20xx年泉州市中考数学质量检测数学试卷含答案.doc
福建省泉州市2020-2021学年上学期初中教学质量监测初三数学参考答案及评分标准
∴ A(2, 0) ， B(0, 4) .…………………………………………………………………………2 分
在 Rt AOB 中，由勾股定理得： AB = 22 + 42 = 2 5 .……………………………………………3 分
(2)解法一：如图 1，由旋转的性质可得 BCD = B'CD' ， BC = B'C ，
17.（本小题 8 分）
13. 30
14. 2 :1
15. 6
16.
3 1.
解：原式= 48 − 12 + 3 −1 ………………………………………………………………………6 分
= 4 3 − 2 3 + 2 ……………………………………………………………………………7 分
= 2 3 + 2 . ……………………………………………………………………………………8 分
62°
31°
CD
6m B
(第 20 题图)
sin ADC = AC ， ……………………………………………………………………………………5 分 AD
2020-2021 学年度上学期泉州市初中教学质量监测初三数学试题参考答案
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sin 62 = AC ， 6
AC = 6 sin 62 6 0.88 = 5.28 5.3 (m) ……………………………………………………………7 分 答：自动扶梯的垂直高度 AC 约为 5.3 m. ……………………………………………………………8 分 (其它解法，请参照以上评分标准) 21.（本小题 8 分） 解：(1)如图，点 D 是所求作的点； …………………………………………………………………3 分
2020年泉州市数学中考试卷(带答案)
A．中位数B．平均数
5．-2的相反数是（）
接力中，自己负责的一步出现错误的是（
A．只有乙B．甲和丁
7．如图，是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是（
9．黄金分割数5 1是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请
2
你估算5﹣1的值（）
A．在1.1和1.2之间
C．在1.3和1.4之间
10．cos45°的值等于（ ）
A．2B．1
B．在1.2和1.3之间
D．在1.4和1.5之间
C．3D．2
22
l与a、b相交，若∠1=70°，则∠2的度数等于（
似图形，且相似比为1，点A，B，E在x轴上，若正方形
3
标为（ ）
A．
（6，4）
B．
（6，2）C．（4，4）D．（8，4）3．源自下列四个实数中，比
1小的数是（ ）
A．
2
B．
0
C．1
D．2
4．
有31位学生参加学校举行的
“最强大脑 ”智力游戏比赛，
比赛结束后根据每个学生的最
福建省泉州市中考数学试题
福建省泉州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题3分，共21分．每小题又四个答案，其中有且只有一个答案是正确的，请在答题卡上相应题目的答题区域内作答，答对的得3分，答错或不答一律得0分．1．﹣3的绝对值是（）A．3 B．﹣3 C．﹣D．【解析】﹣3的绝对值是3．故选：A．2．（x2y）3的结果是（）A．x5y3 B．x6y C．3x2y D．x6y3【解析】（x2y）3=x6y3．故选：D．3．不等式组的解集是（）A．x≤2 B．x＞1 C．1＜x≤2 D．无解【解析】解不等式x﹣1＞0，得：x＞1，∴不等式组的解集为：1＜x≤2，故选：C．4．如图，AB和⊙O相切于点B，∠AOB=60°，则∠A的大小为（）A．15°B．30°C．45°D．60°【解析】∵AB和⊙O相切于点B，∴∠ABO=90°，∴∠A=90°﹣∠AOB=90°﹣60°=30°；故选：B．5．一组数据：2，5，4，3，2的中位数是（）A．4 B．3.2 C．3 D．2【解析】将数据由小到大排列2，2，3，4，5，中位数是3，故选：C．6．如图，圆锥底面半径为rcm，母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r的值为（）A．3 B．6 C．3πD．6π【解析】∵圆锥底面半径为rcm，母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，∴2πr=×2π×10，解得r=6．故选B．7．如图，已知点A（﹣8，0），B（2，0），点C在直线y=﹣上，则使△ABC是直角三角形的点C的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解析】如图，①当∠A为直角时，过点A作垂线与直线的交点W（﹣8，10），②当∠B为直角时，过点B作垂线与直线的交点S（2，2.5），③若∠C为直角则点C在以线段AB为直径、AB中点E（﹣3，0）为圆心的圆与直线y=﹣的交点上．过点E作垂线与直线的交点为F（﹣3，），则EF=∵直线y=﹣与x轴的交点M为（，0），∴EM=，EF==∵E到直线y=﹣的距离d==5∴以线段AB为直径、E（﹣3，0）为圆心的圆与直线y=﹣恰好有一个交点．所以直线y=﹣上有一点C满足∠C=90°．综上所述，使△ABC是直角三角形的点C的个数为3，故选：C．二、填空题：每小题4分，共40分，在答题卡上相应题目的答题区域内作答．8．27的立方根为3．【解析】∵33=27，∴27的立方根是3，故答案为：3．9．中国的陆地面积约为9 600 000km2，把9 600 000用科学记数法表示为9.6×106．【解析】将9600000用科学记数法表示为9.6×106．故答案为9.6×106．10．因式分解：1﹣x2=（1﹣x）（1+x）．【解析】∵1﹣x2=（1﹣x）（1+x），故答案为：（1﹣x）（1+x）．11．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，则DE=4．【解析】∵D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，∴DE=BC=4．故答案为：4．12．十边形的外角和是360°．【解析】十边形的外角和是360°．故答案为：360．13．计算：=3．【解析】原式===3，故答案为：314．如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若AB=10，则CE=5．【解析】由直角三角形的性质，得CE=AB=5，故答案为：5．15．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，若CE：BE=2：3，则AE：DE=2：3．【解析】∵⊙O的弦AB、CD相交于点E，∴AE•BE=CE•DE，∴AE：DE=CE：BE=2：3，故答案为：2：3．16．找出下列各图形中数的规律，依此，a的值为226．【解析】根据题意得出规律：14+a=15×16，解得：a=226；故答案为：226．17．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是AD中点，EF⊥BC于点F，BC=5，EF=3．（1）若AB=DC，则四边形ABCD的面积S=15；（2）若AB＞DC，则此时四边形ABCD的面积S′=S（用“＞”或“=”或“＜”填空）．【解析】（1）∵AB=DC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD的面积S=5×3=15，故答案为：15．（2）如图，连接EC，延长CD、BE交于点P，∵E是AD中点，∴AE=DE，又∵AB∥CD，∴∠ABE=∠P，∠A=∠PDE，在△ABE和△DPE中，∵，∴△ABE≌△DPE（AAS），∴S△ABE=S△DPE，BE=PE，∴S△BCE=S△PCE，=S△ABE+S△CDE+S△BCE=S△PDE+S△CDE+S△BCE=S△PCE+S△BCE=2S△BCE=2××BC×EF=15，则S四边形ABCD∴当AB＞DC，则此时四边形ABCD的面积S′=S，故答案为：=．三、解答题：共89分，在答题卡相应题目的答题区域内作答．18．计算：（π﹣3）0+|﹣2|﹣÷+（﹣1）﹣1．【解】原式=1+2﹣2﹣1=0．19．先化简，再求值：（x+2）2﹣4x（x+1），其中x=．【解】原式=x2+4x+4﹣4x2﹣4x=﹣3x2+4，当x=时，原式=﹣6+4=﹣2．20．如图，△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点E在AB上．求证：△CDA≌△CEB．【解答】证明：∵△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴CE=CD，BC=AC，∴∠ACB﹣∠ACE=∠DCE﹣∠ACE，∴∠ECB=∠DCA，在△CDA与△CEB中，∴△CDA≌△CEB．21．A、B两组卡片共5张，A中三张分别写有数字2，4，6，B中两张分别写有3，5，它们除数字外没有任何区别．（1）随机地从A中抽取一张，求抽到数字为2的概率；（2）随机地分别从A、B中各抽取一张，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果．现制定这样一个游戏规则：若所选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜．请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？【解】（1）P=；（2）由题意画出树状图如下：一共有6种情况，甲获胜的情况有4种，P==，乙获胜的情况有2种，P==，所以，这样的游戏规则对甲乙双方不公平．22．近期，我市中小学广泛开展了“传承中华文化，共筑精神家园”爱国主义读书教育活动，某中学为了解学生最喜爱的活动形式，以“我最喜爱的一种活动”为主题，进行随机抽样调查，收集数据整理后，绘制出以下两幅不完整的统计图表，请根据图中提供的信息，解答下面的问题：最喜爱的一种活动统计表活动形式征文讲故事演讲网上竞答其他人数60 30 39 a b（1）在这次抽样调查中，一共调查了多少名学生？扇形统计图中“讲故事”部分的圆心角是多少度？（2）如果这所中学共有学生3800名，那么请你估计最喜爱征文活动的学生人数．【解】（1）根据题意得：39÷13%=300（名），则“讲故事”所占的比例为30÷300×100%=10%，所以扇形统计图中“讲故事”部分的圆心角是10%×360°=36°，则在这次抽样调查中，一共调查了300名学生，扇形统计图中“讲故事”部分的圆心角是36°；（2）根据题意得：3800×20%=760（名），则最喜爱征文活动的学生人数为760名．23．已知反比例函数的图象经过点P（2，﹣3）．（1）求该函数的解析式；（2）若将点P沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴方向平移n（n＞0）个单位得到点P′，使点P′恰好在该函数的图象上，求n的值和点P沿y轴平移的方向．【解】（1）设反比例函数的解析式为y=，∵图象经过点P（2，﹣3），∴k=2×（﹣3）=﹣6，∴反比例函数的解析式为y=﹣；（2）∵点P沿x轴负方向平移3个单位，∴点P′的横坐标为2﹣3=﹣1，∴当x=﹣1时，y=﹣=6，∴∴n=6﹣（﹣3）=9，∴沿着y轴平移的方向为正方向．24．某进口专营店销售一种“特产”，其成本价是20元/千克，根据以往的销售情况描出销量y（千克/天）与售价x（元/千克）的关系，如图所示．（1）试求出y与x之间的一个函数关系式；（2）利用（1）的结论：①求每千克售价为多少元时，每天可以获得最大的销售利润．②进口产品检验、运输等过程需耗时5天，该“特产”最长的保存期为一个月（30天），若售价不低于30元/千克，则一次进货最多只能多少千克？【解】（1）设y与x之间的一个函数关系式为y=kx+b，则，解得．故函数关系式为y=﹣2x+112；（2）依题意有w=（x﹣20）（﹣2x+112）=﹣2（x﹣38）2+324，故每千克售价为38元时，每天可以获得最大的销售利润；（3）由题意可得，售价越低，销量越大，即能最多的进货，设一次进货最多m千克，则≤30﹣5，解得：m≤1300．故一次进货最多只能是1300千克．25．我们知道：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦．你可以利用这一结论解决问题：如图，点P在以MN（南北方向）为直径的⊙O上，MN=8，PQ⊥MN交⊙O于点Q，垂足为H，PQ≠MN，弦PC、PD分别交MN于点E、F，且PE=PF．（1）比较与的大小；（2）若OH=2，求证：OP∥CD；（3）设直线MN、CD相交所成的锐角为α，试确定cosα=时，点P的位置．【解答】（1）解：∵PE=PF，PH⊥EF，∴PH平分∠FPE，∴∠DPQ=∠CPQ，∴=；（2）证明：连结CD、OP、OQ，OQ交CD于B，如图，∵OH=2，OP=4，∴PH==2，∴△OPH为等腰直角三角形，∴∠OPQ=45°，而OP=OQ，∴△OPQ为等腰直角三角形，∴∠POQ=90°，∴OP⊥OQ，∵=，∴OQ⊥CD，∴OP∥CD；（3）解：直线CD交MN于A，如图，∵cosα=，∴∠α=30°，即直线MN、CD相交所成的锐角为30°，而OB⊥CD，∴∠AOB=60°，∵OH⊥PQ，∴∠POH=60°，在Rt△POH中，∵sin∠POH=，∴PH=4sin60°=2，即点P到MN的距离为2．26．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠C，点P在边AB上．（1）判断四边形ABCD的形状并加以证明；（2）若AB=AD，以过点P的直线为轴，将四边形ABCD折叠，使点B、C分别落在点B′、C′上，且B′C′经过点D，折痕与四边形的另一交点为Q．①在图2中作出四边形PB′C′Q（保留作图痕迹，不必说明作法和理由）；②如果∠C=60°，那么为何值时，B′P⊥AB．【解】（1）四边形ABCD是平行四边形证明：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，∵∠A=∠C，∴∠C+∠B=180°，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）①作图如下：②当AB=AD时，平行四边形ABCD是菱形，由折叠可得，BP=B′P，CQ=C′Q，BC=B′C′，∠C=∠C′=60°=∠A，当B′P⊥AB时，由B′P∥C′Q，可得C′Q⊥CD，∴∠PEA=30°=∠DEB′，∠QDC′=30°=∠B′DE，∴B′D=B′E，设AP=a，BP=b，则直角三角形APE中，PE=a，且B′P=b，BC=B′C′=CD=a+b，∴B′E=b﹣a=B′D，∴C′D=a+b﹣（b﹣a）=a+a，∴直角三角形C′QD中，C′Q=a=CQ，DQ=C′Q=a，∵CD=DQ+CQ=a+b，∴a+a=a+b，整理得（+1）a=b，∴==，即=．。
泉州市2019-2020学年度上学期初中教学质量监测初三数学参考答案及评分标准(2020.1.11定稿)
泉州市2019-2020学年度上学期初三教学质量检测初三数学参考答案及评分标准一、选择题（每小题4分，共40分）1.D2.C3.C4.B5.A6.D7.B8.D9.C 10.A 二、填空题（每小题4分，共24分）11. 25 12. 11−=x ，22=x 13. 1514. 15.2216.52或171718.三、解答题（共86分）17.（本小题8分） 解：原式=22224⨯−+……………………………………………………………………………6分 =224−+…………………………………………………………………………………7分4=………………………………………………………………………………………………8分18.（本小题8分） 解： ∵313121=−−=+x x ，3201921−=x x ，……………………………………………………4分 ∴()()2221++x x ()422121+++=x x x x ……………………………………………………………6分32005431232019−=+⨯+−=. ………………………………………………8分 19.（本小题8分）解：325)40)(301200=−−−x x （……………………………………………………………………5分 整理得：0325702=+−x x ，解得：（舍去）65,521==x x ， ………………………………………………………………………7分答：改造后x 的值为5m. ………………………………………………………………………………8分 20.（本小题8分）(1)证明： ()()222211241241−=+−=−++=−+=∆k k k k k k k k ，…………………………3分∴()012≥−=∆k ………………………………………………………………………4分21.（本小题8分）(1)如图，点E 是所求作的.………………………………………………………………………………………………………4分AB DC E(2)如图， ∵四边形ABCD 为矩形,∴︒=∠90ABC ,AB ∥CD ,∴︒=∠=∠30AED EAB .…………………………………………5分AE AB =,点F 为边BE 的中点，∴AF 平分EAB ∠,即︒=∠15EAF （三线合一）. ……………6分 AE AB =,︒=∠30EAB ， ∴︒=︒−︒=∠75230180ABE ,……………………………………………………………………7分 ∴︒=︒−︒=∠157590EBC ，∴EBC EAF ∠=∠.………………………………………………………………………………8分22.（本小题10分）解：作AB CH ⊥于点H ，……………………………………1分在等腰ABC Rt ∆中，AB HB CH 21==，……………………2分 ∵EF ∥AB ，∴︒=∠=∠30EFD CDH .……………………………………3分 在CHD Rt ∆中， 设x HB CH ==，HDCH CDH =∠tan ，HD x=︒30tan ，x HD 3=，…………………………5分∵BD HB HD =−，∴3333−=−x x ，解得：3=x ，即3==HB CH .……………………………………………7分 ∴62==HB CD ，62===HB AB EF . 在DEF Rt ∆中，︒=∠30F ，DF EF=︒30cos ，3423630cos ==︒=EF DF ，…………………9分∵CD DF CF −=，∴634−=−=CD DF CF .………………………………………………………………………10分 23.（本小题10分）解法一：(1)由题意得：%80201343⨯=++++x ，解得：5=x . ……………………………………………………………………………………………2分 ∴()213543220=+++++−=y .…………………………………………………………………4分 (2) 记“重量小于或等于29.7kg ”的两件产品为A 、B ，记“重量大于或等于30.3kg ”的两件产品为C 、D .画树状图如下：产品1 B D 产品2 整改费用：100 80 80 100 80 80 80 80 60 80 80 60(第22题图)EA BD C EF……………………………………………………………………………………………………………8分 所有机会均等的结果有12种，其中整改费用最低的结果有2种， ∴P (整改费用最低)61122==. ………………………………………………………………………10分 解法二：(1)同解法一；(2) 记“重量小于或等于29.7kg ”的两件产品为A 、B ，记“重量大于或等于30.3kg ”的两件产品为C 、D . 列表如下：……………………………………………………………………………………………………………8分所有机会均等的结果有12种，其中整改费用最低的结果有2种， ∴P (整改费用最低)61122==.………………………………………………………………………10分 24.（本小题12分）解：(1)由题意得：()4,0A ，()0,3B . 在AOB Rt ∆中，34tan ==∠OB OA ABO .………………………………………………………………2分 (2) FM DM ⊥，理由如下：…………………………………………………………………………3分 由折叠的性质得：EBF EDF ∠=∠. ∵OC 为AOB Rt ∆斜边AB 上的中线，∴BC AB OC ==21， ∴CBO COB ∠=∠，∴COB EDF ∠=∠.……………………………………………………………………………………5分 又∵ONF DNM ∠=∠，∴DNM ∆∽ONF ∆，…………………………………………………………………………………6分 ∴FN MN ON DN =，即FN ON MN DN =， 又∵MNF DNO ∠=∠，∴DNO ∆∽MNF ∆，…………………………………………………………………………………7分 ∴MFN DON ∠=∠，∴︒=∠+∠=∠+∠90DON COB MFN EDF ，∴()︒=∠+∠−︒=∠90180MFN EDF DMF ，∴FM DM ⊥.…………………………………………………………………………………………8分(3) ∵ABO MDF ∠=∠∴在DMF Rt ∆中，34tan tan =∠=∠ABO MDF ，………………………………………………9分 设t DM 3=()0>t ，则t MF 4=，t BF DF 5==， 当MN MD =时，MND MDN ∠=∠.又∵COB MDN ∠=∠，FNO MND ∠=∠，∴FNO COB ∠=∠，………………………………………10分 ∴t FN FO 53−==， ∴()310535−=−−=t t t DN .由DNO ∆∽MNF ∆得：MNDNFM OD =， 即tt t OD 33104−=， ∴()31034−=t OD .……………………………………………………………………………………11分在DOF Rt ∆中，由勾股定理得：222DF OF OD =+，即()()()22255331034t t t =−+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−，解得：32151=t ，1032=t ，∴49=OD 或0（不合题意，舍去），∴点⎪⎭⎫⎝⎛49,0D . 综上所述，点D 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛49,0.……………………………………………………………………12分 (若有其它解法，请参照上述评分标准酌情给分) 25.（本小题14分）解：(1)∵︒=∠+∠+∠180BPC PBC PCB ，︒=∠135BPC ，∴︒=∠+∠45PBC PCB ， 又∵︒=∠45MBN ，∴︒=∠+∠45PBC ABP ，∴ABP PCB ∠=∠.……………………………………………………………………………………1分 又∵︒=∠=∠135BPC BPA ，∴CPB ∆∽BPA ∆.……………………………………………………………………………………2分 (2)由(1)得：CPB ∆∽BPA ∆，∴AB BCPA BP BP PC ==. …………………………………………………………………………………3分 ∵BC AC ⊥， ∴︒=∠90ACB . 又︒=∠45MBN ，∴ACB ∆是等腰三角形. ………………………………………………………………………………4分(第24题图)∴ABBC=︒45cos ，即22===AB BC PA BP BP PC ，……………………………………………………5分 ∴212222=⨯=⋅PA BP BP PC ，即21=PA PC .…………………………………………………………6分 ∵︒=∠=∠135BPC BPA ，∴︒=⨯︒−︒=∠902135360APC . 在APC Rt ∆中，设()0>=t t PC ，则t PA 2=，由勾股定理，得：t AC 5=.∴555==tt AC PC .……………………………………………………………………………………7分 (3) 法一：由(1)知：CP BP BP AP =，即c b b a =，设x cb b a ==()0>x ，则cx b =，2cx a =.………8分 ∵20=−+c b a ，∴202=−+c cx cx ，即02012=−−+cx x （*）…………………………………………………10分 又∵b a 2≥，∴2≥ba，即2≥x ， ∴方程（*）应有根2≥x ，……………………………………………………………………………11分∴080520141≥+=⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−=∆cc ， ∴280511cx ++−=，0280512<+−−=cx （舍去）由⎩⎨⎧≥≥∆201x ，，解得：4≤c . …………………………………………………………………………12分又∵c 为整数，∴=c 1，2，3，4.………………………………………………………………………………………13分 当=c 1，2，3时，方程（*）的根为无理数，此时b 不为整数，不合题意. 当4=c 时，2=x ，此时，16=a ，8=b .综上所述，16=a ，8=b ，4=c .…………………………………………………………………14分 法二：由(1)知：BP CP AP BP =，即bc a b =，设x b c a b ==，则ax b =，2ax c =.…………………8分 ∵20=−+c b a ，∴202=−+ax ax a ，即01202=−+−ax x （*）………………………………………………10分 又∵b a 2≥， ∴210≤<x ，即方程（*）应有根满足210≤<x .…………………………………………………11分∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤−+<≥−=⎪⎭⎫⎝⎛−−=∆21280510080512041a a a ，或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤−−<≥−=⎪⎭⎫ ⎝⎛−−=∆21280510080512041a a a ， 解得：⎩⎨⎧=≥16,16a a 或⎩⎨⎧<≤≥2016,16a a ，∴2016<≤a …………………………………………………………………………………………12分又∵a 为整数，∴=a 16，17，18，19 .………………………………………………………………………………13分 当16=a 时，方程（*）化为：0412=+−x x ，解得：2121==x x . ∴8=b ，4=c .当=a 17，18，19时，方程（*）的根为无理数，此时b 不为整数，不合题意.综上所述，16=a ，8=b ，4=c .…………………………………………………………………14分(若有其它解法，请参照上述评分标准酌情给分)。
2022-2023学年度泉州市初中教学质量监测(一)数学试题及答案
2022-2023学年度泉州市初中教学质量监测（一）初三数学2023．03．16（满分：150分；考试时间：120分钟）友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上．一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．与√2是同类二次根式的是（ ）A ．√4B ．√6C ．√8D ．√122．若a b ＝23，则a+b b 等于（ ） A ．13B ．23C ．35D ．533．在Rt △ABC 中，∠C =90°，sinA ＝35，则cos A 的值是（ ）A ．35B ．34C ．45D ．5√34344．一元二次方程x(x −3)=x 的解是（ ）A ．x =0B ．x =3C ．x 1=0，x 2=3D ．x 1=0，x 2=45．一个不透明的盒子中装有1个红球和2个白球，它们除颜色不同外其它都相同．若从中随机摸出一个球，则下列叙述正确的是（ ） A ．摸到黑球是不可能事件 B ．摸到白球是必然事件C ．摸到红球与摸到白球的可能性相等D ．摸到红球比摸到白球的可能性大6．用配方法解方程x 2−6x −1=0，若配方后结果为(x −m)2=10，则m 的值为（ ）A ．±3B ．3C ．−3D ．67．如图，以点O 为位似中心，将△OAB 放大后得到△OCD ，OA =3，AC =4，则AB CD等于（ ） A ．37B ．47C ．34D ．358．如图，在⊙O 中，∠AOB =120°，点P 、Q 分别是APB⏜与AB ⏜上的动点，则∠APQ 的度数可能是（ ）A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°D CB AO第7题P QBAO 第8题9．已知“α为锐角时，sin α随着α的增大而增大”，则sin37°的值更靠近（ ）A．25B ．35C ．45D ．5610．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 和CD 上，AF ⊥BE ，垂足为G ，若AE ED =2，则AGGF的值为（ ） A ．45B ．56C ．67D ．78二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．若二次根式√x −1意义，则x 可以是________（写出一个x 的值即可）． 12．二次函数y =2x 2−3x +1的图象与y 轴的交点坐标为________．13．如图，某商场自动扶梯AB 的坡度i =1:2.5，过点B 作BC ⊥AD ，垂足为C ．若AC 的长为10米，一则高度BC 为________米．14．已知m 是方程x 2−2x −1=0的一个根，则3−m 2+2m =________．15．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，D 是边AB 上的一点．若AD ＝34AB ，则tan∠DCB =________．16．如图，AB 、AC 是⊙O 的弦（不是直径），将AB⏜沿AB 翻折交AC 于点D ，若AB ⏜＝AC ⏜，AD ⏜＝BD ⏜，则AD CD=________．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）计算：√2(√3−√2)+√12−√3√3．18．（8分）小明在解方程x 2−5x =−3的过程中出现了错误，其解答如下： 解：∵a =1，b =−5，c =−3， 第一步∴b 2−4ac =(−5)2−4×1×(−3)=37， 第二步 ∴x =5±√372 第三步 ∴x 1=5+√372，x 2=5−√372第四步 （1）问：小明的解答是从第_______步开始出错的； （2）请写出本题正确的解答．D C BA第13题DCB A第15题 O D CBA第16题GFEDCBA第10题如图，在矩形ABCD 中，点E 在边BC 上，AF ⊥DE ，垂足为F ，AD =4，CE =2，DE =2√10，求DF 的长．20．（8分）我国古代数学家梅瑴成在其著作《增删算法统宗》中，有诗如下：今有门厅一座，不知门广高低．长竿横进使归室，争奈门狭四尺．随即竖竿过去，亦长二尺无疑．两隅斜去恰方齐，请问三色各几？意思是：今有一房门，不知宽与高，长竿横起进门入室，门的宽度比长竿小4尺；将长竿直立过门，门的高度比长竿小2尺．将长竿斜放穿过门的对角，恰好进门．试问门的宽、高和长竿各是多少尺？21．（8分）小明学习物理《电流和电路》后设计如图所示的一个电路图，其中S 1、S 2、S 3分别表示三个可开闭的开关，“⦻”表示小灯泡，“│|”表示电池．（1）当开关S 1闭合时，再随机闭合开关S 2或S 3其中一个，直接写出小灯泡发光的概率； （2）当随机闭合开关S 1、S 2、S 3中的两个，试用树状图或列表法求小灯泡发光的概率．22．（10分）如图，在△ABC 中，∠ABC 是钝角．（1）求作⊙O ，使得圆心O 在边AC 上，且⊙O 经过点B 、C （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，设AC 与⊙O 的另一个交点为D ，且AC =2AB =4AD ．求证：AB 是⊙O 的切线．FEDC BA4尺2尺F EDCBAC BA某公司研发了一款产品投放市场，已知每件产品的成本为80元，试销售一段时间后统计每天的销售量y （件）与售价x （元/件）之间的部分数据如下表：（1）根据表中数据，求出y 与x 之间满足的函数关系式；（2）物价部门规定单件利润率不超过15%．在（1）的条件下，当产品售价不低于成本时，售价定为多少元，公司每天获得的利润最大？求出最大值；24．（13分）在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，将Rt △ABC 绕点B 旋转一定的角度得到Rt △EBD ．（1）如图1，当边BE 恰好经过点C 时，边AC 的延长线交ED 于点F ，连接AE ．求证：∠AFE =2∠EAF ；（2）如图2，当点D 恰好在△ABC 中线CM 的延长线上，且CM =2MD 时，ED 的延长线交AB 于点G ，求AGBC的值．25．（13分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y =ax 2+bx −√3（a ≠0）经过A(−1,0）、B(3,0)两点，交y 轴于点C ，顶点为E ．过线段OB 上动点F 作CF 的垂线交BC 于点D ，直线DE 交y 轴于点G ． （1）求抛物线的解析式；（2）若CG =CD ，求线段OF 的长；（3）连接CE ，求△CDE 面积的最小值．G M图2EDCBA图1F EDCBA2022-2023学年度泉州市初中教学质量监测（一）初三数学参考答案及评分标准说明：（一）考生的正确解法与“参考答案”不同时，可参照“参考答案及评分标准”的精神进行评分．（二）如解答的某一步出现错误，这一错误没有改变后续部分的考查目的，可酌情给分，但原则上不超过后面应得的分数的二分之一；如属严重的概念性错误，就不给分．（三）以下解答各行右端所注分数表示正确做完该步应得的累计分数．一、选择题（每小题4分，共40分）1.C2.D3.C4.D5.A6.B7.A8.D9.B 10.C 二、填空题（每小题4分，共24分）11.如2(答案不唯一)12.()0,113.414.215.1316.12+三、解答题（共86分）17.（8分）解：原式221=+-·····································································································6分1=··············································································································8分(其它解法，请参照以上评分标准)18.（8分）解：(1)一；························································································································3分(2)2530x x -+=，··············································································································4分∵1a =，5b =-，3c =，·····································································································5分∴()224541313b ac -=--⨯⨯=，···························································································6分∴()52x --±=，∴1x =2x =.································································································8分(其它解法，请参照以上评分标准)19.（8分）解：∵四边形ABCD 是矩形，∴90DCE ∠=︒，AD ∥BC ，································································································2分∴ADF DEC ∠=∠.··············································································································3分∵AF DE ⊥，∴90AFD ∠=︒，∴AFD DCE ∠=∠，············································································································4分∴AFD △∽DCE △，··········································································································5分∴DF ADCE DE=.······················································································································6分又∵2CE =，DE =，∴42210DF =，·················································································································7分∴2105AF =.····················································································································8分(其它解法，请参照以上评分标准)20.（8分）解：设竿长为x 尺，则门的宽为()4x -尺，高为()2x -尺，依题意，得·········································1分()()22242x x x -+-=.····································································································4分整理，得212200x x -+=，解得110x =，22x =，···································································································6分∵4x >，∴只取10x =，故41046x -=-=，41028x -=-=.···············································································7分答：门的宽为6尺，高为8尺，竿长为10尺.···········································································8分(其它解法，请参照以上评分标准)21.（8分）解：(1)12；························································································································3分(2)法一：画出树状图如下：·······································································································································6分共有6种等可能结果，其中能使小灯泡发光的组合共有4种，故42()63P ==小灯泡发光.·······································································································································8分法二：列表如下：1S 2S 3S 1S ()12,S S ()13,S S 2S ()21,S S ()23,S S 3S ()31,S S ()32,S S ·······································································································································6分共有6种等可能结果，其中能使小灯泡发光的组合共有4种，故42()63P ==小灯泡发光.·······································································································································8分(其它解法，请参照以上评分标准)1S 2S 3S 2S 3S 1S 3S 1S 2S22.（10分）(1)解：如图1，⊙O 是所求作的圆；······································3分(2)证明：法一：如图2，连接OB ，设()80AC k k =>，则4AB k =，2AD k =，···4分∴826CD AC AD k k k =-=-=，∴1632OC OB OD k k ===⨯=，············································5分235AO AD OD k k k =+=+=.···············································6分在ABO △中，()()222223425OB AB k k k +=+=，2225AO k =，∴222OB AB AO +=，·························································7分∴90ABO ∠=︒，即AB BO ⊥.················································9分∵点B 在⊙O 上，∴AB 是⊙O 的切线.············································································································10分法二：如图3，连接OB 、BD .∵24AC AB AD ==，∴12AD AB AB AC ==.································································4分又∵A A ∠=∠，∴ADB △∽ABC △，··························································5分∴ABD DCB ∠=∠.··············································································································6分∵圆心O 在边AC 上，即CD 是⊙O 的直径，∴90CBD ∠=︒，················································································································7分∴90DBO OBC ∠+∠=︒.∵OB OC =，∴OCB OBC ∠=∠，即DCB OBC ABD ∠=∠=∠，······································································8分∴90DBO ABD ∠+∠=︒，即90ABO ∠=︒，∴AB BO ⊥.·······················································································································9分∵点B 在⊙O 上，∴AB 是⊙O 的切线.············································································································10分(其它解法，请参照以上评分标准)23.（10分）解：(1)猜想y 与x 之间满足一次函数关系，设一次函数的关系式为y kx b =+()0k ≠，···············································································1分选取90,600x y =⎧⎨=⎩和100,400,x y =⎧⎨=⎩依题意得90600,100400.k b k b +=⎧⎨+=⎩解得20,2400.k b =-⎧⎨=⎩∴202400y x =-+．············································································································4分经检验，80,800x y =⎧⎨=⎩和110,200x y =⎧⎨=⎩均符合题意.DAO(第22题图2)BCD AO(第22题图3)BCD AO(第22题图1)BC。
2020年泉州市初中学业质量检查数学试题及答案
2020年泉州市初中学业质量检查数学试题(试卷满分：150分；考试时间：120分钟)友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上 毕业学校___________姓名___________考生号___________第1卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.2020的相反数为( ) A .20201B .2020C .－2020D .±2020 2.地球与月球平均距离约为384 400千米，将数字384 400用科学记数法表示为( ) A .3.84×106 B .3.84×105 C .38.4×104 D .38.4×105 3.下列运算正确的是( )A . a ＋a ＋a = a 3B . (2a )3=6a 3C . a ⋅a ⋅a =3aD . a 8÷a 2＝a 6 4.如图是由5个相同的正方体组成的立体图形，则它的主视图是( )A .B .C .D . 5.现有一列数：6，3，3，4，5，4，3，则这列数的众数是( ) A . 3 B .4 C .5 D .6 6.如图，数轴上有A 、B 、C 、D 四个点，下列说法正确的是( ) A .点A 表示的数约为2 B .点B 表示的数约为3 C .点C 表示的数约为5 D .点D 表示的数约为6 7.已知点P 的坐标是(－2－m ，1)，则点P 在( )A .第一象限B .第二象限C .第三 象限D .第四象限 8.关于x 的一元二次方程ax 2+a =0根的情况是( )A .有两个实数根B .有两个相等的实数根C .有两个不等的实数根D .无实数根9.如图，AB 切⊙O 于点B ，OA 与⊙O相交于点C ，AC=CO ，点D 为 ⌒BC 上任意一点(不与点B 、C 重合)，则∠BDC 等于( )A .120°B .130°C .140° D.15010.已知点A (a －m ，y 1)、B(a －n ，y 2)、C(a+b ，y 3)都在二次函数y=x 2－2ax +1的图象上，若0<m <b <n ，则y 1、y 2、y 3的大小关系是( )A . y 1< y 2< y 3B . y 1 < y 3< y 2C . y 3< y 1< y 2D . y 2< y 3< y 1第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.计算：2－1+(－3)°＝_______.ODCB A第9题 第4题 C第6题12.甲、乙两人在相同的条件下，各射靶10次，经统计：甲、乙两人射击的平均成绩都是8环，甲、乙两人射击成绩的方差分别是1.2、2.6，由此可知甲、乙两人中_______的成绩比较稳定.(填“甲”或“乙”) 13.不等式组⎩⎨⎧<−>−33202x x 的解集为_______.14.如图，在△ABC 中，AB=AC =5，BC =8，中线AD 、CE 相交于点F ，则AF 的长为_______.15.如图，在正方形ABCD 中，AB =2，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，则图中阴影部分的面积为_______. 16.如图，四边形ABCO 为矩形，点A 在反比例函数y =x4(x >0)的图象上，点C 在反比例函数y=－x1(x <0)的图象上，若点B 在y 轴上，则点A 的坐标为_______.三、解答题：本大题共9小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. (8分)化简：112−−a a ＋a a 12−÷a a a 122+−.18. (8分)如图，在△ABC 与△DEF 中，B 、E 、C 、F 在同一条直线上，AB=DE ，AC ∥DF ，∠A =∠D ，求证：BE=CF .19. (8分)我国古代数学著作《孙子算经》中记载这样一个问题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，问：几何?“其大意为：现有一根木棍，不知道它的长短，用绳子去测量，绳子多了4尺5寸；把绳了对折后再量，绳子又短了1尺，问：木棍有多长?(提示：1尺=10寸)F E D CB A FED C B A第14题 M N DC B A 第15题 第16题20. (8分)如图，将圆心角为120°的扇形AOB 绕着点A 按逆时针方向旋转一定的角度后，得到扇形AO′B′，使得点O′ 恰⌒AB 在上.（1）求作点O′；(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明过程) （2）连接AB 、AB'、AO′，求证：AO′平分∠BAB′.21. (10分)如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =8，点E 是对角线BD 上的一点，把△ABE 沿着直线AE 翻折得到△AFE ，且点F 恰好落在AD 边上，连接BF . （1）求△DEF 的周长；（2）求sin ∠BFE 的值.22. (10分)某厂家接到一批特殊产品的生产订单，客户要求在两周内完成生产，并商定这批产品的出厂价为每个16元.受市场影响，制造这批产品的某种原材料成本价持续上涨，设第x 天(1≤x ≤14，且x 为整数)每个产品的成本为m 元，m 与x 之间的函数关系为m=41x +8.订单完成后，经统计发现工人王师傅第x 天生产的产品个数y 与x 满足如图所示的函数关系：（1）写出y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围；（2）设王师傅第x 天创造的产品利润为W 元，问王师傅第几 天创造的利润最大?最大利润是多少元?F E D C B AB'O B A23. (10分)某超市为了回惯顾客，计划于周年店庆当天举行抽奖活动.凡是购物金额达到m 元及以上的顾客，都将获得抽奖机会.规则如下：在一个不透明袋子里装有除数字标记外其它完全相同的4个小球，数字标记分别为“a ” 、“b ”、“c ”、“0” (其中正整数a 、b 、c 满足a+b+c =30且a >15). 顾客先随机摸出一球后不放回，再摸出第二球，则两球标记的数字之和为该顾客所获奖励金额(单位：元)、经调查发现，每日前来购物的顾客中，购物金额及人数比例如下表所示：（1）在活动当天，某顾客获得抽奖机会，试用画树状图或列表的方法，求该顾客获得a 元奖励金的概率；（2）以每位抽奖顾客所获奖励金的平均数为决策依据，超市设定奖励总金额不得超过2000元，且尽可能让更多的顾客参与抽奖活动，问m 应定为100元?200元?还是300元?请说明理由.24. (12分)如图1，点E 为△ABC 边AB 上的一点，⊙O 为△BCE 的外接圆，点D 为⌒BDC 上任意一点.若AE=AC =2n ，BC=n 2－1，BE=n 2－2n +1. (n ≥2，且n 为正整数) . （1）求证：∠CAE +∠CDE =90°； （2）如图2，当CD 过圆心O 时，①将△ACD 绕点A 顺时针旋转得△AEF ，连接DF ，请补全图形，猜想CD 、DE 、DF 之间的数量关系，并证明你的猜想； ②若n =3，求AD 的长.图1 A 图225. (12分)如图，抛物线y=ax 2－2ax+c 与x 轴分别交于点A 、B (点B 在点A 的右侧)，与y 轴交于点C ，连接BC ，点(21，43−a －3)在抛物线上. （1）求c 的值；（2）已知点D 与C 关于原点O 对称，作射线BD 交抛物线于点E ，若BD=DE ， ①求抛物线所对应的函数表达式 ；②过点B 作BF ⊥BC 交抛物线的对称轴于点F ，以点C 为圆心，以5的长为半径作⊙C ，点T 为⊙C 上的一个动点，求55TB+TF 的最小值.2020年福建省泉州市初中学业质量检查数学试题参考答案及评分标准说明：（一）考生的正确解法与“参考答案”不同时，可参照“参考答案及评分标准”的精神进行评分．（二）如解答的某一步出现错误，这一错误没有改变后续部分的考查目的，可酌情给分，但原则上不超过后面应得的分数的二分之一；如属严重的概念性错误，就不给分． （三）以下解答各行右端所注分数表示正确做完该步应得的累计分数． 一、选择题（每小题4分，共40分）1． C 2．B 3．D 4．B 5．A 6. C 7．B 8．D 9．D 10．B二、填空题（每小题4分，共24分）11．5.1 12. 甲 13．32<<x 14．2 15. 22π−16．()22,2三、解答题（共86分）17． 解：原式()()12111122+−⋅−++−−=a a aa a a a a ………………………………………………………3分 ()()()2111112−⋅−++−−=a aa a a a a ……………………………………………………………5分 11112−++−−=a a a a ………………………………………………………………………………7分 13−=a a…………………………………………………………………………………………8分 18．证明：∵AC ∥DF ，∴DFE ACB ∠=∠.……………………………………………………2分在ABC ∆与DEF ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠DE AB D A DFE ACB ,,……………………………4分∴ABC ∆≌DEF ∆ ………………………………………………………………………………6分 ∴EF BC =………………………………………………………………………………………7分 ∴EC EF EC BC −=−，即BE CF = …………………………………………………………8分B C DE FA19. 解：设木棍长x 尺，绳子长y 尺， ………………………………………………………………………2分 依题意，得 4.5112y x x y −=⎧⎪⎨−=⎪⎩…………………………………………………………………………………………6分 解得⎩⎨⎧==11,5.6y x ………………………………………………………………………………………7分经检验，符合题意.答：木棍长6尺5寸．……………………………………………………………………………………8分 20. 解：（1）解法一：如图点'O 是所求作的点；………………………………………………………………………………………………………3分 解法二： 如图点'O 是所求作的点；…………………………………………………………………………………………………………3分 (或在AB'M 、N ，连接MN ，作MN 的中垂线l ，则直线l 与AB 的交点'O 即为所求作的点，图略)解法三： 如图点'O 是所求作的点；…………………………………………………………………………………………………………3分 （2）证明：连接'OO .由旋转的性质可得'OA O A =， 又∵'OO OA =，∴''OO OA O A ==，即'AOO ∆是等边三角形. …………………………………4分 ∴'60OAO ∠=︒,即旋转角为60︒.AO BO'B'O'AO BB'A OB O'B''由旋转的性质可得''60BAB OAO ∠=∠=︒， ………………………………………………………5分 ∵OA OB =，120AOB ∠=︒， ∴1801801203022AOB OAB OBA ︒−∠︒−︒∠=∠===︒，……………………………………………6分∴''603030O AB OAO OAB ∠=∠−∠=︒−︒=︒， ……………………………………………………7分 ∴1''2O AB BAB ∠=∠，即'AO 平分'BAB ∠…………………………………………………………8分21. 解法一：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴90BAD ∠=︒，8AD BC ==………………………………………………………………………1分 在Rt BAD ∆中，6AB =，8AD =，由勾股定理得10BD ==，…………………………2分 由轴对称性质可得BE FE =，6AF AB ==，…………………………………………………… 3分 ∴DEF ∆的周长108612FE ED FD BE ED AD AF BD AD AF =++=++−=+−=+−=. ……4分 （2）作FG BD ⊥于点G ，……………………………………………… 5分∵BE FE =，∴BFE FBE ∠=∠，………………………………………………………… 6分 ∵1122BFD S FD AB BD FG ∆=⋅=⋅， ∴2610FG ⨯=⨯，解得65FG =，………………………………………… 8分 在Rt BAD ∆中，6AB AF ==，由勾股定理得BF =，…………………………………… 9分在Rt BFG ∆中，6sin FG FBG BF ∠===，∴sin sin 10BFE FBG ∠=∠=.…………………………………………………………………… 10分解法二： （1）同解法一；（2）如图2，延长AE 交BC 于点M ，……………………………… 5分记AE 、BF 的交点为N ，由轴对称性质可得45BAM ∠=︒，90ANB ∠=︒， 又90ABM ∠=︒，∴ABM ∆为等腰直角三角形，且6AB BM ==， //AD BM ，∴ADE ∆∽MBE ∆，………………………………………………………………………………………… 6分 ∴AD DE MB BE =，即8106BEBE−=，(第21题图)(第21题图2)解得307BE =，…………………………………………………………………………………………………7分 ∴307EF BE ==，在Rt ABF ∆中，6AB AF ==，由勾股定理得BF =，……………………………………………8分∴12FN BF == 在Rt ENF ∆中，307EF =，FN =7EN =，………………………………9分∴102730723sin ===∠EF EN BFE .…………………………………………………………………………10分 22. 解：（1）()()4801101281114.x x x y x x ⎧+≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎩，且为正整数，，且为正整数………………………………………………………3分（2）①当110x ≤≤且x 为整数时，()14801684W x x ⎡⎤⎛⎫=+⋅−+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦212640x x =−++()26676x =−−+………………………………5分∵10a =−<,∴当6x =时，max 676W =………………………………………………………………………………6分 ②当1114x ≤≤且x 为整数时，11281683210244W x x ⎡⎤⎛⎫=−+=−+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦………………………………………………………………7分∵320k =−<,∴W 随x 的增大而减小，∴当min 11x =时，67210241132max =+⨯−=W .……………………………………………………9分 ∵672676>，∴王师傅第6天创造的利润最大，最大利润是676元. …………………………………………10分23. 解：（1）画树状图如下：cbaabcbaaccb……………………………………………………………………………………………………………3分 由树状图可知，共有12种等可能结果，其中“获得a 元奖励金”的有2种结果. ∴P （获得a 元奖励金）21126==.……………………………………………………………………4分 （2）每位抽奖顾客所获奖励金的平均数为：()()()22222215122a b a c b c a b ca b c++++++++++==(元)，………………………………… 6分 由题意得，活动当天，四种购买金额的人数分别为30、60、70、40，当100m =时，奖励总金额为1517025502000⨯=>元，不合题意，舍去；………………………7分 当200m =时，奖励总金额为151101650⨯=元，参与抽奖人数为110人； ………………………8分 当300m =时，奖励总金额为1540600⨯=元，参与抽奖人数为40人；………………………… 9分 综上所述，m 应定为200元. …………………………………………………………………………10分 24. （1）证明：∵2AE n =，221BE n n =−+，∴21AB AE BE n =+=+.∵()()22222422121AC BC n n n n +=+−=++，()22242121AB n n n =+=++，∴222AC BC AB +=，…………………………………………………………………………………1分 ∴90ACB ∠=︒,∴90CAB ABC ∠+∠=︒.………………………………………………………………………………2分 ∵ABC CDE ∠=∠,∴90CAB CDE ∠+∠=︒，即90CAE CDE ∠+∠=︒；…………………………………………………3分 （2）①补全图形正确；222CD DE DF +=,理由如下： ……………………………………………………………………4分如图3，由旋转的性质得：AEF ACD ∠=∠,AF AD =,EF CD =.…………………………………5分 由（1）得： 90CAE CDE ∠+∠=︒. ∵︒=∠+∠+∠+∠360CDE CAE AED ACD ,∴270ACD AED ∠+∠=︒.………………………………………………………………………………6分 ∵︒=∠+∠+∠360DEF AEF AED , ∴90DEF ∠=︒, ∴222DE EF DF +=,∴222DE CD DF +=；……………………………………………………………………………………7分② 当3n =时，则6AC =,8BC =,10AB =. 如图3，过点C 作CH AB ⊥，垂足为H , 则6824105AC BC CH AB ⋅⨯===,………………………………………8分 ∴185AH =，125HE =，∴5CE ===.……………………9分 ∵CE =CE ， ∴CDE ABC ∠=∠, ∴sin sin CDE ABC ∠=∠∴CE ACCD AB=6510CD =,解得：CD =…………………………………………………10分∴DE ===,∴DF ====………………………………11分 ∵AC AEAD AF=，CAE DAF ∠=∠， ∴ACE ∆∽ADF ∆， ∴DFCEAD AC =， ∴4125512520546=⨯=⋅=CEDFAC AD .…………………………………………………………………12分 24.解法二： （1）同解法一； （2）①同解法一；②同解法一，求得245CH =，5CE =，CD =10分延长AC 交⊙O 于点G ，连结DG 、BD ，CD 为⊙O 的直径， ∴90CBD G ∠=∠=︒， 又由（1）知90ACB ∠=︒， ∴四边形BCGD 为矩形，（图3）在Rt BCD ∆中，8BC =，CD =4BD =，∴4CG BD ==，在Rt CGD ∆中，4CG =，CD =，由勾股定理得：8DG =， …………………………………11分 在Rt AGD ∆中，6410AG AC CG =+=+=，8DG =，由勾股定理得：AD = ………12分 （注：其他解法可参照以上的评分标准）25. 解：（1）∵点13,324a ⎛⎫−− ⎪⎝⎭在抛物线上，∴c a a a +⨯−⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=−−212213432∴3c =−.……………………………………………………………………………………………3分 （2） ①解法一：如图，由题意，得点()0,3C − ∵点D 与点C 关于原点O 对称，∴点()0,3D .…………………………………………………………………………………………4分 ∵BD DE =，∴点D 为BE 中点. …………………………………………………………………………………5分 设点(),0B m ，则点(),6E m −，将(),0B m 、(),6E m −代入抛物线223y ax ax =−−，得22230236am am am am ⎧−−=⎪⎨+−=⎪⎩，…………………………………………………………………………… 6分解得38a =，∴抛物线的解析式为233384y x x =−−………………………………………………………………7分②解法二：如图，由题意，得点()0,3C − ∵点D 为点C 关于原点O 的对称点，∴点()0,3D (4)设直线BD 的解析式为3y kx =+，联立2233y ax ax y kx ⎧=−−⎨=+⎩，得()2260ax a k x −+−=，解得1x2x =∵BD DE =，∴点D 为BE 中点，…………………………………………………………………………………… 5分 又∵点()0,3D ，∴120x x +=，0+=，∴2k a =−，…………………………………………………………………………………………… 6分∴直线BD 的解析式为23y ax =−+，则点3,02B a ⎛⎫⎪⎝⎭， 将3,02B a ⎛⎫⎪⎝⎭代入抛物线223y ax ax =−−，得9604a −=， 解得38a =，∴抛物线的解析式为233384y x x =−−. ………………………………………………………………7分（3） ∵抛物线()2233327318488y x x x =−−=−−，∴抛物线的对称轴为直线1x =，………………………………………………………………………8分 令0=y ，则()08271832=−−x ，解得：21−=x 或42=x ，∴4=OB . 如图，设直线1x =与x 轴的交点为Q ，则︒=∠90FQB , ∴︒=∠+∠90QBF QFB ， ∵BF BC ⊥， ∴90FBC ∠=︒，∴︒=∠+∠90QBF OBC ， ∴OBC QFB ∠=∠， ∵314=−=BQ ，3=OC ， ∴OC BQ =，又∵︒=∠=∠90BOC FQB ，∴FQB ∆≌BOC ∆，∴BF BC =.……………………………………………………………………………………………9分 在Rt BOC ∆中，4OB =，3OC =，由勾股定理得5BC = ∴5BF BC ==，在CB 上截取1CG =，则514GB =−=，………………………………………………………… 10分∵CG CT ==CT CB = ∴CG CTCT CB=， 又∵GCT TCB ∠=∠， ∴GCT ∆∽TCB ∆，∴5CG CT TG CT CB TB ===，即5TG =，TF TG TF +=+, ……………………………………………………………………………11分 ∵点()1,4F 为定点，∴当点F 、T 、G TF +的值最小，最小值为线段GF 的长，在Rt GBF ∆中，4GB =，5BF =，由勾股定理得：GF ==12分。
2019-2020学年福建省泉州七中、广海中学九年级(上)质检数学试卷(附答案详解)
2019-2020学年福建省泉州七中、广海中学九年级（上）质检数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分） 1. 若2x =3y ，则xy 的值为( )A. 23B. 32C. 53D. 252. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，如果∠A =α，AB =3，那么AC 等于( )A. 3sinαB. 3cosαC. 3sinαD. 3cosα3. 在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中白球1个，黄球1个，红球2个，摸出一个球不放回，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是( )A. 12B. 13C. 16D. 184. 如图，点D 、E 分别在△ABC 的AB 、AC 边上，下列条件中：①∠ADE =∠C ；②AEAB =DEBC ；③ADAC =AEAB .使△ADE 与△ACB 一定相似的是( )A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③5. 某同学在利用描点法画二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)的图象时，先取自变量x的一些值计算出相应的函数值y ，如下表所示： x … 0 1 2 3 4 … y…−3−1−3…接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是( )A. {x =0y =−3B. {x =2y =−1C. {x =3y =0D. {x =4y =−36. 如图，已知点E 、F 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，且EF//BC ，点D 是BC 边上的点，AD 与EF 交于点H ，则下列结论中，错误的是( )A. AE AB =AHADB. AEAB =EHHFC. AEAB =EFBCD. AEAB =HFCD7.已知x1、x2是关于x的方程x2−ax−2=0的两根，下列结论一定正确的是()A. x1≠x2B. x1+x2>0C. x1⋅x2>0D. x1<0，x2<08.如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1、S2，则()A. S1=12S2 B. S1=72S2 C. S1=S2 D. S1=85S29.当ab>0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是()A. B.C. D.10.对方程2x2−1x+2019=0根的情况，下列判断正确的是()A. 没有实数根B. 有一个实数根C. 有两个实数根D. 有三个实数根二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.当锐角α______时，102cosα−√3有意义．12.某市园林部门为了扩大城市的绿化面积，进行了大量的树木移栽，下表记录的是在相同的条件下移栽某种幼树的棵树与成活棵树：移栽棵树10010001000020000成活棵树89910900818004依此估计这种幼树成活的概率是______.(结果用小数表示，精确到0.1)13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点G是△ABC的重心，CG=2，sin∠ACG=2，则BC长为______．314.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD于D，F为AC中点，AB=5，BC=7，则DF=______．15.如果一个三角形的三边的长分别为a、b、c，那么可以根据秦九韶--海伦公式S=(a+b+c))或其它方法求出这个三角形的面√p(p−a)(p−b)(p−c)(其中p=12积，则三边长分别为√5，3，2√5的三角形的面积为______．16.如图，∠MAN=60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB=2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是____．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.计算：2|sin60°−1|+tan45°．tan60∘−2cos45∘四、解答题（本大题共8小题，共64.0分）18.解关于x的一元ニ次方程：x2+(m+3)x+m+2=0．19.从背面相同的同一副扑克牌中取出红桃9张，黑桃10张，方块11张，现将这些牌洗匀背面朝上放桌面上．(1)求从中抽出一张是红桃的概率；(2)现从桌面上先抽掉若干张黑桃，再放入与抽掉的黑桃张数相同的红桃，并洗匀且背面都朝上排开后，随机抽一张是红桃的概率不小于25，问至少抽掉了多少张黑桃？(3)若先从桌面上抽掉9张红桃和m(m>6)张黑桃后，再在桌面上抽出一张牌，当m为何值时，事件“再抽出的这张牌是方块”为必然事件？当m为何值时，事件“再抽出的这张牌是方块”为随机事件？并求出这个事件的概率的最小值．20.如图，△ABC中，∠ACB>∠ABC，BC=9，AC=6，AB=10．(1)用直尺和圆规在∠ACB的内部作射线CM交AB于点D，使S△ACDS△BCD=23(不要求写作法，保留作图痕迹)；(2)求AD的长．21.某商品的进价是每件40元，原售价每件60元．进行不同程度的涨价后，统计了商品调价当天的售价和利润情况，以下是部分数据：若对该商品原售价每件涨价x元(x为正整数)时当天售出该商品的利润为y元．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)根据物价局规定，每件涨价x<5，如何定价才能使当天的销售利润达到最大值．22.探索锐角三角函数值，类比应用实际生活：探索1：利用科普书上的有关公式tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα⋅tanβtan(α−β)=tanα−tanβ1+tanα⋅tanβcos(α+β)=cosα⋅cosβ−sinα⋅sinβcos(α−β)=cosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ例如α=60°，β=45°代入差角正切公式：tan15°=tan(60°−45°)=tan60°−tan45°1+60∘⋅tan45∘=√3−11+√3=2−√3．探索2：如图1，在Rt△ACD中，∠C=90°，∠D=15°，AC=1，构造BD=BA，可求tan15°的值．(1)类比：利用探索2求出tan15°的值；(2)应用：如图2，某市要在市政大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成105°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过大道路面的中心线时照明效果最佳，已知OB=5米，求路灯的灯柱BC高度．23.某文明小区50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍．物管公司月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都人住且每户均按时全额缴纳物管费．(1)该小区每月可收取物管费90000元，问该小区共有多少套80平方米的住宅？(2)为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50平方米和80平方米的住户分别有40%和20%参加了此次括动．为提离大家的积扱性，6月份准备把活动一升级为活动二：“拉圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一．经调査与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活a%；6月份参加活动动的同户型户数的基础上将增加2a%，每户物管费将会减少310的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加6a%，每户a%.这样，参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他物管费将会减少14a%，求a的值．们按原方式共缴纳的物管费将减少51824.如图1矩形ABCD中，点E是CD边上的动点(点E不与点C，D重合)，连接AE，过点A作AF⊥AE交CB延长线于点F，连接EF，点G为EF的中点，连接BG．(1)若AB=20，AD=10，设DE=x，点G到直线BC的距离为y.当ECBG =2413时，求x的值．(2)如图2，若AB=BC，设四边形ABCD的面积为S，四边形BCEG的面积为S1，当S1=14S时，求DEDC的值．25.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，a、b、c为实数．(1)当a=1且b=c+1时，在−1<x<3中，恒有y<0，求c的取值范围；(2)抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点D的纵坐标为−1，若△ABC是直角三角形，当Rt△ABC面积取得最大值时，求抛物线的解析式；(3)若抛物线与x轴只有一个公共点M(2,0)，与y轴交于(0,2√3)；直线y=kx+2√3−2k与抛物线交于点P、Q，过点P且与y轴平行的直线与直线MQ相交于点N，求证：对于每个给定的实数k，点N的纵坐标均为定值．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查了比例的基本性质：两内项的积等于两外项的积．根据比例的基本性质：两内项的积等于两外项的积即可求解．【解答】解：∵2x=3y，∴2xy=3，则xy =32．故选B．2.【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的定义即可得到结论．本题考查了锐角三角函数的定义的应用，熟记三角函数的定义是解题的关键．【解答】解：∵∠A=α，AB=3，∴cosα=ACAB，∴AC=AB⋅cosα=3cosα，故选：B．3.【答案】C【解析】解：∴一共有12种情况，有2种情况两次都摸到红球，∴两次都摸到红球的概率是212=16．故选：C．列举出所有情况，看两次都摸到红球的情况占总情况的多少即可．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．4.【答案】C【解析】解：∵∠DAE=∠BAC，∴当∠ADE=∠C时，△ADE∽△ACB；当ADAC =AEAB时，△ADE∽△ACB．故选：C．根据有两组角对应相等的两个三角形相似对①进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似对②③进行判断．本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．5.【答案】B【解析】解：由图表的信息知：第一、二、四、五个点的坐标都关于x=2对称，所以错误的一组数据应该是(2,−1)，故选：B．根据点的坐标特征，即可判断．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解答此题的关键．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．利用平行线分线段成比例定理即可一一判断．【解答】解：∵EF//BC，∴AEAB =AHAD，AEAB=EFBC，AEAB=AFAC=FHCD，∴选项A，C，D正确，故选：B．7.【答案】A【解析】【解答】解：A.∵Δ=(−a)2−4×1×(−2)=a2+8>0，∴x1≠x2，结论A正确；B.∵x1、x2是关于x的方程x2−ax−2=0的两根，∴x1+x2=a，∵a的值不确定，∴B结论不一定正确；C.∵x1、x2是关于x的方程x2−ax−2=0的两根，∴x1⋅x2=−2，结论C错误；D.∵x1⋅x2=−2，∴x1、x2异号，结论D错误．故选：A．【分析】A.根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ>0，由此即可得出x1≠x2，结论A正确；B.根据根与系数的关系可得出x1+x2=a，结合a的值不确定，可得出B结论不一定正确；C.根据根与系数的关系可得出x1⋅x2=−2，结论C错误；D.由x1⋅x2=−2，可得出x1、x2异号，结论D错误．综上即可得出结论．本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：过A点作AG⊥BC于G，过D点作DH⊥EF于H．在Rt△ABG中，AG=AB⋅sin40°=5sin40°，∠DEH=180°−140°=40°，在Rt△DHE中，DH=DE⋅sin40°=8sin40°，S1=8×5sin40°÷2=20sin40°，S2=5×8sin40°÷2=20sin40°．则S1=S2．故选：C．过A点作AG⊥BC于G，过D点作DH⊥EF于H.在Rt△ABG中，根据三角函数可求AG，在Rt△ABG中，根据三角函数可求DH，根据三角形面积公式可得S1，S2，依此即可作出选择．本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，关键是作出高线构造直角三角形．9.【答案】D【解析】解：根据题意，ab>0，即a、b同号，当a>0时，b>0，y=ax2的开口向上，过原点，y=ax+b过一、二、三象限；此时，没有选项符合，当a<0时，b<0，y=ax2的开口向下，过原点，y=ax+b过二、三、四象限；此时，D选项符合，故选：D．根据题意，ab>0，即a、b同号，分a>0与a<0两种情况讨论，分析选项可得答案．本题考查了二次函数与一次函数的图象的性质，要求学生理解系数与图象的关系．10.【答案】B，【解析】解：原方程可变形为2x2+2019=1x的图象的交点，可将该方程的解看成二次函数y=2x2+2019的图象与反比例函数y=1x画出图形如下．结合图形即可发现两个函数图象只有一个交点，故选：B．，画出两个函数的图象，结合函数图象的交点，即可得将原方程变形为2x2+2019=1x出结论．本题考查了反比例函数与二次函数图象交点的问题，解题的关键是画出两函数的图象，数形结合解决问题．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，先将原方程变形，再画出两函数的图象，利用数形结合解决交点问题是关键．11.【答案】≠30°【解析】解：根据题意得2cosα−√3≠0，∴cosα≠√3，2又∵α是锐角，∴α≠30°．分式有意义的条件是：分母不等于0．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．12.【答案】0.9【解析】解：(89+910+9008+18004)÷(100+1000+10000+20000)=28011÷31100≈0.9，依此估计这种幼树成活的概率是0.9，故答案为：0.9．首先计算出总的成活树的数量，再计算出总数，然后利用成活的树的数量÷总数即可．此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．13.【答案】4【解析】解：延长CG交AB于D，作DE⊥BC于E，∵点G是△ABC的重心，∵CG=2，∴CD=3，点D为AB的中点，∴DC=DB，又DE⊥BC，∴CE=BE=1BC，2∵∠ACG+∠DCE=∠DCE+∠CDE=90°，∴∠ACG=∠CDE，∵sin∠ACG=sin∠CDE=2，3∴CE=2，∴BC=4故答案为：4．延长CG交AB于D，作DE⊥BC于E，由点G是△ABC的重心，得到CG=2，求得CD=3，点D为AB的中点，根据等腰三角形的性质得到DC=DB，又DE⊥BC，求得CE=BE=1BC，解直角三角形即可得到结论．2本题考查的是三角形的重心的概念和性质以及锐角三角函数的定义，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．14.【答案】1【解析】解：延长AD 交BC 于E∵AD ⊥BD ，BD 平分∠ABC∴△ABD≌△EBD∴BE =AB =5又∵BC =7∴EC =BC −BE =7−5=2∵DF 为△AEC 的中位线∴DF =12EC =12×2=1． 故答案为1． 作辅助线，延长AD 交BC 于E ，通过BD 平分∠ABC ，AD ⊥BD ，可证出△ABD≌△EBD ，那么有两组边相等，即BE =5，那么CE 就可求，AD =DE ，联合F 为AC 中点，也就是DF 是△ACE 的中位线，利用三角形中位线定理，可求DF ．解答此题的关键是作出辅助线DE ，构造等腰三角形和三角形的中位线，便可将问题转化为中位线定理来解．15.【答案】3【解析】解：设角形的三边的长a 、b 、c ，分别为√5，3，2√5，∵p =12(a +b +c)， ∴p =12(√5+3+2√5)=3+3√52， p −a =3+√52，p −b =3√5−32，p −c =3−√52，∵S =√p(p −a)(p −b)(p −c)，∴S 2=[√p(p −a)(p −b)(p −c)]2=p(p −a)(p −b)(p −c)=9，∵S >0，∴S =3．∴三边长分别为√5，3，2√5的三角形的面积为3．首先设角形的三边的长a 、b 、c ，分别为√5，3，2√5代入p =12(a +b +c)求出p ，进一步求出p −a ，p −b ，p −c 得结果，最后求出三边长分别为√5，3，2√5的三角形的面积．本题考查了二次根式的应用，掌握代入求值法求p 是解题的关键．16.【答案】√3<BC <2√3 【解析】解：如图，过点B 作BC 1⊥AN ，垂足为C 1，BC 2⊥AM ，交AN 于点C 2， 在Rt △ABC 1中，AB =2，∠A =60°，∴∠ABC 1=30°，∴AC 1=12AB =1，由勾股定理得：BC 1=√3，在Rt △ABC 2中，AB =2，∠A =60°，∴∠AC 2B =30°，∴AC 2=4，由勾股定理得：BC 2=2√3，当△ABC 是锐角三角形时，点C 在C 1C 2上移动，此时√3<BC <2√3．故答案为：√3<BC <2√3．当点C 在射线AN 上运动，△ABC 的形状由钝角三角形到直角三角形再到钝角三角形，画出相应的图形，根据运动三角形的变化，构造特殊情况下，即直角三角形时的BC 的值．本题考查解直角三角形，构造直角三角形，利用特殊直角三角形的边角关系或利用勾股定理求解．考查直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识点．17.【答案】解：原式=2×|√32−1|+1√3−2×√22 =2×(1−√32)+1√3−√2=2−√3+√3+√2(√3+√2)(√3−√2)=2−√3+√3+√2=2+√2．【解析】将特殊角三角函数值代入，然后先算乘除，再算加减，有小括号先算小括号里面的，绝对值和分数线相当于小括号．本题考查特殊角三角函数值，二次根式的混合运算，熟记特殊角三角函数值，理解二次根式的性质，掌握平方差公式(a +b)(a −b)=a 2−b 2的结构是解题关键．18.【答案】解：∵x2+(m+3)x+m+2=0，∴(x+m+1)(x+1)=0，则x+m+1=0或x+1=0，解得x1=−m−1，x2=−1．【解析】利用因式分解法求解即可．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．19.【答案】解：(1)抽出一张是红桃的概率是99+10+11=310；(2)设至少抽掉了x张黑桃，放入x张的红桃，根据题意得，9+x9+10+11≥25，解得：x≥3，答：至少抽掉了3张黑桃；(3)当m为10时，事件“再抽出的这张牌是方块”为必然事件，当m为9，8，7时，事件“再抽出的这张牌是方块”为随机事件事件，P(最小)=11(10−7)+11=1114．【解析】(1)根据题意列式计算即可；(2)设至少抽掉了x张黑桃，放入x张的红桃，根据题意列不等式即可得到结论；(3)根据题意即可得到结论．此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．同时考查了必然事件、不可能事件与随机事件的定义．20.【答案】解：(1)如图，射线CM即为所求．(2)AD=AB−BD=10−6=4．AB=6，所以BD=AC，以B为圆心，AC为半径作弧交AB于【解析】(1)因为BD=35D，经过点D作射线CM即可．(2)根据AD=AB−BD=4求解．本题考查作图−复杂作图，三角形的面积等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．21.【答案】解：(1)当售价为60元时，销售件数：6000÷(60−40)=300件；当每件售价61元，销售件数：6090÷(61−40)=290件；当每件售价62元，销售件数：6160÷(62−40)=280件；当每件收件63元，销售件数：62100÷(63−40)=270件；可以看出，售价每增加1元，销售减少10件，y=(60+x−40)(300−10x)=−10x2+100x+6000．∴y与x之间的函数关系式为y=−10x2+100x+6000；(2)y=−10x2+100x+6000=−10(x−5)2+6250，∵−10<0，当x<5时，y随x的增大而增大，∵x为正整数，∴当x=4时，y有最大值，最大值=−10(4−5)2+6250=6240，此时60+x=60+4=64(元)，∴当售价为64元时当天的利润达到最大．【解析】(1)通过表中数据计算可以得到售价每增加1元，销售减少10件，依此列出函数关系式；(2)根据函数性质，确定x=4时函数取得最大值．本题考查了二次函数的实际应用，将实际问题转化成函数关系式解答此题的关键．22.【答案】(1)解：如图1，在DC 上取点B ，使得BD =AB ，∴∠D =∠DAB =15°，∴∠ABC =∠D +∠DAB =30°，在Rt △ABC 中，AC =1，∴tan∠ABC =tan30°=1BC =√33，AB =2AC =2，∴BC =√3，∴DC =BC +BD =BC +AB =√3+2，Rt △ACD 中，tan15°=tanD =AC CD =1√3+2=2−√3．(2)如图2，作DE ⊥AB 于点E ，CF ⊥DE 于点F ，∵BC ⊥AB ，∴∠ABC =∠BEF =∠FEC =90°，∴四边形BEFC 是矩形，∴∠FCB =90°，BC =EF ，BE =CF ，∵DO ⊥CD ，∴∠ODC =90°，∴∠DOE +∠DOE =∠ODE +∠CDF =∠CDF +∠DCF =90°，∴∠ODE =∠DCF =∠DCB −∠FCB =105°−90°=15°，∠DOE =∠CDF =90°−15°=75°，∵cos15°=√6+√24，tan75°=tan30°+tan45°1−tan30∘⋅tan45∘=2+√3， 在RT △CDF 中，CD =2米，∴CF =DC ⋅cos15°=2×√6+√24=√6+√22(米)， ∵OE =OB −BE =OB −CF =5−√6+√22=10−√6−√22(米)，∴DE =OE ⋅tan75°，DF =CF ⋅tan75°，∴BC=EF=DE−DF=OE⋅tan75°−CF⋅tan75°=(10−√6−√22−√6+√22)×(2+√3)=10+5√3−2√6−2√2(米)．答：路灯的灯柱BC高度为(10+5√3−2√6−2√2)米．【解析】(1)如图1，在DC上取点B，使得BD=AB，利用锐角三角函数的定义作答；(2)作DE⊥AB于点E，CF⊥DE于点F，可得矩形BCFE，进而可得∠ODE=15°、∠DOE= 75°，在Rt△CDF中根据三角函数分别求出DF、CF=BE的长，在Rt△ODE中求出DE 的长，由BC=EF=DE−DF可得答案．本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数的概念，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．23.【答案】(1)解：设该小区有x套80平方米住宅，则50平方米住宅有2x套，由题意得：2(50×2x+80x)=90000，解得x=250答：该小区共有250套80平方米的住宅．(2)参与活动一：50平方米住宅每户所交物管费为100元，有500×40%=200户参与活动一，80平方米住宅每户所交物管费为160元，有250×20%=50户参与活动一；参与活动二：50平方米住宅每户所交物管费为100(1−310a%)元，有200(1+2a%)户参与活动二；80平方米住宅每户所交物管费为160(1−14a%)元，有50(1+6a%)户参与活动二．由题意得100(1−310a%)⋅200(1+2a%)+160(1−14a%)⋅50(1+6a%)=[200(1+2a%)×100+50(1+6a%)×160](1−518a%)令t=a%，化简得t(2t−1)=0∴t1=0(舍)，t2=12，∴a=50．答：a的值为50．【解析】(1)设该小区有x套80平方米住宅，则50平方米住宅有2x套，根据物管费90000元，可列方程求解；(2)50平方米住宅有500×40%=200户参与活动一，80平方米住宅有250×20%=50户参与活动一；50平方米住宅每户所交物管费为100(1−310a%)元，有200(1+2a%)户参与活动二；80平方米住宅每户所交物管费为160(1−14a%)元，有50(1+6a%)户参与活动二．根据参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少518a%，列出方程求解即可．本题是一元二次方程的综合应用题，数据较多，分析清楚题目中相关数据，根据等量关系列出方程是解题的关键．24.【答案】解：(1)如图1，过点G作GH⊥BF于H，则GH=y，∵∠GHF=∠C=90°，∴GH//EC，∵点G为EF的中点，∴FG=GE，∴FH=HC，∴EC=2GH=2y，∵DE+EC=CD=AB=20，∴x+2y=20，∴y=−12x+10(0<x<20)，∵ECBG =2413，∴设EC=24k，BG=13k，∵EC=2GH，∴GH=12k，由勾股定理得：BH=5k，∴FH=CH=5k+10，∴FB=10k+10，∵AE⊥AF，∴∠EAF=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠ABF=∠D=90°，∴∠EAF=∠BAD，∴∠FAB=∠DAE，∵∠ABF=∠D=90°，∴△ADE∽△ABF；∴ADDE =ABBF，∵y=−12x+10，x=20−24k，∴1020−24k =2010k+10，∴k=1529，∴x=20−24k=22029；(2)如图2，连接BE，设DE=a，CD=BC=b．∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，∴四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，设DE=a，CD=BC=b，∵∠FAB=∠EAD，AD=AB，∠D=∠ABF，∴△ADE≌△ABF(ASA)，∴BF=DE=a，∴S1=S△EBG+S△ECB=12S△BFE+S△EBC=14a(b−a)+12b(b−a)=12b2−14a2−14ab，∵S=b2，S=4S1，∴b2=2b2−a2−ab，∴a2+ab−b2=0，∴(ab )2+ab−1=0，解得a b=√5−12或a b =−1−√52(舍去)，∴DEDC的值为：√5−12．【解析】(1)如图1中，作GH ⊥BF 于H ，利用三角形的中位线定理，推出EC =2y ，再根据DE +EC =20，可得y 与x 的函数关系式；由ECBG =2413，可以假设EC =24k ，BG =13k ，利用相似三角形的性质构建方程，求出k 即可解决问题；(2)连接BE ，先证明△ADE≌△ABF ，设DE =a ，CD =BC =b ，则BF =DE =a ，根据S 1=S △EBG +S △ECB =12S △BFE +S △EBC =14a(b −a)+12b(b −a)=12b 2−14a 2−14ab 及S =4S 1，构建一元二次方程，即可解决问题．本题属于几何综合题，考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，会利用参数构建方程是解决问题的关键．25.【答案】解：(1)当a =1且b =c +1时，y =x 2+(c +1)x +c ，∵在−1<x <3中，恒有y <0， ∴{(−1)2+(c +1)×(−1)+c ≤032+3(c +1)+c ≤0， ∴c ≤−3；(2)∵抛物线y =ax 2+bx +c 交y 轴于点C(0,c)，c ≠0，交x 轴于点A(x 1,0)、B(x 2,0)，且x 1<0<x 2，由△ABC 是直角三角形知，点C 必为直角顶点， ∴∠AOC =∠BOC =∠ACB =90°，∴∠CAB +∠CBA =90°，∠CAB +∠ACO =90°， ∴∠CBA =∠ACO ， ∴△CBO∽△ACO ， ∴OCOB =OAOC ， ∴OC 2=OA ⋅OB ，∵OA =−x 1，OB =x 2，OC =−c ， ∴c 2=(−x 1)x 2=−x 1x 2，由根与系数的关系得，x 1+x 2=−ba ，x 1⋅x 2=ca ， ∴c 2=−ca ，c =−1a，又4ac−b 24a=−1，即4a =4+b 2，且a ≥1，∴S △ABC =12|c|⋅|x 1−x 2|=12a √(x 1+x 2)2−4x 1x 2=12a √b 2a 2+4a 2=a √a≤1，∴Rt △ABC 的最大面积是1，此时a =1，b =0，c =−1， ∴抛物线的解析式为y =x 2−1；(3)∵抛物线与x 轴只有一个公共点M(2,0)，与y 轴交于(0,2√3)，∴设抛物线解析式为y =a(x −2)2，将(0,2√3)代入，得：2√3=a(0−2)2， 解得：a =√32，∴抛物线解析式为y =√32(x −2)2=√32x 2−2√3x +2√3，设直线y =kx +2√3−2k 与抛物线交于点P(x P ,y P )、Q(x Q ,y Q )， ∴√32x 2−2√3x +2√3=kx +2√3−2k ，整理得：√3x 2−(4√3+2k)x +4k =0， ∴x P +x Q =4+2√33k ，x P x Q =4√33k ，∴y P +y Q =k(x P +x Q )+4√3−4k =2√33k 2+4√3，设直线MQ 的解析式为y =mx +n ，将M(2,0)，Q(x Q ,y Q )代入， 得：{2m +n =0mx Q +n =y Q ，解得：{m =yQx Q −2n =−2y Q x Q−2，∴直线MQ 的解析式为y =y Qx Q−2x −2y QxQ −2，当x =x P 时，y N =y Qx Q−2⋅x P −2y Qx Q−2=y Q (x P −2)x Q −2=√32(x Q −2)2×x P −2x Q−2=√32[x P x Q −2(x P +x Q )+4]=√32[4√33k −2(4+2√33k)+4]=−2√3，故对于每个给定的实数k ，点N 的纵坐标均为定值−2√3．【解析】(1)根据在−1<x <3中，恒有y <0，可得不等式组{(−1)2+(c +1)×(−1)+c ≤032+3(c +1)+c ≤0，即可求得答案； (2)由△CBO∽△ACO ，可得OC 2=OA ⋅OB ，进而可得c 2=(−x 1)x 2=−x 1x 2，由根与系数的关系得，x 1+x 2=−ba ，x 1⋅x 2=ca ，进而得出4a =4+b 2，且a ≥1，再利用S △ABC =12|c|⋅|x 1−x 2|=a√a≤1，故Rt △ABC 的最大面积是1，此时a =1，b =0，c =−1，即可得出答案；(3)根据抛物线与x轴只有一个公共点M(2,0)，与y轴交于(0,2√3)，可得抛物线解析式为y=√32(x−2)2=√32x2−2√3x+2√3，设直线y=kx+2√3−2k与抛物线交于点P(x P,y P)、Q(x Q,y Q)，由√32x2−2√3x+2√3=kx+2√3−2k，整理得：√3x2−(4√3+2k)x+4k=0，运用根与系数关系得：x P+x Q=4+2√33k，x P x Q=4√33k，运用待定系数法求得直线MQ的解析式为y=y Qx Q−2x−2y Qx Q−2，当x=x P时，y N=y Qx Q−2⋅x P−2y Qx Q−2=√3 2[x P x Q−2(x P+x Q)+4]=√32[4√33k−2(4+2√33k)+4]=−2√3，故对于每个给定的实数k，点N的纵坐标均为定值−2√3．本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数与抛物线交点坐标，不等式组的应用，一元二次方程根与系数关系，直角三角形性质，相似三角形的判定和性质，二次函数最值运用等知识，涉及知识点多，综合性强，难度较大．。
福建省泉州市初中学业质量检查数学试卷
-1 0 1 -1 0 1 -1 0 1-1 0 1 A ． B. C. D. 福建省泉州市初中学业质量检查数 学 试 卷（试卷满分：150分；考试时间：120分钟）所有答案必须填写到答题卡相应的位置上.一、选择题（每小题3分，共21分）每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正确的，请在答题卡上相应题目的答题区域内作答，答对的得3分，答错或不答的一律得0分. 1.下列各数中，属于负数的是( ).A.0B.3C.3-D. )3(-- 2.计算：43a a ⋅等于（ ）.A. 7aB.12aC. 43aD. 34a 3．把不等式组⎩⎨⎧≤->+01242x x 的解集在数轴上表示出来，正确的是().4.一组数据35、38、37、36、37、36、35、36的众数是（ ）. A. 35 B. 36 C. 37 D. 385.若n 边形的内角和是︒720，则n 的值是（ ）.A.5B.6C.7D. 86.如图1，由6个形状相同的小正方体搭成的一个几何体，此几何体的左视图是（ ）.7.如图2，两个平行四边形的面积分别为18、12，两阴影部分的面积分别为a 、b )(b a >，则)(b a -等于( ).A ．4 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．7二、填空题（每小题4分，共40分）在答题卡上相应题目的答题区域内作答. 8.2013-的相反数是 . 9.分解因式：_________22=-m m .10.据事网站报道，辽宁号航空母舰，简称“”，舷号16，是中国人民解放海第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰.的满载排水量67500吨，将A. B. C. D. ABE C D（图1）正面（图2） ba数据67500用科学记数法表 示为 . 11.计算：=+++aa a 222 . 12.方程532=-x 的解是 .13.如图3，ABC Rt ∆的顶点C 在DE 上，︒=∠90ACB ，AB DE //.若︒=∠30BCE ，则=∠A ︒.14.写出一个你熟悉的既是轴对称又是中心对称的几何图形： . 15.一个扇形的弧长是cm π38，面积是2190cm π，这个扇形的半径是 cm .16.如图4，E 是ABC ∆的重心，AE 的延长线交BC 于点D ，则=AD AE : . 17.在平面直角坐标系中，A 、B 两点的坐标分别为)2,3(A ，)5,1(B . （1）若点P 的坐标为),0(m ，当=m 时,PAB ∆的周长最短；（2）若点C 、D 的坐标分别为),0(a 、)4,0(+a ，则当=a 时，四边形ABDC 的周长最短. 三、解答题（共89分）在答题卡上相应题目的答题区域内作答. 18.（9分）计算：3)13(5252801-+--⨯+÷-.19.（9分）先化简，再求值：2)2()3)(3(-+-+x x x ，其中2-=x .20.（9分）如图5，四边形ABCD 是菱形，AB DE ⊥交BA 的延长线于点E ，BC DF ⊥交BC 的延长线于点F .求证：DF DE =.21.（9分）《泉州市建设“美丽乡村”五年行动计划（～）》提出：从起，泉州花5年时间把泉州农村建D （图5） A BE C F设成为“村庄秀美、环境优美、生活甜美、社会和美”的宜居、宜业、宜游“美丽乡村”.某村从2名女村民和2名男村民中随机抽取环境卫生督查员若干名. （1）若随机抽取1名，求恰好是女村民的概率；（2）若随机抽取2名，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求恰好是1名女村民和1名男村民的概率.22．（9分）如图6，在方格纸中（小正方形的边长为１），直线AB 与两坐标轴交于格点A 、B ，根据所给的直角坐标系(O 是坐标原点)，解答下列问题： (1)分别写．出点A 、B 的坐标，画．出直线AB 绕着点O 逆时针旋转︒90的直线''B A ；(2)若线段''B A 的中点C 在反比例函数)0(≠=k xky 的图象上，请求出此反比例 函数的关系式.23.（9分）世界卫生组织决定从1989年起将每年的5月31日定为世界无烟日，中国也将该日作为中国的无烟日.为宣传“吸烟危害健康”，提倡“戒烟”，某校组织同学们在社区开展了“你支持哪种戒烟方式”的随机问卷调查，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）同学们一共调查了 名市民，扇形统计图中“药物戒烟”部分的圆心角是 度，请你把折线统计图补充完整；（2）若该社区有1万名市民，请你估计该社区有多少名市民支持“警示戒烟”方式？o （图6） A By x24.（9分）某工厂生产甲、乙两种不同的产品，所需原料为同一种原材料，生产每吨产品所需原材料的数量和生产过程中投入的生产成本的关系如右表所示：若该工厂生产甲种产品m 吨，乙种产品n 吨，共用原材料160吨，销售甲、乙两种产品的利润y （万元）与销售量x （吨）之间的函数关系如图7所示，全部销售后获得的总利润为200万元. （1）求m 、n 的值；（2）试问：该工厂投入的生产成本多少万元？被抽查的人数折线统计图2007512550100150200250强制戒烟警示戒烟药物戒烟其它戒烟戒烟方式人被抽查的人数扇形统计图强制戒烟40%其它戒烟20%药物戒烟警示戒烟24生产成本（万元） 2 1 原材料数量（吨） 乙 甲 产 品乙632 xy(图7）利润y 与销售量x 之间的函数关系图O 甲25．(13分)抛物线k x x y +-=4212与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C )6,0(，动点P 在该抛物线上. (1)求k 的值；(2)当POC ∆是以OC 为底的等腰三角形时，求点P 的横坐标；(3)如图8，当点P 在直线BC 下方时，记POC ∆的面积为1S ，PBC ∆的面积为2S .试问12S S -是否存在最大值？若存在，请求出12S S -的最大值；若不存在，请说明理由.26.（13分）如图9，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，cm AC 10=,cm BC 5=，点P 从点C 出发沿射线．．CA 以每秒cm 2的速度运动，同时点Q 从点B 出发沿射线．．BC 以每秒cm 1的速度运动.设运动时间为t秒.（1）填空：=AB cm ；xy（图8）OABPC（2）若50<<t ，试问：t 为何值时，PCQ ∆与ACB ∆相似；（3）若ACB ∠的平分线CE 交PCQ ∆的外接圆于点E .试探求：在整个运动过程中，PC 、QC 、EC 三者存在的数量关系式，并说明理由.四、附加题（共10分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答.请同学们做完上面考题后，再认真检查一遍，估计一下你的得分情况．如果你全卷得分低于90分（及格线），则本题的得分将计入全卷总分，但计入后全卷总分不超过90分；如果你全卷已经达到或超过90分，则本题的得分不计入全卷总分． 1．（5分）计算：2235x x -= .2．（5分）已知35A ∠=︒，则A ∠的补角是 度.福建省泉州市初中学业质量检查数学试题参考答案及评分标准说明：（一）考生的正确解法与“参考答案”不同时，可参照“参考答案及评分标准”的精神进行评分. （二）如解答的某一步出现错误，这一错误没有改变后续部分的考查目的，可酌情给分，但原则上不超过后面应得的分数的二分之一；如属严重的概念性错误，就不给分. （三）以下解答各行右端所注分数表示正确做完该步应得的累计分数.一、选择题（每小题3分，共21分）1. C ；2. A ；3. D ；4.B ；5. B ；6.A ；7. C.二、填空题（每小题4分，共40分）（图9） ABC8. 2013； 9. )12(-m m ； 10. 41075.6⨯； 11. 1； 12. 4=x ； 13.60；14. 正方形等（答案不唯一）； 15. 10； 16.3:2；17. (1)417；(2)45. 三、解答题（共89分）18.（本小题9分） 解：原式3151252+-⨯+= …………………………………………………………8分 3152+-+=9= ………………………………………………………………………………9分19.（本小题9分）解：原式=44922+-+-x x x ……………………………………………………………4分=134+-x ………………………………………………………………………6分当2-=x 时， 原式=13)2(4+-⨯- =138+21= …………………………………………………………………………………9分20.（本小题9分） 证明： 方法一：∵四边形ABCD是菱形，∴DC DA =，BCD DAB ∠=∠， ……………………………………………………2分 ∵︒=∠+∠180DAE DAB ,︒=∠+∠180DCF BCD∴DCF DAE ∠=∠ …………………………………………………………………4分 又∵AB DE ⊥，BC DF ⊥，∴︒=∠=∠90DFC DEA ， ……………………………………………………………6分 在ADE ∆和CDF ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠DC DA DCF DAE DFC DEA ∴ADE ∆≌CDF ∆（AAS ）， ………………8分 ∴DF DE =．…………………………………9分 方法二：∵四边形ABCD 是菱形，∴BC AB =，…………………………………4分 又∵AB DE ⊥，BC DF ⊥，∴DF BC DE AB S ABCD ⋅=⋅=菱形 ……………………………………………………8分 ∴DF DE =． ……………………………………………………………………………9分 方法三：连接DB …………………………………………………………………………2分 ∵四边形ABCD 是菱形，∴DBC DBA ∠=∠， ……………………………………………………………………6分 又∵AB DE ⊥，BC DF ⊥，D（图5）ABECF∴DF DE =． ……………………………………………………………………………9分 21.（本小题9分）解：(1)抽取1名恰好是女村民的概率是12；……………………………………………4分 (2)方法一：列举所有等可能的结果，画树状图如下：………………………………………………………………………………8分∴P （一女一男）32128==. …………………………………………………………9分 即抽取2名恰好是一女一男村民的概率是23．方法二：列举所有等可能的结果，列表法如下：……………………………………………………………………………………8分∴P （一女一男）32128==. ……………………………………………………………9分 即抽取2名恰好是一女一男村民的概率是23．22．（本小题9分）解：(1)(6,0)A 、(0,4)B ，旋转后的直线B A ''如图6所示；……………………………………4分 (2) 由（1）可知：点C 的坐标为(2,3)-，……………………………………6分把(2,3)-代入反比例函数的关系式ky x=可得， 32k=-，解得6k =- 女1 女2 男1 男2 女1(女1，女2) (女1，男1) (女1，男2)女2(女2，女1)(女2，男1) (女2，男2)男1 (男1，女1) (男1，女2)(男1，男2)男2(男2，女1)(男2，女2)(男2，男1)男2女1第二次女2女2女2男1女1女1男1男1男2男2男2男1女2女1第一次（图6）xy B'A'OBA C故所求的反比例函数的关系式为6y x=-． …………………………………………9分23．（本小题9分）(1) 500名，54度，折线统计图如图所示：…………………………………………………………………………………6分(2)解：由（1）知，同学们一共调查了500名市民，250010000500125=⨯（名） 答：该社区有2500名市民支持“警示戒烟”方式.……………………………9分24．（本小题9分）解：(1)由图7可知：销售甲、乙两种产品每吨分别获利3万元、2万元.……………………………………………………………………………………2分 根据题意可得：⎩⎨⎧=+=+200231602n m n m 解得⎩⎨⎧==7020n m ……………………………………………6分 （2）由（1）知，甲、乙两种产品分别生产20吨、70吨 220270420=⨯+⨯（万元）答：该工厂投入的生产成本为220万元.……………………………………………9分25.（本小题13分）解:(1) 抛物线k x x y +-=4212经过点C )6,0( ∴6040212=+⨯-⨯k 解得6=k ……………………………………………………………………………3分(2)如图8-1，过OC 的中点D 作y 轴的垂线,当POC ∆是以OC 为底的等腰三角形时, 由被抽查的人数折线统计图20010012575050100150200250强制戒烟警示戒烟药物戒烟其它戒烟戒烟方式人362121=⨯==OC OD 可知，点P 的纵坐标为3. ……………………………5分由(1)可知，抛物线的解析式为64212+-=x x y ，令3=y 得364212=+-x x ，解得104±=x∴点P 的横坐标为104±.………………………7分(3)由(1)可知，抛物线的解析式为64212+-=x x y 令0=x 得6y =；令0=y 得064212=+-x x ,解得 21=x ,62=x .则点A 、B 、C 坐标分别为(2,0)、)0,6(、)6,0(,OA =2,6OB OC == (8)分设点P 为)6421,(2+-m m m ,当点P 在直线BC 下方时，60<<m , …………9分 解法一：过点P 作y PE ⊥轴于点E ,作直线x PG ⊥轴于点G . 当62<≤m 时，如图8-1，m PE =，64212-+-=m m PG ，12S S S COPB -=四边形，POB BOC COPB S S S ∆∆+=四边形 =)(21PG OC OB +⨯⨯=m m 12232+-，m PE OC S 621=⨯= ∴2112COPB S S S S -=-四边形m m m 612232-+-=m m 6232+-= …………10分当20<<m 时，如图8-2，mPE =，64212+-=m m PG ，2S S S POB BOC --=∆∆同理可求21S S -m m 6232+-= ………………………………………………11分综上所述，当60<<m 时，2221336(2)622S S m m m -=-+=--+………12分2=m 满足60<<m∴当2=m 时,21S S -存在最大值6. …………………………………………13分解法二：设直线BC 的解析式为)0(≠+=a b ax y ,则⎩⎨⎧=+=+⨯0660b a b a 解得⎩⎨⎧=-=61b a xy （图8-1）O ABP C GDEx y（图8-2）O A B PC G E∴直线BC 的解析式为6+-=x y . …………10分如图8-3,过点P 作y PE ⊥轴于点E ,作直线x PG ⊥轴于点G ,直线PG 交直线BC 于点F ,可设点P 为)6421,(2+-m m m ,则点F 坐标为)6,(+-m m ,∴PE OG m ==,m m m m m PF 321)6421()6(22+-=+--+-=,2111222PCF PBF S S S PF OG PF BG PF OB ∆∆∴=+=⋅+⋅=⋅22113(3)69222m m m m =⨯-+⨯=-+ …………………………………11分 又m m PE OC S 3621211=⨯⨯=⋅=2221336(2)622S S m m m ∴-=-+=--+ …………………………………12分2=m 满足60<<m∴当2=m 时,21S S -存在最大值6. …………………………………………13分26.（本小题13分）解: （1）cm AB 55=； …………………………………………………………3分 QB t =,（2）如图9-1，由题意可知：2PC t =,t QC -=5. …………………4分方法一：ACB PCQ ∠=∠∴要使PCQ ∆与ACB ∆相似，则必须有BPQC ∠=∠或A PQC ∠=∠成立.当A PQC ∠=∠时，PCQ ∆∽BCA ∆ 由BC PC CA CQ =可得52105tt =-解得1=t ……………………………6分当B PQC ∠=∠时,PCQ ∆∽ACB ∆，由AC PC CB CQ =可得10255tt =- 解得25=t ………………………………………………………………………7分∴当1=t 或25秒时，PCQ ∆与ACB ∆相似； ……………………………………8分方法二：ACB PCQ ∠=∠AQ PCB（图9-1）∴要使PCQ ∆与ACB ∆相似，则必须有BC PC CA CQ =或ACPCCB CQ =成立 当BC PC CA CQ =时，52105tt =-,解得1=t ， …………………………………………6分当AC PC CB CQ =时，10255t t =-,解得25=t ， ……………………………………7分 ∴当1=t 或25秒时，PCQ ∆与ACB ∆相似； …………………………………8分(3)当50<<t 时，如图9-2，过点E 作HE CE ⊥交AC 于H ，则 =90HEP PEC ︒∠∠+︒=∠90ACB ,∴PQ 为PCQ ∆的外接圆的直径∴90QEP ∠=︒即C C=90QE PE ︒∠∠+ 又∵CE 平分ACB ∠且︒=∠90ACB ∴=45QCE PCE ︒∠∠=∴⌒PE =⌒QE从而可得PE QE = ∴=45QCE PHE ︒∠∠= ∴QCE PHE ∆∆≌（AAS ）∴PH QC =……………………………9分 在Rt HEC ∆中，222EC EH HC +=,EH EC =即222()EC CP CQ =+ ∴2CP CQ EC +=………………………………………………………………………11分当t ≥5时，如图9-3，过点E 作ME CE ⊥交AC 于M ,仿上可证QCE PME ∆∆≌，∴2CP CQ EC -=综上所述，当50<<t 时，2CP CQ EC +=；当t ≥5时，2CP CQ EC -=.…………………………………………………………………………………………13分四、附加题（共10分） （1）22x -； （2）145AP CBH E（图9-2）QAQ PCM E（图9-3）B。