3.2.1倍角公式2
学案2：3.2.1 倍角公式
3.2.1 倍角公式倍角公式名师点拨 (1)T 2α只有当α≠k π＋π2(k ∈Z )及α≠k π2＋π4(k ∈Z )时才成立．(2)对于二倍角公式的“倍”有广义的含义，2α是α的二倍角，同样地，4α是2α的二倍角，α是12α的二倍角，3α是32α的倍角．一般地，(2n m )α是(2n －1m )α的二倍角(n ∈Z )，于是二倍角公式可对应变形为：sin(2n mα)＝2sin(2n －1mα)cos(2n －1mα)； cos(2n mα)＝cos 2(2n －1mα)－sin 2(2n －1mα)； tan(2nmα)＝2tan(2n －1mα)1－tan 2(2n －1mα). 自主测试1 已知tan α＝2，则tan 2α等于( ) A ．4 B ．45 C ．－43 D ．43自主测试2 函数f (x )＝sin x cos x 是( ) A ．周期为2π的偶函数 B ．周期为2π的奇函数 C ．周期为π的偶函数 D ．周期为π的奇函数自主测试3 已知sin α＝23，则cos(π－2α)＝( )A ．－53 B ．－19 C ．19 D ．53课堂互动关于升降幂公式的解读 剖析：口诀如下： (1)1加余弦想余弦； (2)1减余弦想正弦； (3)幂升一次角减半； (4)幂降一次角翻番． 图表如下：归纳总结 (1)对于公式sin 2α＝2sin αcos α，有①cos α＝sin 2α2sin α，②sin α＝sin 2α2cos α；(2)对于(sin α＋cos α)2＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α，有(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α，同理有(sin α－cos α)2＝1－sin 2α；(3)对于公式tan 2α＝2tan α1－tan 2α，有1tan α－tan α＝1－tan 2αtan α＝2tan 2α；(4)对于等腰三角形，已知底角的三角函数值求顶角的三角函数值正用倍角公式，已知顶角的三角函数值求底角的三角函数值逆用倍角公式． 典型考题题型一 化简、求值问题例题1 求值：sin 50°(1＋3tan 10°)．反思 问题中含有正弦、正切，采用“切化弦”，变为仅含有正弦、余弦的三角函数式，然后利用两角和公式、倍角公式等变形，将问题化简到底． 题型二 给值求值问题例题2 若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α等于( ) A ．－79 B ．－13 C ．13 D ．79反思 通过角的形式的变化，生成所求的角或再变形即得所求角，是三角变换的重要方式．求解时应当对所给角有敏锐的感觉，这种感觉的养成要靠平时经验的积累． 题型三 给值求角问题例题3 已知tan α＝13，tan β＝－17且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．反思 在给值求角时，一般选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，然后再求出角，确定角的范围是关键的一步． 题型四 恒等式的证明 例题4 已知tan(α＋β)＝3tan α. 求证：2sin 2β－sin 2α＝sin(2α＋2β)．反思 证明三角恒等式常用的方法是：观察等式两边的差异(角、函数、运算的差异)，从解决某一差异入手(同时消除其他差异)，决定从该等式的哪边证明(也可两边同时化简)，当差异不易消除时，可采用转换命题法或分析法等方法作进一步的化简．题型五 三角函数的综合问题例题5 已知函数f (x )＝(1＋cot x )sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. (1)若tan α＝2，求f (α)；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，求f (x )的取值范围． 随堂练习1．已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x ＝( ) A ．724 B ．－724 C ．247 D ．－2472．函数y ＝cos 2x cos π5－2sin x ·cos x sin 6π5的递增区间是( )A ．⎝⎛⎭⎫k π＋π10，k π＋3π5(k ∈Z ) B ．⎝⎛⎭⎫k π－3π20，k π＋7π20(k ∈Z ) C ．⎝⎛⎭⎫2k π＋π10，2k π＋3π5(k ∈Z ) D ．⎝⎛⎭⎫k π－2π5，k π＋π10(k ∈Z ) 3．已知一个等腰三角形的一个底角的正弦值为23，那么这个等腰三角形顶角的正弦值为( )A ．259B ．－259C ．459D ．－4594．cos π12sin π12＝________，cos 2π12－sin 2π12＝________，tan 15°1－tan 215°＝________.5．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝513，则cos 2α的值为__________． 6．已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值．参考答案自主测试1 【答案】C 自主测试2 【答案】D 自主测试3 【答案】B【解析】cos(π－2α)＝－cos 2α＝2sin 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫232－1＝－19.例题1 解：原式＝sin 50°⎝⎛⎭⎫1＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°×2⎝⎛⎭⎫12cos 10°＋32sin 10°cos 10°＝sin 50°×2sin30°＋10°cos 10°＝2sin 40°sin 50°cos 10°＝2sin 40°cos 40°cos 10°＝sin 80°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1. 例题2 【答案】A【解析】观察发现2π3＋2α＝2⎝⎛⎭⎫π3＋α，而⎝⎛⎭⎫π3＋α＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝π2，则cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－α， 所以cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π3＋α－1 ＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α－1＝－79. 例题3 解：∵tan α＝13＞0，∴α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2α∈(0，π)， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34＞0，∴2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2.又∵tan β＝－17＜0，β∈(0，π)， ∴β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34－⎝⎛⎭⎫－171＋34×⎝⎛⎭⎫－17＝1.又∵2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴2α－β∈(－π，0)，∴2α－β＝－3π4.例题4 证明：tan(α＋β)＝3tan α， 可变为sin(α＋β)cos α＝3sin αcos(α＋β)⇒sin(α＋β)cos α－sin αcos(α＋β)＝2sin αcos(α＋β) ⇒sin[(α＋β)－α]＝2sin α(cos αcos β－sin αsin β) ⇒sin β＝2sin αcos αcos β－2sin 2αsin β ⇒(1＋2sin 2α)sin β＝sin 2αcos β.当cos β＝0时，上式中因为1＋2sin 2α≠0，所以sin β＝0，矛盾．所以cos β≠0，上式两边同乘以2cos β，得(1＋2sin 2α)sin 2β＝sin 2α2cos 2β⇒sin 2β＋(1－cos 2α)sin 2β＝sin 2α(1＋cos 2β)⇒2sin 2β－sin 2α＝sin 2αcos 2β＋cos 2αsin 2β＝sin(2α＋2β)， 所以等式成立，即得证．例题5 解：(1)f (x )＝(1＋cot x )sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝sin 2x ＋sin x cos x ＋cos 2x ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋cos 2x＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12. 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝45，cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35.所以f (α)＝12⎝⎛⎭⎫45－35＋12＝35. (2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12. 由x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，得2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤5π12，5π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1， 从而f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22. 即f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22.随堂练习 1．【答案】D【解析】∵x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45， ∴sin x ＝－35，∴tan x ＝－34，∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－247.2．【答案】D 3．【答案】C4．【答案】14 32 36【解析】cos π12sin π12＝12·2sin π12cos π12＝12sin π6＝14；cos 2π12－sin 2π12＝cos ⎝⎛⎭⎫2×π12＝cos π6＝32； tan 15°1－tan 215°＝12·2tan 15°1－tan 215°＝12tan(2×15°)＝12tan 30°＝36. 5．【答案】120169【解析】∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π4， ∴0＜π4－α＜π4，∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝1213，∴cos 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－α·cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝2×513×1213＝120169. 6．解：(1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1 ＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin 2x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.。
课件4：3.2.1 倍角公式
跟踪训练 1 化简2cos2110－°－2si1n－20c°coos2s12600°°－1. 解：2cos2101°－－2si1n－20c°coos2s12600°°－1
＝
(sin20°－cos20°)2 cos20°－ sin2160°
＝ccooss2200°°－ －ssiinn2200°°＝1.
∴cosx＝－ 1－sin2x＝－ 1－452＝－53.
sin2x＝2sinxcosx＝－2245，cos2x＝2cos2x－1＝－275.
∴sin2x＋π3＝sin2xcosπ3＋cos2xsinπ3＝－24＋507
3 .
命题方向3 三角恒等式的证明 例 3 证明：11＋＋ssiinn22θθ－＋ccooss22θθ＝tanθ. 证明：解法一：左边＝ssiinn22θθ＋ ＋((11－ ＋ccooss22θθ))
5. 化简：π<α<32π， 1＋co1s＋α－sinα1－cosα＋ 1－sinα
1＋cosα＋ 1－cosα.
解：原式＝ 2csoinsα2α2＋－cos2α2s2inα2＋ 2csoinsα2α2－＋cos2α2s2inα2， ∵π<α<32π，∴π2<α2<34π， ∴cosα2<0，sinα2>0.
命题方向2 给值求值
例 2 已知 sin(π4－x)＝153，0<x<π4，求
解：原式＝scions((π2π4＋＋2xx))
cos
cos2x π4＋x
的值．
＝2sin(π4c＋osx()π4·＋coxs)(π4＋x)＝2sin(π4＋x)．
∵sin(π4－x)＝cos(π4＋x)＝153，且 0<x<π4， ∴π4＋x∈(π4，π2)， ∴sin(π4＋x)＝ 1－cos2(π4＋x)＝1123， ∴原式＝2×1123＝2143.
教学设计1：3.2.1 倍角公式
3.2.1 倍角公式整体设计教学分析倍角公式是在研究了两角和与差的三角函数的基础上，进一步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具，通过对二倍角的推导知道，二倍角的内涵是：揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律，通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想．因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义．本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中α、β关系的特殊情形α＝β时的简化，让学生在探究中既感到自然、易于接受，还可清晰知道和角的三角函数与倍角公式的联系，同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想．这一切教师要引导学生自己去做，因为，《数学课程标准》提出：“要让学生在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验．”在实际教学过程中不要过多地补充一些高技巧、高难度的练习，否则就违背了新课标在这一节的编写意图和新课改精神．三维目标1．通过让学生探索、发现并推导二倍角公式，了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力．2．通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明．体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用．3．通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神．重点难点教学重点：二倍角公式推导及其应用．教学难点：灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(复习导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后让学生默写这六个公式．教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的．当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢？今天，我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢？由此展开新课．思路2.(问题导入)出示问题，让学生计算，若sin α＝35，α∈(π2，π)，求sin2α，cos2α的值．学生会很容易看出：sin2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α的，以此展开新课，并由此展开联想推出其他公式．推进新课新知探究 提出问题1.还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？请学生默写出来，并由一名学生到黑板默写2.你写的这三个公式中角α、β会有特殊关系α＝β吗？此时公式变成什么形式？3.在得到的C 2α公式中，还有其他表示形式吗？4.细心观察二倍角公式结构，有什么特征呢？5.能看出公式中角的含义吗？思考过公式成立的条件吗？6.让学生填空：老师随机给出等号一边括号内的角，学生回答等号另一边括号内的角，稍后两人为一组，做填数游戏：sin____＝2sin____cos____，cos____＝cos 2____－sin 2____.7.思考过公式的逆用吗？想一想C 2α还有哪些变形？8.请思考以下问题：sin2α＝2sin α吗？cos2α＝2cos α吗？tan2α＝2tan α吗活动：本节总的指导思想是教师引导学生自己推导倍角公式．学生默写完问题(1)后，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的α，β，既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试．如果学生想到α，β会有相等这个特殊情况，教师就此进入下一个问题，如果学生没想到这种特殊情况，教师适当点拨进入问题(2)，然后找一名学生到黑板进行简化，其他学生在自己的座位上简化，教师再与学生一起集体订正黑板的书写，最后学生都不难得出以下式子，鼓励学生尝试一下，对得出的结论给出解释．这个过程教师要舍得花时间，充分地让学生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意义．同时开拓学生的思维空间，为学生将来遇到的3α或3β等角的探究附设类比联想的源泉．sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β⇒sin2α＝2sin αcos α(S 2α)；cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β⇒cos2α＝cos 2α－sin 2α(C 2α)；tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β ⇒tan2α＝2tan α1－tan 2α(T 2α)． 这时教师适时地向学生指出，我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指导学生阅读教科书，确切明了二倍角的含义，以后的“倍角”专指“二倍角”．教师适时提出问题(3)，点拨学生结合sin 2α＋cos 2α＝1思考，因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式．sin2α＝2sin αcos α(S 2α)cos2α＝cos 2α－sin 2α(C 2α)tan2α＝2tan α1－tan 2α(T 2α) cos2α＝2cos 2α－1cos2α＝1－2sin 2α 这时教师点出，这些公式都叫做倍角公式(用多媒体演示)．倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系．问题(4)，教师指导学生，这组公式用途很广，并与学生一起观察公式的特征与记忆，首先公式左边角是右边角的2倍；左边是2α的三角函数的一次式，右边是α的三角函数的二次式，即左到右→升幂缩角，右到左→降幂扩角、二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式．问题(5)，因为还没有应用，对公式中的含义学生可能还理解不到位，教师要引导学生观察思考并初步感性认识到：(Ⅰ)这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去；(Ⅱ)通过二倍角公式，可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；(Ⅲ)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；(Ⅳ)公式(S 2α)，(C 2α)中的角α没有限制，都是α∈R ，但公式(T 2α)需在α≠12k π＋π4和α≠k π＋π2(k ∈Z )时才成立，这一条件限制要引起学生的注意．但是当α＝k π＋π2，k ∈Z 时，虽然tan α不存在，此时不能用此公式，但tan2α是存在的，故可改用诱导公式．问题(6)，填空是为了让学生明了二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其他如4α是2α的二倍，α2是α4的二倍，3α是3α2的二倍，α3是α6的二倍，π2－α是π4－α2的二倍等，所有这些都可以应用二倍角公式． 例如：sin α2＝2sin α4cos α4，cos α3＝cos 2α6－sin 2α6等等． 问题(7)，本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用，这点教师更要提醒学生引起足够的注意．如：sin3αcos3α＝12sin6α，4sin α4cos α4＝2(2sin α4cos α4)＝2sin α2， 2tan40°1－tan 240°＝tan80°，cos 22α－sin 22α＝cos4α，tan2α＝2tan α(1－tan 2α)等等． 问题(8)，一般情况下：sin2α≠2sin α，cos2α≠2cos α，tan2α≠2tan α.若sin2α＝2sin α，则2sin αcos α＝2sin α，即sin α＝0或cosα＝1，此时α＝k π(k ∈Z )． 若cos2α＝2cos α，则2cos 2α－2cos α－1＝0，即cos α＝1－32(cos α＝1＋32舍去)． 若tan2α＝2tan α，则2tan α1－tan 2α＝2tan α，∴tan α＝0，即α＝k π(k ∈Z )． 讨论结果：(1)～(8)略．应用示例思路1例 1 已知sinα＝513，α∈(π2，π)，求sin2α，cos2α，tan2α的值． 活动：教师引导学生分析题目中角的关系，观察所给条件与结论的结构，注意二倍角公式的选用，领悟“倍角”是相对的这一换元思想．让学生体会“倍”的深刻含义，它是描述两个数量之间关系的．本题中的已知条件给出了α的正弦值．由于2α是α的二倍角，因此可以考虑用倍角公式．本例是直接应用二倍角公式解题，目的是为了让学生初步熟悉二倍角的应用，理解二倍角的相对性，教师大胆放手，可让学生自己独立探究完成． 解：因为sin α＝513，α∈(π2，π)，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－(513)2＝－1213， sin2α＝2sin αcos α＝2×513×(－1213)＝－120169， cos2α＝cos 2α－sin 2α＝(－1213)2－(513)2＝119169， tan2α＝sin2αcos2α＝－120169÷119169＝－120119. 点评：学生由问题中条件与结论的结构不难想象出解法，但要提醒学生注意，在解题时注意优化问题的解答过程，使问题的解答简捷、巧妙、规范，并达到熟练掌握的程度．本节公式的基本应用是高考的热点.变式训练1．y ＝(sin x －cos x )2－1是( )A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数【答案】D2．若cos2αsin(α－π4)＝－22，则cos α＋sin α的值为( ) A ．－72 B ．－12 C.12 D.72【答案】C3．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin15°－cos15° B ．cos 215°－sin 215°C ．2sin 215°－1D ．sin 215°＋cos 215°【答案】B例 2 证明1＋sin2θ－cos2θ1＋sin2θ＋cos2θ＝tan θ. 活动：教师可点拨学生想一想，到现在为止，所学的证明三角恒等式的方法大致有几种：从复杂一端化向简单一端；两边化简，中间碰头；化切为弦；还可以利用分析综合法解决，有时几种方法会同时使用等．对找不到思考方向的学生，教师点出：可否再添加一种，化倍角为单角？这可否成为证明三角恒等式的一种方法？再适时引导，前面学习同角三角函数的基本关系时曾用到“1”的代换，对“1”的妙用大家深有体会，这里可否在“1”上做做文章？待学生探究解决方法后，可找几个学生到黑板书写解答过程，以便对照点评及给学生以启发．点评时对能够善于运用所学的新知识解决问题的学生给予赞扬；对暂时找不到思路的学生给予点拨、鼓励．强调“1”的妙用很妙，妙在它在三角恒等式中一旦出现，在证明过程中就会起到至关重要的作用，在今后的证题中，万万不要忽视它．证明：方法一：左＝sin2θ＋(1－cos2θ)sin2θ＋(1＋cos2θ)＝2sin θcos θ＋(1＋1－2cos 2θ)2sin θcos θ＋(1＋2cos 2θ－1)＝sin θcos θ＋1－cos 2θsin θcos θ＋cos 2θ＝sin θcos θ＋sin 2θsin θcos θ＋cos 2θ＝sin θ(cos θ＋sin θ)cos θ(sin θ＋cos θ)＝tan θ＝右， 所以，原式成立．方法二：左＝sin 2θ＋cos 2θ＋sin2θ＋sin 2θ－cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＋sin2θ＋cos 2θ－sin 2θ＝sin2θ＋2sin 2θsin2θ＋2cos 2θ＝2sin θ(sin θ＋cos θ)2cos θ(sin θ＋cos θ)＝tan θ＝右． 方法三：左＝(1＋sin2θ)－cos2θ(1＋sin2θ)＋cos2θ＝(sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θ)－(cos 2θ－sin 2θ)(sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θ)＋(cos 2θ－sin 2θ)＝(sin θ＋cos θ)2－(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)(sin θ＋cos θ)2＋(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝(sin θ＋cos θ)(sin θ＋cos θ＋sin θ－cos θ)(sin θ＋cos θ)(sin θ＋cos θ＋cos θ－sin θ)＝(sin θ＋cos θ)·2sin θ(sin θ＋cos θ)·2cos θ＝tan θ＝右． 点评：以上几种方法大致遵循以下规律：首先从复杂端化向简单端；第二，化倍角为单角，这是我们今天刚刚学习的；第三，证题中注意对数字的处理，尤其“1”的代换的妙用，请同学们在探究中仔细体会这点．在这道题中通常用的几种方法都用到了，不论用哪一种方法，都要思路清晰，书写规范才是.变式训练1．若角α的终边经过点P (1，－2)，则tan2α的值为__________．【答案】432．证明恒等式：sin2θ＋sin θ2cos2θ＋2sin 2θ＋cos θ＝tan θ. 证明：左边＝2sin θcos θ＋sin θ2(cos 2θ－sin 2θ)＋2sin 2θ＋cos θ＝sin θ(2cos θ＋1)cos θ(2cos θ＋1)＝tan θ＝右边. 思路2例 1 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．活动：本例是一道灵活应用二倍角公式的经典例题，有一定难度，但也是训练学生思维能力的一道好题．本题需要公式的逆用，逆用公式的先决条件是认识公式的本质，要善于把表象的东西拿开，正确捕捉公式的本质属性，以便合理运用公式．教学中教师可让学生充分进行讨论探究，不要轻易告诉学生解法，可适时点拨学生需要做怎样的变化，又需怎样应用二倍角公式．并点拨学生结合诱导公式思考．学生经过探索发现，如果用诱导公式把10°，30°，50°，70°正弦的积化为20°，40°，60°，80°余弦的积，其中60°是特殊角，很容易发现40°是20°的2倍，80°是40°的2倍，故可考虑逆用二倍角公式．解：原式＝cos80°cos60°cos40°cos20°＝23·sin20°cos20°cos40°cos80°23·2sin20°＝sin160°16sin20°＝sin20°16sin20°＝116. 变式训练1．函数f (x )＝sin x sin x ＋2sin x 2是( ) A ．以4π为周期的偶函数B ．以2π为周期的奇函数C ．以2π为周期的偶函数D ．以4π为周期的奇函数【答案】A2．函数y ＝(sin x ＋cos x )2＋1的最小正周期是( )A.π2 B ．π C.3π2D ．2π 【答案】B例 2 在△ABC 中，cos A ＝45，tan B ＝2，求tan(2A ＋2B )的值． 活动：这是本节课本上最后一个例题，结合三角形，具有一定的综合性，同时也是和与差公式的应用问题．教师可引导学生注意在三角形的背景下研究问题，会带来一些隐含的条件，如A ＋B ＋C ＝π，0<A <π，0<B <π，0<C<π，就是其中的一个隐含条件．可先让学生讨论探究，教师适时点拨．学生探究解法时教师进一步启发学生思考由条件到结果的函数及角的联系．由于对2A ＋2B 与A ，B 之间关系的看法不同会产生不同的解题思路，所以学生会产生不同的解法，不过它们都是对倍角公式、和角公式的联合运用，本质上没有区别．不论学生的解答正确与否，教师都不要直接干预．在学生自己尝试解决问题后，教师可与学生一起比较各种不同的解法，并引导学生进行解题方法的归纳总结．基础较好的班级还可以把求tan(2A ＋2B )的值改为求tan2C 的值．解法一：在△ABC 中，由cos A ＝45，0<A <π，得 sin A ＝1－cos 2A ＝1－(45)2＝35. 所以tan A ＝sin A cos A ＝35×54＝34， tan2A ＝2tan A 1－tan 2A ＝2×341－(34)2＝247.又tan B ＝2，所以tan2B ＝2tan B 1－tan 2B ＝2×21－22＝－43. 于是tan(2A ＋2B )＝tan2A ＋tan2B 1－tan2A tan2B ＝247－431－247×(－43)＝44117. 解法二：在△ABC 中，由cos A ＝45，0<A <π，得 sin A ＝1－cos 2A ＝1－(45)2＝35. 所以tan A ＝sin A cos A ＝35×54＝34. 又tan B ＝2，所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝34＋21－34×2＝－112. 于是tan(2A ＋2B )＝tan[2(A ＋B )]＝2tan(A ＋B )1－tan 2(A ＋B )＝2×(－112)1－(－112)2＝44117. 变式训练化简：1＋cos4α＋sin4α1－cos4α＋sin4α. 解：原式＝2cos 22α＋2sin2αcos2α2sin 22α＋2sin2αcos2α＝2cos2α(cos2α＋sin2α)2sin2α(sin2α＋cos2α)＝1tan2α. 课堂小结1．先由学生回顾本节课都学到了什么？有哪些收获？对前面学过的两角和公式有什么新的认识？对三角函数式子的变化有什么新的认识？怎样用二倍角公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明．2．教师画龙点睛：本节课要理解并掌握二倍角公式及其推导，明白从一般到特殊的思想，并要正确熟练地运用二倍角公式解题．在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的．作业课本本节练习B 组1～4.设计感想1．新课改的核心理念是：以学生发展为本．本节课的设计流程从回顾→探索→应用，充分体现了“学生主体、主动探索、培养能力”的新课改理念，体现“活动、开放、综合”的创新教学模式．本节在学生探究和角公式的特殊情形中得到了二倍角公式，在这个活动过程中，由一般化归为特殊的基本数学思想方法就深深的留在了学生记忆中．本节课的教学设计流程还是比较流畅的．2．纵观本教案的设计，学生发现二倍角后就是应用，至于如何训练二倍角公式正用，逆用，变形用倒成了次要的了．而学生从探究活动过程中学会了怎样去发现数学规律，又发现了怎样逆用公式及活用公式，那才是深层的，那才是我们中学数学教育的最终目的．3．教学矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的，根据高中三角函数的推理特点，本节主要是教给学生“回顾公式、探索特殊情形、发现规律、推导公式、学习应用”的探索创新式学习方法．这样做增加了学生温故知新的空间，增强了学生的参与意识，教给了学生发现规律、探索推导、获取新知的途径，让学生真正尝试到探索的喜悦，真正成为教学的主体．。
3.2.1倍角公式
3.2.1倍角公式学习目标1.理解运用正弦，余弦，正切的和角公式推导它们对应的倍角公式的过程；2.能够运用倍角公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式的证明.知识回顾()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-．教材导学1.二倍角公式αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；ααα2tan 1tan 22tan -=2.升（降）幂公式：21cos 2sin 2αα-=21cos 2cos 2αα+=典例示范例1.已知53sin -=α，α∈)23,(ππ，求sin2α,cos2α,tan2α的值.点拨：本题主要考查同角三角函数关系及二倍角公式的应用，难度不算大，属基础题. 解： 53sin -=α，α∈)23,(ππ，∴cos 54-=α ∴sin2α=2sin αcos α=2524)54)(53(2=--⨯, cos2257sin 212=α-=α tan 2072cos 2sin 2-=αα=α反思：解题时要注意已知角与所求角的倍数关系，由sinα求cos α时要注意角的范围.尝试练习1： 若178)2cos(=θ+π，θ∈)2,23(ππ，求θθ2sin ,2cos 的值.例2. 已知x ∈(4π,2π)，sin(4π-x)=53-,求cos2x 的值. 点拨：解答本题时可由α-π=α-π22)4(2利用二倍角公式求解；也可先由sin(4π-x)= 53-， 求出sinx-cosx 的值，再求出sinx+cosx 的值，最后由二倍角的余弦公式求cos2x 的值.解：方法一：x ∈(4π,2π)， ∴x 4-π∈( 0,4π-) 又 sin(4π-x)= 53- ∴cos(4π-x)= 54∴cos2x=sin(x 22-π)=2sin(4π-x)cos(4π-x)= 2524-方法二： sin(4π-x)=sin4πcosx-cos4πsinx=53-, ∴cosx-sinx=523- 将此式两边平方得2cosxsinx=257 ∴ 2532)x cos x (sin 2=+ x ∈(4π,2π) ∴ sinx+cosx>0 ∴ sinx+cosx=524∴ cos2x==-x sin x cos 22（cosx+sinx ）（cosx-sinx ）=2524-反思：从角的关系寻找突破口，是三角函数求值问题常用的方法. 尝试练习2： 已知x ∈(0，4π)，cos(4π-x)=135求)4x sin(2cos π+α的值.例3 .求下列各式的值： （1）75cos 75sin ； （2）15sin 15cos 22- （3）15tan 115tan 2-点拨：解答本题可先逆用二倍角公式化简然后再求值. 解:（1）41150sin 2175cos 75sin ==（2）2330cos 15sin 15cos 22==-（3）3330tan 15tan 115tan 2==- 反思：解答本题主要要抓住公式的特点，如角的关系，次数的关系等. 尝试练习3： 求下列各式的值： （1）125cos 12cos ππ （2）75cos 212- （3）)12sin 12)(cos 12sin 12(cos ππππ+-课堂巩固1.下列函数中，以π2为周期的函数是（ ） A. 1cos 22-=x y B. ⎪⎭⎫⎝⎛+=321tan πx yC. y x x =+sin cos 22D. y x x =⋅sin cos 22 2.函数是x x y 2cos 2sin 2=A.周期为2π的奇函数 B.期为2π的偶函数 C.周期为4π的奇函数D.期为4π的偶函数3.若在则满足ααααα,0sin cos ,02sin <-<A 、第一象限；B 、第二象限；C 、第三象限；D 、第四象限4.化简αααα2cos cos 2cos 12sin 22⋅+得（ ） A.tan α B.tan 2αC.1D.125.若==+θθπ2cos ,53)2sin(则 . 6.已知tan 2α=2，则tanα的值为______，tan ()4πα+的值为______.7. 化简：4cos 2sin 22+-8.已知函数f(x)＝2sinxcosx ＋cos2x ． （Ⅰ） 求f(4π)的值；（Ⅱ） 设α∈(0，π)，f(2α)＝22，求sin α的值课后提升1.1sin 4cos 41sin 4cos 4αααα++=+- （ ）()A cot α ()B cot 2α ()C tan α()D tan 2a2. =+15cot 15tan （ ）A.2B.32+C.4D. 32-3.已知θ是第三象限的角，若sin cos sin 44592θθθ+=，则等于（ ）A.223B. -223C. 43D. -234. 已知1tan 2,3α=tan α=（ ）． A. 52-- B.52+ C. -52+或52-- D. 52+ 5.求下列函数的周期和奇偶性： （1）22cossin 22x xy =- ______________________________________. （2）2cos y x =________________________________________. 6.已知tan()34πθ+=，则2sin 22cos θθ-的值为＿＿＿＿＿＿＿。
课件2：3.2.1 倍角公式
80°
＝2sin88s0in°·2c0o°s 80°
＝s8isnin16200°°＝18.
(2)原式＝csoins
70° 70°·cos
10°·
sin 3cos
2200°°－1
＝csoins
70° 70°·cos
10°·
3sin 20°－cos 20° cos 20°
＝csoins
20° 20°·cos
规律总结 本题采用的“凑角法”是解三角问题的常用技巧，解题时 首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这种关 系来选择公式．
跟踪训练 3 已知 sinπ4－x＝153，0<x<4π，求cocsos4π＋2xx的值． 解：原式＝scionsπ24π＋＋2xx ＝2sinπ4c＋osx4πc＋osx4π＋x ＝2sinπ4＋x.
课后总结
1.对“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α 是 4α 的二倍； 6α 是 3α 的二倍；4α 是 2α 的二倍；3α 是32α 的二倍；α2是α4的 二倍；α3是α6的二倍；2αn＝22n·＋α1(n∈N*)．
2.二倍角的余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．
44AA＝tan4A.
证明：∵左边＝33－＋44ccooss
2A＋2cos22A－1 2A＋2cos22A－1
＝11－＋ccooss 22AA2＝22csoins22AA2＝(tan2A)2 ＝tan4A＝右边，
∴33－＋44ccooss
2A＋cos 2A＋cos
44AA＝tan4A.
规律总结 利用倍角公式证明三角恒等式，关键是找到左、右两边
二倍角的常用形式：①1＋cos 2α＝2cos2α，②cos2α＝1＋c2os 2α，
课件5：3.2.1 倍角公式
变式训练 1 求下列各式的值． (1)cosπ5cos25π； (2)sin51π2－sin1π2sin51π2＋sin1π2.
π π 2π 2π 2π 1 4π
解：(1)原式＝2sin5cos5πcos
5
sin ＝
5
cos π
5
＝2sin
5 π
＝14.
2sin5
2sin5
2sin5
(2)原式＝[sin(π2－1π2)－sin1π2][sin(2π－1π2)＋sin1π2]
课堂互动 考点突破 考点一 给角求值问题
对于公式不但会正用、逆用、变形用，还要会创造条件 应用条件，如拆角、凑角的技巧．
二倍角公式不仅限于 2α 是 α 的二倍角，其它如 4α 是 2α 的二倍角，α3是α6的二倍角等，所有这些都可以应用 二倍角公式．
例 1 求下列各式的值； (1)sin1π2cos1π2； (2)1－2sin2750°； (3)1－2tatann125105°0°； (4)sin110°－cos130°.
13
变式训练 2 已知 sinα＋cosα＝13，且 0＜α＜π， 求 sin2α，cos2α，tan2α 的值． 解：∵sinα＋cosα＝13， ∴sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝19， ∴sin2α＝－89且 sinαcosα＝－49＜0，
∵0＜α＜π，sinα＞0，∴cosα＜0，∴sinα－cosα＞0，
＝cos1π2－sin1π2cos1π2＋sin1π2
＝cos21π2－sin21π2＝cosπ6＝
3 2.
考点二 给值(式)化简求值 对于给值求值问题，关键在于“变角”使“目标角” 变成“已知角”，另外角的范围应根据所给条件进一 步缩小，避免出现增解． 例 2 已知 sinπ4－x＝153，0＜x＜4π，求cocsoπ4s2＋xx的值．
第三章 3.2.1倍角公式
3.2.1
问题 2 根据同角三角函数的基本关系式 si α 表示 cos 2α？
本 课 时 栏 目 开 关
答 ∵cos 2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－(1－cos2α)＝2cos2α－1； 或 cos 2α＝cos2α－sin2α＝(1－sin2α)－sin2α＝1－2sin2α.
答 sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos2α－sin2α；
2tan α tan 2α＝tan(α＋α)＝ . 1－tan2α
研一研·问题探究、课堂更高效
3.2.1
因为 3α＝2α＋α， 可以借助二倍角公式推导出三倍角公式． 请 同学们完成三倍角公式的证明(结果不要求记忆)：
本 课 时 栏 目 开 关
(1)sin 3α＝3sin α－4sin3α；(2)cos 3α＝4cos3α－3cos α. 证明 (1)sin 3α＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α
研一研·问题探究、课堂更高效
[典型例题]
3.2.1
本 课 时 栏 目 开 关
例 1 求下列各式的值： π 5 (1)cos cos π； 12 12 1 2 2 (2) － cos 15° . 3 3 π π 1 π 1 解 (1)原式＝cos12· 12＝2sin6＝4. sin 1 1 2 (2)原式＝－3(2cos 15° －1)＝－3cos 30° 3 ＝－ . 6 小结 解答此类题目一方面要注意角的倍数关系；另一方面
π ∴sin4＋x＝
1－cos
2
π 12 12 24 ＋x＝ ，∴原式＝2× ＝ . 13 13 4 13
21-22版：3.2.1 倍角公式（步步高）
§3.2 倍角公式和半角公式3.2.1 倍角公式 学习目标 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用.知识点一 二倍角公式sin2α＝2sin αcos α，(S 2α)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，(C 2α) tan 2α＝2tan α1－tan 2α. (T 2α) 知识点二 二倍角公式的变形(1)公式的逆用2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α， cos 2α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan 2α＝tan 2α. (2)二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式升幂公式 1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α，1＋cos α＝2cos 2α2,1－cos α＝2sin 2α2. 降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.1.sin α＝2sin α2cos α2.( √ ) 2.cos 4α＝cos 22α－sin 22α.( √ )3.对任意角α，tan 2α＝2tan α1－tan 2α.( × ) 提示 公式中所含各角应使三角函数有意义.如α＝π4及α＝π2，上式均无意义.4.cos 2α＝1－cos 2α2.( × )题型一 给角求值例1 求下列各式的值.(1)cos 36°cos 72°；(2)13－23cos 215°； (3)1－tan 275°tan 75°；(4)1sin 10°－3cos 10°. 解 (1)cos 36°cos 72°＝2sin 36°cos 36°cos 72°2sin 36° ＝2sin 72°cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14. (2)13－23cos 215°＝－13(2cos 215°－1)＝－13cos 30°＝－36. (3)1－tan 275°tan 75°＝2·1－tan 275°2tan 75°＝2·1tan 150°＝－2 3. (4)1sin 10°－3cos 10°＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10° ＝4(sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°)2sin 10°cos 10° ＝4sin 20°sin 20°＝4. 反思感悟 对于给角求值问题，一般有两类：(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式. 跟踪训练1 求下列各式的值：(1)cos 2π7cos 4π7cos 6π7； (2)1sin 50°＋3cos 50°.解 (1)原式＝2sin 2π7cos 2π7cos 4π7cos 6π72sin 2π7＝sin 4π7cos 4π7cos 6π72sin 2π7＝sin 8π7cos 6π74sin 2π7＝sin π7cos π74sin 2π7＝sin 2π78sin 2π7＝18. (2)原式＝cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°＝2⎝⎛⎭⎫12cos 50°＋32sin 50°12×2sin 50°cos 50°＝2sin 80°12sin 100°＝2sin 80°12sin 80°＝4. 题型二 条件求值例2 (1)若sin α－cos α＝13，则sin 2α＝ . 答案 89解析 (sin α－cos α)2＝sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝1－sin 2α＝⎝⎛⎭⎫132⇒sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫132＝89. (2)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α等于( ) A.6425 B.4825 C.1 D.1625答案 A解析 cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α. 把tan α＝34代入，得 cos 2α＋2sin 2α＝1＋4×341＋⎝⎛⎭⎫342＝42516＝6425.故选A. 引申探究 在本例(1)中，若改为sin α＋cos α＝13，求sin 2α. 解 由题意，得(sin α＋cos α)2＝19， ∴1＋2sin αcos α＝19，即1＋sin 2α＝19.∴sin 2α＝－89. 反思感悟 (1)条件求值问题常有两种解题途径：①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢.②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论.(2)一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.跟踪训练2 已知tan α＝2.(1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值. 解 (1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝2＋11－2×1＝－3. (2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α ＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1. 题型三 利用倍角公式化简例3 化简：2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α. 解 方法一 原式＝2cos 2α－12·sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝2cos 2α－12·sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝2cos 2α－1sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝cos 2αcos 2α＝1. 方法二 原式＝cos 2α2·1－tan α1＋tan α⎝⎛⎭⎫22sin α＋22cos α2 ＝cos 2αcos α－sin αcos α＋sin α(sin α＋cos α)2 ＝cos 2α(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝cos 2αcos 2α－sin 2α＝1.反思感悟 (1)对于三角函数式的化简有下面的要求：①能求出值的应求出值.②使三角函数种数尽量少.③使三角函数式中的项数尽量少.④尽量使分母不含有三角函数.⑤尽量使被开方数不含三角函数.(2)化简的方法：①弦切互化，异名化同名，异角化同角.②降幂或升幂.跟踪训练3 化简下列各式：(1)若π4＜α＜π2，则1－sin 2α＝ ； (2)若α为第三象限角，则1＋cos 2αcos α－1－cos 2αsin α＝ . 答案 (1)sin α－cos α (2)0解析 (1)∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴sin α＞cos α，∴1－sin 2α＝1－2sin αcos α＝sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α ＝(sin α－cos α)2＝sin α－cos α.(2)∵α为第三象限角，∴cos α＜0，sin α＜0，∴1＋cos 2αcos α－1－cos 2αsin α＝2cos 2αcos α－2sin 2αsin α＝－2cos αcos α－－2sin αsin α＝0.利用二倍角公式化简求值典例 等腰三角形一个底角的余弦值为23，那么这个三角形顶角的正弦值为 . 答案 459解析 设A 是等腰△ABC 的顶角，则cos B ＝23， sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫232＝53.所以sin A ＝sin(180°－2B )＝sin 2B＝2sin B cos B ＝2×53×23＝459.[素养评析] 在实际问题中，提炼出等腰三角形的底角、顶角之间的关系，再利用二倍角公式化简或求值，这正是数学核心素养数学抽象的体现.1.12sin π12cos π12的值等于( ) A.14 B.18 C.116 D.12答案 B解析 原式＝14sin π6＝18. 2.sin 4π12－cos 4π12等于( ) A.－12 B.－32 C.12 D.32答案 B解析 原式＝⎝⎛⎭⎫sin 2π12＋cos 2π12·⎝⎛⎭⎫sin 2π12－cos 2π12 ＝－⎝⎛⎭⎫cos 2π12－sin 2π12＝－cos π6＝－32. 3.tan 7.5°1－tan 27.5°＝ . 答案 1－32 解析 tan 7.5°1－tan 27.5°＝12·2tan 7.5°1－tan 27.5°＝12tan 15°＝12·tan 45°－tan 30°1＋tan 45°·tan 30°＝1－32. 4.设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是 . 答案 3解析 ∵sin 2α＝－sin α，∴sin α(2cos α＋1)＝0，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α≠0，∴2cos α＋1＝0，即cos α＝－12，sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3. 5.求证：cos 2(A ＋B )－sin 2(A －B )＝cos 2A cos 2B .证明 左边＝1＋cos (2A ＋2B )2－1－cos (2A －2B )2＝cos (2A ＋2B )＋cos (2A －2B )2＝12(cos 2A cos 2B －sin 2A sin 2B ＋cos 2A cos 2B ＋sin 2A sin 2B ) ＝cos 2A cos 2B ＝右边，所以等式成立.1.对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4的二倍； α3是α6的二倍；α2n ＝2·α2n ＋1(n ∈N ＋). 2.二倍角余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛.二倍角的常用形式：①1＋cos 2α＝2cos 2α；②cos 2α＝1＋cos 2α2； ③1－cos 2α＝2sin 2α；④sin 2α＝1－cos 2α2.。
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1
0 0
2 tan 150
1 tan 150
提高性题目
1、已知α为第二象限角，并且
(1) 求 sin
cos
2 3
sin
2
5 2
2
cos
2
的值
(1)
2
（2）求sin2α+cos2α的值
(2)
7 15 8
题2、 sin( 已知
求 cos 2 x cos(
4
x)
的值。
5 13
, (0 x
4
)
4
x)
24
13
提高性题
已知(2sinx+cosx)(sinx+2cosx-3)=0
求 sin 2 x cos 2 x tan 2 x 的值。
答： 3 20
提示：因为sinx+2cosx=
5 sin( x ) =3
正弦二倍
角公式
Sin2α=2sinα· cosα
Sin2α=2sinα· cosα
倍 角 公 式
cos 2 cos sin
2 2
cos 2 2 cos 1
2
cos 2 1 2 sin
2
tan 2
2 tan 1 tan
2
例1．已知 sin
5 13
, (
2
, ),
求 sin 2 , cos 2 , tan 2 的值。
将 3 作为
2 3 2
的 2 倍。将
2
作为
4
的 2 倍。
的 2 倍等情况。
2、对公式我们不仅要会直接的运 用，还要会逆用、还要会变形用， 还要会与其它的公式一起灵活的 运用。
例题2、求下列各式的值。
1) sin 67 30 cos 67 30 2 ) 2 cos 3)
2
0
'
0
'
12
2
（倍角公式的直接运用）
sin 2 120 169
cos
119 169
tan
120 119
分析： 1、从题中要求的问题看：首先要写出 倍角公式。 2、由已知可知，要通过正弦函数来求 余弦。 3、重点是要确定余弦的正、负号的问 题。一定要根据角终边所在的象限来 确定。
说明： 1、倍角公式不仅可运用 的情况，还可以运用于 将 作为 于将 2 作为 的 2 倍 诸如将 4 作为 2 的 2 倍。
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
tan( )
tan tan 1 tan tan
三、讲授新课
1、在两角和的正弦、余弦、正切公式中令 可得到什么结果？
三角函数
倍 角 公 式
一、问题提出
观察 sin
3
与 sin
6
·cos
6
的值的关系
·
sin
0 0
3
0
用计算器计算 sin 36 和 sin 18 ·cos 18 的值 .
比较sin2x与sinx· cosx的值,猜想sin2x的公
式
sin2x=2sinxcosx
上面公式怎样证明呢?
二、知识回顾： 1．写出两角和的正弦、余弦、正切公式 分别是什么？
cos 2 cos sin
2 2
余弦二倍
角公式
cos 2 2 cos 1 2 cos 2 1 2 sin
2
注意 角的 相对 性， 和公 式的 灵活 运用
正切二倍 角公式
tan 2
2 tan 1 tan
2
谢谢观看!