广东省汕头市2015届高考数学模拟试卷(文科)(12月份)

广东省汕头市2015届高考数学模拟试卷（文科）（12月份）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）集合A={﹣1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个2．（5分）复数的实部与虚部之和为（）A．﹣1 B．2C．1D．03．（5分）如图是某几何体的三视图，其中俯视图和侧视图是半径为1的半圆，主视图是个圆，则该几何体的全面积是（）A．πB．2πC．3πD．4π4．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则z=2x+y的最小值是（）A．2B．4C．6D．75．（5分）已知平面向量，满足||=，||=2，且（﹣）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．6．（5分）设l，m是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题中正确的是（）A．若l∥α，α∩β=m，则l∥m B．若l⊥α，l∥β，则α⊥βC．若l∥α，m∥α，则l∥m D．若l∥α，m⊥l，则m⊥α7．（5分）如图，在程序框图中，若输入n=3，则输出k的值是（）A．2B．3C．4D．58．（5分）下列说法中，正确的是（）A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题B．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”C．命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件9．（5分）设函数f（x）=sin（2x+），则下列结论正确的是（）A．f（x）的图象关于直线x=对称B．f（x）的图象关于点（，0）对称C．f（x）的最小正周期为π，且在上为增函数D．把f（x）的图象向右平移个单位，得到一个偶函数的图象10．（5分）设f（x）与g（x）是定义在同一区间上的两个函数，若函数y=f（x）﹣g（x）在x∈上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”．若f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在上是“关联函数”，则m的取值范围为（）A．（﹣，﹣2]B．C．（﹣∞，﹣2]D．（﹣，+∞）二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题4分，满分20分．）（一）必做题（11～13题）11．（4分）为了了解某地区2015届高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁～18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如图：根据如图可得这100名学生中体重在的学生人数是．12．（4分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，∠A=60°，c=2，且△ABC的面积为，则a边的长为．13．（4分）已知函数f（x）=mx2+nx﹣2（m＞0，n＞0）的一个零点是2，则+的最小值为．14．（4分）（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（参数t∈R），圆的参数方程为（参数θ∈，求函数f（x）的值域．19．（14分）如图，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=2，AB=4．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：AC⊥平面BCE；（3）求三棱锥E﹣BCF的体积．20．（14分）设函数g（x）=x3+ax2的图象在x=1处的切线平行于直线2x﹣y=0．记g（x）的导函数为f（x）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）记正项数列{a n}的前n项和为S n，且∀n∈N+，S n=f（a n），求a n；（3）对于数列{b n}满足：b1=，b n+1=f（b n），当n≥2，n∈N+时，求证：1＜++…+＜2．21．（14分）已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a≤0）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）若对任意的a∈（﹣3，﹣2），x1，x2∈，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．广东省汕头市2015届高考数学模拟试卷（文科）（12月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）集合A={﹣1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个考点：子集与真子集．分析：根据题意，列举出A的子集中，含有元素0的子集，进而可得答案．解答：解：根据题意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有{0}、{0，1}、{0，﹣1}、{﹣1，0，1}，四个；故选B．点评：元素数目较少时，宜用列举法，当元素数目较多时，可以使用并集的思想．2．（5分）复数的实部与虚部之和为（）A．﹣1 B．2C．1D．0考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求得实部和虚部后求和得答案．解答：解：∵=，∴复数的实部与虚部之和为1+1=2．故选：B．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．（5分）如图是某几何体的三视图，其中俯视图和侧视图是半径为1的半圆，主视图是个圆，则该几何体的全面积是（）A．πB．2πC．3πD．4π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图知几何体的直观图是半个球，其半径为1，则该几何体的全面积由半个球的表面积和一个大圆面积组成，分别代入球的表面积和圆面积公式，即可求出答案．解答：解：由三视图知几何体的直观图是半个球，全面积为，故选C．点评：本题考查简单几何体的三视图和球的面积计算，属中等题．其中根据三视图判断出几何体的形状是解答的关键．4．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则z=2x+y的最小值是（）A．2B．4C．6D．7考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．解答：试题分析：做出可行域，解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（2，0），此时z=2×2+0=4，故选：B点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．5．（5分）已知平面向量，满足||=，||=2，且（﹣）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量垂直的条件即为数量积为0，再由向量夹角公式和范围，即可得到夹角．解答：解：由于||=，||=2，且（﹣）⊥，则（）=0，即有==3，cos＜＞===，由于＜＞∈，则与的夹角为．故选A．点评：本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查夹角公式及运用，考查运算能力，属于基础题．6．（5分）设l，m是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题中正确的是（）A．若l∥α，α∩β=m，则l∥m B．若l⊥α，l∥β，则α⊥βC．若l∥α，m∥α，则l∥m D．若l∥α，m⊥l，则m⊥α考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：阅读型；空间位置关系与距离．分析：由线面平行的性质定理可判断A；又线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理即可判断B；由线面平行的性质定理可判断C；由线面平行的性质定理可判断D．解答：解：A．若l∥α，α∩β=m，．则l，m平行或异面，只有l⊂β，才有l∥m．故A错；B．若l⊥α，l∥β，则由线面平行的性质定理，l⊂γ，γ∩β=m，则l∥m，又l⊥α，故m⊥α，由面面垂直的判定定理得，α⊥β，故B正确；C．若l∥α，m∥α，则由线面平行的性质可得l，m平行、相交、异面，故C错；D．若l∥α，m⊥l，则m与α平行、相交或在平面内，故D错．故选B．点评：本题主要考查直线与平面平行、垂直的判定与性质定理的应用，考查空间想象能力，注意定理的条件的全面性，以及直线与平面的位置关系，是一道基础题．7．（5分）如图，在程序框图中，若输入n=3，则输出k的值是（）A．2B．3C．4D．5考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，k的值，当n=127，满足条件n＞100，输出k的值为4．解答：解：执行程序框图，有n=3，k=0n=7，不满足条件n＞100，有k=1n=15，不满足条件n＞100，有k=2n=31，不满足条件n＞100，有k=3n=63，不满足条件n＞100，有k=4n=127，满足条件n＞100，输出k的值为4．故选：C．点评：本题主要考察了程序算法和框图，属于基本知识的考查．8．（5分）下列说法中，正确的是（）A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题B．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”C．命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件考点：命题的真假判断与应用．分析：A先写出逆命题再利用不等式性质判断；B中“∃x∈R，x2﹣x＞0”为特称命题，否定时为全称命题；C命题“p∨q”为真命题指命题“p”或命题“q”为真命题，只要有一个为真即可；D应为必要不充分条件．解答：A“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”，m=0时不正确；B中“∃x∈R，x2﹣x＞0”为特称命题，否定时为全称命题，结论正确；C命题“p∨q”为真命题指命题“p”或命题“q”为真命题，只要有一个为真即可，错误；D应为必要不充分条件．故选B．点评：本题考查命题真假的判断，问题涉及不等式性质、复合命题真假判断、全称命题及特称命题、命题的否定、充要条件等，考查面较广．9．（5分）设函数f（x）=sin（2x+），则下列结论正确的是（）A．f（x）的图象关于直线x=对称B．f（x）的图象关于点（，0）对称C．f（x）的最小正周期为π，且在上为增函数D．把f（x）的图象向右平移个单位，得到一个偶函数的图象考点：命题的真假判断与应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：通过x=函数是否取得最值判断A的正误；通过x=，函数值是否为0，判断B 的正误；利用函数的周期与单调性判断C的正误；利用函数的图象的平移判断D的正误．解答：解：对于A，当x=时，函数f（x）=sin（2×+）=，不是函数的最值，判断A的错误；对于B，当x=，函数f（x）=sin（2×+）=1≠0，判断B的错误；对于C，f（x）的最小正周期为π，由，可得，k∈Z，在上为增函数，∴选项C的正确；对于D，把f（x）的图象向右平移个单位，得到函数f（x）=sin（2x+），函数不是偶函数，∴选项D不正确．故选：C．点评：本题考查三角函数的基本性质的应用，函数的单调性、奇偶性、周期性，基本知识的考查．10．（5分）设f（x）与g（x）是定义在同一区间上的两个函数，若函数y=f（x）﹣g（x）在x∈上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”．若f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在上是“关联函数”，则m的取值范围为（）A．（﹣，﹣2]B．C．（﹣∞，﹣2]D．（﹣，+∞）考点：函数零点的判定定理．专题：压轴题；新定义．分析：由题意可得h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m 在上有两个不同的零点，故有，由此求得m的取值范围．解答：解：∵f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在上是“关联函数”，故函数y=h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m在上有两个不同的零点，故有，即，解得﹣＜m≤﹣2，故选A．点评：本题考查函数零点的判定定理，“关联函数”的定义，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题4分，满分20分．）（一）必做题（11～13题）11．（4分）为了了解某地区2015届高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁～18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如图：根据如图可得这100名学生中体重在的学生人数是24．考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：根据频率分布直方图，求出体重在的频率与频数即可．解答：解：根据频率分布直方图，得；体重在的频率是（0.05+0.07）×2=0.24，∴对应的学生人数是100×0.24=24．故答案为：24．点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应根据频率、频数与样本容量的关系进行解答，是基础题．12．（4分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，∠A=60°，c=2，且△ABC 的面积为，则a边的长为．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积，c，sinA的值代入求出b的值，再利用余弦定理求出a的值即可．解答：解：∵△ABC中，∠A=60°，c=2，且△ABC的面积为，∴bcsinA=，即b=1，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+4﹣2=3，则a=，故答案为：点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．13．（4分）已知函数f（x）=mx2+nx﹣2（m＞0，n＞0）的一个零点是2，则+的最小值为8．考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：由题意得，4m+2n=2，从而化简得2m+n=1；化（+）（2m+n）=2+2++，利用基本不等式求解．解答：解：由题意得，4m+2n=2；故2m+n=1；（+）（2m+n）=2+2++≥4+4=8；（当且仅当=，即n=，m=时，等号成立）故答案为：8．点评：本题考查了函数零点的定义及基本不等式的应用，属于基础题．14．（4分）（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（参数t∈R），圆的参数方程为（参数θ∈，求函数f（x）的值域．考点：平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题；三角函数的求值；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：（1）运用模的公式，即可得到；（2）运用平面向量的数量积的坐标表示和两角差的正弦公式及二倍角的余弦公式，即可得到；（3）由x∈，则2x﹣∈，运用正弦函数的图象和性质，即可得到值域．解答：解：（1）=（1，cos2x）=（1，﹣），则||==；（2）向量=（1，cos2x），=（sin2x，﹣），则函数f（x）=•=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），f（+）=2sin（α）=﹣2sinα=，则sinα=﹣，f（α+）=2sin（2﹣）=2cos2α=2（1﹣2sin2α）=2（1﹣2×）=；（3）由x∈，则2x﹣∈，sin（2x﹣）∈，则f（x）∈．则f（x）的值域为．点评：本题考查平面向量的数量积的坐标公式和性质，考查两角和差的正弦公式，及二倍角的余弦公式的运用，考查正弦函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题．19．（14分）如图，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=2，AB=4．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：AC⊥平面BCE；（3）求三棱锥E﹣BCF的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）AF∥BE，BE⊂平面BCE，AF⊄平面BCE，运用判定定理可判断．（2）运用勾股定理可判断AC⊥BC，再根据线面的转化，AF⊥平面ABCD，AF∥BE，BE⊥平面ABCD，BE⊥AC，得出AC⊥平面BCE，（3）CM⊥平面ABEF，V E﹣BCF=V C﹣BEF得出体积即可判断．解答：解：（1）∵四边形ABEF为矩形，∴AF∥BE，BE⊂平面BCE，AF⊄平面BCE，∴AF∥平面BCE．（2）过C作CM⊥AB，垂足为M，∵AD⊥DC，∴四边形ADCM为矩形，∴AM=MB=2∵AD=2，AB=4．∴AC=2，CM=2，BC=2，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，∵AF⊥平面ABCD，AF∥BE，∴BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC，∵BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BC∩BE=B，∴AC⊥平面BCE．（3）∵AF⊥平面ABCD，AF⊥CM，∵CM⊥AB，AF⊂平面ABEF，AB⊂平面ABEF，AF∩AB=A，∴CM⊥平面ABEF，∴V E﹣BCF=V C﹣BEF==×2×4×2．点评：本题综合考查了空间直线，几何体的平行，垂直问题，求解体积，属于中档题．20．（14分）设函数g（x）=x3+ax2的图象在x=1处的切线平行于直线2x﹣y=0．记g（x）的导函数为f（x）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）记正项数列{a n}的前n项和为S n，且∀n∈N+，S n=f（a n），求a n；（3）对于数列{b n}满足：b1=，b n+1=f（b n），当n≥2，n∈N+时，求证：1＜++…+＜2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；数列与不等式的综合．专题：导数的综合应用；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：（1）求出原函数的导函数，得到函数在x=1时的导数，由在x=1处的切线平行于直线2x﹣y=0列式求得a的值，则函数解析式可求；（2）由S n=f（a n）得到数列递推式，求出首项，取n=n﹣1得另一递推式，作差后可判断数列{a n}是以1为首项，以1为公差的等差数列，则其通项公式可求；（3）由b n+1=f（b n）得b n+1=b n（b n+1），取倒数后变形，然后利用裂项相消法求++…+，放缩证得不等式右边，直接缩小证明不等式左边．解答：（1）解：函数g（x）=x3+ax2的导函数为f（x）=x2+2ax，由于在x=1处的切线平行于2x﹣y=0，∴1+2a=2，解得：a=，即f（x）=x2+x；（2）解：S n=f（a n）=，当n=1时，，解得：a1=1或a1=0（舍去），当n≥2时，，，即有（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1=1．∴数列{a n}是以1为首项，以1为公差的等差数列，则a n=1+（n﹣1）=n；（3）证明：∵b n+1=b n（b n+1），∴，即有．∴T n=++…+==．而当n≥2时，T n=++…+≥．∴1＜++…+＜2．点评：本题考查了利用导数研究过去线上某点处的切线方程，考查了等差关系的求得，训练了裂项相消法求数列的前n项和，训练了利用放缩法证明数列不等式，属难题．21．（14分）已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a≤0）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）若对任意的a∈（﹣3，﹣2），x1，x2∈，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=2lnx+，求导，令f′（x）=0，解方程，分析导数的变化情况，确定函数的极值；（Ⅱ）当a＜0时，求导，对导数因式分解，比较两根的大小，确定函数f（x）单调区间；（Ⅲ）若对任意a∈（﹣3，﹣2）及x1，x2∈，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求函数f（x）的最大值和最小值，解不等式，可求实数m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）依题意知f（x）的定义域为（0，+∞），当a=0时，f（x）=2lnx+，f′（x）=﹣=，令f′（x）=0，解得x=，当0＜x＜时，f′（x）＜0；当x≥时，f′（x）＞0又∵f（）=2ln=2﹣2ln2∴f（x）的极小值为2﹣2ln2，无极大值．（Ⅱ）f′（x）=﹣+2a=，当a＜﹣2时，﹣＜，令f′（x）＜0 得0＜x＜﹣或x＞，令f′（x）＞0 得﹣＜x＜；当﹣2＜a＜0时，得﹣＞，令f′（x）＜0 得0＜x＜或x＞﹣，令f′（x）＞0 得＜x＜﹣；当a=﹣2时，f′（x）=﹣≤0，综上所述，当a＜﹣2时f（x），的递减区间为（0，﹣）和（，+∞），递增区间为（﹣，）；当a=﹣2时，f（x）在（0，+∞）单调递减；当﹣2＜a＜0时，f（x）的递减区间为（0，）和（﹣，+∞），递增区间为（，﹣）．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当a∈（﹣3，﹣2）时，f（x）在区间上单调递减，当x=1时，f（x）取最大值；当x=3时，f（x）取最小值；|f（x1）﹣f（x2）|≤f（1）﹣f（3）=（1+2a）﹣=﹣4a+（a﹣2）ln3，∵（m+ln3）a﹣ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|恒成立，∴（m+ln3）a﹣2ln3＞﹣4a+（a﹣2）ln3整理得ma＞﹣4a，∵a＜0，∴m＜﹣4恒成立，∵﹣3＜a＜﹣2，∴﹣＜﹣4＜﹣，∴m≤﹣．点评：考查利用导数研究函数的极值、单调性和最值问题，在求函数的单调区间时，体现了分类讨论的思想方法；恒成立问题，转化为函数的最值问题，体现了转化的思想．属难题．。