电磁场的数学、物理基础知识
大学物理电磁学
大学物理电磁学是物理学的一个重要分支，主要研究电磁现象的规律和本质。
电磁学在科学技术、工业生产和日常生活中都有着广泛的应用。
本文将从电磁学的基本概念、基本定律和电磁波的传播等方面对大学物理电磁学进行介绍。
一、基本概念1.电荷：电荷是物质的一种属性，分为正电荷和负电荷。
电荷间的相互作用规律是：同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。
2.电场：电场是电荷及变化磁场周围空间里存在的一种特殊物质，它对放入其中的电荷有作用力。
电场的强度用电场强度E表示，单位是牛/库仑。
3.磁场：磁场是磁体周围空间里存在的一种特殊物质，它对放入其中的磁体有作用力。
磁场的强度用磁感应强度B表示，单位是特斯拉。
4.电磁波：电磁波是由同相振荡且互相垂直的电场与磁场在空间中以波的形式移动，其传播方向垂直于电场与磁场构成的平面，有效的传递能量。
电磁波在真空传播速度与光速一样，速度为30万千米/秒。
二、基本定律1.库仑定律：库仑定律是描述电荷之间相互作用的定律，其内容为：真空中两点电荷间的作用力与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的平方成反比，作用力在它们的连线上。
2.安培定律：安培定律是描述电流和电流激发磁场的定律，其内容为：电流I1通过一条无限长直导线时，在距离导线r处产生的磁场强度H1与I1成正比，与r成反比，即H1与I1r成反比。
磁场方向垂直于电流方向和通过点的平面。
3.法拉第电磁感应定律：法拉第电磁感应定律是描述磁场变化引起电场变化的定律，其内容为：穿过电路的磁通量发生变化时，产生感应电动势。
感应电动势的大小与磁通量变化率成正比，与电路的匝数成正比。
4.麦克斯韦方程组：麦克斯韦方程组是描述电磁场分布和电磁波传播的四个偏微分方程，包括库仑定律、法拉第电磁感应定律、安培定律和位移电流定律。
三、电磁波的传播1.电磁波的发射：电磁波的产生通常是通过振荡电路实现的。
当振荡电路中的电场和磁场相互垂直且同相振荡时，电磁波便会产生并向外传播。
电磁场的数学建模与解答技巧
电磁场的数学建模与解答技巧电磁场是电荷和电流所产生的相互作用效应，它在工程学、物理学以及计算机模拟中都扮演着重要角色。
为了更好地理解和分析电磁场，数学建模和解答技巧是必不可少的。
本文将从电磁场的数学建模入手，介绍几种常用的数学建模方法，并给出解答技巧的实例。
一、电磁场的数学建模方法之一：微分方程微分方程是描述电磁场的一种常用数学工具。
通常，通过麦克斯韦方程组可以得到电磁场满足的偏微分方程。
对于静电场，可以使用拉普拉斯方程描述，表示为：∇²ϕ = -ρ/ε₀其中ϕ是电势，ρ是电荷密度，ε₀是真空介电常数。
对于静磁场，则可以使用斯托克斯方程描述，表示为：∇×B = μ₀J其中B是磁感应强度，J是电流密度，μ₀是真空磁导率。
通过求解这些微分方程，可以得到电磁场的分布情况。
二、电磁场的数学建模方法之二：有限元法有限元法是一种常用的数值解法，可用于求解任意形状的电磁场问题。
该方法将电磁场区域划分为有限个小单元，并在每个小单元内以多项式函数逼近电磁场的分布。
通过建立离散的代数方程组，并求解该方程组，可以得到电磁场的近似解。
三、电磁场的数学建模方法之三：有限差分法有限差分法是一种离散方法，通过将连续的电磁场问题转化为离散的代数问题进行求解。
该方法将连续的电磁场区域划分为网格，并在每个网格节点上进行逼近。
通过近似微分算子，将偏微分方程转化为差分方程，并通过迭代求解差分方程得到电磁场的解。
四、电磁场解答技巧实例为了更好地展示电磁场解答技巧，以下给出一个实例。
考虑一个带有一根无限长直导线的无限大平面问题。
已知导线的电流密度为I，求解该情况下的磁场分布。
根据安培环路定理，可以得到这个问题的微分方程为：∇×B = μ₀Iδ(x)δ(y)ez其中δ表示狄拉克δ函数，ez表示z轴方向上的单位向量。
通过对微分方程进行求解，可以得到在导线周围的磁场强度为：B = μ₀I/2πr其中r表示距导线的径向距离。
工程电磁场 第1章 电磁场的数学基础
《工程电磁场》
第1章 电磁场的数学基础
1
第1章 电磁场的数学基础
1.1 场的概念及其分类
1.2 正交曲面坐标系
1.3 矢量代数
1.4 场的可视化描述
1.5 场的梯度、散度、旋度
1.6 场论分析常用定理
1.7 电磁场麦克斯韦方程组与场论
《工程电磁场》
1.1 场的概念及其分类
《工程电磁场》
《工程电磁场》
标量及其乘积运算
两个标量a与b相乘，标量参数之间可用
“
”号、“ • ” 号或什么符号也不加，
都代表二者之间的倍数关系，即
，
a b a b ab
《工程电磁场》
矢量及其表示方法
《工程电磁场》
一个由大小和方向共同确定的物理量叫做矢量。
=
，
= + + =
ex
ey
ez
A B Ax Ay Az
Bx B y Bz
9. A ( B C ) B (C A) C ( A B )
10. ( A B )C A( B C )
11. A ( B C ) ( A B ) C
Ԧ )
——不随空间变化的时变场 φ(t) , (t
第1章 电磁场的数学基础
1.1 场的概念及其分类
1.2 正交曲面坐标系
1.3 矢量代数1.4 源自的可视化描述1.5 场的梯度、散度、旋度
1.6 场论分析常用定理
1.7 电磁场麦克斯韦方程组与场论
电磁场的数学物理基础知识
1.1.1 矢量及其表示方法
➢ 矢量：表示既有大小也有方向的量，如 F或 F
➢ 标量：只有大小的量，如 f、 g
➢
矢量几何图示如右： F
➢ 矢量代数：矢量间的四则运算，即加减法、乘法。
18.08.2020 6
1.1.1 矢量及其表示方法
一个由大小和方向共同确定的物理量叫做矢量。
-B
B
图1-2 两矢量相减
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1.1.2 矢量相加(代数表示)
z
直角坐标系中的矢量及运算
A exA xeyA yezA z
A
Az
Ax
y
AA Ax2Ay2Az2
Ay x
，
图 1-3 直角坐标中的A及其各分矢量
若 AexA xeyA yezA z BexB xeyB yezB z
⑴A•B=B•A
Acosθ
B
⑵(A+B)•C=A•C+B•C
⑶λ(A • B) =(λA) • B= A•(λB)
Bcos
A
⑷若A ⊥B，则A•B=0
(5)A自身的点积，即 =0°，A•A=A2
18.08.2020 14
例如， 直角坐标系中的单位矢量有下列关系式： ex·ey=ey·ez= ex·ez=0 ex·ex=ey·ey=ez·ez=1 直角坐标系中的点积运算
量。
♥ 负矢量——与原矢量大小相等，方向相反的矢量。
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1.1.2 矢量相加(几何表示 )
两矢量A和B相加定义为一个新矢量A+B
B A+B A
A+B B
A
，
( a ) 平行四边形法则
高二物理电磁学知识点总结大全
高二物理电磁学知识点总结大全电磁学是物理学中重要的分支之一，它研究电荷和磁荷之间相互作用的规律，涉及到许多重要的概念和定律。
下面是对高二物理电磁学知识点的总结，希望能够对同学们的学习有所帮助。
一、静电场1. 电荷和电场电荷：原子中的负电子和正电子之间存在着相互作用力，当电子和质子数目相等时，物质是电中性的，否则就带有电荷。
电荷有正负之分，同性相斥，异性相吸。
电场：电荷周围存在着电场，电场是指电荷感受到的力的作用范围。
2. 电场强度电场强度E是指单位正电荷所受到的电场力F与正电荷之间的比率，用公式E=F/q表示，单位是N/C。
3. 受力与受力分析带电粒子在电场中受到电场力的影响，当电荷体系中存在多个电荷时，合力等于各个电荷的叠加。
二、恒定磁场1. 磁场与磁感线磁场：指物体周围存在的磁力作用范围。
磁场包括磁场强度B 和磁感应强度。
磁感线：是描述磁场的一种图示方法，磁感线的方向是磁力线的方向，磁感线的密度表示磁场的强弱。
2. 洛伦兹力当一个带电粒子以速度v进入磁场时，将受到垂直于速度和磁感应强度方向的洛伦兹力F。
洛伦兹力公式为F=qvBsinθ，其中q是电荷量，v是粒子速度，B是磁感应强度，θ是v和B夹角。
3. 荷质比的测定荷质比是指带电粒子的电荷量和质量之比，可以通过在磁场中测定带电粒子的运动轨迹来进行测定。
三、电磁感应和电动势1. 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律是描述电磁感应现象的定律，它表明当一个导体中的磁通量发生变化时，该导体两端会产生感应电动势。
法拉第电磁感应定律的数学表示为ε=-dΦ/dt，其中ε是感应电动势，Φ是磁通量，t是时间。
2. 楞次定律和自感现象楞次定律：当电路中的电流发生变化时，由于电路的自感作用，电路中会产生感应电动势，其方向与变化前的电流方向相反。
自感现象：由于导线本身存在自感作用，当电流发生变化时，导线两端会产生感应电动势，导致电路中电流的改变。
3. 电磁感应定律的应用电磁感应定律的应用包括发电机、变压器等重要的实际应用，它们都是基于电磁感应现象的原理。
物理高一必修三必背知识点
物理高一必修三必背知识点高一物理必修三主要讲述了电磁感应和电磁场的知识，其中包括了法拉第电磁感应定律、电磁感应中的恒定磁场和变化磁场、电磁感应中的感生电动势以及电磁振荡等。
这些知识点在高中物理学习中至关重要，下面将对这些知识点进行详细介绍和解析。
第一部分：法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律是电磁感应的基本定律，也是电磁现象的核心内容之一。
根据法拉第电磁感应定律，当导体内的磁通量发生变化时，导体中会产生感生电动势。
这个定律的数学表达式为:ε = -dΦ/dt其中，ε代表感生电动势，Φ代表磁通量，t代表时间，d/dt为对时间的微分运算。
根据这个定律，我们可以解释许多与电磁感应相关的现象，比如变压器的工作原理、电磁感应发电和感应电磁铁等。
第二部分：恒定磁场和变化磁场在电磁感应中，磁场的变化对感生电动势有重要影响。
当导体与恒定磁场相互作用时，只有导体在磁场中相对运动或者磁场发生变化时，才会产生感生电动势。
这是因为当导体在磁场中运动时，磁通量会随着导体运动而改变，从而导致感生电动势的产生。
另一方面，当磁场的强度发生变化时，例如磁场中的磁感应强度发生变化或者磁场的面积发生变化，也会导致感生电动势的产生。
第三部分：电磁感应中的感生电动势在电磁感应中，感生电动势是一个十分重要的概念。
感生电动势指的是由于磁场变化产生的电场力使电子在导体中发生移动从而产生的电动势。
根据电磁感应过程的不同，感生电动势可以分为自感生电动势和互感生电动势。
自感生电动势是指在单个导体中，由于磁场的变化而产生的电动势。
互感生电动势是指在互感器或变压器中，不同的线圈之间由于磁场的变化而产生的电动势。
感生电动势的产生对于电磁感应的应用非常重要，例如在变压器中，通过感生电动势可以实现高电压和低电压之间的能量转换。
第四部分：电磁振荡电磁振荡是电磁学中的一个重要概念，也是电磁感应中的一种特殊现象。
当电路中包含一个电容器和一个线圈时，通过改变电容器中的电荷分布或者改变线圈中的电流强度，就可以在电路中产生电磁振荡。
数学物理中的电磁学与电磁场理论
数学物理中的电磁学与电磁场理论电磁学是物理学的重要分支，研究物质中电荷的运动以及与之相互作用的现象。
而电磁场理论则是电磁学的基础，描述了电荷和电流带来的电磁场的产生和传播规律。
本文将从数学物理的角度，探讨电磁学与电磁场理论的相关概念和数学模型。
1. 电磁学基础在电磁学中，电荷是核心概念之一。
电荷分为正电荷和负电荷，同种电荷互相排斥，异种电荷互相吸引。
库伦定律描述了电荷之间的相互作用力的大小与距离的关系。
其数学表达式为：$$F = \frac{{k \cdot |q_1 \cdot q_2|}}{{r^2}}$$其中，$F$为电荷之间的相互作用力，$q_1, q_2$为电荷的电量，$r$为电荷之间的距离，$k$为比例常数。
2. 静电场与电势静电场是电磁场的一种特殊情况，不随时间变化。
静电场可以用电势来描述。
电势是描述某一点电场状态的物理量，其定义为单位正电荷在该点所受电势力所做的功。
电势可以通过静电势能来解释，即电荷在电场中由于位置变化所引起的能量变化。
电势的数学定义为：$$V = \frac{U}{q}$$其中，$V$为电势，$U$为电势能，$q$为电荷的电量。
3. 电场和电场强度电场是在空间中存在电荷时产生的物理现象，描述了电荷对其他电荷或者测试电荷产生的力的作用。
电场由电场强度来描述，电场强度是单位正电荷在某一点上受到的电场力。
电场强度的数学定义为：$$E = \frac{F}{q}$$其中，$E$为电场强度，$F$为电荷所受电场力，$q$为测试电荷的电量。
4. 感应电场与法拉第电磁感应定律当磁场的变化引起了电场的变化时，产生的电场称为感应电场。
感应电场可以通过法拉第电磁感应定律来描述，即导体回路中的感应电动势等于磁通量的变化率。
法拉第电磁感应定律的数学表达为：$$\varepsilon = -\frac{{d\Phi}}{dt}$$其中，$\varepsilon$为感应电动势，$\Phi$为磁通量，$t$为时间。
电磁场的高斯定律
电磁场的高斯定律高斯定律是电磁学中非常重要的一个定律，它描述了与电荷和电场在空间分布有关的关系。
高斯定律由德国物理学家卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪初发现和发表，被广泛应用于电磁学的研究和应用中。
高斯定律的表述是：电场通过一个闭合曲面的通量等于该闭合曲面内的总电荷除以真空介电常数。
这个定律用数学形式可以表示为：∮E·dA = Q/ε₀其中，∮E·dA表示电场E在某一个闭合曲面上的通量，Q表示该闭合曲面内的总电荷，ε₀表示真空介电常数。
高斯定律有着广泛的应用，下面将从静电场和静磁场两个方面来介绍高斯定律的应用。
一、静电场中的高斯定律静电场是指电荷不随时间变化的电场。
在静电场中，高斯定律可以简化为以下形式：一个闭合曲面上的电场通量等于该闭合曲面内的电荷除以真空介电常数。
利用高斯定律，我们可以推导出一些重要的结论。
比如，如果闭合曲面内没有电荷，那么该闭合曲面上的电场通量为零。
这是因为没有电荷产生的电场通过闭合曲面。
另外，如果闭合曲面内存在正电荷，那么该闭合曲面上的电场通量为正值；如果闭合曲面内存在负电荷，那么该闭合曲面上的电场通量为负值。
二、静磁场中的高斯定律在静磁场中，没有磁荷（单极子），因此高斯定律在磁场中不成立。
高斯定律只适用于描述与电荷和电场有关的情况。
但是在一些特殊情况下，我们可以利用高斯定律来计算磁场。
例如，考虑一个闭合的曲面，通过该曲面的磁场通量为Φ,那么根据高斯定律，磁场的通量Φ等于零。
这意味着，在静磁场中，磁场的通量是守恒的，即从一个闭合曲面的内部流出的磁场通量等于从该闭合曲面的外部流入的磁场通量。
结论高斯定律是描述电磁场中电荷和电场关系的重要定律。
它在静电场中的形式是电场通过闭合曲面的通量等于该闭合曲面内的总电荷除以真空介电常数。
它在静磁场中的形式可以用来说明磁场通量的守恒性质。
高斯定律的应用广泛，不仅可以用于解决静电场和静磁场中的问题，还可以扩展到动态的电磁场中。
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div A = lim
∫S
v v ∇ ⋅ A = (e x
v ∂ + ey ∂x
∂ ∂y
v + ez
v ∂ )⋅ A ∂z
∆ V →0
∆V
v ∂Ax ∂Ay ∂Az ∇⋅ A= + + ∂x ∂y ∂z
∆l →0
∆ϕ = ϕ ( P ′) − ϕ ( P) =
v ∇ϕ = ( e x
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∂ ∂x
v + ey
∂ ∂y
v + ez
∂ ) ∂z
v ϕ = ex
v + ey
∂ϕ ∂y
v + ez
∂ϕ ∂z
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▽：哈密尔顿算符(del)
哈密尔顿算符 ∇
符
v ∂ v = ex ∂x + e y
两个标量a与b相乘，标量参数之间可用“ ”号、 × “ • ” 号或什么符号也不加，都代表二者之间的倍数 关系，即 a × b = a ⋅ b = ab
，
1.矢量的标量积 矢量的标量积
⋅
dot product
A•B=ABcosθ A•B=ABcosθ ⑴A•B=B•A ⑵(A+B)•C=A•C+B•C •C=A•C+ ⑶λ(A • B) =(λA) • B= A•(λB) λ(A B) =(λA A•( ⑷若A ⊥B，则A•B=0 ，则A•B=
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9
矢量代数运算式
r r r A, B, C 均为矢量 r r r r 1. A + B = B + A r r r r r r 2. A + ( B + C) = ( A + B) + C r r r r r r r r 3. A ⋅ B = B ⋅ A = A ⋅ B ⋅ cosθ ,θ = A, B r r r r r r r 4. A ⋅ ( B + C) = A ⋅ B + A ⋅ C r r r r r r v 5. A × B = A B sin θ n , θ = A, B , (0 ≤ θ ≤ π ) r r r r v n 垂直于 A, B 所在平面并与 A × B 成右手螺旋关系。 成右手螺旋关系。 r r r r 6. A × B = −B × A
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场的概念
场是一个以空间位置( 场是一个以空间位置(x,y,z)和时间(t)为 和时间( 自变量的函数。
标量场 ——描绘场的函数为标量函数 φ(x,y,z,t) 描绘场的函数为标量函数φ= 描绘场的函数为标量函数 矢量场 ——描绘场的函数为矢量函数 描绘场的函数为矢量函数A=A(x,y,z,t ) 描绘场的函数为矢量函数 稳恒场 ——不随时间变化的场 φ(x,y,z), A(x,y,z ) 不随时间变化的场 均匀场 ——不随空间变化的场 φ(t) , A(t ) 不随空间变化的场
∂ ∂y
v + ez
∂ ∂z
——是一个兼有微分运算和矢量运算双重性质的运算
服从矢量运算的规则； 服从矢量运算的规则 矢量 ——服从矢量运算的规则； ▽ 代表一种微分运算， 代表一种微分运算 服从微分运算规则。 算子 ——代表一种微分运算，服从微分运算规则。 本身无独立意义， ① ▽本身无独立意义，只有作用于标量函数或矢量 v v 函数时才代表一种运算。 函数时才代表一种运算。∇ϕ ∇ ⋅ A ∇ × A ②只对它后边的量起运算作用。不能随便交换▽的 只对它后边的量起运算作用。不能随便交换▽ 位置。 位置。
矢量线元
d l = d l1e1 + d l 2 e 2 + d l3 e3
把长度元与坐标元之比定义为拉梅(Lame)系数
20122012-2-3
d li hi = d ui
(i = 1,2,3)
14
直角坐标系
ex × e y = ez
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15
hx = h y = hz = 1
第一章 电磁场的数学、 物理基础知识
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第一章 电磁场的数学、 电磁场的数学、物理基础知识
1-1 电磁场与矢量代数 1-2 正交曲面坐标系 1-3 标量场及其梯度 1-4 矢量场的通量、散度与高斯散度定理 矢量场的通量、散度与高斯散度定理 1-5 矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理 矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理 1-6 亥姆赫兹定理 1-7 电磁场麦克斯韦方程组 1-8 矢量场惟一性定理
C • ( A×B ) = Ax Ay Az × Bx By Bz
⑶三个矢量共面的条件
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C • ( A×B ) =0
8
4.矢量的三重积 4.矢量的三重积
A × (B×C） (B× ⑴ A×(B×C）≠ （A×B）×C (B× 不满足结合律 ⑵ A×(B×C）=（ A•C) B －( A•B) C (B×
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20
e r × eθ = e φ
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21
e r × eθ = e φ
，
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hr = 1
hθ = r
hφ = r sin θ
22
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23
1-3 标量场及其梯度
标量场u(x,y,z)的等值面 的等值面 标量场 U(x,y,z)=const
20122012-2-3 2
1-1 电磁场与矢量代数
1.1.1矢量及其表示方法 1.1.2矢量相加(叠加) 矢量相加(叠加) 1.1.3矢量的乘积运算
20122012-2-3
3
1.1.1 矢量及其表示方法
一个由大小和方向共同确定的物理量叫做矢量。 一个由大小和方向共同确定的物理量叫做矢量。
A = Ae A
，
A + B = ( Ax + Bx )e x + ( Ay + B y )e y + ( Az + Bz )e z
A − B = A + (− B ) = ( Ax − Bx )e x + ( Ay − B y )e y + ( Az − Bz )e z
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5
1.1.3矢量的乘积运算
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梯度的展开式
P8
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1-4 矢量场的通量与散度
矢量场 A 矢量线——曲线上任一点处场的矢量都沿着（位于） 曲线上任一点处场的矢量都沿着（ 矢量线 曲线上任一点处场的矢量都沿着 位于） 该点的切线方向 v v v v A = Axex + Ay ey + Az ez v v v v v A× dl = 0 v v v A dl dl = dxex + dyey + dzez
∂ ∂x
v ey
∂ ∂y
v ez
∂ ∂z
v ∂ v ∇ = ex ∂x + e y
∂ ∂y
v + ez
∂ ∂z
v v v v A = Axex + Ay ey + Az ez
Ax
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Ay
Az
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旋度的展开式
h1e1 1 ∂ ∇× A = h1h2 h3 ∂u1 h1 A1
P14
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12
矢量积分运算
矢量线积分 矢量面积分 标量体积分
v v v ϕ = ∫ E (r ) ⋅ dl '
l′ S
矢量线元
v v v Ψ = ∫∫ B(r ) ⋅ dS ' 矢量面元 ′
v q = ∫∫∫ ρ (r ' ) dV ′ 标量体元 V′
20122012-2-3
13
1-2 正交曲面坐标系
By Bz r r r r r r r r r 9 . A ⋅ ( B × C ) = B ⋅ (C × A ) = C ⋅ ( A × B ) r r r r r r 10 . ( A ⋅ B ) C ≠ A ( B ⋅ C ) r r r r r r 11 . A × ( B × C ) ≠ ( A × B ) × C r r r r r r r r r 12 . A × ( B × C ) = ( A ⋅ C ) B − ( A ⋅ B ) C
∫
矢量场的旋度(curl) 矢量场的旋度(curl)
也是一种空间最大变化率，描述矢量场 的涡旋（旋转）强弱程度的量—— 中每一点的涡旋（旋转）强弱程度的量——矢 量 v v ∂ v ∂ v ∂ v ∇ × A = (ex ∂x + e y ∂y + ez ∂z ) × A
v ∇× A = v ex
h2 e 2 ∂ ∂u 2 h2 A2 h3e3 ∂ ∂u3 h3 A3
⑴A×B≠B×A A×B =－ B×A ⑵ C •(A+B)=C • A +C • B ⑶λ(A×B) =(λA)×B= A×(λB) (A× =(λA) λB) ⑷若A ∥B，则A×B=0 ，则A
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3.矢量的混合积 3.矢量的混合积
C • ( A×B)=|C| • |A×B|cosθ × × ⑴转换性 C • ( A×B ) = A• ( B×C ) = B• B• ⑵坐标表示式 ( C×A ) Cx Cy Cz
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v ∂ v ∇ = ex ∂x + e y
∂ ∂y