07_06_真空中的稳恒磁场问题讨论
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第六章_真空中的稳恒磁场.
(常用)
.12.
例题2: 边长为 l 的正方形单匝线框中通
有电流I. 求A点的磁感应强度.
A
4 I 1 2
3 导线3、4在A点的磁感应强度 B3 B4 0 解： 电流1和电流2在A点的磁感应强度B1和B2
0 I 3 2 0 I B1 (cos cos ) 4 l 2 4 8 l 0 I 2 0 I B2 (cos cos ) 4 l 4 2 8 l
ห้องสมุดไป่ตู้
B ~空间所有电流共同在 dl 处产生的磁感应强度； I i内~ 穿过环路L的所有电流的代数和；
i
dl ~ L上的任一线元；
规定：若电流Ii内的方向与L的绕 行方向满足右手螺旋规则，则电
I1
L
I2
流Ii内取正值，否则取负值.
I3 dl
B
证明: (由如图所示特例可推广到一般情况)
.18.
0 I cos dl B dl B cos dl 2 r L L L
L
0 I 0 I r d d 0 I 2 r 2 0 L
若穿过该环路L的电流有n条，则
2
I . d
B
r
dl
B dl ( B1 B2 Bn ) dl
0 Idl sin dB 4 r 2
因直导线上所有电流元在P
I
1 点的磁感应强度同方向，故： l P 0 Idl sin X B O 2 dB 4 r a a a r l a cot( ) a cot sin( ) sin
B dl
L
真空中的恒定磁场(中文)
向一致，那么上式的矢量积分变为标量积分 ，且B 可以由积分号移出，即可求出B值。
<>
=3<
—!
1微分形式
安培环路定律 磁
口 B & = m 01
通连续性原理
<>
=3<
—!
二多 由散度定理获知毓
口 原理，
SdV 那么，根据磁通连续性 B魅=0得
LV.Bdv=°
由于此式处处成立，因此被积函数应为零，即
V. B = 0
此式表明，真空中磁通密度的散度处处为零。
真空中恒定磁场方程的微分形式为
B V x B = m 0 J V - = 0
可见，真空中恒定磁场是有旋无散的。
r
dV，毕奥 _
萨伐定律
利用上式也可根据电流分布直接计算磁通密度。
<>
=3<
—!
电流可以分布在体积中，表面上或细导线中。
面分布的电流称为表面电流，表面电流密度JS 的单位为 A/m o
二 各种电流之间的关系为"=JS^
0面电流和线电流产生的矢量磁位及磁通密度分
别为
斜 口 二栄 9 口 A(r) = 99
丄 ° 此外F dl。
<>
=3<
—!
小电流环受到的转矩。
尺寸远小于观察距离的小电流 环称为磁偶极子。
在小环的平面内可以认为磁场
二 F IIxB 是均匀的。
当磁通密度B与电流环平面平行时，则ab及 cd两条边不受力，ad及bc两条边受力方向相反, 因此，电流环受到一个转矩T，其大小为
T = Fl = IlBl = Il2 B = ISB
运动电荷在磁场中受到的作用力不仅与电荷 量及 运动速度的大小成正比，而且还与电荷的运 动方向 有关。
<>
=3<
—!
1微分形式
安培环路定律 磁
口 B & = m 01
通连续性原理
<>
=3<
—!
二多 由散度定理获知毓
口 原理，
SdV 那么，根据磁通连续性 B魅=0得
LV.Bdv=°
由于此式处处成立，因此被积函数应为零，即
V. B = 0
此式表明，真空中磁通密度的散度处处为零。
真空中恒定磁场方程的微分形式为
B V x B = m 0 J V - = 0
可见，真空中恒定磁场是有旋无散的。
r
dV，毕奥 _
萨伐定律
利用上式也可根据电流分布直接计算磁通密度。
<>
=3<
—!
电流可以分布在体积中，表面上或细导线中。
面分布的电流称为表面电流，表面电流密度JS 的单位为 A/m o
二 各种电流之间的关系为"=JS^
0面电流和线电流产生的矢量磁位及磁通密度分
别为
斜 口 二栄 9 口 A(r) = 99
丄 ° 此外F dl。
<>
=3<
—!
小电流环受到的转矩。
尺寸远小于观察距离的小电流 环称为磁偶极子。
在小环的平面内可以认为磁场
二 F IIxB 是均匀的。
当磁通密度B与电流环平面平行时，则ab及 cd两条边不受力，ad及bc两条边受力方向相反, 因此，电流环受到一个转矩T，其大小为
T = Fl = IlBl = Il2 B = ISB
运动电荷在磁场中受到的作用力不仅与电荷 量及 运动速度的大小成正比，而且还与电荷的运 动方向 有关。
真空中的稳恒磁场
dB
o Idl sin 大小为： dB 4 r 2 方向为： Idl r 右手螺旋方向。
5
讨论
1) Id l 产生的磁场，在以其为轴心， ro .P ro= r sin为半径的圆周上dB 的 r 大小相等，方向沿切线。 Id l 2) 若 r 或 不同，则在不同ro为半 径的圆周上dB大小不等。 . 在垂直 Id l 的平面上， 磁力线是一系列的同心圆 3) 当 = 0、 时，dB = 0，即沿电流方向上的磁场为0 时 dB = dBMaX 即r一定，在垂直 Id l 的方向上 2 各点的dB最大。 4) 所有电流元 Id l ，对P点磁感应强度B的贡献为： o Idl r B dB 4 r3 6
2
l
. P
3) 对半无限长螺线管 B 1 o nI
2
B
2)、 3)在整个管内空间成立！
2L
2L
l
管内为均匀场 管外空间B0
14
2. 运动电荷的磁场 设电流中载流子带电为q(>0)，以速度v 沿电流I 方向运动，并且载流子密度为n，导体截面积为S。 如图取一段长为v 的导体, 则有:I=nqvS 根据毕 — 萨定律: I S o Id l r o nqSdl v r dB 3 v 4 r 4 r3
q R2 R 2 (2) Pm dP SdI r rdr 1 R4 m 4 0 2 qR Pm 12 4
oq B ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2 R
oIR 2 例5. 一长螺线管轴线上的磁场 B ? B 2 r3 已知：导线通有电流I，单位长度上匝数为n。 解：在管上取一小段dl， 电流为dI=nIdl ， 该电流在P点的磁场为： o R 2 nIdl r 2 l 2 R2 dB 2 R 2 3 2 r R 2l sin R d dl ... . ... . . . .. .... . ... . .. ... l Rctg dl r sin2 o nI l P 则： dB sin d 2 2 o nI B dB sin d 1 2 o nI cos 1 cos 2
真空中的稳恒磁场
2 3/2
)
=
2π R + x
2
(
0 Pm
2 3/2
)
0nI
2
(cos β 2 cos β1 )
无限长: 无限长: B = 0nI ⑷均匀载流长直圆柱体的磁场
B内 =
0 Ir
R
2
B外
0I = 2π r
(5)无限大均匀载流平面的磁场 无限大均匀载流平面的磁场 o j B = 2 ⑹运动电荷产生的磁场 0 qv × r B= 4π r 3
A=
∫Φ
Φ2
1
IdΦ
A = I ∫ dΦ = I Δ Φ
Φ1
Φ2
12.磁场强度H的环路定理:在磁场中沿任一封闭路径 .磁场强度 的环路定理 的环路定理: 磁场强度H的环流等于该路径所包围的传导电流的代 磁场强度 的环流等于该路径所包围的传导电流的代 数和. 数和.即
∫
L
H dl = ∑ I
传导
13.在各向同性非铁磁质中同一点处,B与H的关系为 在各向同性非铁磁质中同一点处, 与 的关系为 在各向同性非铁磁质中同一点处
4.理解洛仑兹力公式,能熟练应用公式计算运动电 理解洛仑兹力公式, 理解洛仑兹力公式 荷在电磁场中的受力和运动. 荷在电磁场中的受力和运动. 5.掌握电流元受磁场力的安培力公式,能熟练计算简 掌握电流元受磁场力的安培力公式, 掌握电流元受磁场力的安培力公式 单几何形状的载流导线在外磁场中受的磁力和载流 平面线圈在外磁场中受到的力矩, 平面线圈在外磁场中受到的力矩,会判断磁力和力 矩的方向. 矩的方向. 6.会计算载流线圈或旋转带电体的磁矩及其在均匀 会计算载流线圈或旋转带电体的磁矩及其在均匀 磁场中所受的力矩(大小,方向); 磁场中所受的力矩(大小,方向); 7.了解顺磁质,抗磁质磁化的微观机制, 了解顺磁质,抗磁质磁化的微观机制, 了解顺磁质 8. 熟练掌握有介质时的安培环路定理计算磁感应 熟练掌握有介质时的安培环路定理计算磁感应 有介质时的 强度的条件和方法. 强度的条件和方法.
第四章 真空中的稳恒磁场
电流圈上的小段电流， 是一个矢量。用 Id l表示。 I是电流强度， dl是电流 圈上的线元，大小等于线 元长度，方向沿导线切向 并指向电流方向。
—— 真空中的稳恒磁场——
L1
Idl
I
dl
Biot-Savert定律
z 位于点 r2 的电流元 I 2 dl 2 I r 受到位于点 的电流元 1 r12 I 2 dl2 I I 1dl1的作用力为 r2 I1dl1 L2 r 0 I 2dl 2 ( I1dl1 r12 ) 1 L dF12 1 3 4 r12 y O 其中 r12 r2 r1 0 4 107 N A2 x 真空磁导率
仍由右手定则 判定方向！
思考：一段圆弧形电流在圆心处的磁场？
μ0 I θ Bo 2 R 2π
—— 真空中的稳恒磁场——
Biot-Savert定律
2 μ IR 0 I B 3/ 2 o x * x （ 2 x 2 R 2） 2 pm μ0 IR μ0 0 IS B ， B x R 3 ） 3 3 讨 2π x 2x 2 x3
—— 真空中的稳恒磁场—— Biot-Savert定律
4、运流产生的磁场 e ω 等效电流 I e T 2π
圆心处：
-e
+ R
0 e B 2R 4R
q ω I q T 2π
0 I
等效于一个圆电流 产生的磁场！
等效电流
ω
μ0 I μ0qω 圆心处： B 2R 4πR
z1
0 nIdzR 2 dB( P ) k 2 2 3/ 2 2( R z )
1
z2
P
—— 真空中的稳恒磁场——
L1
Idl
I
dl
Biot-Savert定律
z 位于点 r2 的电流元 I 2 dl 2 I r 受到位于点 的电流元 1 r12 I 2 dl2 I I 1dl1的作用力为 r2 I1dl1 L2 r 0 I 2dl 2 ( I1dl1 r12 ) 1 L dF12 1 3 4 r12 y O 其中 r12 r2 r1 0 4 107 N A2 x 真空磁导率
仍由右手定则 判定方向！
思考：一段圆弧形电流在圆心处的磁场？
μ0 I θ Bo 2 R 2π
—— 真空中的稳恒磁场——
Biot-Savert定律
2 μ IR 0 I B 3/ 2 o x * x （ 2 x 2 R 2） 2 pm μ0 IR μ0 0 IS B ， B x R 3 ） 3 3 讨 2π x 2x 2 x3
—— 真空中的稳恒磁场—— Biot-Savert定律
4、运流产生的磁场 e ω 等效电流 I e T 2π
圆心处：
-e
+ R
0 e B 2R 4R
q ω I q T 2π
0 I
等效于一个圆电流 产生的磁场！
等效电流
ω
μ0 I μ0qω 圆心处： B 2R 4πR
z1
0 nIdzR 2 dB( P ) k 2 2 3/ 2 2( R z )
1
z2
P
《真空中的恒定磁场》课件
磁通量密度计通常由一个或多个磁通量线圈组成，线圈中通入电流后会产生磁场，当外界磁 场发生变化时，线圈中的磁通量会发生变化，通过测量这个磁通量的变化，可以推算出外界 磁场的变化。
磁通量密度计具有测量精度高、响应速度快、稳定性好等优点，广泛应用于科研和工业生产 中。
06
总结与展望
真空中的恒定磁场的重要性和影响
促进物理学的深入研究
真空中的恒定磁场是物理学中的一个重要概念，它对于深 入理解电磁场、电磁波以及相关物理现象具有重要意义。
推动技术应用的发展
真空中的恒定磁场在许多技术领域中有着广泛的应用，如 电子显微镜、核磁共振成像、粒子加速器等，对推动这些 领域的技术进步起到关键作用。
促进交叉学科的研究
真空中的恒定磁场与材料科学、生物医学、能源科学等学 科领域有着密切的联系，通过对其深入研究，可以促进相 关交叉学科的发展。
粒子加速器在科学研究、工业生产等领域也有广泛应用， 如放射性治疗、放射性同位素生产等。
04
真空中的恒定磁场的物理效应
霍尔效应
霍尔效应
当电流垂直于外磁场通过导体时，在 导体垂直于磁场和电流方向的两个端 面之间会出现电势差，这一现象称为 霍尔效应。
霍尔系数
应用
霍尔效应在测量、自动化控制、电机 调速等领域有广泛应用。
未来研究方向和挑战
探索更高强度的恒定磁场
随着科学技术的发展，探索更高强度的恒定磁场成为了一个重要的研究方向，这将有助于 揭示更多未知的物理现象。
深入研究磁场对物质的影响
除了在电磁场中观测到的现象，磁场对物质内部结构和性质的影响也是值得深入研究的课 题，这将有助于发现新的应用领域。
探索磁场与其他物理场的相互作用
、磁感应强度等物理量。
磁通量密度计具有测量精度高、响应速度快、稳定性好等优点，广泛应用于科研和工业生产 中。
06
总结与展望
真空中的恒定磁场的重要性和影响
促进物理学的深入研究
真空中的恒定磁场是物理学中的一个重要概念，它对于深 入理解电磁场、电磁波以及相关物理现象具有重要意义。
推动技术应用的发展
真空中的恒定磁场在许多技术领域中有着广泛的应用，如 电子显微镜、核磁共振成像、粒子加速器等，对推动这些 领域的技术进步起到关键作用。
促进交叉学科的研究
真空中的恒定磁场与材料科学、生物医学、能源科学等学 科领域有着密切的联系，通过对其深入研究，可以促进相 关交叉学科的发展。
粒子加速器在科学研究、工业生产等领域也有广泛应用， 如放射性治疗、放射性同位素生产等。
04
真空中的恒定磁场的物理效应
霍尔效应
霍尔效应
当电流垂直于外磁场通过导体时，在 导体垂直于磁场和电流方向的两个端 面之间会出现电势差，这一现象称为 霍尔效应。
霍尔系数
应用
霍尔效应在测量、自动化控制、电机 调速等领域有广泛应用。
未来研究方向和挑战
探索更高强度的恒定磁场
随着科学技术的发展，探索更高强度的恒定磁场成为了一个重要的研究方向，这将有助于 揭示更多未知的物理现象。
深入研究磁场对物质的影响
除了在电磁场中观测到的现象，磁场对物质内部结构和性质的影响也是值得深入研究的课 题，这将有助于发现新的应用领域。
探索磁场与其他物理场的相互作用
、磁感应强度等物理量。
11真空中的稳恒磁场解读
μ0 IR B dB sin α dl 3 4π r
O
dB α B α x P X r
μ0 IR B 2 2 3/ 2 2 (R x )
2
μ0I x 0时 ， B 2R
μ0 I l B 一段圆弧电流： 2 R 2 πR
11.4.2 安培环路定理 问题的提出： B d l ？
因为 Id l qvn Sdl
dF m
B I
所以 d F m Idl B I = envS 该式称为安培定律。 整个载流导线所受的磁场作用力为
dl
F m d F m Id l B
L L
[例11.1] 求半圆形载流导 dF × 线在均匀磁场中所受的力。 dl × 取电流元 Idl， [解 ] × 因为 Id l B ，所以 dF=IdlB 由于对称，Fx 0,
11 真空中的稳恒磁场
基本要求： 1. 掌握磁感应强度的概念。理解毕奥-萨伐尔定 律。能计算一些简单问题中的磁感应强度。 2. 理解稳恒磁场的规律：磁场的高斯定理和安 培环路定理。掌握用安培环路定理计算磁感 应强度的条件和方法。 3. 理解安培定律和洛仑兹力公式。了解磁矩的 概念。能计算简单几何形状载流导体和载流 平面线圈在磁场中所受的力和力矩。能分析 点电荷在均匀电、磁场中的受力和运动。
用两个电流方向相同的线圈产生一个中间 弱、两端强的磁场，平行于磁场方向的速度分 量不太大的带电粒子将被约束在这两个磁镜间 的磁场内来回运动而不能逃脱。这种能约束带 电粒子的磁场分布叫磁瓶。在现代研究受控热 核反应的实验中，需要把很高温度的等离子体 限制在一定空间区域内。在这样的高温下，所 有固体材料都将化为气体。上述磁约束就成了 达到这种目的的常用方法之一。磁镜装置的缺 点是总有一部分纵向速度较大的粒子从两端逃 掉。为避免这一缺点，目前主要受控热核装置
O
dB α B α x P X r
μ0 IR B 2 2 3/ 2 2 (R x )
2
μ0I x 0时 ， B 2R
μ0 I l B 一段圆弧电流： 2 R 2 πR
11.4.2 安培环路定理 问题的提出： B d l ？
因为 Id l qvn Sdl
dF m
B I
所以 d F m Idl B I = envS 该式称为安培定律。 整个载流导线所受的磁场作用力为
dl
F m d F m Id l B
L L
[例11.1] 求半圆形载流导 dF × 线在均匀磁场中所受的力。 dl × 取电流元 Idl， [解 ] × 因为 Id l B ，所以 dF=IdlB 由于对称，Fx 0,
11 真空中的稳恒磁场
基本要求： 1. 掌握磁感应强度的概念。理解毕奥-萨伐尔定 律。能计算一些简单问题中的磁感应强度。 2. 理解稳恒磁场的规律：磁场的高斯定理和安 培环路定理。掌握用安培环路定理计算磁感 应强度的条件和方法。 3. 理解安培定律和洛仑兹力公式。了解磁矩的 概念。能计算简单几何形状载流导体和载流 平面线圈在磁场中所受的力和力矩。能分析 点电荷在均匀电、磁场中的受力和运动。
用两个电流方向相同的线圈产生一个中间 弱、两端强的磁场，平行于磁场方向的速度分 量不太大的带电粒子将被约束在这两个磁镜间 的磁场内来回运动而不能逃脱。这种能约束带 电粒子的磁场分布叫磁瓶。在现代研究受控热 核反应的实验中，需要把很高温度的等离子体 限制在一定空间区域内。在这样的高温下，所 有固体材料都将化为气体。上述磁约束就成了 达到这种目的的常用方法之一。磁镜装置的缺 点是总有一部分纵向速度较大的粒子从两端逃 掉。为避免这一缺点，目前主要受控热核装置
恒定电流与真空中的恒定磁场解读
真空中的恒定磁场4半径为R 的细圆环均匀带电，电荷线密度为λ，环以每秒n 转绕通过环心并与环面垂直的轴做匀速转动，求环心处的磁感应强度B。
解:转动的带电圆环构成圆形电流，其电流强度可用下法求出：设圆环被空间某一平面S 所截，如图所示，在dt 时间内通过截面的电量λπλυRndt dt dq 2==所以 λπRn dtdqI 2==又知，半径为R 、强度为I 的圆形电流在其圆心处所建立的磁感应强度可表示为⎪⎩⎪⎨⎧=右旋垂直圆面且与方向大小I ：RI：B B 20μ故环中心处的磁感应强度λπμλπμn Rn RB 0022==若0>λ，则B 与ω 同向，若0<λ，则B 与ω反向。
5如图（a ）所示，半径为R 的无限长半圆柱面上沿轴向均匀地通有电流，总电流强度为I ，求半圆柱面的轴线上的磁感应强度B。
解:场源电流可视作无数条平行的无限长的直电流的组合，轴线上任意P 点的磁感应强度就是无数长直电泫在该点处的磁感应强度的矢量和。
如图（b ）所示是俯视图。
如图建立坐标系，z 轴垂直于图面向外（与柱面上电流的流向一致）。
因为z x -平面是场源电流的对称面，P 点处B的方向只能有y 分量，即j B B y = 在柱面上任取一窄条，它的位置用图中θ角表征。
设窄条对柱面轴线()轴即z 的张角为θd ，则其上电流强度应为θπθπd IRd R I =。
这电流在P 点处磁感应强度的大小 RId R d I dB 20022πθμπθπμ=⎪⎭⎫ ⎝⎛=方向如图所示。
显然，B d在y 轴上的投影应为Rd I dB dB y 202cos cos πθθμθ==将上式对整个半柱面电流积分得⎰==-R IR d I B y 2020222cos πμπθθμππ所以，轴上任一点P 的磁感应强度为j rI B 20πμ=6厚度为d 的无限大平板层中均匀地通有恒定电流，如图所示，电流流向垂直于图面向外，电流密度大小为J ，求空间各点的磁感应强度。
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该电流圆环在 O 产生的磁感应强度大小：
0 b
dB34
0 dr ( ) 2r 2 2r b dr B34 dB34 B34 0 a 4 r b B34 0 ln —— 方向向里 4 a
dB34
0dI
同理，带电线段 12 转动形成内半径为 a 、外半径为 b 的电流圆盘，在 O 产生的磁感应强度大小：
B B1 B2 B3 —— 且它们的方向相同，均垂直于纸面向外
B
0 I 2 2 R 0 I 1 0 I (cos0 cos ) 0 4 R 2 4 2R 0 I
所以： B
B
0 I 4 R 8R
如图所示，载流正方形线圈边长为 2a ，电流为 I ，求此线圈轴线上距中心为 x 处的磁感应强度。
(cd ) 边产生的磁感应强度： B3 (ca ) 边产生的磁感应强度： B4
B B1 B2 B3 B4 4
将 cos
0 I
2 x 2 a 2
0 I
2 x 2 a 2
a x 2 2a 2
载流正方形线圈在 P 点的磁感应强度：
x 2 2a 2 (bc) 边产生的磁感应强度： B2
B1
0 I
2 x 2 a 2
a
(cos i sin j )
计算题_23 图示
0 I
2 x 2 a 2
a x 2 2a 2 a x 2 2a 2 a x 2 2a 2
(cos i sin k ) (cos i sin j ) (cos i sin k )
1 UD —— 如果电势差 U 0 ，载流子为“空穴” ，半导体属于 P 型材料 nq IB
霍尔系数： K
二 填空题 03. 如图所示，将同样的 n 根线焊成立方体，并在其对顶角 A 和 B 上接上电源，则立方体框架中的 电流在其中心处所产生的磁感应强度等于 0 。 根据各支路电流分配的对称性，电流在其中心处所产生的磁感应强度等于零。 04. 如图所示，在无限长直载流导线的右侧有面积 S1 和 S 2 两个矩形回路．两个回路与长直载流导线 在同一平面，且矩形回路的一边与长直载流导线平行．则通过面积为 S1 的矩形回路的磁通量和通过 面积为 S2 的矩形回路的磁通量之比
半圆形上任一电流元 Idl 在 P 点产生的磁感应强度: dB dBx dB yz
计算题_24_01 图示
计算题_24_02 图示
dB
dB 在两个相互垂直方向的投影，如图计算题_24_02 所示。 0 Idl dB i cos x 2 2 4 ( R x ) 0 Idl dB sin (cos j sin k ) yz 2 2 4 ( R x )
2) 设放入的无限长载流导线距离 O 点为 x ，如图所示(计算题_11_02) 令
计算题_11_02 图示
x
0 I 0 I j 2 j R 2 x R
2
—— 电流方向与导线相反
长直导线通有电流 I，将其弯成如图所示形状，求图中 O 点处的磁感应强度。 O 点处的磁感应强度由图中 3 段电流激发磁场的叠加而成 一段所对圆心角为 的载流圆弧在圆心处的磁感应强度：
1 1。 2
填空题_03 图示
填空题_04 图示
穿过 S1 的磁通量： 1
0 I Ib )(bdx ) —— 1 0 ln 2 a 2 2 x 4a I Ib 穿过 S2 的磁通量： 2 ( 0 )( bdx ) —— 2 0 ln 2 2 a 2 x 2
填空题_06 图示
2 l/2 l / 2 q r q dr q r 2 dr —— 积分得到： Pm dPm dr )( r 2 ) 0 0 l l l
q l 2 24
07. 将一个通过电流强度为 I 的闭合回路置于均匀磁场中，回路所围面积的法线方向与磁场方向的 夹角为 ，若均匀磁场通过此回路的磁通量为 m ，则回路所受力矩的大小 M I m tan 。 由 M Pm B ，得 M Pm B sin —— Pm IS
2a
(
1 1 2
05. 氢原子中电子质量 m ，电量 e ，它沿某一圆轨道绕原子核运动，其等效圆电流的磁矩大小 Pm 与 电子轨道运动的动量矩大小 L 之比 电子的电量 e ，等效电流 I 根据磁距的定义： Pm IS
Pm e 。 L 2m
e e T 2
e e 2 ( r 2 ) Pm r 2 2 P e 2 m 电子的轨道角动量： L m r L 2m q l 2 。 24
B dl I
L
0
i
0
L内
b
a
c d a B dl B dl B dl B dl 0
b c d
因为： 所以：
b
a a
c d B dl B dl B dl 0
UDS ； IB
(B)
IBU ； DS
(C)
US ； IBD
(D)
IUS ； BD
(E)
UD 。 IB
E vB 平衡后霍尔场强满足： qE qvB
电流强度 I nqS v ，将 v 电势差 V E
I IB 代入上式得到： E nqS nqS
S IB D nqD
( ab) 边在 P 点产生的磁感应强度大小：
B1
0 I (cos 1 cos 2 ) 4 x
a cos1 2 x 2a 2 a cos 2 2 x 2a 2 2 2 x x 2a (ab) 边产生的磁感应强度：
0 I
2 x 2 a 2
cos i
a x a2
2
代入得到正方形线圈在 P 点的磁感应强度：
B
2 0 Ia 2 ( x2 a2 )
1 x 2 2a 2
i
如图所示，求半圆形电流 I 在半圆的轴线上离圆心距离为 x 处的磁感应强度。 选取如图所示(计算题_24_01)的坐标。
07_06 稳恒磁场问题讨论 一 选择题 01. 如图所示，有一矩形线圈 AOCD ，通过如图方向的电流 I ，将它置于均匀磁场 B 中， B 的方向 与 x 轴正方向一致，线圈平面与 x 轴之间的夹角为 ， 90 ，若 AO 边在 Oy 轴上，且线圈可绕
0
Oy 轴自由转动，则线圈将
(A) 作使 角减小的转动； (C) 不会发生转动； (B) 作使 角增大的转动； (D) 如何转动尚不能判定。
m BS cos —— B
m M IS S cos
m S cos sin —— M I m tan
08. 如图所示，一个均匀磁场 B 只存在于垂直于图面的 P 平面右侧， B 的方向垂直于图面向里，一 质量为 m ，电荷为 q 的粒子以速度 v 射人磁场， v 在图面内与界面 P 成某一角度．那么粒子在从磁 场中射出前是做半径为 R 的圆周运动，如果 q 0 时，粒子在磁场中的路径与边界围成的平面区域 的面积为 S ，那么 q 0 时，其路径与边界围成的平面区域的面积 S ( 运动电荷在均匀磁场中受到得洛伦兹力： F qv B 带电粒子作圆周运动：满足 qvB
06. 如图所示，长为 l 的细杆均匀分布着电荷 q ，杆绕垂直杆并经过其中心的轴，以恒定的角速度 旋转，此旋转带电杆的磁矩大小 Pm 距离转轴 r 处的电荷元 dq 2 因旋转形成的磁矩： dPm SdI
q dr l
dq 2 —— T T qdr dI l dI dPm ( Pm
【 B 】
矩形线圈在均匀磁场中受到的力矩： M Pm B —— 方向沿 y 轴的负方向
磁力矩的作用使线圈的法线方向与磁场的方向一致，作使 增大的转动。
选择题_01 图示
选择题_02 图示
02. 通有电流 I 、厚度为 D 、横截面积为 S 导体，放在磁感应强度 B 的匀强磁场中，磁场方向垂直 则导体的霍尔系数等于： 于导体的侧表面， 如图所示， 现测得导体上下面电势差为 U ， (A) 【 E 】
mv 2 mv —— R qB R
—— 圆周运动的半径大小与电荷的正负无关 所以 q 0 时，其路径与边界围成的平面区域的面积：
S R 2 S —— S (
四 计算题
mv 2 ) S qB
填空题_08 图示
09. 用安培环路定理证明，如图所表示的那种不带边缘效应的均匀磁场不可能存在。 假设内部为均匀磁场 B ，外部邻近磁感应强度为零，取 abcd 为积分回路，根据安培环路定理：
B12
0 b ln —— 方向向里 4 a 0
2
O 点的磁感应强度大小：
B Ba Bb B12 B34
b 0 b ln B 0 ( ln ) a 2 2 a
11. 如图所示，一半径为 R 的无限长圆柱面导体，其上电流与其轴线上一无限长直导线的电流等值 反向，电流 I 在半圆柱面上均匀分布。求： 1) 轴线上导线单位长度所受的力； 2) 若将另一无限长直导线(通有大小和方向与半圆柱面相同的电流 I )代替圆柱面，产生同样的作 用力，该导线应放何处？ 选取如图所示(计算题_11_01)的坐标，无限长圆柱面导体上“无限长”电流元：
0 b
dB34
0 dr ( ) 2r 2 2r b dr B34 dB34 B34 0 a 4 r b B34 0 ln —— 方向向里 4 a
dB34
0dI
同理，带电线段 12 转动形成内半径为 a 、外半径为 b 的电流圆盘，在 O 产生的磁感应强度大小：
B B1 B2 B3 —— 且它们的方向相同，均垂直于纸面向外
B
0 I 2 2 R 0 I 1 0 I (cos0 cos ) 0 4 R 2 4 2R 0 I
所以： B
B
0 I 4 R 8R
如图所示，载流正方形线圈边长为 2a ，电流为 I ，求此线圈轴线上距中心为 x 处的磁感应强度。
(cd ) 边产生的磁感应强度： B3 (ca ) 边产生的磁感应强度： B4
B B1 B2 B3 B4 4
将 cos
0 I
2 x 2 a 2
0 I
2 x 2 a 2
a x 2 2a 2
载流正方形线圈在 P 点的磁感应强度：
x 2 2a 2 (bc) 边产生的磁感应强度： B2
B1
0 I
2 x 2 a 2
a
(cos i sin j )
计算题_23 图示
0 I
2 x 2 a 2
a x 2 2a 2 a x 2 2a 2 a x 2 2a 2
(cos i sin k ) (cos i sin j ) (cos i sin k )
1 UD —— 如果电势差 U 0 ，载流子为“空穴” ，半导体属于 P 型材料 nq IB
霍尔系数： K
二 填空题 03. 如图所示，将同样的 n 根线焊成立方体，并在其对顶角 A 和 B 上接上电源，则立方体框架中的 电流在其中心处所产生的磁感应强度等于 0 。 根据各支路电流分配的对称性，电流在其中心处所产生的磁感应强度等于零。 04. 如图所示，在无限长直载流导线的右侧有面积 S1 和 S 2 两个矩形回路．两个回路与长直载流导线 在同一平面，且矩形回路的一边与长直载流导线平行．则通过面积为 S1 的矩形回路的磁通量和通过 面积为 S2 的矩形回路的磁通量之比
半圆形上任一电流元 Idl 在 P 点产生的磁感应强度: dB dBx dB yz
计算题_24_01 图示
计算题_24_02 图示
dB
dB 在两个相互垂直方向的投影，如图计算题_24_02 所示。 0 Idl dB i cos x 2 2 4 ( R x ) 0 Idl dB sin (cos j sin k ) yz 2 2 4 ( R x )
2) 设放入的无限长载流导线距离 O 点为 x ，如图所示(计算题_11_02) 令
计算题_11_02 图示
x
0 I 0 I j 2 j R 2 x R
2
—— 电流方向与导线相反
长直导线通有电流 I，将其弯成如图所示形状，求图中 O 点处的磁感应强度。 O 点处的磁感应强度由图中 3 段电流激发磁场的叠加而成 一段所对圆心角为 的载流圆弧在圆心处的磁感应强度：
1 1。 2
填空题_03 图示
填空题_04 图示
穿过 S1 的磁通量： 1
0 I Ib )(bdx ) —— 1 0 ln 2 a 2 2 x 4a I Ib 穿过 S2 的磁通量： 2 ( 0 )( bdx ) —— 2 0 ln 2 2 a 2 x 2
填空题_06 图示
2 l/2 l / 2 q r q dr q r 2 dr —— 积分得到： Pm dPm dr )( r 2 ) 0 0 l l l
q l 2 24
07. 将一个通过电流强度为 I 的闭合回路置于均匀磁场中，回路所围面积的法线方向与磁场方向的 夹角为 ，若均匀磁场通过此回路的磁通量为 m ，则回路所受力矩的大小 M I m tan 。 由 M Pm B ，得 M Pm B sin —— Pm IS
2a
(
1 1 2
05. 氢原子中电子质量 m ，电量 e ，它沿某一圆轨道绕原子核运动，其等效圆电流的磁矩大小 Pm 与 电子轨道运动的动量矩大小 L 之比 电子的电量 e ，等效电流 I 根据磁距的定义： Pm IS
Pm e 。 L 2m
e e T 2
e e 2 ( r 2 ) Pm r 2 2 P e 2 m 电子的轨道角动量： L m r L 2m q l 2 。 24
B dl I
L
0
i
0
L内
b
a
c d a B dl B dl B dl B dl 0
b c d
因为： 所以：
b
a a
c d B dl B dl B dl 0
UDS ； IB
(B)
IBU ； DS
(C)
US ； IBD
(D)
IUS ； BD
(E)
UD 。 IB
E vB 平衡后霍尔场强满足： qE qvB
电流强度 I nqS v ，将 v 电势差 V E
I IB 代入上式得到： E nqS nqS
S IB D nqD
( ab) 边在 P 点产生的磁感应强度大小：
B1
0 I (cos 1 cos 2 ) 4 x
a cos1 2 x 2a 2 a cos 2 2 x 2a 2 2 2 x x 2a (ab) 边产生的磁感应强度：
0 I
2 x 2 a 2
cos i
a x a2
2
代入得到正方形线圈在 P 点的磁感应强度：
B
2 0 Ia 2 ( x2 a2 )
1 x 2 2a 2
i
如图所示，求半圆形电流 I 在半圆的轴线上离圆心距离为 x 处的磁感应强度。 选取如图所示(计算题_24_01)的坐标。
07_06 稳恒磁场问题讨论 一 选择题 01. 如图所示，有一矩形线圈 AOCD ，通过如图方向的电流 I ，将它置于均匀磁场 B 中， B 的方向 与 x 轴正方向一致，线圈平面与 x 轴之间的夹角为 ， 90 ，若 AO 边在 Oy 轴上，且线圈可绕
0
Oy 轴自由转动，则线圈将
(A) 作使 角减小的转动； (C) 不会发生转动； (B) 作使 角增大的转动； (D) 如何转动尚不能判定。
m BS cos —— B
m M IS S cos
m S cos sin —— M I m tan
08. 如图所示，一个均匀磁场 B 只存在于垂直于图面的 P 平面右侧， B 的方向垂直于图面向里，一 质量为 m ，电荷为 q 的粒子以速度 v 射人磁场， v 在图面内与界面 P 成某一角度．那么粒子在从磁 场中射出前是做半径为 R 的圆周运动，如果 q 0 时，粒子在磁场中的路径与边界围成的平面区域 的面积为 S ，那么 q 0 时，其路径与边界围成的平面区域的面积 S ( 运动电荷在均匀磁场中受到得洛伦兹力： F qv B 带电粒子作圆周运动：满足 qvB
06. 如图所示，长为 l 的细杆均匀分布着电荷 q ，杆绕垂直杆并经过其中心的轴，以恒定的角速度 旋转，此旋转带电杆的磁矩大小 Pm 距离转轴 r 处的电荷元 dq 2 因旋转形成的磁矩： dPm SdI
q dr l
dq 2 —— T T qdr dI l dI dPm ( Pm
【 B 】
矩形线圈在均匀磁场中受到的力矩： M Pm B —— 方向沿 y 轴的负方向
磁力矩的作用使线圈的法线方向与磁场的方向一致，作使 增大的转动。
选择题_01 图示
选择题_02 图示
02. 通有电流 I 、厚度为 D 、横截面积为 S 导体，放在磁感应强度 B 的匀强磁场中，磁场方向垂直 则导体的霍尔系数等于： 于导体的侧表面， 如图所示， 现测得导体上下面电势差为 U ， (A) 【 E 】
mv 2 mv —— R qB R
—— 圆周运动的半径大小与电荷的正负无关 所以 q 0 时，其路径与边界围成的平面区域的面积：
S R 2 S —— S (
四 计算题
mv 2 ) S qB
填空题_08 图示
09. 用安培环路定理证明，如图所表示的那种不带边缘效应的均匀磁场不可能存在。 假设内部为均匀磁场 B ，外部邻近磁感应强度为零，取 abcd 为积分回路，根据安培环路定理：
B12
0 b ln —— 方向向里 4 a 0
2
O 点的磁感应强度大小：
B Ba Bb B12 B34
b 0 b ln B 0 ( ln ) a 2 2 a
11. 如图所示，一半径为 R 的无限长圆柱面导体，其上电流与其轴线上一无限长直导线的电流等值 反向，电流 I 在半圆柱面上均匀分布。求： 1) 轴线上导线单位长度所受的力； 2) 若将另一无限长直导线(通有大小和方向与半圆柱面相同的电流 I )代替圆柱面，产生同样的作 用力，该导线应放何处？ 选取如图所示(计算题_11_01)的坐标，无限长圆柱面导体上“无限长”电流元：