Ch2轴向拉压4-5节-2003

§２－４拉（压）杆的变形(Deformation of Axial Forced Bar)· 胡克定律(Hooke’s Law)
桁架节点位移:
例: 图(a)所示托架,杆1和杆2均为 钢杆,弹性模量E=200GPa,横截面面积 分别为A1=200mm2,A2=250mm2,荷 载P=10kN,l1=2m。试求节点Ａ的位移。 解:1,求各杆轴力:(取节点A
其中: m ---横向变形系数(or: 泊松比Poisson’s Ratio)
例题2-5 求例题2-4中所示薄壁圆环在内压力 p=2MPa作用下的径向应变和圆环直径的改变量。 已知材料的弹性模量E=210GPa。 解:在例题2-4中已经求出圆环在任一横截面 上的正应力=40MPa，若正应力不超过材料的比 例极限，则可按公式(2-6)算出沿正应力方向 (即沿圆周方向)的线应变e为
e ma PDl 2 2 EA 2l
§2－5 拉(压)杆内的应变能 Strain Energy of Axial Forced Bar
1 2 Ee 2 t e 2 2E 2
变形能Strain Energy and比能Energy Density (Strain Energy per Unit Volume): 外力作功(T)→引起构件变形→产生内力→( ～e)将外力功(T)转化 为内能(U)----因是构件变形引起，故称为变形能。 当(≤e
解:1,计算应力:(索上端支反力 R0=P+A l 。用截面法求得x截面 的内力为Nx=R0-Ax=A(l-x)+P 故:Ｎmax＝Al+P)。索为等截面的,其 x截面上的应力为 x=Nx/A=(l-x)+P/A。最大应力发生在索的最上 端横截面上,其值为 max=Nmax/A=l+P/A 2,计算变形: Dl dDl
3,计算Ｄ端位移: (Ｄ端位移DＤ即为杆的总变形，应为各段变形的代数和)。即:
Nl N l N l 103 103 301 20 2 401 D D Dl Dl Dl Dl 0.767mm EA EA2 EA 200103 500 300 500 1 1

2
1 U ( N1Dl1 N 2 Dl2 ) 2
P 2 P 20 kN sin 30 N2 N1 cos30 1.732P 17.32kN N1
N1l1 20103 2 103 Dl1 1.0mm (伸长) EA 200103 200 1 N 2l2 17.32103 1.732103 Dl2 0.6mm (缩短) EA2 200103 250
根据上式即可算出圆环在内压力p作用下的直径(d=222mm)增大量为
D d e d d e d 1.9 104 200 0.038mm
例:图示阶梯形钢杆，AB段 和CD段的横截面面积相等A1＝ 500mm2，BC段横截面积A2＝ 300mm2。已知材料的弹性模量 E=200GPa。 试求:1,各杆段的应力。 2,Ｄ端的位移。
解: 1 P 2l 2P 2l (a)杆: U a PDl 2
2 2EAd Ed
Ub
P2 l
(b)杆:
2 EAd
4
P 2 3l
2 4 P l (1 3 ) 2 EA2d 8EAd 4
(c)杆:
P 2 dx P2 l 4l 2 Uc 0 d 2 (l x) 2 dx l 2 EA( x ) 2E 2 P 2l 2 1 2 0 2 2 l x Ed (l x) Ed 0 2 P 2l 2 P 2l Ed 2
( N1Dl1 N 2 Dl2 ) P (201 17.32 0.6) 10 3.04mm
§2－5 拉(压)杆内的应变能 Strain Energy of Axial Forced Bar
例: 求图示三根圆截面杆的应变能，并比较其大小，设三杆用 同一种线弹性材料制成，弹性模量为E。
§2－5 拉(压)杆内的应变能
Strain Energy of Axial Forced Bar
弹性体在受力后要发生变形,同时弹性体内将积蓄能量。例如钟表 的发条(弹性体)被拧紧(发生变形)以后,在它放松的过程中将带动齿轮系 使指针转动,这样,发条就作了功。这说明拧紧了的发条具有作功的本领, 这是因为发条在拧紧状态下积蓄有能量。为了获得计算这种能量的依据, 下面研究弹性体在受外力作用而变形的过程中,外力所作的功与弹性体内 所积蓄的能量在数量上的关系。
轴向变形下的外力功 Work of External Forced in Axial Deformation: eP T T Dl de ∵dW＝dT＝PdDl ∴ W T dT 0 PdDl 故: t 0 V Al
§2－5 拉(压)杆内的应变能 Strain Energy of Axial Forced Bar
材 料 力 学
第二章 轴向拉伸和压缩
(Ch2. Axial Tension and Compression)
§２－４拉(压)杆的变形(Deformation of Forced Bar)· 胡克定律(Hooke’s Law)
Dl = l1- l
Axial
变形Deformation:

横向Lateral变形:
External Work in Elastic Range:
1 P 2l EADl 2 T PDl 2 2 EA 2l
1 2 Ee 2 t e 2 2E 2
弹能模量:
(Modulus of Resilience)
ue de
0
ee
韧性模量(Modulus of Toughness) : umax 0
e
E 40 1.9 10 4 210 103
§２－４拉（压）杆的变形(Deformation of Axial Forced Bar)· 胡克定律(Hooke’s Law)
圆环的周向应变e等于其径向应变ed，因为
(d Dd ) d ) Dd e ed d d
现以受重力作用且仅发生弹性变形的拉杆为例,利用能量守恒原理来 找出上述关系。设杆(图2-11)的上端固定,在其下端的小盘上逐渐增加重 量。每加一点重量,杆将相应地有一点伸长,已在盘上的重物也相应地下沉, 因而重物的位能将减少。由于重量是逐渐增加的,故在加载过程中,可认为 杆没有动能改变。按能量守恒原理,略去其它微小的能量损耗不计,重物失 去的位能将全部转变为积蓄在杆内的能量。因为杆的变形是弹性变形,故 在卸除荷载以后,这种能量又随变形的消失而全部转换为其它形式的能量。 通常将这种伴随着弹性变形的增减而改变的能量称为弹性应变能。 在所讨论的情况下,应变能就等于重物所失去的位能。

线应变Linear Strain:1,轴向应变Axial Strain:ε =Dl/l=const
Dd = d1- d
2,横向应变Lateral Strain:
e’= Dd / d
显然: e ·’ <0 e
受力变形关系: Dl = Nl / EA (or:σ =Ee ; σ ≤σ p) 其中: E----弹性模量Elastic Modulus; EA---杆的轴向刚度Axial Rigidity of Bar σ p---比例极限Proportional Limit 纵横向应变关系: e ’= -me (σ ≤σ p)
计算结果为负，说明Ｄ端发生向左的位移。
例:某矿井升降机如图(a)所示，因 吊索很长，其自重引起的应力和变形应 予以考虑。设钢索长为l,横截面面积为 Ａ,材料容重为，弹性模量为E。试求: 钢索在自重和起吊载荷P作用下产生的 应力和变形(设起吊是匀速的)。
§２－４拉（压）杆的变形(Deformation of Axial Forced Bar)· 胡克定律(Hooke’s Law)
AH AA2 Dl2 0.6mm ()
AV AA3 AO OA3
Dl1 Dl2 1.0 0.6 3.0m m sin 30 tg 30 0.5 0.577 ()
2 2 A AH AV 0.6 2 3.0 2 3.1 mm 节点Ａ的总位移为:
为研究对象,画受力图如图(b),由平衡条 件求得两杆轴力分别为)
N1 P 2 P 20 kN（拉） sin 30
N2 N1 cos30 1.732P 17.32kN （压）
2,求各杆的变形:
N1l1 20103 2 103 Dl1 1.0mm AA (伸长) 1 EA 200103 200 1 (缩短)
§２－４拉（压）杆的变形(Deformation of Axial Forced Bar)· 胡克定律(Hooke’s Law)
解:1,绘轴力图如图(b)所示。 2,求各段应力:
AB
N BC 20 103 N AB 30 103 NCD 40103 60MPa BC 66.7MPa CD 80MPa A1 500 A2 300 A1 500
由于两杆的变形,节点A位移至A’ 点,A’点是以B为圆心,(l1＋Dl1)为 半径作圆弧与以C为圆心,(l2＋Dl2) 为半径作圆弧的交点。由于变形相 对于杆的原长很微小,这种作图方法 和计算A’点位移很不方便,但正因为 变形微小,可将上述两圆弧用过A1和 A2两点并分别垂直于杆１和杆２的 两垂线代替(图(c))。此图称为节点 A的位移图。由节点A的位移图可知,节点A的水平位移AH和垂直位移AV分别为
e max
大→此材料抵抗冲击和突加荷载的可靠性也越大)。
0
de 是使试件断裂所需要的比功，故tf越
注:U 和 u 恒为正。