2018届湖北省沙市中学高三1月月考数学(文)试题(PDF版)

沙市中学2015级2018年元月考数学（文科）试题满分:150分第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知集合2{|log ,1}==>U y y x x ，1{|,2}==>P y y x x，则U C P =（）A ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．()0+∞，C 1+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭，D ．(]10+2⎡⎫-∞⋃∞⎪⎢⎣⎭，，2.若复数23(23)+++-=a a a iz i（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值是（）A ．3-B ．31-或C ．31或-D ．13.从1,2,3,4,5中任取三个数，则这三个数能构成三角形的概率为（）A．15B．310C．25D．124.在等比数列{}n a 中15,a a 是函数321()51613=-++f x x x x 的极值点，则23log a =（）A ．2B ．4C ．24或D ．2或无意义5.已知函数()2sin()(0,||)2πωϕωϕ=+><f x x 的最小正周期是π，若将其图象向右平移3π个单位后得到的图象关于y 轴对称，则函数()f x 的图象（）A ．关于直线12π=x 对称B ．关于直线512π=x 对称C ．关于点(,0)12π对称D ．关于点5(,0)12π对称6.在椭圆2212+=x y 中任取一点00(,)P x y ，则所取的点能使直线00()-=-y y k x x 与圆221+=x y 恒有公共点的概率为（）（注：椭圆22221(0)+=>>x y a b a b 的面积公式为πab ）A ．12B ．22C ．212-D ．12π7.已知实数,x y 满足约束条件222441+≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩x y x y x y ，若(),=r a x y ，()3,1=-r b ，设z 表示向量r a 在r b 方向上的投影，则z 的取值范围是（）A ．3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]1,6-C ．16,1010⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．36,21010⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8.过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点F 的直线与双曲线相交于,A B 两点，当AB x ⊥轴时，称线段AB 为双曲线的通径．若AB 的最小值恰为通径长，则此双曲线的离心率的范围为（）A ．(1,2⎤⎦B ．()1,2C ．()1,+∞D ．)2,⎡+∞⎣9.执行如下左图所示的程序框图，输出的=a （）A ．20B ．14C ．10D ．710.如上右图是某几何体的三视图，则该几何体的内切球的表面积为（）A ．πB ．2πC ．4πD ．18π11.已知偶函数()f x 满足(1)(1)-=+f x f x 且当[]20,1()=∈时x f x x ，则函数()()cos π=-g x f x x 在[],ππ∈-x 上的零点个为（）A ．4B ．5C ．6D ．812.已知下列命题：①命题“0x R ∃∈，0sin 1x ≥”的否定是：“x R ∀∈，sin 1x <”；②若样本数据12,,,⋅⋅⋅n x x x 的平均值和方差分别为16和1.44则数据123-8,3-8,,3-8⋅⋅⋅n x x x 的平均值和标准差分别为40，3.6；③两个事件不是互斥事件的必要不充分条件是两个事件不是对立事件；④在22⨯列联表中，若比值a ca b c d++与相差越大，则两个分类变量有关系的可能性就越大．⑤已知α、β为两个平面，且αβ⊥，l 为直线．则命题:“若l β⊥则//l α”的逆命题和否命题均为假命题．⑥设定点1(0,1)F -、2(0,1)F ，动点P 满足条件121()PF PF a a a+=+为正常数，则P 的轨迹是椭圆．其中真命题的个数为()A ．5B ．4C ．3D ．2第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知平面向量(2,1),(2,).λ==r r a b 且(2)μ-=+r r r ra b a b ，则λμ+=．14.已知数列{}n a 为等差数列，D 为ABC ∆的边BC 上任意一点，且满足14034AD a AB a AC =+uuu r uu u r uuu r，则20172018a a ⋅的最大值为．15.抛物线()220=>y px p 的焦点为,F M 为抛物线上一点，若OFM ∆的外接圆与抛物线的准线相切(O 为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p =．16.“求方程34155⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭xx的解”有如下解题思路：设34()55⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭xxf x ，则()f x 在R 上单调递减，且(2)1=f ，所以原方程有唯一解2=x .类比上述解题思路，不等式632(2)(2)-+>+-x x x x 的解集是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）在如图四边形DCAB 中，,,a b c 为的∆ABC 内角,,A B C 的对边，且满足sin sin cos cos 20sin cos ++-+=B C B C A A .(Ⅰ)证明：,,b a c 成等差数列；(Ⅱ)已知3,5=b c 1cos ,2, 4.4∠===CDB DC DB 求四边形DCAB 的面积.18.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111-ABC A B C 中，12,22,23,====AB BC AC A C ,M N 分别是AC 和1BB 的中点.(Ⅰ)求证：11P 平面MN A B C ；(Ⅱ)若AB 上一点P 满足116-=N B PM V ，求1B P 与MN 所成角的余弦值.19.（本小题满分12分）某保险公司有一款保险产品的历史户获益率（获益率=获益÷保费收入）的频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）试估计平均收益率；（Ⅱ）根据经验若每份保单的保费在20元的基础上每增加x 元，对应的销量y （万份）与x （元）有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如下5组x 与y 的对应数据：（ⅰ）根据数据计算出销量y （万份）与x （元）的回归方程为∧∧=+y b x a ；（ⅱ）若把回归方程∧∧=+y b x a 当作y 与x 的线性关系，用（Ⅰ）中求出的平均获益率估计此产品的获益率，每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大获益，并求出该最大获益.参考公示：1122211()(),()∧∧∧====-∑--===-∑--∑∑nni ii i i i nni ii i x y nx yx x y y b a y b xx x xnx20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b 的离心率为12，且椭圆C 过点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，直x (元)2535404555销量y （万份）7.36.36.05.94.3线l 过椭圆C 的右焦点F 且与椭圆C 交于,M N 两点.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)已知点()4,0P ，求证：若圆222:(0)Ω+=>x y r r 与直线PM 相切，则圆Ω与直线PN 也相切.21．（本小题满分12分）已知函数()()=-∈（）m f x x a a R ，()28=+xg x e .（Ⅰ）当()g x 在0=x 处的切线与直线210++=mx y 垂直时，方程()()=f x g x 有两相异实数根，求a 的取值范围；（Ⅱ）若幂函数2()(33)=-+mh x m m x 的图象关于y 轴对称，求使不等式()()0-≥g x f x 在[)0,+∞上恒成立的a 的取值范围.22.（本小题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系在直角坐标系xoy 中，曲线1cos :sin αα=⎧⎨=⎩x t C y t （t 为参数且0≠t ），其中0απ≤≤，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线23:2sin ,:23cos ρθρθ==C C ．（Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求当56πα=时AB 的值．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知∃∈x R ，不等式12---≥x x t 成立.（Ⅰ）求实数t 的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，对于实数,m n 满足1,1>>m n 且不等式33log log ≥g m n t 恒成立，求+m n 的最小值.数学（文科）试题参考答案题号123456789101112答案C DBA D BD AC B C A13.114.1415.416.(),1(2,)-∞-⋃+∞17.解析：(Ⅰ)由题设有sin cos sin cos 2sin cos sin cos sin +=--B A C A A B A C A 即sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin +++=B A B A C A C A A sin()sin()2sin ∴+++=A B A C A 由三角形内角和定理有sin sin 2sin +=B C A 由正弦定理有2+=b c a,,∴b a c 成等差数列(Ⅱ)在∆BDC 中，由余弦定理有222=2cos 16+-∠=g g BC CD BD CD BD CDB 即4=BC 32,5+==Q b c a b c ,445∴==a c 即5=c 则3=b ∴∆ABC 为∆Rt .6∆∴=ABC S 由于215sin 1cos 4∠=-∠=CDB CDB 1sin 152∆∴=∠=g g CDB S CD BD CBD 615∆∴=+=+DCAB CDB ABC S S S 18.解析：（Ⅰ）证明：Q 直三棱柱111-ABC A B C 中，2,22===AB BC AC 222∴+=AB BC AC ∴⊥AB BC ,又23=AC ，22112=-=A A A C AC ，取1A C 的中点D ，连接1,MD B D ,,Q M D 为中点，1∴P MD AA 且112=MD AA 。

又N 为1B B 中点，11∴P B N AA 且1112=B N AA 1∴P DM B N 且1∴=DM B N ，故四边形1DMNB 为平行四边形，1∴P MN B D ，11111,⊄⊂Q 平面平面MN A BC BD A B C ，11∴P 平面MN A B C(Ⅱ)由等体积法1111111326--==⨯⨯⨯=N B PM M B NP V V PB 有1=PB ,则P 为AB 中点。