陕西省西安市陕西师大附中2020-2021学年高二下学期期末数学(理)试题

陕西省西安市陕西师大附中2020-2021学年高二下学期期末数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,2]-∞-B ．[2,)+∞C ．(,2]-∞D ．[2,)-+∞2．实数a ，b ，“a b >”是“ln ln a a b b +>+”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列说法正确的是（ ）．A ．命题“x ∃∈R ，使得210x x ++<”的否定是：“x ∀∈R ，210x x ++>”B ．命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的否命题是：“若2320x x -+=，则1x ≠或2x ≠”C ．直线1l ：210ax y ++=，2l ：220x ay ++=，12l l //的充分条件是12a = D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题是真命题4．在射击训练中，某战士射击了两次，设命题p 是“第一次射击击中目标”，命题q 是“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是（ ）．A ．()()p q ⌝∨⌝为真命题B ．()p q ∨⌝为真命题C ．()()p q ⌝∧⌝为真命题D ．p q ∨为真命题 5．已知函数221,1(){,1x x f x x ax x +<=+≥，若[]2(0)4f f a =+，则实数a =（ ）A ．0B ．2C ．2-D ．0或26．设随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，若(1)P p ξ>=，则(10)P ξ-<<=（ ） A ．12p + B ．1p -C ．12p - D ．12p -7．已知()1f x +在偶函数，且()f x 在[)1,+∞单调递减，若()20f =，则()0f x >的解集为（ ）A ．()1,1-B ．0,1C ．1,2D ．()0,28．设P 和Q 是两个集合，定义集合{}|P Q x x P x Q -=∈∉，且，如果{}2|log 1P x x =<，{}|21Q x x =-<，那么P Q -等于（ ）A ．{}|01x x <<B ．{}|01x x <≤C ．{}|12x x ≤<D ．{}|23x x ≤<9．已知ln3x =，0.5log 2y =，12z e =，则（ ）． A ．y x z <<B ．z y x <<C ．z y x <<D ．y z x <<10．执行如图的程序框图，若10p =，则输出的S 等于（ ）．A ．10231024B ．10251024C ．20472048D ．2049204811．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线y ＝f (x )，一种是平均价格曲线y ＝g (x )(如f (2)＝3表示开始交易后第2小时的即时价格为3元；g (2)＝4表示开始交易后两个小时内所有成交股票的平均价格为4元).下面所给出的四个图象中，实线表示y ＝f (x )，虚线表示y ＝g (x )，其中可能正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．12．函数()ln1e exf x x+=-的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4二、填空题13．计算：=⎰________．14．设随机变量(,)XB n p ，若()3E X =，()2D X =，则p =________．15．已知集合1|28,2x A x x R ⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭，{}|11,B x x m x R =-<<+∈，若x B ∈成立的一个充分不必要条件是x A ∈，则实数m 的取值范围是 ．16．对于函数()f x 和()g x ，设{}{}|()0|()0x f x x g x αβ∈=∈=，，若对所有的αβ，都有1αβ-≤，则称()f x 和()g x 互为“零点相邻函数”.若函数1()2x f x e x -=+-与2()3g x x ax a =--+互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是______.三、解答题17．已知函数()322f x x x =-+-，()g x x a a x =-++．若对于任意的1x ∈R ，都有2x ∈R ，使得()()12f x g x =，试求a 的取值范围．18．某学校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率； （2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？ 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，19．已知函数3()ln 42x a f x x x =+--，其中a R ∈，且曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线12y x =(1)求a 的值；(2)求函数f(x)的单调区间．20．某班级有3名同学报名参加学校组织的辩论赛，现有甲、乙两个辨题可以选择，学校决定让选手以抽取卡片（除上面标的数不同外其他完全相同）的方式选择辩题，且每名选手抽取后放回．已知共有10张卡片，卡片上分别标有110共10个数．若抽到卡片上的数为质数（2，3，5，7），则选择甲辨题，否则选择乙辩题． （1）求这3名同学中至少有1人选择甲辨题的概率．（2）用X 、Y 分别表示这3名同学中选择甲、乙辨题的人数，求X Y ξ=-的分布列和数学期望．21．已知函数()(2)ln 23f x x x x =-+-的定义域为[1,)+∞. （1）判断函数()f x 的零点个数，并给出证明；（2）若函数(1)()()ln a x g x x a x x-=-+在[1,)+∞上为增函数，求整数a 的最大值. （参考数据：ln1.590.46≈，ln1.600.47≈，2365.7641≈）参考答案1．B 【解析】由题意可得{}|2A x x =<，结合交集的定义可得实数a 的取值范围是[)2,+∞ 本题选择B 选项.2．B 【分析】设()ln f x x x =+，根据其单调性和对数的真数为正结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】设()ln f x x x =+，当0x >时，()f x 为增函数，则由ln ln a a b b +>+得()()f a f b >,即a b >，即必要性成立. 当0a <或0b <时，ln a 或ln b 无意义，ln ln a a b b +>+不成立. 则“a b > ”是“ln ln a a b b +>+”的必要不充要条件， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查函数的单调性的性质．属于常考题. 3．D 【分析】根据命题的否定、否命题和充分条件等知识对选项进行逐一判断即可. 【详解】A ．命题“x ∃∈R ，使得210x x ++<”的否定是：“x ∀∈R ，210x x ++≥”,所以A 不正确.B ．命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的否命题是：“若2320x x -+≠，则1x ≠且2x ≠”， 所以B 不正确.C. 直线1l ：210ax y ++=，2l ：220x ay ++=，12l l //的充要条件是12a =±，所以C 不正确.D. 因为命题“若x y =，则sin sin x y =”为真命题,所以逆否命题是真命题.所以D 正确.故选：D 【点睛】本题考查四种命题的关系以及真假的判断和成分条件的判读，属于基础题. 4．A 【分析】由已知，先表示出命题“两次射击至少有一次没有击中目标”()()p q ⌝∨⌝，在选择使该命题成立的一个充分条件. 【详解】命题p 是“第一次射击击中目标”， 命题q 是“第二次射击击中目标”，∴命题“两次射击至少有一次没有击中目标”()()p q ⌝∨⌝,“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件:()()p q ⌝∨⌝为真. 故选：A ． 【点睛】本题考查的知识点是事件的表示，本题考查复合命题的真假的判断，考查充分条件的选择,属于基础题. 5．D 【解析】 试题分析：()()()()202,02424f f f f a a =∴==+=+，解得a =0或2．考点：分段函数． 6．C 【解析】随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，(1)(1)P P p ξξ∴-==.11(10)[12(1)]22P P p ξξ-<=-=-7．D 【解析】试题分析：取特殊函数2()2f x x x =-⇒()0f x >的解集为()0,2，故选D ．考点：函数的性质． 8．B 【解析】试题分析：因为{}2|log 1P x x =<=,{}|21Q x x =-<又因为{}|P Q x x P x Q -=∈∉，且，所以考点：子集与交集 并集运算的转换点评：本题考查的知识点是子集与交集，并集运算的转换，其中解不等式求出集合P,Q 是解题的关键． 9．A 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 【详解】由()3233 2.5e <<得323ln 3ln 2x e =<=.0.5log 20y =<, 而1232z e =>=所以y x z <<. 故选：A 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 10．A 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 【详解】由已知可得：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量231011112222S =++++由等比数列的前n 项公式可得: 10111221023=1102412S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-故选：A 【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答,属于常考题. 11．C 【解析】试题分析：A 选项均值一直递增，不符合；B 选项均值一开始递增，不符合；D 选项均值递增过早，不符合，故选C ． 考点：函数图象与性质． 12．C 【解析】试题分析：11()lnln()1ln 111e ex x x f x e x x x +++==⋅=+---，令1()ln 1xg x x+=-，其定义域为(1,1)-，又∵11()()ln ln 011()x xg x g x x x +-+-=+=---，∴()g x 为奇函数，∴112M m +=+=，故选C ．考点：奇函数的性质．【拓展结论】求函数最值的五个常用方法：1．单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；2．图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；3．换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值；4．基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；5．导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． 13．π 【分析】根据定积分的几何意义，⎰表示以()0.0为圆心，以2为半径的圆的面积的四分之一. 【详解】⎰表示直线0,2x x ==与曲线y =x 轴围成的图形的面积.如图.图形中阴影部分的面积是以()00，为圆心，以2为半径的圆的面积的四分之一.所以201=2=4ππ⨯⨯⎰ 故答案为：π【点睛】本题考查了定积分的几何意义，属于基础题． 14．13【分析】根据二项分布的数学期望与方差公式列方程计算． 【详解】 在随机变量(,)XB n p 中，由()3E X =，()2D X =得：()312np np p =⎧⎨-=⎩ 解得：13p = 故答案为：13【点睛】本题考查了二项分布的性质，属于基础题． 15．2+∞（，） 【解析】试题分析：1|28,{|13}2x A x x R x x ⎧⎫=<<∈=-⎨⎬⎩⎭＜＜，因为x B ∈成立的一个充分不必要的条件是x A ∈，所以13m +＞，即2m ＞．所以实数m 的取值范围是2+∞（，） 考点：充分条件和必要条件的应用 16．72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先求出f （x ）的零点为1，结合f （x ）与g （x ）互为“零点相邻函数”，得到|1﹣β|≤1，即0≤β≤2，条件转化为一元二次函数零点范围，结合一元二次函数的性质进行求解即可． 【详解】由f （x ）＝x ﹣1＝0得x ＝1，且f （x ）单调递增，则函数f （x ）的唯一零点为1， 若f （x ）＝x ﹣1与g （x ）＝x 2﹣ax ﹣a +3互为“零点相邻函数”， 设β是g （x ）的零点，则满足|1﹣β|≤1，得0≤β≤2， 即函数g （x ）的零点满足条件0≤β≤2， ∵g （﹣1）＝1+a ﹣a +3＝4＞0， ∴要使g （x ）的零点在[0，2]上，则满足()()002002202g g aa g ⎧≥⎪≥⎪⎪⎨⎪⎪⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩＜＜，即2304330044120a a a a a -+≥⎧⎪-+≥⎪⎨⎪⎪+-≥⎩＜＜，得3730426a a a a a ≤⎧⎪⎪≤⎪⎨⎪⎪≥≤-⎪⎩＜＜或，得2≤a 73≤，即实数a 的取值范围是[2，73]，故答案为：[2，73]【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，结合零点定义求出满足条件的根的范围，结合一元二次函数的性质是解决本题的关键． 17．[1,1]- 【分析】求出()(),f x g x 的值域，由题意知()f x 的值域是()g x 值域的子集，由此列出不等式求得a 的取值范围． 【详解】531()322=113353x x f x x x x x x x -<⎧⎪=-+-+≤≤⎨⎪->⎩结合函数图像可知()f x 在1x =时取得最小值，即()()12f x f ≥=. 则函数()f x 的值域为[)2,A =+∞.又()()2g x x a a x x a x a a =-++≥--+=.则函数()g x 的值域为)2,B a =⎡+∞⎣. 对于任意的1x ∈R ，都有2x ∈R ，使得()()12f x g x = 则A B ⊆,即22a ≤. 所以a 的取值范围[1,1]-.【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的最值以及函数恒成立条件的应用，考查数形结合以及分类讨论思想的应用，是中档题． 18．（1）；（2）有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”．【解析】试题分析：（1）先利用分层抽样的得到男生男生和女生的人数，再列举出基本事件，利用古典概型的概率公式进行求解；（2）先利用频率分布直方图得到有关数据，列出列联表，利用公式求值，再结合临界值表作出判断．试题解析：(1)解：由已知得，抽取的100名学生中，男生60名，女生40名 分数小于等于110分的学生中，有60×0.05 = 3(人)，记为A 1，A 2，A 3；女生有40×0.05 =" 2" (人)，记为B 1，B 2从中随机抽取2名学生，所有的可能结果共有10种，它们是：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)， (A 2，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)， 其中，两名学生恰好为一男一女的可能结果共有6种，它们是：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)， (A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)， 故所求的概率(2)解：由频率分布直方图可知，在抽取的100名学生中，男生60×0.25 = 15(人)，女生40×0.375 = 15(人) 据此可得2×2列联表如下：所以得222()100(15251545)251.79()()()()6040307014n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯因为1.79 < 2.706.所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”．考点：1.分层抽样；2.古典概型；3.频率分布直方图；4.独立性检验思想． 19．(1)54a =；(2) ()f x 的单调增区间为()5,+∞，单调减区间为0,5. 【解析】试题分析：（1）求导，利用导数的几何意义进行求解；（2）求导，利用导函数的符号变化确定函数的单调区间.试题解析：（1）对()f x 求导得()2114a f x x x=--'，由()f x 在点()()1,1f 处的切线垂直于直线12y x =知()324f x a =--=-'，解得54a =.（2）由（1）知()544x f x x =+3ln 2x --，则()22454x x f x x'--=. 令0fx，解得1x =-或5x =.因为1x =-不在()f x 的定义域0,内，故舍去.当()0,5x ∈时，()0f x <， 故()f x 在0,5内为减函数； 当()5,x ∈+∞时，()0f x >， 故()f x 在()5,+∞内为增函数.综上，()f x 的单调增区间为()5,+∞，单调减区间为0,5. 20．（1）98125 （2）分布列见解析，()39=25E ξ 【分析】(1)利用互斥事件的概率加法公式求出概率.(2)首先明确X Y ξ=-的所有可能取值及ξ取每个值所对应的概率,从而求得分布列,最后代入公式求解数学期望即可. 【详解】根据题意可知,在这10个数中质数有2、3、5、7. 则这3名同学中,每人选择甲辩题的概率为25,选择乙辩题的概率为35. 记“这3名同学中恰有i (i =0,1,2,3)人选择甲辩题”为事件i A ,则()332355iiii P A C -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (1) 这3名同学中至少有1人选择甲辩题的概率为：()()()22312312333323232398=++=555555125P P A P A P A C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (2) 由题意可知X Y ξ=-的所有可能取值为1,3.()2212332323181+=555525P C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()3303333272+=5525P C C ξ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以随机变量ξ的分布列为：随机变量ξ的数学期望为：()18739=1+3=252525E ξ⨯⨯ 【点睛】本题主要考查相互独立事件同时发生的概率和离散型随机变量的分布列及期望的求解，属于中档题.21．（Ⅰ）个；（Ⅱ）； 【解析】试题分析: （1）对函数()f x 求导,由()0f x '>在[)1,+∞恒成立,则()f x 在[)1,+∞上为增函数，由()10f <，()20f >可判断出函数有唯一零点; （2）对函数()g x 求导,分离参变量,()2ln 11x x a x +≤-在()1,+∞上恒成立，构造新函数()h x 求导,由（1）可知,a 小于等于()h x 在区间[)1,+∞上的最小值,根据函数的单调性,求得函数()h x 最小值的取值范围,即可取得整数a 的最大值.试题解析:解：（Ⅰ）()()()()''22ln 2ln 2ln 3f x x x x x x x=-+-+=-+'在[)1,+∞上为增函数，且()()11f x f ''≥=，故()()2ln 23f x x x x =-+-在[)1,+∞上为增函数， 又()102310f =+-=-<，()204310f =+-=>， 则函数()f x 在[)1,+∞上有唯一零点. （Ⅱ）()2ln 10a ag x x x x=+-+≥'在[)1,+∞上恒成立， 当1x =时显然成立,当1x >时，可得()2ln 11x x a x +≤-在()1,+∞上恒成立，令()()2ln 11x x h x x +=-，则()min a h x ≤，()1,x ∈+∞，()()()()()()()2222ln 232ln 31ln 111x x x x x x x x x h x x x ⎡⎤-+-+--+⎣⎦==--'， 由（Ⅰ）可知：()()2ln 23f x x x x =-+-在[)1,+∞上为增函数，故()f x 在[)1,+∞上有唯一零点m ，则()()()1,0x m h x h x '∈⇒<⇒在区间(]1,m 上为减函数，()()(),0x m h x h x '∈+∞⇒>⇒在区间[),m +∞上为增函数，故x m =时，()h x 有最小值，()min h x = ()()2ln 11m m h m m +=-.又()1.600.40ln1.600.200.0120f =-⨯+=>，()1.590.41ln1.590,180.00860f =-⨯+=-<，则()1.59,1.60m ∈，有()()232ln 230ln 2m f m m m m m m-=-+-=⇒=-， 所以()()22ln 112m m m h m m m+==--，()1.59,1.60m ∈， 令()20.4,0.41m t -=∈，则()h x 最小值()()222441236324,2100415t m h m t m t t -⎛⎫===+-∈+ ⎪-⎝⎭， 因41236326.17, 6.4100415+==，则()h x 的最小值大约在6.17 6.4~之间， 故整数a 的最大值为6.。