2019中考数学一轮新优化复习 第一部分 第二章 方程第7讲 一元二次方程真题精选
2019年中考数学一轮复习 第7讲 一元二次方程
2019年中考数学一轮复习 第7讲 一元二次方程一元二次方程的概念只含有①________个未知数，未知数的最高次数是②________，像这样的③________方程叫一元二次方程．其一般形式是④____________．一元二次方程的解法一元二次方程的应用(1)列一元二次方程解应用题的步骤：①审题；②设未知数；③列方程；④解方程；⑤检验；⑥作结论． (2)一元二次方程应用问题常见的等量关系：①增长率中的等量关系：增长率＝增量÷基础量；②利率中的等量关系：本息和＝本金＋利息，利息＝本金×利率×时间；③利润中的等量关系：毛利润＝售出价－进货价，纯利润＝售出价－进货价－其他费用，利润率＝利润÷进货价．一元二次方程根的判别式(1)根的判别式：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根的情况可由⑧________来判定，我们将⑨________称为根的判别式．(2)判别式与根的关系：①当b 2－4ac>0方程有⑩________的实数根；②当b 2－4ac<0方程没有实数根；③当b 2－4ac ＝0方程有○11________的实数根． 【易错提示】 一元二次方程有实数根的前提是b 2－4ac≥0.利用方程根的意义，把方程的根代入方程中，是解决一元二次方程有关问题的一种重要方法，我们可以把这种方法称为让根回家．命题点1 一元二次方程的解法(2014·河北)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求根公式时，对于b 2－4ac ＞0的情况，她是这样做的：由于a≠0，方程ax 2＋bx ＋c ＝0变形为： x 2＋b a x ＝－c a，……第一步x 2＋b a x ＋(b 2a )2＝－c a ＋(b 2a )2，……第二步(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac 4a2，……第三步 x ＋b 2a ＝b 2－4ac 4a (b 2－4ac ＞0)，……第四步 x ＝－b ＋b 2－4ac 2a.……第五步(1)嘉淇的解法从第________步开始出现错误；事实上，当b 2－4ac ＞0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求根公式是________________．(2)用配方法解方程：x 2－2x －24＝0. 【解答】用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程时，需除以二次项系数之后再配方，这里可与二次函数的配方进行比较．1．(2014·长沙改编)已知关于x 的一元二次方程2x 2－3kx ＋4＝0的一个根是1，则实数k 的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－22．(2014·唐山路北一模)用配方法解一元二次方程x 2＋4x －5＝0，此方程可变形为（ ）A ．(x ＋2)2＝9B ．(x －2)2＝9C ．(x ＋2)2＝1D ．(x －2)2＝13．(2015·厦门)方程x 2＋x ＝0的解是________________． 4．用公式法解方程：(1)(2014·遂宁)x 2＋2x －3＝0；(2)(2014·淄博改编)x2＋22x－6＝0；(3)(2013·滨州改编)2x2－3x＋1＝0.命题点2 一元二次方程根的判别式(2015·河北)若关于x的方程x2＋2x＋a＝0不存在实数根，则a的取值范围是（）A．a＜1 B．a＞1C．a≤1 D．a≥1注意有实数根与有两个不相等的实数根的区别．1. (2015·石家庄裕华区模拟)一元二次方程 x2＋2x－c＝0中，c＞0，该方程的解的情况是（）A．没有实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．不能确定2．(2015·宁德)如果方程x2－2x＋a＝0有两个相等的实数根，那么a的值是________．3．(2015·青岛)关于x的一元二次方程2x2＋3x－m＝0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．4．(2015·南充)已知关于x的一元二次方程(x－1)(x－4)＝p2，p为实数．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)p为何值时，方程有整数解．(直接写出三个，不需说明理由)命题点3 一元二次方程的应用(2014·巴中)某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量将减少10个；定价每减少1元，销售量将增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2 000元，则应进货多少个？定价为多少元？【解答】找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．1．(2014·百银)用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x 米，则根据题意可列方程为（ ）A ．x(5＋x)＝6B ．x(5－x)＝6C ．x(10－x)＝6D ．x(10－2x)＝62．(2015·安徽)我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到4.5亿件，设2014年与2013年这两年的平均增长率为x ，则下列方程正确的是（ ） A ．1.4(1＋x)＝4.5 B ．1.4(1＋2x)＝4.5C ．1.4(1＋x)2＝4.5D ．1.4(1＋x)＋1.4(1＋x)2＝4.1．(2015·保定二模)若关于x 的一元二次方程(a －1)x 2＋2x －2＝0有实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞12B ．a ≥12C ．a ＞12且a≠1D ．a ≥12且a ≠12．(2014·保定一模)方程(x ＋1)(x －3)＝5的解是（ ） A ．x 1＝1，x 2＝－3 B ．x 1＝4，x 2＝－2 C ．x 1＝－1，x 2＝3 D ．x 1＝－4，x 2＝23．(2014·菏泽)已知关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0有一个非零根－b ，则a －b 的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．0 D ．－24．(2015·石家庄新华区质检)某工厂2014年的生产总值比2013年增长了12%，由于排污设备需要改造升级，预计今年比2014年增长7%，若这两年生产总值年平均增长率为x ，则可列方程为（ ） A ．12%＋7%＝xB ．(1＋12%)(1＋7%)＝2(1＋x)C ．12%＋7%＝2xD ．(1＋12%)(1＋7%)＝(1＋x)25．(2014·泰安)某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元，若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x 株，则可以列出的方程是（ ）A ．(3＋x)(4－0.5x)＝15B ．(x ＋3)(4＋0.5x)＝15C ．(x ＋4)(3－0.5x)＝15D ．(x ＋1)(4－0.5x)＝156．(2014·白银)一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2－1＝0的一个根为0，则a ＝________．7. (2015·济宁改编)三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x 2－13x ＋36＝0的根，则三角形的周长为________．8．(2013·白银)定义运算“★”：对于任意实数a 、b ，都有a★b＝a 2－3a ＋b ，如：3★5＝32－3×3＋5.若x★2＝6，则实数x 的值是________．9．(2014·丽水)如图，某小区规划在一个长30 m 、宽20 m 的长方形ABCD 上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78 m 2，那么通道的宽应设计成多少m ？设通道的宽为x m，由题意列得方程________________．10．解方程：(1)(2014·自贡)3x(x－2)＝2(2－x)；(2)(2013·山西)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7.11. (2015·唐山路北二模)已知x＝2是关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－2＝0的一个根．(1)求m的值及方程的另一个根；(2)若7－x≥1＋m(x－3)，求x的取值范围．12．(2014·南京)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x.(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为________万元；(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x.13．(2013·广元)小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪？(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2，”他的说法对吗？请说明理由．14．(2015·淮安)水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．(1)若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是________斤(用含x的代数式表示)；(2)销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？15. (2015·石家庄新华区质检) 已知关于x的方程(k－1)x2＋2x＋1＝0有实数解，则k的取值范围是（）A．k＞2B．k≥2C．k≤2D．k≤2且k≠116．(2014·成都改编)在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝x m.(1)若花园的面积为192 m2，求x的值；(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15 m和6 m，若花园的面积为195平方米，能否将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)．参考答案 考点解读考点1 ①1 ②2 ③整式 ④ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)考点2 ⑤完全平方 ⑥x＝－b±b 2－4ac 2a(b 2－4ac≥0) ⑦0考点4 ⑧b 2－4ac ⑨b 2－4ac ⑩两个不相等 ○11两个相等 各个击破例1 (1)四 x ＝－b±b 2－4ac2a(2)方程x 2－2x －24＝0变形，得x 2－2x ＝24，x 2－2x ＋1＝24＋1，(x －1)2＝25，x －1＝±5，x ＝1±5， 所以x 1＝－4，x 2＝6.题组训练 1.C 2.A 3.x 1＝0，x 2＝－14.(1)x 1＝1，x 2＝－3. (2)x 1＝2，x 2＝－3 2. (3)x 1＝1，x 2＝12.例2 B题组训练 1.B 2.1 3.由题意知b 2－4ac ＝32－4×2×(－m)＞0，解得m ＞－98.∴m 的取值范围是m ＞－98.4.(1)化简方程，得x 2－5x ＋(4－p 2)＝0.∴Δ＝(－5)2－4(4－p 2)＝9＋4p 2.∵p 为实数，∴9＋4p 2＞0.∴方程有两个不相等的实数根．(2)当p 为0、2、－2时，方程有正数解．例3 设每个商品的定价是x 元，由题意，得(x －40)[180－10(x －52)]＝2 000.整理，得x 2－110x ＋3 000＝0. 解得x 1＝50，x 2＝60.当x ＝50时，进货180－10(x －52)＝200(个)，不符合题意，舍去． 当x ＝60时，180－10(x －52)＝100(个)．答：当该商品每个单价为60元时，进货100个． 题组训练 1.B 2.C 整合集训1．D 2.B 3.A 4.D 5.A 6.1 7.13 8.－1或4 9.(30－2x)(20－x)＝78×610.(1)3x(x －2)－2(2－x)＝0，3x(x －2)＋2(x －2)＝0，(3x ＋2)(x －2)＝0，x 1＝－23，x 2＝2.(2)原方程可化为x 2－6x ＋8＝0.∴(x－3)2＝1. ∴x－3＝±1.∴x 1＝2，x 2＝4.11.(1)把x ＝2代入x 2＋3x ＋m －2＝0，得4＋6＋m －2＝0.∴m＝－8. 方程化为x 2＋3x －10＝0.解得x 1＝2，x 2＝－5. ∴m＝－8，另一个根为－5.(2)7－x≥1－8(x －3)，解得x≥187.12.(1)2.6(1＋x)2(2)由题意，得4＋2.6(1＋x)2＝7.146.解得x 1＝0.1＝10%，x 2＝－2.1(不合题意，舍去)． 答：可变成本平均每年增长的百分率为10%.13.(1)设其中一个正方形的边长为x cm ，由题意得x 2＋(10－x)2＝58. 解得x 1＝3，x 2＝7.4×3＝12(cm)，4×7＝28(cm)． 答：小林应剪成12 cm 和28 cm 的两段．(2)假设能围成．由(1)，得x 2＋(10－x)2＝48.化简得x 2－10x ＋26＝0.因为Δ＝(－10)2－4×1×26＝－4<0，所以此方程没有实数根．所以小峰的说法是对的．14.(1)(100＋200x) (2)根据题意，得(4－2－x)(100＋200x)＝300.解得x1＝0.5, x2＝1.∵每天至少售出260斤，∴x＝1.答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．15.C16.(1)∵AB＝x m，则BC＝(28－x) m，∴x(28－x)＝192.解得x1＝12，x2＝16.∴x的值为12 m或16 m．(2)由题意可得x(28－x)＝195.解得x1＝15，x2＝13.当x＝15时，28－x＝13＜15，不能将这棵树围在花园内；当x＝13时，28－x＝15，能将这棵树围在花园内．综上，能将这棵树围在花园内．。
中考数学一轮复习《一元二次方程》知识要点及专题练习
中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练：一元二次方程（含答案）一、知识要点：1、定义等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式是ax 2+bx +c =0(a ≠0)。
其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。
2、一元二次方程的解法直接开方法、配方法、公式法、因式分解法。
(1)直接开方法。
适用形式：x 2=p 、(x +n )2=p 或(mx +n )2=p 。
(2)配方法。
套用公式a 2+2ab +b 2=(a +b )2；a 2-2ab +b 2=(a -b )2，配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1；②移项——把常数项移项到等号的右边；③配方——两边同时加上b 2，把左边配成x 2+2bx +b 2的形式，并写成完全平方的形式；④开方，即降次；⑤解一次方程。
(3)公式法。
当b 2-4ac ≥0时，方程ax 2+bx +c =0的实数根可写为：a ac b b x 242-±-=的形式，这个式子叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0的求根公式。
这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
①b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根。
a ac b b x 2421-+-=，aac b b x 2422---= ②b 2-4ac =0时，方程有两个相等的实数根。
ab x x 221-== ③b 2-4ac ＜0时，方程无实数根。
定义：b 2-4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b 2-4ac 。
(4)因式分解法。
主要用提公因式法、平方差公式。
3、一元二次方程与实际问题解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤：第1步：审题。
认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第2步：设未知数。
中考数学全景透视复习第07讲一元二次方程省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
的判别式为 b2－4ac，一般用符号 Δ 表示．
(1)b2－4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根，即
x1,2＝－b±
b2－4a⇔ 方 程 有 两 个 相 等 的 实 数 根 ， 即 x1＝x2＝－2ba；
(3)b2－4ac＜0⇔方程没有实数根． 温馨提示： 一元一次方程没有根的判别式，因此，在逆用判 别式时，一定要保证二次项系数不等于零.
的根为
x1
＝
－
f e
，
x2＝－mn .
温馨提示： 解一元二次方程时，要根据方程的特点灵活选择 合适的方法，一般顺序为：直接开平方法、因式分解 法、公式法、配方法.公式法和配方法可以解所有判别 式大于或等于0的一元二次方程.
考点三 一元二次方程根的判别式
关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根
系，然后列方程求解．
考点一 一元二次方程的解
例 1(2014·陕西)若 x＝－2 是关于 x 的一元二次方
程 x2－52ax＋a2＝0 的一个根，则 a 的值为(
)
A．1 或 4
B．－1 或－4
C．－1 或 4
D．1 或 －4
【点拨】把 x＝－2 代入 x2－52ax＋a2＝0，得(－2)2 －52a·(－2)＋a2＝0，解得 a1＝－1，a2＝－4.故选 B.
1．已知 1 是关于 x 的一元二次方程(m－1)x2＋x
＋1＝0 的一个根，则 m 的值是( B )
A．1
B．－1
C．0
D．无法确定
解析：把 x＝1 代入(m－1)x2＋x＋1＝0，
得(m－1)＋1＋1＝0，解得 m＝－1，
此时 m－1＝－2≠0，∴m＝－1.故选 B.
中考数学一轮新优化复习 第一部分 教材同步复习 第二章 方程(组)与不等式(组)第7讲 一元二次方程
第一部分 第二章 第7讲命题点1 一元二次方程及其解法(xx 年柳州考，xx 年百色考) 1．(xx·柳州16题3分)一元二次方程x 2－9＝0的解是_x 1＝3，x 2＝－3_. 2．(xx·梧州20题6分)解方程：2x 2－4x －30＝0. 解：2x 2－4x －30＝0，x 2－2x －15＝0， x 2－2x ＋1－16＝0，(x －1)2＝16，解得x 1＝5，x 2＝－3.命题点2 一元二次方程的判别式(xx 年2考，xx 年2考，xx 年3考)3．(xx·桂林9题3分)已知关于x 的一元二次方程2x 2－kx ＋3＝0有两个相等的实根，则k 的值为( A )A ．±2 6B ．± 6C ．2或3D ．2或 34.(xx·桂林10题3分)若关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋4x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( B )A ．k ＜5B ．k ＜5且k ≠1C ．k ≤5且k ≠1D ．k ＞55．(xx·玉林21题6分)已知关于x 的一元二次方程：x 2－2x －k －2＝0有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)给k 取一个负整数值，解这个方程．解：(1)根据题意，得Δ＝(－2)2－4(－k －2)＞0， 解得k ＞－3.(2)取k ＝－2，则方程变形为x 2－2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2.(k 取值合理即可) 命题点3 一元二次方程根与系数的关系(xx 年贵港考，xx 年来宾考，xx 年2考) 6．(xx·贵港9题3分)若关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋p ＝0(p ≠0)的两个不相等的实数根分别为a 和b ，且a 2－ab ＋b 2＝18，则a b ＋ba的值是( D )A ．3B ．－3C ．5D ．－57．(xx·贵港6题3分)已知α，β是一元二次方程x 2＋x －2＝0的两个实数根，则α＋β－αβ的值是( B )A ．3B ．1C ．－1D ．－3命题点4 一元二次方程的应用(xx 年北部湾经济区考，xx 年3考，xx 年4考)8．(xx·北部湾经济区11题3分)某种植基地xx 年蔬菜产量为80吨，预计xx 年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率．设蔬菜产量的年平均增长率为x ，则可列方程为( A )A ．80(1＋x )2＝100 B ．100(1－x )2＝80 C ．80(1＋2x )＝100D ．80(1＋x 2)＝1009．(xx·贺州24题9分)某地区xx 年投入教育经费2 900万元，xx 年投入教育经费3 509万元．(1)求xx 年至xx 年该地区投入教育经费的年平均增长率；(2)按照义务教育法规定，教育经费的投入不低于国民生产总值的百分之四，结合该地区国民生产总值的增长情况，该地区到xx 年需投入教育经费4 250万元，如果按(1)中教育经费投入的增长率，到xx 年该地区投入的教育经费是否能达到4 250万元？请说明理由．(参考数据： 1.21＝1.1， 1.44＝1.2， 1.69＝1.3， 1.96＝1.4) 解：(1)设xx 年到xx 年该地区投入教育经费的年平均增长率为x ， 根据题意，得2 900(1＋x )2＝3 509，解得x 1＝0.1＝10%，x 2＝－2.1(不合题意，舍去)． 答：xx 到xx 年该地区投入教育经费的年平均增长率为10%.(2)不能达到．理由：xx 年该地区投入的教育经费是3 509×(1＋10%)2＝4 245.89(万元)，∵4 245.89万元＜4 250万元，∴按(1)中教育经费投入的增长率，到xx 年该地区投入的教育经费不能达到4 250万元． 10．(xx·贵港23题8分)为了经济发展的需要，某市xx 年投入科研经费500万元，xx 年投入科研经费720万元．(1)求xx 至xx 年该市投入科研经费的年平均增长率；(2)根据目前经济发展的实际情况，该市计划xx 年投入的科研经费比xx 年有所增加，但年增长率不超过15%，假定该市计划xx 年投入的科研经费为a 万元，请求出a 的取值范围．解：(1)设xx 至xx 年该市投入科研经费的年平均增长率为x ，根据题意，得500(1＋x )2＝720，解得x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2(舍去)．答：xx 至xx 年该市投入科研经费的年平均增长率为20%. (2)根据题意，得a －720720×100%≤15%，解得a ≤828.又∵该市计划xx 年投入的科研经费比xx 年有所增加，∴a 的取值范围为720＜a ≤828.。
最新中考数学总复习第一部分数与代数 第二章 方程与不等式 第7讲 一元二次方程及应用
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(2)解:∵x2－4mx+3m2＝0,即(x－m)(x－3m)＝0, ∴x1＝m,x2＝3m. ∵m＞0,且该方程的两个实数根的差为2, ∴3m－m＝2, ∴m＝1.
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考点3 *一元二次方程根与系数的关系
8.(2021 黄石)已知关于 x 的一元二次方程 x2+2mx+m2+m＝0 有 实数根. (1)求 m 的取值范围; (2)若该方程的两个实数根分别为 x1,x2,且x12+x22＝12,求 m 的值.
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14.(2018广东)关于x的一元二次方程x2－3x+m＝0有两个不相 等的实数根,则实数m的取值范围是( A )
A.m＜9
4
B.m≤9
4
C.m＞9
4
D.m≥9
4
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15.(2019广东)已知x1,x2是一元二次方程x2－2x＝0的两个实 数根,下列结论错误的是( D )
A.x1≠x2
一元二次方 题14,
题4,
程的解 4分
3分
解一元二次 方程
题 题9,3
21(2), 分 2分
题17, 6分
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一元二次方程
题9,
题8,
根的判别式
3分
3分
一元二次方程
的应用题
◇链接教材◇人教版:九上第二十一章P1－P26
北师版:九上第二章P30－P58
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数学
课前预习
1.(2021深圳)已知方程x2+mx－3＝0的一个根是1,则m的值为 2.
2.(2021广州)方程x2－4x＝0的实数解是 x1＝0,x2＝4 .
(陕西专用)2019中考数学总复习第1部分教材同步复习第二章方程(组)与不等式(组)课时5一元二次方
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• 用公式法解一元二次方程的一般步骤为： • ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值(注意符号)；
• ②求出b2－4ac的值(若b2－4ac＜0，方程无实数根)；
• ③在b2－4ac≥0的前提下，把a，b，c的值代入公式进行计算求出方程的根． • 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2－4ac≥0.
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• (2)面积问题常见图形归纳如下： • 第一：如图1，矩形ABCD的长为a，宽为b，空白部分的宽为x，则阴 影部分的面积为(a－2x)(b－2x)．
• 第二：如图2，矩形ABCD的长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空 白部分的面积为(a－x)(b－x)． • 第三：如图3，矩形ABCD的长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空 a－__ x)( b－ x__ ) _________. 白部分的面积为⑳(___ __ __
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解法
适用方程类型 所有一元二次 (2)确定a，b，c的值； 方程都适用
步骤
(1)将方程化成ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式；
公式法
－b± b2－4ac 2a (3)若b2－4ac≥0，则代入求根公式x＝⑧_____________ ；
若b2－4ac＜0，则方程没有实数根
方程一边为
(1)将方程一边化为0；
0，另一边能 (2)把方程的另一边分解为两个一次因式的积； 因式 分解法 分解成两个一 (3)令每个因式分别为0，转化为两个一元一次方程；
次因式的积
(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的根
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①②⑥ 1．下列方程是一元二次方程的是__________.
①x2＋2x＝0; ②x2－3＝0; ③(x2＋3)2＝9； 1 ④x ＋x＝4；⑤x5－6y－2＝0;
中考数学一轮复习课件-第七讲一元二次方程
x1·x2=_____a_____.
【自我诊断】
1.关于x的方程ax2-3x+2=x2是一元二次方程,则a的取值范围为 ( C )
A.a≠0
B.a>0
C.a≠1
D.a>1
2.方程x2=4x的解是 ( B )
A.x=4 C.x=0
B.x1=0,x2=4 D.x1=2,x2=-2
3.已知一元二次方程(m-2)x2-3x+m2-4=0的一个根为0,则m=___-_2___. 4.如果关于x的方程x2-4x+2m=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是 _m_<_2_____. 5.经过两次连续降价,某药品销售单价由本来的50元降到32元,设该药品平均每 次降价的百分率为x,根据题意可列方程是___5_0_(_1_-_x_)_2=_3_2___.
三、根的判别式与一元二次方程的根的情况 1.Δ=b2-4ac>0⇔方程___有__两__个__不__相__等____的实数根. 2.Δ=b2-4ac=0⇔方程___有__两__个__相__等____的实数根. 3.Δ=b2-4ac<0⇔方程___没__有____实数根.
四、根与系数的关系 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=___ba___,
第七讲 一元二次方程
一、一元二次方程的概念 1.定义:只含有___1___个未知数,并且未知数的最高次数是___2___的整式方程. 2.一般情势:___a_x_2+_b_x_+_c_=_0_(_a_≠__0_)___.
二、一元二次方程的解法
解法 直接开平方法
情势 x2=p(p≥0) (mx+n)2=p(p≥0,m≠0)
中考数学培优复习 第7讲 一元二次方程
2019-2020年中考数学培优复习第7讲一元二次方程一：【知识梳理】1. 一元二次方程：只含有一个，且未知数的指数为的整式方程叫一元二次方程。
它的一般形式是（其中、）它的根的判别式是△= ；当△＞0时，方程有实数；当△=0时，方程有实数根；当△＜0时，方程有实数根；一元二次方程根的求根公式是、（其中）2．一元二次方程的解法：⑴配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上的绝对值一半的平方；④化原方程为的形式；⑤如果就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n=＜0，则原方程无解．⑵公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法。
它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是注意：用求根公式解一元二次方程时，一定要将方程化为。
⑶因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做．它的理论根据是两个因式中至少要有一个等于0，因式分解法的步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．3．一元二次方程的注意事项：⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．如关于x的方程（k2－1）x2+2kx+1=0中，当k=±1时就是一元一次方程了．⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二次方程的一般形式；②确定a、b、c的值；③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4a＜0，则方程无解．⑶方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）⑷ 注意：解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：直接开平方法→因式分解法→公式法．二：【经典考题剖析】1. 分别用公式法和配方法解方程：2. 选择适当的方法解下列方程：（1）； （2）（3）； （4）2(21)3(21)20x x ++++=3. 已知22222()()60a b a b +-+-=，求的值。
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第一部分 第二章 第7讲
命题点1 一元二次方程及其解法(2018年柳州考，2016年百色考)
1．(2018·柳州16题3分)一元二次方程x 2
－9＝0的解是_x 1＝3，x 2＝－3_. 2．(2018·梧州20题6分)解方程：2x 2
－4x －30＝0. 解：2x 2
－4x －30＝0，
x 2－2x －15＝0， x 2－2x ＋1－16＝0，
(x －1)2
＝16，解得x 1＝5，x 2＝－3.
命题点2 一元二次方程的判别式(2018年2考，2017年2考，2016年3考)
3．(2018·桂林9题3分)已知关于x 的一元二次方程2x 2
－kx ＋3＝0有两个相等的实根，则k 的值为( A )
A ．±2 6
B ．± 6
C ．2或3
D ．2或 3
4.(2016·桂林10题3分)若关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋4x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( B )
A ．k ＜5
B ．k ＜5且k ≠1
C ．k ≤5且k ≠1
D ．k ＞5
5．(2018·玉林21题6分)已知关于x 的一元二次方程：x 2
－2x －k －2＝0有两个不相等的实数根．
(1)求k 的取值范围；
(2)给k 取一个负整数值，解这个方程．
解：(1)根据题意，得Δ＝(－2)2
－4(－k －2)＞0， 解得k ＞－3.
(2)取k ＝－2，则方程变形为x 2－2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2.(k 取值合理即可) 命题点3 一元二次方程根与系数的关系(2018年贵港考，2017年来宾考，2016年
2考)
6．(2016·贵港9题3分)若关于x 的一元二次方程x 2
－3x ＋p ＝0(p ≠0)的两个不相等的实数根分别为a 和b ，且a 2
－ab ＋b 2
＝18，则a b ＋b a
的值是( D )
A ．3
B ．－3
C ．5
D ．－5
7．(2018·贵港6题3分)已知α，β是一元二次方程x 2
＋x －2＝0的两个实数根，则α＋β－αβ的值是( B )
A ．3
B ．1
C ．－1
D ．－3
命题点4 一元二次方程的应用(2018年北部湾经济区考，2017年3考，2016年4
考)
8．(2018·北部湾经济区11题3分)某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率．设蔬菜产量的年平均增长率为x ，则可列方程为( A )
A ．80(1＋x )2
＝100 B ．100(1－x )2
＝80 C ．80(1＋2x )＝100
D ．80(1＋x 2
)＝100
9．(2016·贺州24题9分)某地区2014年投入教育经费2 900万元，2016年投入教育经费3 509万元．
(1)求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率；
(2)按照义务教育法规定，教育经费的投入不低于国民生产总值的百分之四，结合该地区国民生产总值的增长情况，该地区到2018年需投入教育经费4 250万元，如果按(1)中教育经费投入的增长率，到2018年该地区投入的教育经费是否能达到4 250万元？请说明理由．
(参考数据： 1.21＝1.1， 1.44＝1.2， 1.69＝1.3， 1.96＝1.4) 解：(1)设2014年到2016年该地区投入教育经费的年平均增长率为x ， 根据题意，得2 900(1＋x )2
＝3 509，
解得x 1＝0.1＝10%，x 2＝－2.1(不合题意，舍去)．
答：2014到2016年该地区投入教育经费的年平均增长率为10%.
(2)不能达到．理由：2018年该地区投入的教育经费是3 509×(1＋10%)2
＝4 245.89(万元)，
∵4 245.89万元＜4 250万元，
∴按(1)中教育经费投入的增长率，到2018年该地区投入的教育经费不能达到 4 250万元．
10．(2016·贵港23题8分)为了经济发展的需要，某市2014年投入科研经费500万元，2016年投入科研经费720万元．
(1)求2014至2016年该市投入科研经费的年平均增长率；
(2)根据目前经济发展的实际情况，该市计划2017年投入的科研经费比2016年有所增加，但年增长率不超过15%，假定该市计划2017年投入的科研经费为a 万元，请求出a 的取值范围．
解：(1)设2014至2016年该市投入科研经费的年平均增长率为x ，根据题意，得500(1＋x )2
＝720，解得x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2(舍去)．
答：2014至2016年该市投入科研经费的年平均增长率为20%. (2)根据题意，得a －720
720
×100%≤15%，
解得a ≤828.
又∵该市计划2017年投入的科研经费比2016年有所增加，∴a 的取值范围为720＜
a≤828.。