[理学]运筹学教案整数规划与指派问题
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整数规划-案例1-指派问题
i 1 j 1
3
4
4
故模型为： min z
ci Βιβλιοθήκη 1 j 144ij
xij
4 xij 1, i 1,2,3,4 j 1 4 xij 1, j 1,2,34 i 1 xij 0 or 1(i, j 1,2,3,4)
设ijx表示第i个人去完成第j项任务则????项任务时个人不去完成第当第项任务时个人去完成第当第jijixij01?项任务时个人不去完成第当第ji0每个人去完成一项任务的约束为????????????1112423222114131211xxxxxxxx每一项任务必有一人完成的约束
3.指派问题：现在不妨设有4个人，各有能力
记 系 数 矩 阵 为
2 15 11 4 10 4 14 15 cij 9 14 16 13 7 8 11 9
称其为效益（价值）矩阵.
cij 表示第 i 个人去完成 第 j 项任务时有关的效
益 （时间、 费用、 价值等） 。 则目标函数可表示为
min z cij xij
4
用lingo求解后，可知让甲去完成任 务D，乙完成任务B，丙完成任务A， 丁完成任务C，所用时间最少为28.
5
x11 x 21 x31 x 41 1 x x x x 1 12 22 32 42 x13 x 23 x33 x 43 1 x14 x 24 x34 x 44 1
2
目标函数：
min z 2 x11 15x12 13x13 4 x14 10x21 4 x22 14x23 15x24 9 x31 14x32 16x33 13x34 7 x41 8 x42 11x43 9 x44
3
4
4
故模型为： min z
ci Βιβλιοθήκη 1 j 144ij
xij
4 xij 1, i 1,2,3,4 j 1 4 xij 1, j 1,2,34 i 1 xij 0 or 1(i, j 1,2,3,4)
设ijx表示第i个人去完成第j项任务则????项任务时个人不去完成第当第项任务时个人去完成第当第jijixij01?项任务时个人不去完成第当第ji0每个人去完成一项任务的约束为????????????1112423222114131211xxxxxxxx每一项任务必有一人完成的约束
3.指派问题：现在不妨设有4个人，各有能力
记 系 数 矩 阵 为
2 15 11 4 10 4 14 15 cij 9 14 16 13 7 8 11 9
称其为效益（价值）矩阵.
cij 表示第 i 个人去完成 第 j 项任务时有关的效
益 （时间、 费用、 价值等） 。 则目标函数可表示为
min z cij xij
4
用lingo求解后，可知让甲去完成任 务D，乙完成任务B，丙完成任务A， 丁完成任务C，所用时间最少为28.
5
x11 x 21 x31 x 41 1 x x x x 1 12 22 32 42 x13 x 23 x33 x 43 1 x14 x 24 x34 x 44 1
2
目标函数：
min z 2 x11 15x12 13x13 4 x14 10x21 4 x22 14x23 15x24 9 x31 14x32 16x33 13x34 7 x41 8 x42 11x43 9 x44
第4章整数规划——指派问题
4 指派问题
解： 可行解｛c12=0， c24 =0， c31 =0， c43 =0｝是一个独立零元素组， c12=0， c24 =0， c31 =0， c43 =0分别称 为独立零元素； ｛c12=0， c23 =0， c31 =0， c44 =0｝也 是一个独立零元素组，而｛c14=0， c23 =0， c31 =0， c44 =0｝就不是独立零元素 组.
4 指派问题
1）对新矩阵中所有不含“*”元素的行打√ ； 2）对打√的行中，所有打×零元素所在的列打√； 3）对所有打√列中标记“*”元素所在行打√； 4）重复上述2），3）步，直到不能进一步打√为止； 5）对未打√的每一行划一直线，对已打√的每一列划一纵线， 即得到覆盖当前0元素的最少直线数。 第四步：对矩阵未被直线覆盖过的元素中找最小元素，将打 √行的各元素减去这个最小元素，将打√列的各元素加上这个最小 元素（以避免打√行中出现负元素），这样就增加了零元素的个 数，返回第二步。 【例5】 求解例1和例2
X (2)
都是指派问题的最优解。
4 指派问题
4.3 指派问题的求解 指派问题既是一类特殊的整数规划问题，又是特殊的运输问 题，因此可以用多种相应的解法来求解，然而这些解法都没有充 分利用指派问题的特殊性质，有效地减少计算量，直到1955年库 恩（W. W. Kuhn）提出的匈牙利法才有效地解决了指派问题。 匈牙利法的理论基础 定义2 独立零元素组 在效率矩阵中，有一组在不同行不同 列的零元素，称为独立零元素组，其每个元素称为独立零元素。 5 0 2 0 2 3 0 0 C 【例4】 已知效率矩阵 0 5 6 7 4 8 0 0 求其独立零元素组。
0 , 不 指 派 Ai 承 建 商 店 B j x ij ( i , j 1, 2 ,3, 4 ,5 ) 1, 指 派 Ai 承 建 商 店 B j
第5章 整数规划(工作指派问题)
36
2. “圈0”：
0 10 16 13 6 0 6 3 2 13 13 0 12 2 0 4
37
可以看到，打圈的0的个数为4，正好是矩阵 的阶数。从而得最优解：
• x11=1,x22=1,x34=1,x43=1
相应地，要使机器发挥的总效率最大，我们 应做如下安排：
• • • • 机器A1安排在工地B1； 机器A2安排在工地B2； 机器A3安排在工地B4； 机器A4安排在工地B3。
0
11 2 0
8
0 3 11
2
5 0 4
5
4 0 5
0 11
2 0
8 0
3 11
2 5
0 4
5ห้องสมุดไป่ตู้4
0 5
10
如果在效率系数矩阵中，位于不同行不同 列的零元素的个数与效率系数矩阵(cij)n×n 的阶数n相同，则只要令对应于这些零元 素位置的xij=1，其余的xij=0 ，则此解就 是问题的最优解。
0 0 0 1
为什么只圈出 三个0？？？
30
匈牙利法求工作指派问题步骤小结
1. 2. 3. 4. 5. 6. 列表 约简（包括行约简和列约简） 圈0（也是检验最优解的过程） 画线（画0元素的最少覆盖线） 增0（矩阵变换） 重复3～5（必要的话）
31
求极大值的匈牙利法（P131）
当目标函数为求极大值时，不能用通常改变 系数的符号而成为极小化问题的办法求解， 即如果指派问题的目标函数为： Max z=ΣΣcijxij 我们不能用求解 Min z’=-ΣΣcijxij 的办法来解剖原问题。因为匈牙利法要求效 率系数矩阵的每个元素都是非负的。
3. xij=1 或 0
运筹学 第五章整数规划
i 1
n xij ai s.t j 1
i 1,2, m
xij 0 yi 0,1
混合型整数规划
总结
整数规划的可行域包含在其对应的一般线性规划可
行域之内； 整数规划的最优解可能不是其对应的一般线性规划 的顶点； 整数规划的最优解不会优于其对应的线性规划的最
(0)
（4）修改上、下界：按照以下两点规则进行。 ①在各分枝问题中，找出目标函数值最小者作为新的下界； ②从已符合整数条件的分枝中，找出目标函数值最小者作为 新的上界。 （5）比较与剪枝 ： 各分枝的目标函数值中，若有大于 者，则剪掉此枝，表 明此子问题已经探清，不必再分枝了;否则继续分枝。 如此反复进行，直到得到 即得最优解 X* 。 为止，
f
n
rj
x j fr
a rj
的小数部分
br 的小数部分
（3）将所得的割平面方程作为一个新的约束条件置于最优单 纯形表中（同时增加一个单位列向量），用单纯形法求出新的 最优解，返回1。
m ax Z x 2
例：用割平面法求解整数规划问题
3 x1 2 x 2 6 3 x1 2 x 2 0 x , x 0且为整数 1 2
子问题 L1 : 剪枝 1 、L1无最优解， 2、最优解 X *1 ( x *11 ，x *12 ,, x *1n ), 最优值 z1 (1) X *1 为整数解 , z1为下界 关闭
子问题 L2 :
(2) X *1 中至少有一个是分数： 继续分枝
割平面法 割平面法的基本思想：
若整数规划IP的松弛规划L0的最优解不是整数解，对L0增 加一个约束条件，得线性规划 L1 ，此过程缩小了松弛规划的 可行解域，在切去松弛规划的最优解的同时，保留松弛规划 的任一整数解，因此整数规划IP的解均在L1中，若L1的最优解
n xij ai s.t j 1
i 1,2, m
xij 0 yi 0,1
混合型整数规划
总结
整数规划的可行域包含在其对应的一般线性规划可
行域之内； 整数规划的最优解可能不是其对应的一般线性规划 的顶点； 整数规划的最优解不会优于其对应的线性规划的最
(0)
（4）修改上、下界：按照以下两点规则进行。 ①在各分枝问题中，找出目标函数值最小者作为新的下界； ②从已符合整数条件的分枝中，找出目标函数值最小者作为 新的上界。 （5）比较与剪枝 ： 各分枝的目标函数值中，若有大于 者，则剪掉此枝，表 明此子问题已经探清，不必再分枝了;否则继续分枝。 如此反复进行，直到得到 即得最优解 X* 。 为止，
f
n
rj
x j fr
a rj
的小数部分
br 的小数部分
（3）将所得的割平面方程作为一个新的约束条件置于最优单 纯形表中（同时增加一个单位列向量），用单纯形法求出新的 最优解，返回1。
m ax Z x 2
例：用割平面法求解整数规划问题
3 x1 2 x 2 6 3 x1 2 x 2 0 x , x 0且为整数 1 2
子问题 L1 : 剪枝 1 、L1无最优解， 2、最优解 X *1 ( x *11 ，x *12 ,, x *1n ), 最优值 z1 (1) X *1 为整数解 , z1为下界 关闭
子问题 L2 :
(2) X *1 中至少有一个是分数： 继续分枝
割平面法 割平面法的基本思想：
若整数规划IP的松弛规划L0的最优解不是整数解，对L0增 加一个约束条件，得线性规划 L1 ，此过程缩小了松弛规划的 可行解域，在切去松弛规划的最优解的同时，保留松弛规划 的任一整数解，因此整数规划IP的解均在L1中，若L1的最优解
运筹学第5章：整数规划
1 xj 0 对项目j投资 对项目j不投资 （j 1， ，n） 2，
则问题可表示为：
max z c j x j
j 1 n
n a j x j B j 1 x1 x2 0 s.t. x3 x4 1 x x x 2 7 5 6 x j 0或1 j 1,2, , n 【例5-3】工厂A1和A2生产某种物资，由于该种物资供不应 求，故需要再建一家工厂，相应的建厂方案有A3和A4两个。这 种物资的需求地有B1、B2、B3、B4四个。各工厂年生产能力、各 地年需求量、各厂至各需求地的单位物资运费cij(j=1,2,3,4) 见表5-2。
三、割平面法的算法步骤
步骤1：将约束条件系数及右端项化为整数，用单纯形法求 解整数规划问题(ILP)的松弛问题(LP)。设得到最优基B，相应 的基最优解为X*。 步骤2：判别X*的所有分量是否全为整数？如是，则X*即为 (ILP)的最优解，算法终止；若否，则取X*中分数最大的分 量 x * ，引入割平面(5.7)。
表5-2
Ai cij A1 A2 Bj B1 2 8 B2 9 3 B3 3 5 B4 4 7 生产能力 (千吨/年) 400 600
A3
A4 需求量(千吨/年)
7
4 350
6
5 400
1
2 30025 150200200工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万元或 1500万元。现要决定应该建设工厂A3还是A4，才能使今后每年 的总费用(即全部物资运费和新工厂生产费用之和)最少。
一般来说，整数线性规划可分为以下几种类型：
1. 纯整数线性规划(Pure Integer Linear Programming)： 指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划，也称为全整 数规划。 2. 混合整数线性规划(Mixed Integer Linear Programming)：指决策变量中一部分必须取整数值，而另一部 分可以不取整数值的整数线性规划。 3. 0-1整数线性规划(Zero-one Integer Linear Programming)：指决策变量只能取0或1两个值的整数线性规划。
则问题可表示为：
max z c j x j
j 1 n
n a j x j B j 1 x1 x2 0 s.t. x3 x4 1 x x x 2 7 5 6 x j 0或1 j 1,2, , n 【例5-3】工厂A1和A2生产某种物资，由于该种物资供不应 求，故需要再建一家工厂，相应的建厂方案有A3和A4两个。这 种物资的需求地有B1、B2、B3、B4四个。各工厂年生产能力、各 地年需求量、各厂至各需求地的单位物资运费cij(j=1,2,3,4) 见表5-2。
三、割平面法的算法步骤
步骤1：将约束条件系数及右端项化为整数，用单纯形法求 解整数规划问题(ILP)的松弛问题(LP)。设得到最优基B，相应 的基最优解为X*。 步骤2：判别X*的所有分量是否全为整数？如是，则X*即为 (ILP)的最优解，算法终止；若否，则取X*中分数最大的分 量 x * ，引入割平面(5.7)。
表5-2
Ai cij A1 A2 Bj B1 2 8 B2 9 3 B3 3 5 B4 4 7 生产能力 (千吨/年) 400 600
A3
A4 需求量(千吨/年)
7
4 350
6
5 400
1
2 30025 150200200工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万元或 1500万元。现要决定应该建设工厂A3还是A4，才能使今后每年 的总费用(即全部物资运费和新工厂生产费用之和)最少。
一般来说，整数线性规划可分为以下几种类型：
1. 纯整数线性规划(Pure Integer Linear Programming)： 指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划，也称为全整 数规划。 2. 混合整数线性规划(Mixed Integer Linear Programming)：指决策变量中一部分必须取整数值，而另一部 分可以不取整数值的整数线性规划。 3. 0-1整数线性规划(Zero-one Integer Linear Programming)：指决策变量只能取0或1两个值的整数线性规划。
管理运筹学讲义整数规划
管理运筹学讲义整数规划整数规划是管理运筹学中一种重要的优化技术，它在实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍整数规划的基本概念、建模方法以及解决算法，并通过实例展示其在实际问题中的应用。
一、整数规划的基本概念整数规划是线性规划的一种扩展形式，其决策变量被限制为整数。
在实际问题中，往往存在某些变量只能取整数值的约束条件，这时就需要使用整数规划方法进行求解。
与线性规划相比，整数规划的求解难度更大，但可以提供更精确的结果。
二、整数规划的建模方法在进行整数规划建模时，需要确定决策变量、目标函数和约束条件。
1. 决策变量决策变量是问题中需要优化的变量，其取值决定了问题的解。
在整数规划中，决策变量通常表示为整数。
2. 目标函数目标函数是整数规划问题中需要最小化或最大化的目标。
它可以是线性函数或非线性函数，但在整数规划中，通常只考虑线性目标函数。
3. 约束条件约束条件是问题的限制条件，限制了决策变量的取值范围。
在整数规划中，约束条件可以是线性等式或线性不等式。
三、整数规划的解决算法解决整数规划问题的常见算法包括割平面法、分支定界法和动态规划法等。
这些算法通过不断对问题进行优化，逐步逼近最优解。
1. 割平面法割平面法是一种通过添加额外的约束条件来逼近最优解的方法。
它首先求解一个松弛问题，然后根据松弛问题的解加入新的约束条件，直到找到最优解。
2. 分支定界法分支定界法是一种将整数规划问题划分为多个子问题，并对每个子问题进行求解的方法。
它通过不断分支和剪枝来找到最优解。
3. 动态规划法动态规划法是一种通过将问题分解为多个子问题，并通过求解子问题的最优解来求解原始问题的方法。
它采用自底向上的求解方式，将所有可能的决策情况进行组合，得到最优解。
四、整数规划在实际问题中的应用整数规划在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一个应用整数规划解决的实际问题示例：某公司生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。
产品A每单位利润为100元，产品B每单位利润为150元。
第五讲-整数规划与指派问题_图文
固定成本及总运输费用最小的目标为
产量限制约束条件：
销量限制约束条件： （2）增加约束条件
二、整数规划的求解方法概述
整数线性规划，是要求整数解的线性规划， 包括上班的人数、设备的台数、材料的件数等 。
问题：
最优整数解是否可以对非整数 解进行四舍五入法或者去尾法呢？
线性规划的最优解为： 整数规划的最优解为：
同解变化
四、匈牙利解法（续）
定理：覆盖一个方阵内所有0元的最小直线数 等于该阵中位于不同行、列的0元的最多个数 ；
基本思想（反复应用同解变换）
成本矩阵（效益矩阵）的每一行及每一列减去该行或列的 最小数，使每行每列至少有一个0，假如能够从中找出n个位 于不同行、列的0元，则为最优阵，对应最优解。
设
分别为甲、乙两种货物托运的件数，其数学
规划模型如下：
一、整数规划的案例（续 ）
案例2：固定成本问题
高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容 器，所用资源为金属板、劳动力和机器设备，制造 一个容器所需的各种资源的数量如下表：
资源
小号容器
中号容器
大号容器
金属板
2
4
8
劳动力
2
34Biblioteka 机器设备12
3
不考虑固定费用，每种容器售出一只所得的利润
三、指派问题
指派问题（Assignment problem）
又称分配问题，研究如何给n个人（或单位） 分配n项工作，使得完成全部工作所消耗的总资 源（时间、费用）最少。
s.t.
例：有一份中文说明书，需译成英、日、德、 俄四种文字。分别记作E、J、G、R。现有甲、 乙、丙、丁四人。他们将中文说明书翻译成不 同语种的说明书所需时间如表所示。问应指派 何人去完成何工作，使所需总时间最少?
产量限制约束条件：
销量限制约束条件： （2）增加约束条件
二、整数规划的求解方法概述
整数线性规划，是要求整数解的线性规划， 包括上班的人数、设备的台数、材料的件数等 。
问题：
最优整数解是否可以对非整数 解进行四舍五入法或者去尾法呢？
线性规划的最优解为： 整数规划的最优解为：
同解变化
四、匈牙利解法（续）
定理：覆盖一个方阵内所有0元的最小直线数 等于该阵中位于不同行、列的0元的最多个数 ；
基本思想（反复应用同解变换）
成本矩阵（效益矩阵）的每一行及每一列减去该行或列的 最小数，使每行每列至少有一个0，假如能够从中找出n个位 于不同行、列的0元，则为最优阵，对应最优解。
设
分别为甲、乙两种货物托运的件数，其数学
规划模型如下：
一、整数规划的案例（续 ）
案例2：固定成本问题
高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容 器，所用资源为金属板、劳动力和机器设备，制造 一个容器所需的各种资源的数量如下表：
资源
小号容器
中号容器
大号容器
金属板
2
4
8
劳动力
2
34Biblioteka 机器设备12
3
不考虑固定费用，每种容器售出一只所得的利润
三、指派问题
指派问题（Assignment problem）
又称分配问题，研究如何给n个人（或单位） 分配n项工作，使得完成全部工作所消耗的总资 源（时间、费用）最少。
s.t.
例：有一份中文说明书，需译成英、日、德、 俄四种文字。分别记作E、J、G、R。现有甲、 乙、丙、丁四人。他们将中文说明书翻译成不 同语种的说明书所需时间如表所示。问应指派 何人去完成何工作，使所需总时间最少?
运筹学第五章 整数规划
第五章 整数规划主要内容：1、分枝定界法； 2、割平面法； 3、0－1型整数规划； 4、指派问题。
重点与难点：分枝定界法和割平面法的原理、求解方法，0－1型规划模型的建立及求解步骤，用匈牙利法求解指派问题的方法和技巧。
要 求：理解本章内容，熟练掌握求解整数规划的方法和步骤，能够运用这些方法解决实际问题。
§1 问题的提出要求变量取为整数的线性规划问题，称为整数规则问题（简称IP ）。
如果所有的变量都要求为（非负）整数，称之为纯整数规划或全整数规划；如果仅一部分变量要求为整数，称为混合整数规划。
例1 求解下列整数规划问题211020max x x z += ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+为整数21212121,0,13522445x x x x x x x x 如果不考虑整数约束，就是一个线性规划问题（称这样的问题为原问题相应的线性规划问题），很容易求得最优解为：96max ,0,8.421===z x x 。
50用图解法将结果表示于图中画“+”号的点都是可行的整数解，为满足要求，将等值线向原点方向移动，当第一次遇到“+”号点（1,421==x x ）时得最优解为1,421==x x ，最优值为z=90。
由上例可看出，用枚举法是容易想到的，但常常得到最优解比较困难，尤其是遇到变量的取值更多时，就更困难了。
下面介绍几种常用解法。
§2 分枝定界法分枝定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题。
基本思路：设有最大化的整数规划问题A ，与之相应的线性规划问题B ，从解B 开始，若其最优解不符合A 的整数条件，那么B 的最优值必是A 的最优值*z的上界，记为z；而A 的任意可行解的目标函数值是*z的一个下界z，采取将B 的可行域分枝的方法，逐步减少z 和增大z ，最终求得*z 。
现举例说明： 例2 求解A219040max x x z +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+为整数21212121,0,702075679x x x x x x x x 解：先不考虑条件⑤，即解相应的线性规划B （①--④），得最优解=1x 4.81, =2x 1.82, =0z 356（见下图）。
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6
x2
6
X1<=3
X1>=3+1
5
4
3
(3.25, 2.5)
2
1
o
1
2
3
4
5
67Fra bibliotekx1加上附加约束将问题分为两枝，即两个线性规划问 题，而且保证不丢失正数解。 7
B1：B
xj<=[bj] 分别求解问题B1与B2
B2：B
xj>=[bj]+1
4、定界：以当前目标值最大而又未分枝的子问题 的目标值为上界，当前最好的整数解目标值（若 还没有则选择为负无穷大）为下界。 5、逐步分枝，并求各分技问题，修改上下界，上 界将逐步减小，下畀将逐步增加，直到二者相等， 则得到原整数规划问题的解。 注意：分枝的优先顺序和剪技（不再继续分技） 的条件。以书上例子加以说明。
运筹学教案
整数规划
陈安明
1
4.1 整数规划问题及特点
4.1.1 整数规划的概念
1、整数规划的定义： 决策变量要求取整数的线性规划。 2、整数规划的分类： 纯整数规划：全部决策变量均要求取整数。 混合整数规划：只要部分决策变量要求取整数。 0,1规划：一类变量只取0,1特殊的整数规划问题。 3、整数规划的性质： （1）可行解域为点集。 （2）整数最优解的目标值劣于同问题非整数最优解 的目标值。
max z 3 x1 2 x2 2 x1 3 x2 14 4 x 2 x 18 1 2 x1 , x2 0 x1 , x2为整数 (1) ( 2) (3) ( 4)
x2
6 5 4 3 2 1
例：左边为一整数规划 问题 最优解（3.25,2.5)，四舍 五入化整为(3,3)已不是 可行解，去小数化束得 (3,2)虽可行但不是最
11
4.3 割平面解法
4.3.1 原理： 解伴随规划问题，若得到非整数最优解， 则增加被称为割平面的一个线性约束，再求 解。 增加的割平面能割掉一部分非可行域，但 不会去掉整数可行解。 不断增加割平面，使缩少后的可行域的出 现整数解的极点，并且为问题的最优解。 但割平面可能要经过多次构造才能出现此 种情况。
例:P48 最优解表中第一个约束条件:
约束为:x2+9/4x3-1/4x4=9/4可改写为： X2+(2+1/4)x3+(-1+3/4)x4=2+1/4
14
X2+(2+1/4)x3+(-1+3/4)x4=2+1/4 移项得： 1/4 –(1/4x3+3/4x4)=x2+2x3-x4 因xj>=0 且取整数，故有： 1/4 -（1/4x3+3/4x4)<=0 即1/4x3+3/4x4>1/4 即对任意整数变量，都满足上述不等式，亦 即原问题加上上述约束条件，不会割去原问 题的可行整数解，但会割掉包括其伴随规划 问题最优解（非整数）在内的部分非整数可 行解，故可作为此问题的一个割平面方程。 一般地前述约束的割平面方程有如下形式：
12
割平面法的关键： 在于如何根据线性规划问题最优单纯表 构造割平面（即新增的约束条件） 满足：能割掉一部分查行解，又不丢掉 任何整数可行解。 4.3.2 割平面方程的构造方法 下面是最优解表中某基变量所在行相应约 束方程
基变量 最优解表中非 基变量系数
13
将各系数分解为不超过此数是最大整数与 小数部分之和,即令:
9
P
分枝定界法注意：
1、分枝变量选择原则： （1）按目标函数系数：选系数绝对值最大者 变 量先分。 对目标值升降影响最大。 （2）选与整数值相差最大的非整数变量先分枝。 （3）或以经验选择。对整数要求的变量排优先 次序。
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2、分枝节点选择： （1） 深探法(后进先出法)： 最后打开的节点最先选，尽快找到整数解。 但整数解质量可能不高。 （2） 广探法： 选目标函数当前最大值节点，可能找到较好 的整数解。
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某一问题的 分枝定界解 法
原问 题 Max z =40x1+90x2 St 9x1+7x2<56
7x1+20x2<70
X1,x2>0且为整数
说及下 。明 直 面 。接结 第一枝 B1 Max z =40x1+90x2 用 合 St 9x1+7x2<56 软 7x1+20x2<70 件 x1<4 求 X1,x2>0 解软 第二枝 B2 。件 Max z =40x1+90x2 以说 St 9x1+7x2<56 书明 7x1+20x2<70 x1>=5 求 43 X1,x2>0 例解 子过 程 加 用LINDO软件求 。 以 解说明该过程 LINDO
基本原理：
1、首先求解整数问题的伴随问题（原问题A去掉整 数约束条件后得到的问题B）。
2、若为整数解，则为原问题的最优解。否则：
3、分枝：选择 xj=bj 不为整数，而原问题要求xj为 整数，则原问题最优解不可能在区域内： [bj]<xj<[bj]+1 故将前伴随问题分别加上约束条件 xj>=[bj]+1 Xj<=[bj] 从一分二技形成两个问题B1与B2
2
4.1.2 整数规划问题的求解方法
1、化整方法
包括：四舍五入、去掉小数部分化为整数。
化整后可能已不再是可行解，或即使可行但不是最优 解。此方法看似简单但行不通，后边以例子说明。 2、穷举法： 给出所有整数组合解，比较目标值大小，从而得最优 解，对于0，1规划问题也易想到此方法。但当变量数 目较大，如20个，计算量太大，计算机计算都要以年 万年时间计，故往往是无效的。在指派问题时说明。
3
3、有效的方法： 一类：先去掉整数约束条件，求解对应的线性
规划问题（伴随问题），增加附加约束条件，保证 不去掉整数可行解，再求解，直到得到整数最优解。 此类算法有：分枝定界法、割平面法等。
另一类：隐枚举法。
即设计的一些方法，只检查变量取值组合的一 部分，就能求到问题的最优解，此类方法类也较多。
4
优解，因为（4，1）的 函数值为14 比其13的函 数值还大。 用穷举法则要给出图中 所有红点（可行解）的 目标值，再比较大小， 对于变量较多时，效率 低。
1 2
3
h (3.25, 2.5)
4 5 6 7
o
x1
①
②
5
4.2 分枝定界法
x2
6
X1<=3
X1>=3+1
5
4
3
(3.25, 2.5)
2
1
o
1
2
3
4
5
67Fra bibliotekx1加上附加约束将问题分为两枝，即两个线性规划问 题，而且保证不丢失正数解。 7
B1：B
xj<=[bj] 分别求解问题B1与B2
B2：B
xj>=[bj]+1
4、定界：以当前目标值最大而又未分枝的子问题 的目标值为上界，当前最好的整数解目标值（若 还没有则选择为负无穷大）为下界。 5、逐步分枝，并求各分技问题，修改上下界，上 界将逐步减小，下畀将逐步增加，直到二者相等， 则得到原整数规划问题的解。 注意：分枝的优先顺序和剪技（不再继续分技） 的条件。以书上例子加以说明。
运筹学教案
整数规划
陈安明
1
4.1 整数规划问题及特点
4.1.1 整数规划的概念
1、整数规划的定义： 决策变量要求取整数的线性规划。 2、整数规划的分类： 纯整数规划：全部决策变量均要求取整数。 混合整数规划：只要部分决策变量要求取整数。 0,1规划：一类变量只取0,1特殊的整数规划问题。 3、整数规划的性质： （1）可行解域为点集。 （2）整数最优解的目标值劣于同问题非整数最优解 的目标值。
max z 3 x1 2 x2 2 x1 3 x2 14 4 x 2 x 18 1 2 x1 , x2 0 x1 , x2为整数 (1) ( 2) (3) ( 4)
x2
6 5 4 3 2 1
例：左边为一整数规划 问题 最优解（3.25,2.5)，四舍 五入化整为(3,3)已不是 可行解，去小数化束得 (3,2)虽可行但不是最
11
4.3 割平面解法
4.3.1 原理： 解伴随规划问题，若得到非整数最优解， 则增加被称为割平面的一个线性约束，再求 解。 增加的割平面能割掉一部分非可行域，但 不会去掉整数可行解。 不断增加割平面，使缩少后的可行域的出 现整数解的极点，并且为问题的最优解。 但割平面可能要经过多次构造才能出现此 种情况。
例:P48 最优解表中第一个约束条件:
约束为:x2+9/4x3-1/4x4=9/4可改写为： X2+(2+1/4)x3+(-1+3/4)x4=2+1/4
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X2+(2+1/4)x3+(-1+3/4)x4=2+1/4 移项得： 1/4 –(1/4x3+3/4x4)=x2+2x3-x4 因xj>=0 且取整数，故有： 1/4 -（1/4x3+3/4x4)<=0 即1/4x3+3/4x4>1/4 即对任意整数变量，都满足上述不等式，亦 即原问题加上上述约束条件，不会割去原问 题的可行整数解，但会割掉包括其伴随规划 问题最优解（非整数）在内的部分非整数可 行解，故可作为此问题的一个割平面方程。 一般地前述约束的割平面方程有如下形式：
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割平面法的关键： 在于如何根据线性规划问题最优单纯表 构造割平面（即新增的约束条件） 满足：能割掉一部分查行解，又不丢掉 任何整数可行解。 4.3.2 割平面方程的构造方法 下面是最优解表中某基变量所在行相应约 束方程
基变量 最优解表中非 基变量系数
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将各系数分解为不超过此数是最大整数与 小数部分之和,即令:
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P
分枝定界法注意：
1、分枝变量选择原则： （1）按目标函数系数：选系数绝对值最大者 变 量先分。 对目标值升降影响最大。 （2）选与整数值相差最大的非整数变量先分枝。 （3）或以经验选择。对整数要求的变量排优先 次序。
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2、分枝节点选择： （1） 深探法(后进先出法)： 最后打开的节点最先选，尽快找到整数解。 但整数解质量可能不高。 （2） 广探法： 选目标函数当前最大值节点，可能找到较好 的整数解。
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某一问题的 分枝定界解 法
原问 题 Max z =40x1+90x2 St 9x1+7x2<56
7x1+20x2<70
X1,x2>0且为整数
说及下 。明 直 面 。接结 第一枝 B1 Max z =40x1+90x2 用 合 St 9x1+7x2<56 软 7x1+20x2<70 件 x1<4 求 X1,x2>0 解软 第二枝 B2 。件 Max z =40x1+90x2 以说 St 9x1+7x2<56 书明 7x1+20x2<70 x1>=5 求 43 X1,x2>0 例解 子过 程 加 用LINDO软件求 。 以 解说明该过程 LINDO
基本原理：
1、首先求解整数问题的伴随问题（原问题A去掉整 数约束条件后得到的问题B）。
2、若为整数解，则为原问题的最优解。否则：
3、分枝：选择 xj=bj 不为整数，而原问题要求xj为 整数，则原问题最优解不可能在区域内： [bj]<xj<[bj]+1 故将前伴随问题分别加上约束条件 xj>=[bj]+1 Xj<=[bj] 从一分二技形成两个问题B1与B2
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4.1.2 整数规划问题的求解方法
1、化整方法
包括：四舍五入、去掉小数部分化为整数。
化整后可能已不再是可行解，或即使可行但不是最优 解。此方法看似简单但行不通，后边以例子说明。 2、穷举法： 给出所有整数组合解，比较目标值大小，从而得最优 解，对于0，1规划问题也易想到此方法。但当变量数 目较大，如20个，计算量太大，计算机计算都要以年 万年时间计，故往往是无效的。在指派问题时说明。
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3、有效的方法： 一类：先去掉整数约束条件，求解对应的线性
规划问题（伴随问题），增加附加约束条件，保证 不去掉整数可行解，再求解，直到得到整数最优解。 此类算法有：分枝定界法、割平面法等。
另一类：隐枚举法。
即设计的一些方法，只检查变量取值组合的一 部分，就能求到问题的最优解，此类方法类也较多。
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优解，因为（4，1）的 函数值为14 比其13的函 数值还大。 用穷举法则要给出图中 所有红点（可行解）的 目标值，再比较大小， 对于变量较多时，效率 低。
1 2
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h (3.25, 2.5)
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o
x1
①
②
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4.2 分枝定界法