自测题四

自我检查题四 1） 填空题（1） 向量组[][][]1232,2,7,3,1,2,1,5,12a a a TTT==-=线性———关。

（2） 4维向量组[]11,4,0,2a T=-，[]25,11,3,0a T =-，[]33,2,4,1a T=--，[]42,9,5,0a T=--，[]50,3,1,4a T =-的秩是——，且一个极大无关组为———。

（3） 设3R 的两组基为[]11,1,1a T=，[]21,0,1a T=-，[]31,0,1a T=；[][][]1231,2,1,2,3,4,3,4,3βββT T T===，则由基123,,a a a 到基123,,βββ的过渡矩阵T 为———，[]2,4,6a T=在基123,,a a a 下的坐标为———。

的秩为，则向量组的秩为）已知向量组（321321,3,,4a a a a a a -———。

=⨯m A A n m 则的行向量组线形无关，，且的秩为矩阵）已知（35———，m ———n 。

（6）已知秩为3的向量组1234,,,a a a a 可由向量组123,,βββ线性表示，则向量组123,,βββ必线性———。

（7）设20,,k k βT⎡⎤=⎣⎦能由[]11,1,1a k T=+，[]21,1,1a k T=+，[]31,1,1a k T=+唯一线性表出，则k 满足———。

（8）设A 为4阶方阵，且()2r A =，则*0A x =的基础解系所含解向量的个数为———。

2） 选择题（1）设向量组()I 123,,a a a ；1234(),,,a a a a II ；1235(),,,a a a a III ； ()V I 12345,,,a a a a a +，且()()3r r I =II =，()4,r III =则()r V I =（ ）。

(A)2 (B)3 (C)4 (D)5（2）设向量β可由向量组12,,....m a a a 线性表示，但不能由向量组121(),,....m a a a -I 线性表示，若向量组121(),,...,m a a a β-II ，则m a （ ）。

（A ）既不能由（I ）线性表示，也不能由（II ）线性表示（B ）不能由（I ）线性表示，但可由（II ）线性表示 （C ）可由（I ）线性表示，也可由（II ）线性表示（D ）可由（I ）线性表示，但不可由（II ）线性表示（3）n 维向量组12,,.....(3)s a a a s n ≤≤线性无关的充要条件是（ ）。

（A ） 存在不全为零的数0......,...,2211,21≠++s s s a k a k a k k k k 使 （B ） s a a a ,.....,21中任意两个向量均线形无关（C ） s a a a ,.....,21中存在一个向量不能由其余向量线性表示 （D ） s a a a ,.....,21中任意一个向量都不能由其余向量线性表示 （4）n 维向量组s a a a ,.....,21线性无关的充分条件是（ ）。

（A ）s a a a ,.....,21中不含零向量 （B ）n s ≤（C ）s a a a ,.....,21中任意两个向量的分量不成比例 （D ）某向量β可由s a a a ,.....,21线性表示，且表示式唯一(5)齐次方程组0Ax =仅有零解的充要条件是系数矩阵A 的（ ）。

（A ）行向量组线性无关 （B ）列向量组线性无关 （C ）行向量组线性相关 （D ）列向量组线性相关（6）齐次方程组0Ax =有非零解的充要条件是（ ）（A ）A 的任意两个列向量线性相关 （B ）A 的任意两个列向量线性无关（C ）必有一列向量是其余列向量的线性组合 （D ）任意一列向量都是其余列向量的线性组合（7）设A 为n 阶方阵，()3r A n =- ，且123,,a a a 是0Ax =的三个线性无关的解向量，则0Ax =的基础解系为（ ）。

（A ）122331,,a a a a a a +++ （B ）213213,,a a a a a a --- （C ）21321312,,2a a a a a a --- （D ）1233213,,2a a a a a a a ++---（8）设向量组12,,....s a a a 的秩为r ，则（ ）。

（A ） 必定r s <（B ） 向量组中任意小于r 个向量的部分组无关 （C ） 向量组中任意r 个向量线性无关（D ） 向量组中任意r +1个向量必线性相关（9）设()I 12,,....s a a a 和()II 12,,......t βββ为两个n 维向量组，且()()r r I =II =r ， 则（ ）。

（A ） 向量组()I 与()II 等价 （B ） 1212(,,....,,,...)s t r a a a r βββ=（C ） ()I 可由()II 线性表出时，()II 也可由()I 线性表出 （D ） 当s t =时两向量等价（10）设1a =[][][]12321233123,,,,,,,,a a a a b b b a c c c TTT==，则三条直线220(1,2,3,0)i i i i i a x b y c i a b ++==+≠其中交于一点的充要条件是（ ）（A ）123,,a a a 线性相关 （B ）123,,a a a 线性无关 （C ）12312(,,)(,)r a a a r a a =（D ）123,,a a a 线性相关，12,a a 线性无关 3）计算证明题 （1） 设[][][][][]12341,0,0,3,1,1,1,2,1,2,3,1,1,2,2,,0,1,,1,a a a a a ab βT T T T T==-=-=-=-问,a b 取何值时，①β能由1234,,,a a a a 线性表出，且表达式唯一 ②β不能由1234,,,a a a a 线性表出③β能由1234,,,a a a a 线性表出，但表达式不唯一，写出一般式。

（2）,a b 为何值时，向量组[][][]1231,1,0,0,0,1,1,0,0,0,1,1a a a T T T===与向量组[][][]1231,,1,2,1,1,2,0,1,2,1b βββT T T===，a 等价。

（3）①设[][][]1231,2,3,2,1,1,1,2,1,3,5,2a a a T T T=--=--=-，求与1a 正交，且与23,a a 内积均为1的所有向量。

②给定两个4维向量，12122,,0,,,333a a TT⎡⎡⎤=-=⎢⎢⎥⎣⎦⎣将它扩充为4R 的一个标准正交基。

（4）设向量组12123,a a βββ及，，满足111112222112223311322c a c a c a c a c a c aβββ=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩ 判定123,,βββ的线性相关性。

（5）设[]2,,,.....,m n n m m A B r r T⨯⨯1且m>n,又AB=r 讨论向量组12,,.....m r r r 的线性相关性。

（6）设n 维向量12,a a 线性无关，且34,a a 线性无关，若12,a a 均分别与34,a a 正交，证明αααα4321,,,线性无关。

（7）若向量组12,,....m a a a 线性相关，且10a ≠，证明其中至少有一个向量(1)i a i n <≤是其前面1i -个向量121,,....i a a a -的线性组合。

(8)①设向量组123412351(),,,;(),,,;(),,a a a a a a a a a a aa aI I I I I I-若()3,()4,r r I =II =证明()4r III =。

②已知向量组123,,a a a 线性相关，向量组124,,a a a 线性无关，证明向量3a 可由向量12,a a 唯一线性表出。

（9）设12,a a 是非齐次方程组Ax β=的两个解向量，12,,.......(m m ηηη为奇数）是 0Ax =的一个基础解系，证明Ax β=的任一个解向量为12112223111()()....()()2m m m m m a a x t t t t ηηηηηηηη--+=+++++++++（10）在秩为r 的n 阶方阵A 中任取s 行作一新矩阵B ，证明().r B r s n ≥+-（11）已知n R 中的向量a 在基12,,.....n a a a 下的坐标为12n x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，在基12,,......n βββ下的坐标为12n y y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且112211,,.....n n n y x y x x y x x -==-=-① 求由基12,,.....n a a a 到基12,,......n βββ的过渡矩阵。

② 设向量122......,n n ηβββ=++求η 在基12,,.....n a a a 下的坐标。

自我检查题四答案及提示1）（1）相；（2）4；1234,,,a a a a ；（3）234010101⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦；（4，-2，0）；（4）2；（5）3，≤；（6）无关；（7）0≠，-3；（8）4.2）（1）C ；（2）B ；（3）D ；（4）D ；（5）B ；（6）C ；（7）A ；（8）D ；（9）C ；（10）D . 3）（1）①1,a b R ≠∈；② 1,1a b =≠-；③,1,1-==b aααααβ4433243143)221()1(x x x x x x ++--+++-= ,其中R x x ∈43,。

（2）12a b =≠。

（3）①21120100x --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦② 34,0a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎢⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦（4）由123(,,)2r βββ≤可得123,,βββ线性相关。

（5）线性相关。

（6）设112233440,t a t a t a t a +++=则111221112222,,0,,0t a a t a a t a a t a a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩由2112111221221222,,,,,00,,,a a a a a a a a a a t a a a a =->==1得t从而有340t t ==,故1234,,,a a αα线性无关。

(7)提示：用定义，令112211...0,,,....m m m m t a t a t a t t t -+++=由找第一个不为零的i t ， 可知i a 可由121,,....i a a a -线性表出。