【精品】2020年中考数学典例精做专题19 新定义型问题 (教师版)

※知识精要新定义型问题是学习型阅读理解题，是指题目中首先给出一个新定义（新概念或新公式），通过阅读题目提供的材料，理解新定义，再通过对新定义的理解来解决题目提出的问题。

其主要目的是通过对新定义的理解与运用来考查学生的自主学习能力，便于学生养成良好的学习习惯。

※要点突破解决此类题的关键是（1）深刻理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论;（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；（3）依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题。

※典例精讲例1阅读理解：如图1，若在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E与点A，B不重合），分别连结ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：（1）如图1，若∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，请直接写出BCAB的值．图1 图2 图3【答案】（1）点E是四边形ABCD的AB边上的相似点；（2）如图；（3）3 BCAB例2．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，如图为点P，Q的“相关矩形”示意图．（1）已知点A的坐标为（1，0），①若点B的坐标为（3，1），求点A，B的“相关矩形”的面积；②点C在直线x=3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；（2）⊙O的半径为，点M的坐标为（m，3），若在⊙O上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围．【答案】（1）直线AC的表达式为y=x－1或y=－x＋1；（2）1≤m≤5或－5≤m≤－1解：（1）①∵A（1，0），B（3，1）由定义可知：点A，B的“相关矩形”的底与高分别为2和1，∴点A，B的“相关矩形”的面积为2×1=2；②由定义可知：AC是点A，C的“相关矩形”的对角线，又∵点A，C的“相关矩形”为正方形∴直线AC与x轴的夹角为45°，设直线AC的解析为：y=x+m或y=﹣x+n把（1，0）分别y=x+m，∴m=﹣1，∴直线AC的解析为：y=x﹣1，把（1，0）代入y=﹣x+n，∴n=1，∴y=﹣x+1，综上所述，若点A，C的“相关矩形”为正方形，直线AC的表达式为y=x﹣1或y=﹣x+1；（2）设直线MN的解析式为y=kx+b，∵点M，N的“相关矩形”为正方形，∴由定义可知：直线MN与x轴的夹角为45°，∴k=±1，∵点N在正方形边上，∴当直线MN与正方形有交点时，点M，N的“相关矩形”为正方形，当k=1时，作过R与K的直线与直线MN平行，将（-1,1）和（2，-2）分别代入y=x+b得b=2 或b=-4把M（m，3）代入y=x+2和y=x-4，得m=1 m=7∴1≤m≤7，※课堂精练一、几何新定义型问题1．定义：如图①，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN三段，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．请解决下列问题：(1)已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且BN＞MN＞AM.若AM＝2，MN＝3，求BN的长；(2)如图②，若点F，M，N，G分别是AB，AD，AE，AC边上的中点，点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE＞BD，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点【答案】（1）；（2）证明见解析.（2）∵点F、M、N、G分别是AB、AD、AE、AC边上的中点，∴FM、MN、NG分别是△ABD、△ADE、△AEC的中位线，∴BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG．∵点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE＞BD，∴EC2=DE2+DB2，∴4NG2=4MN2+4FM2，∴NG2=MN2+FM2，∴点M，N是线段FG的勾股分割点．2.如图1，点C将线段AB分成两．部分，如果AC BC ABAC=，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为1S，2S，如果121S SS S=，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（1）研究小组猜想：在ABC△中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是ABC△的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF CE∥，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是ABC△的黄金分割线．请你说明理由．（4）如图4，点E是ABCDY的边AB的黄金分割点，过点E作EF AD∥，交DC于点F，显然直线EF是ABCDY的黄金分割线．请你画一条ABCDY的黄金分割线，使它不经过ABCDY各边黄金分割点．【答案】见解析（3）因为DF CE ∥，所以DEC △和FCE △的公共边CE 上的高也相等， 所以有DEC FCE S S =△△． ······································································· 7分 设直线EF 与CD 交于点G ．所以DGE FGC S S =△△． 所以ADC FGC AFGD S S S =+△△四边形DGE AEF AFGD S S S =+=△△四边形，BDC BEFC S S =△四边形． 又因为ADC BDCABC ADCS S S S =△△△△，所以BEFC AEF ABC AEF S S S S =四边形△△△． ······························ 9分 因此，直线EF 也是ABC △的黄金分割线． ········································ 10分 （4）画法不惟一，现提供两种画法； ·················································· 12分画法一：如答图1，取EF 的中点G ，再过点G 作一条直线分别交AB ，DC 于M ，N 点，则直线MN 就是ABCD Y 的黄金分割线．画法二：如答图2，在DF 上取一点N ，连接EN ，再过点F 作FM NE ∥交AB 于点M ，连接MN ，则直线MN 就是ABCD Y 的黄金分割线．3．定义：四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．理解：FBD N M G（第21题答图1）FBD N M （第21题答图2）（1）如图1，已知Rt△ABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出3个即可）；（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=80°，∠ADC=140°，对角线BD平分∠ABC．求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；（3）如图3，已知FH是四边形EFCH的“相似对角线”，∠EFH=∠HFG=30°，连接EG，若△EFG的面积为2，求FH的长．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）FH=2．解：（1）由图1知，AB=，BC=2，∠ABC=90°，AC=5，∵四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，当∠ACD=90°时，△ACD∽△ABC或△ACD∽△CBA，∴或，∴CD=10或CD=2.5同理：当∠CAD=90°时，AD=2.5或AD=10，（2）∵∠ABC=80°，BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=40°，∴∠A+∠ADB=140°∵∠ADC=140°，∴∠BDC+∠ADB=140°，∴∠A=∠BDC，∴△ABD∽△BDC，∴BD是四边形ABCD的“相似对角线”；【点睛】本题考查了相似三角形的综合题，涉及到新概念、相似三角形的判定与性质等，正确理解新概念，熟练应用相似三角形的相关知识是解题的关键.4. 我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点．例如：如图①，平行四边形ABCD中，可证点A、C到BD的距离相等，所以点A、C是平行四边形ABCD的一对等高点，同理可知点B、D也是平行四边形ABCD的一对等高点．(1)如图②，已知平行四边形ABCD，请你在图②中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE(要求：画出必要的辅助线)；(2)已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点(不与B、D点重合)，请分别探究图③、图④中S1，S2，S3，S4四者之间的等量关系(S1，S2，S3，S4分别表示△ABP，△CBP，△CDP，△ADP的面积)：①如图③，当四边形ABCD只有一对等高点A、C时，你得到的一个结论是________；②如图④，当四边形ABCD没有等高点时，你得到的一个结论是________．【答案】见解析二、函数与图形新定义型问题5. 对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和直线m ，给出如下定义：若存在一点P ，使得点P 到直线m 的距离等于，则称P 为直线m 的平行点．（1）当直线m 的表达式为y =x 时，①在点P 1（1，1），P 2（0，2），P 3（22-，22）中，直线m 的平行点是 ； ②⊙O 的半径为10，点Q 在⊙O 上，若点Q 为直线m 的平行点，求点Q 的坐标.（2）点A 的坐标为（n ，0），⊙A 半径等于1，若⊙A 上存在直线x y 3=的平行点，直接写出n 的取值范围．【答案】见解析在Rt △BHQ 1中，可求NQ 1=NB=2.所以ON=22.所以点Q 1的坐标为（2，22）. 同理可求点Q 2的坐标为（22-，2-）.如图2，当点B 在原点下方时，可求点Q 3的坐标为（22，2）点Q 4的坐标为 （2-，22-）.综上所述，点Q 的坐标为（2，22），（22-，2-），（22，2），（2-，22-）. （2）334-≤n ≤334. 7．在平面直角坐标系xOy 中，设点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）是图形W 上的任意两点．定义图形W 的测度面积：若|x 1﹣x 2|的最大值为m ，|y 1﹣y 2|的最大值为n ，则S=mn 为图形W 的测度面积．例如，若图形W 是半径为1的⊙O ，当P ，Q 分别是⊙O 与x 轴的交点时，如图1，|x 1﹣x 2|取得最大值，且最大值m=2；当P，Q分别是⊙O与y轴的交点时，如图2，|y1﹣y2|取得最大值，且最大值n=2．则图形W的测度面积S=mn=4（1）若图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1．①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S= ；②如图4，当AB⊥x轴时，它的测度面积S= ；（2）若图形W是一个边长1的正方形ABCD，则此图形的测度面积S的最大值为；（3）若图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围．【答案】（1）1,1；（2）2；（3）12≤S≤492．解：（1）①如图3，∵OA=OB=1，点A，B在坐标轴上，∴它的测度面积S=|OA|•|OB|=1，故答案为：1．②如图4，∵AB⊥x轴，OA=OB=1．∴AB=2，2 2，∴它的测度面积S=|AB|•|OC|=2×22=1，故答案为：1．故答案为：2．当顶点A，C都不在x轴上时，如图8，过点A作直线AH⊥x轴于点E，过C点作CF⊥x轴于点F，过点D作直线GH∥x轴，分别交AE，C F于点H，G，则可得四边形EFGH是矩形，当点P，Q与点A，C重合时，|x1﹣x2|的最大值为m=EF，|y1﹣y2|的最大值为n=GF．图形W的测度面积S=EF•GF，∵∠ABC+∠CBF=90°，∠ABC+∠BAE=90°，∴∠CBF=∠BAE，∵∠AEB=∠BFC=90°，∴△AEB∽△BFC，∴43 AE EB ABBF FC BC===，设AE=4a，EB=4b，（a＞0，b＞0），则BF=3a，FC=3b，在RT△AEB中，AE2+BE2=AB2，∴16a2+16b2=16，即a2+b2=1，∵b＞0，∴21b a =-在△ABE 和△CDG 中，E G ABE CDG AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CDG （AAS ）∴CG=AE=4a ，∴EF=EB+BF=4b+3a ，GF=FC+CG=3b+4a ， ∴图形W 的测度面积S=EF•GF=（4b+3a ）（3b+4a ）考点：圆的综合题；二次函数的最值问题；全等三角形；新定义题目；探究型题目8．在平面直角坐标系中，点Q 为坐标系上任意一点，某图形上的所有点在∠Q 的内部（含角的边），这时我们把∠Q 的最小角叫做该图形的视角．如图1，矩形ABCD ，作射线OA ，OB ，则称∠AOB 为矩形ABCD 的视角．（1）如图1，矩形ABCD ，A （﹣，1），B （，1），C （，3），D （﹣，3），直接写出视角∠AOB 的度数；（2）在（1）的条件下，在射线CB 上有一点Q ，使得矩形ABCD 的视角∠AQB=60°，求点Q 的坐标；（3）如图2，⊙P的半径为1，点P（1，），点Q在x轴上，且⊙P的视角∠EQF的度数大于60°，若Q（a，0），求a的取值范围．【答案】（1）视角∠AOB的度数是120°；（2）Q的坐标（，﹣1）；（3）a的取值范围是0＜a＜2．解：（1）120°；（2）连结AC，在射线CB上截取CQ=CA，连结AQ．∵AB=2，BC=2，∴AC=4．∴∠ACQ=60°．∴△ACQ为等边三角形，即∠AQC=60°．∵CQ=AC=4，∴Q（，﹣1）．∴a 的取值范围是0＜a ＜2．点睛：本题的关键是理解视角的定义，然后根据定义求出题目的要求，三角函数求出度数，第三问里要注意切线的位置的特殊性，利用切线的性质求出视角，近而得出Q 点横坐标的取值范围内的数值即可.9. 对于平面直角坐标系xOy 中的点(,)Q x y （x ≠0），将它的纵坐标y 与横坐标x 的比yx称为点Q 的“理想值”，记作Q L .如(1,2)Q -的“理想值”221Q L ==--. （1）①若点(1,)Q a 在直线4y x =-上，则点Q 的“理想值”Q L 等于_________；②如图，(3,1)C ，⊙C 的半径为1. 若点Q 在⊙C 上，则点Q 的“理想值”Q L 的取值范围是 . （2）点D 在直线3+3y x =上，⊙D 的半径为1，点Q 在⊙D 上运动时都有0≤L Q 3，求点D 的横坐标D x 的取值范围；（3）(2,)M m （m ＞0），Q 是以r 为半径的⊙M 上任意一点，当0≤L Q ≤22画出满足条件的最大圆，并直接写出相应的半径r 的值.（要求画图位置准确，但不必尺规作图）【答案】见解析由0≤QL ≤3，作直线3y x =．①如图13，当⊙D 与x 轴相切时，相应的圆心1D 满足题意，其横坐标取到最大值．作11D E x ⊥轴于点1E ，可得11D E ∥OB ，111D E AE BO AO =． ∵ ⊙D 的半径为1， ∴ 111D E =．图13∴ 13AE =，1123OE OA AE =-=． ∴123D x =．∴ 21D F =．图14图15三、方程、不等式、函数与新定义11．对于三个数、、，用表示这三个数的中位数，用表示这三个数中最大数，例如：，，.解决问题：（1）填空：，如果，则的取值范围为；（2）如果，求的值；（3）如果，求的值.【答案】（1），；（2）﹣3或0；（3）x=3或﹣3．解：（1）∵sin45°=，cos60°=，tan60°=，∴M{sin45°，cos60°，tan60°}=，∵max{3，5﹣3x，2x﹣6}=3，则，∴x的取值范围为：，故答案为：，；（2）2•M{2，x+2，x+4}=max{2，x+2，x+4}，分三种情况：①当x+4≤2时，即x≤﹣2，原等式变为：2（x+4）=2，x=﹣3，②x+2≤2≤x+4时，即﹣2≤x≤0，原等式变为：2×2=x+4，x=0，③当x+2≥2时，即x≥0，原等式变为：2（x+2）=x+4，x=0，综上所述，x的值为﹣3或0；（3）不妨设y1=9，y2=x2，y3=3x﹣2，画出图象，如图所示：结合图象，不难得出，在图象中的交点A、B点时，满足条件且M{9，x2，3x﹣2}=max{9，x2，3x﹣2}=y A=y B，此时x2=9，解得x=3或﹣3．点睛：本题考查了方程和不等式的应用及新定义问题，理解新定义，并能结合图象，可以很轻松将抽象题或难题破解，由此看出，图象在函数相关问题的作用是何等重要．12．定义：对于给定的二次函数y=a（x﹣h）2+k（a≠0），其伴生一次函数为y=a（x﹣h）+k，例如：二次函数y=2（x+1）2﹣3的伴生一次函数为y=2（x+1）﹣3，即y=2x﹣1．（1）已知二次函数y=（x﹣1）2﹣4，则其伴生一次函数的表达式为_____；（2）试说明二次函数y=（x﹣1）2﹣4的顶点在其伴生一次函数的图象上；（3）如图，二次函数y=m（x﹣1）2﹣4m（m≠0）的伴生一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点B、A，且两函数图象的交点的横坐标分别为1和2，在∠AOB内部的二次函数y=m（x﹣1）2﹣4m的图象上有一动点P，过点P作x轴的平行线与其伴生一次函数的图象交于点Q，设点P的横坐标为n，直接写出线段PQ的长为时n的值．【答案】y=x﹣5。