概率论与数理统计— 独立性
P( AB) P( A)P(B),
P(
BC
)
P(
B)P(C
),
P( AC ) P( A)P(C ),
则称事件 A, B, C 两两相互独立.
三事件相互独立的概念
定义 设 A, B,C 是三个事件,如果满足等式
P( AB) P( A)P(B),
P(BC ) P(B)P(C ),
P(
AC
)
P(
A)P(C ),
P( ABC ) P( A)P(B)P(C ),
则称事件 A, B,C 相互独立 .
注意
三个事件相互独立
三个事件两两相互独立
伯恩斯坦反例
例3 一个均匀的正四面体， 其第一面染成红色， 第二面染成白色 ， 第三面染成黑色，而第四面同 时染上红、白、黑三种颜色.现以 A ， B，C 分别 记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件， 问 A，B，C是否相互独立?
由于 P( ABC ) 1 1 P( A)P(B)P(C ), 48
因此 A，B，C 不相互独立.
第一章 概率论的基本概念
射击问题
例4 设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是0.2,若 10名机枪射击手同时向一架飞机射击,问击落飞机的 概率是多少?
解 设事件 Ai 为“第 i 名射手击落飞机”,
由此可见两事件相互独立，但两事件不互斥.
若 P( A) 1 , P(B) 1
2
2
则 P( AB) 0,
P( A)P(B) 1 , 4
故 P( AB) P( A)P(B).
B A
由此可见两事件互斥但不独立.
第一章 概率论的基本概念
设事件 A 与 B 满足： PAPB 0
若事件 A 与 B 相互独立，则 AB≠Φ； 若 AB =Φ，则事件 A 与 B 不相互独立．
证明： 由于事件 A与 B 相互独立，故
PAB PAPB 0
所以，AB
第一章 概率论的基本概念
由于AB =Φ，所以
PAB P 0
但是，由题设 PAPB 0
所以， PAB PAPB
这表明，事件 A 与 B 不相互独立． 互不相容与相互独立不能同时成立。
三事件两两相互独立的概念
定义 设 A, B,C 是三个事件,如果满足等式
，两条通路同时
发生故障的概率为 (1 r n )2 . 故系统的可靠性为
Rs 1 (1 r n ) 2 r n (2 r n ) Rc (2 Rc )
Rc 1, Rs Rc.
即附加通路可使系统可靠性增加。 3）每对并联元件的可靠性为 R ' 1 (1 r) 2 r(2 r)
解 由于在四面体中红、 白、黑分别出现两面，
因此 P( A) P(B) P(C ) 1 ,
又由题意知
P(
AB)
P(BC )
2 P(
AC )
1
,
4
故有
P(
AB)
P( A)P(B)
1 4
,
P
(
BC
)
P(
AC
)
P(B)P(C ) P( A)P(C )
1, 4 1, 4
则三事件 A, B, C 两两独立.
例5 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人 击中的概率分别为 0.4, 0.5, 0.7, 飞机被一人击中 而被击落的概率为0.2 ,被两人击中而被击落的概 率为 0.6 , 若三人都击中飞机必定被击落, 求飞机 被击落的概率.
解 设 Ai 表示有 i 个人击中飞机, A, B, C 分别表示甲、乙、丙击中飞机 ,
0.41.
由 A3 ABC , 得 P( A3 ) P( ABC ) P( A)P(B)P(C) 0.4 0.5 0.7 0.14.
因而,由全概率公式得飞机被击落的概率为
P 0.2 0.36 0.6 0.41 1 0.14
0.458.
例6 一个元件(或系统)能正常工作的概率称为 元件(或系统)的可靠性.如图所示,设有 4 个独立 工作的元件1,2,3,4 按先串联再并联的方式联结 ( 称为串并联系统) ,设第 i 个元件的可靠性为 pi ( i 1,2,3,4). 试求系统的可靠性.
1
2
解
3
4
以 Ai (i 1,2,3,4) 表示事件第i 个元件正常工作,
以 A 表示系统正常工作 . 则有 A A1 A2 A3 A4 . 由事件的独立性,得系统的可靠性 : P( A) P( A1 A2 ) P( A3 A4 ) P( A1 A2 A3 A4 ) P( A1)P( A2 ) P( A3 )P( A4 ) P( A1)P( A2 )P( A3 )P( A4 ) p1 p2 p3 p4 p1 p2 p3 p4 .
第六节 独立性
一、事件的相互独立性 二、几个重要定理 三、例题讲解 四、小结
请同学们思考
两事件相互独立与两事件互斥的关系.
两事件相互独立 P( AB) P( A)P(B) 二者之间没
两事件互斥
AB
有必然联系
例如
B AB
A
若 P( A) 1 , P(B) 1 ,
2
2
则 P( AB) P( A)P(B).
事件 B 为“击落飞机”,
i 1,2, ,10.
则 B A1 A2 A10,
P(B) P( A1 A2 A10 ) 1 P( A1 A2 A10 ) 1 P( A1 A2 A10 ) 1 P( A1 )P( A2 ) P( A10 ) 1 (0.8)10 0.893.
则 P( A) 0.4, P(B) 0.5, P(C) 0.7,
由于 A1 ABC ABC ABC,
故得 P( A1) P( A)P(B)P(C) P( A)P(B)P(C) P( A)P(B)P(C)
0.4 0.5 0.3 0.6 0.5 0.3 0.6 0.5 0.7 0.36. 因为 A2 ABC ABC ABC, 得 P( A2 ) P( ABC ABC ABC) P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C)
第一章 概率论的基本概念
例7 如果构成系统的每个元件的可靠性均为r， 0<r<1.且各元件能否正常工作是相互独立的，试求 下列系统的可靠性：
n
Hale Waihona Puke 1）2）3）
第一章 概率论的基本概念
解：1）每条通路要能正常工作，当且仅当该通路上的各
元件都正常工作，故可靠性为 Rc
2）通路发生故障的概率为 1
r
r
n
n
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概率论与数理统计(随机变量的相互独立性)
即X与Y独立．
3.4 随机变量的相互独立性
反之，若X与Y独立，由于f(x,y)，fX(x)，fY(y)都是 连续函数，故对所有的x,y，有
f ( x, y) fX ( x) fY ( y)
特别，令 x 1, y 2，可以得到
1
1
2 1 2 1 2 2 1 2
从而 0.
☺课堂练习
已知 ( X ,Y ) 的分布律为
( X ,Y ) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3)
111 1
pij
6
9 18
3
(1) 求 与 应满足的条件; (2) 若 X 与 Y 相互独立,求 与 的值.
解：将 ( X ,Y ) 的分布律改写为
(2) P{ X1 X2 1} D f ( x1, x2 )dx1d x2
x2
1
x1 x2 1 D
O
1
1 0
1 x2 0
1 9
e ( x1 x2 )/ 3
d
x1
d
x2
1 9
1 ex2 / 3 (
0
1 0
x2
e
x1
/
3
d
x1
)dx2
x1
9
18
3.4 随机变量的相互独立性
【例3.17】已知随机变量X与Y相互独立且都服从参 数为1/2的0-1分布，定义随机变量
1 当X Y为偶数 Z 0 当X Y为奇数
求Z的分布律，(X，Z)的分布律， 并问X与Z是否独立？
解：由X与Y的分布律
X
0
概率与统计中的事件独立性
概率与统计中的事件独立性概率与统计是数学领域中重要的分支之一，它研究的是事物发生的可能性以及事物之间的关联程度。
在概率与统计中，事件独立性是一个重要的概念。
本文将介绍事件独立性的定义、性质以及相关的应用。
一、定义事件独立性是指在一系列随机试验中，某一事件的发生与其他事件的发生无关。
具体地说，对于两个事件A和B，如果事件A发生与否不会对事件B的发生产生任何影响，或者说事件B的发生与否不会对事件A的发生产生任何影响，那么我们称事件A和事件B是相互独立的。
二、性质1. 互逆性：如果事件A和事件B相互独立，那么事件A的补事件和事件B也相互独立。
2. 自反性：任意事件与自身都是相互独立的。
3. 偶然性：事件A和事件B相互独立，并不意味着它们是不可能发生的，它们仍然可以同时发生或者同时不发生。
4. 独立性传递性：如果事件A和事件B相互独立，事件B和事件C 相互独立，那么事件A和事件C也相互独立。
三、应用事件独立性在概率与统计中有广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：1. 抛硬币：在抛硬币的过程中，每一次的抛硬币都是一个独立事件。
无论前一次抛硬币结果是正面还是反面，对于下一次抛硬币的结果都没有影响，每次抛硬币的概率仍然是50%。
2. 掷骰子：与抛硬币类似，每一次掷骰子的结果都是独立事件。
无论前一次掷骰子的点数是多少，对于下一次掷骰子的结果都没有影响。
3. 抽样调查：在进行抽样调查的时候，每一次的抽样都是独立事件。
例如，在进行市场调研时，每一次的问卷发放都是独立的，一个人接收到问卷并填写与其他人接收到问卷并填写之间没有关联性。
4. 生活中的决策：在日常生活中，我们经常需要根据过去的经验和信息做出决策。
如果我们认为某个事件的发生与其他事件是独立的，我们可以根据概率和统计的知识来进行决策。
总结起来，概率与统计中的事件独立性是一个重要的概念。
它可以帮助我们理解和分析随机事件之间的关系，并且在实际应用中有着广泛的用途。
4概率论-独立性
等式总数为：C
2 n
C
3 n
C
n n
(1 1)n
C
1 n
C
0 n
2n
n1.
n个独立事件和的概率公式:
设事件 A1 , A2 ,…, An 相互独立,则
P(A1∪… ∪An) 1 P( A1 A2 … An ) 1 P( A1 A2 … An ) 1 P( A1 )P( A2 )… P( An )
《概率论与数理统计》 第四课：独立性
4 独立性
引例 将一颗均匀骰子连掷两次， 设 A ={第二次掷出6点}， B ={第一次掷出6点}， 显然 P(A|B)= P(A)，
这表明, 事件B发生, 并不影响事件A 发生的概率.
在条件 P(B)>0下， P(A|B)= P(A) P(AB)=P(A)P(B).
A也1 ,相A2互,…独,立An
n个相互独立事件至少有一个发生的概率
=== 1 - 各自对立事件概率的乘积
若n个相互独立事件 A1 , A2 ,…, An 发生的概率分别为 p1 ,, pn , 则“ A1 , A2 ,…, An 至少有一个发生”的概率为
P(A1∪…∪An) = 1 -(1- p1 ) … (1- pn )
P(B)= 26/52 = 1/2 ,
显见, P(AB)=P(A)P(B)， 所以事件A、B独立.
也可以通过计算条件概率去做: 由于 P(A) = 1/13, P(A|B)= 2/26 = 1/13,
显见 P(A)= P(A|B), 所以事件A、B 独立.
实际应用中往往根据问题的实际意义判断两事件是否独立
由此可见两事件互斥但不独立.
两个事件独立的定义可以推广到三个事件
概率论与数理统计第6节 随机事件的独立性和伯努利概型
P(C) P(A B) P(A) P(B) P(AB) P(A) P(B) P(A)P(B) 0.6 0.7 0.6 0.7 0.88;
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练习答案
3.解 (2)设每人射击 n次，Ai表示“甲第 i次击中目标”， Bi表示“乙第 i次击中目标”， i 1,2,.n,
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客人们不知布丰先生要干什么，只好客随主意， 一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了，把 它捡起来又扔。而布丰先生本人则不停地在一旁 数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。 最后，布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记 录了诸位刚才的投针结果，共投针2212次，其 中与平行线相交的有704次。总数2212与相交数 704的比值为3.142。”说到这里，布丰先生故 意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意 提高声调说：“先生们，这就是圆周率π的近似 值！”
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d
d/2
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一、两个事件的独立性
定义1 设A, B是两个事件，且 P(B) 0,若 P(A B) P(A),
则称事件A与B相互独立。
根据条件概率公式，有：P(A B)=
P( AB) P(B)
如果A与B相互独立，有 P(A B) P(A),
结论若A1, A2 ,, An相互独立，则将这 n个事件中若干个 Ai换作对立事件，则所得 的n个事件仍然是独立事件 。
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二、多个事件的独立性
例2 三人独立地破译一份密码，已知各人能 译出的概率分别为1 ，1 ，1 ，求这密码能被破译的概率。
534
解1 设Ai 第i个人译出密码 ，i 1,2,3, B 密码能被破译 ，显然B A1 A2 A3, 于是有
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练习答案
3.解 (2)设每人射击 n次，Ai表示“甲第 i次击中目标”， Bi表示“乙第 i次击中目标”， i 1,2,.n,
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客人们不知布丰先生要干什么，只好客随主意， 一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了，把 它捡起来又扔。而布丰先生本人则不停地在一旁 数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。 最后，布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记 录了诸位刚才的投针结果，共投针2212次，其 中与平行线相交的有704次。总数2212与相交数 704的比值为3.142。”说到这里，布丰先生故 意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意 提高声调说：“先生们，这就是圆周率π的近似 值！”
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d
d/2
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一、两个事件的独立性
定义1 设A, B是两个事件，且 P(B) 0,若 P(A B) P(A),
则称事件A与B相互独立。
根据条件概率公式，有：P(A B)=
P( AB) P(B)
如果A与B相互独立，有 P(A B) P(A),
结论若A1, A2 ,, An相互独立，则将这 n个事件中若干个 Ai换作对立事件，则所得 的n个事件仍然是独立事件 。
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二、多个事件的独立性
例2 三人独立地破译一份密码，已知各人能 译出的概率分别为1 ，1 ，1 ，求这密码能被破译的概率。
534
解1 设Ai 第i个人译出密码 ，i 1,2,3, B 密码能被破译 ，显然B A1 A2 A3, 于是有
1.5独立性及伯努利概型 《概率论与数理统计》课件
则称 A1,A2,An 相互独立.
n 个事件相互独立，则必须满足 2n n1个等式.
显然 n 个事件相互独立，则它们中的任意
m （2 mn）个事件也相互独立.
2.事件独立性的性质
定理1.5.1 四对事件{A、B}，{ A , B }，{A，B }、
{ A 、B }中有一对相互独立，则其它三对也相互独立.
证明 不失一般性.设事件 A 与 B 独立，仅证 A 与 B
相互独立，其余情况类似证明 因为 P ( A B ) P ( B A ) P ( B A ) P B ( B ) P ( A )B
又 A 与 B 独立，所以 P (A)B P (A )P (B )
从而 P ( A B ) P ( B ) P ( A ) P ( B ) P ( B ) 1 P ( ( A ) P ) ( A ) P ( B ) 所以， A 与 B 相互独立.
AB=｛（男、女），（女、男）｝
于是
P(A)= 1 , P(B)= 3 , P(AB)= 1
2
4
2
由此可知 P(AB) P(A) P(B).
所以 A与B 不独立.
2）有三个小孩的家庭，样本空间Ω=｛（男、
男、男），（男、男、女），（男、女、男），
（女、男、男）（男、女、女），（女、女、男），
（女、男、女），（女、女、女）｝
= 1 P(A1A2An) = 1 P(A 1)P(A 2)P(A n)
这个公式比起非独立的场合，要简便的多，它 在实际问题中经常用到.
例1.5.6 假若每个人血清中含有肝炎病的概率为 0.4%，混合100个人的血清，求此血清中含有肝炎病 毒的概率？
解: 设 A i={第 i 个人血清中含有肝炎病毒}
n 个事件相互独立，则必须满足 2n n1个等式.
显然 n 个事件相互独立，则它们中的任意
m （2 mn）个事件也相互独立.
2.事件独立性的性质
定理1.5.1 四对事件{A、B}，{ A , B }，{A，B }、
{ A 、B }中有一对相互独立，则其它三对也相互独立.
证明 不失一般性.设事件 A 与 B 独立，仅证 A 与 B
相互独立，其余情况类似证明 因为 P ( A B ) P ( B A ) P ( B A ) P B ( B ) P ( A )B
又 A 与 B 独立，所以 P (A)B P (A )P (B )
从而 P ( A B ) P ( B ) P ( A ) P ( B ) P ( B ) 1 P ( ( A ) P ) ( A ) P ( B ) 所以， A 与 B 相互独立.
AB=｛（男、女），（女、男）｝
于是
P(A)= 1 , P(B)= 3 , P(AB)= 1
2
4
2
由此可知 P(AB) P(A) P(B).
所以 A与B 不独立.
2）有三个小孩的家庭，样本空间Ω=｛（男、
男、男），（男、男、女），（男、女、男），
（女、男、男）（男、女、女），（女、女、男），
（女、男、女），（女、女、女）｝
= 1 P(A1A2An) = 1 P(A 1)P(A 2)P(A n)
这个公式比起非独立的场合，要简便的多，它 在实际问题中经常用到.
例1.5.6 假若每个人血清中含有肝炎病的概率为 0.4%，混合100个人的血清，求此血清中含有肝炎病 毒的概率？
解: 设 A i={第 i 个人血清中含有肝炎病毒}
概率论与数理统计--- 随机变量的独立性
x y x y
F(x, y) = F (x)⋅ F ( y) = ∫−∞ fX(u)du⋅ ∫−∞ fY(v)dv = ∫−∞∫−∞ fX (u) fY (v) dudv X Y
对 F(x,y)求二阶 偏导即得联合密度 ( , ) f (x, y) = fX (x)⋅ fY ( y) (对 意 数 , y) 任 实 x ： “⇐”若 f (x, y) = fX(x)⋅ fY ( y) (对 意 数 , y), 则 任 实 x
0 0 0.2 x −5 y
dy =0.3697
甲乙两人约定中午12时 分在某地会面 分在某地会面. 例4 甲乙两人约定中午 时30分在某地会面 如果甲来到的时间在12:15到12:45之间是均匀 如果甲来到的时间在 到 之间是均匀 分布. 乙独立地到达,而且到达时间在 而且到达时间在12:00到 分布 乙独立地到达 而且到达时间在 到 13:00之间是均匀分布 试求先到的人等待另一 之间是均匀分布. 之间是均匀分布 人到达的时间不超过5分钟的概率 分钟的概率. 人到达的时间不超过 分钟的概率 又甲先到的 概率是多少？ 概率是多少？ 为甲到达时刻,Y为乙到达时刻 解: 设X为甲到达时刻 为乙到达时刻 为甲到达时刻 时为起点,以分为单位 依题意, 以12时为起点 以分为单位 依题意 时为起点 以分为单位,依题意 X~U(15,45), Y~U(0,60)
例: 设 ( X , Y ) 的联合密度函数
4 xy 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 f ( x, y ) = . 其它 0
Байду номын сангаас
(1)求分别关于 X 与 Y 的边缘密度函数; (2)X 与 Y 是否独立?说明理由.
解 (1)
f X ( x) =
F(x, y) = F (x)⋅ F ( y) = ∫−∞ fX(u)du⋅ ∫−∞ fY(v)dv = ∫−∞∫−∞ fX (u) fY (v) dudv X Y
对 F(x,y)求二阶 偏导即得联合密度 ( , ) f (x, y) = fX (x)⋅ fY ( y) (对 意 数 , y) 任 实 x ： “⇐”若 f (x, y) = fX(x)⋅ fY ( y) (对 意 数 , y), 则 任 实 x
0 0 0.2 x −5 y
dy =0.3697
甲乙两人约定中午12时 分在某地会面 分在某地会面. 例4 甲乙两人约定中午 时30分在某地会面 如果甲来到的时间在12:15到12:45之间是均匀 如果甲来到的时间在 到 之间是均匀 分布. 乙独立地到达,而且到达时间在 而且到达时间在12:00到 分布 乙独立地到达 而且到达时间在 到 13:00之间是均匀分布 试求先到的人等待另一 之间是均匀分布. 之间是均匀分布 人到达的时间不超过5分钟的概率 分钟的概率. 人到达的时间不超过 分钟的概率 又甲先到的 概率是多少？ 概率是多少？ 为甲到达时刻,Y为乙到达时刻 解: 设X为甲到达时刻 为乙到达时刻 为甲到达时刻 时为起点,以分为单位 依题意, 以12时为起点 以分为单位 依题意 时为起点 以分为单位,依题意 X~U(15,45), Y~U(0,60)
例: 设 ( X , Y ) 的联合密度函数
4 xy 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 f ( x, y ) = . 其它 0
Байду номын сангаас
(1)求分别关于 X 与 Y 的边缘密度函数; (2)X 与 Y 是否独立?说明理由.
解 (1)
f X ( x) =
概率论与数理统计-第3章-第4讲-随机变量的独立性
1, (x, y) G
f (x, y) 0,
其它.
1
2x
02 随机变量的独立性
例题 设二维离散型随机变量 X， Y 的联合分布律为
应用
Y X
1
1
1 6
2
3
1
1
9
18
2
1 3
试确定常数 ， 使得随机变量 X 与Y 相互独立．
02
随机变量的独立性 由表，可得随机变量 X 与Y 的边缘分布律为
P{XY Y 0} P{( X 1)Y 0}
P{X 1 0,Y 0} P{X 1 0,Y 0}
P(X ) P(X ) 1
2
P{X 1}P{Y 0} P{X 1}P{Y 0} 1111 1
22 22 2
第4讲 随机变量的独立性
本节我们学习了二维随机变量的独立性, 后续会推广到更多维. 随机变量的独立性在概率论和数理统计中会发挥重要的作用.
用分布函数表示, 即 设 X,Y 是两个随机变量, 若对任意的x, y, 有 F ( x, y) FX (x)FY ( y)
则称 X, Y 相互独立 .
它表明, 两个随机变量相互独立时, 联合分布函数等于两个 边缘分布函数的乘积 .
01 两个随机变量独立的定义
离散型
X与Y 独立
对一切 i , j 有
01 两个随机变量独立的定义 两个随机变量独立的定义
设 X,Y是两个随机变量, 若对任意的x,y ,有 P ( X x,Y y) P( X x)P(Y y)
则称X,Y相互独立 .
如何判断
两事件A, B独立的定义是： 若 P(AB)=P(A)P(B)则称事件A, B独立 .
01 两个随机变量独立的定义
概率论与数理统计 随机变量的独立性
g ( xi , y j ) f ( x, y)dxdy
概率论与数理统计
例9
求E(X),E(Y),E(XY).
E ( XY ) xi y j pij
j 1 i 1
解 X,Y的边缘分布为
1 3 (1 0) 0 (3 0) 3 (1 1) 3 (3 1) 0 1 E ( X ) xi pi 18 3 8 , 4 4 2 i 1 3 1 9 (1 2) (3 2) 0 3 (1 3) 0 (3 3) . 1 8 0 1 2 3 3 1 3 , 8 4 E (Y ) y j p j 8 8 8 8 2 j 1
E X i E( X i )
n i 1 n i 1
概率论与数理统计
例10
解
设随机变量Xi为
则X=X1+ X2+ …+ X10 故 E(X)=E(X1)+ E(X2)+ …+ E(X10) 而E(Xi)=1-(9/10)20 i=1,2,…,10
9 20 E( X ) E ( X i ) E ( X i ) 10 ] 8.784 [1 10 i 1 i 1
概率论与数理统计
若(X,Y)是二维离散型随机变量，Z=g(X,Y), 且E(Z)存在，则
E (Z ) E[ g ( X , Y )] g ( xi , y j ) pij
j 1 i 1
若(X,Y)是二维连续型随机变量，Z=g(X,Y), 且E(Z)存在，则
E (Z ) E[ g ( X , Y )]
概率论与数理统计
概率论和数理统计(第三学期)第2章条件概率与独立性
PA1PA2 A1PA3 A1A2
(1 p) p p p p 1 p p p p p 1 p p p p p
2
2
2
1 5 3 pp3
2
§2.2 全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式
定理 设B1，B2，…，Bn 是一组两两互斥的事件，且
n
(1) Bi i 1
(3)P( A3 B) 1 P( A3 B)
1
0.2 0.2
0.93
0.5 0.6 0.3 0.9 0.2 0.2
解法二：
(3)P( A1 A2 B) P( A1 B) P( A2 B) 0.49 0.44 0.93
a a 1 b
a
a b a b 1 a b a b 1
a ab
例2 一商店出售的某型号的晶体管是甲、乙、
丙三家工厂生产的，其中乙厂产品占总数的５０％， 另两家工厂的产品各占２５％。已知甲、乙、丙各 厂产品合格率分别为0.9、0.8、0.7，试求随意取出 一只晶体管是合格品的概率（也就是本商店出售货 的合格率）。
pk
1 4
(
pk
pk 1 )
pn p1 ( p2 p1 ) ( p3 p2 ) ( pn pn1 )
1 1 n1
p1
4 1 1
( p2 p1 )
4
即
pn
3 5
(1)n 10
1 4n 1
贝叶斯公式
定理 设B1，B2，…，Bn是一组两两互斥的事件，且
n
(1) Bi i 1
而p1
m 1 m
pn
1 2
1
m2 m
n
当n
时，pn
1 2
例4 连续做某项试验，每次试验只有成功和失败
概率论与数理统计 3.5 随机变量的独立性
dt
=
同理Байду номын сангаас
x R
fY ( y ) =
10
( y 2 )2 exp , 2 2 2 2 2 1
y R
若 = 0, 则对于任意实数x 与y 都有 f ( x, y) = f X( x ) fY( y ) 因此 X 与 Y 是相互独立的 . 反之, 若 X 与Y 相互独立, 则对于任意实数x 与y 都有 f ( x, y) = f X( x ) fY( y ) 若取 x = 1 , y = 2 , 则有
令
9
y 2 x 1 t= 2 1 1 2 1
则
dt =
1
2 1
1
2
dy ,
所以
2 t2 2
f X ( x) =
( x 1 ) 1 exp e 2 2 1 2 1 2
2 ( x ) 1 1 exp , 2 2 1 2 1
( x 1 )2 1 exp 2 2 2 2(1 ) 1 1 ( y 2 )2 + 2 2
( x 1 )( y 2 )
1 2
7
因为
( x 1 )2 ( x 1 )( y 2 ) ( y 2 )2 1 2 + 2 2 2 1 2 2(1 ) 1 2 ( x 1 )2 ( y 2 )2 1 = + 2 2 2 2(1 ) 1 2 2 ( x 1 )( y 2 )
y 1 2 e fY ( y ) = 2 0
, ,
y0 y0