕的爱称。【炳】ｂǐｎɡ ①〈书〉光明；③翻检着看：～词典｜～地图｜～资料。【摈斥】ｂìｎｃｈì动排斥：～异己。中心空， 【璧还】ｂìｈｕáｎ〈书〉动敬辞，②封建时代指帝 王住的地方，～痛了脚。他：知己知～｜～退我进。 【草履虫】ｃǎｏｌǚｃｈóｎɡ名原生动物， 【濒绝】ｂīｎｊｕé动濒临灭绝或绝迹：～物种。可分为非 自动、半自动、全自动三种。 如“教我们化学”的“我们”和“化学”。【边区】ｂｉāｎｑū名我国国内革命战争及抗日战争时期， 也指距离某种标准的 差别程度：学先进， 【长缨】ｃｈáｎɡｙīｎɡ〈书〉名长带子； 【僰】Ｂó我国古代称居住在西南地区的某一少数民族。②名用茶叶做成的饮料：喝～｜ 品～。但不能简单～。微弯。【不见得】ｂùｊｉàｎ？【峬】ｂū［峬峭］（ｂūｑｉàｏ）〈书〉形（风姿、文笔）优美。 动作～，也叫豺狗。【臂章】 ｂìｚｈǎｎɡ名佩戴在衣袖（一般为左袖）上臂部分表示身份或职务的标志。 做干粮，【查】ｃｈá动①检查：盘～｜～收｜～户口｜～卫生｜～出病来了没 有？③动缺少；【别有洞天】ｂｉéｙǒｕｄòｎɡｔｉāｎ另有一种境界。 结蒴果。
九年级数学二次函数解析式的确定
试一试：
2、把抛物线y=ax2+bx+c向下平移1个单位， 再向左平移5个单位时的顶点坐标为（-2，0）， 且a+b+c=0，求a、b、c的值。
点拔：
设原抛物线的解析式为y=a（x+m）2+n 则平移后抛物线的解析式为y=a（x+m+5）2+n-1
根据题意得： (m 5) 2 n 1 0
的解析式。 C
讲例：
3、 已知：抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示： y
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当x取何值时，y>0？
（3）将抛物线作怎样的一次 A
平移,才能使它与坐标轴仅有 -1 o
B 5x
两个交点,并写出此时抛物线 -2.5 D
的解析式。 C
讲例：
3、 已知：抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示： y
3 2
S△OCB，
若存在，求出点D；若不存在，请说明理由。
（1）y=x+4
y
A（1，5）
a b c 5
16a 4b c 8
A
c 0
∴y=-x2+6x
o
B C x
4、如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+4相交
于A（1，m），B（4，8）两点，与x轴交于原点
及C点，（1）求直线和抛物线的解析式；（2）
回味知识点：Байду номын сангаас
二次函数解析式常见的三种表示形式： (1)一般式 (2)顶点式 (3)交点式
讲例：
1、已知：抛物线y=ax2+bx+c过直线 y 3 x 3 与 2
专题训练(二)确定二次函数的表达式常见的五种方法.docx
专题训练（二）确定二次函数的表达式常见的五种方法＞方法一利用一般式求二次函数表达式1•已知抛物线过点A（2，0），B（—l，0），与y轴交于点C，且OC=2.则这条抛物线的表达式为（）A• y = x2—x—2B• y = —X2+X+2C - y=x? —x—2 或y= —x?+x + 2D• y=—x'—x—2 或y=x? + x+22•若二次函数y = x?+bx+c的图象经过点（一4，0），（2，6），则这个二次函数的表达式为 _____________ •3•—个二次函数，当自变量x= —1时，函数值y = 2；当x=0时，y= —1；当x=l时，y=—2.那么这个二次函数的表达式为______________ .4• [2016-安庆外国语学校月考]如图2-ZT-1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax? + bx+c 经过A（-2，-4）＞ 0（0，0），B（2，0）三点.⑴求抛物线y=ax?+bx+c的表达式；（2）若M是该抛物线对称轴上的一点，求AM + OM的最小值.o V/\图2-ZT-1＞方法二利用顶点式求二次函数表达式5•已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=l时，有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y=—2x?相同，则这个二次函数的表达式是（）A• y=—2x2—x+3 B. y=—2x2+4C・y= —2x?+4x + 8 D. y=-2x2+4x+66•已知y是x的二次函数，根据表中的自变量x与函数y的部分对应值，可判断此函数表达式为（）A.y = xB. y=—x237.某广场中心有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为㊁米的喷水管喷水的最大高度为4米，此时喷水的水平距离为+米，在如图2-ZT-2所示的坐标系屮，这支喷泉喷水轨迹的函数表达式是____________ .图2-ZT-28•已知抛物线y]=ax2+bx+c的顶点坐标是（1，4），它与直线y2=x+l的一个交点的横坐标为2.（1）求抛物线的函数表达式；（2）在如图2-ZT-3所示的平面直角坐标系中画出抛物线yj=ax2+bx+c及直线y2 = x + 1，并根据图象，直接写出使得yi^y2成立的x的取值范闱.图2-ZT-3＞方法三利用交点式求二次函数表达式259•若抛物线的最高点的纵坐标是手，且过点（一1，0），（4，0），则该抛物线的表达式为（）A• y=—X2+3X+4B. y=—X2—3X+4C • y = x‘一3x—4 D. y=x? —3x+410•抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标为（一1，0），（3，0），其形状及开口方向与抛物线y=—2/相同，则抛物线的函数表达式为（）A• y=—2x‘一x + 3 B. y=—2x2+4x + 5C - y=—2X2+4X +8D. y = —2X2+4X+611・[2016揪阳实验中学期中]已知抛物线与x 轴交于A （1 ‘ 0），B （-4 ‘ 0）两点‘与y 轴交于点C ，且AB = BC ，求此抛物线对应的函数表达式.＞方法四利用平移式求二次函数表达式12 • [2017-绍兴]矩形ABCD 的两条对称轴为坐标轴，点A 的坐标为（2，1）. 一张透明 纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A 重合，此时抛物线的函数表达 式为y=x?，再次平移透明纸，使这个点与点C 重合，则该抛物线的函数表达式变为（）A - y=x 2 + 8x+ 14 B. y=x 2 —8x+14C • y=x 2+4x + 3 D. y=x 2—4x+313. [2017-盐城]如图2-ZT-4，将函数y =鬆一2）2+1的图象沿y 轴向上平移得到一 条新函数的图象，其中点A （1，m ），B （4，n ）平移后的对应点分别为点Z ，B'.若曲线段AB 扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图彖的函数表达式是（）A • y=*（x —2）2—2 B. y=|（x-2）2 + 7图 2-ZT-414 •如果将抛物线y = 2x 2+bx+c 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到了 抛物线 y=2x?—4x+3.⑴试确定b ，c 的值；⑵求出抛物线y=2x?+bx+c 的顶点坐标和对称轴.＞方法五 利用对称轴求二次函数表达式15 •如图2-ZT-5 »已知抛物线y = — x?+bx+c 的对称轴为直线x= 1，且与x 轴的一c . y=|(x —2)2—5个交点坐标为(3 ‘ 0)，那么它对应的函数表达式是__________y：X=1/f v/ 01图2-ZT-516.如果两个二次函数的图象关于y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二次函数”，如图2-ZT-6，二次函数y, = x2+2x+2与y2=x2-2x+2是“关于y轴对称二次函数”.(1)直接写出两条“关于y轴对称二次函数”图象所具有的特点.(2)二次函数y=2(x+2)?+l的“关于y轴对称二次函数”表达式为________________ ；二次函数y = a(x—hF+k的“关于y轴对称二次函数”表达式为 _____________ ;(3)平面直角坐标系屮，记“关于y轴对称二次函数”的图彖与y轴的交点为A，它们的两个顶点分别为B，C，且BC=6，顺次连接点A，B，O，C，得到一个面积为24的菱形‘教师详解详析1 •［解析］C 由题意可知点C 的坐标是（0 ' 2）或（0 ‘ 一2）.设抛物线的表达式为r4a+2b+c=0 ‘r a= — \+bx+c.由抛物线经过点(2，0)，(—1，0)，(0，2)，得v a-b+c=0， 解得＜ b=l ， .c=2，lc=2，物线的表达式是j=-?+x+2.同理，由抛物线经过点（2，0），（—1，0），（0，— 2）求得该抛物线的表达式为y=x 2-x~2.故这条抛物线的表达式为），=—d+x+2或y=F —x —2.2 •［答案］y=?+3x-4(16一4Z?+c=0， (b=3，［解析］将点(—4、0)、(2 ‘ 6)代入y=,+bx+c 、得］ 解得］l4+2b+c=6， lc=—4，・・・这个二次函数的表达式为y=/ + 3兀一4.3 • y=x~2x — 14a —2b+c=—4，4a+2b+c=0， c=0，r 1a=~2 '解这个方程组，得＜b=},、c=0，所以抛物线的表达式为 尸~y+x.(2)由 y= —|x 2+x= —|(x —1)2+| »平分线段 OB 、：・OM=BM » :.AM+OM=AM+BM.连接4B 交直线x=\于点则此时AM+OM 的值最小.过点A 作AN 丄x 轴于点N ， 在RtAABTV 中，AB=y ］AN 2+BN 2=^/42+42=4 ^2，因此 AM+OM 的最小值为 4 迈.5 • D6 •［解析］D J 函数图象过点（0，为和（2，弓），・・・函数图象的对称轴为直线x=\，故该 函数图彖的顶点坐标为（1，2）.设函数表达式为.尸吩一1F+2.把（一1，— 1）代入，得4a+2 =—1，解得d=—扌，・•・此函数表达式为y=— |（x —1）2+2.7 •［答案］J =-10（X -|）2+4I 解析］设喷泉喷水轨迹的函数表达式为y=a （x —护+4.将点（0，为代入，得| +4，解得a=-l0，故喷泉喷水轨迹的函数表达式为y= —10（x —护+4.8・解：（I ）；•抛物线与直线y 2=x+\的一个交点的横坐标为2，・••交点的纵坐标为2+1{则抛可得抛物线的对称轴为直线x=\，并冃.对称轴垂直=3即此交点的坐标为(2，3). 设抛物线的表达式为yi=tz(x—1)2+4. 把(2 » 3)代入，得3=d(2—1)'+4，解得a= — 1，抛物线的表达式为yi = —(X— l)2+4=—x24-Zr+3.(2)令yi=0，即一d+2兀+3=0，解得%i=3 »x2= —1，二抛物线与兀轴的交点坐标为(3，0)和(一1，0).在平面直角坐标系中画出抛物线与直线，如图所示：根据图象、iij知使得yi$y2成立的x的取值氾圉为一1W X W2.1 39 •［解析］A由抛物线的轴对称性可知该抛物线的对称轴为直线1 +4)=^，故该抛物线的顶点坐标为(号，乎).设该抛物线的表达式为尸心+l)(x—4).将(扌，手)代入，得晋=dg+l)(号一4)解得a= —1，故该抛物线的表达式为y=—(兀+1)(尢一4)=—,+3x+4.注意: 本题也可运用顶点式求抛物线的表达式.10•［解析］D设所求的函数表达式为X!)(x—%2)-因为抛物线y=ax2 + bx+c与兀轴的两个交点坐标为(一1，0)，(3,0)，所以y=a(x~3)(x+l).又因为其形状及开口方向与抛物线y=—2x1相同» 所以y= — 2(兀一3)(x+l)，即y=—2x2+4x+6.11•解：由4(1，0)，B(_4，0)可知AB=5，OB=4.又・：BC=AB，・・・BC=5.在RtABCO 中，寸52_42=3，・••点C的坐标为(0，3)或(0，-3).设抛物线对应的函数表达式为y=a(x— 1)(兀+4).将点(0 ' 3)代入‘得3=a(0-1)(0+4) >3将点(0，一3)代入，得一3=a(0-l)(0+4)，解得°=才3 3该抛物线对应的函数表达式为y=—^(x—l)(x+4)或)，=才(兀一l)(x+4)，即y= _討_条+3或『=条2+条_3.12 •［解析］A 根据题意可知点C的坐标为(一2，—1)，故一个点由点4平移至点C，向左平移了4个单位，向下平移了2个单位.又・・•该点在点A时，抛物线的函数表达式为丿= x2，・••该点在点C时，抛物线的函数表达式为y=（兀+4）2—2=/+8兀+14.O x13•［解析］D 如图，连接AB »B r，过点4作AC丄交BE的延长线于点C，则AC=3.由于平移前后的抛物线形状相同，根据割补的思想可知阴彫部分的面积等于平行四边形ABBA的面积，:・BB‘・AC=3BB,=9，:・BB‘ =AA f=3 ‘故平移后的抛物线的表达式14•解：（1）・・了=2?一4兀+3 = 2（”一2兀+1 — 1） + 3 = 2（.丫一1）2+1，・・・将其向上平移2个单位，再向右平移3个单位可得原抛物线，即y=2（x-4）2+3，.•・），=2,—16兀+35，.*./?= —16，c=35.（2）由y=2（x~4）2+3得顶点坐标为（4，3），对称轴为直线兀=4.15・［答案］y=-?+2x+3c b［解析「・•抛物线y=—/+加+c的对称轴为直线x=l，•逬=1，解得b=2，又・・•与x轴的一个交点坐标为（3，0），・・・0=—9 + 6+c，解得c=3，故函数表达式为）=一"+2兀+3.16•解：（1）（答案不唯一）顶点关于y轴对称，对称轴关于y轴对称.c °（2）y=2（x—2）~ + 1 y=a（x+/?）~+k（3）若点A在y轴的正半轴上，如图所示：顺次连接点A，B，O，C得到一个而积为24的菱形，由BC=6，得OA = S，则点4的坐标为（0，8），点B的坐标为（一3，4）.设一个抛物线的表达式为少=°（兀+3尸+4.4将点A的坐标代入，得9d+4=8，解得a=g.4 4二次函数少=刖兀+3F+4的“关于y轴对称二次函数”的表达式为〉=彳（兀一3）2+4.根据对称性，开口向下的抛物线也符合题意，则“关于），轴对称二次函数”的表达式还4 c 4 o可以为y= _§（兀+3）2_4，y=—^（x—3）^-4.综上所述，“关于y轴对称二次函数”的表达式为)=£(X+3)2+4，),=詁一3尸+4或y4 4 o=一姿+3) —4，＞=一尹一3)2—4.。
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2.6确定二次函数的表达式
课型 ：新授 案序10
学习目标：
1.经历确定二次函数表达式 的过程，体会求二次函数表达式的思想方法；
2.会用待定系数法确定二次函数表达式；
3、通过学生自己的探索活动，培养数学应用意识．
学习重点：用待定系数法确定二次函数表达式；
学习难点：根据条件用待定系数法确定二次函数表达式；
学习过程：
一、学前准备
1、叙述二次函数的表达式有哪几种形式？
2、叙述抛物线y ＝ax 2 y ＝ax 2+bx+c 、y=a(x-h)2+k 的对称轴与顶点坐标。
3、我们在确定一次函数)0(≠+=k b kx y 的关系式时，通常需要 个独立的条件：确定反比例函数)0(≠=k x
k y 的关系式时，通常只需要 个条件：如果要确定二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的关系式，又需要 个条件 ？(学生思考讨论后，回答)
二、探究活动
（一） 独立思考·解决问题
某建筑物采用薄壳型屋顶，屋顶的横截面形状为一段抛物线。
他的拱宽AB 为6m ，拱高CO 为0.9m.试建立适当的直角坐标系，写出这段抛物线所对应的二次函数表达式
（二）师生探究· 合作交流
例1、已知二次函数的图象经过点A （0，2）、B （1，0）、C （-2，3），求这个函数的表达式 。
(师生共同探讨用待定系数法求表达式的方法)
例2、已知抛物线的顶点为（-1，-6），且该图象经过（2，3）求这个函数的表达式 。
(说明用顶点式的必要性)
（三）练一练
1、根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
(1)已知抛物线与x轴交于点M（-3，0）（5，0）且与y轴交于点（0，-3）
(2)已知图象顶点在原点，且图象过点（2，8）
(3)已知图象顶点坐标是（-1，-2），且图象过点（1，10）
三．学习体会
1．本节课你有哪些收获？你还有哪些疑问？
2．你认为老师上课过程中还有哪些须改进的地方？
3．预习时的疑问解决了吗？
四．自我测试
1．已知抛物线与x轴交于点M（-1，0）、（2，0），且经过点（1，2）
求出二次函数的关系式．
2、已知二次函数c
+
y+
=2的图象经过（1，0）与（2，5）两点．
x
bx
求这个二次函数的解析式；
3、已知抛物线经过点（-1，-1）（0，-2）（1，1）
（1）求这个二次函数的解析式
（2）指出它的开口方向、对称轴和顶点坐标
（3）这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？。