高中数学-空间几何体及其表面积与体积练习

高中数学-空间几何体及其表面积与体积练习
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．以下命题：
①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
其中正确命题的个数是________．
解析命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥．命题
②题，因这条腰必须是垂直于两底的腰．命题③对．命题④错，必须用平行
于圆锥底面的平面截圆锥才行．
答案 1
2．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的四个顶点，这些几何形体是________(写出所有正确结论的编号)．
①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个
面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．
解析①显然可能；②不可能；③取一个顶点处的三条棱，连接各棱端点构成的四面体；④取正方体中对面上的两条异面对角线的四个端点构成的几何体；⑤正方体ABCD－A1B1C1D1中，三棱锥D1－DBC满足条件．
答案 ①③④⑤
3．在三棱锥S －ABC 中，面SAB ，SBC ，SAC 都是以S 为直角顶点的等腰直角三角形，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则三棱锥S －ABC 的表面积是________．
解析 设侧棱长为a ，则2a ＝2，a ＝2，侧面积为3×1
2×a 2＝3，底面积为
3
4
×22＝3，表面积为3＋ 3. 答案 3＋ 3
4．若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为________． 解析 设圆锥的底面圆半径为r ，高为h ，母线长为l ，则⎩⎨⎧
πrl ＝2π，
πr 2
＝π，∴
⎩⎨
⎧
r ＝1，l ＝2.
∴h ＝l 2－r 2＝22－12＝ 3.
∴圆锥的体积V ＝13π·12
·3＝33π.
答案
3
3
π 5．(·新课标全国卷改编)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为________．
解析 如图，设截面圆的圆心为O ′，M 为截面圆上任一点，则OO ′＝2，O ′M ＝1，∴OM ＝
2
2
＋1＝3，即球的半径为3，∴V ＝4
3
π(3)3＝43π.
答案 43π
6.如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．
解析由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为
3 2
，
连接顶点和底面中心即为高，可求得高为
2
2
，所以体积V＝
1
3
×1×1×
2
2
＝
2 6
.
答案
2 6
7．(·天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为9π
2
，则
正方体的棱长为________．
解析设正方体的棱长为a，外接球的半径为R，由题意知4
3
πR3＝
9π
2
，∴R3
＝27
8
，而R＝
3
2
.
由于3a2＝4R2，∴a2＝4
3
R2＝
4
3
×
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫3
2
2＝3，∴a＝ 3.
答案 3
8.如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF
均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________．
解析如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，
容易求得EG＝HF＝1
2
，AG＝GD＝BH＝HC＝
3
2
，∴S△AGD＝S△BHC＝
1
2
×
2
2
×1＝
2
4
，
∴V＝V E－ADG＋V F－BHC＋V AGD－BHC＝2V E－ADG＋V AGD－BHC＝1
3
×
2
4
×
1
2
×2＋
2
4
×1＝
2
3
.
答案
2 3
二、解答题
9.如图，在三棱锥P－ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，AP＝BP＝AB，PC⊥AC.
(1)求证：PC⊥AB；
(2)求点C到平面APB的距离．
(1)证明取AB中点D，连接PD，CD.
因为AP＝BP，所以PD⊥AB，
因为AC＝BC，所以CD⊥AB.
因为PD∩CD＝D，所以AB⊥平面PCD.因为PC⊂平面PCD，所以PC⊥AB.
(2)解设C到平面APB的距离为h，
则由题意，得AP＝PB＝AB＝AC2＋BC2＝22，
所以PC＝AP2－AC2＝2.
因为CD＝1
2
AB＝2，PD＝
3
2
PB＝6，
所以PC2＋CD2＝PD2，所以PC⊥CD.
由(1)得AB⊥平面PCD，于是由V C－APB＝V A－PDC＋V B－PDC，
得1
3
·h·S△APB＝
1
3
AB·S
△PDC
，
所以h＝
AB·S△PDC
S△APB
＝
22×
1
2
×2×2
3
4
×222
＝
23
3
.
故点C到平面APB的距离为
23
3
.
10．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．
解如图所示，作出轴截面，因轴截面是正三角形，根据切线性质知当球在容器内时，水的深度为3r，水面半径BC的长为3r，则容器内水的体积为
V＝V
圆锥
－V球＝
1
3
π(3r)2·3r－
4
3
πr3＝
5
3
πr3，
将球取出后，设容器中水的深度为h，
则水面圆的半径为
3
3
h，从而容器内水的体积为
V′＝
1
3
π
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
3
3
h2h＝
1
9
πh3，由V＝V′，得h＝
3
15r.
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
一、填空题
1．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝3，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S－ABC的体积为________．
解析由题意知，如图所示，在棱锥S－ABC中，△SAC，△SBC都是有一个角为30°的直角三角形，其中AB＝3，SC＝4，所以SA＝SB＝23，AC＝BC
＝2，作BD⊥SC于D点，连接AD，易证SC⊥平面ABD，因此V S－ABC＝1
3
×
3
4
×(3)2×4＝ 3.
答案 3
2.(·南京模拟)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝5，AA1
＝3，M为线段B1B上的一动点，则当AM＋MC1最小时，△AMC1的面积为________．
解析如图，当AM＋MC1最小时，BM＝1，所以AM2＝2，C1M2＝8，AC21＝14，
于是由余弦定理，得cos∠AMC1＝AM2＋MC2
1
－AC21
2AM·MC1
＝－
1
2
，所以sin∠AMC1＝
3
2
，
＝1
2
×2×22×
3
2
＝ 3.
答案 3
3.如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2 cm、高为5 cm，则一质点自
点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为________cm.
解析根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为52＋122＝
13 cm.
答案13
二、解答题
4．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图2所示．
(1)求证：BC⊥平面ACD；
(2)求几何体D－ABC的体积．
(1)证明在图中，可得AC＝BC＝22，
从而AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC，
又平面ADC⊥平面ABC，
平面ADC∩平面ABC＝AC，
BC⊂平面ABC，
∴BC⊥平面ACD.
(2)解由(1)可知，BC为三棱锥B－ACD的高，BC＝22，S△ACD＝2，
∴V B－ACD＝1
3
S
△ACD
·BC＝
1
3
×2×22＝
42
3
，由等体积性可知，几何体D－ABC的
体积为42 3
.。