L-凸空间中的GLSKKM定理及其对不动点的应用
krein milman定理
krein milman定理Krein-Milman定理是泛函分析中的一个重要定理，描述了凸紧凸包的结构。
该定理是由俄罗斯数学家Mark Krein和以色列数学家Hillel Milman于1940年发表的，对于理解凸集和凸包在泛函分析和凸优化中的应用具有重要意义。
本文将介绍Krein-Milman定理的基本概念和证明，以及一些相关的应用和扩展。
首先，我们来定义几个基本概念。
在集合论中，一个集合被称为凸集，如果对于任意两个集合中的点，连接这两个点的线段上的点也属于该集合。
一个凸集的凸包是指包含该集合中所有点的最小凸集。
在数学中，我们通常使用向量空间来描述凸集和凸包。
凸集的一个重要性质是，任意多个凸集的交集仍然是凸集。
这使得我们可以将一个凸集表示为一系列几何图形的交集，从而简化了凸集的描述。
例如，一个多面体可以表示为若干个凸多面体的交集，而凸多面体可以表示为若干个凸多面体的交集。
Krein-Milman定理描述了凸紧凸包的结构。
一个凸紧凸包是一个既是凸包又是紧集的集合。
Krein-Milman定理的基本思想是，任意一个凸紧凸包都可以用该凸紧凸包中的极点（extreme points）的凸组合表示。
这里的极点是指一个点无法通过任意两个不同的集合中的点的凸组合来表示的点。
为了更好地理解Krein-Milman定理，我们可以考虑一个简单的例子。
假设我们要找到一个凸紧凸包，该凸紧凸包包含平面上所有边长为1的正方形。
首先，我们发现所有可以通过将这些正方形连接起来形成的曲线上的点都属于该凸紧凸包，但这不足以描述该凸紧凸包。
然后，我们考虑正方形的四个顶点，它们是该凸紧凸包中的极点。
通过将这四个极点的凸组合，我们可以表示任意一个正方形，从而描述整个凸紧凸包。
Krein-Milman定理的证明需要使用一些深入的数学分析工具，包括测度论和泛函分析的概念。
在证明过程中，我们需要先证明一个引理，即任意一个凸紧凸包中的极点都可以通过该凸紧凸包中的点的凸组合来表示。
krein milman定理
krein milman定理Krein-Milman定理是数学中的一项重要定理，它描述了凸集的闭包与它的极大线性子空间的交集之间的关系。
这个定理最早由俄罗斯数学家格塔尔·科雷茨基和色尔盖·米尔曼在20世纪40年代提出，并在凸集理论和泛凸分析领域有广泛的应用。
本文将对Krein-Milman 定理进行详细介绍，并探讨它在数学和应用领域中的重要性。
首先，我们来定义一下什么是凸集。
一个集合被称为凸集，如果对于集合中的任意两个点，通过这两个点的线段上的所有点也在该集合中。
换句话说，凸集中的任意两个点之间的线段都完全包含在这个集合中。
凸集的闭包即为包含原始凸集以及所有极限点的集合。
Krein-Milman定理的表述如下：对于一个Hausdorff局部凸拓扑矢量空间V，任意一个凸紧函闭集C的闭包与它的极大线性子空间的交集非空。
这个定理的证明依赖于其他重要定理和定义，包括Hahn-Banach定理和超平面定理。
首先我们来介绍一下Hahn-Banach定理。
Hahn-Banach定理是泛凸分析中的一个基本定理，它陈述了对于给定的实线性赋范空间中的子空间和线性泛函，可以通过适当的约束条件，将这个线性泛函扩展为整个空间上的线性泛函。
这个定理为我们提供了在有限维线性空间上的线性函数在无限维线性空间上的推广。
超平面定理是Hahn-Banach定理的一个重要推论。
它说明了一个真紧集与外部点之间一定存在一个超平面。
一个超平面是一个线性子空间的补集，即由线性不等式定义的点的集合。
超平面定理说明了一个紧凸集在一个点的外部切实存在线性分割法。
利用Hahn-Banach定理和超平面定理，我们可以证明Krein-Milman定理。
首先，我们假设C是V中一个非空的凸紧函闭集。
考虑C在一个外部点x上的切实存在超平面P。
P将V分成了两个不交的部分：一个包含C的部分和另一个包含x的部分。
然后我们可以使用Hahn-Banach定理将超平面P扩展为一个线性泛函f，并满足f在C上为一个上界。
L-凸空间中的选择定理和不动点定理
L-凸空间中的选择定理和不动点定理
唐净熔
【期刊名称】《重庆交通大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2004(023)005
【摘要】笔者在文中得到了L-凸空间中的一个选择定理,推广了Ding[2]的结果.修改了Lin[1,3]中的错误,同时得出L-凸空间中的不动点定理和叠合点定理.
【总页数】3页(P128-130)
【作者】唐净熔
【作者单位】重庆师范大学,初等教育学院,重庆,400700
【正文语种】中文
【中图分类】O177.92
【相关文献】
1.L-凸空间中的GLSKKM定理及其对不动点的应用 [J], 李和睿;刘高文;文开庭
2.L-凸空间中的Browder不动点定理及其对抽象经济的应用 [J], 李和睿;夏仁强;文开庭
3.T-凸空间中的连续选择定理与不动点定理 [J], 陈治友
4.L-凸空间内的连续选择定理和不动点定理及应用 [J], 丁协平
5.L-凸空间中一个新的连续选择及其不动点定理以及对抽象经济的应用（英文）[J], 文开庭
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凸集,博弈论,不动点定理
凸集,博弈论,不动点定理1.引言1.1 概述概述：本文将探讨凸集、博弈论和不动点定理这三个重要的数学概念，并分析它们的定义、性质以及在实际应用中的作用。
通过研究这些概念，我们可以深入理解和应用它们在不同领域中的关联和相互关系。
凸集是一个几何概念，指的是在欧几里德空间中的一个集合，其中任意两点的连线上的所有点也都属于该集合。
凸集具有许多重要的性质，如可加性、局部性以及凸组合等，这些性质使得凸集在优化问题、经济学、几何学等领域中有广泛的应用。
博弈论是研究决策制定者之间相互关系与冲突的一门学科。
它涉及多个参与者之间的互动和决策，并通过分析不同的策略和结果来研究可能的决策结果。
博弈论的应用范围广泛，包括经济学、管理学、社会科学等领域，通过博弈论可以帮助我们预测和解决各种竞争和合作策略决策问题。
不动点定理是数学中的一个重要概念，指的是在某个映射函数下存在一个点，经过迭代作用后保持不变。
不动点定理在函数分析、拓扑学等领域中有广泛的应用，它可以用来证明存在性和收敛性等问题。
通过对凸集、博弈论和不动点定理的研究，我们可以进一步理解数学在实际问题中的应用和价值。
本文将详细介绍这些概念的定义、性质以及在实际问题中的应用，希望读者在阅读本文后能够对凸集、博弈论和不动点定理有更深入的理解，并进一步探索这些概念在其他领域中的应用和发展。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下几点：1.2 文章结构本文将按照以下结构进行论述：第一部分为引言部分，介绍本篇文章的背景和主题。
该部分分为概述、文章结构和目的三个小节，分别对文章的整体情况、组成结构以及研究目的进行说明。
第二部分为凸集的内容，该部分分为定义和性质以及凸集的应用两个小节。
在定义和性质部分，我们会给出凸集的基本概念和相关性质的阐述，介绍凸集的形式以及其重要性。
接着，在凸集的应用部分，我们会介绍凸集在优化问题、经济学和几何学等领域的具体应用。
第三部分为博弈论的内容，该部分分为博弈论的基本概念和博弈论的应用两个小节。
抽象凸空间的一致性定理及其应用
抽象凸空间的一致性定理及其应用张红玲;陈滋利【摘要】类似于在线性凸可空间的情形,本文在没有任何线性结构的抽象凸空间定义了KKM映射,并建立了KKM映射的新的一致性定理及KKM型定理.作为应用,在抽象凸空间建立了向量平衡问题解的存在性定理.此文推广了一些已知的结果.【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2009(026)004【总页数】5页(P716-720)【关键词】KKM映射;一致性定理;向量平衡问题;抽象凸空间【作者】张红玲;陈滋利【作者单位】西南交通大学信息科学与技术学院,成都,610031;西南交通大学信息科学与技术学院,成都,610031【正文语种】中文【中图分类】O177.911 引言及预备知识最近，Amini et al.[1]引入抽象凸空间的概念，并且证明了S-KKM映射的不动点定理。
本文将在抽象凸空间中进一步证明关于KKM映射的新的一致性定理及KKM型定理，并应用KKM型定理得到向量平衡问题解的存在性定理。
对拓扑空间X的任意子集A，分别定义为A的紧闭包与紧内部。
定义1[2]设X,Y是拓扑空间。
称映射G:X→ 2Y在X上具有转移紧闭值，若对x∈X及Y的任意紧子集K,y∈/G(x)∩K蕴涵存在∈X使y∈/cl K(G()∩K)。
(这里cl K(G(∩K)表示G()∩K在K中的闭包。
)称映射G:X→2Y在X上具有转移紧开值，若S:x→Y\G(x)在X上具有转移紧闭值。
显然，若G:X→2Y是紧闭值映射，则G为转移紧闭值映射。
Amini et al.定义的抽象凸空间如下。
若有非空集X与X的子集簇C使得X与∅属于C，且 C中元的任意交仍属于 C，则称(X,C)为抽象凸空间。
对任意A⊆X，A的C凸包定义为：co C(A)= ∩{B∈C:A⊆B}。
若co C(A)=A，称A是C凸的。
我们所熟知的K凸空间[3]，超凸空间[4]，G-凸空间[5]及F C-空间[6]等都是抽象凸空间的特例。
本文抽象凸空间的定义与前述这些空间的区别在于我们不需考虑从单形到co C(A)(∀A∈⟨X⟨)的连续映射的存在性。
凸度量空间中的不动点定理
凸度量空间中的不动点定理不动点问题一直是泛函分析中研究的主要方向之一,并且在代数方程、微分方程、积分方程等有着广泛的应用.本文主要针对凸度量空间,通过构造不同的条件,得出一些不动点方面的定理.第一章,介绍了凸度量空间的概念,以及凸度量空间中一些已有的不动点定理.第二章,给出了公共不动点的定义,并且得到了凸度量空间中单值映射在不同条件下的公共不动点定理,其主要内容如下：第一部分,(X,d)为具有I性质的凸度量空间,c为X的紧子集.映射T,G：C→X是可交换映射而且满足T是G非扩张的以及G2=G.如果G是连续的、仿射的,子集C是G星形的,那么T和G在C中有唯一的公共不动点.第二部分,(X,d)是具有凸结构W 的凸度量空间.K是X的一个非空闭子集,映射f,g是K上可相容的映射而且对于所有的x,y∈K,有d(fx,fy)≤ad(gx,gy)+b max{d(gx,fx),d(gy,fy)}+cmax{d(gx,fx)+d(gy,fy),d(gx,gy)+d(gy,fx)},其中a,b,c≥0而且a+b+2c=1,b(1-b)/(2+b)>c.如果f(K)∈g(K),g既是W仿射又是连续的,那么存在一个唯一的f和g的公共不动点z,而且f在z这一点连续.第三章,介绍了凸度量空间中的多值映射的概念,得到了多值映射在凸度量空间中的共同点定理,即：(X,d)是凸度量空间且K为X的闭子集.令T,S：K→CB(X)是一对多值映射,f,g：K→X是一对单值映射,对于任意x,y∈X满足：H(Sx,Ty)≤ad(fx,gy)+βmax{D(fx,Sx),D(gy,Ty)}+γmax{D(fx,Sx)+D(gy,Ty),D(fx,Ty)+D(gy,Sx)}其中α,β,γ≥0且满足：λ=α+2β+3γ+αγ<1.(ⅰ)(?)K∈fk∩gK；(ⅱ)Sk∩K∈gK,TK∩K∈fK；(ⅲ)fx∈(?)K推出Sx∈K,gx∈(?)K推出Tx∈K.f(K)和g(K)是完备的,那么在K中存在u和w使得：fu∈Su,gw∈Tw,fu=gw和Su=Tw.第四章,介绍了(E.A)性质,得到了具有(E.A)性质映射的公共不动点定理：(X,d)是凸度量空间,K为X的一个非空闭子集.映射f和g是K上的自映射,满足不等式.：d(fx,fy)≤ab(gx,gy)+b max {d(gx,gy),d(gy,fy)}+cmax{d(gx,fx)+d(gy,fy),d(gx,gy)+d(gy,fx)}其中a,b,c为非负实数,且满足a+b+2c=1.若g是W仿射的,fK∈gK且gK(或fK)是X的完备子集,那么(ⅰ)f和g 存在一个共同点v;(ⅱ)若f,g是弱相容的,那么fv=u是f和g的公共不动点；(ⅲ)若映射g在u点连续,那么f在u点连续.。
角谷不动点定理kakutani's fixed point theorem
角谷不动点定理kakutani's fixed point theorem角谷不动点定理（Kakutani"s Fixed Point Theorem）是数学领域中一个著名的定理，由日本数学家角谷浩吾于1938年提出。
该定理主要研究了凸函数和下半连续函数的不动点问题，对于函数的性质及应用具有重要的理论意义。
一、角谷不动点定理简介1.定理来源及命名角谷不动点定理源于日本数学家角谷浩吾在研究凸函数和下半连续函数的过程中，对不动点问题的深入研究。
该定理在一定程度上解决了凸函数和下半连续函数的不动点问题，因此在数学领域具有较高的地位。
2.定理表述角谷不动点定理表述如下：设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内单调，那么f(x)在区间[a, b]上至少有一个不动点。
二、不动点及其相关概念1.不动点的定义不动点是指函数在某个区间上取到的值等于该区间内某个点的值，即f(x) = x。
2.不动点的类型根据不动点出现的位置，可以将不动点分为两类：一类是在定义域内的不动点，另一类是在值域内的不动点。
3.不动点与函数性质的关系不动点的存在性与函数的连续性、单调性等性质密切相关。
例如，角谷不动点定理就是研究了凸函数和下半连续函数的不动点问题。
三、角谷不动点定理的证明与应用1.定理的证明思路角谷不动点定理的证明主要依据了函数的连续性、单调性和不动点的定义。
证明过程中，角谷浩吾采用了反证法，首先假设函数f(x)在区间[a, b]上没有不动点，然后通过推导得出矛盾，从而证明了定理的正确性。
2.定理的推广与变形式角谷不动点定理后来被广泛推广，包括布雷尔不动点定理（Brela"s Fixed Point Theorem）等。
这些定理在数学领域有着广泛的应用。
3.定理在实际问题中的应用实例角谷不动点定理在实际问题中具有广泛的应用，如在经济模型、生态模型、物理系统等领域。
以经济模型为例，商品价格的调整过程可以看作是一个动态系统，通过角谷不动点定理可以研究价格调整的稳定状态。
宏观经济学分析方法系列：(课堂放映版、11硕已讲)拓扑空间、不动点定理
==================================附录：宏观经济学分析方法：不动点定理（09、10、11硕已讲，2009年01月21日，精细订正）我们开始讨论不动点定理，那么什么是不动点定理？所谓不动点，就是使方程(x)f=x有解的点x，这里f可以是单变量函数，也可以是度量空间到自身上的映射。
因为点x是在f的映射下固定不变的点，我们称为不动点。
所谓不动点定理就是描述方程()f=xx的解的存在条件的定理。
不动点的存在性问题就称为不动点问题，不动点定理由此得名。
有许多不同的不动点定理。
其中一些是构造性的，但大多数不是构造性的，例如，最著名的布劳威尔不动点定理就不是构造性的，布劳威尔不动点理只告诉我们不动点是存在的，但没有说明寻找不动点的方法。
在数学中，有许多类似描述解的存在性定理，其中最著名的就是代数基本定理和微积分中的各种中值定理，正如我们已经看到的一样，这样的存在性定理在理论上和实际应用中都是非常重要的。
设想使用计算机去寻找近似解，如果我们知道解是存在的，我们就不会无的放矢。
（不讲，跳过）事实上，不动点问题是普遍存在的，我们知道的许多问题都可以转化为不动点问题。
例如：设nnR R g :是一个映射，我们欲解方程0)(=x g ，其中nR x ∈。
这个问题就等价于不动点方程x x g x =+)( 或 x x g x =+)(70；更一般地，等价于x x g x =Φ+))((，式中nnR R →Φ:满足，0)(=Φy 当且仅当0=y 。
我们将介绍三个重要的不动点定理：巴拿赫（Banach ）不动点定理，布劳威尔（Brouwer ）不动点定理和角谷（Kakutani ）不动点定理。
一、压缩映射与巴拿赫不动点定理我们首先介绍巴拿赫不动点定理，这个定理也称为压缩映射原理。
这是一构造性定理，定理的证明提供一个构造不动点的方法，这个方法称为逐次逼近法（即迭代法）。
在介绍巴拿赫不动点定理之前，先引进压缩映射的概念。
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（ 节 学院计 算机 科 学 系，贵 州 毕 节 ５ １ ０ ） 毕 ５ ７０
摘 要： 立 了 一 空 间 中弱 转移 紧 闭值 集 映射 的 ＧＬ Ｋ Ｍ 定理 ， 为应 用 ， 建 凸 ＳＫ 作 获得 了 ￡ 凸 空 间 中 一
的 Ｋｙ Ｆ ｎ型 匹 配 定 理 、 ａ － Ｂｒ ｗｄ ｒ型 重 合 定 理 和 不 动 点 定 理 。 ａ Ｆｎ ｏ ｅ
１９ ９ ８年 ，Ｂ ｎＥ － ｃ ａｃ ｈ 等引入 了 Ｌ ｅ ．１ Ｍｅｈ ｉｋ 广凸空 间 Ｉ＇其后 ，Ｄｉｇ研究 了 Ｌ 】 】 ｎ 广凸空 间 中的 ＧＬ ＫＫＭ
定 理 、Ｋｙ Ｆ ｎ 匹 配 定 理 、 极 人 极 小 不 等 式 、Ｈｉ ａ ｍｍｃ ｃｇ 型 不 动 点 定 理 、 连 续 选 择 定 理 、重 合 定 理 ｌ ｒ ｂ
２１ ０ １年 第 ４期
第２ ９卷 （ 第 １ ９期 ） 总 ２
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ＮＯ ． ２０１１ ４，
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Ｖｏ ．９ １ ２ Ｇｅ ｅａ ．２ ｎ ｒｌＮｏ １ ９
Ｌ 凸空 间 中 的 ＧＬ Ｋ 定 理 及 其 对 不 动 点 的应 用 一 ＳＫ Ｍ
于 Ｂ ∈（ ） Ａ 的面。 的子集 Ｄ ＣＸ 称为 一凸，若对任意 Ａ∈（ ， ｒ Ａ ＣＤ。本文用 ｃ ） Ｄ）有 （ ） （ 记
的所有非空 一凸子集的族。设 ， 为拓扑空间，我们用 Ｃ Ｘ， ） ｙ （ Ｙ 表示 到 ｙ 的所有连续单值映射的
族。设 为非空集合，（ ｒ ）为 一 凸空间 。一个集值映射 Ｇ ： —一 ２ Ｘ ＋ ｙ称 为 Ｇ Ｋ Ｌ ＫＭ 映射 ，如果刘
・
３ ・ ７
２ 预备知识
设 为非空集 ，我们分别用 （ ）和 ２ 表示 的非空有限子集族和子集族。设 为拓扑空间，
为 的子集 ，我们用 ｉｔ Ａ 表 示 ４ 在 中 的内部，用 ｃｎｘ 表示 在 中的紧内部 ，用 ｃ Ａ 表 ｎｘ ｉｔ Ａ ｌ ｘ
示 在 中的闭包。对任意的 Ａ ∈（ ， ｝ 表示 Ａ 的基数。用 △ 表示以 ｅ 一， 为项点的 Ｘ）用 Ａｊ ０ｅ
得了 Ｌ 凸空间中新的变分不等式、截口定理、极大元定理和不动点定理等。在文 【 】 一 １ 中，我们在非紧 Ｌ １ 一 凸空间中建立了一个新的极火元定理，获得了非紧 Ｌ 凸空间中的极犬极小不等式和鞍点定理。在文 【 ］ 一 ｌ ２
中，在 Ｌ 一凸空间 中建立 了一个新的 Ｂｒｗｄ ｒ不动 点定理 ，作为应用 ，研 究了非紧 Ｌ ｏ ｅ 一凸空间的极人元定
些相关结果 。
收 稿 日期 ：０ ０ １ 一 １ ２１— ｌ ６
基金 项 目 ： 州 省 教 育 厅 重 点 资 助 项 目 ，非 紧 Ｌ 凸度 量 空 间 中 的集 值 分 析理 论 研 究 ” 果 之 一 ， 目编号 ：０ ８ ７ 贵 “ 一 成 项 ２ ００ ２ 作 者 简介 ： 和 睿 （９ ５ ）男 ， 州 毕 节 人 ， 节 学 院计 算 机 科 学 系讲 师 。 研 究 方 向 ： 线 性 分 析 。 李 １７ 一 ， 贵 毕 非 文 开 庭 （ ６ 一 ）男 ， 州 大 方 人 ， 节 学 院计 算 机科 学 系 教授 。研 究方 向 ： 线 性 分 析 。本 文 通 讯 作 者 。 １ ２ ， 贵 ９ 毕 非
理 、Ｆ ｎＢ ｏ ｅ ａ — ｒｗｄ ｒ不动点 定理、极大元定理 、抽象 经济和定性对策 的平衡存 在定理等 。在文 ｆ ９ ］中，我ｆ 『 Ｊ 建立 了转移紧开覆盖的两个新 的 ＫｙＦ ｎ匹配 定理 ，作为庶用 ， ａ 获得 了新的 Ｆ ｎＢｒｗｄ ｒ重合定理 、不动 ａ— ｏ ｅ
点定理和极人元定理等。在文 ［ 】 １ 中，我们在 Ｌ 凸空间中建立了一个新的 Ｇ Ｋ Ｍ 定理，作为应用， ０ Ｌ Ｋ 获
关键词 ： 一 度 空 间 ； 转 移 紧 开 （ ） 匹 配 ； 合 ； 动 点 Ｌ 凸 弱 闭 ； 重 不
中 图 分 类 号 ： ７ ．１ Ｏ１ ７９ 文献标识码 ： Ａ 文 章 编 号 ： ６ ３ ７ ５ （０ １ ０ ． ０ ７ ０ １７ — ０ ９ ２ １ ）４ ０ ３ｎ截 口定理和 相交定理 ，最后，新建 了 凸空间中的定性对策和抽象经济 衡存在定理。 ａ
本文 的 目的是在 Ｌ 凸空间中新建一个 ＧＬ ＫＫＭ 定理，作 为应用 ，进一步研究非紧 Ｌ 凸空间的 Ｋｙ 一 Ｓ ．
Ｆ ｌ 型 匹 配 定 理 、 Ｆ ｉ Ｂ ｏ ｄ ｒ型 重 合 定 理 和 不 动 点 定 理 。 我 们 的 结论 统 ～ 、 改 进 和 推 』 近 期 文 献 的 一 ａｌ ａｌ ｒｗ ｅ — 了
等 ［５ Ｌ ２ ］ ｕ和 Ｔ ｎ －。 ａ ｇ研究了 Ｌ 一凸空间中的相交定理、重合定理和不动点定理等 Ｉ。 文 ［ 中，我们 引 ７ 】
住 Ｌ 一凸空间 中建立 了新 的极人 元 定理 ，获得 了 Ｌ 广凸 空间 中的抽象 经济 和定 性对 策的平 衡存在 定理 。
在 文 【】 ，我们 获 得 了 Ｌ ８中 一凸空 间中 的新 的 ＫＫＭ 型 定理 、Ｋ ａ ｙＦ ｎ匹 配定 理 、Ｆ ｎＢ ｏ ｄ ｒ重合 定 ａ－ ｒｗ ｅ
维标准单形 。一个拓 扑空 间 上 的 一 凸结构 由满足如 条件的映射 Ｆ： Ｘ） Ｆ （ —－２ 给出：对任意的基 ｘ
数 ｆ ＝佗＋１ Ａｆ 的集合 Ａ ∈（ ，存在一个连续映射 Ｃ △ Ｘ） Ａ： —一ｒ ）使得对任意的基数为 ｆ ＝Ｊ＋１ ＋（ ． Ｂｉ
的 Ｂ ∈（ ） 有 Ｃ （ ） （ 。此时，称 （ ｒ 为一个 一凸空 间 。 这里，△ Ａ， ＡＡｊ ｃ ＩＢ） １ ， ） Ｊ为 △ 中的对应