中考数学总复习 分层提分训练 图形的轴对称(以真题为例)
湖南省邵阳市中考数学提分练习：轴对称(解析版)
湖南省邵阳市中考数学提分练习：轴对称（解析版）一、选择题1.在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形的是（）A.B.C. D.2.小狗皮皮看到镜子里的自己,觉得专门惊奇,现在它所看到的全身像是（）A.B.C.D.3.如图，正方形OABC对角线交点为D，过D的直线分别交AB，OC 于E，F，已知点E关于y轴的对称点坐标为（﹣，2），则图中阴影部分的面积是（）A.1B.2C.3D.44.中国京剧脸谱艺术是宽敞戏曲爱好者专门喜爱的艺术门类，在国内外流行的范畴相当广泛，差不多被大伙儿公认为是汉民族传统文化的标识之一. 下列脸谱中，属于轴对称图形的是（）A.B.C. D.5.如图，将△ABC沿DE，EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且E A与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO= ，则∠C的度数为（）A.40°B.41°C.42°D.43°6.如图，将矩形纸带ABCD，沿EF折叠后，C，D两点分别落在C′，D ′的位置，经测量得∠EFB＝65°，则∠AED′的度数是()A.65°B.55°C.50°D.25°7.如图，将∠BAC沿DE向∠BAC内折叠，使AD与A′D重合，A′E与AE重合，若∠A=30°，则∠1+∠2=（）A.50°B.60°C.45°D.以上都不对8.已知ABC(AB<AC<BC)，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使PA+PC=BC，下列选项正确的是（）A. B.C. D.9.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（）A.2B.C.D.10.如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE 折叠，点A恰好落在边BC的点F处．若AE＝5，BF＝3，则CD的长是（）A.7B.8C.9D.1011.由7个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，则以下结论：①主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形；②俯视图是中心对称图形；③左视图不是中心对称图形；④俯视图和左视图都不是轴对称图形其中正确结论是（）A.①③B.①④C.②③D.②④12.一个数学游戏，正六边形被平均分为6格（其中1格涂有阴影），规则如下：若第一个正六边形下面标的数字为a（a为正整数），则先绕正六边形的中心顺时针旋转a格；再沿某条边所在的直线l翻折，得到第二个图形。
中考数学专题复习题 图形的轴对称(含解析)
xx中考数学专题复习题：图形的轴对称一、选择题1.下列说法：关于某条直线对称的两个三角形是全等三角形两个全等的三角形关于某条直线对称到某条直线距离相等的两个点关于这条直线对称如果图形甲和图形乙关于某条直线对称，则图形甲是轴对称图形其中，正确说法个数是A. 1B. 2C. 3D. 42.如图，若与关于直线MN对称，交MN于点O，则下列说法不一定正确的是A. B. C. D.3.点关于直线的对称点坐标是A. B. C. D.4.小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是A. B. C. D.5.如图所示，与是两个全等的等边三角形，且，有下列四个结论：，，，四边形ABCD是轴对称图形，其中正确的个数为A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6.在中，，AB是线段PM的对称轴，且AB分别交线段PM于A，交线段PN于B，若的周长为60厘米，的周长为36厘米，则MN 的长为A. 6厘米B. 12厘米C. 18厘米D. 24厘米7.如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，若，则的度数为A.B.C.D.8.已知的周长是l，，则下列直线一定为的对称轴的是A. 的边AB的垂直平分线B. 的平分线所在的直线C. 的边BC上的中线所在的直线D. 的边AC上的高所在的直线9.把一个正方形纸片折叠三次后沿虚线剪断两部分，则展开后得到的是A. B. C. D.10.如图，在等腰中，，，的平分线与AB的垂直平分线交于点O、点C沿EF折叠后与点O重合，则的度数是A.B.C.D.二、填空题11.一个等边三角形的对称轴有______ 条12.如图，，若A，B关于直线MP对称，A，C关于直线NQ对称，则的度数是______ ．13.如图，在五边形ABCDE中，，，，，在BC、DE上分别找一点M、N，使得周长最小时，的度数为______．14.如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B、D两点落在、点处，若得，则的度数为______．15.如图，CD是的边AB上的高，且，点B关于直线CD的对称点恰好落在AB的中点E处，则的周长为______ ．16.已知一张三角形纸片如图甲，其中将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为如图乙再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为如图丙原三角形纸片ABC中，的大小为_____．17.在平面镜里看到背后墙上电子钟示数，实际时间是：______．18.如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，，则下列结论：；；四边形ABCD是菱形；≌其中正确的是______ 只填写序号19.如图，是正方形网格，其中已有3个小正方形涂成了黑色，现在从剩余的13个白色小正方形中选出一个涂成黑色，使涂成黑色的四个小正方形所构成的图形是轴对称图形，则这样的白色小正方形有______ 个20.如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，将沿过点A的直线折叠，使点B落在x轴的负半轴上，记作点C，折痕与y 轴交于点D，则点D的坐标为______ ．三、计算题21.如图，P在内，点M，N分别是点P关于AO，BO的对称点，且与AO、BO相交点E、F，若的周长为15，求MN的长．22.在直角坐标系中，设x轴为直线l，函数，的图象分别是直线，，圆以点P为圆心，1为半径与直线l，，中的两条相切例如是其中一个圆P的圆心坐标．写出其余满足条件的圆P的圆心坐标；在图中标出所有圆心，并用线段依次连接各圆心，求所得几何图形的周长．23.已知，一张矩形纸片ABCD把顶点A和C叠合在一起，得折痕如图猜想四边形AECF是什么四边形，并证明你的猜想；矩形纸片ABCD的边长分别为9cm和3cm，求折痕EF的长．24.如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A与C重合，D与G重合，若长方形的长BC为8，宽AB为4，求：的长；求阴影部分的面积．【答案】1. A2. D3. A4. C5. D6. B7. B8. C9. C10. C11. 312.13.14. 5515. 1216. 7217. 20：1518.19. 420.21. 解：点M是点P关于AO，的对称点，垂直平分MP，．同理．，，的周长为15，．22. 解：若圆P与直线l和都相切，当点P在第四象限时，过点P作轴，垂足为H，连接OP，如图1所示．设的图象与x轴的夹角为．当时，．．．由切线长定理得：．，．．点P的坐标为．同理可得：当点P在第二象限时，点P的坐标为；当点P在第三象限时，点P的坐标为；若圆P与直线l和都相切，如图2所示．同理可得：当点P在第一象限时，点P的坐标为；当点P在第二象限时，点P的坐标为；当点P在第三象限时，点P的坐标为；当点P在第四象限时，点P的坐标为．若圆P与直线和都相切，如图3所示．同理可得：当点P在x轴的正半轴上时，点P的坐标为；当点P在x轴的负半轴上时，点P的坐标为；当点P在y轴的正半轴上时，点P的坐标为；当点P在y轴的负半轴上时，点P的坐标为．综上所述：其余满足条件的圆P的圆心坐标有：、、、、、、、、、、．用线段依次连接各圆心，所得几何图形，如图4所示．由图可知：该几何图形既轴对称图形，又是中心对称图形，由对称性可得：该几何图形的所有的边都相等．该图形的周长．23. 解：四边形AECF是菱形理由如下：矩形ABCD把顶点A和C叠合在一起，得折痕EF，，，，，，，，，四边形AECF是菱形；连结AC交EF于O点，如图，在.中，，，，四边形AECF是菱形，，，，，∽，：：AB，即OF：：9，解得，．24. 解：设，则，在中，，，解得，．过G点作于M，则，，，，，．如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
中考数学知识点轴对称复习轴对称知识点分类汇总大试题
卜人入州八九几市潮王学校轴对称与轴对称图形一、知识点：1．什么叫轴对称：假设把一个图形沿着某一条直线折叠后，可以与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。
2．什么叫轴对称图形：假设把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的局部可以互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
3．轴对称与轴对称图形的区别与联络：区别：①轴对称是指两个图形沿某直线对折可以完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个局部沿某直线对折能完全重合。
②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形的特性。
联络：①两局部都完全重合，都有对称轴，都有对称点。
②假设把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；假设把一个轴对称图形的两旁的局部看成两个图形，这两个局部图形就成轴对称。
常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、角、线段、相交的两条直线等。
垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
〔也称线段的中垂线〕5．轴对称的性质：⑴成轴对称的两个图形全等。
⑵假设两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。
6．怎样画轴对称图形：画轴对称图形时，应先确定对称轴，再找出对称点。
二、举例：例1：判断题：①角是轴对称图形，对称轴是角的平分线；〔〕②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴；〔〕③关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形；〔〕④两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁。
〔〕例2：以下列图曾被哈佛大学选为入学考试的试题.请在以下一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后把图形空白处填上恰当的图形.例3：如图，由小正方形组成的L 形图中，请你用三种方法分别在以下列图中添画一个小正方形使它成为一个轴对称图形：例4：如图，：ΔABC 和直线l ，请作出ΔABC 关于直线l 的对称三角形。
2024年中考数学二轮复习模块专练—轴对称和中心对称(含答案)
2024年中考数学二轮复习模块专练—轴对称和中心对称（含答案）一、轴对称1．轴对称图形的定义：一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴．2．轴对称：对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能够完全重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称．3．轴对称的性质（1）对应线段相等，对应角相等；（2）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；4．轴对称作图（1）找出图形中的关键点；（2）作关键点的对称点：一垂二延三相等；（3）连接关键点；二、中心对称1．中心对称定义：如果把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心．2．中心对称图形定义：把一个图形绕某个点旋转180°如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．区别：中心对称→两个图形的关系，中心对称图形→一种图形的特征．3．中心对称性质：成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对试卷第2页，共12页称中心平分．同心对称具有旋转的性质．4．中心对称图形作图（1）找出图形中的关键点；（2）作关键点的对称点：一连（关键点与对称中心连接）二延三相等；（3）连接关键点；《义务教育数学课程标准》2022年版，学业质量要求：1．理解轴对称和中心对称的概念；2．知道轴对称和中心对称的性质；3．会用轴对称和中心对称的运动认识、理解和表达现实世界中相应的现象；4．理解几何图形的对称性，感悟现实世界中的对称美，知道可以用数学语言表达对称；【例1】（2023·青海西宁·统考中考真题）1．河湟剪纸被列入青海省第三批省级非物质文化遗产名录，是青海劳动人民结合河湟文化，创造出独具高原特色的剪纸．以下剪纸图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D．【变1】（2023·山东青岛·统考中考真题）2．生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【例1】（2023·河北沧州·统考二模）的3．如图由66⨯个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点称为格点，ABC绕着点O顺时针三个顶点A，B，C均在格点上，O是AC与网格线的交点，将ABC旋转180︒．以下是嘉嘉和淇淇得出的结论，下列判断正确的是（）嘉嘉：旋转后的三角形的三个顶点均在格点上；淇淇：旋转前后两个三角形可形成平行四边形A．只有嘉嘉对B．只有淇淇对C．两人都对D．两人都不对试卷第4页，共12页【例1】（2023·安徽亳州·校联考模拟预测）5．如图，在平面直角坐标系中，(1)作出ABC 关于y 轴对称的A B C ''' ；(2)作出ABC 关于点O 成中心对称的111A B C △；(3)在x 轴上找一点P ，使1PB PC =，并写出点P 的坐标．【变1】（2023·四川广安·统考中考真题）6．将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形，用这四个直角三角形拼成符合要求的四边形，请在下列网格中画出你拼成的四边形（注：①网格中每个小正方形的边长为1；②所拼的图形不得与原图形相同；③四边形的各顶点都在格点上）．一、选择题（2023·江苏·统考中考真题）7．剪纸是中国优秀的传统文化．下列剪纸图案中，是轴对称图形的是（）．A．B．C．D．（2023·河北衡水·统考二模）8．三个全等的等边三角形按图1所示位置摆放，现添加一个大小相同的等边三角形，使四个等边三角形组成一个中心对称图形（如图2），则添加的等边三角形所放置的位置是（）A．①B．②C （2023·黑龙江·统考中考真题）9．如图，在平面直角坐标中，矩形ABCD的边直线OE折叠到如图所示的位置，线段OD恰好经过点A．()1,2B．(-二、填空题（2023·吉林长春·统考中考真题）10．如图，将正五边形纸片ABCDE试卷第6页，共12页（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）的半径为2cm，12．如图，O翻折，使点C与圆心O重合，则阴影部分的面积为（2023·湖北武汉·统考中考真题）13．如图，DE平分等边交于,G H两点．若DG（2023·江苏扬州·统考中考真题）14．如图，已知正方形ABCD着EF翻折，点B恰好落在积比为3∶5，那么线段FC的长为（2023·江苏泰州·统考二模）15．如图，在平面直角坐标系中，B-，点D的交点，点(2,0)且D、F两点关于y轴上某点成中心对称，连接（2023·山东济南·统考中考真题）16．如图，将菱形纸片ABCD折痕CP交AD于点P．若三、解答题（2023·浙江温州·统考中考真题）试卷第8页，共12页(1)在图中画一个等腰三角形画出该三角形绕矩形ABCD△(2)在图中画一个Rt PQR角形向右平移1个单位后的图形．（2023·江西南昌·校考二模）18．如图，在矩形ABCD中，(1)在图1中作矩形ABCD关于点E成中心对称的图形．(2)在图2中作以E为顶点的矩形．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）(1)画出线段OA绕点O顺时针旋转关于直线OB对称的图形，点(2)画出与AOB∠的度数为_________(3)填空：OCB试卷第10页，共12页（2023·山东枣庄·统考中考真题）20．（1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图①，图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的两个共同特征：___________，___________．（2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征．（2023·江苏南通·统考一模）21．如图，矩形ABCD 中，63AB AD ==，．E 为边AB 上一动点，连接DE ．作AF D E ⊥交矩形ABCD 的边于点F ，垂足为G ．(1)求证：AFB DEA ∠=∠；(2)若1CF =，求AE 的长；(3)点O 为矩形ABCD 的对称中心，探究OG 的取值范围．（2023·江苏无锡·统考中考真题）22．如图，四边形ABCD 是边长为4的菱形，60A ∠=︒，点Q 为CD 的中点，P 为线段AB 上的动点，现将四边形PBCQ 沿PQ 翻折得到四边形PB C Q ''．(1)当45QPB ∠=︒时，求四边形BB C C ''的面积；(2)当点P 在线段AB 上移动时，设BP x =，四边形BB C C ''的面积为S ，求S 关于x 的函数表达式．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）23．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：操作一：对折正方形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平；操作二：在AD 上选一点P ，沿BP 折叠，使点A 落在正方形内部点M 处，把纸片展平，连接PM 、BM ，延长PM 交CD 于点Q ，连接BQ ．(1)如图1，当点M 在EF 上时，EMB ∠=___________度；(2)改变点P 在AD 上的位置（点P 不与点A ，D 重合）如图2，判断MBQ ∠与CBQ ∠的数量关系，并说明理由．（2023·山东枣庄·统考中考真题）24．问题情境：如图1，在ABC 中，1730AB AC BC ===，，AD 是BC 边上的中线．如图2，将ABC 的两个顶点B ，C 分别沿,EF GH 折叠后均与点D 重合，折痕分别交,,AB AC BC 于点E ，G ，F ，H ．试卷第12页，共12页猜想证明：(1)如图2，试判断四边形AEDG 的形状，并说明理由．问题解决；(2)如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿MN 折叠，使得顶点B 与点H 重合，折痕分别交,AB BC 于点M ，N ，BM 的对应线段交DG 于点K ，求四边形MKGA 的面积．参考答案：1．D【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的特点逐项判断即可．【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意；B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项不符合题意；C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项不符合题意；D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意．故选D．【点睛】本题考查识别轴对称图形与中心对称图形．识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．识别中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．2．D【分析】根据中心对称图形定义：把图形沿某点旋转180︒得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形，轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形，逐个判断即可得到答案．【详解】解：由题意可得，A选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意，B选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意，C选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意，D选项图形是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意，故选：D；【点睛】本题考查中心对称图形定义：把图形沿某点旋转180︒得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形，轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折两边完全重合的图形答案第2页，共28页叫轴对称图形．3．C【分析】画出旋转后的图形，根据图形解答．【详解】如图，取格点B '，连接OB '，OB ，取格点E ，F ．∵,,AEO CFO AOE COF AE CF ∠=∠∠=∠=，∴AOE COF △≌△，∴OA OF =，∴点A 关于点O 的对称点与点C 重合，点C 关于点O 的对称点与点A 重合．同理可证：点B 与点B '关于点O 对称，∴旋转后的三角形的三个顶点均在格点上，故嘉嘉说法正确；由中心对称的性质得A ABC B C '''≌△△，∴AB A B ''=，BC B C ''=，∴四边形ABA B ''是平行四边形，∴旋转前后两个三角形可形成平行四边形，故淇淇说法正确．故选C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，的关键．4．210【分析】取BC中点H，连接AH，取由折叠可知AD CD DE x===则DF=三角形中位线定理得到15BG=，从而推导出答案第4页，共28页答案第6页，共28页A B C '''∴△即为所求；（2）解：如图所示：111A B C ∴ 即为所求；（3）如图所示：1,0-．【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，轴对称变换，熟练掌握基本作图知识是解题的关键．6．见解析（答案不唯一，符合题意即可）【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的性质进行作图即可．【详解】解：①要求是轴对称图形但不是中心对称图形，则可作等腰梯形，如图四边形ABCD 即为所求；②要求是中心对称图形但不是轴对称图形，则可作一般平行四边形，如图四边形ABCD即为所求；③要求既是轴对称图形又是中心对称图形，则可作菱形、矩形等，如图四边形ABCD即为所求；④要求既不是轴对称图形又不是中心对称图形，则考虑作任意四边形，如图四边形ABCD即为所求．答案第8页，共28页【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的概念及作图，轴对称图形：把一个图形沿着某条直线折叠，能够与另一个图形重合；中心对称图形：把一个图形绕着某个点旋转180 能够和原图形重合．7．B【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．【详解】解：选项A 、C 、D 均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；选项B 能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；故选：B ．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．8．D【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．【详解】解：依题意，添加的等边三角形④，可得中心对称图形，【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，理的应用等知识，通过证明三角形相似，10．45【分析】根据题意求得正五边形的每一个内角为'答案第10页，共28页∵将 AB 沿弦AB 翻折，使点∴AC AO =，OC AB⊥答案第12页，共28页答案第14页，共28页则90FGK DHK ∠=∠=︒，记FD 交y 轴于点K ，∵D 点与F 点关于y 轴上的∴KF KD =，答案第16页，共28页【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握菱形和折叠的性质，正确画出辅助线，构造直角三角形求解．17．(1)见解析(2)见解析答案第18页，共28页（2）画法不唯一，如图3或图4．【点睛】本题主要考查了格点作图，解题关键是掌握网格的特点，灵活画出相等的线段和互相垂直或平行的线段．18．(1)见解析；(2)见解析【分析】（1）连接AE 并延长至点M ，使得AE ME =；连接BE 并延长至点N ，使得BE NE =，连接DN 、MN 、CN ，即可得到矩形DCMN 为所求作；（2）连接AC 、BD ，交点为点O ，连接EO 并延长交AB 于点F ，根据中位线定理，得到EF AD BC ∥∥，即可得到矩形ADEF 或矩形BCEF 为所求作．【详解】（1）解：如图1中，矩形DCMN 即为所求；（2）解：如图2中，矩形ADEF 或矩形BCEF 即为所求．【点睛】本题考查了画中心对称图形，矩形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，根据相关性质正确作图是解题关键．19．(1)详见解析(2)详见解析(3)45︒【分析】（1）根据题目叙述画出图形即可；（2）根据题目叙述画出图形即可；（3）由（1）作图可得AOB 是等腰直角三角形，且=45A ︒∠，由对称的性质可得45OCB ∠=︒．【详解】（1）在方格纸中画出线段OA 绕点O 顺时针旋转90︒后得到的线段OB ，连接AB ,如图；（2）画出与AOB 关于直线OB 对称的图形，点A 的对称点是C ；如上图所示：（3）由（1）作图可得AOB 是等腰直角三角形，且=45A ︒∠，再根据对称的性质可得45OCB A ∠=∠=︒．故答案为：45︒．【点睛】此题考查了旋转作图及作轴对称图形，解答本题的关键是仔细审题，得出旋转三要素，进而得出旋转后的图形．20．（1）观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等；（2）见解析【分析】（1）应从对称方面，阴影部分的面积等方面入手思考；（2）应画出既是轴对称图形，且面积为4的图形．【点睛】此题主要考查了利用轴对称图形设计图案，关键是掌握利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．21．(1)见解析答案第20页，共28页同（1）可证DAF DEA∠=∠tan tanDAF DEA∴∠=∠，∴DF ADAD AE=，即533AE=，95AE∴=，1 AE∴=或9 5；答案第22页，共28页则OG OH HG ≥-．90AGE AGD ∠=∠=︒ ，1322HG AD ∴==，∵点O 为矩形ABCD 的对称中心，∴点O 为AC 的中点．答案第24页，共28页答案第26页，共28页∵1122 CHGS CH HG=⋅=∴154302CG HE⋅=⨯=，平行四边形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．答案第28页，共28页。
中考数学复习《图形的轴对称》专题
《图形的轴对称》中考复习一. 选择题1. 如图，等边△ABC的边长为8，AD是BC边上的中线，点E是AC边上的中点 . 如果点P是AD上的动点，那么EP+CP的最小值为（）A.4B. 2√3C. 3√3D. 4√32. 如图，已知D，E，F分别是等边△ABC的边AB，BC，AC上的点，且DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，则下列结论不成立的是（）A.△DEF是等边三角形B.△ADF≅△BED≅△CFEC.DE=12AB D.S△ABC=3S△DEF3. 连接正八边形的三个顶点，得到如图所示的图形．下列说法错误的是（）A.四边形AFGH与四边形CFED的面积相等B.连接BF，则BF分别平分∠AFC和∠ABCC.整个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形D.△ACF是等边三角形4. 如图，M是△ABC三条角平分线的交点，过M作DE⊥AM,分别交AB，AC于D，E两点，设BD=a，DE= b，CE=c，关于x的方程ax2+bx+c=0()A.一定有两个相等实根B.一定有两个不相等实根C.有两个实根，但无法确定是否相等D.无实根5. 如图，AB为圆O直径，C，D是圆上两点，∠ADC=110∘，则∠OCB=（）度．A.40B.50C.60D.706. 如图，在锐角三角形ABC中，AC=6,△ABC的面积为15，∠BAC的平分线交BC与点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（）A.4B.5C.6D.77. 在平面直角坐标系中，点P(2, 1)向右平移3个单位得到点P1，点P1关于x轴的对称点是点P2，则点P2的坐标是（）A.(5, 1)B.(5, −1)C.(−5, 1)D.(−5, −1)8. 已知△ABC在平面直角坐标系中，点A，B，C都在第一象限内，现将△ABC的三个顶点的横坐标保持不变，纵坐标都乘−1，得到一个新的三角形，则( )A.新三角形与△ABC关于x轴对称B.新三角形与△ABC关于y轴对称C.新三角形的三个顶点都在第三象限内D.新三角形是由△ABC 沿y 轴向下平移一个单位长度得到的 二. 填空题等腰三角形是轴对称图形，它有________条对称轴．如图，已知菱形ABCD ，∠C =120∘，E 为AD 的中点，P 为对角线BD 上一点．若AB =4，则△APE 周长的最小值为________．如图，台球桌相邻两边互相垂直，若∠3=30∘，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么打白球时，必须保证∠1的度数为________∘．如图，已知△ABC ，AD 平分∠BAC ，DE 垂直AC ，垂足为E ，∠ADB =2∠B =4∠C ，AE =34，CD =72，则线段AB =________．三. 解答题如图①，在正方形网格中建立平面直角坐标系，并放置三颗棋子A ，O ，B ，其坐标分别是A (−2,0)，O (0,0)，B (2,−2).(1)如图②，添加棋子C ，使A ，O ，B ，C 四颗棋子构成一个轴对称图形，并在图中画出该图形的对称轴；(2)若在其他格点位置添加一颗棋子D ，使A ，O ，B ，D 四颗棋子构成一个轴对称图形，请直接写出棋子D 的坐标(写出2个即可).在等边△ABC 中，点D 在BC 边上，点E 在AC 的延长线上，DE =DA （如图1）．(1)求证：∠BAD =∠EDC ；(2)如图2，点E 关于直线BC 的对称点为M ，连接DM ，AM ．小明通过观察，提出实验猜想：在点D 运动的过程中，始终有DA =AM ，小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法： 想法1：要证明DM =AM ，只需证△ADM 是等边三角形； 想法2：连接CM ，只需证明△ABD ≅△ACM 即可.请你参考上面的想法，帮助小明证明DA =AM (选一种方法即可).我们生活在一个充满轴对称的世界中，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术品，甚至日常生活用品，都可以找到轴对称的影子.我们把形如aa,bcb,bccb,abcba 的正整数叫“轴对称数”，例如：33,151,2442,56765,⋯(1)写出一个最小的四位“轴对称数”：________；(2)设任意一个n(n ≥3)位的“轴对称数”为ABA ，其中首位和末位数字为A ，去掉首尾数字后的(n −2)位数表示为B ，求证：该“轴对称数”与它个位数字的11倍的差能被10整除. 为了让同学们更好的解答本题，王老师给出了一些提示，如图所示.①请根据上面的提示，填空：56765−5×11=_________=________；②写出(2)的证明过程.二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴交于A(2, 0)，B(6, 0)两点，与y轴交于点C，顶点为E．(1)求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；(2)如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；(3)如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．参考答案与试题解析一. 选择题1.【答案】D【解析】本题考查了等边三角形的性质，最短距离，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，最短距离，勾股定理的应用是解题关键，连接BE，与AD交于点P，得到点C关于AD的对称点为点B,BE就是EP+CP的最小值，结合勾股定理即可求得答案.2.【答案】C【解析】求出∠BDE=∠FEC=∠AFD=30∘，求出∠DEF=∠DFE=∠EDF=60∘，推出DF=DE=EF，即可得出等边三角形DEF，根据全等三角形性质推出三个三角形全等即可．求出AB=3BE，DE=√3BE，即可判断选项C．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可判断选项D．3.【答案】D【解析】此题暂无解析4.【答案】A【解析】5.【答案】D【解析】根据圆内接四边形的性质求出∠B，根据等腰三角形的性质得出即可．6.【答案】B【解析】此题暂无解析7.【答案】B【解析】此题暂无解析8.【答案】A【解析】根据“关于x对称轴的两点横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点横坐标互为相反数，纵坐标相等；关于原点对称的两点横坐标和纵坐标都互为相反数，故选A．二. 填空题【答案】1或3【解析】根据等腰三角形包括只有两边相等的等腰三角形和等边三角形，考虑对称轴的条数．【答案】2√3+2.【解析】本题考察菱形的性质，轴对称的性质，等边三角形的性质，确定点P是解题的关键.【答案】60【解析】要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，则∠2=60∘，根据∠1、∠2对称，则能求出∠1的度数．【答案】5526【解析】根据角平分线的定义得到∠1=∠2，由已知条件和外角的性质得到∠1=∠2=3∠C，∠B=2∠C，根据三角形的内角和列方程求得∠C=20∘，∠1=60∘，根据垂直的定义得到∠AED=∠DEC=90∘，求出∠ADE=30∘，解直角三角形得到DE=√3AE=34√3，CE=√CD2−DE2=134，在AC上截取AF=AB，连接DF，推出△AFD≅△ABD，于是得到∠AFD=∠B=40∘，证得∠3=∠C，根据等腰三角形的性质得到DF=CF，设EF=x，则DF=CF=134−x，由勾股定理列方程即可得到结论．三. 解答题【答案】解：(1)如图所示：(2)如图所示：点D的坐标为(0,2)或(2,2)答案不唯一.【解析】(1)找出对应点，再做出对称轴即可；(2)结合图形，找出棋子D的坐标坐标即可.【答案】证明：(1)如图1，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ACB=60∘，∴∠BAD=60∘−∠DAE，∠EDC=60∘−∠E，又∵DE=DA，∴∠E=∠DAE，∴∠BAD=∠EDC．(2)由轴对称可得，DM=DE，∠EDC=∠MDC，∵DE=DA，∴DM=DA，由(1)可得，∠BAD=∠EDC，∴∠MDC=∠BAD，∵△ABD中，∠BAD+∠ADB=180∘−∠B=120∘，∴∠MDC+∠ADB=120∘，∴∠ADM=60∘，∴△ADM是等边三角形，∴AD=AM．【解析】（1）利用三角形内角和定理以及三角形的外角的性质解决问题即可．（2）证明△ADM是等边三角形即可解决问题．【答案】解：(1)根据轴对称数的定义，要使四位的轴对称数最小，则千位只能是1，百、十位只能是0，个位和千位一样是1，则该轴对称数为1001.故答案为：1001.(2)①5×10000+676×10+5−5×11=56710故答案为：5×10000+676×10+5−5×11，56710；②证明：由题意得ABA=A×10n−1+10B+A−11A=A×10n−1+10B−10A=10(A×10n−2+B−A)，∴该“轴对称数”与它个位数字的11倍的差能被10整除. 【解析】此题暂无解析【答案】解：(1)将A(2,0),B(6,0)代入y=ax2+bx+3得{4a+2b+3=0,36a+6b+3=0,解得{a=14,b=−2,∴二次函数的解析式为y=14x2−2x+3.∵y=14x2−2x+3=14(x−4)2−1，∴E(4, −1)．(2)如图1，2，连接CB，CD.由点C在线段BD的垂直平分线CN上，得CB=CD．设D(4, m).∵C(0, 3)，由勾股定理可得：42+(m−3)2=62+32．解得m=3±√29，∴满足条件的点D的坐标为(4,3+√29)或(4,3−√29).(3)如图3，设CQ交抛物线的对称轴于点M，设P(n,14n2−2n+3)，则Q(12n,18n2−n+32).设直线CQ的解析式为y=kx+3，则18n2−n+32=12nk+3，解得k=14n−2−3n，于是CQ:y=(14n−2−3n)x+3，当x =4时， y =4 (14n −2−3n )+3=n −5−12n，∴ M (4,n −5−12n)，ME =n −4−12n，∴ S △CQE =S △CEM +S △QEM =12⋅12n ⋅ME =12⋅12n ⋅(n −4−12n)=12，∴ n 2−4n −60=0，解得n =10或n =−6，当n =10时，P(10, 8)，当n =−6时，P(−6, 24)． 综上，满足条件的点P 的坐标为(10, 8)或(−6, 24)． 【解析】。
中考数学专项训练 图形的轴对称(含解析)
图形的轴对称一、选择题1．下列图案是轴对称图形的是（）A．B． C．D．2．下列四个图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．下列四种图形都是轴对称图形，其中对称轴条数最多的图形是（）A．等边三角形B．矩形 C．菱形 D．正方形4．如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．75°5．如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为（）A．8 B．4 C．8 D．6二、填空题6．如图，矩形ABCD中，AB=1，E、F分别为AD、CD的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A恰好落在BF上，则AD= ．7．如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上且DP=1，点Q是AC上一动点，则DQ+PQ的最小值为．8．如图1，正方形OCDE的边长为1，阴影部分的面积记作S1；如图2，最大圆半径r=1，阴影部分的面积记作S2，则S1S2（用“＞”、“＜”或“=”填空）．9．如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，点B（0，），点A在第一象限且AB⊥BO，点E是线段AO的中点，点M在线段AB上．若点B和点E关于直线OM对称，则点M的坐标是（，）．10．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanC=，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为．三、解答题（共50分）11．请在下列三个2×2的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形是图中三角形经过轴对称变换后得到的图形，且所画的三角形顶点与方格中的小正方形顶点重合，并将所画三角形涂上阴影．（注：所画的三个图形不能重复）12．作图题：（不要求写作法）如图，△ABC在平面直角坐标系中，其中，点A、B、C的坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣4，5），C（﹣5，2）．（1）作△ABC关于直线l：x=﹣1对称的△A1B1C1，其中，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1；（2）写出点A1、B1、C1的坐标．13．如图（1），矩形纸片ABCD，把它沿对角线BD向上折叠，（1）在图（2）中用实线画出折叠后得到的图形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）折叠后重合部分是什么图形？说明理由．14．如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接AF、CE，（1）求证：四边形AFCE为菱形；（2）设AE=a，ED=b，DC=c．请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式．15．（1）观察发现如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE 的值最小，做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE 的最小值为．（2）实践运用如图（3）：已知⊙O的直径CD为2，的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为．（3）拓展延伸如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN+MN的值最小，保留作图痕迹，不写作法．图形的轴对称参考答案与试题解析一、选择题1．下列图案是轴对称图形的是（）A．B． C．D．【考点】轴对称图形．【专题】常规题型．【分析】根据轴对称的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，结合选项即可得出答案．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、符合轴对称的定义，故本选项正确；故选D．【点评】此题考查了轴对称图形的判断，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握轴对称的定义．2．下列四个图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称可得答案．【解答】解：A、B、D都是轴对称图形，C不是轴对称图形，故选：C．【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义，正确找到对称轴．3．下列四种图形都是轴对称图形，其中对称轴条数最多的图形是（）A．等边三角形B．矩形 C．菱形 D．正方形【考点】轴对称图形．【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，分别判断出各图形的对称轴条数，继而可得出答案．【解答】解：A、等边三角形有3条对称轴；B、矩形有2条对称轴；C、菱形有2条对称轴；D、正方形有4条对称轴；故选D．【点评】本题考查了轴对称图形的知识，注意掌握轴对称及对称轴的定义．4．如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．75°【考点】生活中的轴对称现象；平行线的性质．【专题】压轴题．【分析】要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，则∠2=60°，根据∠1、∠2对称，则能求出∠1的度数．【解答】解：要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，∠2+∠3=90°，∵∠3=30°，∴∠2=60°，∴∠1=60°．故选：C．【点评】本题是考查图形的对称、旋转、分割以及分类的数学思想．5．如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为（）A．8 B．4 C．8 D．6【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】数形结合；整体思想．【分析】首先由正方形ABCD的对角线长为2，即可求得其边长为2，然后由折叠的性质，可得A′M=AM，D′N=DN，A′D′=AD，则可得图中阴影部分的周长为：A′M+BM+BC+CN+D′N+A′D′=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD，继而求得答案．【解答】解：∵正方形ABCD的对角线长为2，即BD=2，∠A=90°，AB=AD，∠ABD=45°，∴AB=BD•cos∠ABD=BD•cos45°=2×=2，∴AB=BC=CD=AD=2，由折叠的性质：A′M=AM，D′N=DN，A′D′=AD，∴图中阴影部分的周长为：A′M+BM+BC+CN+D′N+A′D′=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD=2+2+2+2=8．故选：C．【点评】此题考查了折叠的性质与正方形的性质．此题难度适中，注意数形结合思想与整体思想的应用．二、填空题6．如图，矩形ABCD中，AB=1，E、F分别为AD、CD的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A恰好落在BF上，则AD= ．【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】压轴题．【分析】连接EF，则可证明△EA′F≌△EDF，从而根据BF=BA′+A′F，得出BF的长，在Rt△BCF 中，利用勾股定理可求出BC，即得AD的长度．【解答】解：连接EF，∵点E、点F是AD、DC的中点，∴AE=ED，CF=DF=CD=AB=，由折叠的性质可得AE=A′E，∴A′E=DE，在Rt△EA′F和Rt△EDF中，∵，∴Rt△EA′F≌Rt△EDF（HL），∴A′F=DF=，∴BF=BA′+A′F=AB+DF=1+=，在Rt△BCF中，BC==．∴AD=BC=．故答案为：．【点评】本题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是连接EF，证明Rt△EA′F≌Rt△EDF，得出BF的长，注意掌握勾股定理的表达式．7．如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上且DP=1，点Q是AC上一动点，则DQ+PQ的最小值为 5 ．【考点】轴对称﹣最短路线问题；正方形的性质．【分析】要求DQ+PQ的最小值，DQ，PQ不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DQ，PQ的值，从而找出其最小值求解．【解答】解：如图，连接BP，∵点B和点D关于直线AC对称，∴QB=QD，则BP就是DQ+PQ的最小值，∵正方形ABCD的边长是4，DP=1，∴CP=3，∴BP==5，∴DQ+PQ的最小值是5．故答案为：5．【点评】此题考查了正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，得出DQ+PQ的最小值时Q点位置是解题关键．8．如图1，正方形OCDE的边长为1，阴影部分的面积记作S1；如图2，最大圆半径r=1，阴影部分的面积记作S2，则S1＜S2（用“＞”、“＜”或“=”填空）．【考点】轴对称的性质；实数大小比较；正方形的性质．【分析】结合图形发现：图1阴影部分的面积等于等于矩形ACDF的面积，首先利用勾股定理算出OD的长，进而得到OA的长，再算出AC的长，即可表示出矩形ACDF的面积；图2每个阴影部分正好是它所在的圆的四分之一，则阴影部分的面积大圆面积的是，计算出结果后再比较S1与S2的大小即可．【解答】解：∵OE=1，∴由勾股定理得OD=，∴AO=OD=，∴AC=AO﹣CO=﹣1，∴S阴影=S矩形=（﹣1）×1=﹣1，∵大圆面积=πr2=π∴阴影部分面积=π．∵﹣1＜π，∴S1＜S2，故答案为：＜．【点评】此题主要考查了轴对称图形的性质以及正方形性质，根据已知得出AC=AO﹣CO=﹣1，进而得出矩形DCAF的面积是解题关键．9．如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，点B（0，），点A在第一象限且AB⊥BO，点E是线段AO的中点，点M在线段AB上．若点B和点E关于直线OM对称，则点M的坐标是（ 1 ，）．【考点】轴对称的性质；坐标与图形性质；解直角三角形．【专题】压轴题．【分析】根据点B的坐标求出OB的长，再连接ME，根据轴对称的性质可得OB=OE，再求出AO的长度，然后利用勾股定理列式求出AB的长，利用∠A的余弦值列式求出AM的长度，再求出BM的长，然后写出点M的坐标即可．【解答】解：∵点B（0，），∴OB=，连接ME，∵点B和点E关于直线OM对称，∴OB=OE=，∵点E是线段AO的中点，∴AO=2OE=2，根据勾股定理，AB===3，cosA==，即=，解得AM=2，∴BM=AB﹣AM=3﹣2=1，∴点M的坐标是（1，）．故答案为：（1，）．【点评】本题考查了轴对称的性质，坐标与图形性质，解直角三角形，熟练掌握轴对称的性质并作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键．10．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanC=，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为．【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】压轴题．【分析】首先根据已知得出△ABC的高以及B′E的长，利用勾股定理求出BD即可．【解答】解：过点A作AQ⊥BC于点Q，∵AB=AC，BC=8，tanC=，∴=，QC=BQ=4，∴AQ=6，∵将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，过B′点作B′E⊥BC于点E，∴B′E=AQ=3，∴=，∴EC=2，设BD=x，则B′D=x，∴DE=8﹣x﹣2=6﹣x，∴x2=（6﹣x）2+32，解得：x=，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为：．故答案为：．【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理和锐角三角函数关系，根据已知表示出DE的长是解题关键．三、解答题（共50分）11．请在下列三个2×2的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形是图中三角形经过轴对称变换后得到的图形，且所画的三角形顶点与方格中的小正方形顶点重合，并将所画三角形涂上阴影．（注：所画的三个图形不能重复）【考点】利用轴对称设计图案．【专题】作图题．【分析】可分别选择不同的直线当对称轴，得到相关图形即可．【解答】解：【点评】考查利用轴对称设计图案；选择不同的直线当对称轴是解决本题的突破点．12．（2013•重庆）作图题：（不要求写作法）如图，△ABC在平面直角坐标系中，其中，点A、B、C的坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣4，5），C（﹣5，2）．（1）作△ABC关于直线l：x=﹣1对称的△A1B1C1，其中，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1；（2）写出点A1、B1、C1的坐标．【考点】作图﹣轴对称变换．【专题】作图题．【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于直线l的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据平面直角坐标系写出点A1、B1、C1的坐标即可．【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示；（2）A1（0，1），B1（2，5），C1（3，2）．【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．13．如图（1），矩形纸片ABCD，把它沿对角线BD向上折叠，（1）在图（2）中用实线画出折叠后得到的图形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）折叠后重合部分是什么图形？说明理由．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】（1）根据折叠的性质，可以作∠BDF=∠BDC，∠EBD=∠CBD，则可求得折叠后的图形．（2）由折叠的性质，易得∠FDB=∠CDB，又由四边形ABCD是矩形，可得AB∥CD，即可证得∠FDB=∠FBD，即可证得△FBD是等腰三角形．【解答】解：（1）做法参考：方法1：作∠BDG=∠BDC，在射线DG上截取DE=DC，连接BE；方法2：作∠DBH=∠DBC，在射线BH上截取BE=BC，连接DE；方法3：作∠BDG=∠BDC，过B点作BH⊥DG，垂足为E方法4：作∠DBH=∠DBC，过，D点作DG⊥BH，垂足为E；方法5：分别以D、B为圆心，DC、BC的长为半径画弧，两弧交于点E，连接DE、BE．∴△DEB为所求做的图形．（2）等腰三角形．证明：∵△BDE是△BDC沿BD折叠而成，∴∠FDB=∠CDB，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠ABD=∠BDC，∴∠FDB=∠ABD，∴△BDF是等腰三角形．【点评】此题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定，折叠的性质以及尺规作图．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．14．如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接AF、CE，（1）求证：四边形AFCE为菱形；（2）设AE=a，ED=b，DC=c．请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式．【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．（1）由矩形ABCD与折叠的性质，易证得△CEF是等腰三角形，即CE=CF，即可证得AF=CF=CE=AE，【分析】即可得四边形AFCE为菱形；（2）由折叠的性质，可得CE=AE=a，在Rt△DCE中，利用勾股定理即可求得：a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c2．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEF=∠EFC，由折叠的性质，可得：∠AEF=∠CEF，AE=CE，AF=CF，∴∠EFC=∠CEF，∴CF=CE，∴AF=CF=CE=AE，∴四边形AFCE为菱形；（2）a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c2．理由：由折叠的性质，得：CE=AE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°，∵AE=a，ED=b，DC=c，∴CE=AE=a，在Rt△DCE中，CE2=CD2+DE2，∴a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c2．【点评】此题考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定以及勾股定理等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．15．（1）观察发现如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE 的值最小，做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为．（2）实践运用如图（3）：已知⊙O的直径CD为2，的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为．（3）拓展延伸如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN+MN的值最小，保留作图痕迹，不写作法．【考点】圆的综合题；轴对称﹣最短路线问题．【专题】压轴题．【分析】（1）观察发现：利用作法得到CE的长为BP+PE的最小值；由AB=2，点E是AB的中点，根据等边三角形的性质得到CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1，再根据含30度的直角三角形三边的关系得CE=；（2）实践运用：过B点作弦BE⊥CD，连结AE交CD于P点，连结OB、OE、OA、PB，根据垂径定理得到CD平分BE，即点E与点B关于CD对称，则AE的长就是BP+AP的最小值；由于的度数为60°，点B是的中点得到∠BOC=30°，∠AOC=60°，所以∠AOE=60°+30°=90°，于是可判断△OAE为等腰直角三角形，则AE=OA=；（3）拓展延伸：分别作出点P关于AB和BC的对称点E和F，然后连结EF，EF交AB于M、交BC于N．【解答】解：（1）观察发现如图（2），CE的长为BP+PE的最小值，∵在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点∴CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1，∴CE=BE=；故答案为：；（2）实践运用如图（3），过B点作弦BE⊥CD，连结AE交CD于P点，连结OB、OE、OA、PB，∵BE⊥CD，∴CD平分BE，即点E与点B关于CD对称，∵的度数为60°，点B是的中点，∴∠BOC=30°，∠AOC=60°，∴∠EOC=30°，∴∠AOE=60°+30°=90°，∵OA=OE=1，∴AE=OA=，∵AE的长就是BP+AP的最小值．故答案为：；（3）拓展延伸作法：1、作点P关于直线AB的对称点E，2、作点P关于直线BC的对称点F，3、连接EF交AB于M，交BC于N，则PM+PN+MN的值最小；如图（4）【点评】本题考查了圆的综合题：弧、弦和圆心角之间的关系以及圆周角定理在有关圆的几何证明中经常用到，同时熟练掌握等边三角形的性质以及轴对称﹣最短路径问题．。
中考数学复习《轴对称》专项练习-附带有答案
中考数学复习《轴对称》专项练习-附带有答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．如图，△ABC与△DEF关于直线对称，其中A与D对应，B与E对应，则∠E=（）A．120°B．110°C．80°D．100°3．在平面直角坐标系中，点P（5，﹣3）关于y轴的对称点的坐标是（）A．（﹣5，﹣3）B．（5，﹣3）C．（5，3）D．（﹣5，3）4．如图，在△ACB中，∠C=90°， AB的垂直平分线交AB、AC于点M、N，若AC=8，BC=4，则NC的长度为（）.A．2 B．3 C．4 D．55．等腰三角形的周长为11，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为（）A．3B．5C．4或5D．3或56．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，且BD=12cm，则AC的长是（）A．12cm B．6cm C．4cm D．6√3cm7．如图，在△ABC中ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F，若FG=3，ED=6，则EB+DC的值为（）A．7 B．8 C．9 D．108．如图，已知ΔABC是正三角形，D是BC边上任意一点，过点D作DF⊥AC于点F，ED⊥BC交AB于点E，则∠EDF等于（）A．50°B．65°C．60°D．75°二、填空题9．已知点A(a，4)，B(3，b)关于x轴对称，则a+b=.10．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=50°，通过观察尺规作图的痕迹，∠DEA的度数是度．11．如图，在△ABC中，BD为AC边上的中线，F为AB上一点，连接CF，交BD于点E，若AB=CE=4，5AF=4AB 则EF=．12．如图，点E，F分别为▱ABCD的边AB，BC的中点DE=√5，DF=2√5，∠EDF=60°则AD=．13．如图，在梯形ABCD中AD∥BC，AB=AC且AB⊥AC，BC=BD则∠DBC=．三、解答题14．如图，在平面直角坐标系中，A(3，4)，B(1，2)，C(5，1)。
2021年中考数学总复习突破-轴对称(原卷版)
2021年数学中考一轮单元总复习达标精准突破（原卷版）轴对称单元知识点呈现知识点1：轴对称1.对称轴：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。
2.对称点：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
3.线段的垂直平分线定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
线段的垂直平分线的性质（1）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
（2）角平分线上的点到角两边距离相等。
（3）线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。
（4）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
（5）轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
知识点2：画轴对称图形的方法几何图形都可以看作由点组成，对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。
知识点3：等腰三角形与等边三角形1.等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，（等边对等角）2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”。
3.等腰三角形的判定：等角对等边。
4.等边三角形角的特点：三个内角相等，等于60°，5.等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等腰三角形。
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形有两个角是60°的三角形是等边三角形。
6.直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
7．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
重点及方法解读一、学习线段的垂直平分线要求1.掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．2.会证明三角形的三条中垂线必交于一点.掌握三角形的外心性质定理.3.已知底边和底边上的高，求作等腰三角形.4.能运用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题及实际问题．二、线段的垂直平分线要点梳理要点一、线段的垂直平分线1. 线段的垂直平分线定义。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
图形的轴对称
一级训练
1．(2012年广东珠海)下列图形中是轴对称图形的是( )
A B C D 2．(2012年湖南益阳)下列图案中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是( )
A B C D 3．(2012年江苏扬州)下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A ．平行四边形
B ．等边三角形
C ．等腰梯形
D ．正方形
4．反比例函数y ＝4x
图象的对称轴的条数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
5．如图6－1－10，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点E ，F 是中线AD 上的两点，则图中阴影部分的面积是( )
A ．6
B ．12
C ．24
D ．30
图6－1－10 图6－1－11 图6－1－12
6．(2011年山东济宁)如图6－1－11，△ABC 的周长为30 cm ，把△ABC 的边AC 对折，使顶点C 和点A 重合，折痕交BC 边于点D ，交AC 边于点E ，连接AD ，若AE ＝4 cm ，则△ABD 的周长是( )
A ．22 cm
B ．20 cm
C ．18 cm
D ．15 cm
7．李明从镜子里看到自己身后的一个液晶屏幕上显示的数字，请问液晶屏幕上显示的数实际是( ) A. B. C. D.
8．(2012年湖北黄石)如图6－1－12，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，现将其沿EF 对折，使得点C 与点A 重合，则AF 长为( ) A.258 cm B.254 cm C.252
cm D ．8 cm 9．(2011年湖南永州)永州市新田县的龙家大院至今已有930多年历史，因该村拥有保存完好的“三堂九井二十四巷四十八栋”明清建筑，而申报为中国历史文化名村．如图6－1－13是龙家大院的一个窗花图案，它具有很好的对称美，这个图案是由：①正六边形；②正三角形；③等腰梯形；④直角梯形等几何图形构成，在这四种几何图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是__________(只填序号)．
图6－1－13 图6－1－14 10．(2011年山东济宁)如图6－1－14，△PQR 是△ABC 经过某种变换后得到的图形．如果
△ABC 中任意一点M 的坐标为(a ，b )，那么它的对应点N 的坐标为
__________________．
11．如图6－1－15，点A ，B ，C 的坐标分别为(0，－1)，(0,2)，(3,0)．从下面四个点M (3,3)，N (3，－3)，P (－3,0)，Q (－3,1)中选择一个点，以A ，B ，C 与该点为顶点的四边形不是中心对称图形，则该点是________．
图6－1－15
12．(2011年浙江绍兴)分别按下列要求解答：
(1)在图6－1－16(1)中，作出圆O关于直线l成轴对称的图形；
(2)在图6－1－16(2)中，作出△ABC关于点P成中心对称的图形．
图6－1－16
二级训练
13．(2012年四川资阳)如图6－1－17，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝2 3，则四边形MABN的面积是( )
A．6 3 B．12 3 C．18 3 D．24 3
图6－1－17 图6－1－18
14．如图6－1－18，AB⊥BC，AB＝BC＝2 cm，弧OA与弧OC关于点O中心对称，则AB，BC，弧CO，弧OA所围成图形的面积是__________c m2.
15．如图6－1－19，在∠ABC内有一点P，问：
(1)能否在BA，BC边上各找到一点M，N，使△PMN的周长最短？若能，请画图说明；
若不能，请说明理由；
(2)若∠ABC＝40°，在(1)问的条件下，能否求出∠MPN的度数？若能，请求出它的数
值；若不能，请说明理由．
图6－1－19
三级训练
16．(2011年山东济宁)去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河同一侧的张村A和李村B送水．经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系(如图6－1－20)，两村的坐标分别为A(2,3)，B(12,7)．
(1)若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥O多远的地方，可使所用输水管最短？
(2)水泵站建在距离大桥O多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？
图6－1－20
17．为了美化环境，在一块正方形空地上分别种植四种不同的花草．现将这块空地按下列要求分成四块：①分割后的整个图形必须是轴对称图形；②四块图形形状相同；③四块图形面积相等．现已有两种不同的分法：
(1)分别作两条对角线(如图6－1－21甲)；
(2)过一条边的四等分点作这边的垂线段(图6－1－21乙中两个图形的分割看作同一种
方法)．
请你按照上述三个要求，分别在下面两个正方形中给出另外两种不同的分割方法(正确画图，不写画法)．
图6－1－21
参考答案
1．C 2.C 3.D 4.C 5.A 6.A 7.D 8.B
9．D 10.(－a ，－b ) 11.点P 12.图略 13.C
14．2 解析：连接AC ，则由中心对称的性质知，所围成的面积是S △ABC ＝12AB ·BC ＝12
×2×2＝2.
15．解：(1)如图D27，作P 点关于AB ，BC 两边的对称点E ，F ，连接E ，F ；与AB ，BC 交于点M ，N ，连接PM ，PN ，△PMN 的周长最短．因为EM ＝PM ，PN ＝FN ，NM ＝NM ，PM ＋PN ＋MN ＝EM ＋FN ＋MN ＝EF 的长(两点之间，线段最短)．
图D27
(2)能．
∵∠ABC ＝40°，∴∠EPF ＝140°.
又∵∠PMN ＝∠EPM ＋∠MEP ＝2∠EPM ，
∠PNM ＝∠FPN ＋∠NFP ＝2∠FPN ，
∴∠PMN ＋∠PNM ＝2(∠EPM ＋∠FPN )．
∴180°－∠MPN ＝2(140°－∠MPN )．
∴∠MPN ＝100°.
16．解：(1)如图D28，作点B 关于x 轴的对称点E ，连接AE ，则点E 为(12，－7)． 设直线AE 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，则
⎩⎪⎨⎪⎧ 2k ＋b ＝3，12k ＋b ＝－7.解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－1，b ＝5.
∴直线AE 的解析式为y ＝－x ＋5.
当y ＝0时，x ＝5.
所以，当水泵站应建在距离大桥5千米的地方时，可使所用输水管道最短．
图D28
(2)如图D28作线段AB的垂直平分线GF，交AB于点F，交x轴于点G，设点G的坐标为(x,0)．
在Rt△AGD中，AG2＝AD2＋DG2＝9＋(x－2)2.
在Rt△BCG中，BG2＝BC2＋GC2＝49＋(12－x)2.
∵AG＝BG，∴9＋(x－2)2＝49＋(12－x)2.
解得x＝9.
∴水泵站建在距离大桥9千米的地方，可使它到张村、李村的距离相等．
17．解：如图D29.
图D29。