第1章 数学建模古典概型

参赛者挑汽车，主持人挑两头山羊的任 何一头，更换选择将不会赢得汽车。 在头两种情况，参赛者可以通过更换选 择而赢得汽车，第三种情况是唯一一种参赛 者通过保持原来选择而赢的情况。因为三种 情况中有两种是通过更换选择而赢的，所以 通过更换选择而赢的概率是2/3。
另一种解答是假设你永远都会更换选择， 这时赢的唯一可能性就是选一扇没有车的门， 因为主持人其后必定会开启另外一扇有山羊 的门，消除了更换选择后选到另外一只羊的 可能性。因为门的总数是三扇，有山羊的门 的总数是两扇，所以转换选择而赢得汽车的 概率是2/3，与初次选择时选中有山羊的门 的概率一样。
4 4 4 4 5 5 4 4 4
5 5 5 6 6 6 5 5 5
6 6 7 7 7 7 6 6 7
7 8 8 8 8 8 7 8 8
2 2 2 3
3 3 4 4
4 5 5 5
6 6 6 6
7 7 7 7
8 8 8 8
1. 1 验证性实验
实验二 古典概率的计算 【实验目的】 1.熟悉概率的概念和性质 2.掌握古典概率的计算方法，并通过实例加深 对概率概念和性质的理解 【实验要求】 1.掌握Matlab计算阶乘的命令factorial和双阶 乘的命令prod 2.掌握Matlab计算组合数的命令nchoosek 3.会用Matlab命令求古典概率
在Matlab的Medit窗口建立montyhall.m文件： function nochange=montyhall(n) m=0; l=0; x=[1,1,2];%此处用“1”代表山羊，“2”代表 汽车 for i=1:1:n k=unidrnd(3); if x(k)==2 m=m+1; l=l;
从17世纪到19世纪，贝努利、隶莫弗、 拉普拉斯、高斯、普阿松、切贝谢夫、马 尔可夫等著名数学家都对概率论的发展做 出了杰出的贡献。为概率论确定严密的理 论基础的是数学家柯尔莫哥洛夫。 1933年，他发表了著名的《概率论 的基本概念》，用公理化结构，明确定义 了概率论中的基本概念，成为了概率论发 展史上的一个里程碑，为以后的概率论的 迅速发展奠定了基础。
这个问题亦被叫做蒙提霍尔悖论：虽然 该问题的答案在逻辑上并不自相矛盾，但十 分违反直觉。这问题曾引起一阵热烈的讨论。 以下是蒙提霍尔问题的一个著名的叙述， 来自CraigF.Whitaker于1990年寄给《展示杂 志》（ParadeMagazine）玛莉莲· 莎凡 （MarilynvosSavant）专栏的信件：假设你正 在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门中 选择一扇：其中一扇后面有一辆车；其余两 扇后面则是山羊。你选择了一道门，假设是 一号门，然后知道门后面有什么的主持人， 开启了另一扇后面有山羊的门，假设是三号
4．某厂一、二、三车间生产同类产品， 已知三个车间生产的产品分别占总量的 50%，25%，25%，且这三个车间产品 的次品率分别为1%，2%，4%三个车 间生产的产品在仓库中均匀混合。 (1)从仓库中任取一件产品，求它是次品的 概率； (2) 从仓库中任取一件产品，经检测是次 品，求该产品产自于三个车间的概率?

概率概念的要旨是在17世纪中叶法国 数学家帕斯卡与费马的讨论中才比较明确。 他们在往来的信函中讨论"合理分配赌注问 题"，在概率问题早期的研究中，逐步建立 了事件、概率和随机变量等重要概念以及 它们的基本性质。 后来由于许多社会问题和工程技术问 题，如：人口统计、保险理论、天文观测、 误差理论、产品检验和质量控制等，这些 问题的提出，均促进了概率论的发展。
(4) >> x=2:1:4; >> y=factorial(x); >> factorial(9)/prod(y) 运行结果为： ans = 1260
写出从1，2，3，4，5，6，7，8这8个 数中取6个数的所有组合。 >> combntns(1:8,6) 运行结果为： ans = 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
>> n=64; >> p=1nchoosek(365,n)*factorial(n)/365^n 运行结果： p= 0.9972
2．某接待站在某一周曾接待过12次来访， 已知所有这12次接待都是在周二和周四进 行的，问是否可以推断接待时间是有规定 的？
>> p=2^12/7^12 %接待时间没有规定时， 访问都发生在周二和周四的概率 运行结果： p= 2.9593e-007 此概率很小，由实际推断原理知接待时间 是有规定的。
1.1 验证性实验
实验一 排列数与组合数的计算
【实验目的】 1．掌握排列数和组合数的计算方法 2．会用Matlab计算排列数和组合数 【实验要求】 1．掌握Matlab计算阶乘的命令factorial和 双阶乘的命令prod 2．掌握Matlab计算组合数的命令 nchoosek和求所有组合的命令combntns
第1章 古典概型
• 1.1 验证性实验 • 1.2 设计性试验 • 1.3 综合性实验
第1章 古典概型
【古典概型简介】概率论是一门研究随机 现象数量规律的学科，它起源于对赌博问 题的研究。早在16世纪，意大利学者卡丹 与塔塔里亚等人就已从数学角度研究过赌 博问题。 他们的研究除了赌博外还与当时的人 口、保险业等有关，但由于卡丹等人的思 想未引起重视，概率概念的要旨也不明确， 于是很快被人淡忘了。
现在，要求用Matlab模拟出抛硬币试验， 并观察随着试验次数的增加，正面朝上的频 率如何变化？试验并观察在相同的试验次数 下，正面朝上的频率是否相同？
抛硬币试验的计算机模拟
【实验方案】 抛一枚均匀硬币，容易知道正面朝上的 概率是0.5。若做n次抛硬币试验，正面朝上 的次数是k次，则正面朝上的频率是k/n。由 贝努利大数定律，随着n的增大，频率k/n会 趋近于概率0.5，这体现了频率的稳定性。但 是频率不是n和k的简单函数，即使相同的n 频率也会不同，这体现出频率的波动性
(3)
2．计算下列排列组合式的结果： （1） P 8
2
（2） C 8
2
• >>nchoosek(8,2)*factorial(2) • 运行结果为： • ans = • 56
>> nchoosek(8,2) 运行结果为： ans = 28
（3） C10
2
9! （4） 2!3!4!
(3) >> nchoosek(10,2) 运行结果为： ans = 45
古典概率的计算
1．设ｎ个人中每个人的生日在一年365天中 任一天是等可能的。求当n为23，40，64 时，这ｎ个人中至少有两人生日相同的概率 各为多少？ >> n=23; >> p=1nchoosek(365,n)*factorial(n)/365^n 运行结果： p= 0.5073
>> n=40; >> p=1-nchoosek(365,n)*factorial(n)/365^n 运行结果： p= 0.8912
这个游戏的玩法是：参赛者会看见三扇 关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车， 选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车， 而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参 赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候， 节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇， 露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者 要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换 另一扇门是否会增加参赛者赢得汽车的机率？ 如果严格按照上述的条件的话，答案是会。 换门的话，赢得汽车的机率是2/3。
门。他然后问你：“你想选择二号门吗？” 转换你的选择对你来说是一种优势吗？ 蒙特霍尔问题的结论是如此的与我们的直 觉相违背，请用概率知识分析这其中的道理， 并设计一个试验模拟蒙特霍尔问题，看模拟 的结果是否与理论结果一致？
【实验方案】 蒙特霍尔问题的关键是电视节目主持人 为了节目的紧张刺激，故意会打开他事先知 道的有羊的门，因此，如果不换的话，参赛 者获得汽车的可能性是1/3。如果参赛者要更 换选择，则他将会面临三种等可能性的情况： 参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号， 更换选择将赢得汽车。 参赛者挑山羊二号，主持人挑山羊一号， 更换选择将赢得汽车。
在Matlab的Medit窗口建立文件money.m： function y=money(n) for i=1:1:n x(i)=binornd(1, 0.5); end; k=sum(x); y=k/n
在Matlab的命令窗口输入下述命令： >> money(100)； y= 0.4600 >> money(1000)； y= 0.4820 >> money(10000)； y= 0.4987 >> money(10000)； y= 0.4982
else
m=m; l=l+1; end end nochange=m/n change=l/n
在Matlab的命令窗口输入下述命令： >> montyhall(1000)； nochange = 0.3380 change = 0.6620 >> montyhall(10000)； nochange = 0.3307 change = 0.6693
3．在50个产品中有18个一级品，32个 二级品，从中任意抽取30个， 求其中(1)恰有20个二级品的概率； (2)至少有2个一级品的概率？
（1） >>p1=nchoosek(32,20)*nchoosek(18, 10)/nchoosek(50,30) 运行结果： p1 = 0.2096
（2） >> p2=1(nchoosek(32,30)+nchoosek(18,1)*nchoose k(32,29))/nchoosek(50,30) 运行结果： p2 = 1.0000