15-Bezier曲线曲面

= (1 − ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ) 2
B 0 ,2 (t ) =
n! 2! t i (1 − t ) n − i = t 0 (1 − t ) 2 − 0 i! ( n − i )! 0! ( 2 − 0 )!
= (1 − t ) 2
n! 2! i n−i B1 , 2 ( t ) = t (1 − t ) = t 1 (1 − t ) 2 −1 i! ( n − i )! 1! ( 2 − 1)!
a3
贝塞尔没有把他怎样导出这些基函数的过程公开出来。 因此，以至于日本的学者穗板惊呼这个式子是从天上掉下 来！ 1972年，剑桥的Forest发现bezier曲线的基函数与伯恩斯坦 基函数密切相关。
一个连续函数y=f（x），任给一个ξ＞0，总能找到一个 多项式和这个函数足够逼近。伯恩斯坦有一套逼近的理论 ，逼近的形式是：
f (x) =
∑
n
i=0
a iφ i ( x )
这些基（混合）函数是要用于计算和显示的。因此，经常 选择多项式作为基（混合）函数。
φ(x) = an xn + an−1xn−1 +...+ a1x + a0
几何造型有两个分支：一个是曲线曲面造型（surface modeling），一个是实体造型（solid modeling）；后来随着 技术的进步，两个分支逐渐融合在一起。曲线曲面的造型的算 法和概念是几何造型的公共基础，bezier曲线曲面在几何造型 中扮演着一个非常重要的角色。 由于几何外形设计的要求越来越高,传统的曲线曲面表示 方法, 已不能满足用户的需求。 1962年，法国雷诺汽车公司的贝塞尔（P.E.Bezier）构 造了一种以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计方法，并 用这种方法完成了一种称为UNISURF 的曲线和曲面设计系 统，1972年，该系统被投入了应用。
B i , n ( t ) = C t (1 − t )
i i n n−i
n! = t i (1 − t ) n − i i! ( n − i )!
( i = 0 ,1 ,.... n )
Forest证明了Bezier曲线的基函数可以简化成伯恩斯坦基 函数。 关于Bezier曲线国内也做了很多有意义的工作。一个是科 大的常庚哲教授。被称为中国的Bezier。在他80年代活跃的 时候，科大是国际上Bezier曲面凸性（所谓曲面是凸的表示 曲面上任一点它的切平面在同一侧。如果多边形是凸的，曲 线肯定也是凸的）研究的中心之一。 浙大的梁友栋和复旦的刘鼎元等在几何连续性上做了许多 有价值的工作。
Bezier曲线曲面实际上是一个多项式曲线曲面，假设现在 空间上有100个点要插值它，求一条插值多项式。
y ( t ) = a 99 t 99 + a 98 t 98 + ... + a 1t + a 0
对高次多项式的系数很难把握，因此通常不希望用高次曲线 ，而用低次曲线。这样就带来一个问题，当设计一个复杂的曲 线曲面时，希望用多张曲面或多条曲线拼接而成，那么在相接 的地方要求光滑，这时就要用到几何连续性的概念。
B0,3(t)
B3,3(t)
B1,3(t)
B2,3(t)
0
三次Bezier曲线四个Bezier基函数
t
把Bezier三次曲线多项式写成矩阵形式：
−1 3 1 − 3 1 3 −6 3 0 −3 3 0 0 1 0 0 0 P0 P 1 P2 P3
p (t ) =
∑ PB
i=0 i
2
i,2
( t ) = P0 B 0 , 2 ( t ) + P1 B1 , 2 ( t ) + P2 B 2 , 2 ( t )
B 0 ,2 (t ) =
n! 2! t i (1 − t ) n − i = t 0 (1 − t ) 2 − 0 i! ( n − i )! 0! ( 2 − 0 )!
n! B i ,n (t ) = t i (1 − t ) n − i i! ( n − i )!
B 0 ,1 ( t ) =
n! 1! t i (1 − t ) n − i = t 0 (1 − t ) 1 − 0 i! ( n − i )! 0! (1 − 0 )!
= (1 − t )
n! 1! i n−i B 1 ,1 ( t ) = t (1 − t ) = t 1 (1 − 1) 1 −1 i! ( n − i )! 1! (1 − 1)! =t
p (t ) = t
[
3
t
2
t
]
t ∈ [0,1]
= T ⋅ M be ⋅ G be
其中，Mbe是三次Bezier曲线系数矩阵，为常数；Gbe是4个控 制点位置矢量。
二、Bezier曲线基函数的性质 Bezier曲线基函数的性质 Bezier
1、正性（非负性） 正性（非负性）
= 0 t = 0,1 Bi,n (t) = ), , ; > 0 t ∈(0,1 i =1 2,⋅ ⋅ ⋅, n −1
p (t ) =
∑ PB
i=0 i
3
i ,3
( t ) = P0 B 0 , 3 ( t ) + P1 B1, 3 ( t ) + P2 B 2 , 3 ( t ) + P3 B3 , 3 ( t )
n! 3! i n−i B 0 ,3 (t ) = t (1 − t ) = t 0 (1 − t ) 3 − 0 = (1 − t ) 3 i! ( n − i )! 0! ( 3 − 0 )! n! 3! B1 , 3 ( t ) = t i (1 − t ) n − i = t 1 (1 − t ) 3 −1 = 3 t (1 − t ) 2 i! ( n − i )! 1! ( 3 − 1)!
Bezier曲线与曲面 Bezier曲线与曲面
Bezier曲线的背景和定义 一、Bezier曲线的背景和定义
1、Bezier曲线的背景 Bezier曲线的背景 给定n+1个数据点，p0(x0,y0),…pn(xn,yn)，生成一条曲线 ，使得该曲线与这些点所描述的形状相符。如果要求曲线通 过所有的数据点，则属于插值问题；如果只要求曲线逼近这 些数据点，则属于逼近问题。 逼近在计算机图形学中主要用来设计美观的或符合某些美 学标准的曲线。为了解决这个问题，有必要找到一种用小的 部分即曲线段构建曲线的方法，来满足设计标准。 当用曲线段拟合曲线f(x)时，可以把曲线表示为许多小线 段φi(x)之和，其中φi(x)称为基（混合）函数。
B 2 ,3 (t ) = n! 3! t i (1 − t ) n − i = t 2 (1 − t ) 3 − 2 = 3 t 2 (1 − t ) i! ( n − i )! 2! ( 3 − 2 )!
B 3,3 (t ) = p (t ) =
n! 3! t i (1 − t ) n − i = t 3 (1 − t ) 3 − 3 = t 3 i! ( n − i )! 3! ( 3 − 3 )! Pi B i , 3 ( t ) = (1 − t 3 ) P0 + 3t (1 − t ) 2 P1 + 3t 2 (1 − t ) P2 + t 3 P3
Pi是空间的很多点（向量，有x、y、z三个分量），t在0到 1之间，把t=0代进去可以算出一个数（x、y、z三个值，因为 p是向量，有三个分量）--即空间一个点，随着t值的变化， 点也在变化。当t从0变到1时，就得到空间的一个图形，这个 图形就是bezier曲线。Bernstein基函数是一个多项式，基函 数的性质决定了曲线的性质。
∑
i=0
3
B 0 , 3 ( t ) = (1 − t ) 3
其中
B1 , 3 ( t ) = 3 t (1 − t ) 2
B 2 , 3 ( t ) = 3 t 2 (1 − t )
B 3,3 (t ) = t 3
为三次Bezier曲线的基函数。
这四条曲线均是三次曲线， 任何三次Bezier曲线都是这四 条曲线的线形组合。 注意图中每个基函数在参数 t的整个（0，1）的开区间范 围内不为0，这样，Bezier曲 线不可能对曲线形状进行局部 控制，如果改变任一控制点位 置，整个曲线会受到影响。
最初，贝塞尔把参数n次曲线表示为：
p(t) = ∑ai fi,n (t)
i=0 n
0≤ t ≤1
a2 a1 其中系数矢量ai(i=0,1,…,n)顺序首尾 相接。从a0的末端到an的末端所形成的折 a0 线称为控制多边形或贝塞尔多边形。 1, i = 0, i i−1 n−1 称为贝塞尔基函数。 fi,n (t) = (−t) d (1−t) −1 (i −1)! dti−1 t
= (1 − t ) 2 P0 + 2 t (1 − t ) P1 + t 2 P2
p ( t ) = (1 − t ) 2 P0 + 2 t (1 − t ) P1 + t 2 P2 = ( P2 − 2 P1 + P0 ) t 2 + 2 ( P1 − P0 ) t + P0
二次Bezier曲线为抛物线，其矩阵形式为：
P2 P 1 P3
P 1 P0
P3
P0 P2
（1）一次Bezier曲线 一次Bezier曲线 Bezier 当n=1时，有两个控制点p0和p1，Bezier多项式是一次多 项式：
p (t ) =
∑ PB
i=0 i
1
i ,1
( t ) = P0 B 0 ,1 ( t ) + P1 B1 ,1 ( t )
2、Bezier曲线的定义 Bezier曲线的定义 Bezier 针对Bezier曲线，给定空间n+1个点的位置矢量Pi（i=0， 1，2，…，n），则Bezier曲线段的参数方程表示如下：