确定二次函数的表达式教案
2.3 确定二次函数的表达式 第2课时(教案)-北师大版数九年级下册
第2课时由三点确定二次函数的表达式1.经历确定二次函数表达式y=ax2+bx+c的过程,体会求二次函数表达式的思想方法.2.利用二次函数图象上的三个点的坐标,运用待定系数法确定二次函数表达式.1.经历确定二次函数表达式的过程,体会求二次函数表达式的方法,培养数学应用意识.2.在学习过程中体会学以致用,提高运用所学知识解决实际问题的能力.1.逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.2.引导学生探索、发现,以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯.【重点】利用二次函数图象上的三个点的坐标确定二次函数表达式.【难点】运用待定系数法,采用多种方法确定二次函数表达式.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习待定系数法和三元一次方程组的解法.导入一:思考下面的问题:已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(0,0),(1,2),(-1,-4)三点,那么你能利用上节课所学的知识求这个二次函数的表达式吗?【学生活动】分析题目中的已知条件,回忆利用待定系数法列二元一次方程组来求二次函数表达式的方法后,互相交流,得出无法解决的结论.[设计意图]通过问题的出示,让学生认识到运用原有的知识无法解决该问题,引起了学生的好奇心,激发了学生探究新知的欲望.导入二:某公园要建造一个圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面竖一根柱子,上面的B处安装一个喷头向外喷水,该喷泉喷出的最远距离,即地面点A距离点B所在的柱子的距离(OA的长度)是3m,李冰同学建立了如图所示的直角坐标系,得到该抛物线还经过(2,1),两点,你能根据李冰同学给出的数据求出此抛物线的表达式吗?师要求学生仔细观察,思考下面的问题:1.题目中给出了几个点的坐标?2.你能运用上节课的知识求该抛物线的表达式吗?3.应该把二次函数表达式设成什么形式?顶点式还是一般式?[设计意图]通过对喷泉这一情境的探究,使学生不但明确了本节课所要探究的知识,同时更加明确了与上节课知识的联系与区别,可谓一举两得.【引例】已知一个二次函数的图象经过(1,-1),(2,-4)和(0,4)三点,求这个二次函数的表达式.【学生活动】回忆上节课的做法,由学生独立解答,代表展示解题过程.解:∵抛物线经过(0,4),∴c=4.故可设二次函数的表达式为y=ax2+bx+4,把(1,-1),(2,-4)分别代入二次函数y=ax2+bx+4中,得解方程组,得∴这个二次函数的表达式为y=x2-6x+4.【想一想】知道了函数图象上的三个点的坐标,能不能直接用待定系数法设成y=ax2+bx+c进行解答.【师生活动】学生思考后,与同伴交流想法,再参与到小组的讨论中去.组长展示解答过程,师生共同订正.解:设所求的二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,将三点(1,-1),(2,-4)和(0,4)分别代入表达式,得解这个方程组,得∴这个二次函数的表达式为y=x2-6x+4.【教师点评】通过上面的探究,可知如果已知二次函数y=ax2+bx+c的图象所经过的三个点,那么就可以确定这个二次函数的表达式.[设计意图]利用上节课所学的知识进行引入,既复习了旧知,又引出了新知,继而再接触本节课所学知识的解题方法,同时也为下面的例题做好了铺垫.(教材例2)已知二次函数的图象经过(-1,10),(1,4),(2,7)三点,求这个二次函数的表达式,并写出它的对称轴和顶点坐标.〔解析〕由于(-1,10),(1,4),(2,7)三个点都不是特殊点,所以设所求的二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,然后把三个点代入,得到三元一次方程组,进而解出a,b,c的值即可.【学生活动】学生先独立解答,然后同伴相互订正.课件出示解题过程(规范学生的解答步骤).解:设所求的二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,将三点(-1,10),(1,4),(2,7)的坐标分别代入表达式,得解这个方程组,得所以所求二次函数的表达式为y=2x2-3x+5.因为y=2x2-3x+5=2+,所以二次函数图象的对称轴为直线x=,顶点坐标为.[设计意图]通过进一步探究,掌握了已知三点坐标确定二次函数表达式的方法,提高了解决问题的能力.[知识拓展]已知三点确定二次函数表达式的方法和步骤:利用待定系数法y=ax2+bx+c三元一次方程组a,b,c的值二次函数的表达式.课件出示:【议一议】一个二次函数的图象经过点A(0,1),B(1,2),C(2,1),你能确定这个二次函数的表达式吗?你有几种方法?与同伴进行交流.【师生活动】师要求学生仔细观察给出的三个点的特征,根据点的特征合理地选择解答方法.学生解答,师巡视发现学生不同的解法,并找解法不同的学生板演:解法1:∵二次函数图象与y轴的交点的纵坐标为1,∴c=1.设二次函数的表达式为y=ax2+bx+1,将点(1,2)和(2,1)分别代入y=ax2+bx+1,得解得∴二次函数的表达式为y=-x2+2x+1.解法2:由A(0,1),B(1,2),C(2,1)三个点的特征以及二次函数图象的对称性,可得点B(1,2)是函数图象的顶点坐标.∴二次函数的表达式为y=a(x-1)2+2,将点(0,1)代入y=a(x-1)2+2,得a=-1.∴二次函数的表达式为y=-(x-1)2+2,即y=-x2+2x+1.解法3:设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,将点(0,1),(1,2)和(2,1)分别代入y=ax2+bx+c,得解得∴二次函数的表达式为y=-x2+2x+1.【师生活动】通过两节课的探究,总结确定二次函数表达式的方法.【教师点评】二次函数表达式的确定方法:确定二次函数表达式待定系数法[设计意图]通过对“议一议”的探究,使学生进一步掌握了已知三个点的坐标确定二次函数表达式的步骤和方法,提高了学生一题多解的能力.1.已知三点确定二次函数表达式的方法和步骤.2.二次函数表达式的确定方法.1.一个二次函数,当x=0时,y=-5;当x=-1时,y=-4;当x=-2时,y=5.则这个二次函数的关系式是()A.y=4x2+3x-5B.y=2x2+x+5C.y=2x2-x+5D.y=2x2+x-5解析:设二次函数的关系式是y=ax2+bx+c(a≠0),∵当x=0时,y=-5,当x=-1时,y=-4,当x=-2时,y=5,∴解方程组,得∴二次函数的关系式为y=4x2+3x-5.故选A.2.过A(-1,0),B(3,0),C(1,2)三点的抛物线的顶点坐标是()A.(1,2)B.C.(-1,5)D.解析:设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,把(-1,0),(3,0),(1,2)分别代入,得解方程组,得所以该函数的解析式为y=-x2+x+,顶点坐标是(1,2).故选A.3.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,10)和(2,7),且3a+2b=0,则该抛物线的解析式为.解析:根据题意,得解方程组,得所以该抛物线的解析式为y=2x2-3x+5.故填y=2x2-3x+5.4.已知一抛物线与x轴的交点是A(-2,0),B(1,0),且经过点C(2,8).(1)求该抛物线的解析式;(2)求该抛物线的顶点坐标.解:(1)设这个抛物线的解析式为y=ax2+bx+c.由题意知抛物线经过A(-2,0),B(1,0),C(2,8)三点,可得解这个方程组,得∴所求抛物线的解析式为y=2x2+2x-4.(2)y=2x2+2x-4=2(x2+x-2)=2-,∴该抛物线的顶点坐标为.第2课时1.已知三点确定二次函数表达式的方法和步骤:利用待定系数法y=ax2+bx+c三元一次方程组a,b,c的值二次函数的表达式.2.二次函数表达式的确定方法:确定二次表达式待定系数法一、教材作业【必做题】1.教材第45页随堂练习.2.教材第45页习题2.7第1,2题.【选做题】教材第45页习题2.7第3题.二、课后作业【基础巩固】1.已知二次函数的图象经过(1,0),(2,0)和(0,2)三点,则该函数的解析式是()A.y=2x2+x+2B.y=x2+3x+2C.y=x2-2x+3D.y=x2-3x+22.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(1,-1),(2,-4),(0,4)三点,那么它的对称轴是直线()A.x=-3B.x=-1C.x=1D.x=33.已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),则该抛物线的解析式为.4.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(1,2)和(-1,-6)两点,则a+c=.【能力提升】5.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标的和为-4,积是-5,且抛物线经过点(0,-5),则此抛物线的解析式为()A.y=x2-4x-5B.y=-x2+4x-5C.y=x2+4x-5D.y=-x2-4x-56.已知二次函数的图象与x轴的两个交点A,B关于直线x=-1对称,且AB=6,顶点在函数y=2x的图象上,则这个二次函数的表达式为.7.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(0,-6),(1,0)和(-2,-6)三点.(1)求二次函数的解析式;(2)求二次函数图象的顶点坐标;(3)若点A(m-2n,-8mn-10)在此二次函数图象上,求m,n的值.8.如图所示,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(-1,-1),B(0,2),C(1,3).(1)求二次函数的解析式;(2)画出二次函数的图象.9.(1)任选以下三个条件中的一个,求二次函数y=ax2+bx+c的解析式.①y随x变化的部分数值规律如下表:x-10123y03430②有序数对(-1,0),(1,4),(3,0)满足y=ax2+bx+c;③已知函数y=ax2+bx+c的图象的一部分(如图所示).(2)直接写出(1)中二次函数y=ax2+bx+c的三个性质.【拓展探究】10.如图①所示,已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(0,3),B(3,0),C(4,3).(1)求抛物线的解析式;(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴;(3)把抛物线向上平移,使得顶点落在x 轴上,直接写出两条抛物线、对称轴和y 轴围成的图形的面积(图②中阴影部分).【答案与解析】1.D (解析:这个二次函数的解析式是y =ax 2+bx +c ,把(1,0),(2,0)和(0,2)分别代入,得解方程组,得所以该函数的解析式是y =x 2-3x +2.故选D .)2.D (解析:二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c ,把(1,-1),(2,-4),(0,4)分别代入表达式,得解方程组,得则二次函数的解析式为y =x 2-6x +4,所以它的对称轴是直线x =-=-=3.故选D .)3.y =-x 2+2x +(解析:根据题意,得解方程组,得所以该抛物线的解析式为y =-x 2+2x +.)4.-2(解析:把点(1,2)和(-1,-6)分别代入y =ax 2+bx +c (a ≠0),得①+②得2a +2c =-4,则a +c =-2.)5.C (解析:根据题意,x 1+x 2=-4,x 1x 2=-5,解得x 1=-5,x 2=1或x 1=1,x 2=-5,所以抛物线y =ax 2+bx +c 经过(-5,0),(1,0),(0,-5)三点,所以解得所以所求二次函数的表达式为y =x 2+4x -5.)6.y =x 2+x -(解析:∵对称轴为直线x =-1,且图象与x 轴交于A ,B 两点,AB =6,∴抛物线与x 轴交于(-4,0),(2,0),顶点的横坐标为-1.∵顶点在函数y =2x 的图象上,∴y =2×(-1)=-2,∴顶点坐标为(-1,-2),设二次函数的解析式为y =a (x +1)2-2,把(2,0)代入得0=9a -2,解得a =,∴y =(x +1)2-2=x 2+x -,∴这个二次函数的表达式为y =x 2+x -.故填y =x 2+x -.)7.解:(1)由已知得解得∴二次函数的解析式为y =2x 2+4x -6.(2)∵y =2x 2+4x -6=2(x +1)2-8,∴顶点坐标为(-1,-8).(3)由已知,得-8mn -10=2(m -2n )2+4(m -2n )-6,m 2+4n 2+2m -4n +2=0,(m +1)2+(2n -1)2=0,∴m =-1,n =.8.解:(1)根据题意,得解得∴所求的解析式为y=-x2+2x+2.(2)二次函数的图象如图所示.9.解:(1)若选择①:根据表格,可知抛物线的顶点坐标为(1,4),设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+4,将点(0,3)代入,得a(0-1)2+4=3,解得a=-1,所以抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4,即y=-x2+2x+3;若选择②,设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,将(-1,0),(1,4),(3,0)分别代入得解得所以抛物线的解析式为y=-x2+2x+3;若选择③,由图象得到抛物线的顶点坐标为(1,4),且过(0,3),设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+4,将(0,3)代入得a=-1,则抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3.(2)抛物线y=-x2+2x+3的性质:①对称轴为直线x=1,②当x=1时,函数有最大值,为4;③当x<1时,y随x的增大而增大.(答案不唯一) 10.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(0,3),B(3,0),C(4,3),∴解得∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3. (2)∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,∴抛物线的顶点坐标为(2,-1),对称轴为直线x=2.(3)如图所示,∵抛物线的顶点坐标为(2,-1),∴PP'=1,由题意知阴影部分的面积等于平行四边形A'APP'的面积,平行四边形A'APP'的面积为1×2=2,∴阴影部分的面积为2.本节课的重点是利用待定系数法列三元一次方程组求二次函数的表达式,所以解决问题的前提是会解三元一次方程组,所以提前要求学生对这一部分知识进行复习,就大大降低了本节课的难度,收到了非常好的效果.突破这一难点后,就让学生类比上节课的探究方法利用已知的三个点的坐标确定二次函数表达式.在解答过程中提醒学生对于表达式的选择,要具体问题具体分析,让学生自己总结出确定二次函数表达式的步骤和方法,为后面的“议一议”的一题多解做好充分的准备.没有精心设置问题的难度,使学生步步深入地探究出求二次函数表达式的方法和步骤,对于基础差的学生而言,直接解答有点吃力.课堂上注意讲课的节奏,尽量让中下游的学生跟上老师的步伐,多给学生自己练习的时间,让学生真正成为学习的主体.随堂练习(教材第45页)解:设函数表达式为y=ax2+bx+c,将(0,2),(1,0)和(-2,3)分别代入表达式,得解得所以二次函数表达式为y=-x2-x+2.习题2.7(教材第45页)1.解:设函数表达式为y=ax2+bx+c,将(1,3),(2,0)和(3,4)分别代入表达式,得解得所以二次函数表达式为y=x2-x+13.2.解法1:设函数表达式为y=ax2+bx+c,将(1,0),(3,0)和(2,3)分别代入表达式,得解得所以二次函数表达式为y=-3x2+12x-9.解法2:设函数表达式为y=a(x-1)(x-3),将(2,3)代入表达式,解得a=-3,所以二次函数表达式为y=-3(x-1)(x-3)=-3x2+12x-9.3.解:答案不唯一.如添加:C (-2,13).设函数表达式为y =ax 2+bx +c ,将(0,a ),(1,-2)和(-2,13)分别代入表达式,得解得所以二次函数表达式为y =x 2-4x +1.1.学生通过上节课的学习,已经掌握了利用待定系数法求二次函数表达式的方法,所以本节课可以利用类比的方法进行探究.2.课前做好三元一次方程组解法的复习是求三个未知系数进而确定二次函数表达式的关键.3.要学会对所给出的点的坐标特征进行分析,合理地设出表达式,能运用不同的解法求解二次函数的表达式,提高解决问题的能力.(2014·宁波中考)如图所示,已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象经过A (2,0),B (0,-1)和C (4,5)三点.(1)求二次函数的解析式;(2)设二次函数的图象与x 轴的另一个交点为D ,求点D 的坐标;(3)在同一坐标系中画出直线y =x +1,并写出当x 在什么范围内时,一次函数的值大于二次函数的值.〔解析〕(1)根据二次函数y =ax 2+bx +c 的图象经过A (2,0),B (0,-1)和C (4,5)三点,代入得出关于a ,b ,c 的三元一次方程组,求得a ,b ,c ,从而得出二次函数的解析式.(2)令y =0,解一元二次方程,求得x 的值,从而得出与x 轴的另一个交点坐标.(3)画出图象,再根据图象直接得出答案.解:(1)∵二次函数y =ax 2+bx +c 的图象经过A (2,0),B (0,-1)和C (4,5)三点,∴∴∴二次函数的解析式为y =x 2-x -1.(2)令y =0,得x 2-x -1=0,解得x 1=2,x 2=-1,∴点D的坐标为(-1,0).(3)图象如图所示.当一次函数的值大于二次函数的值时,x的取值范围是-1<x<4.[解题策略]本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及一次函数的图象、抛物线与x 轴的交点问题,是中档题,要熟练掌握.。
1.3不共线三点确定二次函数的表达式 教案
湘教版九年级下册数学教案1.3 不共线三点确定二次函数的表达式教学目标1．掌握用待定系数法确定二次函数的表达式.2．知道满足何种条件的三点确定一个二次函数.重点：用待定系数法确定二次函数的表达式.难点：知道满足何种条件的三点确定一个二次函数.教学设计一.预习导学学生通过自主预习P21-P23完成下列各题：1. 二次函数的表达式一般式：y= ax2+bx+c顶点式：y= y=a(x-h)2+k交点式： y=a（x-x1）（x-x2），其中x1，x2是抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标.2.用待定系数法确定二次函数表达式的步骤有哪些？(1)设出合适的函数表达式；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入函数表达式中，得到关于待定系数的方程（方程组）；（3）解方程（组）求出待定系数的值，从而写出函数表达式.设计意图：通过学生自主预习教材，初步理解掌握用待定系数法确定二次函数的表达式，知道满足何种条件的三点确定一个二次函数，培养学生的自学能力.二.探究展示(一)合作探究与一次函数相类似，如果已知二次函数图象上三个点的坐标（也就是函数的三组对应值），将它们代入函数表达式，列出一个关于待定系数a，b，c的三元一次方程组，求出a，b，c的值，就可以确定二次函数的表达式.1.已知一个二次函数的图象经过三点（1,3）（-1，-5），（3，-13 ）求这个二次函数的表达式.将三个点的坐标（1，3），（-1，-5），（3，-13），分别代入函数表达式，得到关于a，b，c的三元一次方程组：2.已知三个点的坐标，是否有一个二次函数，它的图象经过这三个点？（1） P （1，-5）， Q （-1，3）， R （2，-3）；（2） P （1，-5）， Q （-1，3）， M （2，-9）.解 （1）设有二次函数y=ax 2+bx+c ，它的图象经过 P ，Q ，R 三点，则得到关于a ，b ，c 的三元一次方程组：解得 a= 2 ，b= -4 ，c= -3 .因此，二次函数 y=2x 2-4x-3 的图象经过P ，Q ，R 三点.（2）设有二次函数y=ax 2+bx+c ，它的图象经过 P ，Q ，R 三点，则得到关于a ，b ，c 的三元一次方程组：解得 a= 0 ，b= -4 ，c= -1 .因此，一次函数 y=-4x-1 的图象经过P ，Q ，M 三点.这说明没有一个这样的二次函数， 它的图象能经过P ，Q ，M 三点.例2中， 两点P （1，-5）， Q （-1，3）确定了一个一次函数y=-4x-1.点R （2，-3）的坐标不适合y=-4x-1，因此点R 不在直线PQ 上，即P ，Q ，R 三点不共线.点M （ 2，-9）的坐标适合y=-4x-1，因此点M 在直线PQ 上， 即P ，Q ，M 三点共线. 例2表明：若给定不共线三点的坐标，且它们的横坐标两两不等，则可以确定一个二次函数； 而给定共线三点的坐标，不能确定二次函数.a+b+c=5a-b+c=34a+2b+c=-3a+b+c=5 a-b+c=3 4a+2b+c=-9可以证明：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象上任意三个不同的点都不在一条直线上. 还可以证明：若给定不共线三点的坐标，且它们的横坐标两两不等，则可以确定唯一的一个二次函数，它的图象经过这三点.设计意图：通过探究，进一步理解掌握用待定系数法确定二次函数的表达式，知道满足何种条件的三点确定一个二次函数.培养学生通过解决问题的能力.(二)展示提升1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过三点A（0，2）， B（1，3），C（-1，-1），求这个二次函数的表达式.2.已知二次函数的图象经过A（1，3）， B（-4，-12），C（3，-5）三点.(1)求此抛物线的解析式；(2)求出这条抛物线与x轴、y轴的交点P、Q、R的坐标.3.已知二次函数的图象与x轴的交点的横坐标分别是x1=-3，x2=1，且与y轴的交点为（0,2），求这个二次函数的表达式.设计意图：可点名展示，也可分组展示，培养学生分析问题的能力；同时增强学生团结协作的精神。
《确定二次函数的表达式》(优秀教案)
4.逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力引导学生探索、发现，以培养学生独立思考的能力、勇于创新的精神，以及良好的学习习惯。
重点
难点
1.学会用特定系数法确定二次函数的表达式。
2.灵活选用三种表达形式来确定二次函数的表达式，解决实际问题。
关键
问题
1.掌握二次函数解析式的三种不同表达形式。
2.学生能够在小组内畅所欲言，进行有序有效的交流，并在同伴交流时认真倾听，做好记录；
3.学科长组织组员围绕任务目标热烈讨论，及时进行修改，统一认识，做好展示准备
展示交流
规范评价
15---20
min
创设展示交流情境
1.每个小组上台，按问题顺序进行展示交流，解决问题；
2.要求学生规范上台讲解展示的语言，强调生生互动，激发学生质疑的热情；
《确定二次函数的表达式》课堂学习过程设计
上课
年级
九年级
学科：数学
主题
确定二次函数的表达式
指导教师
学生主持
第几
课时
1
课型
问题综合解决评价课
学习日期
学习
目标
知识技能：
1.掌握二次函数解析式的三种不同表达形式。
2.学会用特定系数法确定二次函数的表达式。
过程方法：
3.经历确定二次函数表达式的过程，体会求二次函数表达式的思想方法，培养数学应用意识。
1.学生主持呈现学习目标，学生展读学习目标；
2.学生主持呈现学生生成问题；
3.希望学生能积极进入状态，准备讨论问题。
自主学习
合作讨论
8---12
min
创设讨论
学习情境
1.教师巡回检查指导；
2024北师大版数学九年级下册2.3.2《确定二次函数的表达式》教学设计
2024北师大版数学九年级下册2.3.2《确定二次函数的表达式》教学设计一. 教材分析《确定二次函数的表达式》是北师大版数学九年级下册第2章3.2节的内容。
本节课主要让学生掌握二次函数的通用形式，了解二次函数的各个系数与函数图象的关系，为后续学习二次函数的性质打下基础。
教材通过实例引导学生从实际问题中抽象出二次函数模型，进一步探究二次函数的性质。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数的基本概念，对一次函数、二次函数有一定的了解。
但学生在确定二次函数表达式方面存在困难，难以把握二次函数的各个系数与函数图象的关系。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生从实际问题中抽象出二次函数模型，并通过观察、操作、猜想、验证等方法，让学生体会二次函数的性质。
三. 教学目标1.让学生掌握二次函数的通用形式；2.使学生了解二次函数的各个系数与函数图象的关系；3.培养学生解决实际问题的能力；4.引导学生运用数形结合的方法探究二次函数的性质。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的通用形式，二次函数的各个系数与函数图象的关系；2.难点：确定二次函数表达式，二次函数的性质。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实际问题引出二次函数模型，激发学生兴趣；2.观察法：让学生观察二次函数图象，发现其性质；3.操作法：让学生动手操作，验证二次函数的性质；4.讨论法：分组讨论，培养学生的合作能力。
六. 教学准备1.课件：制作课件，展示二次函数的图象和性质；2.练习题：准备一些有关二次函数的练习题，巩固所学知识；3.板书：准备黑板，书写关键知识点。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一个实际问题，引导学生从实际问题中抽象出二次函数模型。
例如：抛物线与x轴相交于A、B两点，且AB=2，求抛物线的解析式。
2.呈现（10分钟）教师展示二次函数的图象，让学生观察并描述二次函数的性质。
引导学生关注二次函数的顶点、开口方向、对称轴等关键点。
3.操练（10分钟）教师引导学生分组讨论，让学生动手操作，验证二次函数的性质。
2.3 确定二次函数的表达式 教案
一、情境导入一副眼镜镜片的下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y 轴对称，如图．AB ∥x 轴，AB ＝4cm ，最低点C 在x 轴上，高CH ＝1cm ，BD ＝2cm.你能确定右轮廓线DFE 所在抛物线的函数解析式吗？二、合作探究探究点：用待定系数法确定二次函数解析式 【类型一】 已知顶点坐标确定二次函数解析式已知抛物线的顶点坐标为M (1，－2)，且经过点N (2，3)，求此二次函数的解析式．解析：因为抛物线的顶点坐标为M (1，－2)，所以设此二次函数的解析式为y ＝a (x －1)2－2，把点N (2，3)代入解析式解答．解：已知抛物线的顶点坐标为M (1，－2)，设此二次函数的解析式为y ＝a (x －1)2－2，把点N (2，3)代入解析式，得a －2＝3，即a ＝5，∴此函数的解析式为y ＝5(x －1)2－2.方法总结：若题目给出了二次函数的顶点坐标，则采用顶点式求解简单． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第9题 【类型二】 已知三个点确定二次函数解析式已知：抛物线经过A (－1，8)、B (3，0)、C (0，3)三点． (1)求抛物线的表达式；(2)写出该抛物线的顶点坐标．解析：(1)设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c ，再把A 、B 、C 三点坐标代入得到关于a 、b 、c 的方程组，然后解方程组求出a 、b 、c 即可；(2)把(1)中的解析式配成顶点式即可得到抛物线的顶点坐标．解：(1)设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝8，9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝3.所以抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3；(2)y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，所以抛物线的顶点坐标为(2，－1)．方法总结：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第4题 【类型三】 已知两交点或一交点和对称轴确定二次函数解析式已知下列抛物线满足以下条件，求各个抛物线的函数表达式． (1)抛物线经过两点A (1，0)，B (0，－3)，且对称轴是直线x ＝2；(2)抛物线与x 轴交于(－2，0)，(4，0)两点，且该抛物线的顶点为(1，－92)．解析：(1)可设交点式y ＝a (x －1)(x －3)，然后把B 点坐标代入求出a 即可；(2)可设交点式y ＝a (x ＋2)(x －4)，然后把点(1，－92)代入求出a 即可．解：(1)∵对称轴是直线x ＝2，∴抛物线与x 轴另一个交点坐标为(3，0)．设抛物线解析式为y ＝a (x －1)(x －3)，把B (0，－3)代入得a (－1)×(－3)＝－3，解得a ＝－1，∴抛物线解析式为y ＝－(x －1)(x －3)＝－x 2＋4x －3；(2)设抛物线解析式为y ＝a (x ＋2)(x －4)，把(1，－92)代入得a (1＋2)×(1－4)＝－92，解得a ＝12，所以抛物线解析式为y ＝12(x ＋2)(x －4)＝12x 2－x －4.方法总结：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型四】 二次函数解析式的综合运用如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 过点A (－4，－3)，与y 轴交于点B ，对称轴是x ＝－3，请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)若和x 轴平行的直线与抛物线交于C ，D 两点，点C 在对称轴左侧，且CD ＝8，求△BCD 的面积．解析：(1)把点A (－4，－3)代入y ＝x 2＋bx ＋c 得16－4b ＋c ＝－3，根据对称轴是x ＝－3，求出b ＝6，即可得出答案；(2)根据CD ∥x 轴，得出点C 与点D 关于x ＝－3对称，根据点C 在对称轴左侧，且CD ＝8，求出点C 的横坐标和纵坐标，再根据点B 的坐标为(0，5)，求出△BCD 中CD 边上的高，即可求出△BCD 的面积．解：(1)把点A (－4，－3)代入y ＝x 2＋bx ＋c 得16－4b ＋c ＝－3，∴c －4b ＝－19.∵对称轴是x ＝－3，∴－b2＝－3，∴b ＝6，∴c ＝5，∴抛物线的解析式是y ＝x 2＋6x ＋5；(2)∵CD ∥x 轴，∴点C 与点D 关于x ＝－3对称．∵点C 在对称轴左侧，且CD ＝8，∴点C 的横坐标为－7，∴点C 的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.∵点B 的坐标为(0，5)，∴△BCD 中CD 边上的高为12－5＝7，∴△BCD 的面积＝12×8×7＝28.方法总结：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的图象和性质，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题 三、板书设计确定二次函数的表达式1．运用顶点式确定二次函数解析式 2．运用三点式确定二次函数解析式 3．运用交点式确定二次函数解析式。
确定二次函数的表达式(第2课时)教学设计 (2)
第二章二次函数《确定二次函数的表达式（第2课时）》教学设计说明一、学生知识状况分析在前几节课，学生已经分别学习了二次函数的图象与性质，确定二次函数的表达式（第1课时）．在此基础上，通过对待定系数法进一步探讨二次函数的表达式的确定方法．二、教学任务分析本节课是北师大版义务教育教科书九年级（下）第二章《二次函数》第三节的第2课时，主要是通过对用待定系数法求二次函数表达式的探究,掌握求表达式的方法.能灵活的根据条件恰当地选取选择表达式，体会二次函数表达式之间的转化.教学目标知识目标：经历确定二次函数表达式的过程，体会求二次函数表达式的思想方法，培养数学应用意识.技能目标：会用待定系数法求二次函数的表达式.情感目标：逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯.教学重点求二次函数的解析式.教学难点根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，求出函数解析式,解决实际问题.三、教法学法“问题情境—建立模型—应用与拓展”，让学生积极探索，并和同伴进行交流，勇于发表自己的观点，从交流中发现新知识.四、教学过程本节课设计了五个环节：第一环节：情境引入；第二环节：问题解决；第三环节：反馈练习；第四环节：课时小结；第五环节：作业布置．第一环节：情境引入（从现实情境和已有知识经验出发，讨论求二次函数表达式的方法）1.二次函数解析式有哪几种表达方式？一般式：y=ax 2+bx+c顶点式：y=a(x-h)2+k交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2)2.如何求二次函数的解析式？已知二次函数图象上三个点的坐标，可用待定系数法求其解析式. 第二环节：问题解决例1已知一个二次函数的图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标．分析：（1）本题可以设函数的表达式为？（2）题目中有几个待定系数？（3）需要代入几个点的坐标？（4）用一般式求二次函数的表达式的一般步骤是什么？解：设所求的二次函数的表达式为c bx ax y ++=2由已知，将三点（-1，10），（1，4），（2，7）分别代入表达式，得 ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=+-=c b a c b a c b a 247410解这个方程组，得⎪⎩⎪⎨⎧=-==532c b a∴所求函数表达式为5322+-=x x y∴831)43(253222+-=+-=x x x y ∴二次函数对称轴为直线43=x ，顶点坐标为)831,43( 例2 已知抛物线的顶点为(-1，-3),与y 轴交点为(0，-5),求抛物线的解析式.解题过程略。
初中数学_确定二次函数的表达式教学设计学情分析教材分析课后反思
2.3（1）确定二次函数的表达式教学设计一、教学目标经历用待定系数法求二次函数关系式的过程，加深对二次函数的理解，二、教学重点和难点重点：根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，用待定系数法确定二次函数表达式. 难点：根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，用待定系数法确定二次函数表达式.三、教学过程（一）复习回顾：1.二次函数表达式的一般形式是什么?2.二次函数表达式的顶点式是什么?3.若二次函数y=ax ²+bx+c(a ≠0)与x 轴两交点为(1x ,0),( 2x ,0)则其函数表达式可以表示成什么形式?4.我们在用待定系数法确定一次函数y=kx+b (k,b 为常数，k ≠0)的关系式时，通常需要 个独立的条件；确定反比例函数xk y =(k ≠0)的关系式时，通常只需要 个条件. 如果要确定二次函数的关系式y=ax ²+bx+c (a,b,c 为常数,a ≠0)，通常又需要几个条件 ?（二）初步探索1、已知二次函数2ax y =的图象经过点A （2，-3）、B （3，m ）（1）求a 与m 的值；（2）写出该图象上点B 的对称点的坐标：_________（3）当x_________时，y 随x 的增大而减小（4）当x_________时，y 有最_________值，是_________。
2.已知二次函数c ax y +=2的图象经过点（2，3）和（－1，－3），求二次函数的表达式3.已知二次函数bx ax y +=2的图象经过点(1,2)、(2,3),求二次函数的表达式.4.已知二次函数c bx x y ++=2图象经过点M (1，—2)、N(—1，6)，求二次函数的表达式.探索1：在什么情况下，一个二次函数只知道其中两点就可以确定它的表达式？小结：用一般式y=ax ²+bx+c 确定二次函数时，如果系数a,b,c 中有两个是未知的，知道图象上两个点的坐标，也可以确定二次函数的表达式.如果系数a,b,c 中三个都是未知的，这个我们将在下节课中进行研究.（三）深入探索5.如图是一名学生推铅球时，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)的图象，你能求出其 表达式吗？6.已知二次函数的图象与y 轴的交点的横纵坐标是为1，且经过点M(2,5)、N(-2,13)，（1）求这个二次函数的解析式；（2）写出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标.（3）求这个二次函数的最大值或最小值。
北师大版数学九年级下册2.3.1《确定二次函数的表达式》说课稿1
北师大版数学九年级下册2.3.1《确定二次函数的表达式》说课稿1一. 教材分析北师大版数学九年级下册2.3.1《确定二次函数的表达式》这一节主要介绍了二次函数的表达式以及如何确定二次函数的表达式。
二次函数是中学数学中的重要内容，对于学生来说，掌握二次函数的表达式以及确定方法具有重要意义。
本节课通过实例引导学生掌握待定系数法确定二次函数的表达式，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数、方程等基础知识，对函数的概念有一定的了解。
同时，学生已经掌握了二次函数的一般形式，具备了一定的数学思维能力。
但是，对于如何确定二次函数的表达式，学生可能还存在一定的困惑。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知基础，引导学生逐步掌握确定二次函数表达式的方法。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握待定系数法确定二次函数的表达式，能运用所学知识解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等数学活动，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生感受到数学在生活中的应用价值。
四. 说教学重难点1.教学重点：待定系数法确定二次函数的表达式。
2.教学难点：如何引导学生运用待定系数法确定二次函数的表达式，以及如何将实际问题转化为数学问题。
五.说教学方法与手段1.教学方法：采用启发式教学法、案例教学法、小组合作学习法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习二次函数的一般形式，引导学生思考如何确定二次函数的表达式。
2.新课讲解：讲解待定系数法确定二次函数的表达式，并通过实例进行分析。
3.课堂互动：学生分组讨论，尝试运用待定系数法确定给定二次函数的表达式。
4.总结提升：教师引导学生总结确定二次函数表达式的步骤，并强调其在实际问题中的应用。
5.课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
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初中部数学科备课格式
第周年级组别：组长：
三、课程讲授（10-12分钟）一、例题讲解
例1、已知二次函数y=ax2+c的图象经过点(2，3)
和(-1，-3)，求出这个二次函数的表达式.
例2：已知二次函数的图象的顶点坐标是(1,4)，且
经过点(-1,0)，(3,0)，求这个二次函数的表达式.
法一：
3
2
3
2
1
4
3
9
(1,4)
),
0,3()0,1
(
)0
(
2
2
+
+
-
=
∴
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
-
=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+
+
=
+
+
=
+
-
∴
-
≠
+
+
=
x
x
y
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
a
c
bx
ax
y
表达式为：
解得：
，
二次函数过点
设表达式为
Θ
法二：
3
2
)3
)(
1
(
1
)3
1
)(
1
1(
4
(1,4)
)0
3)(
-
1)(
(
)0,3()0,1
(
2+
+
-
=
-
+
-
=
∴
-
=
∴
-
+
=
∴
≠
+
=
∴
-
x
x
x
x
y
a
a
a
x
x
a
y
图象过点
设表达式为
，
二次函数过点
Θ
Θ
二、当堂检测
1、判断下列题目应设哪个表达式
(1)已知二次函数的图象的顶点坐标是(-1,1)，且经过
点(1，-3)
(2)已知二次函数的图象经过点(1，0)与(3，0)和(2,3)
讲授法，例
题讲解用待
定系数法求
解二次函数
的表达式，
并分析三种
表达式的用
法。
训练法，及
时巩固用待
(3)已知二次函数的图象经过点(0,-1),(1,1)与(2，3) 2、一抛物线和抛物线y=﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(-1,3)，则该抛物线的解析式为（）
A．y=﹣2(x-1)2+3 B．y=﹣2(x+1)2+3
C．y=﹣(2x+1)2+3 D．y=﹣(2x-1)2+3
3、已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）
A．y=﹣3(x﹣1)2+3
B．y=3(x﹣1)2+3
C．y=﹣3(x+1)2+3
D．y=3(x+1)2+3定系数法求解二次函数表达式。
四、课堂练习（5-10分钟）1、（2014•贵州）如图：某古城有一个抛物线形石拱
门，拱门地面的最大宽度AB=4米，拱门的最大高度
OC=4米．
（1）请你建立适当的直角坐标系，求出石拱门所在的
抛物线的解析式；
（2）一辆高3米，宽米的货车能否通过此门试说明理
由．
训练法，及
时巩固新知
识，并与历
年中考题接
轨。
2．（2016•厦门）已知一条抛物线经过E(0，10)，F(2，2)，G(4，2)，H(3，1)四点，选择其中两点用待定系数法求出抛物线解析式.
五、拓展提升（10-15分钟）已知A(1，0)，B(0，-1)，C(-1，2），D(2，-1)，E(0，10，
F(2，1)，G(4，2)七个点，抛物线y=a(x-1)2+k(a≠0)经过其
中的三个点．
（1）当a＜0时，求a和k的值；
（2）判定C、G两点是否能同时在抛物线y=a(x-1)2+k(a≠0)
上，若能，求出a和k的值；若不能，请说明理由；
（3）若抛物线经过七个点中的三个，直接写出所有满足这样
的条件的抛物线条数．
训练法，拓
展提升关
于二次函
数三种表
达式的综
合应用。
六、课堂小结（1-2分钟）总结法，总结已学过的二次函数三种表达式，以及相关题型的解题思。