2021年自然界中的神奇数学
【2021年整理】数学四年级下册《生活中的数学》
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80厘米 1米45厘米
0.95米 1.32米
把这些数据改写成以 厘米为单位的数。
＝ 0.95米
______厘米
1米=100厘米，进率是100。 可以直接把0.95的小数点右 移两位。
0.95米=95厘米
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想一想： 1.32米=_____ 厘米
做一做： 0.3千克=(
0.86平方米=(
)克 )平方分米
2.63千米=( )米
3.7吨=( )千克
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填空
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0.95米
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1.32米 9
80厘米 1米45厘米
0.95米 1.32米
把这些数据改写成以 米为单位的数。
＝ 80厘米
______米
1米=100厘米，进率是100。
80厘米=80÷100米=0.8米
80厘米=
80 100
米=0.8米
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我的体重是39.4千克。
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3
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你的体温是38.20C， 发烧了。
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数学最值题 巧解显神奇
第40卷第2期 2021年3月数学教学研究43数学最值题巧解显神奇王晖(安徽省灵璧县黄湾中学234213)摘要：结合高考等实际数学案例，归纳总结了 14种求数学最值问题的方法，以求更好地掌握和理解最值问题的巧妙解法.关键词：解法归类；最值；解法例析大家在学习数学知识的过程中，经常会遇到有关求最值的问题，对于此类问题只要开拓思维，活用 方法，常常可以巧妙、简捷获解.下面举例分析，希望 读者从中能够受到有益的启示.1利用一次函数的增减性求最值一次函数>;=々了+6(6夫0)的自变量T的取值范围是全体实数，图像是一条直线，因此没有最大(小）值；不过，当w时.此时的一次函数的图像变成了一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大(小）值了.例1某工程队要招聘甲、乙两个工种的个工人150人，甲、乙工种的工人的月工资分别是1600 元和2000元.现要求乙工种的人数不少于甲工种人数的2倍.问甲、乙工种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少？解析设招聘甲工种的工人为x人，则乙工种的工人为（150 —x)人.由题意可得150 —j：>2_r，所以0<_r<50.设所招聘的工人共需付月工资^元，则有：y=1600+2000 (150—j)=—400jt+300000 (0<x<50).因为y随x的增大而减小，所以当x=50时.y m i…=100000(元）.2利用二次函数最值公式求最值二次函数^二“:^+^+以“^“为常数且“夫0)性质中有：①若a〉0，当：r=_厂时，；y有最小值，l a'—4ac— b2②若a<0，当J：=一 f时，31有最大值，ia_ia c~b2^m»x_4a•利用二次函数的上述性质，将具有二次函数关系的两个变量建立二次函数，再利用二次函数性质进行计算，从而达到解决问题的目的.例2在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得〃次测量分别得到a,，a2共 »个数据.我们规定所测得物理量的“最佳近似值”a 是这样一个量：与其它近似值比较，a与各数据的差的平方和最小，依此规定从U l，a2，…，a,,推出《 =解析由题意A = (a 一a , )'+ (a—a2)2 +•.. +(〇 —a…)~=ncT_2(u i+a2+…十a…)aa\~\~a\~\~•m•^a2,, »于是由二次函数性质，当------1时，An有最小值.即应填广+a2+，"+夂n例3 某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每曰 最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已知生产1只玩具熊猫的成本为R(元），售价每只P (元），且尺，P与J的关系式分别为i? =500 +30j:，P=170-2jt.(1)当日产量为多少时，每日获得的利润为收稿日期：2020-08-2444数学教学研究第40卷第2期 2021年3月1750 元；(2)当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？解析（1)根据题意有1750 =R r—i?，B P(170 — 2x)x— (500 +30j:)=1750，整理得•r2— 70 :r+1125 =0,解得■r1=25，:r2=45(不合题意，舍去）.(2)由题意知，利润为P x-i? =—2x2+140x-500=-2(x-35)2+1950.所以当_r=35时，最大利润为1950元.3利用判别式求最值利用判别式求最值是一种较为常用的方法，过程简捷，易于理解.例4求丨的最大值与最小值.x~\~x~r1解析本题要直接求最大值与最小值可谓困难重重.若能够根据题意构造一个关于未知数i的一元二次方程，再根据x是实数，推得A>0,进而求出>的取值范围，并由此得出 > 的最值.设:-J- +1+7T TP整理得一x+1=y x2+yx+y,即 (1—y)x2_(1+3;)x+1一3;=0.因为i是实数，所以即(l+：y)2—4 (1—_y)2>0，解得所以~r:=-r|l的最大值是3,最小值是JT十JT十1 〇4利用圆锥曲线定义求最值当最值问题与圆锥曲线有关时，利用圆锥曲线定义求解最值，不仅直观简便.而且快捷明了.22例5 已知椭圆k+^=l,定点A(2,0), B(—1,1),M为椭圆上任一点，求2|iW A | +丨的最小值.解析由椭圆定义.注意到离心率为可求出]^(-^—,1)，2|从4| +丨]^6|的最小值为9，如图1所示.5构造函数求最值最值问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数.例6求代数式1^/1^的最大值与最小值.解析y =x y1— x1，一再令：r=sin a，一贝lj有y=x v1—*r2 =sin a VT—sin“a=sin a •cos a=—sin2a.所以 > 的最大值为I,最小值为一|.即的最大值为I,最小值为一6利用非负数的性质求最值在实数范围内，显然有厂+々>々，当且仅当^=6==0时，等号成立，即y+M+z i:的最小值为k.例7设a，6为实数，那么a2+a6+62—a—2b 的最小值为______.解析 a2+a6+62—a—2/;=a l J r i b-l)a Jr b2-2b=(a+¥)2++62-吾卜+=(a H—)~+— (/;—l)2—— 1.Z4当a+’’2 1 =0，/)—1=0，即《=〇，/)=1 时，上式等号成立.故a2+a/?+//—“一2/;的最小值为一1.7利用讨论法求最值通过讨论然后进行比较判断是求最值常用的一种方法.例8求函数—11 —U+4I—5的最大第40卷第2期 2021年3月数学教学研究45值.解析先用零区间讨论法消去函数^中的绝对值符号，然后求出^在各个区间上的最大值，再加以 比较，从中确定出整个定义域上的最大值.易知该函数有两个零点x=l，:r=—4.当 _r<—4 时，3；=— (jr— l)+(x+4) —5 =0;当一4<:c<l 时，:y=—(:r—1) —U+4)—5 =—2x—8，得一10<;y=— 2x— 8^0;当 _r>l 时，：y=(_r—1)—(:r+4)—5=—10.综上所述，当x<— 4时有最大值,y m a x=0.例9 (2015年湖北卷）设R，[x]表示不超过x的最大正整数.若存在实数h使得[f]=l，[/2] =2，_",[/"]=，；同时成立，则正整数n的最大值是().(A)3 (B)4 (05(D)6解析由[f] =l，得 l<z<2;由[f2] =2,得 2<，<3;由[«4] =4,得 4<广<5;所以d•由|>3] =3,得 3<;3<4,所以 6<^<4V5■.由|>5] =5, 得5々5<6,这与6<f5<4A矛盾，故正整数》的 最大值是4.应选B.例10(2014年辽宁卷）已知定义在[0，1]上的函数/(•r)满足：①/(0)=/(1)=0;②对所有X d 6[0，1]，且 _r关:y，有 |/(：1.)—/(：y) |<I.综上，l/h )—/(>)|<+，所以应选 B.8利用不等式与判别式求最值在不等式中，:r=a是最大值，在不等式x中，是最小值.例11已知：r，3>为实数，且满足x+y+w= 5，_r：y+：y w+/H x = 3,求实数w的最大值与最小值.解析由题意可得X + y= b — m,■sxy = 3 — r w(x+3^)= 3 — w(5 — m )=m z—5w+3.所以：r，：y是关于/的方程纟2— (5 —w)r+ (m2— 5爪 + 3)=0的两个实数根.所以A=[-(5-//i)]2-4(w2-5m+3)>0,即3w2—10m—13^0,解得一所以，《的最大值是的最小值是一i.例12(2014年辽宁卷）对于(•>0,当非零实数a，/)满足4a - — 2a6+ 4/厂一c=0 且使|2a+6|最大时，一 一 —H的最小值为.a b c解析设2a+ 6 =/，则2a =〖一 /?，因为4““_ 2ab-\~i b~—c=0，所以将2a=/—代人整理可得6心2—3"出2—c=0(1)若对所有：r，3；6[0，l]，l/(:r)_/(：y；)|<a 恒成立，则々的最小值为（)•(A)j(B)t(C)^(d)I由A>0解得一当 |2“+M 取最大值时，z=，代人（1)式得6解析不妨令当+时，|/(_r)—/(3〇|<去丨.厂_y丨<+;当了<1—时，=l[/(x)-/(l)]-[/(^)-/(〇)]l<|/(_r)—/(l)I+1/(3；)—/(0)|<Y |x — l l+y l^;—〇|=j(l-_r) + }广+ +}(厂 x)<|.再由2a=〖一6,得，所以3 4 , 5 ZyiO4/10" ,5-----—---------------------1---u b c f f c5 2/1〇 _V5c VF v r-V2)2-2^—2,当且仅当r=|■时等号成立.9数形结合求最值在解决问题的过程中，将数量关系与图形性质结合起来考虑，以“形”助数.可使问题变得简单、直46数学教学研究第40卷第2期 2021年3月观，降低解题难度，从而易于求解.例13求满足k+ 3 — 3i|的辐角主值最小的复数.解析满足条件的复数是以（一#，■#)为圆 心、半径为W的圆上的点，如图2所示.于是问题转化为求过原点与圆相切的直线的切点坐标.法，使用时需要一定的技巧变形，使之达到：和或积为常数；能取到等号.例16母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角p为（）.(A)^,(0^2"7r(D)解析设圆锥底面半径为r、高为/z，则有r^-\~h z=l,V=— • 7rr2/z,V = j i,2r A h22：=3(cos120°+isin120°)3V3 .—r—1例14已知l d=2,则|z— i|的最大值为（）.(A)l(B)2 (05(D)3解析如图3所7K，显见|z—i|max为圆心到点(0，1)的距离与半径的和.故应选D.10利用夹逼法求最值在求解某些数学问题时.通过转化、变形和估值，将有关量限制在某一数值范围内.再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为夹逼法.例15不等边A A B C的两边上的高分别为 4 和12,且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为________.解析设^2,/：)，£'3边上高分别为4，12，/;.因为2S aabc=，所以“=36.又因为r<a+/，=4/，，代人126 = 4，得12/>< 4M,所以/;>3.又因为r>a—6 = 26,代人12/) = t'/!，得126> 2M，所以/i<6.所以3</;<6,故整数A的最大值为 5.11利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值是求解此类问题常用方2221 ^273^* 27^^当且仅当7=时取等号，/!V3 V6.此时$丌■应选D.例 17 设复数2：=3cos (9+2isin <9,求函数_y= (9一a rg z的最大值以及对应的(9值.解析根据题意、2tan 沒、^7：tan(arg z)=—-—>0(0*<(9<—),tan3;=tan(d— arg z)=tan0—tan(arg2)1 +tan d •tan(arg z)tan63 +2tan6tan d■h2tan62^6V612此时由^= 2 —=f，得V6_V60=arg tan例18 圆柱轴截面的周长为定值Z，那么圆柱第40卷第2期 2021年3月数学教学研究47的体积的最大值是（）.(A)(4-):,7r(B)^-(4-)37t〇9 2所以 /i+A=y+l+l—^ =2—.y+y.根据圆的方程可得(C)( +)3t t(D)2(y)37T解析设圆柱底面半径为/•，高为/i，则由轴截面周长为/，可得4r+2/2 =/，即2r+/! =体积V=Jrr2/i<;r(^±i)3=(|)37rjO D当且仅当/•=/! 时取等号.故应选A.6例19要建造一个容积为8立方米、深为2米 的长方体无盖水池，如果池底与池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为______元.解析水池底长为《米、宽为6米，则由题意知a6=4,总造价：y=120c/6 +320(u +6)=480+320 (a+/))>480+640V^"=1760 元，当且仅当u=6 =2时取等号.12利用三角函数的恒等变换根据题意，利用三角恒等变换，再结合三角函数的有界性，常常可以顺利求解一类问题的最值.例20 (2017年全国卷H1 )在矩形A B C D中，x=—sin d：y=—cos d»V5 V5所以21.u+A=2----cos---sin6V5 V5=2----Vicos d—sin6)V5=2— sin(.9—<p),显然（/u+A)m a x= 3.故应选A.点评本题主要考査平面向量的基本定理以及三角函数恒等变换求最值问题.考查推理能力和计算能力.平面向量既有数的特征也有形的特征，利用 平面向量的数的特征.通过建立坐标系可以巧妙地解决具有平面几何特征的平面向量问题.13利用导数和函数的单调性求最值例21 (2014年北京卷）已知函数/(x)=:rcos:r.r r丌i—sin :r，x6(1)求证:/(■!)<0;(2)若 a---■</•> 对 >r€■ [0，-^]恒成立，求 ax LA B=1，AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD 相切的圆上.若=+,则A的最大值为（）.(A)3 (B)2V2 (C)V5 (D)2解析根据已知条件.以C为圆心.B C为x 轴.C D为y轴建立平面直角坐标系.设圆的半径是r.由题意知=|,利用等面积法可得S A/JC D=r XV^=2,解得r=g.所以圆的方程是5由题意得《(—2,0)，4(一2，1)，0(0,1).设尸(■r,：y),因为 =所以(_r +2，_y— 1)=A(0.一1)+/乂（2,0)，|j+2=2« .即丨l：y—1=—A.的最大值与的最小值.思路分析（1)首先观察函数式，求出其导函数，根据导函数判断其单调性，从而进一步判断/(•r)与0的大小关系.（2)根据不等关系，可以构造含参数u 4的不等式.根据区间范围.利用导函数即可求出参数的范围或取值.解析（1)由/(jt)=x c o s_r—sin j•，得/(x)=cos x—xsin x— cos x=—xsin j：.因为在区间（0,f)上/"(O')=—:r sin:r 0，所以/(■r)在区间[0,|]上单调递减.从而/(x)</(0)=0.si n t(2)当：时，~_>a”等价于“sinXsin r>0”；“:—<6”等价于“sin _r—/«•<0”.X48数学教学研究第40卷第2期 2021年3月令 g(:r)=sin:r—c r，贝lj g '(:r)=c o s:r—c.当时，^■(:?:)〉0对任意:r6(0，y)恒成立•当时，因为对任意c o s x—r<0,所以g(:r)在区间[0，音]上单调递减.从而^'(jt)<#(0)=0对任意了 6(0，|)恒成立•当0<f<l时，存在唯一的_1-。
能用数学知识解释的有趣现象
能用数学知识解释的有趣现象
①四叶草为什么又叫“幸运草”？
三叶草，学名苜蓿草，是多年生草本植物，一般只有三片小叶子，叶形呈心形状，叶心较深色的部分亦是心形。
四叶草是由三叶草基因突变而产生的,它只占其中的十万分之一。
也就说在十万株苜蓿草中，你可能只会发现一株是‘四叶草’，因为机率太小。
因此“四叶草”是国际公认为幸运的象征。
②黄金分割为什么是0.618？
0.618，一个极为迷人而神秘的数字，也被称为黄金分割律，它是古希腊著名数学家毕达哥拉斯，于2500多年前发现的。
有一次，毕达哥拉斯路过铁匠作坊，被叮叮当当的打铁声迷住了。
为了揭开这清脆悦耳的声音中隐藏着的秘密。
毕达哥拉斯测量了铁锤和铁砧的尺寸，发现它们之间存在着十分和谐的比例关系。
回到家里，他又取出一根线，分为两段，反复比较，最后认定1:0.618的比例最为优美。
至此，这个数字一直被后人奉为科学和美学的金科玉律。
在音乐会上，报幕员在舞台上的最佳位置，是舞台宽度的0.618之处；
二胡要获得最佳音色，其“千斤”则须放在琴弦长度的0.618处；
著名的巴特农神庙就是利用黄金比例修建的；
埃菲尔铁塔也是黄金比例建筑的典范。
……
黄金比例是公认的最具审美价值的比例，也是最能引起美感共鸣的比例。
2021年初中数学 7年级春季班03-实数的运算及分数指数幂-教师版
初一数学春季班（教师版）近似数的精确度、分数指数幂及运算知识结构.模块一：近似数的精确度知识精讲知识点：有关概念1．准确数概念：一般来说，完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数．2．近似数概念：与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数（或近似值）．☆在很多情况下，很难取得准确数，或者不必使用准确数，而可使用近似数．☆取近似数的方法：四舍五入法，进一法，去尾法（根据具体实际情况使用）3．精确度概念：近似数与准确数的接近程度即近似程度，对近似程度的要求，叫做精确度．☆近似数的精确度通常有两种表示方法：（1）精确到哪一个数位；（2）保留几个有效数字．4．有效数字概念：对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字．【例1】 一个正数的平方是3，这个数的准确数_________；近似数（精确到千分之一位）是_______；近似数的有效数字有_______位，有效数字是_______． 【难度】★【答案】3； 1.732； 四； 1、7、3、2．【解析】3 1.732≈，所以有效数字是四位，有效数字是 1、7、3、2． 【总结】本题主要考查了准确度、近似数和有效数字的概念.【例2】 写出下列各数的有效数字，并指出精确到哪一位?1)2000；2）4.523亿 ；3）57.3310⨯；4）0.00125．【难度】★【答案】1)有效数字：2、0、0、0，精确到个位；2）有效数字：4、5、2、3，精确到十万位；3)有效数字：7、3、3，精确到千位；4）有效数字：1、2、5，精确到十万分位．【解析】对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字， 叫做这个近似数的有效数字．【总结】解答此题的关键在于掌握近似数、有效数字与科学记数法的知识点．【例3】 用四舍五入法，按括号内的要求对下列数取近似值．（1）0.008435(保留三个有效数字) ≈_________； （2）12.975(精确到百分位) ≈_________； （3）548203(精确到千位) ≈_________； （4）5365573(保留四个有效数字) ≈_________． 【难度】★【答案】（1）0.00844； （2）12.98； （3）55.4810⨯； （4）65.36610⨯． 【解析】（1）0.00844； （2）12.98； （3）55.4810⨯； （4）65.36610⨯． 【总结】解答本题的关键是理解有效数字的含义，利用科学记数法进行表示．例题解析【例4】 已知 3.1415926π=，按四舍五入法取近似值．（1）π≈__________（保留五个有效数字）； （2）π≈_________（保留三个有效数字）；（3）0.045267≈_________（保留三个有效数字）．【难度】★★【答案】（1）3.1416； （2）3.14； （3）0.0453或24.5310-⨯． 【解析】（1）3.1416； （2）3.14； （3）0.0453或24.5310-⨯． 【总结】本题主要考查的是有效数字的含义，利用科学记数法进行表示．【例5】 用四舍五入法得到：小智身高1.8米与小智身高1.80米，两者有什么区别? 【难度】★★【答案】精确度不同，1.8精确到十分位，1.80精确到百分位．【解析】根据末尾数字所在的数位解答，精确度不同，1.8精确到十分位，1.80精确到百分位. 【总结】本题主要考查了精确度的概念．【例6】 下列近似数各精确到哪一位?各有几个有效数字? （1）3.201； （2）0.0010； （3）2.35亿； （4）107.6010⨯．【难度】★★【答案】（1）精确到千分位，有四个有效数字； （2）精确到万分位，有两个有效数字； （3）精确到百万位，有三个有效数字； （4）精确到亿位，有三个有效数字． 【解析】（1）精确到千分位，有四个有效数字； （2）精确到万分位，有两个有效数字； （3）精确到百万位，有三个有效数字； （4）精确到亿位，有三个有效数字． 【总结】本题主要考查了近似数和有效数字的概念．【例7】 废旧电池对环境的危害十分巨大，一粒纽扣电池能污染600立方米的水(相当于一个人一生的饮水量)．某班有50名学生，如果每名学生一年丢弃一粒纽扣电池，且都没有被回收，那么被该班学生一年丢弃的纽扣电池能污染的水量用科学记数法表示为________立方米． 【难度】★★ 【答案】4310⨯．【解析】45060030000310⨯==⨯．【总结】本题主要考查了科学记数法的表示方法．1、有理数指数幂把指数的取值范围扩大到分数，我们规定：(0)m nmna a a =≥，1(0)m nnmaa a-=>，其中、n 为正整数，1n >．上面规定中的m na 和m na-叫做分数指数幂，a 是底数．整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂． 2、有理数指数幂的运算性质：设0a >，0b >，p 、q 为有理数，那么 （1）p q p q a a a +⋅=，p q p q a a a -÷=； （2）()p q pq a a =；（3）()pppab a b =，()pp p a a b b=．【例8】 把下列方根化为幂的形式：（1）32； （2）310-； （3）28(5)-；（4）37--；（5）3a -；（6）a -．【难度】★【答案】（1）132； （2）1310-； （3）145； （4）137； （5）13a -； （6）12()a -． 【解析】（1）13322=； （2）1331010-=-；（3）21822884(5)555-===； （4）1333777--==；（5）1333a a a -=-=-； （6）12()a a -=-．【总结】本题主要考查的是将方根化为分数指数幂的运算．模块二：分数指数幂知识精讲例题解析【例9】把下列分数指数幂化为方根形式：（1）131()27-；（2）238()27；（3）121()16-；（4）1132(64)．【难度】★【答案】（1）（2（3）（4．【解析】（1）13127⎛⎫-=⎪⎝⎭；（2）23827⎛⎫=⎪⎝⎭（3）12116⎛⎫-=⎪⎝⎭（4）111362(64)64==【总结】本题考查了分数指数幂与根式之间的互换．【例10】化简：（1）111362a a a÷⋅；（2）8【难度】★【答案】（1）13a；（2）71338x y．【解析】（1）11111113623632a a a a a-+÷==；（2）1211111171 4423333336633 8888 x yx y x y xy x y x y===．【总结】本题主要考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【例11】计算下列各值：（1；（2）201713(4aa+．【难度】★★【答案】（1）565；（2）1-．【解析】（1151362555⨯=；（2）因为3030a a-≥-≥，，所以3a=，所以3a=或3-，因为30a-≠，所以3a=-．故当3a=-时，原式()2017133143⎛⎫⨯-⎪==-⎪-⎪⎪⎝⎭．【总结】本题考查了平方根有意义的条件及混合运算．【例12】计算下列各值：（1）1225232---+（2）11222[(23)(23)]-++．【难度】★★【答案】（1）12-；（2）16．【解析】（1）1225232---+4923=---+12=-；（2）()()21122 22-⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎣⎦=16=．【总结】本题主要考查了实数的运算，注意利用公式进行．【例13】计算：（1；（2）1112444111()()()242a a a-⋅++；（3）1521216636333(2)(4)x y x y x y÷-⨯．【难度】★★【答案】（1）a；（2）144116a⎛⎫-⎪⎝⎭；（3）166x y-．【解析】（111113342341211121212a a a a aa aa a++===；（2）1114442111242a a a⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1114442241114416a a a⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）231521166363324x y x y x y⎛⎫⎛⎫÷-⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1225111633663666x y x y-+-+=-=-．【例14】 4249a b==，，求1222b a -的值．【难度】★★★．【解析】()112222242b a ba -=÷==． 【总结】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质.【例15】 已知13x x -+=，求下列各式的值：（1）1122x x -+；（2）3322x x -+. 【难度】★★★【答案】（1； （2）【解析】（1）13x x -+=， 21112225x x x x --⎛⎫∴+=++= ⎪⎝⎭，又11220x x-+>， 1122x x-∴+=（2）()3311122221x xx x x x ---⎛⎫+=++-= ⎪⎝⎭【总结】本题主要考查有理数指数幂的化简求值．【例16】 若11112333342133a a a a ---=⨯⨯++，求的值． 【难度】★★★【答案】198．【解析】()111133334214212a =⨯⨯=⨯⨯=，1231111933332488a a a ---∴++=⨯+⨯+=．【总结】本题主要考查了积的乘方的逆运算及分数指数幂和负指数幂的综合运算．【例17】 化简：a b c 【难度】★★★ 【答案】0或1．【解析】当0x =时，原式0=；当0x ≠时，b c c a a bb ca c a bxx----++()()()()()()b c a c a b a b c a a b b c b c c a xxx+++------=⋅⋅2222220()()()1b c c a a b a b b c c a xx -+-+----===．【总结】本题主要考查了含根式的化简，注意要分类讨论．【例18】 已知122a =，132b =，123c =，133d =，试用a b c d 、、、的代数式表示下列各数值．（1 （2 （3 （4【难度】★★★【答案】（1）20a ； （2）10d； （3）23b ； （4）【解析】（11220220a =⨯=； （213131010d =⨯=；（312112333334323223b =⨯=⨯=⨯⨯=；（411114222232(3)22c c =⨯=⨯==． 【总结】本题考查了根式与分数指数幂的相互转化问题．【例19】 已知：210(0)x xxxxa a a a a a --+=>-，求的值． 【难度】★★★【答案】119．【解析】222112121021010x x x x a a a a --+=++=++=（）， 又0x x a a -+>，x x a a -∴+=， 222181 21021010x x x x a a a a ---=+-=+-=（），又0x xa a-->， xxa a-∴-=， 119x x xx a a a a --+∴==-． 【总结】本题主要考查了负整数指数幂及乘法公式的综合应用．【例20】 材料：一般地，n 个相同的因数a 相乘：n a aa 个记为n a ．如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log 28（即log 28=3）．一般地，若n a b =（0a >且 1a ≠，0b >），则n 叫做以a 为底b 的对数，记为log a b （即log a b n =）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log 381（即log 381=4）；（1）计算以下各对数的值：log 24=______，log 216=______，log 264=______；（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log 24、log 216、log 264之间又 满足怎样的关系式；（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗? log log a a M N +=______；（且1a ≠，M ＞0，N ＞0）． 【难度】★★★【答案】（1）2，4，6； （2）416=64⨯，222log 4log 16log 64+=；（3）log ()a MN ． 【解析】（1）2log 42=，2log 16=4，2log 646=；（2）416=64⨯，222log 4log 16log 64+=； （3）log log log ()a a a M N MN +=．【总结】本题考查学生对新概念的理解及运用．在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方等运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立．实数混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先乘方．开方．再乘除，最后算加减，同级按从左到右顺序进行，有括号先算括号里的．实数运算的结果是唯一的．实数运算常用到的公式有：2a a =；(0,0)ab a b a b =≥≥；(0,0)a aa b b b=≥>；2()(0)a a a =≥． 知识精讲模块三：实数的运算【例21】 5的整数部分为a ，小数部分为b ，则a b =_________．【难度】★ 【答案】945-．【解析】253<<，2a ∴=，52b =-，2(52)945a b ∴=-=-． 【总结】本题主要考查了无理数的估算及完全平方公式的运用．【例22】 计算：（1）321232416(80.1)3(2)(2)81-⎡⎤-÷-⨯---+-⎣⎦； （2）20152014(76)(67)+-； （3）()()2356315-++-．【难度】★★【答案】（1）19； （2）76+； （3）6563-．【解析】（1）32123241683(2)(2)81-⎡⎤-÷⨯---+-⎣⎦（-0.1）221410982(6)1339=-÷-⨯++=-÷-⨯=（）（-）；（2）()()201520147667-+()()201520147676=+-()()2014767676=+-=+；（3）()()2356315-++-()()32352+35=⨯-+-()()=3235235⎡⎤⎡⎤⨯--+-⎣⎦⎣⎦()23235⎡⎤=⨯--⎢⎥⎣⎦()3232155=⨯-+-6563=-．【总结】本题主要考查了实数的混合运算，注意能简算时要简算．例题解析【例23】 计-．【难度】★★【答案】2==【总结】本题主要考查了实数的运算，注意利用因式分解的思想去化简．【例24】 计算：（1）11032238[1(0.2)]4271000π--+--⨯-（2112133211127883---⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【难度】★★【答案】（1）7208-； （2）32．【解析】（1）原式2111111()3125125167⎡⎤=+--⨯-÷⎢⎥⎣⎦ 11723721201688=⨯-⨯=-=-；（2）原式()9382296922=----=+-=． 【总结】本题主要考查了实数的混合运算．【例25】 设：73121(3)(3)(1)8433M =÷-⨯-÷-，42211(2)(2)5()0.25326N =-÷+⨯--试比较113M 与1N -的大小． 【难度】★★【答案】1113M N >-．【解析】∵73121(3)(3)(1)8433M =÷-⨯-÷-15151051541031843381535=-÷⨯÷=-⨯⨯⨯=-， 42211(2)(2)5()0.25326N =-÷+⨯-- 42211(2)(2)5()0.2532664111116()9264=-÷+⨯--=÷+⨯--91114124=-- 1312=， ∴11=1313M -，131111212N -=-=-， ∴1113M N >-．【总结】本题主要考查了有理数的综合运算及大小比较．【例26】 已知实数x 、y 满足1142(3)(5)0x y x y -+++-=，求51238x y -+的值． 【难度】★★ 【答案】5．【解析】14(3)0x y -+≥，12(5)0x y +-≥， 3050x y x y -+=⎧∴⎨+-=⎩，解得14x y =⎧⎨=⎩， 51238325x y -∴+=+=．【总结】本题主要考查了对算术平方根的理解及非负性的综合运用．【例27】 已知实数a 、b 、x 、y 满足21y a +=-，231x y b -=--，求22x y a b +++的值． 【难度】★★★ 【答案】17．【解析】21y x a +-=-，21y a ∴=-，231x y b -=--，2222311x a b a b ∴-=----=--，223+0x a b ∴-=，0a ∴=，0b =，3x =， 1y ∴=，40222+217x y a b ++∴+==．【总结】本题主要考查了学生对实数非负性的应用．【例28】 先阅读下列的解答过程，然后再解答：的化简，只要我们找到两个数a 、b ，使a b m +=，ab n =，使得22m +=()a b >，这里7m =，12n =，由于4+3=7，4312⨯=即227+=2=（12；（3． 【难度】★★★【答案】（1； （2）3； （3）【解析】（113m =，42n =，6713+=，6742⨯=，即2213+==；（211m =，24n =，3811+=，3824⨯=，即2211+=，3；（359m =，864n =，322759+=，3227864⨯=，即2259+=． 【总结】本题主要考查了利用新概念对复合平方根进行化简求值．【例29】 已知111333421a =++，求12333a a a ---++的值． 【难度】★★★【答案】1．【解析】设132b =，则3211111b a b b b b -=++==--， 11a b -∴=-， 11b a -∴=+，3131231=33+1b a a a a ----∴=+++（），12333211a a a ---∴++=-=．【总结】本题主要考查了实数的运算和立方和公式的综合运用．一、填空题：【习题1】 下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是（）A ．12()(0)x x x -=-> B ．1263(0)y y y =< C ．33441()(0)xx x-=>D ．133(0)xx x -=-≠【难度】★ 【答案】C【解析】12(0)x x x -=->，故选项A 错误； 1263(0)y y y =-<，故选项B 错误；1331xx-=，故选项D 错误．【总结】本题考查了根式与分数指数幂的互化．【习题2】 下列近似数各精确到哪一个数位?各有几个有效数字? （1）2015；（2）0.6180；（3）7.20万；（4）55.1010⨯．【难度】★【答案】（1）精确到个位，有四个有效数字； （2）精确到万分位，有四个有效数字；（3）精确到百位，有三个有效数字； （4）精确到千位，有三个有效数字．【解析】（1）精确到个位，有四个有效数字为2、0、1、5；（2）精确到万分位，有四个有效数字为6、1、8、0； （3）精确到百位，有三个有效数字为7、2、0； （4）精确到千位，有三个有效数字为5、1、0．【总结】本题主要考查了近似数和有效数字的概念．【习题3】 把下列带根号的数写成幂的形式，分数指数幂化为带根号的形式：()432，13-，()754，536， 322-，343，324-， 237．【难度】★随堂检测【答案】432；123--；754；356．【解析】4432=；1212133-=-=-；7754=；356；3232122-==；343=3232144-==237=【总结】本题主要考查了根式与分数指数幂的互化．【习题4】 比较大小：（1）与； （22+【难度】★★【答案】（1 （22>．【解析】（1）22- 8=-0=，；（2）22(2- 1110=+-10=>， 2+ 【总结】本题主要考查了利用平方法比较两个无理数的大小．【习题5】 把下列方根化为幂的形式． （1；（2（3）a ．【难度】★★【答案】（1）582； （2）5766a b ； （3）111144a b ． 【解析】（1582；（25766a b =； （3）311111124444aaaa ab a b =⋅=．【总结】本题主要考查了根式与分数指数幂的互化．62+53+（1）2334(9)；（2）113339⨯；（3）1442(35)÷；（4）11632(32)-⨯；（5）833324(25)⨯；（6）7511266323(2)x y x y÷．【难度】★★【答案】（1）3；（2）3；（3）925；（4）98；（5）400；（6）116634x y．【解析】（1）231342(9)93==；（2）1112333339333⨯=⨯=；（3）1442229 (35)3525÷=÷=；（4）11623329 (32)328--⨯=⨯=；（5）83342324(25)251625400⨯=⨯=⨯=；（6）751752111266366366233(2)344x y x y x y xy x y ÷=÷=．【总结】本题主要考查了分数指数幂的运算，注意法则的准确运用．【习题7】利用幂的性质运算：（1）111222133()()()5525-⨯⨯；（2；（3）．【难度】★★【答案】（1）15；（2）4；（3）18．【解析】（1）1111122222111222 1331331 ()()()552555525---⨯⨯=⨯⨯=；（2213236222224⨯÷==；（3）1211333362332239218=⨯⨯⨯⨯=⨯=．【总结】本题考查了根式与分数指数幂的混合运算，注意法则的准确运用．（1；（2）111111332222113113⎛⎫⎛⎫-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）20142015⋅； （4）)11-+- 【难度】★★【答案】（1）763； （2）2； （3 （4）1-【解析】（1763；（2）11111113332222113113(113)2⎛⎫⎛⎫-⋅+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）201420152014(32)⋅=-=（4）)11-+11=【总结】本题考查了根式与分数指数幂的混合运算，注意法则的准确运用．【习题9】 =，其中0ab ≠ 【难度】★★★【答案】57．【解析】(a a +=， 12a b ∴，120a b ∴=， 0∴=，=或=-， 16a b ∴=，165451647b b b b b b -+==++．【总结】本题考查了根式的化简求值问题，注意整体代入思想的运用．【习题10】化简求值：（1）已知：15a a-+=，求22a a-+；1122a a-+；1122a a--；（2）已知：223a a-+=，求88a a-+．【难度】★★★【答案】（1）23，7，3±；（2）18．【解析】（1）1222()225a a a a--+=++=，2223a a-∴+=；15a a-+=0a∴>，11220a a-∴+>，112122()27a a a a--+=++=，11227a a-∴+=；112122()23a a a a---=+-=，11223a a-∴-=±；（2）222(22)2229a a a a--+=++=，22227a a-∴+=，332288(2)(2)(22)(212)a a a a a a a a----+=+=+-+，883618a a-∴+=⨯=．【总结】本题主要考查了有理数指数幂的运算法则及其应用，综合性较强，注意对解题方法的归纳总结．【作业1】若25a=+，a的小数部分是b，则a b⋅的值是（）A．0B．1C．－1D．2【难度】★【答案】B．【解析】4255<+<，452b a∴=-=-，(52)(52)1a b∴⋅=+-=．【总结】本题主要考查了无理数的整数部分与小数部分的综合运用．【作业2】 下列语句中正确的是() A ．500万有7个有效数字B ．0.031用科学记数法表示为33.110-⨯C ．台风造成了7000间房屋倒塌，7000是近似数D ．3.14159精确到0.001的近似数为3.141 【难度】★ 【答案】C ．【解析】500万有三个有效数字，故选项A 错误；0.031用科学记数法表示为23.110-⨯，故选项B 错误； 3.14159精确到0.001的近似数为3.142，故选项D 错误．【总结】本题考查了科学记数法和有效数字的应用．【作业3】 按照要求，用四舍五入法对下列各数取近似值：（1）0.76589（精确到千分位）；（2）289.91（精确到个位）； （3）320541（保留三个有效数字）；（4）41.42310⨯（精确到千位）．【难度】★【答案】（1）0.766； （2）290； （3）53.2110⨯； （4）41.410⨯． 【解析】（1）0.765890.766≈； （2）289.91290≈；（3）5320541 3.2110≈⨯； （4）441.42310 1.410⨯≈⨯．【总结】本题主要考查的是近似数和有效数字以及科学记数法的综合运用．【作业4】 计算： （1；（2；（3．【难度】★★【答案】（1）565； （2）542； （3）．【解析】（1151362555⨯=； （2315424222⨯=； （311136223323⨯÷=⨯= 【总结】本题主要考查了无理数的乘除运算．（1（2【难度】★★【答案】（1）7125；（2）132．【解析】（1111111732342412 55555+-=⋅÷==；（25151112262632222222+-+=⋅÷⋅==．【总结】本题主要考查了根式的乘除运算．【作业6】计算：（1）129()25-；（2）111344(882-⨯；（3）11123227()([(]64----+；（4）11222[(2(23)]-+．【难度】★★【答案】（1）365；（2）11-；（3）43-+（4）16．【解析】（1）129()25-3351655=++=；（2）111344(882--⨯31442(28)225=--⨯÷65=--11=-；（3）11123227()([(]64----+4433=-+=-+；（4）11222[(23)(2]-+211221(23)(2=⎡⎤++⎢⎥⎣⎦16==．【总结】本题主要考查了根式及有理数指数幂的混合运算．（1；（2．【难度】★★★【答案】（1）35x-；（2）1724a．【解析】（135x-===；（21724a==．【总结】本题主要考查了根式的运算及有理数指数幂的化简．【作业8】设的整数部分为，小数部分为，求的立方根．【难度】★★★【答案】2-．【解析】122<<，1a∴=，1b=，22168161)81)8ab b∴--=-⨯-⨯=-，2168ab b∴--的立方根是2-．【总结】本题主要考查的是估算无理数的大小、立方根的定义及完全平方公式的综合应用．【作业9】如果223311320x a x bx x⎛⎫⎛⎫-++++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求232(43)a b b+-的值．【难度】★★★【答案】0．【解析】223311320x a x bx x⎛⎫⎛⎫-++++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33130x ax∴-+=，120x bx++=，3313x ax∴+=，2211()(1)3x x ax x∴+-+=，即211()()33x x ax x⎡⎤∴++-=⎢⎥⎣⎦，120x bx++=，12x bx∴+=-，22(43)3b b a∴--=，232(43)0a b b∴+-=．【总结】本题主要考查了非负数的性质及立方和公式的综合应用．0)a>2a b2816bab--【作业10】 已知21xa =，求33x xx xa a a a --++的值．【难度】★★★【答案】1．【解析】33x x x xa a a a--++22()(1)x x x x x x a a a a a a ---+-+=+ 221x x a a -=-+，221x a =， 21x a -∴，2211111x x a a -∴-+-=．【总结】本题主要考查指数幂的化简与求值，利用立方和公式是解决本题的关键．【作业11】 若[]x 表示不超过x 的最大整数（如2[]3[2]33π=-=-，等），求++的值． 【难度】★★★ 【答案】2016．【解析】++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+⎣⎦⎣⎦⎣⎦111=++⋅⋅⋅+ 2016=．【总结】本题主要考查了取整计算，正确利用已知条件中的概念及相关性质进行化简．。
2021-2022学年上学期小学数学人教新版三年级同步经典题精练之测量
2021-2022学年上学期小学数学人教新版三年级同步经典题精练之测量一．应用题（共7小题）1．同样大小的一块木板和一块海绵，木板重还是海绵重？这种现象你能举出一两个例子吗？2．哪些动物可以一起过桥？（桥限重1吨）3．哪些动物可以一起过桥？（桥限重1吨）4．1千克大米和1000克棉花相比，谁重一些？5．一根彩带长5米，剪了4次，每次剪下6分米．这根彩带还剩多少分米？6．森林与小猴家的距离是多少？7．小明家离学校2千米．一天早晨小明上学，走了一半，他发现书包忘在家里，急忙赶回家，拿了书包后再走到学校．小明一共走了多少千米？二．选择题（共9小题）8．（2021•怀宁县）小学生的书包可能重（）A．50g B．500g C．5kg D．10kg 9．（2021春•龙华区期末）今年6月3日0时17分，在西昌卫星发射中心成功发射风云四号B星，重量达5.4吨，其中的“4”表示（）A．4千克B．40千克C．400千克D．0.4千克10．（2020秋•鼓楼区期末）以下单位中，用“km”表示的是（）A．千克B．毫米C．分米D．千米11．（2021春•定州市期中）大约6分米长的是（）A．橡皮的长B．小华的一拃长C．课桌的高12．（2021春•宁津县期末）在10m，100cm，1km，1000mm中，（）最长．A．10m B．100cm C．1km D．1000mm 13．（2020秋•磐石市期末）表示最重的一个数量是（）A．5千克B．5吨C．5005千克14．（2021春•柘城县期中）一个苹果重（）A．200克B．200千克C．200吨15．（2021春•亳州期末）一名举重运动员不可能举起（）的杠铃．A．10千克B．10吨C．100千克16．（2020秋•海拉尔区校级期末）一只老母鸡重2（）A．克B．千克C．吨D．米2021-2022学年上学期小学数学人教新版三年级同步经典题精练之测量参考答案与试题解析一．应用题（共7小题）1．同样大小的一块木板和一块海绵，木板重还是海绵重？这种现象你能举出一两个例子吗？【考点】质量及质量的常用单位．【专题】质量、时间、人民币单位；应用意识．【分析】木板的密度比海绵的密度大，所以同样大小的一块木板和一块海绵，木板重，生活中还有很多这样的例子，如：同样大小的棉花和铁块等。
第5课神奇142857校本教材-2021-2022学年四年级上册趣味数学-通用版
第5课神奇142857世界上最神奇的数字是：142857，又名走马灯数。
它发现于埃及金字塔内，看似平凡的数字，为什么说他最神奇呢？我们把它从1乘到6来看看142857X1=142857142857 ×2 = 285714142857 ×3 = 428571142857 ×4 = 571428142857 × 5 = 714285142857 ×6= 857142同样的数字，只是调换了位置，反复的出现。
那么把它乘与7是多少呢？我们会惊人的发现是999999而142+857=999 14+28+57=99最后，我们用142857乘与142857答案是：20408122449前五位+ 后六位的得数是多少呢？20408+122449=142857关于其中神奇的解答，“142857”它证明一星期有7天，它自我累加一次，就由它的6个数字，依顺序轮值一次，到了第7天，它们就放假，由999999去代班，数字越加越大，每超过一星期轮回，每个数字需要分身一次，你不需要计算机，只要知道它的分身方法，就可以知道继续累加的答案，它还有更神奇的地方等待你去发掘！也许，它就是宇宙的密码，142857×1=142857（原数字）142857×2=285714（轮值）142857×3=428571（轮值）142857×4=571428（轮值）142857×5=714285（轮值）142857×6=857142（轮值）142857×7=999999（放假由9代班）7×（1~6）的积的个位排在末尾7×7=49，积是6个9142857×8=1142856（7分身，即分为头一个数字1与尾数6，数列内少了7）142857×9=1285713（4分身）142857×10=1428570（1分身）142857×11=1571427（8分身）142857×12=1714284（5分身）142857×13=1857141（2分身）142857×14=1999998（9也需要分身变大）7×（8~14）的个位的积的个位+1就是需要变化的数以上各数的单数和都是“9”。
2021年北师大版四年级数学上册3神奇的计算工具课件
北师大版
四年级 数学 上册
第3单元 乘法
3
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神奇的计算工具
学习目标
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1.让学生了解计算器的基本按键名称 和功能，并能够利用计算器进行简单 的四则计算。
2.培养学生善于观察发现数学秘密的 意识，能够对一些有规律的数进行口 算。
学习目标
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3.培养学生善于观察发现数学秘密的 意识，能够对一些有规律的数进行口 算。
学以致用
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5.自选一张报纸，估计其中一版的字数， 用文字、 图或算式来说明估计的过程 与方法。
课堂小结
大家有什么 收获？
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1.计算大数时，用计算器计算比较简单。
2. 用计算器计算时，要注意不要恩错键， 摁错了可以摁清除键。
►为你理想的人，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。 ►有时候，我们愿意原谅一个人，并不是我们真的愿意原谅他，而是我们 不愿意失去他。不想失去他，惟有假装原谅他。不管你爱过多少人，不管 你爱得多么痛苦或快乐。最后，你不是学会了怎样恋爱，而是学会了，怎 样去爱自己。
情景导入
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两千多年前，中国人用算筹计算。
探究新知
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一千多年前，中国人开始广泛使 用算盘，使计算的速度快多了。
探究新知
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1822年，第一台能按一定程 序自动控制的计算机诞生了。
探究新知
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探究新知
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计算器是生活中常用的计算工具。关于计算器你已经知道了 什么？
错解分析： 清除键
显示屏
应该摁清 除键，按 成了开关 键。
开关及清除屏键
学以致用
1.用计算器计算下面各题。
数学日记自然界中的数学奥秘
数学日记自然界中的数学奥秘
摘要：
1.数学与自然的紧密联系
2.自然界中的数学规律
3.数学在解决自然问题中的应用
4.总结：数学与自然的相互促进
正文：
数学，作为一门抽象的学科，其与自然界有着紧密的联系。
自然界中的许多现象和规律，都可以通过数学模型来描述和解释。
从日常生活中的现象，到宇宙中的星辰运行，数学都在其中发挥着重要的作用。
自然界中的数学规律无处不在。
例如，植物的生长过程中，叶子的排列方式就遵循着数学中的斐波那契数列；动物的繁殖过程中，也存在着数学中的黄金分割比例。
这些规律不仅使得自然界中的现象充满了美感，也为我们理解自然提供了重要的线索。
数学不仅揭示了自然界中的规律，还在解决自然问题中发挥着重要的作用。
如在气象学中，通过建立数学模型，可以预测天气的变化；在流体力学中，通过数学的计算，可以解释水流、气流的运动规律。
这些应用，不仅使我们更好地理解和利用自然资源，也为我们的生产生活提供了便利。
总的来说，数学与自然界是相互促进的。
数学的发展和应用，使我们更好地理解和利用自然；而自然的规律和现象，也为数学的发展提供了丰富的素材。
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在人类看来，动物们头脑似乎都比较简单。
其实，有许多动物的头脑并非像人们想象的那样愚钝，有许多动物很聪明，它们懂得计算、计量或算数等等，还有很多动物在数学方法的研究上做了很大的贡献。
下面就让你见识一下自然界中动植物中的天才！1.欧阳光明（2021.03.07）2.蜘蛛网曾看过这样一则谜语：“小小诸葛亮，稳坐军中帐。
摆下八卦阵，只等飞来将。
”动一动脑筋，这说的是什么呢?原来是蜘蛛，后两句讲的正是蜘蛛结网捕虫的生动情形。
我们知道，蜘蛛网既是它栖息的地方，也是它赖以谋生的工具。
而且，结网是它的本能，并不需要学习。
你观察过蜘蛛网吗?它是用什么工具编织出这么精致的网来的呢?你心中是不是有一连串的疑问，好，下面就让我来慢慢告诉你吧。
在结网的过程中，功勋最卓著的要属它的腿了。
首先，它用腿从吐丝器中抽出一些丝，把它固定在墙角的一侧或者树枝上。
然后，再吐出一些丝，把整个蜘蛛网的轮廓勾勒出来，用一根特别的丝把这个轮廓固定住。
为继续穿针引线搭好了脚手架。
它每抽一根丝，沿着脚手架，小心翼翼地向前走，走到中心时，把丝拉紧，多余的部分就让它聚到中心。
从中心往边上爬的过程中，在合适的地方加几根辐线，为了保持蜘蛛网的平衡，再到对面去加几根对称的辐线。
一般来说，不同种类的蜘蛛引出的辐线数目不相同。
丝蛛最多，42条；有带的蜘蛛次之，也有32条；角蛛最少，也达到21条。
同一种蜘蛛一般不会改变辐线数。
到目前为止，蜘蛛已经用辐线把圆周分成了几部分，相临的辐线间的圆周角也是大体相同的。
现在，整个蜘蛛网看起来是一些半径等分的圆周，画曲线的工作就要开始了。
蜘蛛从中心开始，用一条极细的丝在那些半径上作出一条螺旋状的丝。
这是一条辅助的丝。
然后，它又从外圈盘旋着走向中心，同时在半径上安上最后成网的螺旋线。
在这个过程中，它的脚就落在辅助线上，每到一处，就用脚把辅助线抓起来，聚成一个小球，放在半径上。
这样半径上就有许多小球。
从外面看上去，就是许多个小点。
好了，一个完美的蜘蛛网就结成了。
让我们再来好好观察一下这个小精灵的杰作：从外圈走向中心的那根螺旋线，越接近中心，每周间的距离越密，直到中断。
只有中心部分的辅助线一圈密似一圈，向中心绕去。
小精灵所画出的曲线，在几何中称之为对数螺线。
对数螺线又叫等角螺线，因为曲线上任意一点和中心的连线与曲线上这点的切线所形成的角是一个定角。
大家可别小看了对数螺线：在工业生产中，把抽水机的涡轮叶片的曲面作成对数；螺线的形状，抽水就均匀；在农业生产中，把轧刀的刀口弯曲成对数螺线的形状，它就会按特定的角度来切割草料，又快又好。
3.蜜蜂的蜂房蜜蜂是勤劳的，它们酿造出了最甜的蜜；蜜蜂是聪明的，它们会分工合作，还会用舞蹈的形式告诉同伴：哪里有花源，数量怎么样。
实际上，不仅如此，蜜蜂还是出色的建筑师。
它们建筑的蜂房就是自然界诸多奇迹中的一个。
蜂房六棱柱的形状，它的底是由三个全等的菱形组成的。
达尔文称赞蜜蜂的建筑艺术，说它是“天才的工程师”。
法国的学者马拉尔狄曾经观察过蜂房的结构，在1712年，他写出了一篇关于蜂房结构的论文。
他测量后发现，每个蜂房的体积几乎都是0.25立方厘米。
底部菱形的锐角是70度32分，钝角是109度28分，蜜蜂的工作竟然是这样的精细。
物理学家列奥缪拉也曾研究了这个问题，它想推导出：底部的菱形的两个互补的角是多大时，才能使得蜂房的容量达到最大，他没有把这项工作进行下去。
苏格兰的数学家马克劳林通过计算得出了与前面观察完全吻合的数据。
公元4世纪，数学家巴普士就告诉我们：正六棱柱的蜂房是一种最经济的形状，在其他条件相同的情况下，这种结构的容积最大，所用的材料最少，他给出了严格的证明。
看来，我们不得不为蜜蜂的高超的建筑艺术所折服了。
马克思也高度地评价它：蜜蜂建筑蜂房的本领使人间的许多建筑师感到惭愧。
现在，许多建筑师开始模仿蜂房的结构，并把它们应用到建筑的实践中去。
3. 珊瑚虫--神奇的“计数天才”说到海底世界里的珊瑚虫，大家一般都会直接联想到它们的分泌物——五光十色的珊瑚。
其实珊瑚虫不光会生产“美丽”，还是聪明的“计数天才”呢。
出于对水温、光线和水流速度等外部环境的感应，它们会在自己身体上“刻画”出365条环形花纹，很显然，这个数字刚好与每年的天数吻合。
也就是说，它是每天标画1条“记号”。
我们知道，树木在自己身上记下的是“年轮”，而珊瑚虫记下的是更精细的“日历”。
生物学家们可以根据其刻画的环形花纹，做为判断它们年龄的重要参考数据。
奇怪的是，生物学家发现3.5亿年前的珊瑚虫每年“画”出来的环形花纹居然是400条。
难道珊瑚虫记录的“日历”只是惊人的巧合而已？天文学家的研究结果证明，当时地球1天只有21.8小时，1年不是365天，而是400天！珊瑚虫记录“日历”的本领，看来真是名不虚传啊！珊瑚虫不仅懂得计算，对天文也颇有心得呢。
4.丹顶鹤--精准的“队列专家”比珊瑚虫和蜜蜂更精明的“数学大师”大概要数丹顶鹤了。
它们迁徙飞行时，总是成群结队，排成“人”字形，而这个“人”字形的夹角度数永远是110度左右！要知道，在运动前行的状态下，要保持如此的精准度数，可不是吹吹牛那么简单！外表优雅的丹顶鹤们，私下里是不是偷偷花了一番苦功夫训练呢？“110度”又有什么特别的含义么？动物学家是这样解读的：这个“人”字形夹角的一半，也就是每边队列与前进方向的反方向夹角大致是55度，而世界上最坚硬的金刚石晶体的角度（54度44分8秒）与这个度数相差无几。
看来，时刻保持警觉状态的丹顶鹤，是想排列成如金石般牢不可摧的防御队形吧？不过要破解丹顶鹤队列夹角的秘密，尚需时日。
聪明的你，是不是愿意接过这根接力棒呢？5. 蚂蚁蚂蚁是“计算专家”。
英国科学家兴斯顿作过一个有趣的实验，他把一只死蚱蜢切成三块，第二块比第一块大一倍，第三块比第二块大一倍，当蚂蚁发现这食物40分钟后，聚集在最小的一块蚱蜢旁的蚂蚁有28只，第二块44只，第三块89只，后一组较前一组差不多多一倍。
蚂蚁的计算本领如此精确，令人惊奇！不仅如此，蚂蚁们在寻找食物时，总是能够找到通往食物的最短路线。
6. 向日葵向日葵是一种美丽的生物，在蓝天之下它们大大的黄色圆盘非常具有标志性。
当然，我们大多数人喜爱它们的原因是因为喜欢嗑瓜子。
但是，你有没有过停下脚步，细细观察这种特殊花朵中央的种子排列图案呢？向日葵绝不仅仅只是长相美丽，种子美味的普通植物，它们更是一个数学奇迹的体现。
向日葵中心种子的排列图案符合斐波那契数列，也就是1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…如果你还记得数学课上是怎么讲的，序列中每个数字是前两个数字的总和。
在向日葵上面，这个序列以螺旋状从花盘中心开始体现出来。
有两条曲线向相反方向延展，从中心开始一直延伸到花瓣，每颗种子都和这两条曲线形成特定的角度，放在一起就形成了螺旋形。
7. 美妙的“曲线方程”笛卡尔是法国17世纪著名的数学家，他在研究了一簇花瓣和叶子的曲线特征之后，列出了“x2+y2－3axy=0”的曲线方程式，准确形象地揭示了植物叶子和花朵的形态所包含的数学规律性。
这个曲线方程取名为“笛卡尔叶线”，又称为“茉莉花瓣曲线”。
如果将参数a的值加以变换，便可描绘出不同叶子或者花瓣的外形图。
科学家在对三叶草、垂柳、睡莲、常青藤等植物进行了认真的观察和研究之后，发现植物之所以拥有优美的造型，例如，花瓣对称排列在花托边缘，整个花朵近乎完美地呈现出辐射对称形状，叶子有规律地沿着植物的茎杆相互叠起，种子或呈圆形、或似针刺、或如伞状……在于它们和特定的“曲线方程”有着密切的关系。
其中用来描绘花叶外孢轮廓的曲线称作“玫瑰形线”，植物的螺旋状缠绕茎取名为“生命螺旋线”。
三叶草睡莲8. 自然界中的黄金分割你研究或者不研究，美就在那里，不偏不移；你发现或者不发现，黄金分割就在那里，不多不少。
0.618，这个数字是否觉得似曾相识。
这其实是一个数学比例关系，即把一条线段分为两部分，此时短段与长段之比恰恰等于长段与整条线之比，其数值比为1：1.618或0.618：1。
这就是黄金分割律，由公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯所发现，后来古希腊美学家柏拉图将此称为黄金分割。
黄金分割在未发现之前，在客观世界中就存在的，只是当人们揭示了这一奥秘之后，才对它有了明确的认识。
当人们根据这个法则再来观察自然界时，就惊奇的发现原来在自然界的许多优美的事物中的能看到它，如植物的叶片、花朵，雪花，五角星……许多动物、昆虫的身体结构中，特别是人体中更是有着丰富的黄金比关系。
植物叶子中黄金分割鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工。
动植物的这些数学奇迹并不是偶然的巧合，而是在亿万年的长期进化过程中选择的适应自身生长的最佳方案。
数学是来源于生活，而应用于生活中的。
曾经有人说：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学。
只要我们有一双留心发现的眼睛，我们就从周围熟悉的事务中学习数学和理解数学，体会到数学就在生活中，感受到数学的趣味和作用，体验到数学的魅力。
4.蜘蛛网曾看过这样一则谜语：“小小诸葛亮，稳坐军中帐。
摆下八卦阵，只等飞来将。
”动一动脑筋，这说的是什么呢?原来是蜘蛛，后两句讲的正是蜘蛛结网捕虫的生动情形。
我们知道，蜘蛛网既是它栖息的地方，也是它赖以谋生的工具。
而且，结网是它的本能，并不需要学习。
你观察过蜘蛛网吗?它是用什么工具编织出这么精致的网来的呢?你心中是不是有一连串的疑问，好，下面就让我来慢慢告诉你吧。
在结网的过程中，功勋最卓著的要属它的腿了。
首先，它用腿从吐丝器中抽出一些丝，把它固定在墙角的一侧或者树枝上。
然后，再吐出一些丝，把整个蜘蛛网的轮廓勾勒出来，用一根特别的丝把这个轮廓固定住。
为继续穿针引线搭好了脚手架。
它每抽一根丝，沿着脚手架，小心翼翼地向前走，走到中心时，把丝拉紧，多余的部分就让它聚到中心。
从中心往边上爬的过程中，在合适的地方加几根辐线，为了保持蜘蛛网的平衡，再到对面去加几根对称的辐线。
一般来说，不同种类的蜘蛛引出的辐线数目不相同。
丝蛛最多，42条；有带的蜘蛛次之，也有32条；角蛛最少，也达到21条。
同一种蜘蛛一般不会改变辐线数。
到目前为止，蜘蛛已经用辐线把圆周分成了几部分，相临的辐线间的圆周角也是大体相同的。
现在，整个蜘蛛网看起来是一些半径等分的圆周，画曲线的工作就要开始了。
蜘蛛从中心开始，用一条极细的丝在那些半径上作出一条螺旋状的丝。
这是一条辅助的丝。
然后，它又从外圈盘旋着走向中心，同时在半径上安上最后成网的螺旋线。
在这个过程中，它的脚就落在辅助线上，每到一处，就用脚把辅助线抓起来，聚成一个小球，放在半径上。
这样半径上就有许多小球。
从外面看上去，就是许多个小点。
好了，一个完美的蜘蛛网就结成了。