2015-2016学年云南省保山市腾冲市高一(下)期末数学试卷(解析版)

2015-2016学年云南省保山市腾冲市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．已知A={1，2，3}，B={x∈N||x|=3}，那么A∩B=（）A．3 B．﹣3 C．{﹣3，1，2，3}D．{3}2．计算：cos75°cos15°﹣sin75°sin15°的值为（）A．0 B．1 C．D．3．已知象限角α的终边经过点（，），则sinα=（）A．B．C．D．4．方程2x=x2的实数解的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．35．两直线3x﹣4y﹣5=0与3x﹣4y+5=0的距离为（）A．0 B．C．1 D．26．向量||=3，||=2，（ +2）⊥（﹣2），则向量与的数量积等于（）A．﹣1 B．﹣C．3 D．47．以（0，3）为圆心且与y=x相切的圆与单位圆的位置关系为（）A．外离 B．内含 C．相交 D．相切8．一个几何体的三视图都是腰长为2 的等腰直角三角形，则这个几何体的表面积为（）A．6+2B．2C．6 D．9．已知体积为的长方体的八个顶点都在球面上，在这个长方体中，有两个面的面积分别为、，那么球O的表面积等于（）A．πB．π C．6πD．9π10．已知一条3m长的线段，从中任取一点，使其到两端的距离大于1m的概率为（）A．B．C．D．11．若函数f（x）=sin2ωx﹣cos2ωx的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则实数ω的值为（）A．B．3 C．±D．±312．已知f（x）=e x﹣e﹣x+ln（+x），a=f（），b=f（2），c=﹣f（2﹣π），下列结论正确的是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分、共20分.13．某工厂生产的甲、乙、丙三种不同型号的产品数量之比为1：3：5，为了解三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的甲、乙、丙三种产品中抽出样本容量为n的样本，若样本中乙型产品有27件，则n值为．14．若运行如图所示的程序框图，则输出结果S的值为．15．统计某小区100户人家1月份用水量，制成条形统计图如图，则1月份用水量的平均数为t．16．给出5名同学的数学成绩和物理成绩，计算其数学成绩和物理成绩的相关系数γ，γ=，判断其关系为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知f（x）=sinx，先把f（x）的横纵坐标各伸长2倍后，再向右平移个单位，得到y=g（x）．（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）求函数g（x）的单调增区间．18．如图，将一副三角板拼接，使他们有公共边BC，且使这两个三角形所在的平面互相垂直，∠BAC=∠CBD=90°，AB=AC，∠BCD=30°，BC=6．（Ⅰ）证明：DB⊥AB；（Ⅱ）求点C到平面ADB的距离．19．甲袋有1个白球、2个红球、3个黑球；乙袋有2个白球、3个红球、1个黑球，所有球除颜色有区别外，其余都相同，现从两袋中各取一球．（Ⅰ）求出所有可能出现的情况；（Ⅱ）求两球颜色相同的概率．20．有根木料长6米，要做一个如图的窗框，已知上框架与下框架的高比为1：2，问怎样利用木料，才能使光线通过窗框面积最大？并求出最大面积．（中间木挡的面积可忽略不计）21．在平面直角坐标系xOy中，动点P到点D（2，3）的距离为4，设点P的轨迹为C．（Ⅰ）写出C的方程；（Ⅱ）设直线y=kx+1与C交于A，B两点，当k为何值时，⊥，此时||的值是多少？22．设函数f（x）=2ka x+（k﹣3）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）若f（2）＜0，试判断函数f（x）的单调性，并求使不等式f（x2﹣x）+f（tx+4）＜0恒成立的t的取值范围．2015-2016学年云南省保山市腾冲市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．已知A={1，2，3}，B={x∈N||x|=3}，那么A∩B=（）A．3 B．﹣3 C．{﹣3，1，2，3}D．{3}【考点】交集及其运算．【分析】列举出B中的元素，找出A与B的交集即可．【解答】解：∵A={1，2，3}，B={x∈N||x|=3}={3}，∴A∩B={3}，故选：D．2．计算：cos75°cos15°﹣sin75°sin15°的值为（）A．0 B．1 C．D．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】利用两角和差的余弦公式进行化简即可．【解答】解：cos75°cos15°﹣sin75°sin15°=cos（75°+15°）=cos90°=0，故选：A．3．已知象限角α的终边经过点（，），则sinα=（）A．B．C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】根据题意，设P的坐标为（，），由两点间距离公式可得r=|OP|的值，进而由任意角正弦的定义计算可得答案．【解答】解：根据题意，设P（，），则r=|OP|=1，∴sinα==，故选：A．4．方程2x=x2的实数解的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】指数函数的图象与性质．【分析】要求方程2x=x2的实数解的个数，根据方程的根与函数零点个数的关系，可将问题转化为求函数零点个数问题，利用函数图象交点法，我们在同一坐标系中画出y=2x与y=x2的图象，分析图象交点的个数即可得到答案．【解答】解：在同一坐标系中画出函数y=2x与y=x2的图象如图所示：由图象可得，两个函数的图象共有3个交点故方程2x=x2的实数解的个数是3个故选D5．两直线3x﹣4y﹣5=0与3x﹣4y+5=0的距离为（）A．0 B．C．1 D．2【考点】两条平行直线间的距离．【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可．【解答】解：两平行直线3x﹣4y﹣5=0与3x﹣4y+5=0的距离是：=2故选：D．6．向量||=3，||=2，（ +2）⊥（﹣2），则向量与的数量积等于（）A．﹣1 B．﹣C．3 D．4【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量垂直，数量积为0，得到关于数量积的等式解之即可．【解答】解：因为向量||=3，||=2，（ +2）⊥（﹣2），所以向量（+2）•（﹣2）=0，即，所以=﹣10，所以；故选：B．7．以（0，3）为圆心且与y=x相切的圆与单位圆的位置关系为（）A．外离 B．内含 C．相交 D．相切【考点】圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．【分析】求出以（0，3）为圆心且与y=x相切的圆的圆的半径，即可得出结论．【解答】解：圆心（0，3）到y=x的距离为=，∵两圆圆心距为3＞1+，∴以（0，3）为圆心且与y=x相切的圆与单位圆的位置关系为外离，故选：A．8．一个几何体的三视图都是腰长为2 的等腰直角三角形，则这个几何体的表面积为（）A．6+2B．2C．6 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体可知几何体是正方体的一个角，棱长为2，求出该几何体的表面积即可．【解答】解：由几何体的三视图知，该几何体有两个面是直角边为2的等腰直角三角形，三视图复原的几何体是三棱锥，根据三视图数据，可知几何体是正方体的一个角，棱长为2，其表面积是三个等腰直角三角形的面积，以及一个边长为2的正三角形面积的和，如图所示；所以，该三棱锥的表面积为S=3××2×2+×（2）2=6+2．故选A．9．已知体积为的长方体的八个顶点都在球面上，在这个长方体中，有两个面的面积分别为、，那么球O的表面积等于（）A．πB．π C．6πD．9π【考点】球的体积和表面积．【分析】设长方体的长宽高分别为a，b，c，则由题意，abc=，ab=，bc=求出a，b，c，利用长方体的对角线为球O的直径，求出球O的半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：设长方体的长宽高分别为a，b，c，则由题意，abc=，ab=，bc=，∴a=，b=1，c=∴长方体的对角线长为=，∵长方体的对角线为球O的直径，∴球O的半径为，∴球O的表面积等于=6π．故选：C．10．已知一条3m长的线段，从中任取一点，使其到两端的距离大于1m的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意可得，属于与区间长度有关的几何概率模型，试验的全部区域长度为3，基本事件的区域长度为1，代入几何概率公式可求．【解答】解：设“长为3m的线段AB”对应区间[0，3]“与线段两端点A、B的距离都大于1m”为事件A，则满足A的区间为[1，2]根据几何概率的计算公式可得，P==．故选：A．11．若函数f（x）=sin2ωx﹣cos2ωx的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则实数ω的值为（）A．B．3 C．±D．±3【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用辅助角公式化积，再由题意求得周期，结合周期公式求得实数ω的值．【解答】解：f（x）=sin2ωx﹣cos2ωx=，∵函数f（x）=sin2ωx﹣cos2ωx的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，∴，则T=，∴，则．故选：C．12．已知f（x）=e x﹣e﹣x+ln（+x），a=f（），b=f（2），c=﹣f（2﹣π），下列结论正确的是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【考点】不等式的基本性质．【分析】先判断出函数为单调增函数和奇函数，再根据函数的性质比较大小即可【解答】解：易知函数f（x）为增函数，又因为f（﹣x）=e﹣x﹣e x+ln（﹣x）=e x﹣e﹣x﹣ln（+x）=﹣f（x），所以f（x）为奇函数，c=﹣f（2﹣π）=f（π﹣2），因为2=≈1.414，π﹣2≈3.14﹣2=1.14，＜=0.5，所以2＞π﹣2＞，所以f（2）＞f（π﹣2）＞f（），所以b＞c＞a，故选：D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分、共20分.13．某工厂生产的甲、乙、丙三种不同型号的产品数量之比为1：3：5，为了解三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的甲、乙、丙三种产品中抽出样本容量为n的样本，若样本中乙型产品有27件，则n值为81．【考点】分层抽样方法．【分析】求出抽样比，然后求解n的值即可．【解答】解：某工厂生产的甲、乙、丙三种型号产品的数量之比为1：3：5，分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，则乙被抽的抽样比为：=，样本中乙型产品有27件，所以n=27=81，故答案为：81．14．若运行如图所示的程序框图，则输出结果S的值为2500．【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式S，分析程序运行的最后一次循环，即可得出输出的S值．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式是S=1+3+5+ (99)当i=99时，不满足条件i≥101，计算S=1+3+5+…+99==2500；当i=101时，满足条件i≥101，输出S=2500．故答案为：2500．15．统计某小区100户人家1月份用水量，制成条形统计图如图，则1月份用水量的平均数为 6.16t．【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图，利用组中值乘以相对应的频率即可．【解答】解：1×2×0.05+3×2×0.06+5×2×0.12+7×2×0.15+9×2×0.06+11×2×0.06=6.16，故答案为：6.16．16．给出5名同学的数学成绩和物理成绩，计算其数学成绩和物理成绩的相关系数γ，γ=，判断其关系为 有很强的正相关关系． ．【分析】分别令：x 1=60，x 2=70，x 3=80，x 4=90，x 5=100．y 1=50，y 2=40，y 3=70，y 4=80，y 5=80．可得=80， =64．分别计算：，，，代入相关系数计算公式可得r ，进而判断出结论．【解答】解：分别令：x 1=60，x 2=70，x 3=80，x 4=90，x 5=100．y 1=50，y 2=40，y 3=70，y 4=80，y 5=80．可得==80， ==64．=﹣20×（﹣14）+（﹣10）×（﹣24）+0+10×16+20×16=1000．=（﹣20）2+102+0+102+202=1000，=142+242+62+162+162=1000．∴r==1．∴其数学成绩和物理成绩的相关关系为：有很强的正相关关系． 故答案为：有很强的正相关关系．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知f （x ）=sinx ，先把f （x ）的横纵坐标各伸长2倍后，再向右平移个单位，得到y=g （x ）．（Ⅰ）求函数g （x ）的解析式； （Ⅱ）求函数g （x ）的单调增区间．【考点】正弦函数的图象；函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【分析】（Ⅰ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．（Ⅱ）根据正弦函数的单调性，求得函数g（x）的单调增区间．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sinx，先把f（x）的横纵坐标各伸长2倍后，可得y=2sin x 的图象；再向右平移个单位，得到y=g（x）=2sin（x﹣）=2sin（﹣）的图象，∴函数g（x）的解析式为g（x）=2sin（﹣）．（Ⅱ）令2kπ﹣≤﹣≤2kπ+，求得4kπ﹣≤x≤4kπ+，可得函数的增区间为[4kπ﹣，4kπ+]，k∈Z．18．如图，将一副三角板拼接，使他们有公共边BC，且使这两个三角形所在的平面互相垂直，∠BAC=∠CBD=90°，AB=AC，∠BCD=30°，BC=6．（Ⅰ）证明：DB⊥AB；（Ⅱ）求点C到平面ADB的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用平面BCD⊥平面ABC，证明BD⊥平面ABC，可证DB⊥AB；（Ⅱ）利用等体积，能求出C到平面ADB的距离．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面BCD⊥平面ABC，BD⊥BC，平面BCD∩平面ABC=BC∴BD⊥平面ABC，∵AB⊂平面ABC，∴DB⊥AB；（Ⅱ）解：由（I）BD⊥平面ABC，∵S△ABC==9，DB==2，==6，∴V D﹣ABC∵△ADB是直角三角形，AB==3，DB=2，∴S△ADB==3．设点C到平面ADB的距离为h，则，∴h=3，∴点C到平面ADB的距离为3．19．甲袋有1个白球、2个红球、3个黑球；乙袋有2个白球、3个红球、1个黑球，所有球除颜色有区别外，其余都相同，现从两袋中各取一球．（Ⅰ）求出所有可能出现的情况；（Ⅱ）求两球颜色相同的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）根据题意列出即可；（Ⅱ）两球颜色相同包含一是从两个口袋中都取得白球，二是从两个口袋中都取得黑球，三是从两个口袋都取得红球，这三种情况是互斥的，在两个口袋中取得球是相互独立事件，根据概率公式得到结果．【解答】解：（Ⅰ）所有可能出现的情况为：（白，白），（白，红），（白，黑），（红，白），（红，红），（红，黑），（黑，白），（黑，红），（黑，黑），共9种情况；（Ⅱ）由题意知本题是一个等可能事件的概率，∵两球颜色相同包含一是从两个口袋中都取得白球，二是从两个口袋中都取得黑球，三是从两个口袋都取得红球．这三种情况是互斥的，在两个口袋中都取得球是相互独立事件，∴两球颜色相同的概率是P=×+×+×=．20．有根木料长6米，要做一个如图的窗框，已知上框架与下框架的高比为1：2，问怎样利用木料，才能使光线通过窗框面积最大？并求出最大面积．（中间木挡的面积可忽略不计）【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】求出窗框的高为3x，宽为．推出窗框的面积，利用二次函数的最值，求解即可．【解答】解：如图设x，则竖木料总长=3x+4x=7x，三根横木料总长=6﹣7x，∴窗框的高为3x，宽为．…即窗框的面积y=3x•=﹣7x2+6x．（0＜x＜）…配方：y=﹣7（x﹣）2+（0＜x＜2 ）…∴当x=米时，即上框架高为米、下框架为米、宽为1米时，光线通过窗框面积最大．…．21．在平面直角坐标系xOy中，动点P到点D（2，3）的距离为4，设点P的轨迹为C．（Ⅰ）写出C的方程；（Ⅱ）设直线y=kx+1与C交于A，B两点，当k为何值时，⊥，此时||的值是多少？【考点】直线与圆的位置关系；轨迹方程．【分析】（Ⅰ）设动点P坐标为（x，y），利用两点间的距离公式列出曲线C的方程即可；（Ⅱ）利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线y=kx+1的距离d，根据⊥，且两向量的模为半径，求出d的值，进而求出k与||的值即可．【解答】解：（Ⅰ）设动点P的坐标为（x，y），根据题意得：=4，整理得：（x﹣2）2+（y﹣3）2=16，则曲线C的方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2=16；（Ⅱ）圆心（2，3）到直线y=kx+1的距离d=，∵⊥，||=||=r=4，∴d=|AB|=r=×4=2，∴=2，解得：k=﹣1，||=4，则当k=﹣1时，⊥，此时||=4．22．设函数f（x）=2ka x+（k﹣3）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）若f（2）＜0，试判断函数f（x）的单调性，并求使不等式f（x2﹣x）+f（tx+4）＜0恒成立的t的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．【分析】（1）运用f（0）=0求解．（2）根据单调性得出不等式x2﹣x＞﹣tx﹣4，即x2+（t﹣1）x+4＞0恒成立．【解答】解：（1）因为f（x）是定义域为R的奇函数，所以f（0）=0，所以2k+（k﹣3）=0，即k=1，检验知，符合条件；（2）f（x）=2（a x﹣a﹣x）（a＞0且a≠1）因为f（2）＜0，a2﹣＜0，又a＞0且a≠1，所以0＜a＜1因为y=a x单调递减，y=a﹣x单调递增，故f（x）在R上单调递减．不等式化为f（x2﹣x）＜f（﹣tx﹣4）所以x2﹣x＞﹣tx﹣4，即x2+（t﹣1）x+4＞0恒成立，所以△=（t﹣1）2﹣16＜0，解得﹣3＜t＜5．。