确定二次函数的表达式(经典)
已知三点确定二次函数的表达式
解法一: 设所求二次函数关系式为：y = ax2+bx+c.
又抛物线过点（1，0），（3，0），（2，-1），
依题意得: a+b+c=0
a 1
9a+3b+c = 0 解得 b 4
4a + 2b + c=-1
c3
∴所求的函数关系式为
y x2 。4x 3
解法二 ∵点（1，0）和（3，0）是抛 物线与x轴的两个交点， ∴设二次函数关系式为：y=a(x-1)(x-3), 又抛物线过点（2，-1）， ∴ -1=a（2-1)（2-3） 解得a 1
确定二次函数的关系式
①设 设二次函数的关系式 ②代 将相关数值代入关系式得到方程或
方程组 ③解 解方程或方程组得出待定系数的值 ④写 写出该二次函数的关系式
例1：已知抛物线图象上三个点的坐标（1，0）， （3，0），（2，-1）求二次函数关系式。
例1：已知抛物线图象上三个点的坐标（1，0）， （3，0），（2，-1），求二次函数关系式。
小 结：
如何选择不同形式的二次函数的关系式？
1.一般式：y ax2 bx c(a 0)
（已知抛物线上三点或三对x、y的值，用一般式.）
2．顶点式： y a x h2 k(a 0)
（已知抛物线的顶点或对称轴或最值，用顶点式.）
3．交点式 ： y a(x x1)(x x2 )(a 0)
求c的值
∴设二次函数的关系式为y=a(x-1)2+2
∵图象经过点（3，-6）
∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的关系式为y=-2(x-1)2+2
即： y=-2x2+4x
二次函数的表达式常见的三种形式
二次函数的表达式常见的三种形式：
1、一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数，且，
当已知抛物线上任意三点坐标时，通常设其函数表达式为一般式，然后列出关于c b a ,,的三元一次方程组求解；
2、顶点式：)0,,(2≠++=a k h a k h x a y 为常数，且）（，当已知抛物线的顶点坐标和抛
物线上另一点的坐标时，通常先设函数的表达式为顶点式，然后将另一点的坐标带入，解关于a 的一元一次方程；
3、交点式（拓展）：)0,,)()((2121≠--=a x x a x x x x a y 为常数，且，其中21,x x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标.当已知抛物线与x 轴的交点及抛物线上另一点坐标时，通常先设其函数表达式为))((21x x x x a y --=，然后将另一点的坐标带入求出待定系数a .。
二次函数的定义表达式
二次函数的定义表达式
二次函数是指形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、
b和c是实数且a不等于0。
这里，a决定了抛物线的开口方向（向
上或向下）、b决定了抛物线的位置（左右移动）以及c决定了抛
物线与y轴的交点位置（上下移动）。
二次函数也可以写成标准形
式f(x) = a(x h)^2 + k，其中(h, k)是抛物线的顶点坐标。
另外，二次函数的图像是一个抛物线，可以是开口向上或开口向下的。
当
a大于0时，抛物线开口向上，当a小于0时，抛物线开口向下。
这就是二次函数的定义和表达式。
希望这个回答能够满足你的要求。
确定二次函数的表达式(经典)
01
解:以线段AB的中垂线为y轴,以过点o且与y轴垂直的直线为x轴,建立直角坐标系
02
设它的函数表达式为: y=ax² (a≠0)
解：设二次函数表达式为y=ax2+bx+c ∵ 图象过B(0,2) ∴ c=2 ∴ y=ax2+bx+2 ∵ 图象过A(2,-4),C(-1,2)两点 ∴ -4=4a+2b+2 2=a-b+2 解得 a=-1,b=-1 ∴ 函数的解析式为： y=-x2-x+2
03
谈谈你的收获
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。
01
〔议一议〕 通过上述问题的解决,您能体会到求二次函数表达式采用的一般方法是什么?
（待定系数法）
你能否总结出上述解题的一般步骤?
1.若无坐标系,首先应建立适当的直角坐标系; 2.设抛物线的表达式; 3.写出相关点的坐标; 4.列方程(或方程组); 5.解方程或方程组,求待定系数; 6.写出函数的表达式;
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求二次函数解析式几种常用方法
求二次函数的解析式的几种方法山东省沂水县高桥镇初级中学 王瑞辉二次函数解析式的求法是二次函数知识的重点，也是中考必考内容。
现在举例，说明求二次函数解析式的常用方法，希望对同学们学习有所帮助。
一、二次函数常见的三种表达式：（1）一般式：y ax bx c a =++≠20()；（2）交点式：y a x x x x =--()()12，其中点(,)()x x 1200，，为该二次函数与x 轴的交点；（3）顶点式：()2()0y a x h k a =-+≠，其中点(),h k 为该二次函数的顶点。
二、利用待定系数法求二次函数关系式(1)、已知二次函数图象上任意三个点的坐标，可设一般式求二次函数的关系式。
例1、已知抛物线2y ax bx c =++，经过点（2，1）、（-1，-8）、（0，-3）．求这个抛物线的解析式． 解：根据题意得421,8,3,a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=-⎩ 解之得1,4,3,a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以抛物线为243;y x x =-+-说明：用待定系数法求系数a b c 、、需要有三个独立条件，若给出的条件是任意三个点，可设解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，然后将三个点的坐标分别代入，组成一次方程组用加减消元法来求解．(2)、已知抛物线与x 轴的两个交点坐标和图象上另一个点坐标，可设交点式求二次函数的关系式。
若知道二次函数与x 轴有两个交点()()1200x x ，，，，则相当于方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根12x x ，，从而212()()ax bx c a x x x x ++=--，故二次函数可以表示为12()()(0)y a x x x x a =--≠．例2、已知一个二次函数的图象经过点A （－1，0），B （3，0），C （0，－3）三点．求此二次函数的解析式．解：根据题设，设此二次函数的解析式为(1)(3)y a x x =+-．又∵该二次函数又过点（0，－3）， ∴(01)(03)3a +-=-． 解得1a =．因此，所求的二次函数解析式为(1)(3)y x x =+-，即223y x x =--．说明：在把函数与x 轴的两个交点坐标代入12()()(0)y a x x x x a =--≠求值时，要注意正确处理两个括号内的符号．(3)、已知抛物线顶点和另外一个点坐标时，设顶点式y =a (x -h )2+k (a ≠0)例3、对称轴与y 轴平行的抛物线顶点是(-2，-1)，抛物线又过(1，0)，求此抛物线的函数解析式。
二次函数图像的变换及解析式的确定(必考)
2，解得a=2,∴抛物线的解析式为 = ሺ − ሻ − = − + .
>
/m
<
解法2：∵抛物线 = + + 的对称轴为x=2，且与x轴交于点(1,0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），∴抛物线的解析式为 = ሺ −
+ ሻሺ − ሻ，把(0,3)代入，得a·3×(-1)=3，解得a=-1，
∴该二次函数的表达式为 = −ሺ + ሻሺ − ሻ，
即 = − − + .
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m
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类型8 利用平移变换求抛物线解析式
（人教九上P35例3改编）将二次函数 = 22 + 4 + 1 的图象向右平移2个
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续表
变换形式
图象关系
点坐标变化
横坐标 互
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m
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关于 轴
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m
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为相反数，
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/m
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系数关系
不变
______
本质
相同
开口方向______
相 − 值______，
变号
互为____
2
反数
专题02 确定二次函数的表达式(原卷版)
第二讲确定二次函数的表达式目录必备知识点 (1)考点一顶点式求表达式 (2)考点二两点式求表达式 (3)考点三一般式求表达式 (4)知识导航必备知识点知识点1 二次函数的解析式的常见形式（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）。
（2）顶点式：y=a（x-h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）。
（3）交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）。
知识点2 二次函数与一元二次方程关系（1）对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）来说，当y＝0时，就得一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a ≠0）．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根；2、二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴的交点有三种情况（也即一元二次方ax2＋bx＋c ＝0根的情况）①抛物线y＝ax2＋bx＋c （a≠0）的图象与x轴有两个交点（x1，0）（x2，0）当Δ＞0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根x1，x2，②抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴有一个交点，恰好就是抛物线的顶点当＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根③抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴没有交点当Δ＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根。
知识点3 待定系数法求二次函数的解析式在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．考点一顶点式求表达式1．二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）A．y＝x2+2x﹣3B．y＝x2﹣2x﹣3C．y＝﹣x2+2x﹣3D．y＝﹣x2﹣2x+32．一个二次函数图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为（）A．y＝﹣2（x+2）2+4B．y＝2（x+2）2﹣4C．y＝﹣2（x﹣2）2+4D．y＝2（x﹣2）2﹣43．如图，抛物线与直线交于点A（﹣4，﹣1）和点B（﹣2，3），抛物线顶点为A，直线与y轴交于点C．（1）求抛物线和直线的解析式；（2）若y轴上存在点P使△P AB的面积为9，求点P的坐标．考点二两点式求表达式4．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点A（3，0）、C（﹣1，0）．（1）求此二次函数的解析式；（2）如图，二次函数的图象与y轴交于点B，二次函数图象的对称轴与直线AB交于点P，则P 点的坐标．5．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y 轴交于点C（0，3），D为抛物线的顶点．（1）求此二次函数的表达式；（2）求△CDB的面积．（3）在其对称轴右侧的抛物线上是否存在一点P，使△PDC是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，已知抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大，若存在，求出点D 的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．考点三一般式求表达式7．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（2，﹣3），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积是△BCD面积的4倍，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8．已知：在直角坐标系中直线y＝﹣x+4与x轴、y轴相交于点A、B，抛物线y＝﹣+bx+c经过点A 和点B．（1）求抛物线的解析式；（2）如果直线AB与抛物线的对称轴相交于点C，求OC的长；（3）P是线段OA上一点，过点P作直线AB的平行线，与y轴相交于点Q，把△OPQ沿直线PQ翻折，点O的对应点是点D，如果点D在抛物线上，求点P的坐标．9．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），点B（3，0），点C（0，3），连接AC．（1）求二次函数的表达式；（2）点P是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上位于第一象限内的一点，过点P作PQ∥AC，交直线BC于点Q，若PQ＝AC，求点P的坐标．。
二次函数的几种表达式
(3)决定开口大小: ︱a︱越大,则开口越小. ︱a︱越小,则开口越大.
(4)决定最值:a>0时,有最低点,有最小值. a<0时,有最高点,有最大值.
(5)决定增减性:a>0时,在对称轴左侧，y随x的增大而减小 在对称轴右侧，y随x的增大而增大.
b2-4ac的作用:
决定抛物线与x轴的交点： b2-4ac ＞０时,抛物线与x轴有两个交点 b2-4ac ＝０时,抛物线与x轴有一个交点 b2-4ac ＜０时,抛物线于x轴没有交点 b2-4ac ≥０时,抛物线于x轴总有交点
（1）一般式转化为顶点式 利用配方法转化（一提、二配、三整理）
y a x2 bx c
a[ x2 ( x1 x2)x x1 x2]
x x x x b
由韦达定理得：
1
2
a
c 12 a
x x x x x 代入得： y a[ 2 ( )x
]
1
2
12
a[ x2
(
b)x a
c] a
a x2 bx c
三种表达式视情况而定；
（1）不知道特殊点的坐标时，常用一般式来 表示；
（3）交点式转化为一般式
展开，利用韦达定理整理可得
x 二次函数 y a 2 bx c (a 0) 与x轴有两交点（x1，0） x 和（x2，0）则x1和 x2为方程 a 2 bx c 0 的两个根
y a(x x1)( x x2)
a( x2 x1 x x2 x x1 x2)
专题复习： 二次函数的几种表达式
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小结:
已知顶点坐标（h,k）或对称轴方程x=h 时 优先选用顶点式。
例４．已知二次函数图象经过点 (1,4),(-1,0)和 (3,0)三点，求二次函数的表达式。
解：（交点式） ∵二次函数图象经过点 (3,0),(-1,0) ∴设二次函数表达式为 ：y=a(x-3)(x+1) ∵ 函数图象过点(1,4) ∴ 4 =a (1-3)(1+1) 得 a= -1 ∴ 函数的表达式为： y= -(x+1)(x-3)
你能否总结出上述解题的一般步骤?
1.若无坐标系,首先应建立适当的直角坐标系; 2.设抛物线的表达式; 3.写出相关点的坐标; 4.列方程(或方程组); 5.解方程或方程组,求待定系数; 6.写出函数的表达式;
归纳：
在确定二次函数的表达式时 （1）若已知图像上三个非特殊点，常设一般式 ； （2）若已知二次函数顶点坐标或对称轴，常设顶 点式 较为简便； （3）若已知二次函数与x轴的两个交点，常设交 点式较为简单。
【能力挑战】
已知平面直角坐标系两点A（1，2）B（0，3）点C在X轴
上，其横坐标满足方程
(x 1)2 4 2 2
①求点C的坐标
②若一个二次函数的图像经过A，B，C三点， 求这个二次函数表达式。
1 解:①C(３,０)或C(-1,0)
②设：二次函数解析式为：y ax2 bx c(a 0)
a b c 2
当C(3,0)时 c 3
a 0 解得： b 1
9a 3b c 0
c 3
∵a≠0∴当C（3，0）时二次函数不存在
a b c 2
当C(-1,0)时 c 3
a b c 0
解得：
a 2 b 1 c 3
AB 6CB AB 3,OC 0.9 2
B(3,0.9)代入y ax2中,0.9 a 32
a 0.1因此这段抛物线对应的二次
图 26.2.6
函数表示式为y 0.1x2 (3 x 3)
谈谈你的收获
〔议一议〕
通过上述问题的解决,您能体会到求二次函数 表达式采用的一般方法是什么?（待定系数法）
二次函数 确定二次函数的表达式
复习提问：
1.二次函数表达式的一般形式是什么?
y=ax²+bx+c (a,b,c为常数,a ≠0)
2.二次函数表达式的顶点式是什么?
y=a(x-h)2+k (a ≠0)
3.若二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴两交点为 (x1,0),(x2,0)则其函数表达式可以表示成什么形 式?
如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线 （曲 线AOB） 的薄壳屋顶．它的拱宽AB为6m，拱高CO为 0.9m．
试建立适当的直角坐标系,并写出这段抛物线所对应的二 次函数表达式?
解:以线段AB的中垂线为y轴,以过点o且 与y轴垂直的直线为x轴,建立直角坐标系
设它的函数表达式为: y=ax²(a≠0)
二、重点和难点：
根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式， 既是重点又是难点。
例1.若二次函数图象过A(2,-4),B(0,2), C(-1,2)三点 求此函数的解析式。
解：设二次函数表达式为y=ax2+bx+c
∵ 图象过B(0,2) ∴ c=2 ∴ y=ax2+bx+2 ∵ 图象过A(2,-4),C(-1,2)两点 ∴ -4=4a+2b+2
2=a-b+2 解得 a=-1,b=-1 ∴ 函数的解析式为：
y=-x2-x+2
例2. 已知一个二次函数的图象经过点(4,-3)， 并且当x=3时有最大值4，试确定这个二次 函数的解析式。
解法1：（利用一般式） 设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c (a≠0) 由题意知 16a+4b+c = -3
-b/2a = 3 (4ac-b2)/4a = 4
解方程组得：
a= -7 b= 42 c= -59 ∴ 二次函数的解析式为：y= -7x2+42x-59
解法2：（利用顶点式） ∵ 当x=3时，有最大值4∴ 顶点坐标为
(3,4) 设二次函数解析式为： y=a(x-3)2+4 ∵ 函数图象过点（4，- 3） ∴ a(4 - 3)2 +4 = - 3 ∴ a= -7 ∴ 二次函数的解析式为：
y=a(x-x1)(x-x2)(a ≠0)
一、教学目标：
1.经历确定二次函数表达式的过程,体会求二次函
数表达式的思想方法,培养数学应用意识. 2.会利用待定系数法求二次函数的表达式. 3.灵活应用二次函数的三种形式:一般式，顶点式，
交点式，以便在用待定系数法求解二次函数表达 式时减少未知数的个数，简化运算过程。
∴二次函数解析式为 y 2 x 2 x 3
y= -7(x-3)2+4
例3. 二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(0,5),
B(5,0)两点，它的对称轴为直线x=3，
求这个二次函数的解析式。
解: ∵ 二次函数的对称轴为直线x=3 ∴设二次函数表达式为 y=a(x-3)2+k 图象过点A(0,5),B(5,0)两点
∴ 5=a(0-3)2+k 0=a(5-3)2+k
= -x2+2x+3 知道抛物线与x轴的两个交点的坐
标，选用交点式比较简便
其它解法：（一般式）
设二次函数解析式为y=ax2+bx+c
∵二次函数图象过点(1,4),(-1,0)和(3,0)
∴ a+b+c=4
①
a-b+c=0
②
9a+3b+c=0 ③
解得： a= -1
b=2
c=3Βιβλιοθήκη ∴ 函数的解析式为：y= -x2+2x+3
（顶点式）
解：
∵ 抛物线与x轴相交两点(-1,0)和(3,0) ， ∴ (-1+3)/2 = 1 ∴ 点(1,4)为抛物线的顶点
可设二次函数解析式为： y=a(x-1)2+4 ∵ 抛物线过点(-1, 0) ∴ 0=a(-1-1)2+4 得 a= -1 ∴ 函数的解析式为：
y= -(x-1)2+4
〔做一做〕