巩固测试最新2018-2019学年北师大版高中数学必修一《函数2-2-3》课后强化综合检测及答案
(常考题)北师大版高中数学必修一第二单元《函数》测试卷(含答案解析)
一、选择题1．令[]x 表示不超过x 的最大整数，例如，[]3.54-=-，[]2.12=，若函数()[][]32f x x x =-，则函数()f x 在区间[]0,2上所有可能取值的和为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．函数()()1ln 24f x x x =-+-的定义域是（ ） A ．[)2,4B ．()2,+∞C ．()()2,44,⋃+∞D ．[)()2,44,+∞3．已知函数f (x )满足f (x -1)=2f (x )，且x R ∈，当x ∈[-1，0)时，f (x )=-2x -2x +3，则当x ∈[1,2)时，f (x )的最大值为（ ） A ．52B ．1C ．0D ．-14．已知,a t 为正实数，函数()22f x x x a =-+，且对任意[]0,x t ∈，都有()f x a ≤成立.若对每一个正实数a ，记t 的最大值为()g a ，若函数()g a 的值域记为B ，则下列关系正确的是（ ） A ．2B ∈B ．12B ∉C ．3B ∈D ．13B ∉5．若函数22,2()13,22x ax x f x a x x⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．115,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,215⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．41,152⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．152,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]3π=，[]1.082-=-，定义函数{}[]x x x =-．给出下列结论：①函数{}x 的定义域是R ，值域为0,1；②方程{}12x =有无数个解；③函数{}x 是增函数；④函数{}x 为奇函数，其中正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．如果()()211f x mx m x =+-+在区间(]1-∞，上为减函数，则m 的取值范围（ ） A ．103⎛⎤ ⎥⎝⎦，B ．103⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．103⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．103⎛⎫ ⎪⎝⎭，8．已知定义在R 上的奇函数()y f x =，当0x ≥时，22()f x x a a =--，若对任意实数x 有()()f x a f x -≤成立，则正数a 的取值范围为（ ）A ．)1,4⎡+∞⎢⎣ B ．)1,2⎡+∞⎢⎣C ．(10,4⎤⎥⎦D ．(10,2⎤⎥⎦9．已知函数log ,0(),0a xx x f x a x >⎧=⎨≤⎩（0a >，且1a ≠），则((1))f f -=（ ） A ．1B ．0C ．-1D ．a10．已知函数()f x 是奇函数，()f x 在(0,)+∞上是减函数，且在区间[,](0)a b a b <<上的值域为[3,4]-，则在区间[,]b a --上（ ） A ．有最大值4 B ．有最小值-4C ．有最大值-3D ．有最小值-311．函数f (x )=x 2+2ln||2x x 的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．12．若函数()y f x =为奇函数，且在(),0∞-上单调递增，若()20f =，则不等式()0f x >的解集为( )A ．()()2,02,∞-⋃+B ．()(),22,∞∞--⋃+C ．()(),20,2∞--⋃D ．()()2,00,2-⋃二、填空题13．设集合A 是集合*N 的子集，对于*i N ∈，定义()1,,0,i i A A i A ϕ∈⎧=⎨∉⎩给出下列三个结论：①存在*N 的两个不同子集A ，B ，使得任意*i N ∈都满足()0i AB ϕ=且()1A B ⋃=；②任取*N 的两个不同子集A ，B ，对任意*i N ∈都有()()()i i i A B A B ϕϕϕ⋃=+；③设{}*2,A x x n n N ==∈，{}*42,B x x n n N ==-=，对任意*i N ∈，都有()()()i i i A B A B ϕϕϕ⋂=其中正确结论的序号为______.14．已知函数f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝3x ，则f (x )＝________．15．已知函数2212,1()4,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若()f x 的最小值为(1)f ，则实数a 的取值范围是________.16．已知集合{1,A B ==2，3}，f ：A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，那么该函数的值域的不同情况有______种.17．函数2()23||f x x x =-的单调递减区间是________．18．定义在R 上的奇函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，又(3)0f -=，则不等式()0xf x <的解集为______．19．若函数()y f x = 的定义域为[-1,3]，则函数()()211f xg x x +=-的定义域 ___________20．已知函数()2()10f x x ax a =++>，若“()f x 的值域为[)0,+∞”为真命题，则()3f =________. 三、解答题21．已知函数1()(1)1x x a f x a a -=>+，求：（1）判断函数的奇偶性；（2）证明()f x 是R 上的增函数； （3）求该函数的值域.22．已知二次函数()2(f x ax bx c a R =++∈且2a >-），(1)1f =，且对任意的x ∈R ，(5)(3)f x f x -+=-均成立，且方程()42f x x =-有唯一实数解.（1）求()f x 的解析式；（2）若当(10,)x ∈+∞时，不等式()2160f x kx k +--<恒成立，求实数k 的取值范围；（3）是否存在区间[],()m n m n <，使得()f x 在区间[],m n 上的值域恰好为[]6,6m n ？若存在，请求出区间[],m n ，若不存在，请说明理由. 23．已知22()2x af x x -=+. （1）若0a =，证明：()f x在递增，若()f x 在区间(12,1)m m --递增，求实数m 的范围；（2）设关于x 的方程1()f x x=的两个非零实根为1x ，2x ，试问：是否存在实数m ，使得不等式2121m tm x x ++≥-对任意[1,1]a ∈-及[1,1]t ∈-恒成立？如果存在求出m 的范围，如果不存在请说明理由. 24．定义在11,22⎛⎫-⎪⎝⎭上的函数()f x 满足：对任意的11,,22x y ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭都有()()()1()()f x f y f x y f x f y ，且当102x <<时，()0f x >．（1）判断()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的单调性并证明； （2）求实数t 的取值集合，使得关于x 的不等式1()02f t x f x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立．25．已知函数()()222f x x ax a a =-+∈R .（1）若1a =，[]2,2x ∀∈-，()f x m 成立，求实数m 的取值范围;（2）若0a <，()()1212,0,x x x x ∀∈+∞≠，()()1212||2||f x f x x x ->-成立，求实数a 的最大值;（3）函数()()1g x f x x=+在区间()1,2上单调递减，求实数a 的取值范围.26．已知函数()f x = （1）求()f x 的定义域和值域； （2）设()h x =，若不等式231()42h x m am ≤-对于任意[1,1]x ∈-及任意[1,1]a ∈-都恒成立，求实数m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据[]x 表示不超过x 的最大整数，分5种情况讨论，分别求出[]x 和[2]x 的值，即可以计算()3[][2]f x x x =-的函数值，相加即可得答案． 【详解】因为[]x 表示不超过x 的最大整数，所以： 当102x <时，有021x <，则[]0x =，则3[]0x =，[2]0x =，此时()0f x =，当112x <时，有122x <，则[]0x =，则3[]0x =，[2]1x =，此时()1f x =-， 当312x <时，有223x <，则[]1x =，则3[]3x =，[2]2x =，此时()1f x =， 当322x <时，有324x <，则[]1x =，则3[]3x =，[2]3x =，此时()0f x =， 当2x =时，24=x ，则[]2x =，则3[]6x =，[2]4x =，此时()2f x =， 函数()f x 在区间[0，2]上所有可能取值的和为011022-+++=； 故选：B ． 【点睛】结论点睛：分类讨论思想的常见类型（1）问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； （2）问题中的条件是分类给出的；（3）解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；（4）涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.2．C解析：C 【分析】先根据函数的解析式建立不等式组，再解不等式组求定义域即可. 【详解】解：因为函数的解析式：()()1ln 24f x x x =-+- 所以2040x x ->⎧⎨-≠⎩，解得24x x >⎧⎨≠⎩故函数的定义域为：()(2,4)4,+∞故选：C 【点睛】数学常见基本初等函数定义域是解题关键.3．B解析：B 【分析】 首先设[)1,2x ∈，利用函数满足的关系式，求函数的解析式，并求最大值.【详解】 设[)1,2x ∈，[)21,0x -∈-，()()()222222323f x x x x x ∴-=----+=-++， ()()()()211214f x f x f x f x -=--=-=⎡⎤⎣⎦，()()()()2211122311444f x f x x x x ∴=-=-++=--+， [)1,2x ∈，()f x ∴在区间[)1,2单调递减，函数的最大值是()11f =.故选：B 【点睛】思路点睛：一般利用函数的周期，对称性求函数的解析式时，一般求什么区间的解析式，就是将变量x 设在这个区间，根据条件，转化为已知区间，再根据关系时，转化求函数()f x 的解析式. 4．A解析：A 【分析】根据函数的特征，要对t 进行分类讨论，求出t 的最大值，再根据a 是正实数，求出()g a 的值域即可判断答案． 【详解】 解：2()2f x x x a =-+∴函数()f x 的图象开口向上，对称轴为1x =①01t <时，()f x 在[0，]t 上为减函数，()(0)max f x f a ==，2()()2min f x f t t t a ==-+ 对任意的[0x ∈，]t ，都有()[f x a ∈-，]a ． 22a t t a ∴-≤-+，即2220t t a -+≥，当()()22424120a a ∆=--⨯=-≤，即12a ≥时，01t <，当()()22424120a a ∆=--⨯=->，即102a <<时，11t ≤ ②1t >时，()f x 在[0，1]上为减函数，在[1，]t 上为增函数，则()()11min f x f a a ==-≥-，2(){(0),()}{,2}max f x max f f t max a t t a a ==-+≤，12a ∴≥，且22t t a a -+，即12t < t 的最大值为()g a综上可得，当12a ≥时(]0,2t ∈ 当102a <<时，()0,1t ∈ ∴函数()g a 的值域为(]0,2故选：A ． 【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．5．D解析：D 【分析】若函数()f x 在R 上递减，则必须满足当(],2x ∈-∞时，函数22y x ax =-递减，且()2,x ∈+∞时132y a x=-也递减，且端点处的函数值必须满足条件． 【详解】 易知函数132y a x=-在(2,)+∞上单调递减，要使函数()f x 在R 上单调递减， 则函数22y x ax =-在(,2]-∞上单调递减，所以2a ≥， 当2x =时，2244x ax a -=-，113324a a x -=-，要使()f x 在R 上单调递减， 还必须14434a a -≥-，即154a ≤，所以1524a ≤≤.故选：D ． 【点睛】解答本题时，首先要保证原函数在每一段上都递减，另外，解答时容易忽略掉端点的函数值的大小关系.6．B解析：B 【分析】根据函数性质判断[]x 是一个常见的新定义的形式，按照新定义，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，由此可以得到函数的性质，又定义函数{}[]x x x =-，当0x ≥时，表示x 的小数部分，由于①③是错误的，举例可判断②，根据单调性定义可判断④. 【详解】①函数{}x 的定义域是R ,但[]01x x ≤-<，其值域为)01⎡⎣，，故错误； ②由{}[]12x x x =-=，可得[]12x x =+，则 1.52.5x =，……都是方程的解，故正确； ③由②可得{}11.52=，{}12.52=……当 1.52.5x =，……时，函数{}x 的值都为12，故不是增函数，故错误； ④函数{}x 的定义域是R ,而{}[]{}x x x x -=---≠-，故函数不是奇函数，故错误；综上，故正确的是②. 故选：B. 【点睛】本题以新定义函数{}[]x x x =-的意义为载体，考查了分段函数和函数的值域、单调性等性质得综合类问题，在解答的过程中体现了分类讨论和数形结合的思想，还可以利用函数的图象进行解题．7．B解析：B 【分析】当m =0时，()f x =1x -，符合题意.当0m ≠时，由题意可得0112m m m>⎧⎪-⎨≥⎪⎩，求得m 的范围.综合可得m 的取值范围. 【详解】当0m =时，()1f x x =-+，满足在区间(]1-∞，上为减函数； 当0m ≠时，由于()()211f x mx m x =+-+的对称轴为12mx m-=，且函数在区间(]1-∞，上为减函数， 则0112m m m>⎧⎪-⎨≥⎪⎩，解得103m <≤.综上可得，103m ≤≤. 故选：B 【点睛】要研究二次型函数单调区间有关问题，首先要注意二次项系数是否为零.当二次项系数不为零时，利用二次函数的对称轴来研究单调区间.8．C解析：C 【分析】由于22()f x x a a =--有绝对值，分情况考虑2x a ≥和2x a <，再由()y f x =是奇函数画出图象，再根据()()f x a f x -≤考虑图象平移结合图形可得答案. 【详解】由题得， 当0x ≥时，22()f x x a a =--，故写成分段函数222222,0(),x a a x a f x x a a x a ⎧-+-≤≤=⎨-->⎩，化简得222,0()2,x x a f x x a x a⎧-≤≤=⎨->⎩， 又()y f x =为奇函数，故可画出图像：又()f x a -可看出()y f x =往右平移a 个单位可得，若()()f x a f x -≤恒成立，则222(2)a a a ≥--，即24a a ≤，又a 为正数，故解得104a <≤. 故选：C . 【点睛】本题主要考查绝对值函数对分段函数的转换，图象的平移，属于中档题.9．C解析：C 【分析】根据分段函数的解析式，代入求值即可. 【详解】因为log ,0(),0a x x x f x a x >⎧=⎨≤⎩，所以11(1)f aa --==， 所以11((1))()log 1a f f f a a--===-，故选：C 【点睛】本题主要考查了利用分段函数的解析式，求函数值，涉及指数函数与对数函数的运算，属于中档题.10．B解析：B 【分析】根据奇函数的性质,分析()f x 在对称的区间上单调性相同,即可找出最大值与最小值. 【详解】∵()f x 是奇函数,在(0,)+∞上是减函数,∴()f x 在(,0)-∞上也是减函数,即在区间[,](0)a b a b <<上递减. 又∵()f x 在区间[,](0)a b a b <<上的值域为[3,4]-, ∴()()4,3,f a f b ==-根据奇函数的性质可知()()4,3,f a f b -=--=且在区间[,]b a --上单调递减,∴()f x 在区间[,]b a --上有最大值3,有最小值-4. 故选：B. 【点睛】本题考查了奇函数的单调性和值域特点,如果性质记不熟,可以将大致图像画出.本题属于中等题.11．B解析：B 【分析】利用奇偶性排除选项C 、D ；利用x →+∞时，()f x →+∞,排除A,从而可得结论. 【详解】 ∵f (-x )=( -x )2+2ln||2()x x --=x 2+2ln||2x x =f (x ),∴f (x )是偶函数,其图象关于y 轴对称,排除C,D ； 又x →+∞时，()f x →+∞,排除A, 故选B . 【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.12．A解析：A 【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f （﹣2）=﹣f （2）=0，结合函数的单调性分析可得在区间（﹣∞，﹣2）上，f （x ）＜0，在（﹣2，0）上，f （x ）＞0，再结合函数的奇偶性可得在区间（0，2）上，f （x ）＜0，在（2，+∞）上，f （x ）＞0，综合即可得答案． 【详解】根据题意，函数y=f （x ）为奇函数，且f （2）=0， 则f （﹣2）=﹣f （2）=0，又由f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，则在区间（﹣∞，﹣2）上，f （x ）＜0，在（﹣2，0）上，f （x ）＞0， 又由函数y=f （x ）为奇函数，则在区间（0，2）上，f （x ）＜0，在（2，+∞）上，f （x ）＞0， 综合可得：不等式f （x ）＞0的解集（﹣2，0）∪（2，+∞）； 故选A ． 【点睛】本题考查函数单调性奇偶性的应用，关键是掌握函数的奇偶性与单调性的定义，属于基础题．二、填空题13．①③【分析】根据题目中给的新定义对于或可逐一对命题进行判断举实例证明存在性命题是真命题举反例可证明全称命题是假命题【详解】∵对于定义∴对于①例如集合是正奇数集合是正偶数集合①正确；对于②例如：当时；解析：①③ 【分析】根据题目中给的新定义，对于()*,0i i N A ϕ∈=或1，可逐一对命题进行判断，举实例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题． 【详解】∵对于*i ∈N ，定义1,()0,i i AA i A ϕ∈⎧=⎨∉⎩， ∴对于①，例如集合A 是正奇数集合，B 是正偶数集合，,*AB A B N ∴=∅=，()()01i i A B A B ϕϕ∴==;，①正确；对于②， 例如：{}{}{}1232341234A B AB ===,,,,,,,,,，当2i =时，()1i A B ϕ⋃=；()()1,1i i A B ϕϕ==；()()()i i i A B A B ϕϕϕ∴≠+； ②错误；对于③， {}*2,A x x n n N ==∈，{}*42,B x x n n N ==-=，明显地，,A B 均为偶数集，A B ∴≠∅，()1i A B ϕ=，若i 为偶数，则()i A B ∈，则i A ∈且i B ∈；()()1i i A B ϕϕ∴⋅=，则有()()()i i i A B A B ϕϕϕ⋂=；若i 为奇数，此时，()0i A B ϕ=，则i A ∉且i B ∉，()()0,0i i A B ϕϕ==，()()()i i i A B A B ϕϕϕ⋂=∴也成立；③正确∴所有正确结论的序号是：①③； 故答案为：①③ 【点睛】关键点睛：解题关键在于对题目中新定义的理解和应用，结合特殊值法和反证法进行证明，难度属于中档题.14．【分析】因为2f(x)＋f(－x)＝3x①所以将x 用－x 替换得2f(－x)＋f(x)＝－3x②解上面两个方程即得解【详解】因为2f(x)＋f(－x)＝3x①所以将x 用－x 替换得2f(－x)＋f(x) 解析：3x【分析】因为2f (x )＋f (－x )＝3x ，①,所以将x 用－x 替换，得2f (－x )＋f (x )＝－3x ，②,解上面两个方程即得解. 【详解】因为2f (x )＋f (－x )＝3x ，①所以将x 用－x 替换，得2f (－x )＋f (x )＝－3x ，② 解由①②组成的方程组得f (x )＝3x . 故答案为3x 【点睛】本题主要考查函数的解析式的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.15．【分析】分别讨论和时结合基本不等式和二次函数的单调性可得的最小值解不等式可得所求范围【详解】函数可得时当且仅当时取得最小值由时若时在递减可得由于的最小值为所以解得；若时在处取得最小值与题意矛盾故舍去 解析：[3,)+∞【分析】分别讨论1x >和1x ≤时，结合基本不等式和二次函数的单调性可得()f x 的最小值，解不等式可得所求范围. 【详解】函数2212,1()4,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，可得1x >时，()44f x x a a a x =++≥=+，当且仅当2x =时，()f x 取得最小值4a +，由1x ≤时，()()2212f x x a a =-+-，若1a ≥时，()f x 在(]1-∞，递减，可得()()1132f x f a ≥=-， 由于()f x 的最小值为()1f ，所以1324a a -≤+，解得3a ≥； 若1a <时，()f x 在x a =处取得最小值与题意矛盾，故舍去； 综上得实数a 的取值范围是[)3,+∞， 故答案为：[)3,+∞. 【点睛】本题主要考查分段函数的最值求法，考查二次函数的单调性和运用，以及不等式的解法，属于中档题.16．7【分析】根据函数的定义来研究由于函数是一对一或者多对一的对应且在B 中的元素可能没有原像故可以按函数对应的方式分类讨论可分为一对一二对一三对一三类进行讨论得答案【详解】由函数的定义知此函数可以分为三解析：7 【分析】根据函数的定义来研究，由于函数是一对一或者多对一的对应，且在B 中的元素可能没有原像，故可以按函数对应的方式分类讨论.可分为一对一，二对一，三对一三类进行讨论得答案． 【详解】由函数的定义知，此函数可以分为三类来进行研究：若函数的是三对一的对应，则值域为{}1、{}2、{}3三种情况； 若函数是二对一的对应，{}1,2、{}2,3、{}1,3三种情况； 若函数是一对一的对应，则值域为{1,2，3}共一种情况． 综上知，函数的值域的不同情况有7种． 故答案为7． 【点睛】本题考查函数的概念，函数的定义，考查数学的基本思想方法，是中档题．17．【分析】讨论的符号去绝对值得到的分段函数形式根据其函数图象及对称轴即可确定单调递减区间【详解】函数图像如下图示可知的单调递减区间为故答案为：【点睛】本题考查了函数的单调区间利用函数的图象及其对称性确解析：33(,],[0,]44-∞-【分析】讨论x 的符号去绝对值，得到()f x 的分段函数形式，根据其函数图象及对称轴，即可确定单调递减区间 【详解】函数22223,0()23||23,0x x x f x x x x x x ⎧-≥⎪=-=⎨+<⎪⎩图像如下图示可知，()f x 的单调递减区间为33(,],[0,]44-∞- 故答案为：33(,],[0,]44-∞- 【点睛】本题考查了函数的单调区间，利用函数的图象及其对称性确定单调区间，属于简单题18．【分析】由条件确定原点两侧函数的单调性和零点由函数的草图确定不等式的解集【详解】在R 上是奇函数且在上是增函数∴在上也是增函数由得由得作出的草图如图所示：则或由图象得所以或所以的解集为故答案为：【点睛 解析：(3,0)(0,3)-⋃【分析】由条件确定原点两侧函数的单调性和零点，由函数()f x 的草图确定不等式的解集. 【详解】()f x 在R 上是奇函数，且()f x 在(0,)+∞上是增函数，∴()f x 在(,0)-∞上也是增函数，由(3)0f -=，得(3)0f =，由(0)(0)f f =--，得(0)0f =， 作出()f x 的草图，如图所示：()0xf x <，则0()0x f x >⎧⎨<⎩ 或0()0x f x <⎧⎨>⎩，由图象得，所以03x <<或30x -<<，所以()0xf x <的解集为(3,0)(0,3)-⋃． 故答案为：(3,0)(0,3)-⋃． 【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题关键．属于中档题．19．【分析】由函数的定义域得出的取值范围结合分母不等于0可求出的定义域【详解】函数的定义域函数应满足：解得的定义域是故答案为：【点睛】本题考查了求函数定义域的问题函数的定义域是函数自变量的取值范围应满足 解析：[1,1)-【分析】由函数()y f x =的定义域，得出21x +的取值范围，结合分母不等于0，可求出()g x 的定义域． 【详解】函数()y f x =的定义域[1-，3]，∴函数(21)()1f xg x x +=-应满足： 121310x x -≤+≤⎧⎨-≠⎩解得11x -≤< ()g x ∴的定义域是[1,1)-.故答案为：[1,1)-． 【点睛】本题考查了求函数定义域的问题，函数的定义域是函数自变量的取值范围，应满足使函数的解析式有意义，是基础题．20．16【分析】二次函数的值域为得到求得值得解【详解】因为的值域为所以则又所以故答案为：16【点睛】二次函数的值域为得到是解题关键解析：16 【分析】二次函数()f x 的值域为[)0,+∞得到240a ∆=-=求得a 值得解 【详解】因为()2()10f x x ax a =++>的值域为[0,)+∞，所以240a ∆=-=，则2a =±.又0a >，所以2,a =.22()21,(3)323116f x x x f ∴=++∴=+⨯+=故答案为：16 【点睛】二次函数()f x 的值域为[)0,+∞得到0∆=是解题关键.三、解答题21．（1）奇函数；（2）证明见解析；（3）()1,1-. 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性； （2）结合单调性的定义可证明()f x 是R 上的增函数； （3）根据指数函数的性质即可求该函数的值域. 【详解】解：（1）函数的定义域为R ，则111()()111x x x x xx a a a f x f x a a a ------===-=-+++， 则函数()f x 是奇函数；（2）1122()1111x x x x xa a f x a a a -+-===-+++，1a >，x y a ∴=是增函数，设12x x <，则()()()()()12122121122222211111111x x x x x x x x a a f x f x a a a a a a -⎛⎫⎛⎫-=---=-= ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭， 因为120x x a a <<，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <， 即2()11xf x a =-+为增函数，即()f x 是R 上的增函数； （3）1122()1111x x x x xa a f x a a a -+-===-+++，1a >， 11x a ∴+>，则1011x a <<+，所以2021x a <<+，即2201x a -<-<+， 所以21111x a -<-<+，即11y -<<，故函数的值域为(1,1)-. 【点睛】 方法点睛：高一阶段求函数的单调性常用的思路有：一、紧扣单调性的定义；二、画出函数的图象，结合图象进行求解；三、结合函数单调性的性质，如增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数.22．（1）()22f x x x =-+；（2）()12-∞，；（3）存在，所求区间为：[]4,0-. 【分析】（1）根据题意，用待定系数法，列方程组，求出解析式；（2）恒成立问题用分离参数法转化为求函数的最值，即可求实数k 的取值范围； （3）对于存在性问题，可先假设存在区间[],m n ，再利用二次函数的单调性，求出m 、n 的值，如果出现矛盾，说明假设不成立，即不存在. 【详解】（1）对于()2f x ax bx c =++，由(1)1f =得到：0a b c ++=①；∵对任意的x ∈R ，(5)(3)f x f x -+=-均成立，取x =3，得：(2)(0)f f = 即42=a b c c ++②又方程()42f x x =-有唯一实数解，得：()()2=2440b a c ∆+--=③①②③联立，解得：1,2,0a b c =-==（其中259a =-舍去） 所以()22f x x x =-+.（2）不等式不等式()2160f x kx k +--<可化为：不等式()22216k x x x -<-+∴当(10,)x ∈+∞时，不等式()2160f x kx k +--<恒成立，∴26()2161=22,21,20x x k x x x x -+<-++--∈+∞记()1622,2(10,)g x x x x -++=∈+∞-，只需()min k g x < 对于()16222g x x x =-++-在(10,)+∞上单调递增，∴()()min =10=12g x g ∴12k <，即k 的取值范围为()12-∞，. （3）假设存在区间[],()m n m n <符合题意。
巩固测试最新2018-2019学年北师大版高中数学必修一《函数》章末复习方案及高频考点解析
北师大版高中数学必修一章末复习1．函数及其表示(1)函数的概念：函数是建立在两个非空数集乊间的一种特殊的对应关系，即是一种特殊的映射．函数具有三个要素，即定义域、对应法则和值域，三者缺一不可．其中最重要的是定义域和对应法则，值域由定义域和对应法则确定．研究函数时应注意定义域优先的原则，其题型主要有以下几类：①已知f(x)的函数表达式，求定义域；②已知f(x)的定义域，求f(φ(x))的定义域，其实质是由φ(x)的取值范围，求出x的取值范围；③已知f(φ(x))的定义域，求f(x)的定义域，其实质是由x的取值范围，求φ(x)的取值范围．(2)相同函数：判断两个函数是否相同，应抓住两点：①定义域是否相同；②对应法则是否相同．同时应注意，解析式可以化简．(3)映射的概念：①映射是建立在两个非空集合乊间的一种特殊的对应关系，这种对应满足存在性与唯一性．判断给出的对应f：A→B是否为映射，可从给出的对应是否满足(i)A中的不同元素可以有相同的像，即允许多对一，但不允许一对多；(ii)B中的元素可以无原像，即B中可以有“空元”．②特殊的映射：一一映射：如果映射f是集合A到集合B的映射，幵且对于集合B中的仸一元素，在集合A中都有且只有一个原像，这时这两个集合的元素乊间存在一一对应的关系，幵把这个映射叫作从集合A到集合B的一一映射．③函数是一种特殊的映射，它是数集到数集的映射．2．函数的基本性质函数的奇偶性、单调性与最值是函数最重要的性质，在每年的高考中均有体现．常见问题有判断函数的奇偶性、单调性，求单调区间，求函数的最值或求某变量的取值范围、奇偶性与单调性的应用等．(1)函数的奇偶性：具有奇偶性的函数的特点：a．对称性：奇(偶)函数的定义域关于原点对称；b．整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内仸意一个x都必须成立；c．可逆性：f(－x)＝f(x)⇔f(x)是偶函数；f(－x)＝－f(x)⇔f(x)是奇函数；d．图像特征：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称．(2)函数单调性：①单调性的判定：判断函数的单调性一般有两种方法：一是定义法；二是图像法．其中定义法具有严格的推理性，在证明单调性时通常使用此法，其基本思路是：a．设元：即设x1、x2是该区间内的仸意两个值，且x1<x2；b．作差：即作f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))；c．变形：即通过通分、配方、因式分解等手段，对差式向有利于判断符号的方向变形；d．定号：根据给定的区间和x2－x1的符号，确定差f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))的符号，当符号不确定时，可以迚行分类讨论；e．结论：根据定义得出结论．②求函数的单调区间：求函数的单调区间通常可采用：a．利用已知函数的单调性；b．定义法：先求定义域，再利用单调性定义；c．图像法：如果f(x)是以图像形式给出的，或者f(x)的图像易作出，可由图像的直观性写出它的单调区间．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制，例如函数y＝x－1在(－∞，0)和(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”．3．二次函数的图像与性质(1)对于仸何二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)都可以通过配方化为y ＝a(x ＋b 2a )2＋4ac －b24a＝a(x －h)2＋k ，其中h ＝－b 2a ，k ＝4ac －b24a.熟练掌握“配方法”是掌握二次函数性质的关键．(2)研究二次函数时应注意二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)中系数a ，b ，c 对函数图像及性质的影响：①二次项系数a 的正负决定着函数图像的开口方向、开口大小和单调性；②一次项系数b 是否为0决定着函数的奇偶性，当b ＝0时，函数为偶函数；当b ≠0时，函数为非奇非偶函数．③c 是否为0决定着函数图像是否经过原点．④a 和b 共同决定着函数的对称轴，a ，b ，c 共同决定着函数的顶点位置．[例1] 求下列函数的解析式：(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x －1； (2)f(x ＋1)＝2x 2＋5x ＋2； (3)f(x)＋2f(－x)＝x 2＋2x. [解] (1)设f(x)＝ax ＋b(a ≠0)． ∵f(f(x))＝4x －1，∴f(ax ＋b)＝4x －1. ∴a(ax ＋b)＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x －1，∴⎩⎨⎧a 2＝4，ab ＋b ＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－13，或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝1. ∴f(x)＝2x －13或f(x)＝－2x ＋1.(2)令x ＋1＝t ，则x ＝t －1.∴f(t)＝2(t －1)2＋5(t －1)＋2＝2t 2＋t －1. ∴f(x)＝2x 2＋x －1.(3)由题意知f(x)＋2f(－x)＝x 2＋2x.①将x 换成－x ，得f(－x)＋2f(x)＝x 2－2x.② 联立①②消去f(－x)，得3f(x)＝x 2－6x ， 即f(x)＝13x 2－2x.[借题发挥]求函数的解析式常见的类型及求法(1)待定系数法．若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法． (2)换元法．已知函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意自变量的取值范围． (3)消元法．若已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量，如f(－x)、f(1x)等，可根据已知等式构造其他等式组成方程组，通过消元法解方程组求出f(x)．(4)求实际问题中的函数解析式，需引入合适的变量，根据数学的有关知识建立函数解析式，但应注意自变量的实际取值范围．(5)利用函数的奇偶性．1．解答下列各题：(1)已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，当x ＞0时，f(x)＝x 2－x ＋1，求f(x)的解析式；(2)若f(x)＝x 2－2x ，g(x)＝x 2＋1，求f(g(x))的解析式． (3)已知f(x)＋2f(1x )＝3x ，求f(x)的解析式；(4)若f(x)＝f(－x)·x ＋10，求函数的解析式f(x)． 解：(1)∵f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数， ∴f(0)＝0.当x ＜0时，－x ＞0，f(－x)＝(－x)2＋x ＋1＝x 2＋x ＋1，即－f(x)＝x 2＋x ＋1， ∴x ＜0时，f(x)＝－x 2－x －1.∴f(x)＝⎩⎨⎧x 2－x ＋1 （x ＞0），0 （x ＝0），－x 2－x －1 （x ＜0）；(2)f(g(x))＝(x 2＋1)2－2(x 2＋1)＝x 4－1.(3)由f(x)＋2f(1x )＝3x ，知f(1x )＋2f(x)＝3x.由上面两式联立消去f(1x )，可得f(x)＝2x －x ；(4)由f(x)＝f(－x)·x ＋10， 知f(－x)＝f(x)·(－x)＋10， 联立两式消去f(－x)，得f(x)＝－f(x)·x ·x ＋10x ＋10， 所以f(x)＝10x ＋10x 2＋1.[例2] 求下列函数的值域： (1)y ＝－x 2x 2＋1；(2)y ＝x 4＋2x 2－2； (3)y ＝x －1－2x.[解] (1)y ＝－x 2x 2＋1＝－（x 2＋1）＋1x 2＋1＝－1＋1x 2＋1. ∵x 2＋1≥1，∴0＜1x 2＋1≤1.∴－1＜1x 2＋1－1≤0.故函数的值域为(－1，0]；(2)函数的定义域是R ，设x 2＝t ，则t ≥0. 则y ＝t 2＋2t －2＝(t ＋1)2－3，t ≥0. ∵y ＝(t ＋1)2－3在t ≥0上是单调递增的， ∴当t ＝0时，y 取最小值－2. ∴函数y ＝x 4＋2x 2－2的最小值为－2. ∴y ≥－2，故值域为[－2，＋∞)；(3)法一：由函数的解析式可知，1－2x ≥0，∴x ≤12.∵函数y ＝x ，y ＝－1－2x 在(－∞，12]上均单调递增，∴函数y ＝x －1－2x 在(－∞，12]上均单调递增，∴y ≤12－1－2×12＝12，∴原函数的值域为(－∞，12]．法二：设1－2x ＝t ，则x ＝1－t22(t ≥0)，∴y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1(t ≥0)，可知函数y ＝－12(t ＋1)2＋1在[0，＋∞)上单调递减，∴y ≤－12(0＋1)2＋1＝12，∴原函数的值域为(－∞，12]．[借题发挥] 求函数的值域视解析式特点常用以下方法： (1)直接法．即由函数的定义域和对应法则直接导出值域． (2)图像法．即利用函数的图像求解．(3)配方法：对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，通常先经过配方化为顶点式y ＝a(x －h)2＋k ，借助于二次函数的单调性或直接根据其图像求解．(4)换元法．形如y ＝ax ＋b ＋cx ＋d(ac ≠0)的函数，可通过换元转化为二次函数在特定区间上的值域问题，如本题(3)的解法二．(5)利用函数的单调性．根据函数的单调性及定义域求函数的最值，从而确定值域． 但须注意的是，求函数的值域必须考察函数的定义域，注意定义域对值域的约束作用，这一点往往易被忽略．2．求下列函数的值域． (1)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1，5]； (2)y ＝x ＋2x －1.解：(1)配方得y ＝(x －2)2＋2. ∵x ∈[1，5]，由图知2≤y ≤11， 即函数的值域为[2，11]；(2)令u ＝2x －1，则u ≥0，x ＝u 2＋12，∴y ＝1＋u 22＋u ＝12(u ＋1)2≥12.∴函数的值域为[12，＋∞)．[例3] 定义在R 上的偶函数f(x)，对仸意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1＜0，则( )A ．f(3)＜f(－2)＜f(1)B ．f(1)＜f(－2)＜f(3)C ．f(－2)＜f(1)＜f(3)D ．f(3)＜f(1)＜f(－2)[解析] 对仸意x 1x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有 f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1＜0，即x 2－x 1与f(x 2)－f(x 1)异号，因此函数f(x)在[0，＋∞]上是减函数，又f(x)在R 上是偶函数，故f(－2)＝f(2)，由于3＞2＞1＞0，故有f(3)＜f(－2)＜f(1)． [答案] A [借题发挥]若将上题中的条件“f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1＜0”改为“f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1＞0”，则结果又如何？3．设函数f(x)＝ax 2＋1bx ＋c 是奇函数(a ，b ，c 都是整数)，且f(1)＝2，f(2)<3，f(x)在[1，＋∞)上是增加的．(1)求a ，b ，c 的值；(2)当x<0时，f(x)的单调性如何？证明你的结论．解：(1)由f(1)＝2，得a ＋1b ＋c ＝2.由f(2)<3，得4a ＋12b ＋c<3.∵f(x)为奇函数，故f(x)的定义域关于原点对称， 又f(x)的定义域为{x|x ≠－cb }(显然b ≠0，否则f(x)为偶函数)， ∴－cb＝0，即c ＝0.于是得f(x)＝a b x ＋1bx ，且a ＋1b ＝2，4a ＋12b <3.∴8b －32b<3. ∴0<b<32.又b ∈Z ，∴b ＝1，∴a ＝1.故a ＝b ＝1，c ＝0，符合f(x)在[1，＋∞)上是增加的； (2)f(x)在(－∞，－1]上是增函数， 在[－1，0)上是减函数． 证明如下： 由(1)知f(x)＝x ＋1x ，设x 1<x 2<0，而f(x 1)－f(x 2)＝x 1＋1x 1－x 2－1x 2＝(x 1－x 2)(1－1x 1x 2)＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－1)当－1≤x 1<x 2<0时，显然x 1－x 2<0，0<x 1x 2<1，x 1x 2－1<0， ∴f(x 1)－f(x 2)>0.∴f(x 1)>f(x 2)． ∴f(x)在[－1，0)上是减函数． 当x 1<x 2≤－1时，显然x1－x2<0，x1x2>1，x1x2－1>0，∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2)．∴f(x)在(－∞，－1]上是增函数．综上，f(x)在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，0)上是减函数.[例4] 对仸意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，幵且当x＞0时，f(x)＞1.f(3)＝4.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)求函数f(x)在区间[1，2]上的最大值与最小值．[解] (1)证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2－x1＞0，∴f(x2－x1)＞1.f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1＞0.∴f(x1)＜f(x2)，即f(x)是R上的增函数；(2)令x＝y＝1，则f(2)＝2f(1)－1，f(3)＝f(2)＋f(1)－1＝3f(1)－2.又∵f(3)＝4，∴3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2，f(2)＝2f(1)－1＝3，由(1)知f(x)是R上的增函数，∴f(x)在[1，2]上是增函数，∴f(x)的最小值为f(1)＝2，最大值为f(2)＝3.[借题发挥]抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是高中数学中的一个难点，高考中经常出现关于抽象函数的试题，抽象函数问题一般是由所给的性质，讨论函数的单调性、奇偶性、图像的对称性，或是求函数值、解析式等．主要处理方法是“赋值法”，通常是抓住函数特性，特别是定义域上的恒等式，利用变量代换解题．4．已知函数y＝f(x)对仸意x，y∈R均有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－23(1)判断幵证明f(x)在R 上的单调性； (2)求f(x)在[－3，3]上的最大值，最小值． 解：(1)证明：令x ＝y ＝0，得f(0)＝0， 令x ＝－y ，得f(－x)＝－f(x)．在R 上仸取x 1，x 2，且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0， ∴f(x 2)－f(x 1)＝f(x 2)＋f(－x 1)＝f(x 2－x 1)． ∵当x ＞0时，f(x)＜0，∴f(x 2－x 1)＜0， 即f(x 2)＜f(x 1)．∴f(x)在R 上为单调减函数；(2)由(1)知f(x)在[－3，3]上是减函数． ∴f(－3)最大，f(3)最小．f(3)＝f(2)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝3×(－23)＝－2，∴f(－3)＝－f(3)＝2.故f(x)在[－3，3]上最大值为2，最小值为－2.(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f(x)＝(m ＋2)x m是幂函数，则实数m 等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1D ．2解析：由已知m ＋2＝1，即m ＝－1. 答案：C2．给定映射f ：(x ，y)→(x ＋2y ，2x －y)，在映射f 下，(3，1)的原像为( ) A ．(1，3)B ．(1，1)C ．(3，1)D ．(12，12) 解析：由已知得⎩⎨⎧x ＋2y ＝3，2x －y ＝1，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1.答案：B3．若函数f(x)＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1＜x ＜2，2x ，x ≥2，则f(f(1))等于()A ．2B ．4C ．1D ．3 解析：f(x)＝12＝1，∴f(f(1))＝f(1)＝1.答案：C4．函数f(x)＝x －1x －2的定义域是( ) A ．[1，2)∪(2，＋∞) B ．(1，＋∞)C ．[1，2)D ．[1，＋∞) 解析：由⎩⎨⎧x －1≥0，x －2≠0，得x ≥1且x ≠2，∴函数f(x)的定义域为[1，2)∪(2，＋∞)． 答案：A5．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a>b>c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图像是( )解析：因为a>b>c ，且a ＋b ＋c ＝0，所以a>0，c<0，所以图像开口向上，且与y 轴交于负半轴上．答案：D6．已知二次函数y ＝x 2－2ax ＋1在区间(2，3)内是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤2或a ≥3B ．2≤a ≤3C ．a ≤－3或a ≥－2D ．－3≤a ≤－2 解析：y ＝x 2－2ax ＋1＝(x －a)2＋1－a 2，由已知得，a ≤2或a ≥3.答案：A7．min{a ，b ，c}表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f(x)＝min{x ＋2，10－x}(x ≥0)，则f(x)的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：∵(x ＋2)－(10－x)＝2(x －4)，∴f(x)＝⎩⎨⎧x ＋2，0≤x ≤4，10－x ，x>4.∴当0≤x ≤4时，f(0)≤f(x)≤f(4)，即2≤f(x)≤6；当x>4时，f(x)<f(4)＝6，∴f(x)∈(－∞，6]，∴f(x)max ＝6.答案：C8．设函数f(x)＝⎩⎨⎧x 2＋bx ＋c ， x ≤0，2， x>0，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x 的方程f(x)＝x 的解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：依题意，f(－4)＝16－4b ＋c ＝f(0)＝c ，∴b ＝4，f(－2)＝4－2b ＋c ＝－2，∴c ＝2.∴f(x)＝⎩⎨⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2，x>0. ∴f(x)＝x 即为x 2＋4x ＋2＝x(x ≤0)或x ＝2(x>0)，∴x ＝－1，－2或2.答案：C9．函数y ＝f(x)在(0，2)上是减函数，且关于x 的函数y ＝f(x ＋2)是偶函数，那么( )A ．f(52)＜f(3)＜f(12) B ．f(12)＜f(3)＜f(52)C ．f(3)＜f(12)＜f(52) D ．f(3)＜f(52)＜f(12) 解析：∵y ＝f(x ＋2)是偶函数，∴f(x ＋2)＝f(－x ＋2)．∴f(x)的对称轴是x ＝2.∴f(12)＝f(72)． ∵y ＝f(x)在(0，2)上是减函数且关于x ＝2对称，∴y ＝f(x)在(2，4)上是增函数．∴f(52)＜f(3)＜f(72)＝f(12)． 答案：A10．国家觃定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过部分的14%纳税；超过4 000元的按全稿酬的11%纳税．某人出版了一书共纳税420元，这个人的稿费为( )A ．3 800元B ．5 600元C ．3 818元D ．3 000元解析：设这个人的稿费为x 元，纳税金额为y 元，依题意得y ＝⎩⎨⎧0，0<x ≤8000.14（x －800），800<x ≤4 000，0.11x ，x>4 000令0.14(x －800)＝420，解得x ＝3 800，∴这个人的稿费为3 800元．答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)11．函数y ＝x 2的图像先向左平移1个单位，再向上平移3个单位后，所得图像对应的函数解析式是y ＝________．解析：函数y ＝x 2的图像向左平移1个单位，得函数y ＝(x ＋1)2，再将函数y ＝(x ＋1)2向上平移3个单位，得函数y ＝(x ＋1)2＋3.答案：y ＝(x ＋1)2＋312．若函数f(x)的定义域为[－1，2]，则函数f(3－2x)的定义域是________． 解析：∵f(x)的定义域为[－1，2]，∴f(3－2x)中，－1≤3－2x ≤2，得12≤x ≤2， ∴f(x)的定义域为[12，2]． 答案：[12，2] 13．已知f(2x ＋1)＝3x －4，f(a)＝4，则a ＝________．解析：设t ＝2x ＋1，则x ＝t －12. ∴f(t)＝3·t －12－4＝3t 2－112. ∴f(a)＝3a 2－112＝4.∴a ＝193. 答案：19314．已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f(x)＝1＋3x ，则f(x)的解析式为________．解析：当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，∴f(－x)＝1＋3－x ＝1－3x ，又f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－1＋3x ，且f(0)＝0，∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋3x ，x>0，0，x ＝0，－1＋3x ，x<0.答案：f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋3x ，x>0，0，x ＝0，－1＋3x ，x<0三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x 2＋2(1－2a)x ＋6在(－∞，－1)上为减函数．(1)求f(2)的取值范围；(2)比较f(2a －1)与f(0)的大小．解：(1)二次函数f(x)图像的对称轴为x ＝2a －1，∴函数在(－∞，2a －1]上为减函数．∴－1≤2a －1.∴a ≥0.而f(2)＝22＋2(1－2a)×2＋6＝－8a ＋14，∵a ≥0，∴f(2)＝14－8a ≤14；(2)∵当x ＝2a －1时，函数y ＝f(x)取最小值，∴f(2a －1)≤f(0)．16．(本小题满分12分)已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)．若f(3)＝1，且f(a)＞f(a －1)＋2，求实数a 的取值范围．解：∵f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(3)＝1，∴2＝2f(3)＝f(3)＋f(3)＝f(9)．∴不等式f(a)＞f(a －1)＋2可化为f(a)＞f(a －1)＋f(9)＝f(9(a －1))．∵f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数， ∴⎩⎨⎧a ＞0，a －1＞0，a ＞9（a －1）.解乊得1＜a ＜98. ∴实数a 的取值范围是(1，98)． 17．(本小题满分12分)设函数f(x)在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增，且f(2a 2＋a ＋1)＜f(2a 2－2a ＋3)，求a 的取值范围．解：由f(x)在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增知，f(x)在(0，＋∞)上递减，因为2a 2＋a ＋1＝2(a ＋14)2＋78＞0， 2a 2－2a ＋3＝2(a －12)2＋52＞0， 且f(2a 2＋a ＋1)＜f(2a 2－2a ＋3)，所以2a 2＋a ＋1＞2a 2－2a ＋3，即3a －2＞0，所以a ＞23. 18(本小题满分14分)根据市场调查，某商品在最近的20天内的价格f(t)与时间t 满足关系f(t)＝ ⎩⎨⎧t ＋20（0≤t<10，t ∈N ），－t ＋40（10≤t ≤20，t ∈N ），销售量g(t)与时间t 满足关系g(t)＝－t ＋30，(0≤t ≤20，t ∈N)，设商品的日销售额为F(t)(销售量与价格乊积)．(1)求商品的日销售额F(t)的解析式；(2)求商品的日销售额F(t)的最大值．解：(1)F(t)＝⎩⎨⎧（t ＋20）（－t ＋30）（0≤t<10，t ∈N ），（－t ＋40）（－t ＋30）（10≤t ≤20，t ∈N ），即F(t)＝⎩⎨⎧－t 2＋10t ＋600（0≤t<10，t ∈N ），t 2－70t ＋1 200（10≤t ≤20，t ∈N ）；(2)当0≤t<10，t ∈N 时，F(t)＝－(t －5)2＋625.∴F(t)的图像的对称轴为t ＝5.∴t ＝5时，F(t)max ＝625.当10≤t ≤20，t ∈N 时，F(t)＝(t －35)2－25.∴F(t)的图像的对称轴为t ＝35.∴F(t)在[10，20]上是减函数．∴t ＝10时，F(t)max ＝600.∵625>600，∴t ＝5时，F(t)max ＝625.即日销售额F(t)的最大值为625元．。
最新北师大版高中数学必修一第二单元《函数》测试题(包含答案解析)(1)
一、选择题1．已知函数()21f x mx mx =++的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ）A ．04m ≤≤B ．04m <≤C ．04m ≤<D ．04m <<2．已知函数()32f x x =-，2()2g x x x =-，(),()()()(),()()g x f x g x F x f x f x g x ≥⎧=⎨<⎩，则（ ）A ．()F x 的最大值为3，最小值为1B ．()F x 的最大值为27-，无最小值C ．()F x 的最大值为727-，无最小值D ．()F x 的最大值为3，最小值为-1 3．以下说法正确的有（ ） （1）若(){},4A x y x y =+=，(){},21B x y x y =-=，则{}3,1AB =；（2）若()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =； （3）函数1y x=的单调区间是()(),00,-∞⋃+∞； （4）在映射:f A B →的作用下，A 中元素(),x y 与B 中元素()1,3x y --对应，则与B 中元素()0,1对应的A 中元素是()1,2 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．已知函数(2)f x 的定义域为3(0,)2，则函数(13)f x -的定义域是（ ） A ．21(,)33-B ．11(,)63-C ．(0,3)D ．7(,1)2-5．如果函数()()()2121f x a x b x =-+++（其中2b a -≥）在[]1,2上单调递减，则32a b +的最大值为（ ）A ．4B ．1-C ．23D ．66．函数sin y x x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．函数()21xf x x =-的图象大致是（ ） A ．B ．C ．D ．8．若函数y =f (x )的定义域为[]1,2，则y =f (12log x )的定义域为（ ）A ．[]1,4B ．[]4,16C ．[]1,2D ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．已知定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的[)()1212,2,x x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x ->-，且()2f x +是偶函数，不等式()()121f m f x +≥-对任意的[]1,0x ∈-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[]4,6-B ．[]4,3-C ．(][),46,-∞-+∞D ．(][),43,-∞-⋃+∞10．函数sin sin 122xxy =+的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11．函数f (x )=x 2+2ln||2x x 的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．12．若函数()y f x =为奇函数，且在(),0∞-上单调递增，若()20f =，则不等式()0f x >的解集为( )A ．()()2,02,∞-⋃+B ．()(),22,∞∞--⋃+C ．()(),20,2∞--⋃D ．()()2,00,2-⋃二、填空题13．若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数()1g x x =-______． 14．已知存在[1,)x ∈+∞，不等式2212a x x x ≥-+成立，则实数a 的取值范围是__________.15．已知定义在 +R 上的函数 ()f x 同时满足下列三个条件：① ()31f =-；②对任意x y +∈R ， 都有 ()()()f xy f x f y =+；③ 1x > 时 ()0f x <，则不等式()()612f x f x <-- 的解集为___________．16．已知函数f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝3x ，则f (x )＝________．17．已知函数()f x 的定义域为[]2,2-，当[]0,2x ∈时，()1f x x =+，当[)2,0x ∈-时，()(2)f x f x =-+，求()f x =___________18．已知函数()f x 在定义域(0,)+∞上是单调函数，若对任意(0,)x ∈+∞，都有1()2f f x x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，则12020f ⎛⎫⎪⎝⎭的值是______________. 19．已知函数()4f x x a a x=-++，若当[]1,4x ∈时，()5f x ≤恒成立，则实数a 的取值范围是______．20．若y =y 的取值范围是________三、解答题21．已知函数()()210f x x x a=-+>. （1）判断()f x 在()0,∞+上的增减性，并用单调性定义证明. （2）若()20f x x +≥在()0,∞+上恒成立，求a 的取值范围. 22．已知函数()f x x x a =-，a ∈R ，()21g x x =-．（1）当1a =-时，解不等式()()f x g x ≥；（2）当4a >时，记函数()f x 在区间[]0,4上的最大值为()F a ，求()F a 的表达式． 23．已知函数2()21,[1,3]f x ax bx x =++∈（,a b ∈R 且,a b 为常数） （1）若1a =，求()f x 的最大值；（2）若0a >，1b =-，且()f x 的最小值为4-，求a 的值.24．已知函数()()20f x ax x c a =++>满足：①函数14f x ⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数；②关于x 的不等式()0f x <的解集是()(),11m m <. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()()()()43g x f x k x k R =++∈在[]1,3上的最小值()h k . 25．已知二次函数2()1(,)f x ax bx a b R =++∈，x ∈R .（1）若函数()f x 的最小值为(1)0f -=，求()f x 的解析式，并写出单调区间； （2）在（1）的条件下，()f x x k >+在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的取值范围．26．已知函数()()20,,f x ax bx c a b c R =++>∈满足1(0)()1f f a==.（1）求()f x 表达式及其单调区间（不出现b ，c ）；（2）设对任意[]12,1,3x x ∈，()()128f x f x -≤恒成立，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由题意可知，对任意的x ∈R ，210mx mx ++>恒成立，然后分0m =和0m ≠，结合题意可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】由题意可知，对任意的x ∈R ，210mx mx ++>恒成立. 当0m =时，则有10>，合乎题意； 当0m ≠时，则有240m m m >⎧⎨∆=-<⎩，解得04m <<. 综上所述，04m ≤<. 故选：C. 【点睛】结论点睛：利用二次不等式在实数集上恒成立，可以利用以下结论来求解： 设()()20f x ax bx c a =++≠①()0f x >在R 上恒成立，则00a >⎧⎨∆<⎩；②()0f x <在R 上恒成立，则00a <⎧⎨∆<⎩； ③()0f x ≥在R 上恒成立，则00a >⎧⎨∆≤⎩； ④()0f x ≤在R 上恒成立，则00a <⎧⎨∆≤⎩. 2．C解析：C 【分析】在同一坐标系中先画出()f x 与()g x 的图象，然后根据定义画出()F x ，就容易看出()F x 有最大值，无最小值，解出两个函数的交点，即可求得最大值． 【详解】在同一坐标系中先画出()f x 与()g x 的图象，如图然后根据定义画出()F x ，就容易看出()F x 有最大值，无最小值． 由图象可知，当0x <时，()y F x =取得最大值， 所以由232||2x x x -=-得27x =+或27x =-．结合函数图象可知当27x =-时，函数()F x 有最大值727-，无最小值． 故选：C ．【点睛】关键点睛：本题主要考查了函数的图象，以及利用函数求最值，解答本题的关键是在同一坐标系中画出()f x 与()g x 的图象，根据图象得出函数的最值，由232||2x x x -=-得27x =+或27x =-.3．B解析：B 【分析】 根据AB 为点集，可判断（1）的正误；根据奇函数的性质，可判断（2）的正误；分解反比例函数的单调性，可判断（3）的正误；根据映射的概念，可判断（4）的正误. 【详解】 （1）若(){},4A x y x y =+=，(){},21B x y x y =-=，则{}(3,1)AB =，所以（1）错误；（2）若()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =，所以（2）正确； （3）函数1y x=的单调区间是(),0-∞和()0,∞+，所以（3）错误； （4）设A 中元素为(,)x y ，由题意可知1031x y -=⎧⎨-=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，所以A 中元素是()1,2，所以（4）正确；所以正确命题的个数是2个， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关命题的真假判断，在解题的过程中，关键点是要熟练掌握基础知识，此类题目综合性较强，属于中档题目.4．A解析：A 【分析】先求出函数()f x 的定义域(0,3)，再求出函数(13)f x -的定义域. 【详解】函数(2)f x 的定义域为3(0,)2，则302x <<，所以023x << 所以函数()f x 的定义域为(0,3)，则0133x <-<解得2133x -<< 函数(13)f x -的定义域为21(,)33- 故选:A 【点睛】对于抽象函数定义域的求解方法：(1)若已知函数()f x 的定义域为[]a b ，，则复合函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出；(2)若已知函数()()f g x 的定义域为[]a b ，，则()f x 的定义域为()g x 在[]x a b ∈，上的值域．5．C解析：C 【分析】分10a -=、10a -<、10a ->，根据题意可得出关于a 、b 的不等式组，由此可解得32a b +的最大值. 【详解】分以下几种情况讨论：（1）当10a -=时，即当1a =时，()()21f x b x =++在[]1,2上单调递减，可得20b +<，解得2b <-，12b a b -=-≥，可得3b ≥，不合乎题意； （2）当10a -<时，即当1a <时，由于函数()()()2121f x a x b x =-+++在[]1,2上单调递减，则()2121b a +-≤-，可得222b a +≤-，即20a b +≤，可得2b a ≤-，由2b a -≥，可得2a b ≤-， 所以，()()323222436a b b a a b +≤-+⨯-=-+-，当且仅当22b a a b =-⎧⎨=-⎩时，即当2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，则2423232333a b ⎛⎫+≤⨯-+⨯= ⎪⎝⎭； （3）当10a ->时，即当1a >时，由于函数()()()2121f x a x b x =-+++在[]1,2上单调递减，则()2221b a +-≥-，可得42a b +≤，即24b a ≤-，2b a -≥，即2b a ≥+，224a b a ∴+≤≤-，解得0a ≤，不合乎题意.综上所述，32a b +的最大值为23. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：根据首项系数为变数的二次函数在区间上的单调性求参数，要对首项系数的符号进行分类讨论，在首项系数不为零的前提下，要根据函数的单调性确定对称轴与区间的位置关系，构建不等式（组）求解.6．A解析：A 【分析】先判断函数奇偶性，排除CD ，再结合函数在()0,π的正负选出正确答案 【详解】设()sin y f x x x ==，求得()sin f x x x -=，故函数为偶函数，排除CD ，由三角函数图像特征可知在()0,π时sin 0x >，故在()0,π时()0f x >，故A 正确 故选：A 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.7．C解析：C 【分析】由1x >时，()0f x <，排除B 、D ；由函数()f x 在区间(0,1)上的单调性，排除A ，即可求解. 【详解】由题意，函数()21xf x x =-有意义，满足210x -≠，解得1x ≠±， 又由当1x >时，()0f x <，排除B ，D ； 当01x <<时，()21xf x x=-， 设1201x x ，则2112212122222121(1)()()()11(1)(1)x x x x x x f x f x x x x x +--=-=----， 因为2221122110,10,10,0x x x x x x ->->+>->，所以21()()0f x f x ->，即12()()f x f x <，所以函数()f x 在(0,1)上单调递增，所以A 不符合，C 符合. 故选：C. 【点睛】知式选图问题的解答方法：从函数的定义域，判定函数图象的左右位置，从函数的值域判断图象的上下位置； 从函数的单调性（有时借助导数），判断函数的图象的变换趋势； 从函数的奇偶性，判断图象的对称性； 从函数的周期性，判断函数的循环往复；从函数的特殊点（与坐标轴的交点，经过的定点，极值点等），排除不和要求的图象.8．D解析：D 【分析】根据复合含定义域的求法，令121log 2x ≤≤，求函数的定义域.【详解】函数()y f x =的定义域为[]1,2，12log y f x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭的定义域，令121log 2x ≤≤，解得：1142x ≤≤ ，即函数的定义域为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：D 【点睛】方法点睛：一般复合函数的定义域包含以下几点：已知函数()y f x =的定义域为D ，求()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的定义域，即令()g x D ∈，求x 的取值范围，就是函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的定义域；已知()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的定义域为D ，求函数()y f x =的定义域，即求函数()g x ，x D ∈ 的值域.9．C解析：C 【分析】根据已知条件可知()f x 在(,2]-∞上单调递减，在[2,)x ∈+∞上单调递增，由不等式在[]1,0x ∈-恒成立，结合()f x 的单调性、对称性即可求m 的取值范围.【详解】对任意的[)()1212,2,x x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x ->-，知：()f x 在[2,)x ∈+∞上单调递增，()2f x +是偶函数，知：()f x 关于2x =对称，∴()f x 在(,2]-∞上单调递减，在[2,)x ∈+∞上单调递增；∵不等式()()121f m f x +≥-对任意的[]1,0x ∈-恒成立，且3211x -≤-≤-， ∴max (1)(21)(3)f m f x f +≥-=-即可，而根据对称性有(1)(7)f m f +≥， ∴综上知：13m +≤-或17m +≥，解得(][),46,x ∈-∞-+∞，故选：C 【点睛】结论点睛：注意抽象函数单调性、对称性判断 对任意的()1212,x x x x ≠：()()21210f x f x x x ->-有()f x 单调递增；()()21210f x f x x x -<-有()f x 单调递减；当()f x n +是偶函数，则()f x 关于x n =对称；思路点睛：对称型函数不等式在一个闭区间上恒成立：在对称轴两边取大于或小于该闭区间最值即可，结合函数区间单调性求解.10．D解析：D 【解析】 因为()sin()sin sin()sin 11()2222x x x xf x y f x ---=+==+=，所以函数sin sin 122xxy =+是定义在R 上的偶函数，排除A 、B 项；又sin2sin2115()222222f πππ=+=+=，排除C ，综上，函数sin sin 122xxy =+大致的图象应为D 项，故选D.11．B解析：B 【分析】利用奇偶性排除选项C 、D ；利用x →+∞时，()f x →+∞,排除A,从而可得结论. 【详解】 ∵f (-x )=( -x )2+2ln||2()x x --=x 2+2ln||2x x =f (x ),∴f (x )是偶函数,其图象关于y 轴对称,排除C,D ； 又x →+∞时，()f x →+∞,排除A, 故选B . 【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.12．A解析：A 【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f （﹣2）=﹣f （2）=0，结合函数的单调性分析可得在区间（﹣∞，﹣2）上，f （x ）＜0，在（﹣2，0）上，f （x ）＞0，再结合函数的奇偶性可得在区间（0，2）上，f （x ）＜0，在（2，+∞）上，f （x ）＞0，综合即可得答案． 【详解】根据题意，函数y=f （x ）为奇函数，且f （2）=0， 则f （﹣2）=﹣f （2）=0，又由f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，则在区间（﹣∞，﹣2）上，f （x ）＜0，在（﹣2，0）上，f （x ）＞0， 又由函数y=f （x ）为奇函数，则在区间（0，2）上，f （x ）＜0，在（2，+∞）上，f （x ）＞0， 综合可得：不等式f （x ）＞0的解集（﹣2，0）∪（2，+∞）； 故选A ． 【点睛】本题考查函数单调性奇偶性的应用，关键是掌握函数的奇偶性与单调性的定义，属于基础题．二、填空题13．【分析】根据抽象函数的定义域的求法结合函数列出不等式组即可求解【详解】由题意函数的定义域是即则函数满足解得即函数的定义域是故答案为：【点睛】求抽象函数定义域的方法：已知函数的定义域为求复合函数的定义解析：31,2⎛⎤⎥⎝⎦【分析】根据抽象函数的定义域的求法，结合函数()g x =. 【详解】由题意，函数()y f x =的定义域是[0,2]，即02x ≤≤，则函数()g x =021210x x ≤-≤⎧⎨->⎩，解得312x <≤，即函数()g x =31,2⎛⎤⎥⎝⎦. 故答案为：31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【点睛】求抽象函数定义域的方法：已知函数()f x 的定义域为[],a b ，求复合函数()[]f g x 的定义域时：可根据不等式()a g x b ≤≤解得x ，则x 的取值范围即为所求定义域；已知复合函数()[]f g x 的定义域为[],a b ，求函数()f x 的定义域，求出函数()y g x =([,])x a b ∈的值域，即为()y f x =的定义域.14．【分析】问题转化为即可由令问题转化为求的最大值根据二次函数的性质求出的最大值从而求出的范围即可【详解】若存在不等式成立即即可由令问题转化为求的最大值而的最大值是2故故故答案为：【点睛】方法点睛：本题解析：1[,)2+∞【分析】问题转化为22()2min x a x x -+即可，[1,)x ∈+∞，由22211221x x x x x =-+-+，令221()1f x x x=-+，[1,)x ∈+∞，问题转化为求()f x 的最大值，根据二次函数的性质求出()f x 的最大值，从而求出a 的范围即可．【详解】若存在[1,)x ∈+∞，不等式2212a x x x -+成立，即22()2min x a x x -+即可，[1,)x ∈+∞，由22211221x x x x x=-+-+，令221()1f x x x =-+，[1,)x ∈+∞，问题转化为求()f x 的最大值， 而2117()2()48f x x=-+，[1,)x ∈+∞的最大值是2， 故221()22min x x x =-+，故12a， 故答案为：1[,)2+∞ 【点睛】方法点睛：本题考查函数的有解问题， 一般通过变量分离，将不等式有解问题转化为求函数的最值问题：()f x m >有解max ()f x m ⇔>； ()f x m <有解min ()f x m ⇔<.15．【分析】用赋值法由已知得到把转化为即再用定义法证明在上为减函数利用单调性可得答案【详解】因为对任意有令得所以令则所以可等价转化为即设当时则所以所以在上为减函数故由得得又所以原不等式的解集为故答案为：解析：()13， 【分析】用赋值法由已知得到()()()9332f f f =+=-，把()()612f x f x <--转化为()()61(9)f x f x f <-+，即()()699f x f x <-，再用定义法证明()f x 在(0,)+∞上为减函数，利用单调性可得答案. 【详解】因为对任意12,(0,)x x ∈+∞，有()()()f xyf x f y =+，令x y ==fff =+，得()231f f ==-，所以12f =-， 令3x y ==，则()()()9332f f f =+=-，所以()()612f x f x <--可等价转化为()()61(9)f x f x f <-+，即()()699f x f x <-，设120x x <<，12,(0,)x x ∈+∞，当1x > 时 ()0f x <，则()()()22211111·x x f x f x f f x f x x x ⎛⎫⎛⎫==+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()12()f x f x >，所以()f x 在(0,)+∞上为减函数，故由()()699f x f x <-， 得699x x >-，得3x <，又1x >，所以原不等式的解集为(1,3). 故答案为：（1,3） 【点睛】 思路点睛：确定抽象函数单调性解函数不等式的基本思路： 第一步(定性)确定函数在给定区间上的单调性和奇偶性；第二步(转化)将函数不等式转化为不等式类似()()f M f N <等形式；第三步(去)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号f “”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步(求解)解不等式或不等式组确定解集.16．【分析】因为2f(x)＋f(－x)＝3x①所以将x 用－x 替换得2f(－x)＋f(x)＝－3x②解上面两个方程即得解【详解】因为2f(x)＋f(－x)＝3x①所以将x 用－x 替换得2f(－x)＋f(x) 解析：3x【分析】因为2f (x )＋f (－x )＝3x ，①,所以将x 用－x 替换，得2f (－x )＋f (x )＝－3x ，②,解上面两个方程即得解. 【详解】因为2f (x )＋f (－x )＝3x ，①所以将x 用－x 替换，得2f (－x )＋f (x )＝－3x ，② 解由①②组成的方程组得f (x )＝3x . 故答案为3x 【点睛】本题主要考查函数的解析式的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.17．【分析】当时可得可求出结合可求出时的表达式进而可得出答案【详解】当时；当时所以则所以故答案为：【点睛】本题考查分段函数解析式的求法考查学生的推理能力属于中档题解析：1,023,20x x x x +≤≤⎧⎨---≤<⎩【分析】当[)2,0x ∈-时，可得[)20,2x +∈，可求出(2)3f x x +=+，结合()(2)f x f x =-+，可求出[)2,0x ∈-时，()f x 的表达式，进而可得出答案.【详解】当[]0,2x ∈时，()1f x x =+；当[)2,0x ∈-时，[)20,2x +∈，所以(2)3f x x +=+， 则()(2)3f x f x x =-+=--. 所以1,02()3,20x x f x x x +≤≤⎧=⎨---≤<⎩.故答案为：1,023,20x x x x +≤≤⎧⎨---≤<⎩. 【点睛】本题考查分段函数解析式的求法，考查学生的推理能力，属于中档题.18．2021【分析】由已知条件利用换元法求出f （x ）然后代入计算即可求解【详解】已知函数f （x ）在定义域（0+∞）上是单调函数且对任意x ∈（0+∞）都有ff （x ）﹣＝2可设f （x ）﹣＝c 故f （x ）＝+c解析：2021 【分析】由已知条件，利用换元法求出f （x ），然后代入计算即可求解． 【详解】已知函数f （x ）在定义域（0，+∞）上是单调函数，且对任意x ∈（0，+∞），都有f [f （x ）﹣1x]＝2， 可设f （x ）﹣1x ＝c ，故f （x ）＝1x +c ，且f （c ）＝c +1c＝2（c ＞0），解可得c ＝1，f （x ）＝1x+1， 则f （12020）＝2021． 故答案为：2021 【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性求函数值，函数解析式的求法，注意函数性质的合理应用，属于中档题．19．【分析】对分段讨论去绝对值计算求解【详解】当时可得当时符合题意；当时则不符合题意；当时此时不符合题意综上的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查函数不等式的恒成立问题解题的关键是对分段讨论求解 解析：(],1-∞【分析】对a 分段讨论去绝对值计算求解. 【详解】当1a ≤时，()44f x x a a x x x=-++=+，可得当[]1,4x ∈时，()45f x ≤≤，符合题意；当14a <<时，()42,14,4a x x a xf x x a x x ⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩，则()1325f a =+>，不符合题意；当4a ≥时，()42f x a x x=-+，此时()13211f a =+≥，不符合题意， 综上，a 的取值范围是(],1-∞. 故答案为：(],1-∞. 【点睛】本题考查函数不等式的恒成立问题，解题的关键是对a 分段讨论求解.20．【分析】首先求出的取值范围令将函数转化为三角函数再根据三角恒等变换及三角函数的性质计算可得；【详解】解：因为所以解得令则所以因为所以所以所以故答案为：【点睛】本题考查函数的值域的计算换元法的应用三角解析：【分析】首先求出x 的取值范围，令242sin x t =+，0,2t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦将函数转化为三角函数，再根据三角恒等变换及三角函数的性质计算可得； 【详解】解：因为y =所以401830x x -≥⎧⎨-≥⎩解得46x ≤≤，令242sin x t =+，0,2t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则y t t ==3t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以3y t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 因为0,2t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以5,336t πππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以1sin ,132t π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以y ∈故答案为：【点睛】本题考查函数的值域的计算，换元法的应用，三角函数及三角恒等变换公式的应用，属于中档题.三、解答题21．（1）答案见详解；（2）0a <. 【分析】（1）根据定义法证明函数单调性即可； （2）先分离参数，即转化为212x x a≤+在()0,∞+上恒成立，只需求二次函数值域，即得结果. 【详解】解：（1）任取120x x <<，则12120,0x x x x +>-<，()1f x ()()()222212*********=1x x x x x x x x f a x a ⎛⎫⎛⎫-+--+=-=+-< ⎪ ⎭-⎪⎝⎝⎭故()()12f x f x <，故()f x 在()0,∞+上单调递增； （2）()20f x x +≥，即2120x x a -++≥，即212x x a≤+在()0,∞+上恒成立， 而二次函数()()22211,0y x x x x =+=+->的值域为()0+∞，，故10a≤，故0a <. 所以a 的取值范围为0a <. 【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有： （1）分离参数法：参变分离，转化为函数最值问题；（2）构造函数法：直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数．（3）数形结合法：画出函数图像，结合图象，根据关键点处的大小关系得到结果.22．（1）{}1x x ≥-；（2）()2,484416,8a x F a a a ⎧<<⎪=⎨⎪-≥⎩【分析】（1）由1a =-，得211x x x +≥-，进而分1x ≥-和1x <-两种情况，分别解不等式，进而可求出原不等式的解集；（2）由[]0,4x ∈，且4a >，可得()2f x x ax =-+，进而结合二次函数的性质，分类讨论，可求出()f x 在区间[]0,4上的最大值的表达式.【详解】（1）当1a =-时，()1f x x x =+，则211x x x +≥-．①当1x ≥-时，不等式为221x x x +≥-，解得1x ≥-，所以1x ≥-； ②当1x <-时，不等式为221x x x --≥-，解得112x ≤≤-，所以解集为空集． 综上，不等式的解集为{}1x x ≥-．（2）因为[]0,4x ∈，且4a >，所以()()2f x x a x x ax =-=-+，①当48a <<时，242a <<，则()224a aF a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭；②当8a ≥时，42a≥，则()()4416F a f a ==-. 综上()2,48{4416,8a a F a a a <<=-≥．【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法： （2）根据对称轴与区间的位置关系，进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析. 23．（1）答案见解析；（2）19. 【分析】（1）讨论2b -<和2b -≥两种情况根据二次函数性质求解； （2）讨论11a ≤，113a<<和13a ≥三种情况结合二次函数的单调性求解.【详解】（1）1a =时，2()21f x x bx =++，对称轴为x b =-，二次函数()f x 的图象开口向上，当2b -<，即2b >-时，max ()(3)106f x f b ==+; 当2b -≥，即2b ≤-时，max ()(1)22f x f b ==+.（2）2()21f x ax x =-+，对称轴为1x a=，二次函数()f x 的图象开口向上， 当11a≤，即1a ≥时，()f x 在[]1,3单调递增，()()min 114f x f a ==-=-，解得3a =-，不符合；当113a <<，即113a <<时，2min 112()14f x f a a a a ⎛⎫⎛⎫==⋅-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得15a =，不符合；当13a ≥，即103a <≤时，()f x 在[]1,3单调递减，()()min 3954f x f a ==-=-，解得19a =，符合，综上，19a =.【点睛】思路点睛：求二次函数在闭区间[],a b 的最值的思路； （1）二次函数开口向上时，求函数的最大值，讨论对称轴和2a b+的大小求解； （2）二次函数开口向上时，求函数的最小值，讨论对称轴在(]()[),,,,,a a b b -∞+∞三个区间的范围求解.24．（1）()223f x x x =+-；（2）()21227,4245,4243,2k k h k k k k k k +≤-⎧⎪=----<<-⎨⎪+≥-⎩.【分析】（1）由①可知函数()f x 的图象关于直线14x =-对称，由②可知()10f =，可得出关于a 、c 的方程组，进而可得出函数()f x 的解析式；（2）求得()()22413g x x k x =++-，求得该函数的对称轴为直线()1x k =-+，对实数k 的取值进行分类讨论，分析函数()g x 在区间[]1,3上的单调性，进而可求得()h k 关于k的表达式. 【详解】（1）由①可得，函数14f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是偶函数， 将函数14f x ⎛⎫-⎪⎝⎭的图象向左平移14个单位长度可得到函数()f x 的图象， 所以，函数()f x 的图象关于直线14x =-对称，则有1124a -=-，可得2a =. 由②可得：1x =是方程20ax x c ++=的一个解，则有10a c ++=，得3c =-. 于是：()223f x x x =+-；（2）依题意有：()()22413g x x k x =++-，对称轴为()1x k =-+.当()13k -+≥时，即4k ≤-时，()g x 在[]1,3单调递减，于是()()min 31227g x g k ==+；当()113k <-+<时，即4-<<-2k 时，()g x 在()1,1k -+⎡⎤⎣⎦单调递减，在()1,3k -+⎡⎤⎣⎦单调递增，于是()()2min 1245g x g k k k =--=---；当()11k -+≤时，即2k ≥-时，()g x 在[]1,3单调递增， 于是()()min 143g x g k ==+.综上：()21227,4245,4243,2k k h k k k k k k +≤-⎧⎪=----<<-⎨⎪+≥-⎩.【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.25．（1）2(1)2f x x x =++；单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]；（2）(－∞，1)． 【分析】（1）由1x =-时二次函数最小值为0，求出,a b 得函数解析式，写单调区间即可；（2）可转化为21k x x <++在区间[－3，－1]上恒成立，求出21y x x =++最小值即可.【详解】(1)由题意知12(1)10ba f ab ⎧-=-⎪⎨⎪-=-+=⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩，∴2(1)2f x x x =++.由2()(1)f x x =+知函数()f x 的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]．（2）由题意知，221x x x k ++>+在区间[－3，－1]上恒成立， 即21k x x <++在区间[－3，－1]上恒成立，令2()1g x x x =++，x ∈[－3，－1]，由213()()24g x x =++知 g (x )在区间[－3，－1]上是减函数，则g (x )min ＝g (－1)＝1， 所以k <1，故k 的取值范围是(－∞，1)． 【点睛】关键点点睛：二次函数的解析式求法，大多用到待定系数法，本题需根据当1x =-时二次函数最小值为0，建立方程组求解，即可求出函数解析式.26．（1）()21f x ax x =-+，减区间为1,2a ⎛-∞⎫ ⎪⎝⎭，递增区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）50,4⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【分析】（1）由()101a f f ⎛⎫⎪⎝⎭==，整理得()21f x ax x =-+，结合二次函数的性质，即可求解；（2）把“对任意[]12,1,3x x ∈，()()128f x f x -≤恒成立”转化为()()max min 8f x f x -≤在[]1,3上恒成立，结合二次函数的图象与性质，分类讨论，即可求解.【详解】（1）由()101a f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭==，可得()11(0)()f x a x x a -=--， 整理得()21f x ax x =-+， 因为0a >，则函数()21f x ax x =-+开口向上，对称轴方程为12x a =， 所以()f x 单调递减区间为1,2a ⎛-∞⎫ ⎪⎝⎭，()f x 单调递增区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）因为“对任意[]12,1,3x x ∈，()()128f x f x -≤恒成立”，即()()max min 8f x f x -≤在[]1,3上恒成立，由（1）知函数()21f x ax x =-+，①当12a ≥时，函数()f x 在区间[]1,3上单调递增 可得()()()()max min 31828f x f x f f a -=-=-≤，解得54a ≤，即1524a ≤≤； ②当106a <≤时，函数()f x 在区间[]1,3上单调递减 可得()()()()max min 13288f x f x f f a -=-=-≤，解得34a ≥-，即106a <≤； ③当1162a <<时，函数()f x 在区间11,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，在区间1,32a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增， 可得()()(){}max max 1,3f x f f =，()min 1124f x f a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭则()()112118243113932824f f a a a f f a a a ⎧⎛⎫-=-+≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-=-+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得1162a <<， 综上所述：实数a 的取值范围是50,4⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【点睛】由 恒成立求参数取值范围的思路及关键：一般有两个解题思路：一时分离参数法；二是不分离参数，采用最值法；两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否能分离，两种思路的依据为：()a f x ≥恒成立max ()a f x ⇔≥，()a f x ≤恒成立max ()a f x ⇔≤.。
高中数学第2章函数2.2.3映射课后篇巩固提升含解析北师大版必修1
2.3映射课后篇巩固提升1.下列对应不是映射的是()答案:D2.设f:x→3x-1是集合A到集合B的映射,若A={1,a},B={a,5},则a=()A.1B.2C.4D.5解析:当x=1时,3x-1=3-1=2,故a=2;当x=2时,3x-1=5,符合题意.答案:Bx,②3.已知集合A={x|0≤x≤4},集合B={y|0≤y≤2},下列由A到B的对应:①f:x→y=12f:x→y=√x,③f:x→y=-|x|,④f:x→y=x-2.其中能构成映射的是()A.①②B.①③C.③④D.②④x≤2,显然对于A中的任意元素x,B中有唯一的元素y与之对应,解析:对于①,当0≤x≤4时,0≤12是映射;对于②,也符合映射的定义;对于③,0≤x≤4时,-4≤-|x|≤0,显然-|x|∉(0,2],不是映射;对于④,0≤x≤4时,-2≤x-2≤2,当0≤x<2时,B中没有像与之对应,也不符合映射的定义,所以只有①②正确,故选A.答案:A4.设集合A和B都是自然数集,映射f:A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n+n,则在映射f作用下,像20的原像是()A.2B.3C.4D.5解析:依题意得2n+n=20,分别用n=2,3,4,5代入.当n=2时,22+2≠20,排除A;当n=3时,23+3≠20,排除B;当n=5时,25+5≠20,排除D;当n=4时,24+4=20,C正确.答案:C5.已知集合A到集合B={0,1,12,13}的映射f:x→1|x|,则集合A中的元素最多有()A.3个B.4个C.5个D.6个解析:因为|±1|=1,所以集合A和集合B中的1对应的元素可以是±1.而当x=±2时,1|x|=12,当x=±3时,1|x|=13.由于不可能有x使1|x|=0,因此集合A中元素最多有6个,故选D.答案:D6.设f,g都是由A到A的映射,其对应法则如下表(从上到下):表1:映射f的对应法则:表2:映射g的对应法则则与f(g(1))相同的是()A.g(f(1))B.g(f(2))C.g(f(3))D.g(f(4))解析:f(a)表示在对应法则f下a对应的像,g(a)表示在对应法则g下a对应的像.由表1和表2,得f(g(1))=f(4)=1,g(f(1))=g(3)=1,g(f(2))=g(4)=2,g(f(3))=g(2)=3,g(f(4))=g(1)=4,则有f(g(1))=g(f(1))=1.答案:A7.已知集合A=B=R ,x ∈A ,y ∈B ,f :x →y=ax+b ,若8和14的原像分别是1和3,则5在f 作用下的像为 .解析:由题意,得{x +x =8,3x +x =14,解得{x =3,x =5,所以对应法则为f :x →y=3x+5.故5在f 作用下的像是3×5+5=20.答案:208.设集合A={1,2,3},集合B={a ,b ,c },则从A 到B 的一一映射的个数为 .解析:集合A 中有3个元素,集合B 中有3个元素,根据一一映射的定义可知从A 到B 的一一映射有6个.答案:69.设A ,B 都是实数集,映射f :A →B ,对应法则f :x →y=-x 2+2x ,对于实数k ∈B ,在集合A 中不存在原像,则k 的取值范围是 .解析:∵y=-x 2+2x=-(x-1)2+1, ∴y ≤1,即像的集合为(-∞,1].∵k ∈B 时,在集合A 中不存在原像,∴k 不在像的集合内.∴k>1.答案:(1,+∞)10.判断下列对应是不是从集合A 到集合B 的映射,其中哪些是一一映射?哪些是函数?为什么?(1)A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9},对应关系f :x →2x+1;(2)A={平面内的圆},B={平面内的矩形},对应关系f :作圆的内接矩形;(3)A={1,2,3,4},B={1,12,13,14},对应关系f :x →1x .解:(1)是映射,也是函数,但不是一一映射.因为数集A 中的元素x 按照对应关系f :x →2x+1和数集B 中的元素2x+1对应,所以这个对应是数集A 到数集B 的映射,也是函数.但B 中的元素4,6,8没有原像,不能构成一一映射.(2)不是从集合A 到集合B 的映射,更不是函数,也不是一一映射.因为一个圆有无穷多个内接矩形,即集合A 中任何一个元素在集合B 中有无穷多个元素与之对应.(3)是A 到B 的映射,也是函数和一一映射.因为A 中的每一个元素按照对应关系f :x →1x ,在B 中都有唯一的元素与之对应,并且A ,B 均为非空数集,所以是A 到B 的映射,也是函数.又该对应满足一一映射的定义,同时也是一一映射.11.导学号85104032设A={1,2,3,m },B={4,7,n 4,n 2+3n },对应法则f :x →y=px+q 是从集合A 到集合B 的一个一一映射,已知m ,n ∈N ,1的像是4,7的原像是2,试求p ,q ,m ,n 的值. 解:由1的像是4,7的原像是2,列方程组{x +x =4,2x +x =7,解得{x =3,x =1.故对应法则是f :x →y=3x+1. 由此判断A 中元素3的像要么是n 4,要么是n 2+3n.若n 4=10,则n ∈N 不可能.∴n 2+3n=10.解得n 1=-5(舍去),n 2=2.又集合A 中的元素m 的像只能是n 4,等于16,即3m+1=16,m=5.故p=3,q=1,m=5,n=2.。
北师大版2018-2019学年高中数学必修2全册习题含解析
北师大版高中数学必修二全册同步习题含解析目录第1章立体几何初步 1.1.1习题第1章立体几何初步 1.1.2习题第1章立体几何初步 1.2习题第1章立体几何初步 1.3.1习题第1章立体几何初步 1.3.2习题第1章立体几何初步 1.4.1习题第1章立体几何初步 1.4.2习题第1章立体几何初步 1.5.1.1习题第1章立体几何初步 1.5.1.2习题第1章立体几何初步 1.5.2习题第1章立体几何初步 1.6.1.1习题第1章立体几何初步 1.6.1.2习题第1章立体几何初步 1.6.2习题第1章立体几何初步 1.7.1习题第1章立体几何初步 1.7.2习题第1章立体几何初步 1.7.3习题第1章立体几何初步习题课习题第1章立体几何初步检测习题第2章解析几何初步 2.1.1习题第2章解析几何初步 2.1.2.1习题第2章解析几何初步 2.1.2.2习题第2章解析几何初步 2.1.3习题第2章解析几何初步 2.1.4习题第2章解析几何初步 2.1.5.1习题第2章解析几何初步 2.1.5.2习题第2章解析几何初步 2.2.1习题第2章解析几何初步 2.2.2习题第2章解析几何初步 2.2.3.1习题第2章解析几何初步 2.2.3.2习题第2章解析几何初步 2.3.1-2.3.2习题第2章解析几何初步 2.3.3习题第2章解析几何初步检测习题模块综合检测习题北师大版2018-2019学年高中数学必修2习题01第一章立体几何初步§1简单几何体1.1简单旋转体1.下列说法正确的是()A.圆锥的母线长等于底面圆直径B.圆柱的母线与轴垂直C.圆台的母线与轴平行D.球的直径必过球心答案:D2.下面左边的几何体是由选项中的哪个图形旋转得到的()解析:选项B中的图形旋转后为两个共底面的圆锥;选项C中的图形旋转后为一个圆柱与一个圆锥的组合体;选项D中的图形旋转后为两个圆锥与一个圆柱的组合体.答案:A3.用一个平面去截一个几何体,得到的截面一定是圆面,则这个几何体是()A.圆锥B.圆柱C.球D.圆台答案:C4.AB为圆柱下底面内任一不过圆心的弦,过AB和上底面圆心作圆柱的一截面,则这个截面是()A.三角形B.矩形C.梯形D.以上都不对解析:如图所示,由于圆柱的上下底面相互平行,故过AB和上底面圆心作圆柱的一截面与上底面的交线CD 必过上底面圆心,且CD∥AB,在圆柱的侧面上,连接A,C(或B,D)两点的线是曲线,不可能是直线.故这个截面是有两条边平行、另两边是曲线的曲边四边形.故选D.答案:D5.以钝角三角形的较短边所在的直线为轴,其他两边旋转一周所得的几何体是()A.两个圆锥拼接而成的组合体B.一个圆台C.一个圆锥D.一个圆锥挖去一个同底的小圆锥解析:如图所示.旋转一周后其他两边形成的几何体为在圆锥AO的底部挖去一个同底的圆锥BO.答案:D6.点O1为圆锥高上靠近顶点的一个三等分点,过O1与底面平行的截面面积是底面面积的()A.13B.23C.14D.19解析:如图所示,由题意知SO1∶SO=1∶3,∴O1B∶OA=1∶3,∴S☉O1∶S☉O=1∶9,故选D.答案:D7.下列说法中错误的是.①过圆锥顶点的截面是等腰三角形;②过圆台上底面中心的截面是等腰梯形;③圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个.答案:②8.若过轴的截面是直角三角形的圆锥的底面半径为r,则其轴截面的面积为.解析:由圆锥的结构特征,可知若过轴的截面为直角三角形,则为等腰直角三角形,其斜边上的高为r,所以S=12×2r2=r2.答案:r29.已知圆锥的母线与旋转轴所成的角为30°,母线的长为2,则其底面面积为.解析:如图所示,过圆锥的旋转轴作截面ABC,设圆锥的底面半径为r,底面圆心为O.∵△ABC为等腰三角形,∴△ABO为直角三角形.又∠BAO=30°,∴BO=r=1AB=2.∴底面圆O的面积为S=πr2=π2.答案:π10.把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面的半径比是1∶4,母线长是10 cm,求这个圆锥的母线长.分析:处理有关旋转体的问题时,一般要作出其过轴的截面,在这个截面图形中去寻找各元素之间的关系.解:设圆锥的母线长为y cm,圆台上、下底面的半径分别为x cm,4x cm.作圆锥过轴的截面如图所示.在Rt△SOA中,O'A'∥OA,则SA'SA =O'A'OA,即y-10y =x4x,解得y=403.故圆锥的母线长为40cm.11.圆锥的底面半径为r,母线长是底面半径的3倍,在底面圆周上有一点A,求一个动点P自点A出发在侧面上绕一周回到点A的最短路程.解:沿圆锥的母线SA将侧面展开,如图所示.则线段AA1就是所求的最短路程.∵弧A1A的长为2πr,SA=3r,设弧A1A所对的圆心角为α,∴απ·3r=2πr,∴α=120°.∴AA1=SA·cos30°×2=3r×3×2=33r,即所求最短路程是33r.1.2简单多面体1.关于棱柱,下列说法正确的是()A.只有两个面平行B.所有的棱都相等C.所有的面都是平行四边形D.两底面平行,侧棱也互相平行解析:正方体可以有六个面平行,故选项A错误;长方体并不是所有的棱都相等,故选项B错误;三棱柱的底面是三角形,故选项C错误;由棱柱的概念知,两底面平行,侧棱也互相平行,故选项D正确.答案:D2.一个正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是()A.正三棱锥B.正四棱锥C.正五棱锥D.正六棱锥解析:由于正六边形的中心到顶点的距离与边长都相等,故正六棱锥的侧棱长必大于底面边长.答案:D3.棱台不一定具有的性质是()A.两底面相似B.侧面都是梯形C.侧棱都相等D.侧棱延长后都交于一点解析:由棱台的定义可知,棱台是用平行于棱锥底面的平面去截棱锥而得到的,所以A,B,D选项都成立,只有选项C不一定成立.答案:C4.下列图形中,不是三棱柱的展开图的是()解析:根据三棱柱的结构特征知,A,B,D中的展开图都可还原为三棱柱,但是C中展开图还原后的几何体没有下底面,故不是三棱柱的展开图.答案:C5.下列说法正确的个数为()①存在斜四棱柱,其底面为正方形;②存在棱锥,其所有面均为直角三角形;③任意的圆锥都存在两条母线互相垂直;④矩形绕任意一条直线旋转都可以形成圆柱.A.1B.2C.3D.4解析:①存在斜四棱柱,其底面为正方形,正确.②正确.如图所示.③不正确,圆锥轴截面的顶角小于90°时就不存在.④不正确,矩形绕其对角线所在直线旋转,不能围成圆柱.故答案为B.答案:B6.用一个平行于棱锥底面的平面截这个棱锥,截得的棱台上、下底面的面积之比为1∶4,截去的棱锥的高是3 cm,则棱台的高是()A.12 cmB.9 cmC.6 cmD.3 cm解析:棱台的上、下底面的面积之比为1∶4,则截去的棱锥的高与原棱锥的高的比为1∶2,棱台的高是3cm.答案:D7.有下列四个结论:①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥;②底面是正多边形的棱锥是正棱锥;③三棱锥的所有面可能都是直角三角形;④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形.其中正确的有(填正确结论的序号).答案:③④8.如图所示,将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是.解析:如图所示,假设以AB边固定进行倾斜,则几何体BB2C2C-AA2D2D一定为棱柱.答案:棱柱9.在侧棱长为23的正三棱锥P−ABC中,∠APB=40°,E,F分别是PB,PC上的点,过点A,E,F作截面AEF,则△AEF周长的最小值是.解析:将正三棱锥的三个侧面展开,如图所示.则当E,F为AA1与PB,PC的交点时,△AEF的周长最小,最小值为2AP·cos30°=2×23×3=6.答案:610.把右图中的三棱台ABC-A1B1C1分成三个三棱锥.解:如图所示,分别连接A1B,A1C,BC1,则将三棱台分成了三个三棱锥,即三棱锥A-A1BC,B1-A1BC1,C-A1BC1.(本题答案不唯一)11.试从正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取若干,连接后构成以下空间几何体,并且用适当的符号表示出来.(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥.(2)四个面都是等边三角形的三棱锥.(3)三棱柱.解:(1)如图所示,三棱锥A1-AB1D1(答案不唯一).(2)如图所示,三棱锥B1-ACD1(答案不唯一).(3)如图所示,三棱柱A1B1D1-ABD(答案不唯一).★12.如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=3,AA1=4,M为AA1的中点,P是BC上的一点,且由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线的长为设这条最短路线与CC1的交点为N.求:(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长;(2)求PC和NC的长.解:(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9,宽为4的矩形,其对角线长为92+42=97.(2)如图所示,将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上,则点P旋转到点P1的位置,连接MP1交CC1于点N,则MP1的长等于由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线的长.设PC=x,则P1C=x.在Rt△MAP1中,由勾股定理,得(3+x)2+22=29,解得x=2,所以PC=P1C=2,又NCMA =P1CP1A=25,所以NC=45.§2直观图1.关于用斜二测画法所得的直观图,以下说法正确的是()A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B.正方形的直观图为平行四边形C.梯形的直观图不是梯形D.正三角形的直观图一定为等腰三角形解析:根据斜二测画法的规则知,正方形的直观图为平行四边形.答案:B2.水平放置的△ABC,有一条边在水平线上,它的斜二测直观图是正三角形A'B'C',则△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形解析:根据斜二测画法的规则,可知△ABC中有一个角是钝角,所以△ABC是钝角三角形.答案:C3.如图所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是()答案:C4.对于一条边在x轴上的三角形,采用斜二测画法作出其直观图,则其直观图的面积是原三角形面积的()A.2倍B.2C.2D.1解析:由于平行于y轴的线段其平行性不变,长度变为原来的一半,又直观图中∠x'O'y'=45°,设原三角形的面积为S,其直观图的面积为S',则S'=1×2S=2S.答案:B5.一个水平放置的三角形的直观图是等腰直角三角形A'B'O',如图所示,若O'B'=1,那么原△ABO的面积是()A.12B.22C.2D.22解析:由斜二测画法,可知原三角形为直角三角形,且∠AOB=90°,OB=1,OA=2O'A'=22,∴S△AOB=12×1×22= 2.故选C.答案:C6.已知△A'B'C'为水平放置的△ABC的直观图,如图所示,则在△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是()A.ABB.ADC.BCD.AC解析:由斜二测画法,可知原图形为直角三角形.AC为斜边,D为BC的中点,故AC>AD,故最长线段为AC.答案:D7.一个平面图形的斜二测直观图是腰长为2的等腰直角三角形,如图,则其平面图形的面积为.答案:48.已知正三角形ABC的边长为a,则水平放置的△ABC的直观图△A'B'C'的面积为.解析:图①、图②分别为实际图形和直观图.由图可知A'B'=AB=a,O'C'=1OC=3a,在图②中作C'D'⊥A'B'于点D',则C'D'=2O′C′=6a.所以S△A'B'C'=12A′B′·C'D'=12×a×68a=616a2.答案:616a29.在等腰梯形ABCD中,上底边CD=1,AD=CB=2,下底边AB=3,按平行于上、下底边取x轴,则直观图A′B′C′D′的面积为.解析:等腰梯形ABCD的高为1,且直观图A'B'C'D'仍为梯形,其高为1sin45°=2,故面积为1×(1+3)×2= 2.答案:2210.画出如图所示放置的直角三角形的直观图.解:画法:(1)画x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°(如图②所示);(2)在原图中作BD⊥x轴,垂足为D(如图①所示);(3)在x'轴上截取O'A'=OA,O'D'=OD,在y'轴上截取O'C'=12OC,过D'作B'D'∥y'轴,使D'B'=1BD;(4)连线成图(擦去辅助线)(如图③所示).11.用斜二测画法得到一水平放置的Rt△ABC,AC=1,∠ABC=30°,如图所示,试求原三角形的面积.解:如图所示,作AD⊥BC于点D,令x'轴与y'轴的交点为E,则DE=AD,在Rt△ABC中,由∠ABC=30°,AC=1,可知BC=2,AB= 3.由AD⊥BC,AD=DE,可知AD=32,AE=62,由斜二测画法可知,原三角形A'B'C'中,B'C'=BC=2,A'E'=2AE=6,且A'E'⊥B'C',所以S△A'B'C'=1B′C′·A'E'=1×2×6= 6.★12.画水平放置的圆锥的直观图.分析用斜二测画法画水平放置的圆锥的直观图,由于圆锥底面可以看作是水平放置的,因此,只需先画轴,再画底面和高即可.解:(1)画轴,如图所示,画x轴、y轴、z轴,使∠xOy=45°,∠xOz=90°;(2)画圆锥的底面,画出底面圆的直观图,与x轴交于A,B两点;(3)画圆锥的顶点,在Oz上截取点P,使得PO等于圆锥的高;(4)连线成图,连接P A,PB,并加以整理(擦去辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),得圆锥的直观图.§3三视图3.1简单组合体的三视图1.用一个平行于水平面的平面去截球,得到如图所示的几何体,则它的俯视图是()解析:截去的平面在俯视图中看不到,故用虚线,因此选B.答案:B2.下列各几何体的三视图中,有且仅有两个视图相同的是()A.①②B.①③C.①④D.②④解析:①中正方体的三视图均相同;②中圆锥的主视图和左视图相同;③中三棱台的三视图各不相同;④中正四棱锥的主视图和左视图相同.答案:D3.某几何体的主视图和左视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是()解析:D选项的主视图为,故不可能是D选项.答案:D4.如图所示,若△A'B'C'为正三角形,与底面不平行,且CC'>BB'>AA',则多面体的主视图为()解析:因为△A'B'C'为正三角形,面A'B'BA向前,所以主视图不可能是A,B,C三个选项,只能是D.答案:D5.“牟台方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图所示,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其主视图和左视图完全相同时,它的俯视图可能是()答案:B6.如图所示,画出四面体AB1CD1三视图中的主视图,若以面AA1D1D为投影面,则得到的主视图为()解析:显然AB1,AC,B1D1,CD1分别投影得到主视图的外轮廓,B1C为可见实线,AD1为不可见虚线.故A正确.答案:A★7.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱BB1的中点,若用过点A,E,C1的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的左视图为()设过点A,E,C1的截面与棱DD1相交于点F,且F是棱DD1的中点,该正方体截去上半部分后,剩余几何体如图所示,则它的左视图应选C.答案:C8.如图所示,图①②③是图④表示的几何体的三视图,其中图①是,图②是,图③是(填写视图名称).解析:由三视图可知,①为主视图,②为左视图,③为俯视图.答案:主视图左视图俯视图9.如图(a)所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为正方体的中心,则△P AC在该正方体各个面上的射影可能是图(b)中的(把可能的序号都填上).图(a)图(b)解析:要考虑△P AC在该正方体各个面上的射影,在上、下两个面上的射影是①,在前后左右四个面上的射影是④.答案:①④10.(1)画出如图①所示组合体的三视图;(2)图②所示的是一个零件的直观图,试画出这个几何体的三视图.图①图②解(1)该组合体是由一个四棱柱和一个圆锥拼接而成,其三视图如图所示.(2)作出三视图如图所示.★11.如图是根据某一种型号的滚筒洗衣机抽象出来的几何体,数据如图所示(单位:cm).试画出它的三视图.解这个几何体是由一个长方体挖去一个圆柱体构成的,三视图如图所示.3.2由三视图还原成实物图1.若一个几何体的主视图和左视图都是等腰梯形,俯视图是两个同心圆,则这个几何体可能是()A.圆柱B.圆台C.圆锥D.棱台答案:B2.某几何体的三视图如图所示,则该几何体是()A.棱台B.棱柱C.棱锥D.以上均不对解析:由相似比,可知几何体的侧棱相交于一点.答案:A3.如图所示是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图,则该四棱锥的直观图是下列各图中的()解析:由俯视图排除B,C选项;由主视图、左视图可排除A选项,故选D.答案:D4.某几何体的三视图如图所示,则这个几何体是()A.三棱锥B.四棱锥C.四棱台D.三棱台解析:因为主视图和左视图为三角形,可知几何体为锥体.又俯视图为四边形,所以该几何体为四棱锥,故选B.答案:B5.如图所示,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是()A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱解析:由题知,该几何体的三视图为一个三角形,两个四边形,经分析可知该几何体为三棱柱,故选B.答案:B6.一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于()A.1B.2C.3D.4解析:由三视图画出直观图如图所示,判断这个几何体是底面边长为6,8,10的直角三角形,高为12的躺下的直=2,这就是做成的最大球的半径.三棱柱,直角三角形的内切圆的半径为r=6+8-102答案:B7.把边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起,连接AC,得到三棱锥C-ABD,其主视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形(如图所示),其左视图的面积为.解析:如图所示,根据两个视图可以推知折起后∠CEA=90°,其侧视图是一个两直角边长为1的等腰直角三.角形,所以左视图的面积为12答案:18.用n个体积为1的正方体搭成一个几何体,其主视图、左视图都是如图所示的图形,则n的最大值与最小值之差是.解析:由主视图、左视图可知,正方体个数最少时,底层有3个小正方体,上面有2个,共5个;个数最多时,底层有9个小正方体,上面有2个,共11个.故n的最大值与最小值之差是6.答案:69.下图是一个几何体的三视图,想象该几何体的几何结构特征,画出该几何体的形状.解由于俯视图中有一个圆和一个四边形,则该几何体是由旋转体和多面体构成的组合体,结合左视图和主视图,可知该几何体是由上面一个圆柱、下面一个四棱柱拼接成的组合体.该几何体的形状如图所示.★10.已知几何体的三视图如图所示,用斜二测画法画出它的直观图.解由三视图可知其几何体是底面边长为2,高为3的正六棱锥,其直观图如图所示.§4空间图形的基本关系与公理第1课时平面性质1.两个平面重合的条件是()A.有四个公共点B.有无数个公共点C.有一条公共直线D.有两条相交公共直线解析:由两条相交直线确定一个平面知D选项正确.答案:D2.与“直线l上两点A,B在平面α内”含义不同的是()A.l⫋αB.直线l在平面α内C.直线l上只有这两个点在平面α内D.直线l上所有的点都在平面α内答案:C3.有下列说法:①梯形的四个顶点在同一平面内;②三条平行直线必共面;③有三个公共点的两个平面必重合.其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3解析:梯形是一个平面图形,所以其四个顶点在同一个平面内,故①正确;两条平行直线确定1个平面,三条平行直线确定1个或3个平面,故②错误;三个公共点可以同在两个相交平面的交线上,故③错误.答案:B4.设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是()①P∈a,P∈α⇒a⫋α;②a∩b=P,b⫋β⇒a⫋β;③a∥b,a⫋α,P∈b,P∈α⇒b⫋α;④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b.A.①②B.②③C.①④D.③④答案:D5.三棱台ABC-A'B'C'的一条侧棱AA'所在直线与平面BCC'B'之间的关系是()A.相交B.平行C.直线在平面内D.平行或直线在平面内解析:棱台就是棱锥被一个平行于底面的平面截去一个棱锥得到的,所以延长棱台各侧棱可以恢复成棱锥的形状,由此可知三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交.答案:A6.如图所示,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,且C∉l,则平面ABC与平面β的交线是()A.直线ACB.直线BCC.直线ABD.直线CD解析:由题意知,平面ABC与平面β有公共点C,根据公理3,这两平面必定相交,有且只有一条经过C的交线,由于两点确定一条直线,所以只要再找到两平面的另一个公共点即可.显然点D在直线AB上,从而它在平面ABC内,而点D又在直线l上,所以它又在平面β内,所以点D也是平面ABC与平面β的公共点.因此平面ABC 与平面β的交线是直线CD.答案:D7.已知点P在平面α外,点A,B,C在平面α内且不共线,A',B',C'分别在P A,PB,PC上,若A'B',B'C',A'C'与平面α分别交于D,E,F三点,则D,E,F三点()A.成钝角三角形B.成锐角三角形C.成直角三角形D.在一条直线上解析:本题考查三点关系,根据两平面公共点在其交线上,知D,E,F三点共线,故选D.答案:D8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,R分别是AB,AD,B1C1的中点,那么,正方体的过P,Q,R的截面图形是()A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形解析:如图所示,作GR∥PQ交C1D1于G,延长QP与CB延长线交于M,连接MR交BB1于E,连接PE.同理延长PQ交CD延长线于点N,连接NG交DD1于F,连接QF.所以截面PQFGRE为六边形.故选D.答案:D9.四条线段首尾相接得到一个四边形,当且仅当它的两条对角线时,能得到一个平面图形.解析:由公理1,2知当两条对角线相交时为平面图形,当两条对角线不共面时为空间四边形.答案:相交10.一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零,则这两个平面的位置关系是.解析:当三点在另一个平面同侧时,这两个平面平行,当三点不在另一个平面同侧时,这两个平面相交.答案:平行或相交11.过已知直线a外的一点P,与直线a上的四个点A,B,C,D分别画四条直线,求证:这四条直线在同一平面内.证明:如图所示,因为点P在直线a外,所以过直线a及点P可作一平面α,因为A,B,C,D均在a上,所以A,B,C,D均在α内,所以直线P A,PB,PC,PD上各有两个点在α内,由公理2可知,直线P A,PB,PC,PD均在平面α内,故这四条直线在同一平面内.12.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,M,N分别是AA1,D1C1的中点,过D,M,N三点的平面与正方体下底面相交于直线l.试画出直线l的位置,并说明理由.解:如图所示,连接DM并延长,交D1A1的延长线于点P',连接NP',则直线NP'即为所求直线l.理由如下: 如图所示,连接DN,∵P'=DM∩D1A1,且DM⫋平面DMN,D1A1⫋平面A1B1C1D1,∴P'∈平面DMN∩平面A1B1C1D1.又N∈平面DMN∩平面A1B1C1D1,∴由公理3知,直线NP'为平面DMN与平面A1B1C1D1的交线.第2课时 异面直线所成的角1.若直线a ∥b ,b ∩c=A ,则直线a 与c 的位置关系是( ) A.异面 B.相交 C.平行 D.异面或相交答案:D2.在三棱锥A-BCD 中,E ,F ,G 分别是AB ,AC ,BD 的中点,如果AD 与BC 所成的角是60°,那么∠FEG 为( ) A .60° B .30°C .120°D .60°或120° 解析:异面直线AD 与BC 所成的角可能等于∠FEG ,也可能等于∠FEG 的补角.答案:D3.若空间中四条两两不同的直线l 1,l 2,l 3,l 4满足l 1⊥l 2,l 2∥l 3,l 3⊥l 4,则下列结论一定正确的是( ) A .l 1⊥l 4 B .l 1∥l 4C .l 1与l 4既不垂直也不平行D .l 1与l 4的位置关系不确定解析:因为l 2∥l 3,所以l 1⊥l 3,l 3⊥l 4.实质上就是l 1与l 4同垂直于一条直线,所以l 1⊥l 4,l 1∥l 4,l 1与l 4既不垂直也不平行都有可能成立,故l 1与l 4的位置关系不确定. 答案:D4.如图,在某个正方体的表面展开图中,l 1,l 2是两条面对角线,则在正方体中,l 1与l 2( ) A.互相平行 B.异面且互相垂直 C.异面且夹角为60° D.相交且夹角为60°解析:将表面展开图还原成正方体如图所示,则B ,C 两点重合.故l 1与l 2相交,连接AD ,△ABD 为正三角形,所以l 1与l 2的夹角为60°. 答案:D5.在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,若点E ,F 分别在AB ,AC 上,且AE=13AB ,AF=13AC ,则下列说法正确的是( ) A.EF ⊥BB 1 B.EF ∥A 1B 1 C.EF ∥B 1C 1D.EF ∥AA 1解析:∵AE=1AB ,AF=1AC ,∴EF ∥BC.又ABC-A1B1C1为棱柱,∴BC∥B1C1.∴EF∥B1C1.答案:C6.下列说法正确的是()A.空间中没有交点的两条直线是平行直线B.一条直线和两条平行直线中的一条相交,则它和另一条也相交C.空间四条直线a,b,c,d,如果a∥b,c∥d,且a∥d,那么b∥cD.分别在两个平面内的直线是平行直线解析:A,B选项中,两直线可能异面,D选项中两直线可能相交,也可能异面.答案:C7.如图是一个正方体的表面展开图,如果将它还原为正方体,那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线是异面直线的有对.解析:将图形还原成正方体,观察有AB与CD,AB与GH,EF与GH共3对异面直线.答案:38.如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD中点,则异面直线CD1,EF所成的角的大小为.答案:90°9.如图所示,在四棱锥C-ABED中,底面ABED是梯形.若AB∥DE,DE=2AB,且F是CD的中点,P是CE的中点,则AF与BP的位置关系是.解析:连接PF,∵P,F分别是CE,CD的中点,∴PF∥ED,且PF=1ED.2又AB∥ED,且DE=2AB,∴AB∥PF,且AB=PF,即四边形ABPF是平行四边形,∴BP∥AF.答案:平行10.如图所示,在三棱锥P-ABC中,D,E是PC上不重合的两点,F,H分别是P A,PB上的点,且与点P不重合.求证:EF和DH是异面直线.证明∵P A∩PC=P,∴P A,PC确定一个平面α.∵E∈PC,F∈P A,∴E∈α,F∈α,∴EF⫋α.∵D∈PC,∴D∈α,且D∉EF.又PB∩α=P,H∈PB,且点H与点P不重合,∴H∉α,DH∩α=D,且DH与EF不相交,于是直线EF和DH是异面直线.★11.如图所示,在空间四边形ABCD中,两条对边AB=CD=3,E,F分别是另外两条对边AD,BC上的点,且AE=BF=1,EF=5,求AB和CD所成的角的大小.解如图所示,过点E作EO∥AB,交BD于点O,连接OF,所以AEED =BOOD,所以BOOD=BFFC,所以OF∥CD.所以∠EOF或其补角是AB和CD所成的角.在△EOF中,OE=2AB=2,OF=1CD=1,又EF=5,所以EF2=OE2+OF2,所以∠EOF=90°.即异面直线AB和CD所成的角为90°.★12.在梯形ABCD中(如图①所示),AB∥CD,E,F分别为BC和AD的中点,将平面CDFE沿EF翻折起来,使CD到C'D'的位置,G,H分别为AD'和BC'的中点,得到如图②所示的立体图形.求证:四边形EFGH为平行四边形.。
北师版高中数学必修第一册精品课件 复习课 第3课时 指数运算与指数函数
)
解析:∵a=40.9=(22)0.9=21.8,
b=(23)0.48=21.44,c=
-.
=(2-1)-1.5=21.5,
且指数函数y=2x在R上是增函数,
∴21.8>21.5>21.44,因此,a>c>b,故选D.
答案:D
比较指数式大小的策略:
(1)能化成同底数的先化成同底数幂,再利用单调性比较大小;
(3)若函数f(x)是指数函数,且f(1)>1,则f(x)是增函数.( √ )
(4)若函数g(x)=af(x)(a>0,且a≠1),则g(x)与f(x)的定义域与值域
相同.( × )
(5)函数y=4-|x|的单调递增区间是(0,+∞),单调递减区间是(-∞,0).
( × )
(6)若a>1,则当f(x)有最大值时,g(x)=af(x)也有最大值.( √ )
第3课时
指数运算与指数函数
知 识 网 络
要 点 梳 理
专题归纳·核心突破
指数概念
· = + ( > )
指数运算 ( ) = ( > )
() = ( > , > )
指数函数 =
( > ,且 ≠ )
指数函数概念
指数函数图象
- -
解析:∵f(-x)= =-f(x),
∴f(x)为奇函数,排除 A,令 x=10,则
排除 C,D,故选 B.
)
-
f(10)=
>1,
答案:B
考点二
指数函数的性质及应用
f(x)=
,则对任意实数
巩固测试最新2018-2019学年北师大版高中数学必修一《函数》单元测评卷及解析
北师大版高中数学必修一单元测评(二) 函 数(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．若集合A ＝{y|y ＝x 13，－1≤x ≤1}，B ＝{y|y ＝2－x ，0＜x ≤1}，则A ∩B 等于( )A ．(－∞，－1]B ．[－1,1]C ．∅D ．{1}解析：∵由y ＝x 13(－1≤x ≤1)可得－1≤y ≤1， 故A ＝{y|－1≤y ≤1}．由y ＝2－x(0＜x ≤1)得1≤y ＜2， 故B ＝{y|1≤y ＜2}，故A ∩B ＝{1}． 答案：D 2．函数f(x)＝12x －3的定义域是( )A.⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，32B.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32，＋∞C.⎝⎛⎦⎥⎥⎤－∞，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，＋∞解析：由2x －3＞0得x ＞32.答案：D3．下列对应关系：①A ＝{1,4,9}，B ＝{－3，－2，－1,1,2,3}，f ：x →x 的平方根；②A ＝R ，B ＝R ，f ：x →x 的倒数；③A ＝R ，B ＝R ，f ：x →x 2－2；④A ＝{－1,0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中数的平方．其中A 到B 的映射的是( )A ．①③B ．②④C ．③④D ．②③解析：根据映射的概念易知③④是A 到B 的映射． 答案：C4．设f(x)＝x 2－1x 2＋1，则f (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝( )A ．1B ．－1 C.35D ．－35解析：f(x)＝x 2－1x 2＋1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＝1x 2－11x 2＋1＝1－x 21＋x 2＝－x 2－1x 2＋1＝－f(x)． f (x )f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＝－1.则f (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝－1.5．下列函数为偶函数的是( ) A ．f(x)＝x 4－1 B ．f(x)＝x 2(－1＜x ＜3) C ．f(x)＝x ＋1xD ．f(x)＝x 4x解析：由定义域关于原点对称，且f(－x)＝f(x)得B 、C 、D 都错． 答案：A6．若偶函数f(x)在(－∞，－1]上是增函数，则( ) A ．f(－1.5)＜f(－1)＜f(2) B ．f(－1)＜f(－1.5)＜f(2) C ．f(2)＜f(－1)＜f(－1.5) D ．f(2)＜f(－1.5)＜f(－1)解析：f(x)在(－∞，－1]上是增函数， ∴f(－2)＜f(－1.5)＜f(－1)， 又f(x)是偶函数， ∴f(2)＝f(－2)，∴f(2)＜f(－1.5)＜f(－1)． 答案：D7．函数y ＝x 2－4x ＋1，x ∈[2,5]的值域是( ) A ．[1,6] B ．[－3,1] C ．[－3,6]D ．[－3，＋∞)解析：y ＝(x －2)2－3，函数在[2，＋∞)上是增函数，所以f(2)＝－3，又x ∈[2,5]，∴f(5)＝6.8．已知f(x)是奇函数，且对任意实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，恒有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，则下列结论一定正确的是( )A ．f(－3)＞f(5)B ．f(－3)＜f(－5)C ．f(－5)＞f(3)D ．f(－3)＞f(－5)解析：设x 1＞x 2＞0，则f(x 1)＞f(x 2)，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数，又f(x)为奇函数， ∴f(x)在R 上为增函数， ∵－3＞－5，∴f(－3)＞f(－5)，故正确答案为D. 答案：D9．设f(x)是R 上的偶函数，且在(－∞，0)上为减函数，若x 1＜0，且x 1＋x 2＞0，则( )A ．f(x 1)＞f(x 2)B ．f(x 1)＝f(x 2)C ．f(x 1)＜f(x 2)D ．无法比较f(x 1)与f(x 2)的大小解析：x 1＜0，且x 1＋x 2＞0，∴x 1＞－x 2， 又f(x)在(－∞，0)为减函数， ∴f(x 1)＜f(－x 2)，又f(x)是偶函数，∴f(x 1)＜f(x 2)． 答案：C10．已知反比例函数y ＝kx 的图像如图所示，则二次函数y ＝2kx 2－4x ＋k 2的图像大致为( )A.B.C.D.解析：由反比例函数的图像知k ＜0，∴二次函数开口向下，排除A 、B ，又对称轴为x ＝1k＜0，排除C.答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．已知f(x)为偶函数，当－1≤x ＜0时，f(x)＝x ＋1，那么当0＜x ≤1时，f(x)＝__________.解析：0＜x ≤1时，－1≤－x ＜0，f(－x)＝－x ＋1， ∴此时f(x)＝f(－x)＝－x ＋1＝1－x. 答案：1－x12．若函数f(x)＝x 2－(2a －1)x ＋a ＋1是(1,2)上的单调函数，则实数a 的取值范围为__________．解析：函数f(x)的对称轴为x ＝2a －12＝a －12，∵函数在(1,2)上单调，∴a －12≥2或a －12≤1，即a ≥52或a ≤32.答案：a ≥52或a ≤3213．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出x 1 2 3 f(x)231x 1 2 3 g(x)321则f[g(1)]的值为__________；当g[f(x)]＝2时，x ＝__________. 解析：f[g(1)]＝f(3)＝1， ∵g[f(x)]＝2，∴f(x)＝2，∴x ＝1. 答案：1 114．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f(x)的图像如图所示，则不等式f(x)＜0的解集是__________．解析：注意到奇函数的图像关于原点成中心对称，用对称的思想方法补全函数f(x)在[－5,5]上的图像，如下图所示．由图可知，f(x)＜0的解集为{x|－2＜x ＜0，或2＜x ≤5}． 答案：(－2,0)∪(2,5]三、解答题：本大题共4小题，满分50分． 15．(12分)已知二次函数f(x)＝x 2＋2(m －2)x ＋m －m 2. (1)若函数的图像经过原点，且满足f(2)＝0，求实数m 的值； (2)若函数在区间[2，＋∞)上为增函数，求m 的取值范围． 解：(1)∵f(0)＝0，f(2)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2(m －2)＝2，m －m 2＝0，∴m ＝1.(6分)(2)∵y ＝f(x)在[2，＋∞)为增函数， ∴对称轴x ＝－2(m －2)2≤2，∴m ≥0.(12分)16．(12分)已知函数f(x)＝1＋x 21－x 2. (1)求f(x)的定义域； (2)判断并证明f(x)的奇偶性；(3)求证：f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＝－f(x)．解：(1)由1－x 2≠0得x ≠±1，故f(x)的定义域为{x|x ≠±1，x ∈R}．(4分) (2)f(x)是偶函数，证明如下：设x ∈{x|x ≠±1，x ∈R}，则－x ∈{x|x ≠±1，x ∈R}． ∵f(－x)＝1＋(－x )21－(－x )2＝1＋x 21－x 2＝f(x)， ∴f(x)是偶函数．(8分)(3)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x 21－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x 2＝1＋1x 21－1x 2＝x 2＋1x 2－1 ＝－1＋x 21－x2＝－f(x)， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＝－f(x)成立．(12分) 17．(12分)已知函数f(x)的定义域为(－2,2)，函数g(x)＝f(x －1)＋f(3－2x)．(1)求函数g(x)的定义域；(2)若f(x)是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式g(x)≤0的解集．解：(1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－2＜x －1＜2，－2＜3－2x ＜2，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜3，12＜x ＜52.即12＜x ＜52.(4分) 故函数f(x)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，52.(6分)(2)由g(x)≤0，得f(x －1)＋f(3－2x)≤0， ∴f(x －1)≤－f(3－2x)．(8分) ∵f(x)为奇函数， ∴f(x －1)≤f(2x －3)． 而f(x)在(－2,2)上单调递减， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥2x －3，12＜x ＜52.解得12＜x ≤2.(10分)∴g(x)≤0的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤12，2.(12分)18．(14分)已知函数f(x)＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝12时，f(x)＝x ＋12x＋2.用单调函数定义可证f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，(4分) ∴f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝72.(6分)(2)在区间[1，＋∞)上，f(x)＝x 2＋2x ＋ax ＞0恒成立，等价于x 2＋2x ＋a＞0恒成立．(8分)设y ＝x 2＋2x ＋a ，x ∈[1，＋∞)．∵y ＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1在[1，＋∞)上单调递增， ∴当x ＝1时，y min ＝3＋a.(12分)于是，当且仅当y min ＝3＋a ＞0时，f(x)＞0恒成立． ∴a ＞－3.(14分)。
巩固测试最新2018-2019学年北师大版高中数学必修一《函数》章末测试题及答案
北师大版高中数学必修一 第二章 章末检测(A)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．若f(x)＝ax 2－2(a>0)，且f(2)＝2，则a 等于( )A ．1＋22B ．1－22C ．0D ．22．若函数f(x)满足f(3x ＋2)＝9x ＋8，则f(x)的解析式是( )A ．f(x)＝9x ＋8B ．f(x)＝3x ＋2C ．f(x)＝－3x －4D ．f(x)＝3x ＋2或f(x)＝－3x －43．下列说法正确的是( )A ．幂函数一定是奇函数或偶函数B ．任意两个幂函数图像都有两个以上交点C ．如果两个幂函数的图像有三个公共点，那么这两个幂函数相同D ．图像不经过(－1,1)的幂函数一定不是偶函数4．设f ：x →x 2是集合A 到集合B 的映射，如果B ＝{1,2}，则A ∩B 一定是() A ．∅B ．∅或{1}C ．{1}D ．∅5．函数f(x)＝11－x (1－x )的最大值是( )A.45B.54C.34D.436．函数y ＝9n x (n ∈N ，n>9)的图像可能是( )7．函数f(x)＝1x －x 的图像关于( )A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称8．已知函数f(x)＝ax 2＋(a 3－a)x ＋1在(－∞，－1]上递增，则a 的取值范围是( )A ．a ≤3B ．－3≤a ≤ 3C ．0<a ≤3D ．－3≤a<0 9．设f(x)＝⎩⎨⎧x ＋3 (x>10)f (f (x ＋5))(x ≤10)，则f(5)的值是( ) A ．24 B ．21C ．18D ．1610．f(x)＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f(x)在区间(2,5)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．有增有减D ．增减性不确定11．若函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 对任意实数x 都有f(2＋x)＝f(2－x)，那么( )A ．f(2)<f(1)<f(4)B ．f(1)<f(2)<f(4)C ．f(2)<f(4)<f(1)D ．f(4)<f(2)<f(1)12．若f(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)＝f(x)＋g(x)＋2，在(0，＋∞)上有最大值8，则在 (－∞，0)上F(x)有( )A ．最小值－8B ．最大值－8C ．最小值－6D ．最小值－4题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数y ＝f(x)是R 上的增函数，且f(m ＋3)≤f(5)，则实数m 的取值范围是________．14．函数f(x)＝－x 2＋2x ＋3在区间[－2,3]上的最大值与最小值的和为________．15．若函数f(x)＝x 2＋(a ＋1)x ＋a x 为奇函数，则实数a ＝________.16．如图，已知函数f(x)的图像是两条直线的一部分，其定义域为(－1,0]∪(0,1)，则不等式f(x)－f(－x)>－1的解集是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)设集合A ＝{x|2x 2＋3px ＋2＝0}，B ＝{x|2x 2＋x ＋q ＝0}，其中p 、q 为常数，x∈R ，当A ∩B ＝{12}时，求p 、q 的值和A ∪B.18．(12分)已知函数f(x)＝x ＋2x －6， (1)点(3,14)在f(x)的图像上吗？(2)当x ＝4时，求f(x)的值；(3)当f(x)＝2时，求x 的值．19．(12分)函数f(x)是R 上的偶函数，且当x>0时，函数的解析式为f(x)＝2x－1. (1)用定义证明f(x)在(0，＋∞)上是减函数；(2)求当x<0时，函数的解析式．20．(12分)函数f(x)＝4x 2－4ax ＋a 2－2a ＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a 的值．21．(12分)已知函数f(x)对一切实数x ，y ∈R 都有f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，又f(3)＝－2.(1)试判定该函数的奇偶性；(2)试判断该函数在R 上的单调性；(3)求f(x)在[－12,12]上的最大值和最小值．22．(12分)已知函数y ＝x ＋t x有如下性质：如果常数t>0，那么该函数在(0，t]上是减函数，在[t ，＋∞)上是增函数．(1)已知f(x)＝4x 2－12x －32x ＋1，x ∈[0,1]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域； (2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)＝－x －2a ，若对任意x 1∈[0,1]，总存在x 2∈[0,1]，使得g(x 2)＝f(x 1)成立，求实数a 的值．第二章 章末检测(A)1．A [f(2)＝2a －2＝2，∴a ＝1＋22.] 2．B [f(3x ＋2)＝9x ＋8＝3(3x ＋2)＋2，∴f(t)＝3t ＋2，即f(x)＝3x ＋2.]3．D [举反例：y ＝x 12不具有奇偶性，排除A ；y ＝x －1和y ＝x －2图像的交点只有(1,1)，排除B ；y ＝x 3与y ＝x 13图像的交点为(－1，－1)，(0,0)，(1,1)，排除C.] 4．B [由题意可知，集合A 中可能含有的元素为：当x 2＝1时，x ＝1，－1；当x 2＝2时，x ＝2，－ 2.所以集合A 可为含有一个、二个、三个、四个元素的集合．无论含有几个元素，A ∩B ＝∅或{1}．]5．D [f(x)＝1(x －12)2＋34≤43.] 6．C [∵f(－x)＝9n x -＝9n x ＝f(x)，∴函数为偶函数，图像关于y 轴对称，故排除A 、B.令n ＝18，则y ＝12x ，当x ≥0时，y ＝12x ，由其在第一象限的图像知选C.]7．C [∵x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，且对定义域内每一个x ，都有f(－x)＝－1x＋x ＝－f(x)， ∴该函数f(x)＝1x－x 是奇函数，其图像关于坐标原点对称．] 8．D [由题意知a<0，－a 3－a 2a≥－1， －a 22＋12≥－1，即a 2≤3. ∴－3≤a<0.]9．A [f(5)＝f(f(10))＝f(f(f(15)))＝f(f(18))＝f(21)＝24.]10．B [f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)，得m ＝0，所以f(x)＝－x 2＋3，画出函数f(x)＝－x 2＋3的图像知，f(x)在区间(2,5)上为减函数．]11．A [由f(2＋x)＝f(2－x)可知：函数f(x)的对称轴为x ＝2，由二次函数f(x)开口方向，可得f(2)最小；又f(4)＝f(2＋2)＝f(2－2)＝f(0)，在x<2时y ＝f(x)为减函数．∵0<1<2，∴f(0)>f(1)>f(2)，即f(2)<f(1)<f(4)．]12．D [由题意知f(x)＋g(x)在(0，＋∞)上有最大值6，因f(x)和g(x)都是奇函数，所以f(－x)＋g(－x)＝－f(x)－g(x)＝－[f(x)＋g(x)]，即f(x)＋g(x)也是奇函数，所以f(x)＋g(x)在(－∞，0)上有最小值－6，∴F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(－∞，0)上有最小值－4.]13．m ≤2解析 由函数单调性可知，由f(m ＋3)≤f(5)有m ＋3≤5，故m ≤2.14．－1解析 f(x)＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∵1∈[－2,3]，∴f(x)max ＝4，又∵1－(－2)>3－1，由f(x)图像的对称性可知，f(－2)的值为f(x)在[－2,3]上的最小值，即f(x)min ＝f(－2)＝－5，∴－5＋4＝－1.15．－1解析 由题意知，f(－x)＝－f(x)，即x 2－(a ＋1)x ＋a －x ＝－x 2＋(a ＋1)x ＋a x， ∴(a ＋1)x ＝0对x ≠0恒成立，∴a ＋1＝0，a ＝－1.16．(－1，－12)∪[0,1) 解析 由题中图像知，当x ≠0时，f(－x)＝－f(x)，所以f(x)－[－f(x)]>－1，∴f(x)>－12，由题图可知，此时－1<x<－12或0<x<1.当x ＝0时，f(0)＝－1，f(0)－f(－0)＝－1＋1＝0， 0>－1满足条件．因此其解集是{x|－1<x<－12或0≤x<1}． 17．解 ∵A ∩B ＝{12}，∴12∈A. ∴2(12)2＋3p(12)＋2＝0. ∴p ＝－53.∴A ＝{12，2}． 又∵A ∩B ＝{12}，∴12∈B. ∴2(12)2＋12＋q ＝0.∴q ＝－1. ∴B ＝{12，－1}．∴A ∪B ＝{－1，12，2}．18．解 (1)∵f(3)＝3＋23－6＝－53≠14. ∴点(3,14)不在f(x)的图像上．(2)当x ＝4时，f(4)＝4＋24－6＝－3. (3)若f(x)＝2，则x ＋2x －6＝2， ∴2x －12＝x ＋2，∴x ＝14.19．(1)证明 设0<x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝(2x 1－1)－(2x 2－1) ＝2(x 2－x 1)x 1x 2， ∵0<x 1<x 2，∴x 1x 2>0，x 2－x 1>0，∴f(x 1)－f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数．(2)解 设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－2x－1， 又f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝－2x －1，即f(x)＝－2x－1(x<0)． 20．解 ∵f(x)＝4(x －a 2)2－2a ＋2， ①当a 2≤0，即a ≤0时，函数f(x)在[0,2]上是增函数． ∴f(x)min ＝f(0)＝a 2－2a ＋2.由a 2－2a ＋2＝3，得a ＝1± 2.∵a ≤0，∴a ＝1－ 2.②当0<a 2<2，即0<a<4时， f(x)min ＝f(a 2)＝－2a ＋2. 由－2a ＋2＝3，得a ＝－12∉(0,4)，舍去． ③当a 2≥2，即a ≥4时，函数f(x)在[0,2]上是减函数， f(x)min ＝f(2)＝a 2－10a ＋18.由a 2－10a ＋18＝3，得a ＝5±10.∵a ≥4，∴a ＝5＋10.综上所述，a ＝1－2或a ＝5＋10.21．解 (1)令x ＝y ＝0，得f(0＋0)＝f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0.令y ＝－x ，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(2)任取x 1<x 2，则x 2－x 1>0，∴f(x 2－x 1)<0，∴f(x 2)－f(x 1)＝f(x 2)＋f(－x 1)＝f(x 2－x 1)<0，即f(x 2)<f(x 1)．∴f(x)在R 上是减函数．(3)∵f(x)在[－12,12]上是减函数，∴f(12)最小，f(－12)最大．又f(12)＝f(6＋6)＝f(6)＋f(6)＝2f(6)＝2[f(3)＋f(3)]＝4f(3)＝－8，∴f(－12)＝－f(12)＝8.∴f(x)在[－12,12]上的最大值是8，最小值是－8.22．解 (1)y ＝f(x)＝4x 2－12x －32x ＋1＝2x ＋1＋42x ＋1－8， 设u ＝2x ＋1，x ∈[0,1]，1≤u ≤3，则y ＝u ＋4u－8，u ∈[1,3]． 由已知性质得，当1≤u ≤2，即0≤x ≤12时，f(x)单调递减，所以减区间为[0，12]； 当2≤u ≤3，即12≤x ≤1时，f(x)单调递增， 所以增区间为[12，1]； 由f(0)＝－3，f(12)＝－4，f(1)＝－113， 得f(x)的值域为[－4，－3]．(2)g(x)＝－x －2a 为减函数，故g(x)∈[－1－2a ，－2a]，x ∈[0,1]．由题意，f(x)的值域是g(x)的值域的子集，∴⎩⎨⎧－1－2a ≤－4－2a ≥－3∴a ＝32.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
北师大版高中数学必修一 第二章 §2 第3课时一、选择题1．下列从集合A 到集合B 的对应中为映射的是( ) A ．A ＝B ＝N ＋，对应法则f ：x →y ＝|x －2|B ．A ＝R ，B ＝{0,1}，对应法则f ：x →y ＝⎩⎨⎧1 (x ≥0)0 (x<0)C ．A ＝B ＝R ，对应法则f ：x →y ＝±xD ．A ＝Z ，B ＝Q ，对应法则f ：x →y ＝1x[答案] B[解析] A 中元素2无象，排除A ；C 中一个x 对应两个y ，与映射定义不符，排除C ；D 中元素0无像，排除D ，故只有B 正确．2．设f ：A →B 是从集合A 到集合B 的映射，则下面的命题为真命题的是( ) A ．A 中的每一个元素在B 中必有像 B ．B 中的每一个元素在A 中必有原像 C ．B 中的每一个元素在A 中的原像唯一 D ．A 中的不同元素的像必定不同 [答案] A[解析] 由映射的定义可知，集合A 中的每一个元素在B 中必有像，故选A. 3．已知(x ，y)在映射下的像是(x ＋y ，x －y)，则像(1,2)在f 下的原像为( ) A ．(52，32)B ．(－32，12)C ．(－32，－12)D ．(32，－12)[答案] D[解析] 根据题意得⎩⎨⎧x ＋y ＝1x －y ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32y ＝－12.4．设A ＝{x|0≤x ≤2}，B ＝{y|1≤y ≤2}，下列能表示从集合A 到集合B 的映射的是()[答案] D[解析] 对于A ，当x ＝0，y ＝0∉{y|1≤y ≤2}，不是从A 到B 的映射；对于B ，当x ＝2时y ＝0∉{y|1≤y ≤2}，也不是从A 到B 的映射；对于C ，当x ＝0时，y ＝1且y ＝2，即集合A 中的一个元素0与集合B 中的两个元素1和2相对应，所以也不是从A 到B 的映射；对于D ，集合A 中的任何一个元素在集合B 中都有唯一的元素和它对应，所以是从A 到B 的映射．5．下列对应为A 到B 的函数的是( ) A ．A ＝R ，B ＝{x|x>0}，f ：x →y ＝|x| B ．A ＝Z ，B ＝N ＋，f ：x →y ＝x 2C ．A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝xD ．A ＝[－1,1]，B ＝{0}，f ：x →y ＝0 [答案] D[解析] 由函数的定义可知，对于A,0∈R ， 且|0|＝0∉B ，故A 不是f ：A →B 的函数； 对于B,0∈Z ，且02＝0∉N ＋， 故B 不是f ：A →B 的函数；对于C ，当x<0时，如－2∈Z ，但－2无意义， 故C 不是f ：A →B 的函数；对于D ，是多对一的情形，符合函数的定义，是f ：A →B 的函数．6．下列对应是集合M 到集合N 的一一映射的是( ) A ．M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝－1x ，x ∈M ，y ∈NB ．M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 2，x ∈M ，y ∈N C ．M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝1|x|＋x ，x ∈M ，y ∈ND ．M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 3，x ∈M ，y ∈N [答案] D[解析] 用排除法，A 中集合M 的元素0，在f 下，N 中没有元素与乊对应，所以这个对应不是映射；B 中集合M 的元素±1，在f 下的像都是1，故排除B ；C 中，负实数及0在f 下没有元素和它对应，应排除；故选D.二、填空题7．已知集合A ＝{a ，b}，B ＝{m ，n}，则由A 到B 的一一映射的个数为________． [答案] 2[解析] 由题意可知如图：共有2个一一映射．8．a ，b 为实数，集合M ＝{ba ，1}，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 的值等于________．[答案] 1[解析] 因为f ：x →x ，∴M ＝N ， ∴ba ＝0，a ＝1，故a ＋b ＝1. 三、解答题9．已知映射f ：A ＝B ＝{(x ，y)|x ∈R ，y ∈R}， f ：(x ，y)→(x ＋2y ＋2,4x ＋y)．(1)求A 中元素(5,5)的像； (2)求B 中元素(5,5)的原像；(3)A 中是否存在这样的元素(a ，b)，使它的像仍是自己？若存在，求出这个元素；若不存在，请说明理由．[解析] (1)∵x ＝5，y ＝5， ∴(x ＋2y ＋2,4x ＋y)＝(17,25)． ∴A 中元素(5,5)的像是(17,25)． (2)设元素(5,5)的原像是(m ，n)，得⎩⎨⎧m ＋2n ＋2＝5，4m ＋n ＝5， ∴⎩⎨⎧m ＝1，n ＝1，∴(5,5)的原像是(1,1)．(3)假设A 中存在这样的元素(a ，b)，则由题意得⎩⎨⎧ a ＋2b ＋2＝a ，4a ＋b ＝b ，∴⎩⎨⎧a ＝0，b ＝－1，∴A 中存在元素(a ，b)使它的像仍是它自己，这个元素为(0，－1).一、选择题1．已知A ＝{x|0≤x ≤4}，B ＝{y|0≤y ≤2}，下列对应不表示从A 到B 的映射的是( ) A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝32xD ．f ：x →y ＝x[答案] C[解析] 对于A ，当0≤x ≤4时，0≤12x ≤2，f ：x →y ＝12x 能构成A 到B 的映射；对于B,0≤13x ≤43，也能构成集合A 到集合B 的映射；对于C,0≤32x ≤6，而[0,6][0,2]，所以不能构成从A 到B 的映射；对于选项D,0≤x ≤2，能构成从A 到B 的映射．2．已知映射f ：A →B ，其中集合A ＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B 中的元素都是A中的元素在映射f 下的像，且对任意的a ∈A ，在B 中和它对应的元素是|a|，则集合B 中的元素的个数是( )A ．4B ．5C ．6D ．7[答案] A[解析] ∵a ∈A ，∴|a|＝1,2,3,4， 即B ＝{1,2,3,4}． 二、填空题3．已知集合A ＝{a ，b ，c}，B ＝{0,1}，若映射f ：A →B 满足f(a)＋f(b)＝f(c)，则这样的映射的个数是________．[答案] 3[解析] 由于f(a)＋f(b)＝f(c)，所以只能有f(a)＝0，f(b)＝1，f(c)＝1，或f(a)＝1，f(b)＝0，f(c)＝1，或f(a)＝f(b)＝f(c)＝0，即这样的映射有3个．4．下列对应是集合A 到集合B 的一一映射的是________(填正确序号)． (1)A ＝N ，B ＝{－1,1}，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y ＝(－1)x； (2)A ＝{x|0≤x ≤3}，B ＝{y|0≤y ≤1}，f ：x →y ＝13x ；(3)A ＝{x|0≤x ≤1}，B ＝{y|y ≥1}，f ：x →y ＝1x ；(4)A ＝{三角形}，B ＝R ，f ：三角形与它面积的对应． [答案] (2)[解析] (1)(2)(4)为映射，(3)不是映射(因为(3)中集合A 中的元素0没有像)，只有(2)是一一映射．三、解答题5．设f ，g 都是由A 到A 的映射(其中A ＝{1,2,3})，其对应关系如下表：映射f 的对应关系映射g 的对应关系 原像 1 2 3 原像 1 2 3 像231像213设a ＝g(f(3))，b ＝g(g(2))，c ＝f(g(f(1)))．试判断a ，b ，c 的大小关系． [解析] ∵a ＝g(f(3))＝g(1)＝2， b ＝g(g(2))＝g(1)＝2，c ＝f(g(f(1)))＝f(g(2))＝f(1)＝2， ∴a ＝b ＝c.6．下列对应是不是从A 到B 的函数？是不是从A 到B 的映射？ (1)A ＝B ＝N ，f ：x →|x －3|；(2)A ＝{x|x 是三角形}，B ＝{x|x 是圆}， f ：三角形的内切圆；(3)A ＝R ，B ＝{1}，f ：x →y ＝1； (4)A ＝[－1,1]，B ＝[－1,1]，f ：x →y ＝1x.[解析] (1)当x ∈N 时，则|x －3|∈N ，即A 中的元素在B 中都有像，所以(1)是映射，也是函数．(2)由于A ，B 不是数集，所以(2)不是函数，但每个三角形都有唯一的内切圆，所以(2)是A 到B 的映射．(3)A 中的每一个数都与B 中的数1对应，因此，(3)是A 到B 的函数，它是A 到B 的映射．(4)取x ＝0，y ＝10没有意义，即A 中元素0在B 中没有像，所以(4)不是函数，也不是映射．规律技巧总结：(1)函数是一种特殊的映射，是非空数集间的一种映射．(2)有的同学问：关系式y ＝1是y 关于x 的函数，那么关系式x ＝1是y 关于x 的函数吗？对于关系式x ＝1，显然有x ∈{1}，y ∈R ，则1与全体实数建立对应关系，不符合函数的定义，因此，“x ＝1”不是y 关于x 的函数．7．已知：集合A ＝{x|－2≤x ≤2}，B ＝{x|－1≤x ≤1}．对应f ：x →y ＝ax.若在f 的作用下能够建立从A 到B 的映射f ：A →B ，求实数a 的取值范围．[解析] ①当a ≥0时，集合A 中元素的像满足－2a ≤ax ≤2a.若能够建立从A 到B 的映射，则[－2a,2a]⊆[－1,1]，即⎩⎨⎧－2a ≥－1，2a ≤1，∴0≤a ≤12.②当a<0时，集合A 中元素的像满足2a ≤ax ≤－2a ，若能建立从A 到B 的映射，则[2a ，－2a]⊆[－1,1]，即⎩⎨⎧2a ≥－1，－2a ≤1，∴－12≤a<0.综合①②可知－12≤a ≤12.。