理论力学7-5-碰撞
《理论力学 动力学》第六讲 碰撞理论 碰撞的分类·碰撞问题的简化
碰撞理论
曾凡林
哈尔滨工业大学理论力学教研组
本讲主要内容
1、碰撞的分类·碰撞问题的简化
2、用于碰撞过程的基本定理
3、质点对固定面的碰撞·恢复因数
1、碰撞的分类·碰撞问题
的简化
两个或两个以上相对运动的物体在瞬间接触，速度发生突然改变的力学现象。
碰撞是工程与日常生活中一种常见而又非常复杂的力学现象。
锤锻、打桩、各种球类活动中球的弹射与反跳、汽车撞击事故、火车车厢挂钩的连接等都是碰撞的实例。
飞机着陆、飞船对接中也涉及碰撞问题。
（1）碰撞的分类
C 1v 1
B
碰撞时两物体的相互作用力——碰撞力碰撞力的作用线通过两物体的质心
——对心碰撞
碰撞力的作用线不通过两物体的质心——偏心碰撞
碰撞时两物体各自质心的速度均沿着公法线方向——正碰撞碰撞时两物体质心的速度不沿着公法线方向——斜碰撞
碰撞时两物体接触处光滑无摩擦——光滑碰撞
碰撞时两物体接触处粗糙有摩擦——非光滑碰撞
此外，按物体碰撞后变形的恢复程度或动能的损失情况，碰撞又可以分为完全弹性碰撞、弹性碰撞和塑性碰撞等类型。
碰撞现象的特点
碰撞时间极短（一般为）s 4310~10--速度变化为有限值加速度变化相当巨大碰撞力极大碰撞问题的简化
普通力的冲量忽略不计（仅考虑碰撞力）在碰撞过程中,物体的位移忽略不计。
理论力学碰撞实验报告
一、实验目的1. 了解碰撞现象的特点及研究方法；2. 掌握碰撞实验的基本原理和实验步骤；3. 通过实验验证动量守恒定律和动能守恒定律；4. 提高动手操作能力和实验数据处理能力。
二、实验原理1. 动量守恒定律：如果一个系统所受的合外力为零，那么该系统总动量保持不变。
2. 动能守恒定律：在一个孤立系统中，如果只有重力或弹力做功，系统的总动能保持不变。
3. 碰撞过程中，系统的总动量和总动能满足以下关系：（1）完全弹性碰撞：动量守恒，动能守恒；（2）非完全弹性碰撞：动量守恒，动能不守恒；（3）完全非弹性碰撞：动量守恒，动能全部转化为其他形式的能量。
三、实验仪器与设备1. 气垫导轨：用于实现无摩擦滑动，保证实验结果的准确性；2. 滑块：用于实现碰撞实验；3. 数显计时器：用于测量碰撞时间；4. 量角器：用于测量碰撞前后的角度；5. 计算器：用于数据处理和计算。
四、实验步骤1. 将气垫导轨放置在实验桌上，确保导轨水平；2. 将滑块放置在导轨的一端，调整滑块与导轨的接触面，使其能够正常滑动；3. 使用数显计时器测量滑块在导轨上自由滑动的距离和时间，记录数据；4. 将滑块放置在导轨的另一端，调整滑块与导轨的接触面，使其能够正常滑动；5. 观察滑块在碰撞过程中的运动状态，记录碰撞前后的角度；6. 重复步骤3-5，进行多次实验，记录数据；7. 根据实验数据，计算碰撞前后的动量和动能，验证动量守恒定律和动能守恒定律。
五、实验结果与分析1. 实验数据：（1）自由滑动距离：L1 = 1.2m，L2 = 1.3m，L3 = 1.1m；（2）自由滑动时间：t1 = 0.5s，t2 = 0.6s，t3 = 0.4s；（3）碰撞前角度：θ1 = 30°，θ2 = 40°，θ3 =25°；（4）碰撞后角度：φ1 = 35°，φ2 = 45°，φ3 = 30°。
2. 实验结果分析：（1）动量守恒定律验证：通过计算碰撞前后的动量，发现实验数据基本满足动量守恒定律；（2）动能守恒定律验证：通过计算碰撞前后的动能，发现实验数据基本满足动能守恒定律。
理论力学课件第12章
对球B，应用动能定理，则有
得
1
0 mu22 mgl (1 cos )
2
（d）
u2 2 gl (1 cos )
将式（d）、（e）代入式（c）中，解得
k 2
1 cos
1 cos30
1 2
1 0.353
1 cos
1 cos 45
（e）
小为
v v 3 0.2
a
0
0.002
m/s2 1 400 m/s2
设在敲击时，钉给手锤的力为F，手锤重为G，可写出手锤的
动力学基本方程为
ma F G
由方程解得
F m( g a) 1 409.8 N
可见，碰撞力F远远大于手锤的重量G。如果碰撞时间再短一
些或碰撞前后的速度变化更大一些，则碰撞力将更大。碰撞力
（12-14）
将式（12-13）和（12-14）代入式（12-12），得
mm
1
T T1 T2 (1 k ) 1 2 (v1 v2 )[(v1 u1 ) (v2 u2 )]
2
m1 m2
由式（12-6），得
u1 u2 k (v1 v2 )
于是
T T1 T2
（12-6）化为
u
k
v
若球自由下落，则可通过球距离固定面的高度H和回跳
的高度h来表示k。由自由落体公式可知
| v | 2 gH
于是得
| u | 2 gh
u
k
v
h
H
图12-3
（12-10）
测出球的降落高度H和回跳高度h，即可计算出球和固定面两种材料
理论力学第二章：碰撞
m A v A mB v B m A mB
0.146 i 0.022 j 0.015 k
m/s
28
2.对接不成功时，两飞船的速度 不考虑对接处的摩擦，二飞船在 y、z 方向上的 速度分量保持不变；在 x 方向上二飞船动量守恒：
m A v Ax mB vBx m A vAx mB vBx
mA »mB
例题 3
mB mA A vB
vA
B
mA 18 103 kg ，mB 6.6 103 kg ；
在惯性参考系中 v A＝00.2i 0.03 j 0.02k m/s ，v B 0 求：1.对接成功后，联合体的质心速度； 2.对接不成功，恢复系数 e=0.95 , 碰撞后二者的速度。 (以上分析中均可略去飞船的转动) 27
1. 用于碰撞过程的动量定理——冲量定理 质点： mv mv
常力的冲量
t
0
Fdt I I — 碰撞冲量
I Ft
(e) (i ) 质点系： mi vi mi vi I i I i
变力的元冲量
mi vi mi vi I i(e) I i(i )
m A mB 2 2 T＝ 1 k v A vB 2m A mB 两种特殊情形下，碰撞前、后系统动能的变化
完全弹性碰撞 —— k=1, T=T2－T1=0。 碰撞过程中没有能量损失。
23
塑性碰撞 —— k=0, 动能损失为
m A mB v A v B 2 T＝ 2m A mB
§15-3 恢复系数（因数）
考察两个球的正碰撞的变形阶段与恢复阶段 I I 1 1 mB mA F 变形阶段 I1 I2 t1 tm t2
理论力学1-7章答案
习题7-1图Oυ(a)υυ(b)习题7-3图第7章 点的复合运动7-1 图示车A 沿半径R 的圆弧轨道运动，其速度为v A 。
车B 沿直线轨道行驶，其速度为v B 。
试问坐在车A 中的观察者所看到车B 的相对速度v B /A ，与坐在车B 中的观察者看到车A 的相对速度v A /B ，是否有B A A B //v v -=？（试用矢量三角形加以分析。
）答：B A A B //v v -≠1．以A 为动系，B 为动点，此时绝对运动：直线；相对运动：平面曲线；牵连运动：定轴转动。
为了定量举例，设R OB 3=，v v v B A ==，则v v 3e =∴ ⎩⎨⎧︒==6021/θv v A B2．以B 为动系，A 为动点。
牵连运动为：平移；绝对运动：圆周运动；相对运动：平面曲线。
此时⎪⎩⎪⎨⎧︒==4522/θv v B A ∴ B A A B //v v -≠7-3 图示记录装置中的鼓轮以等角速度0ω转动，鼓轮的半径为r 。
自动记录笔连接在沿铅垂方向并按)sin(1t a y ω=规律运动的构件上。
试求记录笔在纸带上所画曲线的方程。
解：t r x 0ω= （1） )sin(1t a y ω=（2）由（1）0ωr xt =代入（2），得)sin(01r xa y ωω=7-5 图示铰接四边形机构中，O 1A = O 2B = 100mm ，O 1O 2 = AB ，杆O 1A 以等角速度ω= 2rad/s 绕轴O 1转动。
AB 杆上有一套筒C ，此套筒与杆CD 相铰接，机构的各部件都在同一铅垂面内。
试求当ϕ= ︒60，CD 杆的速度和加速度。
解：1．动点：C （CD 上），动系：AB ，绝对：直线，相对：直线，牵连：平移。
2．r e a v v v +=（图a ） v e = v A01.02121.0cos e a =⨯⨯==ϕv v m/s （↑）3． r e a a a a +=（图b ）4.021.022e =⨯==ωr a m/s 2 346.030cos e a =︒=a a m/s 2（↑）习题7-5图习题7-7图习题7-9图υ(a) (b)(a)7-7 图示瓦特离心调速器以角速度ω绕铅垂轴转动。
理论力学17.碰撞
动量守恒定律
动量守恒定律指出，在碰撞过程中，总动量始终保持不变。无论是理想弹性 碰撞还是非弹性碰撞，总动量都会在碰撞前后保持相等。
碰撞的应用
碰撞的概念在物理学、工程学和运动学中有许多应用。例如，汽车碰撞测试和台球运动中的撞球现象都是碰撞 的应用。
理论力学17.碰撞
在本节中，我们将探讨碰撞的基本原理、理想弹性碰撞和非弹性碰撞。我们 还将研究碰撞中的能量守恒定律和动量守恒定律，并介绍碰撞的一些应用。
碰撞的定义
碰撞是物体之间发生的相互作用，其中两个或多个物体产生相互接触并相互 响。它是研究理论力学中重要的一部分。
碰撞的基本原理
碰撞的基本原理涉及到动量和能量的转移。在碰撞过程中，物体的动量和能 量可能会发生变化，这取决于碰撞的类型。
理想弹性碰撞
理想弹性碰撞是指碰撞过程中动能丧失最小的碰撞。在这种碰撞中，物体之 间发生的相互作用是完全弹性的，动量和能量都得到保持。
非弹性碰撞
非弹性碰撞是指碰撞过程中动能丧失的碰撞。在这种碰撞中，物体之间发生 的相互作用会导致动能的损失，部分动能会转化为其他形式的能量。
能量守恒定律
能量守恒定律指出，在碰撞过程中，总能量始终保持不变。无论是理想弹性 碰撞还是非弹性碰撞，总能量都会在碰撞前后保持相等。
最新理论力学-碰撞教学讲义ppt课件
18
对于两物体正碰撞的情况，恢复系数等于两物体在碰撞 结束与碰撞开始时，质心的相对速度大小的比值。)
联立(1),(2)式，解得：
u1
v1
(1k) m2 m1 m2
(v1
v2
)
u2 v2 (1k)m1m1m2 (v1v2) 对于完全弹性碰撞（k=1）：
20
由正碰撞结束时两质心的速度公式知： v 1 u 1 ( 1 k ) m 1 m 2 m 2 ( v 1 v 2 );v 2 u 2 ( 1 k ) m 1 m 1 m 2 ( v 1 v 2 )
n
n
miui mivi
Si(e)
冲量定理
i1
i1
（19-2）
设质点系总运动定理，上式可写成：
M uCM vC Si(e)
（19-3）
9
碰撞时质点系动量的改变等于作用在质点系上所有外碰
撞冲量的矢量和。
式（19-1)、(19-2)和(19-3)都写成投影形式，形式上与普 通的动量定理相同，所不同的是在这里都不计普通力的冲量。
应用冲量定理在y 轴投影
式
0(m)vS1
第二阶段：由弹性变形开始恢复到脱离接触。该阶段中，
小球动能增大，变形（弹性）逐渐恢复。设碰撞冲量为 S 2 ，
则：
mu0S2
u S2 v S1
13
对于给定材料，|u|与|v|的比值是不变的，该比值称为恢复系数。
k
u v
——由实验测定
一般0<k<1，各种材料的恢复系数，可查阅书中表。 k=1 理想情况——完全弹性碰撞。 k=0 极限情况——非弹性碰撞或塑性碰撞。
理论力学PPT课件第6章6.3碰撞
非弹性碰撞的公式
碰撞前后动量守恒：m1v1 + m2v2 = m1v1' + m2v2' 碰撞前后能量不守恒：E = E'
碰撞前后速度关系：v1' = v1 - Δv, v2' = v2 + Δv
非弹性碰撞的特点
01
形 变不能完全恢复，导致能量损
04
弹性碰撞公式的应 用
弹性碰撞公式可以用于计算两个 物体碰撞后的速度，它是解决碰 撞问题的重要工具之一。
弹性碰撞的特点
能量守恒
在弹性碰撞中，系统的总能量 在碰撞前后保持不变，即动能
守恒。
动量守恒
在弹性碰撞中，系统的总动量 在碰撞前后保持不变，即动量 守恒。
无能量损失
在弹性碰撞中，没有能量转化 为其他形式的能量，如热能或 内能等。
碰撞的分类
弹性碰撞
完全非弹性碰撞
碰撞过程中，物体间的作用力完全以 弹性反作用力形式出现，没有能量损 失。
碰撞过程中，物体间的作用力完全以 非弹性反作用力形式出现，能量损失 最大。
非弹性碰撞
碰撞过程中，物体间的作用力部分以 弹性反作用力形式出现，部分以非弹 性反作用力形式出现，存在能量损失。
02
弹性碰撞
台球碰撞
两球在桌面上发生碰撞， 运动轨迹发生变化，遵循 动量守恒定律。
汽车碰撞
汽车发生正面碰撞，车体 变形，遵循动量守恒和能 量守恒定律。
三维碰撞实例分析
三维碰撞
两个物体在三维空间中发 生相互作用，考虑三个方 向的动量变化。
卫星碰撞
卫星在太空中发生碰撞， 需要考虑地球引力、太阳 辐射压和其他因素的影响。
弹性碰撞的公式
01
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两球法向 速度交换
C
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2
按弹性筛选钢球
第 7章 第 7章
碰撞前后动能的变化
2 T1 1 m1v12 1 m2 v2 2 2 2 T2 1 m1u12 1 m2 u2 2 2
考虑正碰撞
在碰撞过程中，动能的损失为
mm T T1 T2 1 1 2 (1 e 2 )(v1 v2 ) 2 2 m1 m2
第 7章
质点系动力学
30/31
5
碰撞冲量
第 7章 F(t) 压缩阶段 恢复阶段
31/31
质点系动力学
I1 I2 t1 碰撞冲量： I 压缩冲量： I1 恢复冲量：I 2 t0 t2 t
t2
t1
t0
F (t )dt
F (t )dt F (t )dt
返回
t1 t2
t0
6
J z ( 2 1 ) M z ( I ( e ) )
7/31
第 7章
9/31
第 7章
11/31
质点系动力学 质点系动力学 质点系动力学
质点系动力学
平面运动的刚体在碰撞冲量作用下的动力 学方程为
muCx mvCx I muCy mvCy I
(e) x (e) y
m2
v2
J C (2 1 ) M C ( I ( e ) )
13/31
第 7章
15/31
第 7章
17/31
质点系动力学
14/31
质点系动力学
1. 完全弹性碰撞 e = 1，T = 0，碰撞过程中没有动能损失。 2. 碰撞过程中，有一物体始终不动
2 mm T 1 1 2 (1 e 2 )v12 1 e T 2 m1 m2 1 m1 / m2 0
8/31
例 7-5-1
解
第 7章
恢复系数
碰撞前后质系在法向上的动量守恒，两小球各 自在切向上动量守恒：
m1v1n m2 v2 n m1u1n m2 u2 n
恢复冲量与压缩冲量的大小 之比值称为恢复系数：
e I2 I1
v1
u1 m1
u2 n
质点系动力学
m1v1 m1u1
m2 v2 m2 u2
碰撞实例
第 7章
锻压与打桩 体 育 运 动 中 的 碰 撞
质点系动力学
7.5 碰撞
2013年11月28日
2/31
汽车碰撞 试验
碰撞实例
第 7章 第 7章
碰撞的基本特征
碰撞：在极短的时间内，以极大的碰撞力使物 体发生有限量的动量传递和能量转化
速度发生很大的变化
3/31
第 7章
5/31
质点系动力学 质点系动力学
解
第 7章
例 7-5-3
(2). 求轴承O的约束冲量
解
取杆OA为研究对象，由质心运动定理得：
0 Soy mu1 Sox S Ax
Sox 1 S 7 Soy 0
质点系动力学
运动学关系 u2 l1 1 l 2 2 联立求解得：
1 6 S , 2 30 S
质点系动力学
2005年7月4日， 撞击坦普尔1号彗星， 号彗星 370kg撞击器， 10 km/s
碰撞力在极短的时间内急剧变化——使用 碰撞冲量
高速碰撞
机械能之间以及机械能和其它形式的能量 之间急剧转化，一般伴有能量损失，机械能 不守恒
4/31
碰撞问题的模型与基本假设
积分形式的动量和动量矩定理
19/31
第 7章
21/31
第 7章
23/31
质点系动力学 质点系动力学 质点系动力学
质点系动力学
20/31
例 7-5-3
(1) 求碰撞后两杆的速度 OA杆作定轴转动，AB杆作平面运动。
ml 21 S Ax l 对OA杆：1 3
mu2 S S Ax 对AB杆： S 0 Ay 1 ml 2 ( S S ) 1 l Ax 2 12 2
25/31
第 7章
27/31
第 7章
29/31
质点系动力学 质点系动力学 质点系动力学
质点系动力学
由质心运动定理得：
S n m(u Cn v Cn ) mv h(2r h) / r S m(u C v C ) m vh 3r
A
C
B
I
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例 7-5-5
用质心运动定理 2m(vC 0) I vC
I 2m
解
第 7章
例 7-5-5
补充方程
1 1 vC vD l AC vE lBC 2 2
解
这是系统质心的速度，而不是铰C的速度!
质点系动力学
以AC杆为研究对象
A
vD
D
AC
C
联立求解，得
vD 5I 9I I I 3I , AC , vE , BC , vC 4m 2ml l 4m 2ml l m
质点系动力学
16/31
质点系动力学
例 7-5-2
解
第 7章
例 7-5-2
Sox S cos ( mal 1) J Soy S sin
讨论
刚体在碰撞冲量作用下作定轴转动，作受力图 由对O轴的动量矩定理的积分形式得
Sl cos
J
质点系动力学
质点系动力学
质心C的速度
ucx Sal cos , ucy 0 J
1
积分形式的动量和动量矩定理
第 7章 对质心的动量矩定理
LC 2 LC1 M C ( I ( e ) )
例 7-5-1 小球的斜碰撞
第 7章 质量为m1、速度为v1的光滑小球与质量为m2、 速度为v2的光滑小球相撞。求碰撞后两小球的 速度u1和u2。
u1 m1 v1 u2
n
定轴转动的刚体在碰撞冲量作用下的动力 学方程为
18/31
3
碰撞问题的求解步骤
第 7章
例 7-5-3
第 7章 两个长为l、质量为m的均质杆在A 点铰接后悬挂在 O 轴上， B 端受到 冲量 S的作用。求碰撞后两杆的角 速度和轴承O处的约束冲量。
明确研究对象，进行运动分析 受力分析，画碰撞冲量，忽略常规力 应用动量与动量矩定理的积分形式 列写补充方程。对刚体碰撞问题，恢复系 数等于碰撞点的碰撞后法向相对分离速度 和碰撞前法向相对接近速度之比。 求解动力学方程，分析、验证结果
当 = 0且l = J/ma时，轴承 O处的约束碰撞力为零。此 时A点称为撞击中心。 点称为撞击中心
由质心运动定理的积分形式可得
mucx 0 Sox S cos mucy 0 Soy S sin
Sox S cos ( mal 1) J Soy S sin
碰撞前后动能的变化
T 1 e T 1 m1 / m2 0
2
例 7-5-2 气功表演？
第 7章 定轴转动刚体（复摆） 受碰撞冲量S的作用。 已知：刚体质量m，对定 轴O的转动惯量J。质心C 与轴 O 距离 a ，点 A 与轴 O 距离l。 求：碰撞后质心C 的速度 uC和轴承O处的约束碰撞 冲量SO。
7 ml 9 u2 S , 7m
7 ml 2 S 7
S Ax
22/31
例 7-5-4
突加约束
第 7章
例 7-5-4
解
沿水平面作纯滚动的均质圆盘的质量为m，半 径为r，其中心C以匀速v前进。圆盘突然与一 高度为h(h < r)的凸台碰撞。设碰撞为完全非弹 性，求圆盘碰撞后的角速度及碰撞冲量。
碰撞时圆盘的运动发生突变。碰撞前后圆盘对 A轴的动量矩守恒： 碰撞前 LA LC + mvC rCA一个方程后求解。
u1
m1
u2
n
I1 m1 (u v1n ) I1 m2 (u v2 n )
I 2 m1 (u1n u ) I 2 m2 (u2 n u )
v1n v2 n I1 ( 1 1 ) m1 m2
u1n u2 n I 2 ( 1 1 ) m1 m2
v Cn v sin v C v cos
u Cn 0
解
第 7章
例 7-5-5
杆AC = BC = l，质量均为m，C为光滑铰， 静止放在水平面上，A端受冲量I，求此后C 铰的速度。
u C r
sin h(2r h) / r cos (r h) / r
n dLA ρi Fi ( e ) dt i 1
6/31
质点系动力学
LA2 LA1 i Fi ( e ) dt
t2 i 1 t1
n
对碰撞问题
LA 2 LA1 i I i( e ) M A ( I ( e ) )
i 1 n
质系在碰撞前后对定点的动量矩的改变量 等于作用在质系上的所有外碰撞冲量对该 点的主矩。
解
第 7章
思考题
如何测量恢复系数 ？
n A B
h1 h2 v1 u1
质点系动力学
– 塑性碰撞(完全非弹性碰撞) e = 0 u1n u2 n ( m1v1n m2v2 n ) /(m1 m2 ) – 完全弹性碰撞 e = 1 当 m1 = m2 时: u1n = v2n , u2n = v1n – 球与固定面碰撞 m2 = , v2 = 0
L A1 J C v mv ( r h ) mv ( 3 r h ) r 2 L A2 J A 3 mr 2 2 (1 2h ) v L A1 = L A2 3r r