计算方法_第2章_数值积分
数值积分-计算方法
(k=0,1,…,n) 作代换x=a+th带入上式，变为： 其中：
(k=0,1,…,n) （1-1） 这个积分是有理多项式积分，它与被积函数f(x)和区间[a,b]无关。
只要确定n就能计算出系数
。 于是得到称为Newton—Cotes公式的求积公式： （1-2） 其中
称为Newton—Cotes系数。如表1所示。 表1 Newton—Cotes系数
§3.1计算n阶求积公式
若有m次代数精度，对(k=0,1,…)应有
而。
§3.2 Gauss求积公式的基本原理
更一般形式： （2-1） 为权函数，设>0，且在[a,b]上可积，构造n阶求积公式：
（2-2） 积分点使得（2-2）式达到2n+1次代数精度，则积分点称为Gauss 点，（2-2）式称为Gauss求积公式。
§2Newton—Cotes公式 §2.1Newton—Cotes公式的推导
当§1.1插值求积公式的插值节点为等距节点时，就得到Newton— Cotes公式。
将区间[a,b]n等分，，n+1个节点为 xk=a+kh (k=0,1,…,n)
在节点上对f(x)的Lagrange插值多项式是：
用Pn(x)代替f(x)构造求积公式： 记
y=(1-1/2*(sin(x)).^2).^(1/2); 在Matlab工作窗口中调用函数：
y2=gauss2('gaussf',0,pi/2) 运行结果为：
y2= 1.3508
第5章 结论
通过以上变成和计算，得到所求的两组积分：
应用Newton—Cotes积分公式所求的结果分别是 y1=1.5078，y2 = 1.3506，而应用Gauss-Legendre方法所求得的结果分别是y1=1.5705 和 y2= 1.3508。单从结果上看，我们也能看出，Newton—Cotes积分公式 和Gauss-Legendre积分公式在精度上的确存在着差异（两者n的取值不 同）。而结果上的差异来源很明显是插值积分在近似替代时产生的，结 合第1章理论依据的内容，Newton-Cotes积分公式的精度最高可达n+1 次，Gauss-Legendre积分公式的精度为2n+1次，由此可知，当n相同 时， Gauss -Legendre积分公式比Newton—Cotes积分公式具有更高的 代数精度。而就本题而言Gauss -Legendre积分公式具有5次代数精度， Newton—Cotes积分公式也具有5次代数精度。因此二者所求积分只存在 微小的差异，结果都比较准确。
数值计算方法及算法
h
2
中心差商 f (x h) f (x h) f (x) f ( ) h2
2h
6
插值微分
(x) f (x) K (x)(x x0 )(x xn )
(xi )
f (xi )
f (n1) ( )
(n 1)!
(xi x j )
构造n-1次插值多项式φ1(x)和 φ2(x)，则有
(x)
x xn x0 xn
1(x)
x x0 xn x0
2 ( x)
对n用归纳法。
• f[x0,…,xn]与x0,…,xn的顺序无关。
误差估计：
R(x)
f (x) (x)
f (n1) ( )
(n 1)!
(n 1)!
Hermite插值
给定平面上n+1个插值点(xi,yi,mi), 构造 2n+1次多项式φ(x), 满足φ(xi)=yi, φ’(xi)=mi, i=0,1,…,n.
单项式 基函数
Lagrange 基函数
(x) a0 a1x an1x2n1
1
单项式 插值
(x) a0 a1x an xn，或
(x)
a0
a1
x h
an
(
x h
)n
1 x0 x0n a0 y0
1
1
x1
xn
x1n xn n
a1
an
(x)
(x
x0 )(x
xn )
x
计算方法（二）用C#实现数值积分
计算⽅法（⼆）⽤C#实现数值积分在⼯程中，经常会遇到积分问题，这时原函数往往都是找不到的，因此就需要⽤计算⽅法的数值积分来求。
public class Integral{///<summary>///梯形公式///</summary>///<param name="fun">被积函数</param>///<param name="up">积分上限</param>///<param name="down">积分下限</param>///<returns>积分值</returns>public static double TiXing(Func<double, double> fun, double up, double down){return (up - down) / 2 * (fun(up) + fun(down));}///<summary>///⾟普森公式///</summary>///<param name="fun">被积函数</param>///<param name="up">积分上限</param>///<param name="down">积分下限</param>///<returns>积分值</returns>public static double Simpson(Func<double, double> fun, double up, double down){return (up - down) / 6 * (fun(up) + fun(down) + 4 * fun((up + down) / 2));}///<summary>///科特克斯公式///</summary>///<param name="fun">被积函数</param>///<param name="up">积分上限</param>///<param name="down">积分下限</param>///<returns>积分值</returns>public static double Cotes(Func<double, double> fun, double up, double down){double C = (up - down) / 90 * (7 * fun(up) + 7 * fun(down) + 32 * fun((up + 3 * down) / 4)+ 12 * fun((up + down) / 2) + 32 * fun((3 * up + down) / 4));return C;}///<summary>///复化梯形公式///</summary>///<param name="fun">被积函数</param>///<param name="N">区间划分快数</param>///<param name="up">积分上限</param>///<param name="down">积分下限</param>///<returns>积分值</returns>public static double FuHuaTiXing(Func<double, double> fun, int N, double up, double down){double h = (up - down) / N;double result = 0;double x = down;for (int i = 0; i < N - 1; i++){x += h;result += fun(x);}result = (fun(up) + result * 2 + fun(down)) * h / 2;return result;}///<summary>///复化⾟浦⽣公式///</summary>///<param name="fun">被积函数</param>///<param name="N">区间划分快数</param>///<param name="up">积分上限</param>///<param name="down">积分下限</param>///<returns>积分值</returns>public static double FSimpson(Func<double, double> fun, int N, double up, double down){double h = (up - down) / N;double result = 0;for (int n = 0; n < N; n++){result += h / 6 * (fun(down) + 4 * fun(down + h / 2) + fun(down + h));down += h;}return result;}///<summary>///复化科特斯公式///</summary>///<param name="fun">被积函数</param>///<param name="N">区间划分快数</param>///<param name="up">积分上限</param>///<param name="down">积分下限</param>///<returns>积分值</returns>public static double FCotes(Func<double, double> fun, int N, double up, double down){double h = (up - down) / N;double result = 0;for (int n = 0; n < N; n++){result += h / 90 * (7 * fun(down) + 32 * fun(down + h / 4) + 12 * fun(down + h / 2) +32 * fun(down + 3 * h / 4) + 7 * fun(down + h));down += h;}return result;}///<summary>///龙贝格算法///</summary>///<param name="fun">被积函数</param>///<param name="e">结果精度</param>///<param name="up">积分上限</param>///<param name="down">积分下限</param>///<returns>积分值</returns>public static double Romberg(Func<double, double> fun, double e, double up, double down){double R1 = 0, R2 = 0;int k = 0; //2的k次⽅即为N（划分的⼦区间数）R1 = (64 * C(fun, 2 * (int)Math.Pow(2, k), up, down) - C(fun, (int)Math.Pow(2, k++), up, down)) / 63; R2 = (64 * C(fun, 2 * (int)Math.Pow(2, k), up, down) - C(fun, (int)Math.Pow(2, k++), up, down)) / 63;while (Math.Abs(R2 - R1) > e){R1 = R2;R2 = (64 * C(fun, 2 * (int)Math.Pow(2, k), up, down) - C(fun, (int)Math.Pow(2, k++), up, down)) / 63; }return R2;}private static double S(Func<double, double> fun, int N, double up, double down){return (4 * FuHuaTiXing(fun, 2 * N, up, down) - FuHuaTiXing(fun, N, up, down)) / 3;}private static double C(Func<double, double> fun, int N, double up, double down){return (16 * S(fun, 2 * N, up, down) - S(fun, N, up, down)) / 15;}}。
计算方法-数值积分市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
-辛1 普森求积公式旳几何意义是用一条过三点旳抛物线(如上 图中三点)近似替代被积函数旳曲线,从而用一种二次抛物线 -1所.5 围成旳轻易计算旳曲边梯形面积(图中阴影部分)来近似替 代原来旳曲边梯形旳面积.
-2
-2.5
辛普森积分法
❖ 经过对n个区间按上述公式累加，可得区间[x0,x1]上 旳积分形式为
算法特色
❖ 成果输出清楚，且精度高，能保存到小数点后13位(中值法)
算法特色
将各措施旳误差一次性输出，能直观旳看出各积分措施旳误差大 小并进行比较
总结
经过本章旳学习，我们更深刻旳了解了数值积分 旳原理及实现措施，而且在小组讨论中，学习到了怎 样实当代码旳简洁、降低变量旳定义以及怎样实当代 码时间与空间旳优化等，大家都有所收益
❖ 对大多数f(x)而言，找原函 数困难，虽然存在原函数也 不能用初等函数表达
ex2 , sin x , 1 x3 ...... x
❖ 原函数体现式过于复杂
x2 2x2 3 3
❖ 被积函数由表格给出，没有 解析形式，也无法使用 Newton-Leibniz公式来求 积分
数值积分
❖ 为了防止上述积分过程中存在旳问题，我们能够采用 数值积分旳措施来求解，这么就防止了原函数旳求解 过程，同步对于由测量或计算得到旳数据表表达旳 f(x)也能够求解
进行泰勒展开，可得区间
[x0,x0+2x ]上旳积分形式如下所
2
示: 2.5
3
3.5
x0-12x
x0-1.5
f
(x)dx
x 3
(
f
(x0)
4f
(x0
x)
f
(x0
2x))
O(x5)
数值计算方法之数值积分
数值计算方法之数值积分数值积分是数值计算中的一个重要内容，它是对函数在其中一区间上的积分进行数值近似计算的方法。
数值积分在计算机科学、自然科学以及工程领域都有广泛的应用，如求解不定积分、概率密度函数的积分、求解微分方程初值问题等。
数值积分的基本思想是将积分区间划分为若干小区间，然后对每个小区间进行数值近似计算，再将结果相加得到近似的积分值。
常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法等。
首先介绍矩形法。
矩形法是将积分区间划分为若干个小区间，然后用每个小区间的函数值与该小区间的宽度相乘得到每个小矩形的面积，最后将所有小矩形的面积相加得到近似的积分值。
矩形法分为左矩形法、右矩形法和中矩形法三种。
左矩形法即用每个小区间的最左端点的函数值进行计算，右矩形法用最右端点的函数值进行计算，中矩形法用每个小区间中点的函数值进行计算。
梯形法是将积分区间划分为若干个小区间，然后用每个小区间两个端点的函数值与该小区间的宽度相乘，再将每个小梯形的面积相加得到近似的积分值。
梯形法相较于矩形法更为精确，但需要更多的计算量。
辛普森法是将积分区间划分为若干个小区间，然后用每个小区间的三个点的函数值进行插值，将插值函数进行积分得到该小区间的近似积分值，最后将所有小区间的近似积分值相加得到近似的积分值。
辛普森法相比矩形法和梯形法更为精确，但计算量更大。
除了以上几种基本的数值积分方法外，还有龙贝格积分法、高斯积分法等更为精确的数值积分方法。
这些方法的原理和步骤略有不同，但都是通过将积分区间分割为若干小区间，然后进行数值近似计算得到积分值的。
总结起来，数值积分是通过将积分区间分割为若干小区间，然后对每个小区间进行数值近似计算得到积分值的方法。
常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法等。
数值积分在计算机科学、自然科学以及工程领域均有广泛应用，是数值计算中的重要内容。
计算方法数值积分_插值型积分
计算方法数值积分_插值型积分
一．概述
插值型积分是数值积分的一项重要方法，它是将要计算的曲面上的积分点根据插值函数或其中一种样条函数，插值成一条直线之后再求解。
插值型积分主要有牛顿-拉夫逊插值内插法、Chebyshev插值内插法、余弦和正弦插值内插法和Hermite插值内插法等，主要用来解决二元函数、多项式、函数的积分。
同时，插值型积分可以用来求解非常复杂的不可积函数，也可以用于求解紧密的积分，可以节省一定的计算时间。
二、牛顿-拉夫逊插值内插法
牛顿-拉夫逊插值内插法是插值型积分中最常用的方法，它通过在给定的多项式基函数上拟合曲线，计算曲线上积分点的函数值，然后把它们拟合到牛顿-拉夫逊插值函数中，最后将插值函数作为定积分的函数，通过求解插值函数的积分来解决问题。
牛顿-拉夫逊插值内插法一般采用牛顿-拉夫逊插值函数，它是基于多项式的函数，由节点上的函数值和其导数值建立插值函数，其积分也可以由插值函数和它的导数求解。
牛顿-拉夫逊插值函数具有以下特点：
1.多项式阶数不受限；
2.插值函数结果是一条曲线；
3.可以非常精确地表示复杂的函数；。
数值计算中的数值积分方法
数值计算中的数值积分方法数值计算是应用数学的一个分支，它主要涉及数值计算方法、算法和数值实验。
其中，数值积分作为数值计算中的一个重要环节，其作用在于将连续函数转化为离散的数据，从而方便计算机进行计算和处理。
本文将介绍数值积分的概念、方法和应用。
一、数值积分的概念数值积分是利用数值方法对定积分进行估计的过程。
在数值积分中，积分被近似为离散区间的和，从而可以被计算机进行处理。
数值积分中，被积函数的精确的积分值是无法计算的，而只能通过数值方法进行估计。
数值积分的目的是通过选取合适的算法和参数来尽可能减小误差，达到精度和效率的平衡。
二、数值积分的方法1. 矩形法矩形法是数学上最简单的数值积分方法之一。
矩形法的算法是将要积分的区间分为若干个小区间，然后计算每个小区间中矩形的面积，最后将所有小矩形的面积加起来得到近似的积分值。
矩形法的精度一般较低，适用于计算不需要高精度的函数积分。
2. 梯形法梯形法是数值积分中常用的一种方法，其原理是将区间分为若干个梯形，并计算每个梯形的面积，最后将所有梯形的面积加起来得到近似的积分值。
梯形法的计算精度较高，但其计算量较大。
3. 辛普森法辛普森法是数值积分中一种高精度的方法，它是利用二次多项式去估计原函数。
辛普森法的原理是将区间分为若干等分小区间，并计算每个小区间中的二次多项式的积分值，最后将所有小区间的积分值加起来得到近似的积分值。
辛普森法的优点是其精度高，计算量相对较小。
三、数值积分的应用数值积分方法在各个领域都有广泛的应用。
例如，它可以被用于工程学、物理学和金融学中的数值计算。
在工程学中，数值积分被用于数值模拟和计算机辅助设计中。
在物理学中，数值积分则被用于数值求解微分方程和计算机模拟等领域。
在金融学中，数值积分则被应用于计算复杂的金融模型和风险分析。
总之，数值积分方法是数学和计算机科学中非常重要的一部分。
通过不同的数值积分方法来近似计算定积分，我们能够利用计算机更加高效地进行数学计算和数据分析，从而使得数学和物理等学科的研究者能够更加快速地得出准确的结果。
数值积分使用数值方法计算定积分
数值积分使用数值方法计算定积分定积分是数学中的重要概念，用于求解曲线下面的面积。
在某些情况下，定积分无法通过解析解来求解，此时可以使用数值方法来进行近似计算。
数值积分是一种广泛应用的技术，本文将介绍数值积分的基本原理以及常见的数值方法。
一、数值积分的基本原理数值积分的基本原理是将曲线下的面积近似为若干个矩形的面积之和。
假设要计算函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，首先将[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的宽度为Δx=(b-a)/n。
然后，在每个小区间上选择一个代表点xi，计算其对应的函数值f(xi)，然后将所有矩形的面积相加，即可得到近似的定积分值。
二、矩形法矩形法是数值积分中最简单的方法之一。
它将每个小区间上的函数值看作是一个常数，然后通过计算矩形的面积来近似定积分的值。
矩形法主要有两种形式：左矩形法和右矩形法。
1. 左矩形法左矩形法使用小区间左端点的函数值来代表整个小区间上的函数值。
即近似矩形的面积为f(xi) * Δx，其中xi为小区间的左端点。
然后将所有矩形的面积相加，得到近似的定积分值。
2. 右矩形法右矩形法与左矩形法相似，仅仅是使用小区间右端点的函数值来代表整个小区间上的函数值。
近似矩形的面积为f(xi + Δx) * Δx，其中xi为小区间的左端点。
同样地，将所有矩形的面积相加，得到近似的定积分值。
三、梯形法梯形法是比矩形法更精确的数值积分方法。
它通过使用每个小区间的两个端点处函数值的平均值来代表整个小区间上的函数值，并计算梯形的面积来近似定积分的值。
梯形法的计算公式为：(f(xi) + f(xi + Δx)) * Δx / 2，其中xi为小区间的左端点。
将所有梯形的面积相加，得到近似的定积分值。
四、辛普森法辛普森法是一种更加高阶的数值积分方法，它使用三个点对应的函数值来逼近曲线。
将每个小区间看作一个二次函数，可以通过拟合这个二次函数来近似定积分的值。
辛普森法的计算公式为：(f(xi) + 4 * f(xi + Δx/2) + f(xi + Δx)) * Δx / 6，其中xi为小区间的左端点。
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课后作业： 习题二：1，8，18。（要列出主要公式，不要只给出答案）
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上机作业： 编写一通用型复化辛甫生公式。能够对任意长度的等间距离 散数据进行积分运算。
命令格式：y=simpson(x,h)
y: 积分结果； x: 输入数组； h: 间距；
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