圆九年级一对一第六次辅导资料
一对一讲义
圆梦教育一对一讲义教师:学生:日期:星期:时段:课题九年级上册数学第一章复习熟练掌握并运用有关的几何证明定理及推理，能够做到举一反三学习目标与分析学习重点等腰三角形性质；直角三角形性质；线段的垂直平分线及其性质学习方法先回顾所学定理及推理，再结合相关题目加深理解与记忆，总结做题规律学习内容与过程教师分析与批改第一节：你能证明吗重要定理、推理：1、三角形全等条件：SSS SAS ASA AAS2、定理：等腰三角形的两个底角相等。
（等边对等角）3、推论：等腰三角形顶角的角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合。
4、规律：等腰三角形两底角的平分线相等，两腰的中线相等，两腰上的高相等。
5、定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
（等角对等边）6、规律：过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等.。
两腰上距顶点等距的两点与底边顶点的连线段相等.7、反证法步骤：1）假设: 先假设命题的结论不成立;2）归谬: 从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果;3）结论: 由矛盾的结果判定假设不正确, 从而肯定命题的结论正确.8、定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
9、定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
对应练习题：1、 由在同一三角形中“等角对等边”“等边对等角”两个定理我们可以联想到大边对_________，大角对_________；2、如图1，D 在AC 上，且AB =BD =DC ，∠C =40°，则∠A =_________，∠ABD =_________；3、△ABC 中，∠BAC =90°，∠B =60°，AD ⊥BC 于D ，AE 是斜边上的中线，若DB = 4，则AB =_________，BC =_________；4、若等腰△ABC 的顶角为∠A ，底角为∠B =α，则α的取值范围是 （ ）（A ） α＜45° （B ） α＜90° （C ） 0°＜α＜90°（D ） 90°＜α＜180°5、△ABC 中， AB =AC ， CD 是△ABC 的角平分线， 延长BA 到E 使DE =DC ， 连结EC ，若∠E =51°，则∠B 等于 （ ）（A ）60°（B ）52°（C ）51°（D ）78°6、如图3，在AB =AC 的△ABC 中，D 点在AC 边上，使BD =BC ，E 点在AB 边上，使AD =DE =EB ，求∠ED B ；7、如图5，在△ABC 中，AB =AC ，D 是AB 上一点，DE ⊥BC ，E 是垂足，ED 的延长线交CA 的延长线于点F ，求证：AD =AF ；图1D CB A 图3E D CB A 图5F ED C B A第二节：直角三角形重要定理、推理：1、 定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
鲁教版数学九年级下册第五章《圆》教学设计
鲁教版数学九年级下册第五章《圆》教学设计一. 教材分析鲁教版数学九年级下册第五章《圆》是整个初中数学的重要内容，主要介绍了圆的定义、性质、圆的度量、弧度制、圆的方程等基本知识。
本章内容在学生的数学知识体系中占有重要地位，为学生进一步学习高中数学和从事相关领域的工作奠定了基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础，对图形的认知和推理能力有一定的提高。
但是，对于圆的相关概念和性质，学生可能还存在一定的困惑，特别是圆的方程和弧度制的理解。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知水平，引导学生逐步理解和掌握圆的相关知识。
三. 教学目标1.了解圆的定义和性质，掌握圆的标准方程和一般方程。
2.理解弧度制的概念，熟练进行角度与弧度的互换。
3.能够运用圆的知识解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
4.培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
四. 教学重难点1.圆的定义和性质2.圆的标准方程和一般方程的推导3.弧度制的理解和应用4.圆的方程在实际问题中的应用五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究和解决问题。
2.利用多媒体和实物模型，直观展示圆的性质和方程。
3.采用合作学习的方式，培养学生的团队协作能力。
4.注重学生的个体差异，给予学生个性化的指导。
六. 教学准备1.多媒体教学设备2.圆的相关模型和教具3.教学课件和教案4.练习题和测试题七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示生活中的圆形物体，引导学生关注圆的形状和特点。
提问：你们对这些圆形物体有什么认识？什么是圆？2.呈现（10分钟）介绍圆的定义和性质，引导学生通过观察和思考，总结圆的特点。
展示圆的标准方程和一般方程，解释弧度制的概念。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，运用圆的知识解决实际问题。
例如，计算圆的周长和面积，将角度转换为弧度等。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）呈现一些有关圆的练习题，让学生独立完成。
中考一轮2018-2019初中数学九年级教师一对一辅导讲义(全册)
2018-2019初中数学九年级教师一对一辅导讲义（全册）学员编号：12345678 年级：九年级课时数：3学员姓名： xxx 辅导科目：数学学科教师：授课类型一对一教学目标掌握函数的概念、性质、图象、应用星级★★★授课日期及时段 201x年月______日_______---______数形结合思想“数（代数）”与“形（几何）”是中学数学的两个主要研究对象，而这两个方面是紧密联系的．体现在数学解题中，包括“以数助形”和“以形助数”两个方面．“数形结合”是一种非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在初中数学学习中占重要的地位．要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，，从“以形助数”“以数助形”的角度来看，主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化）；（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题。
例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等．典例：已知反比例函数y＝3x(x>0)的图象经过点(m，y1)、(m＋1，ｙ2)、(m＋2，y3)，则下列关于y1＋y3与2y2的大小关系正确的是( )(A)y1＋y3 >2y2(B)y1＋y3 < 2y2 (C)y1＋y3＝2y2(D)不能确定法一：特殊值法法二：做差法法三：数形结合课前检测一轮复习3------函数的概念、性质、图象、应用知识梳理一、平面直角坐标系1·平面直角坐标系概念：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，水平的数轴叫__________，竖直的数轴叫__________，整个坐标平面被x轴、y轴分割成四个象限为象限。
注意：（1）坐标轴上的点不属于任何一个象限。
（2）建立的坐标系，可以选择适当的参照点为原点，在确定x轴、y轴的正方向；（3）有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对。
2023年九年级中考一轮复习数学课件圆的基本性质
例 4 如图，正方形 ABCD 内接于⊙O，E 为 AB 的中点，连结 CE 交 BD 于点 F，延长 CE 交⊙O 于点 G，连结 BG.
(1)求证：FB2＝FE·FG； (2)若 AB＝6，求 FB 和 EG 的长．
解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD＝BC，
∴A︵D＝B︵C.
(2)如图，连结 OC，CD，OD，OD 交 BC 于点 F. ∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD， ∴BD＝DC． ∵OB＝OC，∴OD 垂直平分 BC． ∵△BDE 是等腰直角三角形，BE＝2 10，∴BD＝2 5. ∵AB＝10，∴OB＝OD＝5. 设 OF＝t，则 DF＝5－t. 在 Rt△BOF 和 Rt△BDF 中，52－t2＝(2 5)2－(5－t)2，解得 t＝3， ∴BF＝4.∴BC＝8.
理
相等的圆周角所对的弧相等..
推 1、半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. 论 2、圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角等于它的内对角.
常 见 图 形
圆中常用辅助线：
遇到 弦时
有作垂直于弦的 半径(或直径)或再连接过弦的端点
的半径.
常连弦心距
【解】如图 1，当 PA，PB 不在同一个半圆时，过点 P 作直径 PQ，连结
AQ，BQ.
∵PQ 是⊙O 的直径，
∴∠PAQ＝∠PBQ＝90°.
∵⊙O 的半径 r＝1，
∴PQ＝2r＝2.
图1
∵PA＝ 3，PB＝ 2，
∴cos∠APQ＝PPAQ＝ 23，
cos∠BPQ＝PPQB＝
2 2.
∴∠APQ＝30°，∠BPQ＝45°.
∴∠APB＝∠APQ＋∠BPQ＝75°.
九年级圆全章辅导讲义
九年级圆全章辅导讲义学生：科目：第单元第节第课时教师：ABCD=12×15×12×12 =45cm 2知识概括、方法总结与易错点分析 1、点与圆的位置关系 2、直线与圆的位置关系 3、圆与圆的位置关系 4、内心 外心的理解针对性练习 一、 选择题1、如图，是北京奥运会自行车比赛项目标志，则图中两轮所在圆的位置关系是【 】A ．内含B ．相交C ．相切D ．外离2．已知两圆的半径分别为6和8，圆心距为7，则两圆的位置关系是 ( ) A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内切3．若1O 的半径为3cm ，2O 的半径为4cm ，且圆心距121cm O O =，则1O 与2O 的位置关系是（ ） A ．外离 B ．内切 C ．相交 D ．内含4． ⊙O 的半径为5，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ）A ． 相交B ． 相切C ． 相离D ． 无法确定5．如图，⊙O 的半径为2，点A 的坐标为（2，32），直线AB 为⊙O 的切线，B 为切点． 则B 点的坐标为A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-5823, B ．()13,- C ．⎪⎭⎫⎝⎛-5954, D ．()31,-7. 以正方形ABCD 的BC 边为直径作半圆O ，过点D 作直线切半圆于点F ，交AB 边于点E ，则ΔADE 和直角梯形EBCD 周长之比为( )A. 3:4 B. 4:5 C. 5:6 D.6:78．如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，以E 为圆心、EC 为半径的半圆与以A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，则sin EAB ∠的值为（ ） A ．43B ．34 C ．45D ．359．如图1，从圆O 外一点P 引圆O 的两条切线PA PB ，，切点分别为A B ，．如果60APB ∠=，8PA =，那么弦AB 的长是（ ）A ．4 B ．8C ．43D ．8310．如图，PA PB ，分别是O 的切线，A B ，为切点，AC 是O 的直径，已知35BAC ∠=，P ∠的度数为（ ）A ．35B ．45C ．60D ．70（第8题） x yO1 1BAPB AO第9第10题图ABCO P（第11题A B C EFD O11、如图，直线AB 与半径为2的⊙O 相切于点C ，D 是⊙O 上一点，且∠EDC ＝30°，弦EF ∥AB ，则EF 的长度为 （ ） A ．2 B ．23 C ．3 D ．2212．已知⊙O 1和⊙O 2相切，两圆的圆心距为9cm ，⊙1O 的半径为4cm ，则⊙O 2的半径为（ ） A ．5cm B ．13cm C ．9 cm 或13cm D ．5cm 或13cm 二、 填空题1．如图，已知O 是ABC △的内切圆，且50BAC ∠=°，则BOC ∠为 度．2．如图①，1O ，2O ，3O ，4O 为四个等圆的圆心，A ，B ，C ，D 为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图②，1O ，2O ，3O ，4O ，5O 为五个等圆的圆心，A ，B ，C ，D ，E 为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆．．．分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ．3．如图，在△ABC 中，AB =2，AC =2，以A 为圆心，1为半径的圆与边BC 相切，则BAC ∠的度数是 ．4．如图，轮椅车的大小两车轮（在同一平面上）与地面的触点A B ，间距离为80cm ，两车轮的直径分别为136cm ，16cm ，则此两车轮的圆心相距 cm ．5. 如图，奥运五环标志里，包含了圆与圆的位置关系中的外离．．和 ． 6．如图，从O 外一点P 引O 的两条切线PA PB ，，切点分别是A B ，，若8cm PA =，C 是AB 上的一个动点（点C 与A B ，两点不重合），过点C 作O 的切线，分别交PA PB ，于点D E ，，则PED △的周长是 ． 7．如图，AB 是O 的直径，AM 为弦，30MAB ∠=，过M 点的O 的切线交AB延长线于点N ．若12cm ON =，则O 的半径为 cm ．8.分别以梯形ABCD 的上底AD 、下底BC 的长为直径作⊙1O 、⊙2O ，若两圆的圆心距等于这个梯形的中位线长，则这两个圆的位置关系是____________. 三、 解答题1．如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，若PA ⊥AB ，PO 过AC 的中点M ，求证：PC 是⊙O 的切线．BCA O （第1题）1o 2o 3o 4oCB D A 第（2）题图① 第（2）题图② 1o 2o 3o4o5oA BCEDABC第3题图 （第4题图）A B OA DPE B C（第6题图）AOBNMABO C PMPA2.如图所示，AB 是O 的直径，AD 是弦，DBC A ∠=∠，OC BD ⊥于点E ． （1）求证：BC 是O 的切线；（2）若1210BD EC ==，，求AD 的长．3.如图，ABC △内接于O ，AB 为O 的直径，2BAC B ∠=∠，6AC =，过 点A 作O 的切线与OC 的延长线交于点P ，求PA 的长．4.如图所示，ABC △是直角三角形，90ABC ∠=，以AB 为直径的O 交AC 于点E ，点D 是BC 边的中点，连结DE ． （1）求证：DE 与O 相切；（2）若O 的半径为3，3DE =，求AE ．5.（08山东潍坊20题）如图，AC 是圆O 的直径，10AC =厘米，PA PB ，是圆O 的切线，A B ，为切点．过A 作AD BP ⊥，交BP 于D 点，连结AB BC ，．（1）求证ABC ADB △∽△；（2）若切线AP 的长为12厘米，求弦AB 的长．6.已知：如图，ABC △中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点P ，PD AC ⊥于点D ．（1）求证：PD 是O 的切线；（2）若1202CAB AB ∠==，，求BC 的值．7、为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm ，求铁环的半径.BCPO AB DCEAOA PDBCO CPBO A D8.如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，点D 在AB 边上且DE BE ⊥． （1）判断直线AC 与DBE △外接圆的位置关系，并说明理由； （2）若662AD AE ==，，求BC 的长．9、已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，以BC 为直径的半圆O 与边AB 相交于点D ，切线DE ⊥AC ，垂足为点E ．求证：（1）△ABC 是等边三角形；（2）CE AE 31=．．10.如图10，AB 为O 的直径，D 为弦BE 的中点，连接OD 并延长交O 于点F ，与过B 点的切线相交于点C ．若点E 为弧AF 的中点，连接AE ．求证：ABE OCB △≌△．11.已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠．（1）判断直线BD 与O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若:8:5AD AO =，2BC =，求BD 的长．12.如图14，直线AB 经过O 上的点C ，并且OA OB =，CA CB =，O 交直线OB 于E D ，，连接EC CD ，．（1）求证：直线AB 是O 的切线；（2）试猜想BC BD BE ，，三者之间的等量关系，并加以证明；（3）若1tan 2CED ∠=，O 的半径为3，求OA 的长．13.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，且AB =AC ，点D 在弧BC 上运动，过点D 作DE ∥BC ，DE 交AB 的延长线于点E ，ADBOCE图ODBCF E ADCOABEC（第8题）BDAE连结AD 、BD ．（1）求证：∠ADB =∠E ；（3分）（2）当点D 运动到什么位置时，DE 是⊙O 的切线？请说明理由． （3）当AB =5，BC =6时，求⊙O 的半径．（4分）14.如图，BD 是⊙O 的直径，AB 与⊙O 相切于点B ，过点D 作OA 的平行线交⊙O 于点C ，AC 与BD 的延长线相交于点E ．(1) 试探究A E 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2) 已知EC ＝a ，ED ＝b ，AB ＝c ，请你思考后，选用以上适当的数据，设计出计算⊙O 的半径r 的一种方案： ①你选用的已知数是 ；②写出求解过程（结果用字母表示）．15、如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC=30°，M 是OA 上一点，过M 作AB 的垂线交AC 于点N ，交BC 的延长线于点E ，直线CF 交EN 于点F ，且∠ECF=∠E. （1）证明CF 是⊙O 的切线； （2）设⊙O 的半径为1，且AC=CE ，求MO 的长.巩固作业1. 已知：AB 交圆O 于C 、D ，且AC ＝BD.你认为OA ＝OB 吗？为什么？2. 如图所示，是一个直径为650mm 的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm ，求油面的最大深度。
圆的面积讲义
一对一教师辅导讲义学员编号：年级：六课时次数（日期）：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题六上第一单元《圆》第三课时——圆的面积授课时间：备课时间：教学目标1、复习圆的面积的相关含义，经历圆面积计算公式的推导过程，掌握圆面积计算公式。
2、熟练掌握圆和圆环面积的计算公式，能用圆的面积计算公式解决实际问题。
3、经历运用圆的有关知识计算所走弯道距离的过程，了解“跑道的弯道的部分，外圈比内圈要长”。
教学内容（包括知识点、典型例题、课后作业）知识点巩固1、圆的面积：圆所占面积的大小叫圆的面积。
2．把一个圆割成一个近似的长方形，割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半，用字母（πr）表示，宽相当于圆的半径，用字母（r）表示，因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积= πr×r。
圆的面积公式：Ｓ＝πｒ²。
3．圆的面积公式：Ｓ＝πｒ²或者S=π（d÷2）²或者S=π（C÷π÷2）²4．在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。
5．在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。
6．一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r，它的面积是S=πR²－πｒ²或S=π（R²－ｒ²）。
（其中R＝r＋环的宽度．）7．半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。
半圆的周长与圆周长的一半的区别在于，半圆有直径，而圆周长的一半没有直径。
半圆的周长公式：Ｃ＝πd÷2＋d或Ｃ＝πr＋2r圆周长的一半=πr8．半圆面积＝圆的面积÷2公式为：Ｓ＝πｒ²÷29．在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。
而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。
例如：在同一个圆里，半径扩大４倍，那么直径和周长就都扩大４倍，而面积扩大１６倍。
10、25．当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小圆的面积公式推导1、半圆是（）图形，它有（）对称轴。
(word完整版)初三数学圆的经典讲义
(w o r d完整版)初三数学圆的经典讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1圆目录一．圆的定义及相关概念二．垂经定理及其推论三．圆周角与圆心角四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五．圆内接四边形六．会用切线 , 能证切线七．切线长定理八．三角形的内切圆九．了解弦切角与圆幂定理（选学）十．圆与圆的位置关系十一．圆的有关计算十二．圆的基础综合测试十三．圆的终极综合测试1一．圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点2：确定圆的条件；圆心和半径①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的弦。
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆，优弧、劣弧三种。
（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。
如下图：23考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。
考点5点和圆的位置关系 设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ， 则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外⇔d ＞r ；②点在圆上⇔d=r ；③点在圆内⇔ d ＜r ；【典型例题】例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。
例2．已知，如图，CD 是直径，︒=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。
初三数学培优辅导资料(6)(可编辑修改word版)
初三数学培优辅导资料（六）1．如图，等腰Rt△ABC(∠ACB=90°)的直角边与正方形DEFG 的边长均为2，且AC 与DE 在同一条直线上，开始时点C 与点D 重合，让△ABC 沿直线向右平移，直到点A 与点E 重合为止。
设CD 的长为x，△ABC 与正方形DEFG 重合部分(图中阴影部分)的面积为y，则y 与x 之间的函数的图象大致是( )2、已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，它与x 轴的两个交点分别（为﹣10，）（，30，）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（）A．3 个B．2 个C．1 个D．0 个3．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是菱形，点C 的坐标为（4，0）∠AOC=60°，垂直于x 轴的直线l 从y 轴出发，沿x 轴正方向以每秒1 个单位长度的速度向右平移，设直线l 与菱形OABC 的两边分别交于点M，N（点M 在点N 的上方），若△OMN 的面积为S，直线l 的运动时间为t 秒（0≤t≤4），则能大致反映S 与t 的函数的图象是（）A B C D4、如图，抛物线y =ax 2-x -3与x 轴正半轴交于点A（3，0）2.以OA 为边在x 轴上方作正方形OABC，延长CB 交抛物线于点D，再以BD 为边向上作正方形BDEF,则点E 的坐标是.5．如图所示，P1（x1，y1）、P2（x2，y2），……，P n（x n，y n）在函数y= 9 （x＞0）的图象上，x△OP1A1，△P2A1A2，△P3A2A3，……，△P n A n－1A n……都是等腰直角三角形，斜边OA1，A1A2，……，A n-1A n，都在x 轴上，则y1+y2 = ．y1 + y2 + … + y n = ．第15 题6、如图，将二次函数y=x2﹣3 的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，形成新的图象，当直线y=x+b 与此图象有两个公共点时，求b的取值范围。
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用心培养学生从优秀到卓越
九年级一对一第六次辅导资料
圆的有关概念与性质
1.圆上各点到圆心的距离都等于半径。
2.圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；圆又是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
3.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
4.在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
5.同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于它所对的圆心角的一半。
6.直径所对的圆周角是90°，90°所对的弦是直径。
7.三角形的三个顶点确定 1 个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，三角形的外接圆的圆心叫外心，是三角形三边垂直平分线的交点。
8.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点的交点，叫做三角形的内心。
9.圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．
10.圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角
与圆有关的位置关系
1.点与圆的位置关系共有三种：①点在圆外，②点在圆上，③点在圆内；对应的点到圆心的距离d和半径r之间的数量关系分别为：
①d > r，②d = r，③d < r.
2.直线与圆的位置关系共有三种：①相交，②相切，③相离；
对应的圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系分别为：
①d < r，②d = r，③d > r.
3.圆与圆的位置关系共有五种：
①内含，②相内切，③相交，④相外切，⑤外离；
两圆的圆心距d和两圆的半径R、r（R≥r）之间的数量关系分别为：
①d < R-r，②d = R-r，③ R-r < d < R+ r，④d = R+r，⑤d > R+r.
4.圆的切线垂直于过切点的半径；经过直径的一端，并且垂直于这条
直径 的直线是圆的切线.
5.从圆外一点可以向圆引 2 条切线， 切线长 相等，这点与圆心之间的连线 平分 这两条切线的夹角。
与圆有关的计算
1.圆的周长为 2πr ，1°的圆心角所对的弧长为 180r π ，n °的圆心角所对的弧长 为 180r n π ，弧长公式为180r n l π=n 为圆心角的度数上为圆半径) .
2. 圆的面积为 πr 2 ，1°的圆心角所在的扇形面积为 3602r π ，n °的圆心角所在
的扇形面积为S= 360n 2R π⨯ = r l 21(n 为圆心角的度数,R 为圆的半径）.
3.圆柱的侧面积公式：S= 2 πr l （其中
为 底面圆 的半径 ，为 圆柱 的高.）
4. 圆锥的侧面积公式：S=（其中为 底面 的半径 ，为 母线 的长.） 圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积
一、选择题（每小题3分，共45分）
1．在△ABC 中，∠C=90°，AB ＝3cm ，BC ＝2cm,以点A 为圆心，以2.5cm 为半径作圆，则点C 和⊙A 的位置关系是（ ）。
A ．C 在⊙A 上 Ｂ．C 在⊙A 外
C ．C 在⊙A 内 Ｄ．C 在⊙A 位置不能确定。
2．一个点到圆的最大距离为11cm ，最小距离为5cm,则圆的半径为（ ）。
A ．16cm 或6cm Ｂ．3cm 或8cm C ．3cm Ｄ．8cm
3．AB 是⊙O 的弦，∠AOB ＝80°则弦AB 所对的圆周角是（ ）。
A ．40° Ｂ．140°或40° C ．20° Ｄ．20°或160°
4．O 是△ABC 的内心，∠BOC 为130°，则∠A 的度数为（ ）。
A ．130° Ｂ．60° C ．70° Ｄ．80°
5．如图1，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别是D 、E 、F ，已知∠A = 100°，∠C = 30°，
则∠DFE 的度数是（ ）。
A ．55° Ｂ．60° C ．65° Ｄ．70°
6．如图2，边长为12米的正方形池塘的周围是草地，池塘边A 、B 、C 、D
处各有一棵树，且AB=BC=CD=3米．现用长4米的绳子将一头羊拴在其
中的一棵树上．为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在（ ）。
A ． A 处
B ． B 处
C ．C 处
D ．D 处
图1 图2
7．已知两圆的半径分别是2和4，圆心距是3，那么这两圆的位置是（）。
A．内含Ｂ．内切 C．相交Ｄ．外切
8．已知半径为R和r的两个圆相外切。
则它的外公切线长为（）。
A．R＋r Ｂ．R2+r2 C．R+r Ｄ．2Rr
9．已知圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥的侧面积为（）。
Ａ．10π B．12πＣ．15πＤ．20π
10．如果在一个顶点周围用两个正方形和n个正三角形恰好可以进行平面镶嵌，则n的值是（）。
A．3 B．4 C．5 D．6
11．下列语句中不正确的有（）。
①相等的圆心角所对的弧相等
②平分弦的直径垂直于弦
③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴
④长度相等的两条弧是等弧
A．3个Ｂ．2个C．1个Ｄ．4个
二、填空题（每小题3分，共30分）
1．两圆相切，圆心距为9 cm，已知其中一圆半径为5 cm，另一圆半径为_____.
2．两个同心圆，小圆的切线被大圆截得的部分为6，则两圆围成的环形面积为_________。
3．边长为6的正三角形的外接圆和内切圆的周长分别为_________。
4．同圆的外切正六边形与内接正六边形的面积之比为_________。
5．矩形ABCD中，对角线AC＝4，∠ACB＝30°，以直线AB为轴旋转一周得到圆柱的表面积是_________。
6.扇形的圆心角度数60°，面积6π，则扇形的周长为_________。
7．圆的半径为4cm，弓形弧的度数为60°，则弓形的面积为_________。
8．在半径为5cm的圆内有两条平行弦，一条弦长为6cm，另一条弦长为8cm，则两条平行弦之间的距离为_________。
9．如图6，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BOC=100°，MN是过B点而垂直于OB的直线，则∠ABM=________，∠CBN=________；
10．如图7，在矩形ABCD中，已知AB=8 cm，将矩形绕点A旋转90°，到达A′B′C′D′的位置，则在转过程中，边CD扫过的(阴影部分)面积S=_________。
图6 图7
三、解答下列各题（第9题11分，其余每小题8分，共75分）
1．如图，P 是⊙O 外一点，PAB 、PCD 分别与⊙O 相交于A 、B 、C 、D 。
(1)PO 平分∠BPD ； (2)AB=CD ；(3)OE ⊥CD ，OF ⊥AB ；(4)OE=OF 。
从中选出两个作为条件，另两个作为结论组成一个真命题，并加以证明。
A
B
P
O E F C D
2．如图，⊙O 1的圆心在⊙O 的圆周上，⊙O 和⊙O 1交于A ，B ，AC 切⊙O 于A ，连结CB ，BD 是⊙O 的直径，∠D ＝40°求：∠A O 1B 、∠ACB 和∠CAD 的度数。
3．已知：如图20，在△ABC 中，∠BAC=120°，AB=AC ，BC=43，以A 为圆心，2为半径作⊙A ，试问：直线BC 与⊙A 的关系如何？并证明你的结论。
A
B C
4．如图，ABCD 是⊙O 的内接四边形，DP ∥AC ，交BA 的延长线于P ，求证：AD ·DC ＝PA ·BC 。
8．如图，ΔABC 的∠C ＝Rt ∠，BC ＝4，AC ＝3，两个外切的等圆⊙O 1，⊙O 2各与AB ，AC ，BC 相切于F ，H ，E ，G ，求两圆的半径。
P
A B C D O
15．如图，AB 为⊙O 直径，BC 切⊙O 于B ，CO 交⊙O 交于D ，AD 的延长线交BC 于E ，若
∠C = 25°，求∠A 的度数．
17．如图，P 为正比例函数x y 2
3=
图象上的一个动点，⊙P 的半径为3，设点P 的坐标为（x ，y ）
． （1）求⊙P 与直线2=x 相切时点P 的坐标；
（2）请直接写出⊙P 与直线2=x 相交、相离时x 的取值范围．。