河南省中原名校2013届高三上学期第一次联考数学文科试题
河南省中原名校2012—2013学年上期高三第一次联考
文科数学试题
命题学校：上蔡一高 责任老师：程国柱 考试时间：120分钟 试卷满分：150分
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的
姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的． 1．集合*
12|x N Z x ⎧⎫
∈∈⎨⎬⎩
⎭
中含有的元素个数为
A ．4
B ．6
C ．8
D ．12
2．已知方程
221221x y k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 A ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．(1,)+∞
C ．(1,2)
D ．1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
3．已知平面向量a 和b ，|a |=1，|b |=2，且a 与b 的夹角为120︒，则|2|a b +
等于 A ．2 B ．4
C ．
D ．6
4．某程序框图如右图所示，则输出的结果是 A ．46
B ．45
C ．44
D ．43
5． 2.5PM 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，下图是据北京 某日早7点至晚8点甲、乙两个 2.5PM 监测点统计的数据（单位：毫克/每立方米）列出的
茎叶图，则甲、乙两地浓度的中位数较低的是
A ．甲乙相等
B ．甲
C ．乙
D ．无法确定
6．下列有关命题的说法中，正确的是 A ．命题“若21x >，则1x >”的否命题为“若2
1x >，则1x ≤” B ．“1x >”是“2
20x x +->”的充分不必要条件
C ．命题“2,10x R x x ∃∈++<使得”的否定是“2,10x R x x ∀∈++>都有”
D ．命题“若,tan tan αβαβ>>则”的逆命题为真命题
7．若递增等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，232,7,a S ==则公比q 等于
A ．2
B ．
12
C ．2或
12
D ．无法确定
8．一个几何体的三视图及尺寸如右图所示，其中正视图、侧视图都是
等腰三角形，俯视图是圆，则该几何体的表面积是 A ．12π B ．14π
C ．16π
D ．28π
9．已知函数()2sin(2)f x x ϕ=-+(||)ϕπ<，若()28
f π=-，则()f x 的
一个单调递增区间可以是 A ．3[,]88
ππ
-
B ．59[
,]88ππ
C ．3[,]8
8
ππ
-
D ．5[,]88
ππ
10．过双曲线的右焦点F 作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A ，B 两点，设双曲线的左顶
点M ，若点M 在以AB 为直径的圆的内部，则此双曲线的离心率e 的取值范围为
A ．3,2⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
B ．31,2⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．(2,)+∞
D ．（1，2）
11．已知函数31()|log (1)|13x
f x x ⎛⎫
=--- ⎪⎝⎭
，有2个不同的零点1x 、2x ，则
A ．121,x x ⋅<
B ．1212x x x x ⋅=+
C ．1212,x x x x ⋅>+
D ． 1212,x x x x ⋅<+
12．设32
11()2,32f x x ax bx c =+++当(0,1)x ∈时取得极大值，当(1,2)x ∈时取得极小值，
则21
b a --的取值范围为 A ．(1,4) B ．1(,1)2 C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1,14⎛⎫
⎪⎝⎭
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做
答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分，把答案填在指定的答题卷上。
13．已知i 为虚数单位，则复数133i
i
-+的虚部是 。
14
．已知cos()4
a π
+
=
sin 2a = ； 15. 已知函数2
1
()()1,()332
x f x g x x x =-=-++，若存在实数,a b 使得()()f a g b ≤，
则实数ｂ的取值范围是 .
16．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，0
90ABC ∠
=168AB C AA ===，B ，,则直三棱柱ABC —A 1B 1C 1外接球的体积是 ；
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
已知：函数2()cos cos f x x x x ωωω⋅-(0)ω>的最小正周期为2
π． （Ⅰ）求 )(x f 的解析式；
（Ⅱ）若ABC ∆的三条边为a ，b ，c ，满足bc a =2，a 边所对的角为A ．求：角A 的取
值范围及函数)(A f 的值域． 18．（本小题满分12分） 已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面ABB 1A 1是边长为2的菱形，且
160A AB ∠=︒，M 是AB 的中点，1.MA AC ⊥ （1）求证：1MA ⊥平面ABC ；
（2）求点M 到平面AA 1C 1C 的距离。
19．（本小题满分12分）
某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数ξ依次为1,2,,8…，其中5ξ≥为标准
A ，3ξ≥为标准
B ，产品的等级系数越大表明产品的质量越好. 已知某厂执行标准B 生产
该产品，且该厂的产品都符合相应的执行标准．从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3
4 6 3 4 7
5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
该行业规定产品的等级系数7ξ≥的为一等品，等级系数57ξ≤<的为二等品，等级系数35ξ≤<的为三等品．
（1）试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；
（2）从样本的一等品中随机抽取2件，求所抽得2件产品等级系数都是8的概率． 20．（本小题满分12分） 已知椭圆M 的中心为坐标原点，且焦点在x 轴上，若M 的一个顶点恰好是抛物线
28y x =
的焦点，M 的离心率1
2
e =
，过M 的右焦点F 作不与坐标轴垂直的直线l ，交M 于A ，B 两点。
（1）求椭圆M 的标准方程；
（2）设点N （t ，0）是一个动点，且()NA NB AB +⊥
，求实数t 的取值范围。
21．（本小题满分12分）
已知函数ln ()(e x
x k
f x k +=为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线()y f x =在
点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. （1）求()f x 的单调区间；
（2）设()()g x xf x '=，其中()f x '为()f x 的导函数.证明：对任意20,()1e x g x -><+.
选考题
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，12O O 与相交于A 、B 两点，AB 是2O 的直径，过A 点作1O 的切线交2O 于点E ，并与BO 1的延长线交于点P ，PB 分别与1O 、2O 交于C ，D 两点。
求证： （1）PA·PD=PE·PC ； （2）AD=AE 。
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线2:sin 2cos L ρθθ=，过点A （5，α）（α为锐角且3
tan 4
α=）作 平行于()4
R π
θρ=
∈的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点。
（1）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标
系，写出曲线L 和直线l 的普通方程； （2）求|BC|的长。
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知关于x 的不等式2|21||1|log x x a +--≤（其中0a >）。
（1）当4a =时，求不等式的解集； （2）若不等式有解，求实数a 的取值范围。
河南省中原名校2012—2013上学期高三数学(文科)期中考试试卷
河南中原名校2012—2013学年度第一学期期中联考数学(文)试题命题：叶县高中数学组(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回，第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若f 是虚数单位，复数131iz i-=-，则z 在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知a 是第二象限角，1tan 3a =-，则cos a ＝( )ABCD3．已知等比数列{}n a ，若110,n n a a a +>>，且212()5n n n a a a +++=，则数列的公比q ＝( ) A ．13B ．3C ．12D ．24．设变量x ，y 满足约束条件2520,0x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥≥⎩，则目标函数z ＝2x ＋y 的取值范围是( )A ．[0,4]B ．[0,7]C ．5[,4]2D ．[52，7] 5．在相距4千米的A ，B 两点处测量目标C ，若∠CAB ＝60°，∠CBA ＝75°，则B ，C 两点之间的距离是____千米．( )A ．B ．C ．D 6．函数sin ()(21)()xf x x x a =+-为奇函数，则a ＝( )A ．12 B ．23C ．34D ．17．已知函数1()2cos sin()62f x x x π=+-，则()f x 在区间[,]64ππ-上的最大值M 和最小值m 分别为( ) A ．11,2M m ==-B ．11,2M m ==C ．12M m ==- D ．12M m == 8．将正方体(如图(1)所示)截去四个三棱锥得到图(2)所示的几何体，则该几何体的左视图为( )9．设343555433(),(),(),555a b c ===则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．b c a >>10．已知向量(1,0),(0,1)i j ==，设与2i j +同向的单位向量为e ，向量3j i -与向量i的夹角为θ，则下列说法正确的是( )A ．25,,cos e θ⎛== ⎝⎭B ．25,,cos e θ⎛== ⎝⎭C ．52,,cos e θ⎛== ⎝⎭D ．52,,cos e θ⎛== ⎝⎭11．设3()()f x x x R =∈，若02πθ≤<时(.sin )(2)0f m f m θ+->恒成立，则实数m的取值范围是( )A ．(0,2)B ．(一∞，0)C ．(一∞，1)D ．(一∞，2)12．已知存在正数a ，b ，c 满足02,11cc nb a c nc a<≤≥+，则下列判断正确的是( )A ．ba ≥B ．be a≥C ．32be a≥D ．2be a≥ 第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在指定的答题卷上． 13．设a 为锐角，若3cos 65a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 212a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭_______________________．14．正三棱锥P －ABC 中，PA ＝PB ＝PC AB ＝BC ＝CA 面积为___________．15．在长方形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，点M ，N 分别是BC ，CD 边上的动点，且||2||||||BM CN BC CD =，则.AM AN 的取僦围是______________________________． 16．已知3,n a n =对m N +∀∈，将数列{}n a 中不大于23m 的项的个数记为{}m b ，求数列{}m b 的前m 项和m S ＝__________________________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．(本小题满分10分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为5,35,n S S =5a 和7a 的等差中项为13． (1)求n a ； (2)令*()2nn n a b n N =∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且有2b cos A ＝a cos C ＋c cos A (1)求A ．(2)若b ＝2，c ＝1，G 为△ABC 的重心，求AG 的长．19．(本小题满分12分)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C l D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 为BB 1上一点，N 为CC 1上一点 (1)求三棱锥A 1－AMN 的体积．(2)当M 是BB 1的中点时，求证D 1M ⊥平面MAC ．20．(本小题满分12分)设函数()sin 2xf x x =-的所有正的极大值点从小到大排成的数列为{}n x (1)求数列{}n x 的通项公式．(2)设{}n x 的前n 项和为n S ，求tan n S ．21．(本小题满分12分)某人计划建造如图所示的仓库(不计厚度，长度单位：米)，其中仓库的下部为圆柱形，上部为半球形，按照设计要求仓库的体积为27π立方米，且13h r ≥．假设该仓库的建造费用仅与其表面积(不计底面面积)有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c (c ＞3)千元．设该仓库的建造费用为y 千元．(1)写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该仓库的建造费用最小时的r ．22．(本小题满分12分)函数1()(,xnx mf x n m n e+=+是常数)，曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为y ＝1．(1)求垅m ，n ．(2)求()f x 的单调区间．(3)设().'()F x ex f x =，其中'()f x 为()f x 的导函数．证明0x >时，1()F x e e<+恒成立．中原名校2012—2013学年第一学期期中联考高三文科数学参考答案一、选择题：1—5 ABCBB 6—10 AAAAB 11—12 DB 二、填空题：13．50231 14．π425 15．]4,3[16．83312-+m三、解答题： 17．解：(1)设等差数列}{n a 的公差为d ，因为26,3557535=+==a a a S ，所以⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=+=+23,2610272111d a d a d a 解得 所以)N (12*∈+=n n a n ……4分 (2)由(1)知nn n n b n a 212,12+=+=所以 所以n n b b b T +++= 21n n n T 21225232++++=① 132212252321+++++=n n n T ② ①－②得132212212121(22321++-++++=n n n n T ）……8分 整理得)N (2525*∈+-=n n T nn ……10分 18．解：(1)因为,cos cos cos 2A c C a A b +=由正弦定理，得A C C A A B cos sin cos sin cos sin 2+=……2分 从而B C A A B sin )sin(cos sin 2=+=……4分 因为3π,π0,21cos ,0sin =<<=≠A A A 故由于所以……6分(2)因为)(31AC AB AG +=……8分 )2(91)(912222⋅++=+=97)3πcos 21241(91=⨯⨯⨯++= 所以37,37||==AG 从而.……12分 19．解：(1)由长方体1111D C B A ABCD -知，CB ⊥平面11A ABB ， 所以点N 到平面11A ABB 的距离等于1=CB ，……2分又12111=⨯=∆AB AA S MAA ……4分 所以3131111=⨯==∆--CB S V V MAA MAA N AMN A ……6分(2)当M 是1BB 的中点时，连接,,,11MA A D M D 则在三角形,3,11=M D AMD 易知中 .2,51==MA A D ……8分所以所以,21221A D MA M D =+∠MD AMD 11,90=⊥AM ……10分同理在三角形M D CMD 11,中⊥CM ．又M D M CM AM 1,所以=⋂⊥平面MAC ……12分20．解：(1)令.21cos 021cos )('==-=x x x f 得……2分 解得：)Z (,3ππ2∈±=k k x ……3分由n x 是)(x f 的第n 个极大值点知，)N (,3ππ)1(2*∈+-=n n x n ．……5分(2)由(1)可知，.3ππ)1(3π)]1(21[π2n n n n n S n +-=+-+++= ……7分 所以3πtan ]3ππ)1(tan[tan n n n n S n =+-=……8分 当3π)323tan(tan ,)N (23*=-=∈-=m S m m n n 时． 当.3π)313tan(tan ,)N (13*-=-=∈-=m S m m n n 时 当0π33tan tan ,)N (3*==∈=m S m m n n 时．……11分 综上所述，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈=∈-=-∈-==)N (3,0)N (13,3)N (23,3tan ***m m n m m n m m n S n ……12分21．(Ⅰ)解：设仓库的体积为V ,由题意可知π273π2π32=+=r h r V ．……1分 故32272rr h -=……2分 由于30,31≤<≥r r h 因此……3分所以建造费用c r r r r c r rh y 222π23)3227(π2π23π2+⨯-⨯=+⨯= 因此30,π2π4π16222≤<+-=r cr r ry ……5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得),4281()4π(22]81)42[(π2π4π8π162'32322---=--=+--=c r r c r c r r r r y ε 30≤<r ……7分 由于33428104281,042,3-==-->->c r c r c c 时当所以……8分 (1)当27,3428103><-<c c 即时0',)4281,0(3<-∈y c r 时，函数单调递减， 0',)3,4281(3>-∈y c r 时，函数单调递增， 所以34281-=c r 是函数的极小值点，也是最小值点……10分 (2)当273,342813≤<≥-c c 即时]3,0(∈r 时，,0'≤y 函数单调递减，所以3=r 是函数的最小值点……11分综上，当273≤<c 时，该仓库的建造费用最小时3=r (米)， 当27>c 时，该仓库的建造费用最小时34281-=c r (米)……12分 22．解：(1)由),0(,eln 1)('e ln )(+∞∈--=++=x mx x x f n mx x f xx 得……2分 由于曲线))1(,1()(f x f y 在=处的切线方程为1=y ，⎪⎩⎪⎨⎧-==∴⎩⎨⎧==∴e 111,1)1(0)1('n m f f ……4分(2)由(1)知，).,0(,e1ln 1)('+∞∈--=x x x x f x设),0()(,011)(',1ln 1)(2+∞<--=--=在即则x k xx x k x x x k 上是减函数……6分由,0)(',0)(10,0)1(>><<=x f x k x k 从而时当知 当.0)(',0)(1<<>x f x k x 从而时综上可知，)(x f 的单调递增区间是)1,0(，单调递减区间是),1(+∞……8分 (3)因为),0(),ln 1(e e)(),('e )(+∞∈--=⋅=x x x x x F x f x x F x所以 设),2(ln )('),,0(,ln 1)(+-=+∞∈--=x x h x x x x x h 则 当,0)(',),e (,0)(',)e ,0(22<+∞∈>∈--x h x x h x 时当时 所以当22e 1)e ()(,),0(--+=≤+∞∈h x h x 时……10分 又当e ee0,),0(<<+∞∈x x 时 所以e1)(e e ,),0(+<+∞∈e x h x x 时 即,e1e )(,),0(+<+∞∈x F x 时得证……12分。
河南省中原名校2013届高三上学期第一次联考数学(文)试题
河南省中原名校2013届高三上学期第一次联考数学（文）试题考试时间：120分钟 试卷满分：150分注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭中含有的元素个数为A ．4B ．6C ．8D ．122．已知方程221221x y k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 A ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(1,)+∞C ．(1,2)D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭3．已知平面向量a 和b ，|a |=1，|b |=2，且a 与b 的夹角为120︒，则|2|a b +等于A ．2B ．4C ．D ．64．某程序框图如右图所示，则输出的结果是 A ．46B ．45C ．44D ．435． 2.5PM 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，下图是据北京 某日早7点至晚8点甲、乙两个2.5PM 监测点统计的数据（单位：毫克/每立方米）列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的中位数较低的是 A ．甲乙相等B ．甲C ．乙D ．无法确定6．下列有关命题的说法中，正确的是 A ．命题“若21x >，则1x >”的否命题为“若21x >，则1x ≤” B ．“1x >”是“220x x +->”的充分不必要条件C ．命题“2,10x R x x ∃∈++<使得”的否定是“2,10x R x x ∀∈++>都有”D ．命题“若,tan tan αβαβ>>则”的逆命题为真命题7．若递增等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，232,7,a S ==则公比q 等于A ．2B ．12C ．2或12D ．无法确定8．一个几何体的三视图及尺寸如右图所示，其中正视图、侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆，则该几何体的表面积是 A ．12π B ．14π C ．16π D ．28π9．已知函数()2sin(2)f x x ϕ=-+(||)ϕπ<，若()28f π=-，则()f x 的一个单调递增区间可以是 A ．3[,]88ππ-B ．59[,]88ππC ．3[,]88ππ-D ．5[,]88ππ10．过双曲线的右焦点F 作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A ，B 两点，设双曲线的左顶点M ，若点M 在以AB 为直径的圆的内部，则此双曲线的离心率e 的取值范围为A ．3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．(2,)+∞D ．（1，2）11．已知函数31()|log (1)|13xf x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，有2个不同的零点1x 、2x ，则A ．121,x x ⋅<B ．1212x x x x ⋅=+C ．1212,x x x x ⋅>+D ． 1212,x x x x ⋅<+12．设3211()2,32f x x ax bx c =+++当(0,1)x ∈时取得极大值，当(1,2)x ∈时取得极小值，则21b a --的取值范围为 A ．(1,4)B ．1(,1)2C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,14⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分，把答案填在指定的答题卷上。
河南省中原名校12—13上学期高三数学(文科)第一次联考考试试卷
河南省中原名校2012—2013学年上期高三第一次联考文科数学试题考试时间：120分钟 试卷满分：150分注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭中含有的元素个数为 A ．4B ．6C ．8D ．122．已知方程221221x y k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 A ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．(1,)+∞C ．(1,2)D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭3．已知平面向量a 和b ，|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120︒，则|2|a b +等于A ．2B ．4C ．D ．6A ．甲乙相等B ．甲C ．乙D ．无法确定 6．下列有关命题的说法中，正确的是A ．命题“若21x >，则1x >”的否命题为“若21x >，则1x ≤” B ．“1x >”是“220x x +->”的充分不必要条件C ．命题“2,10x R x x ∃∈++<使得”的否定是“2,10x R x x ∀∈++>都有”D ．命题“若,tan tan αβαβ>>则”的逆命题为真命题7．若递增等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，232,7,a S ==则公比q 等于 A ．2B ．12C ．2或12D ．无法确定8．一个几何体的三视图及尺寸如右图所示，其中正视图、侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆，则该几何体的表面积是 A ．12π B ．14π C ．16π D ．28π 9．已知函数()2sin(2)f x x ϕ=-+(||)ϕπ<，若()28f π=-，则()f x 的一个单调递增区间可以是 A ．3[,]88ππ-B ．59[,]88ππ C ．3[,]88ππ-D ．5[,]88ππ10．过双曲线的右焦点F 作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A ，B 两点，设双曲线的左顶点M ，若点M 在以AB 为直径的圆的内部，则此双曲线的离心率e 的取值范围为A ．3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．(2,)+∞D ．(1，2)11．已知函数31()|log (1)|13xf x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，有2个不同的零点1x 、2x ，则A ．121,x x ⋅<B ．1212x x x x ⋅=+C ．1212,x x x x ⋅>+D ．1212,x x x x ⋅<+12．设3211()2,32f x x ax bx c =+++当(0,1)x ∈时取得极大值，当(1,2)x ∈时取得极小值，则21b a --的取值范围为A ．(1,4)B ．1(,1)2C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,14⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分，把答案填在指定的答题卷上． 13．已知i 为虚数单位，则复数133ii-+的虚部是________． 14．已知cos()43a π+=，则sin 2a =____________； 15．已知函数21()()1,()332xf xg x x x =-=-++，若存在实数,a b 使得()()f a g b ≤，则实数ｂ的取值范围是____________．16．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，090ABC ∠=168AB C AA ===，B ，则直三棱柱ABC —A 1B 1C 1外接球的体积是___________；三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知：函数2()cos cos f x x x x ωωω=⋅-(0)ω>的最小正周期为2π．(Ⅰ)求 )(x f 的解析式；(Ⅱ)若ABC ∆的三条边为a ，b ，c ，满足bc a =2，a 边所对的角为A ．求：角A的取值范围及函数)(A f 的值域．18．(本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面ABB 1A 1是边长为2的菱形，且160A AB ∠=︒，M 是AB 的中点，1.MA AC ⊥ (1)求证：1MA ⊥平面ABC ； (2)求点M 到平面AA 1C 1C 的距离．19．(本小题满分12分)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数ξ依次为1,2,,8…，其中5ξ≥为标准A ，3ξ≥为标准B ，产品的等级系数越大表明产品的质量越好．已知某厂执行标准B 生产该产品，且该厂的产品都符合相应的执行标准．从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7该行业规定产品的等级系数7ξ≥的为一等品，等级系数57ξ≤<的为二等品，等级系数35ξ≤<的为三等品．(1)试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；(2)从样本的一等品中随机抽取2件，求所抽得2件产品等级系数都是8的概率．20．(本小题满分12分)已知椭圆M 的中心为坐标原点，且焦点在x 轴上，若M 的一个顶点恰好是抛物线28y x =的焦点，M 的离心率12e =，过M 的右焦点F 作不与坐标轴垂直的直线l ，交M 于A ，B 两点．(1)求椭圆M 的标准方程；(2)设点N (t ，0)是一个动点，且()NA NB AB +⊥，求实数t 的取值范围．21．(本小题满分12分)已知函数ln ()(exx kf x k +=为常数，e ＝2.71828…是自然对数的底数)，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行． (1)求()f x 的单调区间； (2)设()()g x xf x '=，其中()f x '为()f x 的导函数．证明：对任意20,()1e x g x -><+．选考题请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，12O O 与相交于A 、B 两点，AB 是2O 的直径，过A 点作1O 的切线交2O于点E ，并与BO 1的延长线交于点P ，PB 分别与1O 、2O 交于C ，D 两点．求证：(1)PA ·PD ＝PE ·PC ； (2)AD ＝AE ．23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线2:sin 2cos L ρθθ=，过点A (5，α)(α为锐角且3tan 4α=)作平行于()4R πθρ=∈的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点．(1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L 和直线l 的普通方程； (2)求|BC |的长．24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知关于x 的不等式2|21||1|log x x a +--≤(其中0a >)． (1)当4a =时，求不等式的解集；(2)若不等式有解，求实数a 的取值范围．中原名校2012—2012学年上期高三第一次联考文科数学参考答案二、填空题： 13．－1 14．95 15．(－1，4) 16．π288选填解法提示：1．;12,6,4,3,2,1=x 集合中的元素是1,2,3,4,6,12；所以集合共有6个元素，选B ；2．有题知：211221202<<⇒⎩⎨⎧><⇒⎩⎨⎧->->-k k k k k k ，故选C ；3．因为,244444|2|22=++=++=+b ab a 故选A ；4．(估算)因为2012193644,201220254522<=>=，故选B ． 5．因为甲的中位数是0.063，乙的中位数是0.062，故C ；6．逐个判断；A 的否命题是“若1,12≤≤x x 则”，B ：正确，故选B ； 7．由题知：⎩⎨⎧=+=⇒⎩⎨⎧=++=5272211121111q a a q a q a q a a q a 消去025221=+-q q a 得 ∵;2.0=∴>q q 故选A ；8．由图知；圆锥底面半径r ＝2，圆锥母线π16)(π,6324=+==+=l r r S l 全面积，故选C9．由)(,4π2)8π(x f f =-=φ得递增区间是π,23π24π22ππ2+≤+≤+k x k 解得π23π24π22ππ2+≤+≤+k x k ，取]8π5,8π[0得=k 故选D ；10．由题知02),(22222<-+∴+>c ac a c a ab ,2,0))(2(c a c a c a <∴<+-即即：2>e ，故选C ；11．不妨设,21x x <由题及图像可知),1(log )1(log 2313->--x x,1)1)(1(,0)1)(1(log 12123<--<--∴x x x x 即,2121x x x x +<∴故选D ；12．0)('2)('2=++=x f b ax x x f 由题知 的零点)2,1(),1,0(21∈∈x x ，由此可知：⎪⎩⎪⎨⎧>++<++>⇒⎪⎩⎪⎨⎧><>022402100)2('0)1('0)0('b a b a b f f f 划出可行域△ABC ，利用斜率公式可得12--a b 的范围是)1,41(，故选D ； 13．解析：i i i i i i i i -=-=-+--=+-1010)3)(3()3)(31(131，所以 所求虚部为－1； 14．解析：由,32)4πcos(=+a 得;952sin ,942sin 1,32cos sin =∴=-∴=-a a a a 15．解析：由,33)(,11)21()(2++-=->-=x x x g x f x 若存在设b a ,使得)()(b g a f =成立，则必有;41:,043,133)(22<<-<--∴->++-=b b b b b b g 解得 16．解析：∵△ABC 是直角三角形，AC AC 取,10=∴的中点M ，则M 是三角形ABC的外心，设11C A 的中点设N ，则MN 的中点O 就是直三棱柱外接球的球心，π288π34,6115,1121,5321==∴=+=∴===R V R AA OM MB ； 三、解答题： 17．(1),21)6π2sin(212cos 212sin 23)(--=--=x x x x f ωωω……(3分) 由2π2π2=ω，得2=ω 21)6π4sin()(--=∴x x f ……(6分)(2)212222cos 22222=-≥-+=-+=bc bc bc bc bc c b bc a c b A ．……(8分) A 为三角形内角，所以3π0≤<A ……(10分) 21)(1,1)6π4sin(21,6π76π46π≤≤-∴≤-≤-≤-<-∴A f A A ……12分18．(Ⅰ)∵侧面11A ABB 是菱形，且∠AB A AB A 11,60∆∴=为正三角形． 又∵点M 为AB 的中点，∴M A 1⊥AB ，由已知A 1M ⊥AC ，∴A 1M ⊥平面ABC ．(6分) (Ⅱ)作ME ⊥AC 于E ，连接E A 1，作MO ⊥E A 1于O ，由已知M A 1⊥AC ，又∵ME ⊥AC ，∴AC ⊥面ME A 1, 由MO ⊂面ME A 1，得AC ⊥MO ，∵MO ⊥E A 1，且⊂E A 1面∴=⋂,,111E AC E A ACC A MO ⊥面A 1ACC 1， 于是MO 即为所求，……(8分)∵菱形ABB 1A 1边长为2，易得,215,3,2311===E A M A ME ∴.515=MO ……(12分) 解法2(等积法)利用AMC A C AA M V V --=11(类比给分)19．【解析】(1)由样本数据知，30件产品中，一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件．……(3分)∴样本中一等品的频率为2.0306=， 故估计该厂生产的产品的一等品率为0.2，……(4分)二等品的频率为3.0309=，故估计该厂产品的二等品率为0.3，……(5分) 三等品的频率为5.03015=，故估计该厂产品的三等品率为0.5．……(6分) (2)样本中一等品有6件，其中等级系数为7的有3件， 等级系数为8的也有3件，……(7分)记等级系数为7的3件产品分别为321C C C 、、，等级系数为8的3件产品分别为321P P P 、、，则从样本的一等品中随机抽取2件的所有可能为：),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(322212323121113121P C P C P C C C P C P C P C C C C C ),,(),,(),,(),,(),,(),,(323121332313P P P P P P P C P C P C 共15种，(10分)记从“一等品中随机抽取2件，2件等级系数都是8”为事件A ， 则A 包含的基本事件有),(),,(),,(323121P P P P P P 共3种，……(11分)故所求的概率.51153)(==A P ……(12分) 20．(Ⅰ)x y 82= 的焦点是1,21,2),0,2(=∴===∴c ac e a 又而,314222=-=-=c a b故椭圆M 的标准方程为：13422=+y x ……4分 (Ⅱ)设)0,R (1:),,(),,(2211≠∈+=m m my x l y x B y x A 设096)43(13412222=-++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=my y m y x my x。
中原名校2013年高考仿真统一考试文数(扫描版)
中原名校2013年高考仿真统一考试文科数学参考答案一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.A2.C 3A. 4 A. 5. B. 6. B 7. A 8.C 9. A 10.D. 11. D. 12. C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13.3613 14. 31 15.4024 16. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡95,73 三、解答题：17.【解析】(1)由a n =n S n+2(n-1)，得S n =na n -2n(n-1)(n ∈N *). 当n≥2时，a n =S n -S n-1=na n -(n-1)a n-1-4(n-1),即a n -a n-1=4,∴数列{a n }是以a 1=1为首项，4为公差的等差数列. ..........4分则a n =4n-3,S n =1n (a a )n 2+ =2n 2-n(n ∈N *). ..........6分 (2)由题意，T n =122334n n 11111a a a a a a a a ++++⋯+=11111559913(4n 3)(4n 1)+++⋯+⨯⨯⨯-⨯+ =11111111[(1)()()()]45599134n 34n 1-+-+-+⋯+--+=11n n 1(1).44n 14n 14n 4-==++＜..........10分 又易知T n 单调递增，故T n ≥T 1=1,5∴T n 的取值范围为15≤T n ＜1.4.........12分 18.【解析】(1)从频率分布直方图中可以看出，成绩在[13,14)的人数为50×0.04＝2(人)，设为a ，b ；成绩在[17,18]的人数为50×(1-0.38-0.34-0.18-0.04)＝3(人)，设为A ，B ，C.…………………………………………………2分m,n ∈[13,14)有ab 一种情况；m,n ∈[17,18]时有AB ，AC ，BC 三种情况；m,n 分别在[13,14)和[17,18]时有aA,aB,aC,bA,bB,bC 六种情况，所有基本事件总数为10.……………4分 而事件“｜m-n ｜＞2”由6个基本事件即aA,aB,aC,bA,bB,bC 组成.所以()531062==>-n m p …………6分 (2)依题意得到相应的2×2列联表如下:由于8.333>6.635,故在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“体育达标与性别有关”. 故可以根据男女生性别划分达标的标准. ………………12分19.【解析】(1)因为PA ⊥平面ABC,所以PA ⊥BC,又AC ⊥BC,所以BC ⊥平面PAC,所以BC ⊥AD.由三视图可得，在△PAC 中，PA=AC=4,D 为PC 中点，所以AD ⊥PC,又BC∩PC=C ，所以AD ⊥平面PBC. ...................4分(2)由三视图可得BC=4，由(1)知∠ADC=90°,BC ⊥平面PAC ，又三棱锥D-ABC 的体积即为三棱锥B-ADC 的体积，所以，所求三棱锥的体积1116V 22224.323=⨯⨯⨯⨯=......8分 (3)取AB 的中点O ，连接CO 并延长至Q ，使得CQ=2CO ，点Q 即为所求.连接OD ，因为O 为CQ 中点，所以PQ ∥OD,因为PQ ⊄平面ABD ，OD ⊂平面ABD ，所以PQ ∥平面ABD ，连接AQ ，BQ ，四边形ACBQ 的对角线互相平分，所以ACBQ 为平行四边形，所以AQ=4，又PA ⊥平面ABC ，所以在直角△PAQ 中，22PQ AP AQ 4 2.=+=.....12分20、解：（I ）由.3,22121c b c a a c e =∴===即得21.【解析】(1)f′(x)=x 2+2ax+b, 由题设知⎪⎩⎪⎨⎧=++='=++=221)2(231)1(b a f b a f ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=3732b a ................4分 (2)由(1)知g(x)=3m (x 3-2x 2)， g′(x)=mx(x -34),当m ＞0时，g(x)在(-∞,0),(34 ,+∞)上递增，在(0，34)上递减，所以g(x)的极小值为g(34)=-8132m; 当m ＜0时，g(x)在(-∞,0)，(34,+∞)上递减，在(0，34)上递增， 所以g(x)的极小值为g(0)=0..............................8分（3）因为f(x)在区间(1，2)内存在两个极值点，所以f′(x)=0，即x 2+2ax+b=0在(1，2)内有两个不等的实根。
2013年高考全国1卷文科数学试题及答案(详细解析版,精校版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国I 卷）文科数学一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ={1,2,3,4}，B ={x |x =n 2,n ∈A }，则A ∩B =A ．{1,4}B ．{2,3}C ．{9,16}D ．{1,2}2．212i 1i +(-)= A ．1-1-i 2 B ．1-1+i 2 C ．11+i 2 D ．11-i 23．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是A ．12B ．13C ．14D ．164．已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a >0,b >0)的离心率为2，则C 的渐近线方程为 A ．y=14x ± B ．y=13x ± C ．y=12x ± D ．y=±x 5．已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3=1-x 2，则下列命题中为真命题的是A ．p ∧qB ．﹁p ∧qC ．p ∧﹁qD ．﹁ p ∧﹁q6．设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则A ．S n =2a n -1B ．S n =3a n -2C ．S n =4-3a nD ．S n =3-2a n7．执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[-1,3]，则输出的S 属于A ．[-3,4]B ．[-5,2]C ．[-4,3]D ．[-2,5]8．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2=的焦点，P 为C 上一点，若|PF |=POF 的面积为A ．2B ．C ．D ．49．函数f (x )=(1-cos x )sin x 在[-π,π]的图像大致为10．已知锐角ΔABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ， 23cos 2A +cos2A =0， a =7，c =6，则b =A ．10B ．9C ．8D ．511．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π12．已知函数f (x )=22,0,ln(1),0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩若|f (x )|≥ax ， 则a 的取值范围是A ．(-∞,0]B ．(-∞,1]C ．[-2,1]D ．[-2,0]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．13．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c =t a +(1-t )b . 若b ·c =0，则t =____.14．设x ，y 满足约束条件13,10,x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩则z =2x -y 的最大值为______. 15．已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH :HB =1:2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______.16．设当x =θ时，函数f (x )=sin x -2cos x 取得最大值，则cos θ=______.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.只做6题，共70分.17．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3=0，S 5=－5.(1)求{a n }的通项公式； (2)求数列21211{}n n a a -+的前n 项和．18．(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药,B 药)的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h)．试验的观测结果如下：服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.93.0 3.1 2.3 2.4服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41.6 0.5 1.8 0.62.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)19．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB=CB=2，A1C，求三棱柱ABC-A1B1C1的体积．20．(本小题满分12分)已知函数f(x)=e x(ax+b)-x2-4x，曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=4x+4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．21．(本小题满分12分)已知圆M：(x+1)2+y2=1，圆N：(x-1)2+y2=9，动圆P与圆M外切并且与圆N 内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A,B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB=DC；(2)设圆的半径为1，BC，延长CE交AB于点F，求ΔBCF外接圆的半径.23 ．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|，g(x)=x+3.(1)当a=-2时，求不等式f(x)<g(x)的解集；(2)设a>-1，且当x∈1[,)22a-时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．2013年高考全国1卷文科数学参考答案12．解：212i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-=11+i 2- 3．解：依题所有基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)共6种，满足条件的事件数是2种，所以所求的概率为13. 4．解：依题2254c a =. ∵c 2=a 2＋b 2，∴2214b a =，∴12b a =. ∴渐近线方程为12y x =± 5．解：由20=30知，p 为假命题．令h (x )=x 3-1+x 2，∵h (0)=-1<0，h (1)=1>0， ∴h (x )=0在(0,1)内有解．∴∃x ∈R ，x 3=1-x 2，即命题q 为真命题．由此可知只有⌝p ∧q 为真命题．6．解：121(1)/133n n n a a q S a q -==--=3-2a n 7．解：当－1≤t <1时，s =3t ，则s ∈[-3,3)．当1≤t ≤3时，s =4t -t 2. ∵该函数的对称轴为t =2，∴s max =4，s min =3. ∴s ∈[3,4]．综上知s ∈[-3,4]8．解：利用|PF |=P x =x P =∴y P =±∴S △POF =12|OF |·|y P |=9．解：由f (x )=(1-cos x )sin x 知其为奇函数．可排除B ．当x ∈π(0,)2时，f (x )>0，排除A. 当x ∈(0,π)时，f ′(x )=sin 2x +cos x (1-cos x )=-2cos 2x +cos x +1.令f ′(x )=0，可得2π3x =. 故极值点为2π3x =，可排除D ，故选C. 10．解：由23cos 2A +cos 2A =0，得cos 2A =125. ∵A ∈π(0,)2，∴cos A =15. ∵cos A =236491265b b +-=⨯，解得b =5或135b =-(舍)．故选D. 11．解：该几何体为一个半圆柱的上面后方放一个长方体组成的一个组合体．V 半圆柱=12π×22×4=8π，V 长方体=4×2×2=16. 所以体积为16＋8π. 故选A 12．解：可画出|f (x )|的图象如图所示．当a >0时，y =ax 与y =|f (x )|恒有公共点，所以排除B,C;当a ≤0时，若x >0，则|f (x )|≥ax 恒成立；若x ≤0，则以y =ax 与y =x 2-2x 相切为界限，联立y =ax 与y =x 2-2消去y 得x 2-(a +2)x =0. ∵Δ=(a +2)2=0，∴a =-2. ∴a ∈[-2,0]．故选D.二、填空题：13．2 1 4．3 15．9π216．5- 13．解：依题a ·b =111122⨯⨯=，b ·c = t a ·b +(1-t )b 2 =0，∴12t +1-t =0. ∴t =2. 14．解：作出可行域如图所示．画出初始直线l 0:2x -y =0，l 0平移到l ，当直线l 经过点A (3,3)时z 取最大值，z =2×3-3=3.15．解：如图，π·EH 2=π，∴EH =1，设球O 的半径为R ，则AH =23R ， OH =3R . 在RtΔOEH 中，R 2=22()+13R ， ∴R 2=98. ∴S 球=4πR 2=9π2. 16． 解：∵f (x )=sin x -2cos x x +φ)，其中tan φ=-2，φ是第四象限角.当x +φ=2k π+π2(k ∈Z )时，f (x )取最大值．即θ=2k π+π2-φ(k ∈Z )， ∴cos θ=πcos()2ϕ-=sin φ=5-. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.只做6题，共70分.17．解：(1)设{a n }的公差为d ，则S n =1(1)2n n na d -+. 则11330,5105,a d a d +=⎧⎨+=⎩ …2分 解得a 1=1，d =-1. …4分 故{a n }的通项公式为a n =2-n . …6分(2)由(1)知21211n n a a -+=1111()321222321n n n n =-(-)(-)--， …8分 从而新数列的前n 项和为111111[(11)(1)()][1]23232122112n n T n n n n =--+-++-=--=---- …12分 18．解： (1)设A 药数据的平均数为x B 药观测数据的平均数为y . x =(0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3 +2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+2.9 +3.0+3.1+3.2+3.5)/20=2.3，…3分 y ＝+1.6+1.7+1.8+1.9+2.1+2.4+2.5+2.6+2.7+3.2)/20=1.6. …6分由以上计算结果可得x >y ，因此可看出A 药的疗效更好．(2)绘制茎叶图如图： … 9分 从茎叶图可以看出，A 药疗效数据有710的叶集中在茎“2.”，“3.”上，而B 药疗效数据有710的叶集中在茎“0.”，“1.”上，由此可看出A 药的疗效更好．… 12分19． (1)证：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B .由于AB =AA 1，∠BAA 1=60°，故ΔAA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB . 又CA =CB ，所以OC ⊥AB . …3分因为OC ∩OA 1=O ，所以 AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊂平面OA 1C ，所以AB ⊥A 1C . …6分(2)解：依题ΔABC 与ΔAA 1B 都是边长为2的等边三角形，所以OC =OA 1又A 1C，则A 1C 2=OC 2+OA 12，故OA 1⊥OC ，又OA 1⊥AB ，OC ∩AB =O ，所以OA 1⊥平面ABC ， …9分OA 1为三棱柱ABC -A 1B 1C 1的高． 又ΔABC 的面积S △ABC故三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积V =S △ABC ×OA 1=3. …12分20．解：(1)f ′(x )=e x (ax +a +b )-2x -4. 依题f (0)=4，f ′(0)=4. …3分故b =4，a +b =8. 从而a =4，b =4. …6分(2)由(1)知，f (x )=4e x (x +1)-x 2-4x ，f ′(x )=4e x (x +2)-2x -4=2(x +2)·(2e x -1).令f ′(x )=0得，x =-ln 2或x =-2. …8 分所以在(-∞，-2)与(-ln2，+∞)上，f ′(x )>0；f (x )单调递增．在(-2，-ln 2) 上，f ′(x )<0. f (x )单调递减． …10 分当x =-2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (-2)=-4e －2+4． …12 分21．解：(1)由已知得圆M 的圆心为M (-1,0)，半径r 1=1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2=3. 设圆P 的圆心为P (x ,y )，半径为R .依题， |PM |=R +1. |PN |=3-R . 所以|PM |+|PN |=4. …3 分由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点的椭圆(左顶点除外)，且a =2，c =1，∴b∴C 的方程为22=143x y +(x ≠-2)． …6 分 (2)对于曲线C 上任意一点P (x ,y )，由于|PM |-|PN |=2R -2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R =2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x -2)2+y 2=4. …7 分若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB|= …8 分若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，可设l 与x 轴的交点为Q (m ,0)，由1||222||1QP R m QM r m-===--即，解得m =-4. 所以Q (-4,0)，故可设l ：y =k (x ＋4)．由l 与圆M=1，解得k=4±.当k=4时，将4y x =代入22=143x y +，并整理得7x 2+8x -8=0， 解得x=47-±，所以|AB|x 2-x 1|=187. …10分 当k=4-时，由图形的对称性可知|AB |=187. 综上，|AB|=|AB |=187. …12 分 22．(1)证明：连结DE ，交BC 于点G . 由弦切角定理得，∠ABE =∠BCE . 而∠ABE =∠CBE ，故∠CBE =∠BCE ，所以BE =CE . 又因为DB ⊥BE ，所以DE 为直径，所以∠DCE =90°，由勾股定理可得DB =DC . …5分(2)解：由(1)知，∠CDE =∠BDE ，DB =DC ，故DG 是BC 的中垂线，所以BG. 设DE 的中点为O ，连结BO ， 则∠BOG =60°. 从而∠ABE =∠BCE =∠CBE =30°，所以CF ⊥BF ，故RtΔBCF. …10分 23．解：(1)将45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程(x -4)2+(y -5)2=25， 将x=ρcos θ, y=ρsin θ代入整理得C 1的极坐标方程为ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. …5分(2)C 2的普通方程为x 2+y 2-2y =0. 联立C 1的方程x 2+y 2 -8x -10y +16=0，解得交点为(1,1)与(0,2)，其极坐标分别为π)(2,)42π与. …10分 24．解：(1)当a =-2时，不等式f (x )>g (x )化为|2x -1|+|2x -2|-x -3<0. 设函数y =|2x -1|+|2x -2|-x -3，则y =15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0.所以原不等式的解集是{x |0<x <2}． …5分(2)当a >-1，且x ∈1[,)22a -时，f (x )=1+a . 不等式f (x )≤g (x )化为1+a ≤x +3. 所以x ≥a -2对x ∈1[,)22a -都成立．故2a -≥a -2，即a ≤43. 从而a 的取值范围是4(1,]3-. …10分。
2013年河南省新乡、许昌、平顶山高考数学一模试卷(文科)(J)
2013年河南省新乡、许昌、平顶山高考数学一模试卷（文科）(J)副标题一、选择题（本大题共12小题，共12.0分）1.设集合，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，，故选：A．根据题意，分析集合B，解，可得集合B，再求AB的并集可得答案．本题主要考查集合的基本运算以及简单的不等式的解法属于基础知识、基本运算的考查．2.在复平面内复数，对应的点分别为A，B，若点C为线段AB的中点，则点C对应的复数是A. 1B.C. iD.【答案】B【解析】解：，同理可得，由中点坐标公式可得C：故点C对应的复数是故选：B．由复数的代数运算可化简AB的坐标，进而由中点坐标公式可得C的坐标，可得对应的复数．本题考查复数的代数运算和几何意义，属基础题．3.设函数，则是A. 最小正周期为的奇函数B. 最小正周期为的偶函数C. 最小正周期为的奇函数D. 最小正周期为的偶函数【答案】B【解析】解：函数且函数是最小正周期为的偶函数故选：B．先利用诱导公式将原函数变换为，再利用的周期公式和偶函数的定义证明函数的周期性和奇偶性即可本题考察了三角函数的图象和性质，型函数的周期性和奇偶性的判断方法4.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示单位：，则该几何体的体积为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：三视图复原的几何体，下部是放倒的四棱柱，底面是直角梯形，边长分别为：3，2，1，；高为：1；上部是正方体，也可以看作是三个正方体和半个正方体的组合体，所以几何体的体积为：，故选：C．三视图复原的几何体，下部是放倒的四棱柱，上部是正方体，根据三视图的数据，求出几何体的表面积．本题是基础题，考查几何体的三视图的视图能力，计算能力，空间想象能力，转化思想的应用．5.下列命题中的假命题是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】解：对于A，，所以A不正确；因为，所以B正确；因为，当恒成立，所以C正确；由指数函数的性质可知D正确．故选：A．利用三角函数的值域的范围判断A的正误；正切函数的值域判断B的正误；对数函数的性质判断C的正误；指数函数的性质判断D的正误；本题考查函数的基本性质，函数的单调性，特殊命题与全称命题的判断，考查基本知识的应用．6.已知，，向量与垂直，则实数的值为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：已知，，向量与垂直，，即：，，．故选：A．先求出向量与的坐标，再利用2个向量垂直，数量积等于0，求出待定系数的值．本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，求得，是解题的关键．7.如果双曲线的渐近线方程渐近线为，则双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：双曲线方程为，，得，因此双曲线的渐近线方程，即，得，所以双曲线的离心率故选：D．根据双曲线方程得，结合双曲线的渐近线方程，得，即，再利用离心率的计算公式即可算出该双曲线的离心率．本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．8.若是锐角，且，则的值等于A. B. C. D.【答案】A【解析】解：是锐角，，又，．．故选：A．由于，利用两角差的正弦即可求得的值．本题考查两角和与差的正弦，求得是基础，考查转化与运算能力，属于中档题．9.某学校对高一新生的体重进行了抽样调查右图是根据抽样调查后的数据绘制的频率分布直方图，其中体重单位：的范围是，样本数据分组为，，，，，已知被调查的学生中体重不足55kg的有36，则被调查的高一新生体重在50kg至65kg的人数是A. 90B. 75C. 60D. 45【答案】A【解析】解：由题意可知：被调查的学生中体重不足55kg的频率是，样本容量是被调查的高一新生体重在50kg至65kg的人数是故选：A．先确定样本容量，再根据被调查的高一新生体重在50kg至65kg的频率，即可求得结论．本题是对频率、频数运用的简单考查，考查学生的读图能力，属于基础题．10.设是等比数列，则“”是“数列是递增数列”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：是等比数列，则由“”可得数列是递增数列，故充分性成立．若数列是递增数列，则一定有，故必要性成立．综上，“”是“数列是递增数列”的充分必要条件，故选：C．根据题意，由“”可得数列是递增数列；当数列是递增数列，则一定有，可得这两个条件互为充要条件．本题考查充分条件、必要条件的定义，递增数列的定义，判断充分性是解题的难点，属于中档题．11.已知一组样本点其中，2，3，，30根据最小二乘法求得的回归方程是则下列说法正确的是A. 若所有样本点都在上，则变量间的相关系数为1B. 至少有一个样本点落在回归直线上C. 对所有的预报变量2，3，，，的值一定与有误差D. 若斜率则变量x与y正相关【答案】D【解析】解：所有样本点都在上，则变量间的相关系数为，故A错误；回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上，故B错误；若所有的样本点都在上，则的值与相等，故C错误；相关系数r与b符号相同，若斜率，则，样本点应分布从左到右应该是上升的，则变量x与y正相关，故D正确；故选：D．根据相关系数绝对值为1时，即，所有样本点都在上，可得A错；根据样本点可能全部不在回归直线上，可得B错误；根据所有的样本点都在上时，变量之间的关系为函数关系，此时的值与相等，可判断C错误；根据相关系数r与b符号相同，故可得变量x与y正相关，可判断D正确；本题考查的知识点是线性回归及最小二乘法，其中熟练掌握最小二乘法的相关基本概念是解答的关键．12.对于的实数a，当x，y满足时，A. 只有最大值，没有最小值B. 只有最小值，没有最大值C. 既有最小值也有最大值D. 既没有最小值也没有最大值【答案】C【解析】解：因为是恒过点的直线系，所以x，y满足，的可行域如图：是三角形ABC的区域，当目标函数经过可行域的B点时，目标函数确定最小值；目标函数经过可行域的A点时，目标函数确定最大值．故选：C．由题意画出约束条件表示的可行域的图形，然后判断目标函数的最值情况．本题考查简单线性规划的应用，注意可行域中直线系与可行域的形状，目标函数经过的特殊点是解题的关键．二、填空题（本大题共4小题，共4.0分）13.圆心在直线上且与直线切于点的圆的方程为______．【答案】【解析】解：设圆心坐标为，则，解得，，所以，所以要求圆的方程为．故答案为：．设出圆心坐标，列方程组解之其中由圆心在直线上得出一个方程；再由圆心到直线的距离即半径得出另一个方程．本题主要考查方程思想及点到线的距离公式，圆的方程的求法，考查计算能力．14.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则最小值为______．【答案】【解析】解：在中，由余弦定理得：，又，代入式有：，当且仅当时取“”．最小值为．故答案为：．利用余弦定理可得，与已知条件联立，再利用基本不等式即可求得最小值．本题考查余弦定理与基本不等式的综合应用，属于中档题．15.甲、乙两名同学从四门选修课中各选修两门，则两人所选课程中恰有一门相同的概率为______．【答案】【解析】解：设四门选修课分别为a，b，c，d．甲、乙两名同学从四门选修课中各选修两门分别有以下6种情况：ab，ac，ad，bc，bd，cd．所以共有个基本事件．则两人所选课程中恰有一门相同的情况包括以下情况：，，，，，，；，，，，，；，，，，；，，，，，等共有基本事件的个数为．设两人所选课程中恰有一门相同的事件为P，则．故答案为．甲、乙两名同学从四门选修课中各选修两门的基本事件的总数为，两人所选课程中恰有一门相同的事件包含的基本事件的个数为，据此即可得出答案．正确列举总的基本事件个数及该事件所包含的基本事件的个数是解题的关键．16.若关于x的方程有三个不等实数根，则实数k的取值范围是______．【答案】【解析】解：由题意可知，当时：，或当时：综上方程的根一正，一负，一个为0，k的范围是故答案为：先对方程进行整理转化为二次方程，然后根据x的正负情况进行去绝对值讨论，再由二次函数的性质可得到最后答案．本题主要考查二次函数根的存在和个数的判断考查对二次函数的性质的认识和理解．三、解答题（本大题共8小题，共8.0分）17.根据如图的程序框图，将输出的x，y值依次分别记为，，，；，，，Ⅰ写出数列，的通项公式不要求写出求解过程Ⅱ求数列的前n项和【答案】解：Ⅰ，，．Ⅱ，．【解析】Ⅰ通过程序框图可得到，，；Ⅱ依题意，利用分组求和的方法即可求得数列的前n项和．本题考查程序框图与数列的求和，识图是关键，考查分析与运算、识图的能力，属于中档题．18.在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，面面ABCD，，，点M是棱PD的中点Ⅰ求证：平面PAB；Ⅱ求四棱锥的体积．【答案】证明：取PA的中点N，连接BN、NM，在中，，且；又，且，所以，即四边形BCMN为平行四边形，．又平面PAB，平面PAB，故C平面PAB．解：取AB中点E，连接PE，E为AB中点又面面ABCD，面面，面PAB面ABCD，四棱锥的体积即四棱锥的体积为【解析】为PD的中点，要证平面PAB，取PA的中点N，只需证明直线CM 平行平面PAB内的直线BN即可；取AB中点E，连接PE，利用等腰三角形三线合一，可得，再由面ABCD结合面面垂直的性质，可得面ABCD，即PE为四棱锥的高，代入棱锥体积公式可得答案．本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，棱锥的体积，其中熟练掌握线面平行的判定定理是解答的关键，而求出棱锥高为PE是解答的关键．19.某次体育比赛团体决赛实行五场三胜制，且任何一方获胜三场比赛即结束甲，乙两个代表队最终进入决赛，根据双方排定的出场顺序及以往战绩统计分析，甲队依次派出的五位选手分别战胜对手的概率如下表：若甲队横扫对手获胜即3：0获胜的概率是，比赛至少打满4场的概率为Ⅰ求p，q的值Ⅱ甲队以什么样的比分获得决赛胜利的可能性最大？【答案】解：Ⅰ由题意可得：，解得；Ⅱ设甲队以3：0取胜，甲队以3：1取胜，甲队以3：2取胜，则，，．，甲队以3：1获得胜利的可能性最大．【解析】Ⅰ由题意可得：，解之即可；Ⅱ设甲队以3：0取胜，甲队以3：1取胜，甲队以3：2取胜，分别求解即可比较大小，即可得答案．本题考查相互独立事件的概率公式，理清事件与事件之间的关系是解决问题的关键，属中档题．20.在平面直角坐标系xOy中，点，点A在x轴上，点B在y轴非负半轴上，点M满足：，Ⅰ当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹C的方程；Ⅱ设Q为曲线C上一点，直线l过点Q且与曲线C在点Q处的切线垂直，l与C 的另一个交点为R，若以线段QR为直径的圆经过原点，求直线l的方程．【答案】解：Ⅰ设A坐标是，M坐标是，，则，，，有，即有，，即，，有，即C的方程是；Ⅱ设，直线l的斜率为k，则，直线l的方程为与联立，消去y可得，该方程必有两根m与，且，，，直线l的方程为．【解析】Ⅰ利用，可得坐标之间的关系，利用，即可求得C 的方程；Ⅱ设出直线l的方程与联立，利用韦达定理，结合，可得结论．本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查直线与抛物线的位置关系，正确运用向量知识是关键．21.已知函数在定义域内不是单调函数．Ⅰ求函数的极值Ⅱ对于任意的及，求证．【答案】解：，且在定义域内不是单调函数令，则当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；当时，函数取极小值，函数没有极大值；证明：设，则由知，，当故恒成立从而有在R上单调递增当时，故．【解析】根据函数的解析式，求出其导函数的解析式，根据原函数在定义域内不是单调函数，可得导函数在定义域内符号有正有负，进而求出，分析函数的单调性，即可判断出函数的极值Ⅱ构造函数，则，根据中结论，可判断出时，恒成立，即在R上单调递增，故时，，进而得到结论．本题是指数函数与导数的综合应用，考查了利用导数求极值，及确定函数单调性的方法和步骤，熟练掌握导数法在求极值和单调性时的方法和步骤是解答的关键．22.如图所示四边形ABCD内接于E、O，AC交BD于点E，圆的切线DF交BC的延长线于F，CD平分Ⅰ求证：Ⅱ若圆的半径为2，弦BD长为，求切线DF的长．【答案】Ⅰ证明：由弦切角定理可知，∽；Ⅱ解：连接OD，OB在中，，，在直角中，切线DF的长为．【解析】Ⅰ证明 ∽ ，可得，从而可得结论；Ⅱ连接OD，OB，利用，，可得，从而可得，即可求切线DF的长．本题考查三角形相似的判定，考查弦切角定理，考查学生的计算能力，属于中档题．23.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知点P的极坐标为，直线l过点P，且倾斜角为，方程所对应的曲线经过伸缩变换后的图形为曲线C．Ⅰ求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标系方程．Ⅱ直线l与曲线C相交于两点A，B，求的值．【答案】解：Ⅰ的直角坐标为直线l过点P，且倾斜角为，直线l的参数方程为为参数伸缩变换，代入，可得，即曲线C的直角坐标系方程为；Ⅱ直线l的参数方程为，代入曲线C可得设方程的根为，，则；【解析】Ⅰ确定P的直角坐标，利用直线l过点P，且倾斜角为，可得直线l的参数方程；确定坐标之间的关系，代入方程，化简可得结论；Ⅱ直线l的参数方程，代入曲线方程，利用参数的几何意义，即可求的值．本题考查直线的参数方程，考查代入法求轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查参数的几何意义，属于中档题．24.已知实数且函数的值域为Ⅰ求实数a的值；Ⅱ若至少存在一个实数m，使得成立，求实数n的取值范围．【答案】解：实数由函数的值域为解得故的最小值为若至少存在一个实数m，使得成立，仅须【解析】根据绝对值的性质，可得，进而根据函数的值域为P，求出a值；由构造函数，并结合绝对值的性质，求出函数的最大值，进而得到实数n的取值范围．本题考查的知识点是带绝对值的函数，其中熟练掌握绝对的性质是解答的关键．。
2013年高考文科数学全国卷1(含详细答案)
数学试卷 第1页（共33页）数学试卷 第2页（共33页）数学试卷 第3页（共33页）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)文科数学使用地区：河南、山西、河北注意事项：1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至6页.2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,2,3,4}A =,2{|,}B x x n n A ==∈,则A B = ( )A .{1,4}B .{2,3}C .{9,16}D .{1,2} 2.212i (1i)+=-( )A .11i 2--B .11i 2-+C .11i 2+D .11i 2-3.从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是 ( )A .12B .13C .14D .164.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为52,则C 的渐近线方程为 ( )A .14y x =±B .13y x =±C .12y x =±D .y x =± 5.已知命题p ：x ∀∈R ,23x x<；命题q ：x ∃∈R ,321x x =-,则下列命题中为真命题的是( )A .p q ∧B .p q ⌝∧C .p q ∧⌝D .p q ⌝∧⌝ 6.设首项为1,公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,则( )A .21n n S a =-B .32n n S a =-C .43n n S a =-D .32n n S a =-7.执行如图的程序框图,如果输入的[1,3]t ∈-,则输 出的s 属于( )A .[3,4]-B .[5,2]-C .[4,3]-D .[2,5]-8.O 为坐标原点,F 为抛物线C :242y x =的焦点,P 为C 上一点,若||42PF =,则POF △的面积为( )A .2B .22C .23D .49.函数()(1cos )sin f x x x =-在[π,π]-上的图象大致为( )10.已知锐角ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,223cos cos20A A +=,7a =,6c =,则b =( )A .10B .9C .8D .5 11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A .168π+B .88π+C .1616π+D .816π+12.已知函数22,0()ln(1),0.x x x f x x x ⎧-+=⎨+⎩≤，＞若|()|f x ax ≥,则a 的取值范围是( )A .(,0]-∞B .(,1]-∞C .[2,1]-D .[2,0]-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.已知两个单位向量a ,b 的夹角为60,(1)t t =+-c a b ,若0=b c ,则t =________.14.设x ,y 满足约束条件13,10,x x y ⎧⎨--⎩≤≤≤≤,则2z x y =-的最大值为________.15.已知H 是球O 的直径AB 上一点,:1:2AH HB =,AB ⊥平面α,H 为垂足,α截球O 所得截面的面积为π,则球O 的表面积为________.16.设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=________. 三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =,55S =-. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列21211{}n n a a -+的前n 项和.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共33页）数学试卷 第5页（共33页） 数学试卷 第6页（共33页）18.（本小题满分12分）为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药,B 药)的疗效,随机地选取20位患者服用A 药,20位患者服用B 药,这40位患者服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h ).试验的观测结果如下： 服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间： 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间： 3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5（Ⅰ）分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好？ （Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好？A 药B 药0. 1. 2.3.19.（本小题满分12分）如图,三棱柱111ABC A B C -中,CA CB =,1AB AA =,160BAA ∠=. （Ⅰ）证明：1AB AC ⊥； （Ⅱ）若2AB CB ==,16A C =,求三棱柱111ABC A B C -的体积.20.（本小题满分12分）已知函数2()e ()4x f x ax b x x =+--,曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为44y x =+.（Ⅰ）求a ,b 的值；（Ⅱ）讨论()f x 的单调性,并求()f x 的极大值.21.（本小题满分12分）已知圆M :22(1)1x y ++=,圆N :22(1)9x y -+=,动圆P 与圆M 外切并且与圆N内切,圆心P 的轨迹为曲线C . （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A ,B 两点,当圆P 的半径最长时,求||AB .请考生在第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲如图,直线AB 为圆的切线,切点为B ,点C 在圆上,ABC ∠的角平分线BE 交圆于点E ,DB 垂直BE 交圆于点D .（Ⅰ）证明：DB DC =；（Ⅱ）设圆的半径为1,3BC =,延长CE 交AB 于点F ,求BCF △外接圆的半径.23.（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为45cos ,55sin ,x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=. （Ⅰ）把1C 的参数方程化为极坐标方程； （Ⅱ）求1C 与2C 交点的极坐标(0,02π)ρθ≥≤＜.24.（本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲已知函数()|21||2|f x x x a =-++,()3g x x =+. （Ⅰ）当2a =-时,求不等式()()f x g x ＜的解集；（Ⅱ）设1a -＞,且当1[,)22a x ∈-时,()()f x g x ≤,求a 的取值范围.2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)文科数学答案解析第Ⅰ卷3/ 114当0a ＞时，y ax ＝与()y f x ＝恒有公共点，所以排除()5 / 11由2,2,y ax y x x =⎧⎨=-⎩得22()0x a x －＋＝． ∵22()0a ∆＝＋＝，∴2a ＝－． ∴,0[]2a ∈－；故选D ．第Ⅱ卷0=b c ，a 1112⨯⨯＝a b 1(0[)]t t ＝＋－＝b c a b b ，即1()t ＋－a b b 1120t t ＋－＝；∴2t ＝． 【答案】3【解析】画出可行域如图所示。
河南省六市2013届高三毕业班第一次联合考试数学文试题
2013年河南省六市高中毕业班第一次联考数 学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卷面清洁，不折叠，不破损。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分,共60分．在每小题给出的代号为A 、B 、C 、D 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．全集U ＝R ，集合A ＝{x ｜2x －x －2＞0}，B ＝{x ｜1＜2x ＜8)，则（C U A ）∩B 等于A ．[－1，3）B ．（0，2]C ．（1，2]D ．（2，3）2．复数z ＝2(1)1i i＋－（i 是虚数单位）则复数z 的虚部等于 A ．1 B ．i C ．2 D ．2i3．已知向量a ＝（tan θ，－1），b ＝（1，－2），若（a ＋b ）⊥（a －b ），则tan θ＝A ．2B ．－2C ．2或－2D ．04．已知正项数列{n a }中，a 1＝1，a 2＝2，22n a ＝21n a ＋＋21n a -（n ≥2），则a 6等于 A ．16 B ．8C ．2D ．45．函数f （x ）＝lnx ＋ax 存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是A ．（－∞，2]B ．（－∞，2）C ．（2，＋∞）D ．（0，＋∞）6．“m ＜1”是”函数f （x ）＝2x ＋x ＋m 有零点“的A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．如果执行下面的框图，输入N ＝2012,则输出的数等于A ．2011×22013＋2B ．2012×22012－2C ．2011×22012＋2D ．2012×22013－28．若A 为不等式组0,0,2x y x ⎧⎪⎨⎪⎩≤y ≥－≤表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为A ．74B ．32C ．34D ．19．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A3B．23C3D．2π＋3310．已知双曲线2221xa b 2y－＝（a＞0，b＞0）的渐近线与圆2(2)1x 2＋y＝相交，则双曲线的离心率的取值范围是A．（1，3）B．（33，＋∞）C．（1，233）D．（3，＋∞）11．球O的球面上有四点S、A、B、C，其中O、A、B、C四点共面，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S－ABC的体积的最大值为A．1 B．13C3D．3312．已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x＋6）＋f（x）＝2f（3），y＝f（x－1）的图像关于点（1，0）对称，且f（4）＝4，则f（2012）＝A．0 B．－4 C．－8 D．－16第Ⅱ卷本卷分为必做题和选做题两部分,13－21题为必做题,22、23、24为选做题。
河南省六市2013年高三第一次联考文科综合能力测试
河南省六市2013年高三第一次联考文科综合能力测试第Ⅰ卷（选择题，共140分）本卷共35小题，每小题4分，共140分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
11月11号，被很多年轻人称为“光棍节”。
小米手机官方网站的第六轮开放购买于11月11日中午12点开始。
截止到11月25日，小米手机单月销售85 万台。
网上购物，网民足不出户就可以货比三家，并且网购具有“商品种类齐全、价格实惠、送货上门”等优势。
结合图1某商品网购物流示意图完成1-2 题。
1.这种商品网购流程①②③环节排序正确的是Ａ.订单分发、物流配送、采购 B.订单分发、采购、物流配送Ｃ.物流配送、订单分发、采购Ｄ.物流配送、采购、订单分发2．小米手机在我国许多地方的销售采取“前店后厂”的模式，即后面是组装工厂，前面是销售店铺。
这种销售模式的主导因素是A．劳动力 B．原料C．市场D．技术读“某河流某观测站在2012年8月1一3日的水文要素随时间变化图”。
完成3—4题。
3．大气降雨停止几小时以后,水文观测站附近易出现险情A． 6小时B． 9小时C． 18小时D． 27小时4．将来该地在相同的降雨状态下,若水文线的洪峰点呈现向右偏移的情形,最可能反映下列哪种现象A．观测站上游植被破坏严重B．观测站上游修建大型水库C．观测站下游开始修筑堤防D．观测站下游大量退耕还湖随着生活节奏的加快，人们出行对时间因素考虑逐渐垮多，且时间固素可能成为选择交通方式的主导因索，读“三种交通运输方式从门到门所需时间示意图”。
回答5——6题。
5 ．就时间因素考虑，高铁和航空公司争夺的客源其旅程距离最可能为A . 200 公里B . 600 公里C . 1000 公里D . l400公里6．我国高铁网建成后，下列区段中，高铁对民航客运冲击最大的是A ．济南一上海B ．杭州一上海C ．北京一广州D ．兰州一北京下图示意我国甲、乙两区城，读图回答7一9 题。
7 ．甲、乙两地的地地形区A ．荣达木盆地崇明岛B ．塔里木盆地崇明岛C ．塔里木盆地海南岛D ．四川盆地海南岛8 ．关于甲、乙两区城的描述，正确的是A ．甲、乙两区均以季风气候为主B ．影响图中棉花分布的主导因索是C ．影响图中橡胶分布的主导因素是地形D ．甲区城水系呈放射状，乙区城水系呈向心状9 . A 、 B 两地是我国少数民族的聚居地，也是国家重点扶贫地区，制约两地经济发展的共同自然因索是① 多山的地形②干旱的气候③ 对外联系不便④ 生产方式落后⑤水资源短缺A.①②⑤B.①⑤ C ．②③④ D．③④杭州某中学生没计了一款可进行调节的活动遮阳板，以实现良好的遮阳和采光效果。
【解析版】河南省新乡、许昌、平顶山2013届高考一模数学文试题[ 高考]
河南省新乡、许昌、平顶山2013届高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2009•北京）设集合，则A∪B=（），2．（5分）在复平面内复数，对应的点分别为A，B，若点C为线段AB的中点，i==，同理可得，：3．（5分）（2012•许昌县一模）设函数，x∈R，则f（x）是（）的奇函数最小正周期为解：∵函数T=4．（5分）（2012•许昌县一模）一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为（）B；+，=[6．（5分）（2013•梅州二模）已知，，向量与﹣先求出向量解：∵已知，，向量（﹣7．（5分）（2012•许昌县一模）如果双曲线（m＞0，n＞0）的渐近线方程渐近线为y=±x，则双曲线的离心率为（）Bb=解：∵双曲线方程为（，==e===8．（5分）（2012•许昌县一模）若α是锐角，且cos（）=﹣，则sinα的值等于（）B）﹣，利用两角差的正弦即可求得＜＜，又）﹣）．+）﹣）cos×﹣（﹣×9．（5分）（2012•许昌县一模）某学校对高一新生的体重进行了抽样调查．右图是根据抽样调查后的数据绘制的频率分布直方图，其中体重（单位：kg）的范围是[45，70]，样本数据分组为[45，50），[50，55），[55，60），[60，65），[65，70]，已知被调查的学生中体重不足55kg的有36，则被调查的高一新生体重在50kg至65kg的人数是．（）=12010．（5分）（2012•许昌县一模）设{a n}是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列{a n}是递增数列”11．（5分）（2012•许昌县一模）已知一组样本点（x i，y i）其中i=1，2，3，…，30根据最小二乘法求得的回归方程是=bx+a则下列说法正确的是（）若所有样本点都在=bx+a=bx+a=bx+a=bx+a 解：所有样本点都在=bx+a若所有的样本点都在=bx+a=bx+a12．（5分）（2012•许昌县一模）对于0≤a＜1的实数a，当x，y满足时，z=x+y满足二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2012•许昌县一模）圆心在直线x+2y﹣3=0上且与直线x﹣y﹣1=0切于点B（2，3）的圆的方程为（x﹣3）2+y2=2．，，14．（5分）（2012•许昌县一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2=3c2，则cosC最小值为．（（cosC=≥（当且仅当最小值为故答案为：．15．（5分）（2012•许昌县一模）甲、乙两名同学从四门选修课中各选修两门，则两人所选课程中恰有一门相同的概率为．甲、乙两名同学从四门选修课中各选修两门的基本事件的总数为所选课程中恰有一门相同的事件包含的基本事件的个数为所以共有=24．=．故答案为16．（5分）（2012•许昌县一模）若关于x的方程有三个不等实数根，则实数k的取值范围是（0，）．先对方程=kx＜﹣＜，）三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2012•许昌县一模）根据如图的程序框图，将输出的x，y值依次分别记为x1，x2，…，x2013；y1，y2，…，y2013（Ⅰ）写出数列{x n}，{y n}的通项公式（不要求写出求解过程）（Ⅱ）求数列{x n﹣y n}的前n项和S n（n≤2013）﹣）﹣（18．（12分）（2012•许昌县一模）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠CBA=90°，面PAB⊥面ABCD，PA=PB=AB=AD=2，BC=1，点M是棱PD的中点（Ⅰ）求证：CM∥平面PAB；（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．MN=ADAD=1V=•PE=的体积为19．（12分）（2012•许昌县一模）某次体育比赛团体决赛实行五场三胜制，且任何一方获胜三场比赛即结束．甲，乙两个代表队最终进入决赛，根据双方排定的出场顺序及以往战绩统计分析，甲队依次派出的五位选手分别战胜对手的概率如下表：1号24号5号p若甲队横扫对手获胜（即3：0获胜）的概率是，比赛至少打满4场的概率为（Ⅰ）求p，q的值（Ⅱ）甲队以什么样的比分获得决赛胜利的可能性最大？（Ⅰ）由题意可得：（Ⅰ）由题意可得：p=q=（×=，×=．20．（12分）（2012•许昌县一模）在平面直角坐标系xOy中，点P（0，﹣1），点A在x轴上，点B在y轴非负半轴上，点M满足：=2，=0（Ⅰ）当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）设Q为曲线C上一点，直线l过点Q且与曲线C在点Q处的切线垂直，l与C的另一个交点为R，若以线段QR为直径的圆经巡原点，求直线l的方程．（Ⅰ）利用=2，可得坐标之间的关系，利用联立，利用韦达定理，结合=，==2﹣﹣x﹣﹣∵﹣±的方程为．21．（12分）（2012•许昌县一模）已知函数f（x）=e x+（a﹣2）x在定义域内不是单调函数．（Ⅰ）求函数f（x）的极值（Ⅱ）对于任意的a∈（2﹣e，2）及x≥0，求证e x≥1+（1﹣）x2．﹣﹣﹣（）22．（10分）（2012•许昌县一模）如图所示四边形ABCD内接于E、O，AC交BD于点E，圆的切线DF交BC的延长线于F，CD平分∠BDF（Ⅰ）求证：AB•AD=AC•AE（Ⅱ）若圆的半径为2，弦BD长为2，求切线DF的长．，可得BD=2BD=2的长为．23．（2012•许昌县一模）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点P的极坐标为（，），直线l过点P，且倾斜角为，方程=1所对应的曲线经过伸缩变换后的图形为曲线C．（Ⅰ）求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标系方程．（Ⅱ）直线l与曲线C相交于两点A，B，求|PA|•|PB|的值．且倾斜角为，∴直线（∵伸缩变换，可得，即，代入曲线24．（2012•许昌县一模）已知实数a＞0且函数f（x）=|x﹣2a|﹣|x+a|的值域为P={y|﹣3a2≤y≤3a2}．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若至少存在一个实数m，使得f（m）﹣f（1﹣m）≤n成立，求实数n的取值范围．。