3.1.2 瞬时变化率——导数(1)教案(李凤廷)
瞬时速度与导数教学案例与设计
瞬时速度与导数教学案例与设计临朐一中 胡廷国【教学目标】1. 知识与技能：通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数；2. 过程与方法：通过动手计算，培养学生的观察、分析、比较和归纳的意识与能力；通过问题探究，体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思维方法；3. 情感目标：用运动的观点体会导数的内涵，激发学生学习数学的兴趣.【教学重点】导数的概念、求函数在某一点处的导数【教学难点】从物理（实例）中归纳、概括函数瞬时变化率的定量分析过程，以及函数在开区间内的导函数的理解.【教学过程】一、知识回顾、自主学习1. 函数的平均变化率的概念.2. 求函数2y x =在区间[1, 1]x +∆的平均变化率.3. 计算下表中某运动员在2s~2.1s 关于时间间隔的平均速度，并思考题后的问题：观察此表，当时间间隔取一系列越来越小值时，平均速度如何变化？有何特点？设计意图：学生通过自学，回顾函数平均变化率的概念；通过对平均速度的计算，初步了解研究瞬时速度的必要性.二、合作探究1. 用多媒体展示“自主学习”中问题2、问题3的计算结果，合作学习小组自由发言对问题3思考题的看法. 从这里可以看出，当时间间隔取一系列越来越小值，即当t ∆趋向于零时，平均速度趋近于20，从物理角度讲这个值就是运动员在时刻0t 的瞬时速度，引出瞬时速度的概念.2. 尝试解题（1）物体作自由落体运动的方程为21()2S t gt =，其中位移单位为m ，时间单位为s ，10/g m s =. 求物体在[2, 2]t +∆这段时间里的平均速度及在2s 的瞬时速度.（2）一正方形铁板在0C 时边长为2cm ，加热后铁板膨胀. 当温度为t C 时，边长变为2(1)t +cm. 写出铁板面积S 与时间t 的关系式，并求铁板面积S 在温度0[, ]t t t C +∆时的平均膨胀率及在t C 时的瞬时膨胀率.分别从两个学习小组中选一名同学板演，板演完毕，请其他小组的同学进行评价或改错，并针对出现的问题或错误进行修改. 引导学生总结求瞬时变化率的方法和步骤.设计意图：使学生进一步理解瞬时变化率的含义及求法，明确平均速度用来刻画某一时间段内的平均速度，瞬时变化率用来刻画每一时刻的速度变化.三、概念形成思考：如果将上述例子中的函数用()f x 表示，那么函数()f x 在0x 处的瞬时变化率又如何表示？（一）函数()f x 在0x 处的瞬时变化率：函数()f x 在0x 处的导数：（给出导数的定义）思考：在导数的定义中，对自变量0x 有什么要求？x ∆、y ∆分别是什么样的实数？函数()f x 在0x 处的函数值与该点处的导数是否有关？函数的平均变化率、瞬时变化率、导数三者之间是何关系？练习：1. 一直线运动的物体，从时间t 到t t +∆时，位移为s ∆，则0limt s t ∆→∆∆等于 A. 从时间t 到t t +∆时，物体的平均速度B. 在时刻t 时，物体的瞬时速度C. 当时间为t ∆时，物体的速度D. 当时间为t t +∆时，物体的速度2. 质点运动规律为2()3s t t =+，求质点在3t =的瞬时速度.3. 已知函数2()1f x x x =-+，求(1)f '.设计意图：使学生再次经历引出导数概念的过程，通过解题进一步加深对平均变化率、瞬时变化率、导数概念的理解，并总结利用导数定义求()f x 在点0x 处导数的步骤.（二）导函数的概念定义：思考：()f x '与0()f x '的关系.练习：已知函数()32f x x =+，求()f x '、(1)f '.例题 火箭竖直向上发射，熄火时向上速度达到100m/s ，火箭的运动方程为21()1002h t t gt =-（其中重力加速度210/g m s =），试问熄火后多长时间火箭向上的速度为0？设计意图：巩固求函数导数的方法，初步理解导数的实际意义和应用.自我小结：1. 本节课学了哪些新知识？（重点是概念）2. 在学习过程中使用了哪些数学思想或方法？【当堂检测】1. 已知函数()f x 在1x =处可导，且(1)1f '=，则0(1)(1)limx f x f x∆→+∆-∆等于 . 2. 已知函数2()21f x x x =+-.求：（1）()f x 的导数；（2）()f x 在1x =的导数.【课后作业】（略）。
《1.1.2瞬时变化率与导数》教学设计
《1.1.2瞬时变化率与导数》教学设计
（共1课时，第1课时）
【课程标准要求】
通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景。
【教学目标】
1.利用生活中的实际问题，为了描述运动物体任意时刻的速度，引入瞬时变化率的概念。
2.通过伽利略和牛顿的实验推导过程总结瞬时变化率的定义。
3.经过本节课的学习，能够理解并运用瞬时变化率解决实际问题，并能理解导数的涵义。
【学情与内容分析】
上节课从平均速度出发通过极限的方法得到瞬时速度，本节课推广到不限于表达运动过程的函数，抽象概括得到瞬时变化率的概念（又称为函数的导数或者微商），要求学生掌握导数的符号表示和概念，区分导数和导函数，通过实例的演练，掌握求瞬时变化率的步骤，结合具体问题情境，链接其物理意义.
【教学准备】多媒体课件。
【难重点】
重点：瞬时变化率（导数）的概念.
难点：导数和导函数的区别，利用导数或者导函数的定义来求导数或者导函数. 【教学过程】
【板书设计】
【评价设计】
【作业设计】
1、完成导学案内容
2、教材P10 1、2、3题【教学反思】。
高中数学第3章导数及其应用3.1.2瞬时变化率导数导学案3苏教选修11
江苏省响水中学高中数学第3章《导数及其应用》3.1.2瞬时变化率导
数导学案3 苏教版选修1-1
学习方针：
通过大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了
解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵；
2．会求简单函数的导数，通过函数图象直观地了解导数的几何意义；
3．体会建立数学模型刻画客观世界的“数学化”过程，进一步感触感染变量数
学的思想方式．
教学重点：导数概念的实际背景，导数的思想及其内涵，导数的几何意义．
教学难点：对导数的几何意义理解．
课前预习：
1.导数的定义．
2.导数的几何意义：
3.导函数：
4.求函数
)
(x
f
y 在某一点处的导数的一般步骤：
课堂探究：
2.求下列函数在相应位置的导数
（1）
1
)
(2+
=x
x
f，2
=
x（2）1
2
)
(-
=x
x
f，2
=
x
（3）
3
)
(=
x
f，2
=
x
3.求
2
2+
=x
y在点x＝a处的导数．
4.已知
课堂检测：。
高二数学 瞬时变化率—导数学案
高二数学 瞬时变化率—导数学案课题3.1.2曲线上一点处的切线学习目标：1、经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，体会“局部以直代曲”的思想；2、感受“割线逼近切线”的过程，体会曲线上一点处切线的含义；3、能利用“割线逼近切线”的思想求出曲线上一点处切线的斜率。
自学质疑：平均变化率近似的刻画了曲线在某一区间上的变化趋势，那么如何刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？ 互动探究： 1、（1）观察“点P 附近的曲线”，随着图形放大，你看到了怎样的现象？ （2）“几乎成了一条直线”，这么一条特殊的直线有明确位置么？（趋势）又为什么说是“几乎”？（逼近） 2、已知函数2)(x x f ，分别计算)(x f 在下列区间上的平均变化率：（1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1．1]; (4) [1,1．001] 3、 你能由上面的计算结果发现什么吗？4、如图所示,直线21,l l 为经过曲线上一点P 的两条直线。
（1）试判断哪一条直线在点P 附近更加逼近曲线；（2）在点P 附近你能作出一条比21,l l 更加逼近曲线的直线3l 吗？ （3）在点P 附近你能作出一条比321,,l l l 更加逼近曲线的直线4l 吗？ 精讲点拨： （一）知识建构1、“以直代曲”思想：曲线在某点附近可以看成直线（即很小范围内以直代曲）2l2、如何找到在曲线上一点P处最逼近曲线的直线l呢？如图，设Q为曲线C上另一点，这时，直线PQ称为曲线的割线，随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C，当Q点无限逼近P点时,此时直线PQ就是P点处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线.P3、求曲线上一点处切线的斜率设曲线上一点P（)(,xfx），过点P的一条割线交曲线C于另一点Q))(,(xxfxx∆+∆+，则割线PQ的斜率为当x∆无限趋近于0时，PQk无限趋近于点P处的切线的斜率（二）应用例1、已知2)(xxf=，求曲线y=f(x)在x=2处的切线的斜率.（点拨：利用割线逼近切线思想）练习：已知曲线22y x=上一点A(1,2)，求(1) 点A处的切线的斜率.(2)点A处的切线的方程.例2、已知曲线xxy22-=在某点的切线斜率为2，求此点坐标。
高中数学_3.1.2 瞬时速度与导数教学设计学情分析教材分析课后反思
《瞬时速度与导数》教材设计教学环节学以致用拓展延伸例 2. 竖直向上弹射一个小球，小球的初速度为100m/s.试求小球何时速度为零。
跟踪练习2：一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)．若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8m/s，求a。
例2学生说思路，老师板书步骤，展示学生的学案版面即学即练2：老师点拨，帮助学生理论升华。
在教学中以具体问题为载体,加深学生对导数内涵的理解，目的是让学生学会用数学的眼光去看待物理模型，建立各学科之间的联系，更好地体现数学的应用之美。
归纳总结1．知识梳理：(1)瞬时变化率、导数的概念。
(2)定义求导步骤。
2．数学思想方法：极限，类比，归纳，一般到特殊，特殊到一般。
学生用自己的语言进行课堂小结，互相补充完善。
通过反思与归纳帮助学生自行构建知识体系，加深对所学知识的内化和掌握。
当堂练习教师课件展示，学生独立完成，互相点评完善。
对课堂教学进行及时反馈，检验课堂学习效果。
介绍数学文化这奇妙而富有哲理的导数思想是数学家牛顿、莱布尼兹17世纪伟大创举，是人类智慧的骄傲。
通过文化价值的渗透，进一步激发学生的学习兴趣和求知欲望。
解决应用物理数学归纳抽象莱布尼兹牛顿附1：板书设计附2：评价方式：自评，互评，小组评价，教师评价。
附3:设计理念：本节课我遵循“教师为主导、学生为主体”的教学理念。
以问题为载体，运用动手操作、自主探究、合作交流等手段，引导学生亲身体验概念形成的过程，把握重点；引导学生通过观察、类比、归纳来突破难点；并从现实生活中寻找数学题材，使学生感受数学源于生活、又服务于生活的学科价值。
《瞬时速度与导数》学情分析1．学生认知起点：在高一物理中，学生已经感性地了解了平均速度与瞬时速度的逼近关系，但缺乏极限思想的理性认识,2．学生自身特点：高二学生已初步具有从所学知识经验中提炼、模仿、探究新知识的能力。
《瞬时速度与导数》效果分析1.本节课通过实例引入,借助物理公式产生背景与数学的联系,建立数理联系，激发了学生的学习兴趣。
高中数学 3.1.2瞬时变化率与导数 精品导学案 新人教A版选修1-1
湖南省邵阳市隆回县第二中学高中数学 3.1.2瞬时变化率与导数导学案 新人教A 版选修1-1【学习目标】1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2．理解导数的概念，知道瞬时变化率是导数，体会导数的思想及其内涵；3．会求函数在某点的导数.【自主学习】1.瞬时速度、瞬时变化率的概念是什么？2.导数的概念是什么？3.求函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '的三个步骤是什么？４．函数f(x)在x 0处的导数f′(x 0)与Δx 有关吗？５．某点导数即为函数在这点的瞬时变化率，含着两层含义是什么？(1) limΔx→0Δy Δx存在，则称f(x)在x ＝x 0处是否可导并且导数是什么？ (2) limΔx→0Δy Δx 不存在，则称f(x)在x ＝x 0处是否可导？ 【自主检测】1.质点运动规律为32+=t s ，求质点在3t =的瞬时速度 ．2.数f (x )=x x +-2在1x =-处的导数 ．【典型例题】例1．求函数y=23x 在x=1处的导数.例2.求函数1y x =在点12x =处的导数.【课堂检测】1.已知f(x)=ax 3+3x 2+2，若()'1f -=4，则a 的值等于 （ ）(A) 319 (B) 316 (C) 313 (D)310 2．求曲线y =f(x)=x 3在1x =时的导数 ．3.数y=x 在x=1处的导数 .【总结提升】1.局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值，从而过渡到导数的概念.2.理解求导数值的三个步骤:⑴求函数值的增量:00()()y f x x f x ∆=+∆-;⑵求平均变化率:()()00y f x x f x x x∆+∆-=∆∆并化简; ⑶直觉lim 0△△△y x x →得导数0()f x '.注意：令x ＝x 0＋Δx，得Δx＝x －x 0，于是f′(x 0)＝limΔx→0f(x)－f(x 0)x －x 0与定义中的 f ′(x 0)＝limΔx →0f(x 0 ＋Δx)－f(x 0)Δx意义相同.教师个人研修总结 在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。
高中数学 3.1.2瞬时变化率与导数导学案 新人教A版选修1-1
湖南省邵阳市隆回县第二中学高中数学 3.1.2瞬时变化率与导数导学案 新人教A 版选修1-1【学习目标】1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2．理解导数的概念，知道瞬时变化率是导数，体会导数的思想及其内涵；3．会求函数在某点的导数.【自主学习】1.瞬时速度、瞬时变化率的概念是什么？2.导数的概念是什么？3.求函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '的三个步骤是什么？４．函数f(x)在x 0处的导数f′(x 0)与Δx 有关吗？５．某点导数即为函数在这点的瞬时变化率，含着两层含义是什么？(1) limΔx→0Δy Δx存在，则称f(x)在x ＝x 0处是否可导并且导数是什么？ (2) limΔx→0Δy Δx 不存在，则称f(x)在x ＝x 0处是否可导？ 【自主检测】1.质点运动规律为32+=t s ，求质点在3t =的瞬时速度 ．2.数f (x )=x x +-2在1x =-处的导数 ．【典型例题】例1．求函数y=23x 在x=1处的导数.例2.求函数1y x =在点12x =处的导数.【课堂检测】1.已知f(x)=ax 3+3x 2+2，若()'1f -=4，则a 的值等于 （ ）(A) 319 (B) 316 (C) 313 (D)310 2．求曲线y =f(x)=x 3在1x =时的导数 ．3.数y=x 在x=1处的导数 .【总结提升】1.局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值，从而过渡到导数的概念.2.理解求导数值的三个步骤:⑴求函数值的增量:00()()y f x x f x ∆=+∆-;⑵求平均变化率:()()00y f x x f x x x∆+∆-=∆∆并化简; ⑶直觉lim 0△△△y x x →得导数0()f x '.注意：令x ＝x 0＋Δx，得Δx＝x －x 0，于是f′(x 0)＝limΔx→0f(x)－f(x 0)x －x 0与定义中的 f′(x 0)＝limΔx→0f(x 0 ＋Δx )－f(x 0)Δx 意义相同.。
人教版高中数学优质教案1：3.1.2导数的概念 教学设计
3.1.2导数的概念教学目标：1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3．会求函数在某点的导数教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；教学难点：导数的概念．教学过程：一．创设情景（一）平均变化率（二）探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图象，结合图形可知，)0()4965(h h =，所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．二．新课讲授1．瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况：思考：当t ∆趋近于0时，平均速度v 有什么样的变化趋势？ 结论：当t ∆趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v 都趋近于一个确定的值13.1-．从物理的角度看，时间t ∆间隔无限变小时，平均速度v 就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s -为了表述方便，我们用0(2)(2)lim 13.1t h t h t∆→+∆-=-∆ 表示“当2t =，t ∆趋近于0时，平均速度v 趋近于定值13.1-”小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
2 导数的概念从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:0000()()lim lim x x f x x f x f xx ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 说明：（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率（2）0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以0000()()()limx f x f x f x x x ∆→-'=- 三．典例分析例1．（1）求函数y =3x 2在x =1处的导数.分析：先求Δf =Δy =f (１＋Δx )-f (１)=6Δx +(Δx )2 再求6f x x ∆=+∆∆再求0lim 6x f x∆→∆=∆ 解：法一定义法（略） 法二：222211113313(1)|lim lim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- （2）求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 解：x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)lim lim (3)3x x y x x f x x x∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆ 例2．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：C o ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤，计算第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解：在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(6)f 根据导数定义，0(2)()f x f x f x x+∆-∆=∆∆ 22(2)7(2)15(27215)3x x x x+∆-+∆+--⨯+==∆-∆ 所以00(2)lim lim(3)3x x f f x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆ 同理可得:(6)5f '=在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率分别为3-和5，说明在2h 附近，原油温度大约以3/C h o 的速率下降，在第6h 附近，原油温度大约以5/C h o的速率上升．注：一般地，'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况． 四．回顾总结1．瞬时速度、瞬时变化率的概念2．导数的概念五．布置作业。
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房山高级中学生态循环课堂教案高二数学（文）第 19周 02 总编号：68 主备人：李凤廷
3.1.2瞬时变化率——导数（1）班级姓名
一、教学目标
1．理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念及实际背景；
2．理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率的定义以及切线方程的求法；
二、教学重难点
1.理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率的定义以及切线方程的求法．
2.用“无限逼近”、“局部以直代曲”的思想理解某一点处切线的斜率．
三、教学方法学生阅读课本为主，讲练结合。
四、教学过程
教学流程教学方法
一、学生背诵：平均变化率分组检查
二、学生展示
问题一：如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？
如果将点P附近的曲线放大，那么就会发现，曲线在点P附近看上去有点像是直线．
如果将点P附近的曲线再放大，那么就会发现，曲线在点P附近看上去几乎成了直线．事实上，如果继续放大，那么曲线在点P附近将逼近一条确定的直线l，该直线l是经过点P的所有直线中最逼近曲线的一条直线．因此，在点P附近我们可以用这条直线l来代替曲线，也就是说，点P附近，曲线可以看做直线（即在很小的范围内以直代曲）．学生口答学生板书学生板书
P
P P
问题二：
如图所示，直线12l l ，为经过曲线上一点P 的两条直线．
（1） 试判断哪一条直线在点P 附近更加逼近曲线；
（2） 在点P 附近能作出一条比21,l l 更加逼近曲线的直线3l 吗？ （3） 在点P 附近能作出一条比321,,l l l 更加逼近曲线的直线吗？ 三、学生互批：学生批改，教师强调学生展示错误的问题 分组互批 四、精讲归纳
例1 试求2)(x x f =在点(2,4)处的切线斜率．
练习 试求1)(2+=x x f 在x ＝1处的切线斜率．
教师精讲
五、合作探究 1、已知x x f =)(，求曲线)(x f y =在2
1
=
x 处的切线斜率和切线方程．
六、课堂检测
1．已知2
)(x x f =，求曲线)(x f y =在1-=x 处的切线斜率和切线方程； 2．已知1
)(-=x x f ，求曲线)(x f y =在1-=x 处的切线斜率和切线方程；
3．已知21)(x x f -=，求曲线)(x f y =在2
1
=x 处的切线斜率和切线方程．
教学反思。