第十二章 电路
第12章 第1节 电路中的能量转化 课件
D．电冰箱、电视机和空调器
)
【解析】 电路中允许的最大功率为Pm＝UI＝2 860 W.用电器的功
率之和大于Pm时，用电器就不可以同时使用，故C正确．
【答案】 C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
内容索引
3．夏天空调器正常工作时，制冷状态与送风状态交替运行．一
空调器在不同工作状态下电功率随时间变化的关系如图所示，此空调
两端接入电路，各灯实际功率分别为PA、PB、PC、PD.则实际功率的大
小关系为
(
)
A．PA＝PB，PC＝PD
B．PA＝PD＞PB＝PC
C．PD＞PA＞PB＞PC
D．PB＞PC＞PD＞PA
1
2
3
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9
10
内容索引
根据R＝
【解析】
根据P＝
得RA＝RB＜RC＝RD.由电路图知UB＝UC，
验装置、实验过程，以及通过精确测量所得到的发现：当一种已知量
的伏打电在已知时间内通过一金属导体时，无论该金属导体的长度、
直径和无论是何种金属，其所放出的热总是与它的电阻及通过导体的
电流强度的平方成正比．
内容索引
1．对物理现象的研究通常有理论探究和实验探究两种途径，焦
耳是通过什么途径研究电流在导体中的发热规律的？
它进行了多方面的实验测试.1838年，在父亲的支持下，焦耳在工厂
里建造了一个实验室，开始了他最初的实验研究，在测试中，焦耳注
意到电机和电路中的发热现象，他想到这和机件运
转中的摩擦生热一样，都是动力损失的原因，这促
第十二章非正弦周期电流电路
第十二章 非正弦周期电流电路一、是非题是非题(注:请在每小题后[ ]内用"√"表示对,用"×"表示错)1. 周期非正弦电流的有效值，不仅与其各次谐波的有效值有关， 而且还与各次谐波的初相位有关。
[×]2. 电压u(t)=3sinωt+2sin(3ωt + 60°)的相量表达式为mU &=（3∠00+2∠600） [×]3. 电压波形的时间起点改变时，波形对纵轴和原点的对称性将发生变化, 但不影响它是否为奇次谐波函数。
[√]4. 奇谐波函数一定不包含直流分量。
[√]二、选择题选择题(注:在每小题的备选答案中选择适合的答案编号填入该题空白处,多选或不选按选错论)1. 在图中,12,20i t i t ==, 则电流3i 的有效值为______。
(Ａ) １Ａ； (Ｂ) ５Ａ； (Ｃ) ７Ａ。
解：I3=5A。
2. 欲测一周期非正弦量的有效值应用_____。
(Ａ) 电磁式仪表； (Ｂ) 整流式仪表； Ｃ磁电式仪表。
解：电磁式仪表。
3. 下列四个表达式中，是非正弦周期性电流的为_____。
(Ａ) t t t i π3cos 32cos 26)(++=， Ａ (Ｂ) ()34cos 5cos36sin 5,i t t t t =+++ Ａ (Ｃ) ()2sin(34sin(7),i t t t =+ Ａ(Ｄ) t t t t i ωπωcos cos cos )(++= Ａ解：()34cos 5cos36sin 5,i t t t t =+++1. 已知t t t t u ωπωπωω5cos 230)323sin(280)323sin(280sin 230+++−+=伏, 则u 的有效值为_____。
(Ａ) Ｕ＝30+80+80+30=220Ｖ(B) 120.83U ==V(Ｃ) 90.55U == V解：80∠(-2π/3)+80∠(2π/3)=160∠(2π/3)=-80， 323sin(280)323sin(280πωπω++−t t =)3sin(280πω−t V90.55U == V。
电工技术-第十二章 非正弦交流电
❖ 2. 负载方面
❖ 电路中含有非线性元件，则元件在外加电压的作用下， 电路中的电流不与电压成正比变化。
例如半波整流电路，虽然电源电动势是正弦波，但电 路中的电流及负载上所输出的电压却是非正弦的。
（a）半波整流电路
（b）电路的电流波形
图12-1-2 半波整流的电路与波形
二、非正弦周期量的傅里叶级数表达式
❖ 二次以上谐波统称为高次谐波，频率均为 基波频率的整数倍。
❖ 实验和理论分析都证明：
❖非正弦交流电可以被分解成一 系列频率成整数倍的正弦成分。
❖也就是说，我们在实际工作中 所遇到的各种波形的周期信号， 都可以由许多不同频率的正弦 波组成。
❖ 两个不同频率的正弦电压相加的情况。
设 u1 Um sint
X Ln nL
X Cn
1
nC
电阻是一个恒定值。
❖ （3）分别计算各谐波分量单独作用时电路 中的电流或电压。
❖ （4）利用叠加原理，把所求得的同一支路 的各电流分量（或电压分量）进行叠加， 即可得各支路电流（或电压）。
本章小结
❖ 一、非正弦量的（傅里叶级数）分解 ❖ 1. 周期性的非正弦电压或电流均能被分解为一系列
❖ 凡是奇次对称的信号都只有基波、三次、五次等奇次谐波，而不存在直 流成分以及二次、四次等偶次谐波。
（a）
（b）
（c）
图12-1-4 奇次对称性波形
2. 偶次对称性
❖ 偶次对称谐波的特点是： ❖ 波形的后半周期重复前半周期的变化，且符号相同（即前半
周与后半周都是正的），波形所具有的这种性质被称为偶次 对称性。
《电工技术》
第十二章 非正弦交流电
12-1 非正弦量的 （傅里叶级数）分解与计算
《电路》第12章三相电路
Z
N–
+
B Zl
Z
–
+
C Zl
Z
A
a
+
Zl
Z
–
N
n
A
a
+
Zl
Z
–
N
n
例2 一对称三相负载分别接成Y和型。分别求线电流。
A A
Z
Z
Z
B
B
C
C
解
Z
Z
Z
11.3 不对称三相电路的概念
不对称 讨论对象
电源不对称（一般程度小，系统保证其对称)。 电路参数(负载)不对称情况很多。
电源对称，负载不对称
主要了解：中性点位移。
2. 对称情况下，各相电压、电流都是对称的，可采用一 相（A相）等效电路计算。只要算出一相的电压、电流， 则其它两相的电压、电流可按对称关系直接写出。
3. Y形联接的对称三相负载，其相、线电压、电流的关系 为：
2. Y–联接
A + _N
C+
+B
a
ZZ
c
Z
b
解法一
负载上相电压与线电压相等：
计算相电流： 线电流：
+
B
B
–
+
C
C N
X, Y, Z 接在一起的点称为Y联接,对称 三相电源的中性点，用N表示。
（2）三角形联接(联接)
三个绕组始末端顺序相接。
– +
–
A
+
A
–
B
–
B
+
+
C
C
三角形联接的对称三相电源没有中点。
第十二章 非正弦周期电流电路
is1
is3
华东理工大学 上 页 下
页
§12-3 有效值、平均值和平均功率
一. 有效值
根据周期量有效值的定义, 为其方均根值:
I
1 T
0
T
[it ] dt U
2
1 T
0
T
[u t ]2 dt
it I 0 I km cos(k1t k )
k 1
P U 0 I 0 U k I k cos k
k 1
（三角函数的正交性）
U 0 I 0 U 1 I1 cos1 U 2 I 2 cos 2 U k I k cos k
Um Im 式中 : U k , Ik , k uk ik , k 1,2, 华东理工大学 2 2
0
ui
t
+ uo
③非正弦激励下的线性电路
0
－
+
0
t
ui
t
uo
0
t
页
－ 华东理工大学 上 页 下
§12-2 周期函数分解为傅里叶级数 (谐波分析) 一. 数学分析
设非正弦周期电流i(t)=i(t+T) ,当满足狄里赫利条件 ( ① i(t)在一周期内连续or有有限多个第一类间断点; ② i(t)在一周期内有有限多个极大值与极小值 )时, 可展成收敛的傅里叶级数：
I av
1 T i dt 0 T
例：正弦电流的平均值 为 1 T 2 I av 0 I m cost dt I M 0.898 I M 0.637 I T 恒定分量（直流分量） 磁电系仪表：
电磁系仪表： 全波整流仪表：
第12章 共射极放大电路
iC iB ( I BQ ib ) I BQ iB I CQ ic uCE U CEQ uce
uBE U BEQ ui
四、静点工作点的选择与波形 失真 当放大电路静态工作点设置不得当时，会造成放大电路的波
形失真，本节通过实验来观察波形失真的现象。 （一）操作 1．框图：
3．现象：
（1）由于静态工作点已经调整适当，此时观察到的波形图 并无失真。
（2）通过两个信号输入调节旋钮 YA 和 YB 上标示的电压刻 度（V / 格）以及荧光屏上的波形幅度可以测出输入电压和输出 电压的幅值，并可以算出放大器的电压放大倍数。 （3）两波形的相位相差为 180，这是单管发射极放大电 路的倒相作用。
结论 （1）共发射极单管放大电路的输出波形的正半周（波形上 半周）出现平顶，是截止失真；若输出波形的负半周（即波形 下半部）出现平顶，是饱和失真。
（2）出现失真的原因：
Q 点设置不当，应调整放大管基极偏置电阻，使静态工作 点处于适当的位置。
3．双向失真 （1）现象 Rb适中，输出波形无失真，增大信号源 的电压幅度，使放大器的输入信号增大，这 时输出电压信号波形的上、下部分都出现平 顶，同时产生了饱和失真和截止失真——称 为双向失真，如图所示。 （2）原因
由晶体管的放大原理有：
再根据直流通路可得
二、共发射极放大电路
[例1] 在下图中，设 UE = 12 V，Rb = 200 k，Rc = 2.4 k， = 50，试计算静态工作点。 解：根据静态工作点计算公式
Ib
U E U BEQ Rb
UE 12 A 60 μA 3 Rb 20010
输入信号的电压幅度太大，在信号的正半造成饱和失真， 负半周造成截止失真。
电路和磁路（ＰＤＦ）
第十二章电路和磁路
电路和磁路
三、注意几个问题 在用基尔霍夫定律求解电路时，应注意 以下几个问题：
1. 上面对加、减号的约定是与我们这里给出的方程式形式相 对应的。 有的书中给出的基尔霍夫第二方程式与式（12-2） 的形式不同，加、减号的约定也有差异。
2. 电路中若有n个节点，可以列出n − 1个独立的节点电流方 程式, 另一个可由这n − 1个组合得出。
∫ ∫sj ·dS=0 .
上式的积分只有在导体与S的截面上才不为零，而在导 体与S的截面上对电流密度的积分正是该支路上的电流, 于是立即可以得到式（12-1）。
3
第十二章电路和磁路
电路和磁路
I2
I1
P
I3
I5
I4
图12-1
第十二章电路和磁路
电路和磁路
图 12-2. 4
第十二章电路和磁路
电路和磁路
电路和磁路
一、交流电的类型
如果通过导体已知截面的电流大小和方向都在随时间 变化，这种电流称为变电流，而如果变化是周期性 的，这种变电流就称为交变电流, 或称交流电 （alternating current circuit）。
9
第十二章电路和磁路
电路和磁路
交流电有多种类型。依照余弦（或正弦）函数的形式 随时间变化的交流电，称为简谐交流电，或称简谐 波，如图12-4（a）所示，市电就属于这种类型。示 波管和显像管偏转线圈中的扫描电流属于锯齿波 （），如图12-4（b）所示。
3. 电路中若有m个独立回路，可以列出m个独立的回路电压 方程式。判断电路中独立回路的数目，可以把电路看作鱼 网，其中有多少个网孔，就有多少个独立的回路。
4. 独立方程的数目要与未知量的数目相等，方程组才有惟一 解。
第12章三相电路
+
uA
-
A
uC
+ -
uB
+
△ 形 B 连 接 C
结束
3. 三相电路 三相负载： 形或△ 三相负载：按Y形或△ 形或 形连接的三个独立负载。 形连接的三个独立负载。 三相电路： 三相电路：三相电源与 三相负载的组合电路。 三相负载的组合电路。
9
简单三相电路” (1) “简单三相电路” 简单三相电路 连接形式有 三相三线制 Y−Y、 Y−△ − 、 −
2010年11月20日星期六
2
§12-1 三相电路 结束
在世界各国的电力系 统中， 统中，供电方式绝大 多数都采用三相制 三相制。 多数都采用三相制。 原因是采用三相制 三相制供 原因是采用三相制供 比单相制供电有 供电有更 电比单相制供电有更 多的优越 优越性 多的优越性： 在电能的生产方面 三相交流发电机比同 样尺寸的单相交流发 电机容量大； 电机容量大；
结束
2010年11月20日星期六
7
2. 三相电源的连接 (1)Y(星)形连接 星 形连接 三个电源的一端汇集于一点N， 三个电源的一端汇集于一点 ， . 称中(性)点或零点。 从中 UC 性 点 零点。 + 点引出的导线称为中线 中线。 点引出的导线称为中线。 从三个电源的另一端引出的 导线A、 、 称为端线。 称为端线 导线 、B、C称为端线。 相线，俗称火线 火线。 或相线，俗称火线。
结束
a = 1∠120o，是工程上为方便而引入的相量算子。 是工程上为方便而引入的相量算子。 ∠
2010年11月20日星期六 4
* 了解相量算子 a = 1∠120o ∠ 超前方向)旋转 乘a，相当于原相量逆时针 超前方向 旋转 ，相当于原相量逆时针(超前方向 旋转120o a2 = 1∠240o = 1∠−120o = 1／a ∠ ∠ ／ 相当于原相量顺时针(滞后方向 旋转120o 滞后方向)旋转 乘a2相当于原相量顺时针 滞后方向 旋转 . . . UA =U∠0o UB滞后 UA120o ∠ 将a写成代数形式 写成代数形式 . . 可以表示成 UB =a2 UA . . 1 +j 3 a=− 也可以说 UA超前 UB120o 2 2 . . 表示成 UA= a UB 1−a = 3 − j 3 = 3 −120o − . . 2 2 而UC =aUA . 2 也可以写成 a UB 1−a2 = 3 + j 3 = 3 120o − 2 2
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第十二章非正12—1 求图示波形的傅里叶级数的系数。
解：f(t) 在第一个周期(πω21=T )内的表达式为题12-1图⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧---+--=)()()()(111πωαπωαπωαπt E t E t E t f m m mπωααωααωπ≤≤≤≤--≤≤-t t t 111 显然,f(t)为奇函数 f(t)展开为傅里叶级数为∑∞=++=1110)cos cos ()(k k k t k b t k a a t f ωω由于f(t)为奇函数 , 所以 , 有0,00==k a a 。
而 b k =)()sin()()()]sin()([21111110t d t k t a E t d t k t a E a mam ωωπωπωωωππ--+⎰⎰=⎭⎬⎫+--++-⎩⎨⎧a t k k t k k t t k k a E a t k k t k k t a E m m πωωωωππωωωπ)]sin(1)cos()cos([0)]sin(1)cos([2121111211=ka a a k E msin )(22-π (k=1,2,3…….)12—2 以知某信号半周期的波形如图所示。
试在下列各不同条件下画出整个周期的波形：（1）a0=0; (2) 对所有k，b k=0;（3）对所有 k，a k=0;（4）a k和b k为零，当k为偶数时。
解：（1）当a0=0时，在后半个周期上，只要画出f(t)的负波形与横轴（t 轴）所围面积与已给出的前半个周期波形所围面积相等即可。
以下题解12—2 图中的（b），（c）图均满足此条件。
题12-2图（a）（b）（c）题解12-2图（2）对所有k,b k=0,f(t)应为偶函数，即有f(t)=f(-t),波形如题解12—2图（a）所示，波形对称于纵轴。
（3）对所有k,a k=0,f(t)应为奇函数，即f(t)= -f(-t),波形如图（b）所示，波形对称于原点。
（4）a k 和 b k 为零，当k 为偶数时，此时，f(t) 称为奇谐波函数，既 a k 和 b k只出现在k 为奇数时，函数f(t) 满足镜对称性质，即有f(t)= -f(t+2T) , 波形如图（c ）所示。
注：12—1和12—2题的分析说明，周期函数含有某种对称时，其傅里叶级数中不含某些谐波。
充分利用这些对称性，可使分解计算大为简化。
需要指出的是函数的奇偶性除与函数本身有关外，还与计时起点的选择有关，因此，对某些周期函数可以适当选择计时起点，使它成为奇函数或偶函数，以便简化傅立叶级数的系数计算。
12—3 一个RLC 串联电路。
其R=11Ω,L=0.015H ,C=70μF , 外加电压为 u(t) = [11+141.4cos(1000t) –35.4sin(2000t)]V 试求电路中的电流i(t) 和电路消耗的功率。
解： RLC 串联电路如题解12—3图所示，电路中的非正弦周期电压 u(t) 为已知，分别有直流分量，基波和二次谐波分量。
可写出电流相量的一般表达式()()())1()(..C k L k j R U Z U I k k k k ωω-+==其中 ,ωL =15Ω,C ω1=14.286Ω.电压分量分别作用，产生的电流和功率分量为：（1）直流 0U =11V 作用时，电感L 为短路，电容 C 为开路，故，I 0=0 ,0P =0 。
（2） 基波 (k=1)作用时，令.U =10000∠VZ )1(= R+j(ωL — C ω1) =（11+j0.714）Ω=11.023071.3∠Ω故 ()1.I =)1()1(Z U = 071.3023.110100∠∠ =9.072071.3-∠ AP )1(= I2)1(R = 905.28 W（3）二次谐波 (k=2) 作用时，令)2(U =9024.35∠=25.032090∠VZ )2(=R +j(2ωL — C ω21) =11 +j(30 — 21⨯14.286) =25.366Ω∠03.64故)2(I = )2()2(Z U =03.64366.2590032.25∠∠= 0.98707.25∠ AP )2(=I2)2(R =(0.98)2⨯11 = 10.716 W所以，电路中的电流 i (t) 为i (t) = 0 +⨯29.072 cos (1000t — 3.710) +⨯20.987 cos (2000t +25.70)= 12.83 cos (1000t - 3.710) – 1.396 sin (2000t – 64.30) A 电路消耗的功率P = 0P +)1(P +)2(P = 905.28 +10.716 = 916 W 12—4 电路如图所示，电源电压为S u (t) = [ 50 + 100 sin ( 314t ) – 40 cos (628t ) + 10 sin ( 942t + 200)]V试求电流 i (t) 和电源发出的功率及电源电压和电流的有效植。
解：设电流i (t) 第 k 次谐波的向量为)(k m I (采用复振幅相量)。
（1）当 k =0 ，直流分量U 0= 50V 作用时，电路如题解 12-4 图所示，有Z 0=R +R 1= 60Ω ，故I 0=00Z U =6050=65AP 0s = U 0I 0= 50⨯65= 41.667 W（2）当 k=1 ，即 ϖ=1ϖ=314s rad , 基波向量 )1(sm U = 100090-∠V 作用时，有Z )1(= 10 + j3.14 +4.315010157.01j j ++= 71.267 031.19-∠ Ω故)1(m I =)1()1(Z U sm = 031.19267.7190100-∠-∠ = 1.403069.70-∠ AP )1(s = 2100)1()1(31.19cos 403.110021)31.19cos(⨯⨯=-m sm I U=66.2 W（3）当 k=2 ，即 s rad 62821==ωω, 二次谐波向量0)2(040∠-=sm U V 作用时，有Z Ω-∠=++++=0)2(552.54528.428.625010314.0128.610j j j故A Z U I sm m 00)2()2()2(448.125941.0552.54528.42040-∠=-∠∠-==)2()2(21sm s U P =WI m 915.10552.54cos 94.04021)552.54cos(00)2(=⨯⨯⨯=-（4）当k=3，即s rad 94231==ωω，三次谐波相量()V U SM ︒-∠=70103.作用时，有()Ω︒-∠=++++=19.51552.202.945010471.0142.9103j j j Z故()()()()()()WI U P A Z U I m SM S SM m 526.119.51cos 487.01021)19.51cos(2181.18487.019.51552.20701033333.3.=⨯⨯=︒-=︒-∠=︒-∠︒-∠==所以，电流i （t ）为()At t t t i )19.71942sin(487.0)552.54628cos(941.0)31.19314sin(403.1833.0︒++︒+-︒++==电源发出的平均功率s P 为()()()WP P P P P S S S S S 308.120526.1915.102.66667.413210=+++=+++=电源电压有效值()()()VU U U U U SM SM SM S 378.91210240210050222222223222120=+++=+++=电源电流有效值AI 497.12487.02941.02403.1652222=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛=12—5有效值为100 V 的正弦电压加在电感 L 两端时，得电流 I=10A ，当电压中有3次谐波分量，而有效值仍为100 V 时，得电流 I=8A 。
试求这一电压的基波和3次谐波电压的有效值。
解：根据题意，可求得基波时的感抗为=1L Z Ω==1010100L ω故，三次谐波时的感抗为Ω==3033L Z L ω所以，含有基波和三次谐波的电压和电流有效值应满足下列关系式2233211223218100=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+L L Z U Z U U U代入参数值并整理得900649100232122321⨯=+=+U U U U解之，得V U VU 64.6314.7710014.7781009006422321=-==-⨯=12—6 以知 RLC 串联电路的端口电压和电流为A t t t i V t t t u )]942cos(755.1)314cos(10[)()]30942cos(50)314cos(100[)(30θ++=-+=试求：（1）R,L,C 的值；（2）3θ的值；（3）电路消耗的功率。
解：RLC 串联电路如图12—6图所示，电路中的电压 )(t u 和电流 )(t i 均为已知，分别含有基波和三次谐波分量。
(1)由于基波的电压和电流同相位，所以，RLC 电路在基波频率下发生串联谐振。
故有Ω===101010011m m I U R且 111X X X c L ==即)314(11111s rad X C L ===ωωω而三次谐波的阻抗为1111133810)313(10313X j X X j CjL j R Z +=-+=-+=ωω3Z 的模值为Ω===+=49.28755.150)38(10332123m m I U X Z解得 1X 为Ω=⨯-=004.10649)1049.28(221X故F X C mH X L μωω34.318004.103141186.31314004.10.1111=⨯=====（2）三次谐波时，3Z 的阻抗角为1345.69668.2arctan 1038arctan ===X ϕ而3033330θφφϕ--=-=i u则30345.9930-=--=ϕθ（3） 电路消耗的功率 P 为W P 4.51545.69cos 755.1502110100210=⨯⨯+⨯⨯=12—7图示电路各电源的电压为V t u Vt t u V t t u Vt u V t t u VU )sin(210)]5cos(210)cos(280[)]3cos(220)cos(230[)3cos(250)]5cos(220)cos(2100[6015114113121110ωωωωωωωω=+=+==+==3u（1） 试求;,,,,af ae ad ac ab U U U U U（2） 如将 0U 换为电流源 )7cos(221t i s ω= ，试求电压agae ad ac U U U U ,,,（ab U 等为对应电压的有效值）。