高二文科数学选修1-1《导数及其应用》练习题

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(典型题)高中数学选修1-1第四章《导数应用》测试(有答案解析)

一、选择题1．已知函数()22ln 3f x x ax x =+-在2x =处取得极小值，则()f x 在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值为（） A ．52-B ．92ln 32-C ．1-D ．2ln 24-2．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，()10f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（）A ．()()0,11,+∞B ．()(),11,-∞-+∞C ．()(),10,1-∞-⋃D ．()()1,01,-⋃+∞3．已知函数3213()32f x x x c =++有3个不同的零点，则c 的取值范围是（） A ．9,02⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．4,(0,)3⎫⎛-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．4,03⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．9,(0,)2⎫⎛-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭4．对任意0x >，若不等式2e ln e xa x ax x++≥恒成立(e 为自然对数的底数)，则正实数a 的取值范围是（）A ．(0,e]B ．2(0,e ]C ．2[,e]eD ．22[,e ]e5．已知函数()f x 定义域为R ，其导函数为f x ，且()()30f x f x '->在R 上恒成立，则下列不等式定成立的是（） A ．()()310f e f D ．()()210f e f >6．已知函数21ln 22y x a x x =--在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，则实数a 的取值范围为（） A ．34a ≤-B ．1a ≤-C ．1a ≤D ．01a ≤≤7．已知函数()13log xf x e x =-,给出下列两个命题:命题:p 若01x ≥,则()03f x ≥;命题[)0:1,q x ∃∈+∞,()03f x =.则下列叙述错误的是( )A ．p 是假命题B ．p 的否命题是:若01x <,则()03f x <C ．[):1,q x ⌝∀∈+∞,()3f x ≠D ．q ⌝是真命题8．对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，不等式()()sin cos x f x x f x ⋅⋅'＜恒成立，则下列不等式错误的是（） A．34f ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()2cos113f f π⎛⎫⋅⎪⎝⎭＞ C．()14f f π⎛⎫⋅⎪⎝⎭D．46f f ππ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭9．函数()2xf x ae x =+在R 上有两个零点1x ，2x ，且212x x ≥，则实数a 的最小值为（） A ．ln 22-B ．ln 2-C ．2e-D ．ln 210．若函数(1),()21,x x e x af x x x a⎧-+=⎨-->⎩有最大值，则实数a 的取值范围是（）A ．211[,)22e --+∞ B ．21[,)2e -+∞ C ．[2-，)+∞ D ．211(2,]22e --- 11．已知函数()221,02,0k x f x x x k x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-≥⎩，若函数()()()g x f x f x =-+有且只有四个不同的零点，则实数k 的取值范围为（） A ．k 0C ．27k <D ．27k >12．设函数()f x 的定义域为R ，其导函数是()f x '，若()()()20,01'+<=f x f x f ，则不等式()2xf x e ->的解集是（） A ．()0,1B ．()1,+∞C ．()0,∞+D ．(),0-∞二、填空题13．已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示，则函数()()x f x g x e=的单调递减区间为___________．14．已知函数()2ln ()x ax a a x x R f =--∈的图象与x 轴交于不同两点，则实数a 的取值范围为______．15．若函数()()32f x x ax a R =--∈在(),0-∞内有且只有一个零点，则()f x 在[]1,2-上的最小值为______.16．已知函数()2cos sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是______.17．已知a R ∈，设函数232,1()1,1x x a x f x x a nx x ⎧-+=⎨->⎩，若关于x 的不等式()0f x ≥在R上恒成立，则a 的取值范围是_________.18．若函数()()20xf x ae xa =-≠仅有1个零点，则实数a 的取值范围是______.19．已知成立, 则实数a 的取值范围是．20．使“函数()xe f x x=在区间(0，m ]上单调递减”成立的一个m 值是_____.三、解答题21．已知函数()()()2220xf x ax x ea =++>，其中e 是自然对数的底数.（1）若()f x 在[]22-,上是单调增函数，求a 的取值范围；（2）证明：当1a =时，方程()5f x x =+有且只有两个零点. 22．设函数()(1)ln(1)f x x x x =-++ （1）若方程()f x t =在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个实数解，求t 的取值范围；（2）证明：当0m n >>时，(1)(1)n mm n +<+.23．设函数(),02alnxf x x a =->. （1）求()f x 的单调区间;（2）求证:当1,ax e ∈⎡⎤⎣⎦时，()22aaf x e ≤-24．已知函数()ln 1f x a x =，a R ∈.（1）若函数()f x 在()1,+∞上单调递减，求a 的取值范围；（2）若函数()f x 存在最大值，且最大值不大于0，求a 的值.25．已知函数())ln f x a x a =∈R ．（1）当1a =-时，求()f x 的单调区间；（2）求()f x 在[1,4]上的最小值． 26．已知函数2()ln f x x ax =-．（1）当a =1时，①求f (x )在(1，f （1）)处的切线方程； ②求f (x )的极值点；（2）若f (x )≤0恒成立，求a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由()20f '=求出a 的值，然后利用导数可求得函数()f x 在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值.【详解】()22ln 3f x x ax x =+-，则()223f x ax x=+-'，由题意可得()2420f a '=-=，解得12a =，则()212ln 32f x x x x =+-， ()22323x x f x x x x-+'=+-=，令()0f x '=，可得1x =或2x =，列表如下：所以，函数()f x 的极大值为()12f =-，极小值为()22ln 24f =-，又1112ln 228f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()932ln 32f =-，()()()95312ln 32ln 322ln 31022f f -=-+=-=->，则()()13f f <，所以，()()max 932ln 32f x f ==-. 故选：B. 【点睛】思路点睛：利用导数求函数()y f x =在[],a b 上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数()y f x =在(),a b 内的极值；（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a 、f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.2．C解析：C 【分析】构造函数()()f xg x x=，分析出函数()g x 为偶函数，且在()0,∞+上为减函数，由()0f x >可得出()00g x x ⎧>⎨>⎩或()0g x x ⎧<⎨<⎩，解这两个不等式组即可得解.【详解】构造函数()()f xg x x=，该函数的定义域为{}0x x ≠，由于函数()f x 为奇函数，则()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--，所以，函数()()f xg x x=为偶函数. 当0x >时，()()()20xf x f x g x x'-'=<，所以，函数()g x 在()0,∞+上为减函数，由于函数()()f xg x x=为偶函数，则函数()g x 在(),0-∞上为增函数. ()10f -=，则()10f =且()00f =，所以，()()110g g -==.不等式()0f x >等价于()()010g x g x ⎧>=⎨>⎩或()()010g x g x ⎧<=-⎨<⎩，解得1x <-或01x <<.因此，不等式()0f x >的解集为()(),10,1-∞-⋃. 故选：C. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.3．A解析：A 【分析】求出三次函数的导数，根据导函数正负情况分析单调性和极值，图象要与x 轴三个交点，据此得出取值范围. 【详解】由条件得2()3(3)f x x x x x '=+=+，令()0f x '>，可得解集为(,3)(0,)-∞-⋃+∞ 令()0f x '<，可得解集为(3,0)-则()f x 在(,3)-∞-和(0,)+∞上单调递增，在(3,0)-上单调递减，又9(3)2f c -=+，(0)f c =，要使()f x 有3个不同的零点，则902c c <<+，所以902c -<<. 故选：A 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．4．B解析：B 【分析】将不等式化简并换元，构造函数2()ln e (e)f t t a t t =-+≥，则min ()0f t ≥即可，对函数求导，判断导函数零点与区间端点的关系，分类讨论得出函数的单调性和最小值，代入求解可得正实数a 的取值范围．【详解】22e e e ln e ln e 0x x x a x ax a x x x ++≥⇔-+≥，令e x t x=(由e e x x ≥可知e t ≥)，则2ln e 0t a t -+≥，设2()ln e (e)f t t a t t =-+≥，则min ()0f t ≥即可，易得()1(e)a t a f t t t t-'=-=≥， ①当0e a <≤时，()0f t '≥，所以此时()(e)y f t t =≥是增函数，故2min ()(e)e e 0f t f a ==-+≥，解得2e e a ≤+，又0e a <≤，所以0e a <≤；②当e a >时，则()y f t =在[,)e a 上递减，在(,)a +∞上递增，故min ()()f t f a =，min ()0()0f t f a ≥⇔≥，所以2ln e 0a a a -+≥，设2()ln e (e)g a a a a a =-+>，故()0g a ≥即可，而()ln (e)g a a a '=->，显然()0g a '<，即()y g a =在(e,)+∞上递减，又2(e )0g =，而()0g a ≥，所以2()(e )g a g ≥，所以2e a ≤，又e a >，因此2e e a <≤.综上所述，0e a <≤或2e e a <≤，即2(0,e ]a ∈. 故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题，考查导数在单调性和最值中的应用，考查分类讨论思想，关于恒成立问题的几种常见解法总结如下： 1.参变分离法，将不等式恒成立问题转化为函数求最值问题；2.主元变换法，把已知取值范围的变量作为主元，把求取值范围的变量看作参数；3.分类讨论，利用函数的性质讨论参数，分别判断单调性求出最值；4.数形结合法，将不等式两端的式子分别看成两个函数，作出函数图象，列出参数的不等式求解．5．A解析：A 【分析】构造函数()()3xf xg x e=，由()()30f x f x '->得0g x ，进而判断函数()g x 的单调性，判断各选项不等式. 【详解】()()3x f x g x e=，则()()()()()()3323333x x x x f x e f x e f x f x g x e e ⋅--=='''，因为()()30f x f x '->在R 上恒成立，所以0g x在R 上恒成立，故()g x 在R 上单调递减，所以()()10g g <，即()()3010f f e e <，即()()310f e f <，故选：A. 【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.6．B解析：B 【分析】由函数21ln 22y x a x x =--在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，知'0y ≥在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，分离参数，求最值得答案. 【详解】因为函数21ln 22y x a x x =--在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，所以22'20a x x ay x x x --=--=≥在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，所以222(1)1a x x x ≤-=--在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，所以1a ≤-，故选：B. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关根据函数在给定区间上单调增求你参数的取值范围的问题，解题方法如下：（1）利用函数在给定区间上单调递增，得到其导数大于等于零在给定区间上恒成立；（2）求导；（3）分离参数，求最小值，得结果.7．D解析：D 【分析】分析函数()13log xf x e x =-为增函数，若01x ≥，求出[)1,x ∈+∞时函数的值域，结合命题间的基本关系即可得答案. 【详解】由函数的解析式可得函数的定义域为： ()0,∞+,且导函数()10ln 3xf x e x '+=>，则函数单调递增，结合()1131log 1e f e =-=，可得当1≥x 时，函数的值域为[),e +∞.据此可知p 是假命题， q 是真命题， q ⌝是假命题. 结合全称命题与特称命题的关系可得：p 的否命题是：若01x <,则()03f x <.[):1,q x ⌝∀∈+∞，()3f x ≠故选：D 【点睛】本题通过考查函数的单调性和极值来考查命题间的基本关系，属于中档型综合题.8．D解析：D 【分析】构造函数()()cos g x f x x =，对其求导后利用已知条件得到()g x 的单调性，将选项中的角代入函数()g x 中，利用单调性化简，并判断正误，由此得出选项. 【详解】解：构造函数()()cos g x f x x =，则()()()cos sin g x x f x x f x ='⋅⋅'-， ∵()()sin cos x f x x f x ⋅⋅'＜，∴()()()cos sin 0g x x f x x f x =⋅-⋅''＞，即()g x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上为增函数，由43g g ＜ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即cos cos 4433f fππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜1423f f ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜，故A 正确；()13g g 由＜π⎛⎫⎪⎝⎭，即()1cos1cos 33f f ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜，即()2cos113f f π⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭＞，故B 正确；()14g g π⎛⎫⎪⎝⎭由＜，即()cos 1cos144f f ＜ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()1cos124f f π⎛⎫⎪⎝⎭＜，故C 正确；由64g g ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜，即cos cos 6644f f ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜，即2624f f ＜ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即64f f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜，故错误的是D ．故选D ．【点睛】本小题考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法.构造函数法主要应用于题目所给已知条件中含有()f x ，也含有其导数()f x '的不等式，根据不等式的结构，构造出相应的函数.如已知是()()0xf x f x -<'，可构造()()f x g x x=，可得()()()20xf x f x g x x'-='<.9．B解析：B 【分析】函数()2xf x ae x =+，变形为2x x a e =-，令()2xxg x e =-，利用导数求函数的最值，可得20a e -<<，结合212x x ≥，可得212x x =时，a 取得最小值，再把1x ，2x 代入20x ae x +=，求解1x ，再代入112xae x =-，即可求得a 的最小值【详解】函数()2xf x ae x =+，变形为2x x a e =-，令()2x xg x e =-，得()()21xx g x e-'=，当(),1x ∈-∞时，0g x ，当()1,∈+∞x 时，0g x ，可得1x =时，函数()g x 取得最小值2e-. 又当x →-∞时，()g x →+∞，当x →+∞时，()0g x <，且函数()2xf x ae x =+在R 上有两个零点1x ，2x ，得20a e-<<. 由212x x ≥，可得212x x =时，a 取得最小值. 由112xae x =-，222x aex =-，得1214x ae x =-，∴12x e =，解得1ln 2x =.代入112xae x =-，解得ln 2a =-.∴a 的最小值为ln 2-. 故选：B. 【点睛】此题考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查化归与转化的数学思想，考查计算能力，属于中档题10．A解析：A 【分析】由x a >时，()21f x x =--递减，且无最大值，可得x a 时，()f x 取得最大值M ，且21M a --，求出x a 时，()f x 的导数和单调区间、极大值，讨论2a <-，判断单调性，可得最大值，解不等式判断无解，则2a -，求出最大值，解不等式即可得到所求a 的范围. 【详解】解：由x a >时，()21f x x =--递减，可得()21f x a <--，无最大值，函数(1),()21,x x e x af x x x a⎧-+=⎨-->⎩有最大值，可得x a 时，()f x 取得最大值M ，且21M a --，由()(1)xf x x e =-+的导数为()(2)xf x x e '=-+，可得2x >-时，()0f x '<，()f x 递减；2x <-时，()0f x '>，()f x 递增. 即有()f x 在2x =-处取得极大值，且为最大值2e -.若2a <-，则()f x 在(-∞，]a 递增，可得()()f x f a (1)aa e =-+，由题意可得(1)21a a e a -+≥--，即得(1)210aa e a +--≤，令(1))1(2aa e g a a +--=，则()(2)20ag a a e '=+-<，(2)a <-，则()g a 在(),2-∞-递减，可得2(2)0()3g a g e ->-=-+>，则不等式(1)210aa e a +--≤无实数解.故2a -，此时在2x =-处()f x 取得最大值，为2e --，故221e a ----，解得21122a e --，综上可得，a 的范围是211[22e --，)+∞. 故选：A. 【点睛】本题考查了分段函数的最值问题，考查转化思想，以及分类讨论思想方法，注意运用导数，求出单调区间和极值､最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题.11．D解析：D 【分析】表示出函数()g x ，分0k =，k 0<及0k =讨论，易知当0k =及k 0<时均不合题意，而观察解析式可知，问题可化为22()(0)kg x x k x x=+->有且仅有两个不同的零点，故利用导数研究函数()g x 在(0,)+∞上的最小值小于0即可．【详解】解：依题意，222,0()4,02,0kx k x x g x k x k x k x x ⎧+->⎪⎪=-=⎨⎪⎪--<⎩，当0k =时，原函数有且只有一个零点，不合题意，故0k ≠；观察解析式，易知函数()g x 为偶函数，则函数()g x 有且仅有四个不同的零点，可转化为22()(0)kg x x k x x=+->有且仅有两个不同的零点，当k 0<时，函数()g x 在(0,)+∞上递增，最多一个零点，不合题意；当0k >时，322()()x k g x x -'=，0x >，令()0g x '>，解得13x k >，令()0g x '<，解得130x k <<，故函数()g x 在13(0,)k 上递减，在13(k ，)+∞上递增，要使()g x 在(0,)+∞上有且仅有两个不同的零点，则1233132()()0min k g x g k k k k==+-<，解得27k >．故选：D ．【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系以及利用导数研究函数的单调性，最值等，考查分类讨论思想以及运算求解能力，属于中档题．12．D解析：D 【分析】构造新函数2()()xg x ef x =，求导后可推出()g x 在R 上单调递减，而2()x f x e ->可等价于20()1(0)x e f x e f >=，即()(0)g x g >，故而得解．【详解】令2()()xg x ef x =，则2()[2()()]xg x e f x f x ''=+，2()()0f x f x +'<，()0g x '∴<，即()g x 在R 上单调递减，(0)1f =，2()x f x e -∴>可等价于20()1(0)x e f x e f >=，即()(0)g x g >，0x ∴<，∴不等式的解集为(,0)-∞．故选：D ．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、解不等式，构造新函数是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．二、填空题13．【分析】利用图象得出不等式的解集再利用导数可求得函数的单调递减区间【详解】由图象可知不等式的解集为由可得解得因此函数的单调递减区间为故答案为：【点睛】思路点睛：利用导数求函数单调区间的步骤：（1）求解析：()0,1、()4,+∞ 【分析】利用图象得出不等式()()0f x f x '-<的解集，再利用导数可求得函数()()x f x g x e=的单调递减区间. 【详解】由图象可知，不等式()()0f x f x '-<的解集为()()0,14,+∞，()()x f x g x e =，()()()()()()()2x x x x f x e f x e f x f x g x e e ''-⋅'-=='，由()0g x '<，可得()()0f x f x '-<，解得()()0,14,x ∈+∞.因此，函数()()x f x g x e=的单调递减区间为()0,1、()4,+∞．故答案为：()0,1、()4,+∞. 【点睛】思路点睛：利用导数求函数单调区间的步骤：（1）求函数()f x 的定义域；（2）求导数()f x '；（3）解不等式()0f x '>，并与定义域取交集得到的区间为函数()f x 的单调增区间；（4）解不等式()0f x '<，并与定义域取交集得到的区间为函数()f x 的单调减区间.14．【分析】先由题意得到关于的方程在上有两不等实根即在上有两不等实根令对其求导判定其单调性以及的取值情况即可得出结果【详解】因为函数的图象与x 轴交于不同两点所以关于的方程在上有两不等实根即在上有两不等实解析：1a >【分析】先由题意，得到关于x 的方程2ln 0x ax a x --=在()0,∞+上有两不等实根，即2ln 1x x x a +=在()0,∞+上有两不等实根，令()2ln x x g x x +=，对其求导，判定其单调性，以及()g x 的取值情况，即可得出结果. 【详解】因为函数()2ln ()x ax a a x x R f =--∈的图象与x 轴交于不同两点，所以关于x 的方程2ln 0x ax a x --=在()0,∞+上有两不等实根，即2ln 1x x x a+=在()0,∞+上有两不等实根，令()2ln x x g x x +=，则()2ln x x g x x +=与直线1y a =有两个不同交点，又()()24311ln 212ln x x x x x x x g x x x ⎛⎫+-+⋅ ⎪--⎝⎭'==，令()12ln h x x x =--，则()210h x x'=--<在()0,∞+上恒成立，则()12ln h x x x =--在()0,∞+上单调递减，又()10h =，所以当()0,1x ∈时，()0h x >，即()312ln 0x xg x x --'=>，则()g x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0h x <，即()312ln 0x xg x x --'=<，则()g x 单调递减；所以()()max 110g x g ==>，又211101eg e e-⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以存在01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0g x =；因此当()00,x x ∈时，()0g x <；当()0,1x x ∈时，()0g x >；又当1x >时，ln 0x >，所以()0g x >；因此，为使()2ln x x g x x +=与直线1y a =有两个不同交点，只需101a<<，解得1a >. 故答案为：1a >. 【点睛】思路点睛：利用导数的方法处理由函数零点个数求参数问题时，一般需要根据函数零点个数，得到对应方程的根的个数，再分离参数，构造新的函数，对新函数求导，利用导数的方法判定其单调性，确定函数的取值情况，进而可求出结果.（也可利用数形结合的方法求解）15．【分析】利用导数分析函数在区间上的单调性根据该函数在区间上有且只有一个零点求得参数的值进而利用导数可求得函数在区间上的最小值【详解】则①当时对任意的恒成立此时函数在区间上单调递增且不合乎题意；②当时解析：4-【分析】利用导数分析函数()y f x =在区间(),0-∞上的单调性，根据该函数在区间(),0-∞上有且只有一个零点求得参数a 的值，进而利用导数可求得函数()y f x =在区间[]1,2-上的最小值. 【详解】()32f x x ax =--，则()23f x x a '=-.①当0a ≤时，对任意的(),0x ∈-∞，()0f x '>恒成立，此时，函数()y f x =在区间(),0-∞上单调递增，且()()020f x f <=-<，不合乎题意；②当0a >时，令()230f x x a '=-=，可得x =x =当x <()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增；当0x <<时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减.所以，()max 20f x f ⎛=== ⎝，解得3a =，()332f x x x ∴=--. ()()()233311f x x x x '=-=-+，当11x -<<时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减；当12x <<时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增.因此，函数()y f x =在1x =处取得极小值，亦即最小值，故()()min 14f x f ==-. 故答案为：4-. 【点睛】本题考查利用导数求解函数在区间上的最值，同时也考查了利用导数研究函数的零点，考查计算能力，属于中等题.16．【分析】由解析式可分析得到的一个周期为则只需考虑在上的值域即可利用导函数求得其最值即可【详解】由题的一个周期为故只需考虑在上的值域令解得或可得此时或或所以的最小值只能在点或或和边界点中取到因为所以的解析：【分析】由解析式可分析得到()f x 的一个周期为2T π=,则只需考虑()f x 在[)0,2π上的值域即可,利用导函数求得其最值即可. 【详解】由题,()f x 的一个周期为2T π=, 故只需考虑()f x 在[)0,2π上的值域,()()()()22sin 2cos 22sin 212sin 22sin 1sin 1f x x x x x x x '=-+=-+-=--+,令()0f x '=,解得1sin 2x =或sin 1x =-, 可得此时6x π=或56π或π, 所以()2cos sin 2f x x x =+的最小值只能在点6x π=或56π或π和边界点0x =中取到,因为6f π⎛⎫=⎪⎝⎭,56f π⎛⎫= ⎪⎝⎭()2f π=-,()02f =,所以()f x 的最小值为故答案为:【点睛】本题考查导数的运算,考查利用导函数求最值,考查运算能力.17．【分析】根据分段函数当时将恒成立转化为恒成立令利用二次函数的性质求得其最大值当时将转化为恒成立令用导数法求得其最小值然后两种情况取交集【详解】当时等价于恒成立令其中则所以当时等价于恒成立令则当时递增解析：[]1,e【分析】根据分段函数，当1x ≤时，将()2320f x x x a =-+≥恒成立，转化为232x x a -恒成立，令23()2x x g x -=，利用二次函数的性质求得其最大值，当1x >时，将()ln 0f x x a x =-≥，转化为1xanx 恒成立，令()ln x h x x=，用导数法求得其最小值，然后两种情况取交集. 【详解】当1x ≤时，()2320f x x x a =-+≥等价于232x x a -恒成立，令()22231139()322228x x g x x x x -⎛⎫==--=--+ ⎪⎝⎭，其中1x ≤，则()max 1g x =，所以1a ≥，当1x >时，()ln 0f x x a x =-≥等价于1xanx恒成立，令()ln xh x x=，则221ln ln 1()(ln )(ln )x x x x h x x x -⋅-'==，当x e >时，()()0,h x h x '>递增，当1x e <<时，()()0,h x h x '<递减， ∴x e =时，()h x 取得最小值()h e e =， ∴()min a h x e ≤=，综上：a 的取值范围是[]1,e . 故答案为：[]1,e . 【点睛】本题主要考查二次函数的最值，函数的最值与导数以及导数与不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．(或)【分析】令分离常数构造函数利用导数研究的单调性和极值结合与有一个交点求得的取值范围【详解】解：方程可化为令有当时；当或时所以函数的增区间为减区间为可得处取得极小值0处取得极大值画出的图象和直线解析：24a e >(或24(,)e+∞) 【分析】令()0f x = 分离常数2x x a e=，构造函数2()x x g x e =，利用导数研究()g x 的单调性和极值，结合y a = 与()g x 有一个交点，求得a 的取值范围．【详解】解：方程()0f x = 可化为2x x a e=，令2()x x g x e =，有(2)()xx x g x e -'=，当02x <<时，()0g x '>；当0x <或2x >时，()0g x '<，所以函数()g x 的增区间为(0,2)，减区间为(,0)-∞，(2,)+∞，可得0x = 处()g x 取得极小值 0，2x = 处取得极大值24e，画出()y g x = 的图象和直线y a =，可得当24a e>时，()y g x = 和y a = 的图象有 1 个交点．故答案为：24,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题．19．【详解】当时当时时有最小值因为所以考点：函数的单调性解析：【详解】，当时，，当时，()0,1f x x '>∴=-时，有最小值()1f -．因为()max g x a =，所以．考点：函数的单调性．20．；【分析】首先有且根据导函数得到的单调区间及对应的单调性使函数在区间(0m 上单调递减成立即(0m 包含于的单调递减区间即可得到一个m 值【详解】由题意知：且∴当且时即单调递减当时即单调递增故要使在区间(解析：12；【分析】首先有2(1)()xx e f x x-'=且0x ≠，根据导函数得到()f x 的单调区间及对应的单调性，使“函数()xe f x x=在区间(0，m ]上单调递减”成立，即(0，m ]包含于()f x 的单调递减区间，即可得到一个m 值【详解】由题意，知：2(1)()xx e f x x -'=且0x ≠∴当0x ≠且1x <时，()0f x '<，即()f x 单调递减当1x >时，()0f x '> ，即()f x 单调递增故，要使()f x 在区间(0，m ]上单调递减，则01m <<即可 ∴12m =符合要求故答案为：12【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数范围，结合导函数研究函数的单调区间，由命题中函数单调的成立条件确定区间的包含关系，进而求参数范围三、解答题21．（1）(]0,1；（2）证明见解析. 【分析】（1）转化为()22140ax a x +++≥在[]22-,上恒成立，利用二次函数知识可求得结果；（2）构造函数()()2225xh x x x e x =++--，利用导数可得()h x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，其中()01,0x ∈-，再根据零点存在性定理可证结论成立. 【详解】（1）因为()f x 在[]22-,上是单调增函数，所以()()()()2222222140xxxf x ax e ax x e ax a x e '⎡⎤=++++=+++⎦≥⎣在[]22-,上恒成立，又0x e >，所以()22140ax a x +++≥在[]22-,上恒成立. 令()()2214g x ax a x =+++，又0a >，故对称轴为110x a=--<.①当112a--≤-，即01a <≤时，()g x 在[]22-,上单调递增，则()()min 244(1)40g x g a a =-=-++=，所以此时()()20g x g ≥-=恒成立. ②当1210a -<--<，即1a >时，()g x 在12,1a ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦上单调递减，在11,2a ⎛⎤-- ⎥⎝⎦上单调递增，所以min 1()1g x g a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()21112114a a a a ⎛⎫⎛⎫=--++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1()2a a =-++()21a a-=-0<，所以()0g x ≥在[]22-,上不恒成立，故1a >不合题意，综上所述，a 的取值范围是(]0,1.（2）因为1a =，设()()2225xh x x x e x =++--，则()()()()2222221441xxxh x x e x x e x x e =++'++-=++-.令()()2441xx x x e ϕ=++-，则()()()()()()2224446842xxxxx x e x x e x x e x x e ϕ=+++'+=++=++，由()()()420xx x x e ϕ'=++=，得4x =-或2x =-.所以4410x e =-=-<极大值，210x =-=-<极小值因为()1110eϕ-=-<，()030ϕ=>，所以存在()01,0x ∈-，使()00x ϕ=，当()0,x x ∈-∞时，()0x ϕ<，()0h x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0x ϕ>，()0h x '>，所以()h x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增. 又因为()51750h e -=>，()410410h e -=-<，()030h =-<，()1560h e =->，故根据零点存在定理，可知()0h x =的根()15,4x ∈--，()20,1x ∈，所以方程()5f x x =+有且只有两个零点. 【点睛】关键点点睛：第（1）问转化为()22140ax a x +++≥在[]22-,上恒成立是解题关键，第（2）问构造函数()()2225xh x x x e x =++--，利用导数研究函数的零点是解题关键.22．（1）11ln 2,022⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭；（2）证明见解析. 【分析】（1）方程()f x t =在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个实数解，等价于函数()f x 在区间1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像与直线y t =有两个交点，所以利用导数求出()f x 在1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在(]0,1上单调递减，再比较出(1)f 和12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小即可得答案；（2）由0m n >>，要证(1)(1)n mm n +<+，只需证ln(1)ln(1)n m m n +<+，只需证ln(1)ln(1)m n m n ++<，构造函数ln(1)(),(0)x g x x x +=>，然后利用导数证明()g x 是减函数即可【详解】解：（1）由()(1)ln(1)f x x x x =-++，定义域为()1,-+∞，()ln(1)f x x '=-+，()ln(1)00f x x x '=-+=⇒=，当102x -≤<时，()()0,f x f x '>单调递增，当01x <≤时，()()0,f x f x '<单调递减，则()f x 在1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在(]0,1上单调递减，又111(0)0,(1)1ln 4,()ln 2222f f f ==--=-+， 135(1)()ln 20,222∴--=-<f f 1(1)2f f ⎛⎫∴< ⎪⎝⎭∴ 当11ln 2,022⎡⎫∈-+⎪⎢⎣⎭t 时，方程()f x t =有两解. （2）∵ 0m n >>.∴ 要证：(1)(1)n m m n +<+，只需证ln(1)ln(1)n m m n +<+，只需证：ln(1)ln(1)m n m n ++<. 设ln(1)(),(0)x g x x x+=>，则22ln(1)(1)ln(1)1()(1)xx x x x x g x x x x -+-+++=+'=.由（1）知()(1)ln(1)f x x x x =-++在(0,)+∞单调递减，又()00=f ，∴ (1)ln(1)0x x x -++<，即()g x 是减函数，而m n >. ∴ ()()g m g n <，故原不等式成立. 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数证明不等式，考查数学转化思想，解题的关键是把(1)(1)n mm n +<+，转化为ln(1)ln(1)m n m n++<，再构造函数，再利用导数判断此函数为减函数即可，属于中档题 23．（1）单调递增区间为,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）证明见解析.【分析】（1）对()f x 求导，分别由()'0f x >和()'0f x <可求得单调递增和单调递减区间；（2）由题意只需证明()2max2aa f x e ≤-即可，讨论当12a ≤，即02a <≤，()f x 在1,a e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，()()max a f x f e =；当2a >时先证明12aa e a >>>，可得()()max a f x f e =或()()max 11f x f ==，比较即可求证.【详解】（1）由题意得:()1,02af x x x'=->，由()'0f x >，得2a x >，由()'0f x <，得02ax <<，所以()f x 的单调递增区间为,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）若12a≤，即02a <≤，由（1）知()f x 在1,a e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，所以()()22max 22aaaa a f x f e e e ==-≤-成立；若12a>，即2a >，设()a g a e a =-，则当2a >时，()'10ag a e =->，所以()()2220g a g e >=->，所以2aa e a >>，从而1,2a ae ∈⎡⎤⎣⎦. 结合（1）可知，()f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,2aa e ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，下面比较()22aaa f e e =-和()11f =的大小，设()22aa h a e =-，当2a >时，()'0,ah a e a =->所以()()2221h a h e >=->，即()()1af ef >，而()()2max2aaa f x f e e ==-，所以当1,ax e ∈⎡⎤⎣⎦时，()22aaf x e ≤-综上所述：当1,ax e ∈⎡⎤⎣⎦时，()22aaf x e ≤-.【点睛】方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法：（1）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，由()0f x '>（或()0f x '<）解出相应的x 的范围，对应的区间为()f x 的增区间（或减区间）；（2）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，解方程()0f x '=，利用()0f x '=的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论()'f x 的正负，由符号确定()f x 在子区间上的单调性. 24．（1）12a ≤；（2）12a =. 【分析】（1）对函数求导，根据题中条件，得到()0f x '≤在()1,+∞上恒成立，推出a ≤()1,+∞上恒成立，进而可得出结果；（2）对函数求导，先讨论0a ≤，判断函数在定义域上单调，无最值，舍去；再讨论0a >，利用导数的方法研究函数的单调性，得出最大值，进而可求出结果. 【详解】（1）因为()ln 1f x a x =，所以()0a f x x '=≤在()1,+∞上恒成立，所以a ≤在()1,+∞上恒成立，又1x >时，122>，所以只需12a ≤即可，即a 的取值范围是12a ≤；（2）因为函数()ln 1f x a x =的定义域为()0,∞+，为使函数()f x 存在最大值，则()f x 在定义域内不单调；因为()a f x x '=，当0a ≤时，()0a f x x '=-<在()0,∞+上显然恒成立，所以()f x 在定义域上单调递减，无最值，不满足题意；当0a >时，由()0a f x x '==可得24x a =，所以当()20,4x a∈时，()0af x x '=>，则()f x 单调递增；当()24,x a ∈+∞时，()0a f x x '=<，则()f x 单调递减；所以()()()()22max 4ln 412ln 221f x f a a a a a a ===-+，又最大值不大于0，即()()()2max42ln 2210f x f a a a a ==-+≤，令()ln 1h x x x x =-+，0a >，则()10110h =-+=，又()ln 11ln h x x x '=+-=，当()0,1x ∈时，()ln 0h x x '=<，则()ln 1h x x x x =-+单调递减；当()1,x ∈+∞时，()ln 0h x x '=>，则()ln 1h x x x x =-+单调递增，所以()()min 10h x h ==，即()()22ln 221h a a a a =-+的最小值为0，此时12a =，为使()2ln 2210a a a -+≤恒成立，只能()2ln 2210a a a -+=，即12a =. 综上，12a =. 【点睛】思路点睛：利用导数的方法研究函数的最值问题时，一般需要先对函数求导，根据导数的方法研究函数单调性，求出极值，结合题中条件，即可求出最值.（有时解析式中会含有参数，求解时，要讨论参数的不同取值范围，再判断函数的单调性，进行求解） 25．（1）单调递增区间为(4,)+∞；单调递减区间为(0,4)；（2）min2ln 22,11()2ln(2)2,1211,2a a f x a a a a a ⎧⎪+≤-⎪⎪=---<<-⎨⎪⎪≥-⎪⎩.【分析】（1）当1a =-时，()f x '=，进而得4x >时，()0f x '>， 04x <<时，()0f x '<，进而得函数的单调区间；（2）()f x '=，故分1a ≤-，112a -<<-，12a ≥-三种情况讨论即可得答案.【详解】解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，当1a =-时，1()f x x '=-= 当4x >时，()0f x '>，则()f x 的单调递增区间为(4,)+∞；当04x <<时，()0f x '<，则()f x 的单调递减区间为(0,4). （2）2()2a af x x x'== 当1a ≤-时，()0,()f x f x '≤在[1,4]上单调递减，此时，()min (4)2ln 22f x f a ==+ 当12a ≥-时，()0,()f x f x '≥在[1,4]上单调递增，此时，()min (1)1f x f == 当112a -<<-时，若214x a <<，则()0,()f x f x '<单调递减；若244a x <<，则()0,()f x f x '>单调递增此时，()()22min ()4ln 42ln(2)2f x f a a a a a a ==+=--．综上所述：min2ln 22,11()2ln(2)2,1211,2a a f x a a a a a ⎧⎪+≤-⎪⎪=---<<-⎨⎪⎪≥-⎪⎩【点睛】本题考查利用导数求解函数的最小值问题，考查分类讨论思想和运算求解能力，其中第二问解题的关键在于求导得2()2af x x'=，进而分1a ≤-，112a -<<-，12a ≥-三种情况讨论求解，是中档题.26．（1）①0x y +=；②极大值点是2，无极小值点；（2）12a e ≥. 【分析】（1）①利用导数的几何意义求切线方程；②利用导数判断函数的单调性，根据极值点的定义求解；（2）不等式转化为2ln xa x ≥恒成立，即2maxln x a x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，利用导数求函数()2ln xg x x =的最大值. 【详解】（1）①当1a =时，()2ln f x x x =-，定义域是()0,∞+，()21122x x x xf x -=-='，()11f '=-，()11f =-，所以函数在点()()1,1f 处的切线方程是()11y x +=--，即0x y +=；②()0f x '>时，解得：0x <<，函数在区间⎛ ⎝⎭单调递增， ()0f x '<，解得：2x >，函数在区间,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减，所以函数在2x =时取得极大值，极大值点是2，无极小值点；（2）若()0f x ≤恒成立，等价于2ln 0x ax -≤，即2ln xa x ≥恒成立，即2maxln x a x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭ 设()2ln xg x x=，()432ln 12ln x x x x g x x x --'==，当()0g x '=时，x =当(x ∈时，()0g x '>，函数单调递增，当)x ∈+∞时，()0g x '<，函数单调递减，所以当x =()max 12g x e=，即12a e ≥. 【点睛】方法点睛：由不等式恒成立求参数的取值范围的方法：1.讨论最值，先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出含参函数的最值，进而得出相应的含参不等式求参数的取值范围；2.分离参数：先分离参数变量，再构造函数，求出函数的最值，从而求出参数的取值范围.。

(典型题)高中数学选修1-1第四章《导数应用》测试卷(有答案解析)

一、选择题1．已知函数()()22ln x x t f x x+-=，若对任意的[]2,3x ∈，()()0f x f x x '+>恒成立，则实数t 的取值范围是（）A ．(),2-∞B ．5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．103⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,D ．()2,+∞2．已知函数32()22sin 524x f x x x π⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭，且()22(34)12f t t f t -+-+<，则实数t 的取值范围是（） A ．(1,4) B ．(,1)(4,)-∞⋃+∞ C ．(4,1)-D ．(,4)(1,)-∞-+∞3．已知函数3213()32f x x x c =++有3个不同的零点，则c 的取值范围是（） A ．9,02⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．4,(0,)3⎫⎛-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．4,03⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．9,(0,)2⎫⎛-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭4．已知()f x 是可导函数，且()()ln f x x x f x '<⋅对于0x ∀>恒成立，则（） A ．()()()283462f f f <⎪=⎨⎪+≤⎩，若函数()()g x f x a =-仅有一个零点，则实数a的取值范围为（）． A ．(2,)+∞B ．31(2,),e ⎛⎫+∞⋃-∞-⎪⎝⎭C ．311,2,e e⎛⎤⎛⎫⋃-∞- ⎪⎥⎝⎦⎝⎭D ．31,e ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭6．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x '<-，则下列式子成立的是（） A ．(2020)(2021)f ef > B ．(2020)(2021)f ef < C ．(2020)(2021)ef f >D ．(2020)(2021)ef f <7．若函数32()x x x f x e e e a =---存在零点，则实数a 的取值范围为（） A ．[2,)-+∞B ．[,)e C ．2[,)e -+∞ D ．[1,)-+∞8．对于R 上可导的任意函数()f x ，若当2x ≠时满足()02f x x '≤-，则必有（） A ．()()()1322f f f +9．已知函数321()13f x x ax x =+++在(,0)-∞，(3,)+∞上为增函数，在()1,2上为减函数，则实数a 的取值范围为（）A ．(,1]-∞-B ．55,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．5,13⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．55,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭10．函数()()()()22ln 00x x x f x x e x -⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，若关于x 的方程()()2240f x af x a a -+-=有四个不等的实数根，则实数a 的取值范围为（） A ．()0,4 B ．()(),44,-∞⋃+∞C ．(){}4,04- D ．(){},44-∞-11．已知函数()()()2122x x f x m e m R =+++∈有两个极值点，则实数m 的取值范围为（）A ．10e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．111e⎛⎫--- ⎪⎝⎭，C ．1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，D ．()0+∞，12．已知函数()()()22ln 0f x a e x x a =->，1,1D e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦若所有点()(),s f t (s ，t D ∈)所构成的平面区域面积为2e 1-，则a =（）A ．eB ．1e 2- C ．1 D ．2e e - 二、填空题13．已知1a >，若对于任意的1[,)3x ∈+∞，不等式()4ln 3e ln xx x a a -≤-恒成立，则a的最小值为______.14．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，'()f x 为其导函数，当0x >时，()()0xf x f x +>'，且(2)0f =，则不等式()0f x >的解集为__________．15．已知函数()()()3ln 06x f x a x x x a =-->，当0x >时，()0f x '≥（()f x '为函数()f x 的导函数），则实数a 的取值范围为______.16．若函数2sin y x ax =+在[]0,2π上单调递增，则实数a 的取值范围为______. 17．已知函数()f x 定义在R 上的函数，若2()()0x f x e f x --=，当0x ≤时，()()0f x f x '+<，则不等式21()(1)x f x e f x -≥-的解集为__________18．已知函数()()ln ,11,1x x x f x x e x ≥⎧=⎨-<⎩，若函数()()()2g x f x f x a =--⎡⎤⎣⎦有6个零点，则实数a 的取值范围是______.19．函数()2sin f x x ax =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减，则实数a 的取值范围为______. 20．过点（2,0）且与曲线y ＝1x相切的直线的方程为________ 三、解答题21．已知函数32()2f x x ax bx =+++在1x =-处取得极值7．（1）求,a b 的值；（2）求函数()f x 在区间[2,2]-上的最大值 22．已知函数1()ln1xf x x+=-. （1）求证：当(0,1)x ∈时，3()2()3x f x x >+；（2）设实数k 使得3()()3x f x k x >+对(0,1)x ∈恒成立，求k 的最大值.23．在①()14f -=-，()10f '=；②()10f =，()01f '=；③()f x 在()()1,1f --处的切线方程为84y x =+，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中求解．已知函数()32f x x ax bx =++，且______．（1）求a 、b 的值；（2）求函数()f x 的极小值． 24．设函数(),02alnxf x x a =->. （1）求()f x 的单调区间;（2）求证:当1,ax e ∈⎡⎤⎣⎦时，()22aaf x e ≤-25．已知函数()1ln f x x x =--. （1）求证：()0f x ≥；（2）求证：对于任意正整数n ，2111111222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 26．设函数33,().()2,x x x af x a R x x a ⎧-=∈⎨->⎩（1）若0a =，则()f x 的最大值为；（2）若()f x 无最大值，则求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】求导函数()f x '，化简()()0f x f x x'+>得10x t x+->在[]2,3x ∈恒成立，参变分离即可求参数范围. 【详解】∵()2222ln 2x x t f x x-+-'=， ∴对任意的[]2,3x ∈，()()0f x f x x'+>恒成立⇔对任意的[]2,3x ∈，()()0xf x f x '+>恒成立， ⇔对任意的[]2,3x ∈，10x t x+->恒成立, ⇔1x t x+>恒成立，又()1g x x x =+在[]2,3上单调递增,∴()()225min g x g ==， ∴52t <.则实数t 的取值范围是5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：（1）()a f x ≥ 恒成立()max a f x ⇔≥；（2） ()a f x ≤ 恒成立()min a f x ⇔≤.2．A解析：A 【分析】先利用二倍角公式和诱导公式化简函数，构造()()6g x f x =-为R 上单调递增的奇函数，再转化不等式为()22(34)g t t g t -<-，利用单调性解不等式即得结果.【详解】解：33()26cos 2sin 62f x x x x x x x π⎛⎫=++-+=+++⎪⎝⎭令3()()62sin g x f x x x x =-=++，则2()32cos 0g x x x '=++>，()()g x g x -=-，故()g x 在R 上单调递增，且()g x 为奇函数.不等式()22(34)12f t t f t -+-+<，即()226(34)60f t t f t --+-+-<，即()22(34)0g t t g t -+-+<，则()22(34)g t t g t -<- 故2234t t t -<-，即2540t t -+<，所以14t <<．故选：A. 【点睛】方法点睛：利用函数奇偶性和单调性解不等式问题：（1）()f x 是奇函数，图像关于原点中心对称，利用奇函数性质将不等式()()12f g x f g x ⎡⎤⎡⎤<⎣⎦⎣⎦形式，再利用单调性得到()1g x 和()2g x 的大小关系，再解不等式即可；（2）()f x 是偶函数，图像关于y 轴对称，利用偶函数性质将不等式()()12f g x f g x ⎡⎤⎡⎤<⎣⎦⎣⎦形式，再利用单调性得到()1g x 和()2g x 的大小关系，再解不等式即可.3．A解析：A 【分析】求出三次函数的导数，根据导函数正负情况分析单调性和极值，图象要与x 轴三个交点，据此得出取值范围. 【详解】由条件得2()3(3)f x x x x x '=+=+，令()0f x '>，可得解集为(,3)(0,)-∞-⋃+∞ 令()0f x '<，可得解集为(3,0)-则()f x 在(,3)-∞-和(0,)+∞上单调递增，在(3,0)-上单调递减，又9(3)2f c -=+，(0)f c =，要使()f x 有3个不同的零点，则902c c <<+，所以902c -<<. 故选：A 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．4．B解析：B 【分析】构造函数()()ln f x g x x=，利用导数判断出函数()y g x =在区间()1,+∞上为增函数，可得出()()()248g g g <<，进而可得出结论. 【详解】令()()ln f x g x x=，则()()()()2ln ln xf x x f x g x x x '-'=．当1x >时，由()()ln f x x x f x '<⋅得()0g x '>，所以函数()()ln f x g x x=在()1,+∞上是增函数，于是()()()248g g g <<，即()()()248ln 2ln 4ln 8f f f <<，即()()()248ln 22ln 23ln 2f f f <<. 化简得，()()()623428f f f <<，故选：B.5．C解析：C 【分析】转化为()y f x =的图象与直线y a =仅有一个交点，利用导数得到函数的性质，根据函数的性质作出函数的图象，根据图象可得解. 【详解】当0x >时，ln ()x f x x=，21ln ()x x x f x x⋅-'=21ln xx -=，当0x e <<时，()'f x 0>，当x e >时，()0f x '<，所以()f x 在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减，所以()f x 在x e =处取得极大值为1()f e e=，当0x ≤时，()(2)x f x x e =+，()(2)(3)x x xf x e x e x e '=++=+，当3x <-时，()0f x '<，当3x >-时，()0f x '>，所以()f x 在(,3)-∞-上递减，在(3,0]-上递增，所以()f x 在3x =-处取得极小值为331(3)f e e--=-=-，又(0)2f =，因为函数()()g x f x a =-仅有一个零点，所以()y f x =的图象与直线y a =仅有一个交点，作出函数()f x 的图象，如图：由图可知：12a e <≤或31a e<-. 故实数a 的取值范围为311,2,e e ⎛⎤⎛⎫⋃-∞- ⎪⎥⎝⎦⎝⎭.故选：C 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.6．A解析：A 【分析】构造函数()()xg x e f x =，求导判定函数单调性，根据单调性得(2020)(2021)g g >化简即可. 【详解】解：依题意()()0f x f x '+<，令()()xg x e f x =，则()(()())0xg x f x f x e ''=+<在R 上恒成立，所以函数()()xg x e f x =在R 上单调递减，所以(2020)(2021)g g >即20202021(2020)(2021)(2020)(2021)e e e f f f f >⇒>故选：A. 【点睛】四种常用导数构造法：（1）对于不等式()()0f x g x ''+> (或0<) ，构造函数()()()F x f x g x =+．（2）对于不等式()()0f x g x ''->(或0<) ，构造函数()()()F x f x g x =-．（3）对于不等式()()0f x f x '+>(或0<) ，构造函数()()xF x e f x =．（4）对于不等式()()0f x f x '->(或0<) ，构造函数()()xf x F x e =． 7．D解析：D 【分析】由题意得32x x x a e e e =--，令32()xxx g x e e e =--，求()g x 的取值范围可得答案.【详解】由32()0xx x f x ee e a =---=，则32x x x a e e e =--，令32()xxx g x e ee =--，则()()()3223()3211213xxx x x x x x x g x e ee e e e e e e '=--=+-=--，当()0g x '>得0x >，()g x 单调递增，当()0g x '<得0x <，()g x 单调递减，所以min()(0)1g x g ≥=-，()2215()124xxxxx g x e e e e e ⎡⎤⎛⎫=--=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当x 趋向于正无穷大时，()g x 也趋向于正无穷大，所以函数()f x 存在零点，则1a ≥-. 故选：D. 【点睛】方法点睛：本题考查函数零点问题．解题方法是把零点个数转化为方程解的个数，再转化为函数图象交点个数，由图象观察所需条件求得结论．考查了分析问题、解决问题的能力．8．B解析：B 【分析】根据()02f x x '≤-，得到2x >时，()f x 单调非递增函数，2x <时，()f x 单调非递减函数求解. 【详解】因为()02f x x '≤-，所以当20x ->，即2x >时，()0f x '≤，则()f x 单调非递增函数，所以()()32f f ≤；当20x -<，即2x <时，()0f x '≥，()f x 单调非递减函数，所以()()12f f ≤；由不等式的性质得：()()()1322f f f +≤. 故选：B【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及不等式的基本性质，属于中档题.9．B解析：B 【分析】求导得到2()21'=++f x x ax ，然后根据()f x 在(,0)-∞，(3,)+∞上为增函数，在()1,2上为减函数，由(0)0(1)0(2)0(3)0f f f f ''≥⎧⎪≤⎪⎨''≤⎪⎪≥⎩求解.【详解】已知函数321()13f x x ax x =+++，则2()21'=++f x x ax ，因为()f x 在(,0)-∞，(3,)+∞上为增函数，在()1,2上为减函数，所以(0)0(1)0(2)0(3)0f f f f ''≥⎧⎪≤⎪⎨''≤⎪⎪≥⎩，即10121044109610a a a ≥⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪++≥⎩，解得 5534a -≤≤-，所以实数a 的取值范围为55,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦故选：B 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及二次函数与根的分布，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.10．C解析：C 【分析】作出函数()f x 的大致图象，令()t f x =，则原问题可转为关于t 的方程2240t at a a -+-=有2个不等实根1t 和2t ，结合()f x 的图象可确定1t 和2t 符合两种情形：10t =，24t =或()10,4t ∈，()()2,04,t ∈-∞+∞，最后分两类讨论即可求得a 的取值范围. 【详解】当0x ≥时，()22xf x x e-=，∴()()222xf x x xe-'=-，∴当02x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当2x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，函数()f x 的大致图象如图所示：令()t f x =，当0t =或4时，方程()t f x =有2个实根；当()(),04,t ∈-∞+∞，方程()t f x =有1个实根.当t ∈（0，4）时，方程t ＝f （x ）有3个实根；则关于x 的方程()()2240fx af x a a -+-=有四个不等的实数根可等价于关于t 的方程2240t at a a -+-=有2个不等实根1t 和2t .∴1t 和2t 可符合两种情形：10t =,24t =或1t ∈（0，4），()()2,04,t ∈-∞+∞.若10t =，24t =，则124a t t =+=；若1t ∈（0，4），()()2,04,t ∈-∞+∞，设g （t ）＝t 2﹣at +4a ﹣a 2，则g （0）•g （4）＜0，∴()()22416440a aa a a -⋅-+-<，解得40a .综上，实数a 的取值范围为(){}4,04-.故选：C .【点睛】本题考查方程根的问题，利用导数研究函数的单调性与最值，考查学生的数形结合思想、转化与化归思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．11．B解析：B 【分析】求导()()1xf x x m e '=++，将问题转化为()()1xf x x m e '=++有两个不同的零点，也即是关于x 的方程1x xm e --=有两个不同的解，构造函数()xx g x e =，求导()1x xg x e-'=，分析导函数取得正负的区间，从而得函数()g x 的单调性和最值，从而可得选项. 【详解】函数()f x 的定义域为R ，()()'1x fx x m e =++，因为函数()f x 有两个极值点，所以()()1xf x x m e '=++有两个不同的零点，故关于x 的方程1xxm e --=有两个不同的解，令()x x g x e =，则()1xxg x e-'=，当(,1)x ∈-∞时， ()0g x '>，当(1,+)x ∈∞时，()0g x '<，所以函数()g x 在区间(,1)-∞上单调递增，在区间(1,+∞)上单调递减，又当x →-∞时，()g x →-∞；当x →+∞时，()0g x →，且0,()0x g x >>()11g e=，故101m e <--<，即111m e --<<-. 故选：B. 【点睛】本题考查运用导函数研究函数的单调性、最值、极值，关键在于构造合适的函数，参变分离的方法的运用，属于中档题.12．D解析：D 【分析】求得导函数()'f x ，确定()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域，从而可得题中平面区域面积，解之可得a . 【详解】解：()()2222a e x f x a e x x -⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭，因为1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0a >，所以()0f x '>，()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为()22,a e e a ⎡⎤+⎣⎦，因为所有点()(),s f t (s ，t D ∈)所构成的平面区域面积为2e 1-，所以()221211a e e e e ⎛⎫---=-⎪⎝⎭，解得2ea e =-，故选：D . 【点睛】本题考查用导数求函数的值域，解题方法是求出导函数，用导数确定函数的单调性，求得值域区间，然后可计算出题设平面区域面积，得出结论．二、填空题13．【分析】不等式等价变形利用同构函数的单调性得解【详解】令∴在上单调递增∵∴∴恒成立令只需∴单调递增∴单调递减时的最大值为∴∴的最小值为故答案为：【点睛】不等式等价变形同构函数是解题关键解析：3e【分析】不等式等价变形()()()4ln 3ln 3ln 3ln xxxe x x a a x x a a e e-≤-⇔-≤-，利用同构函数()ln f x x x =-的单调性得解【详解】()()4ln 3ln 3ln 3ln x x e x x a a x x ae a x -≤-⇔-≤--()()3ln 3ln x x x x ae ae ⇔-≤-令()ln f x x x =-，()111x f x x x-'=-=， ∴()f x 在[)1,+∞上单调递增.∵1a >，1[,)3x ∈+∞，∴[)3,1,x e x a ∈+∞，∴33xx eae x x a ⇔≤⇔≤恒成立，令()3x x g x e =，只需max ()a g x ≥，()33xxg x e -'=， ∴1[,1),()0,()3x g x g x ∈'>单调递增，∴(1,),()0,()x g x g x ∈+∞'<单调递减，1x ∴=时，()g x 的最大值为3e，∴3a e ≥，∴a 的最小值为3e.故答案为：3e【点睛】不等式等价变形，同构函数()ln f x x x =-是解题关键.14．【详解】设则恒成立所以函数在上是增函数又因为是定义在上的偶函数所以上上的奇函数所以函数在上是增函数因为所以即所以化为当时不等式等价于即解得；当时不等式等价于即解得；综上不等式的解集为点睛：本题考查了解析：(,2)(2,)-∞-+∞【详解】设()()g x xf x =，则()()()0g x f x xf x ''=+>恒成立，所以函数()g x 在(0,)+∞上是增函数，又因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()g x xf x =上R 上的奇函数，所以函数()g x 在(,0)-∞上是增函数，因为()20f =，所以()20f -=，即()()20,20g g =-=，所以()0xf x >化为()0g x >，当0x >时，不等式()0f x >等价于()0g x >，即()()2g x g >，解得2x >；当0x <时，不等式()0f x >等价于()0g x <，即()()2g x g <-，解得2x <-；综上，不等式()0f x >的解集为(,2)(2,)-∞-+∞.点睛：本题考查了与函数有关的不等式的求解问题，其中解答中涉及到利用条件构造新函数和利用导数研究函数的单调性，以及根据单调性和奇偶性的关系对不等式进行转化，解答中一定要注意函数值为零时自变量的取值，这是题目的一个易错点，试题综合性强，属于中档试题.15．【分析】转化条件得设求导后求出函数的最小值令即可得解【详解】由题意得由于时故设则由于所以当时单调递减；当时单调递增于是所以即故实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查了利用导数解决不等式恒成立问题解析：(]0,e【分析】转化条件得()min 0f x '≥，设()()g x f x '=，求导后求出函数()g x 的最小值()min g x ，令()min 0g x ≥即可得解. 【详解】由题意得()2ln 2x f x a x '=-.由于0x >时，()0f x '≥，故()min 0f x '≥.设()()g x f x '=，则()(2x x x a g x xx+-'==.由于0x >，所以当(x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增.于是()()()min min 1ln 022a af xg x ga a '===-=-≥，所以ln 1a ≤即0a e <≤，故实数a 的取值范围是(]0,e . 故答案为：(]0,e 【点睛】本题考查了利用导数解决不等式恒成立问题，考查了推理能力，属于中档题.16．【分析】求出函数的导数问题转化为即可得到本题答案【详解】由题得因为函数在递增所以在恒成立即又当时所以故答案为：【点睛】本题主要考查根据函数的单调区间确定参数的取值范围考查学生的转化能力和运算求解能力解析：[)2,+∞【分析】求出函数的导数，问题转化为()max 2cos a x ≥-，即可得到本题答案. 【详解】由题，得2cos y x a '=+，因为函数在[]0,2π递增，所以2cos 0y x a '=+≥在[]0,2π恒成立，即()max 2cos a x ≥-，又当[]0,2x π∈时，22cos 2x -≤-≤，所以2a ≥，故答案为：[)2,+∞【点睛】本题主要考查根据函数的单调区间确定参数的取值范围，考查学生的转化能力和运算求解能力.17．【分析】令根据题中条件得到为偶函数；对其求导根据题中条件判定在上单调递减；则在上单调递增；化所求不等式为求解即可得出结果【详解】令则因为所以即所以函数为偶函数；又当时所以即函数在上单调递减；则在上单解析：12x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭【分析】令()()xg x f x e =，根据题中条件，得到()g x 为偶函数；对其求导，根据题中条件，判定()g x 在(),0-∞上单调递减；则()g x 在()0,∞+上单调递增；化所求不等式为1x x ≥-，求解，即可得出结果.【详解】令()()xg x f x e =，则()()xg x f x e --=-，因为2()()0xf x ef x --=，所以()()x x f x e f x e -=-，即()()g x g x =-，所以函数()g x 为偶函数；又()[]()()()()x x xg x f x e f x e f x f x e '''=+=+，当0x ≤时，()()0f x f x '+<，所以()[]()()0xg x f x f x e ''=+<，即函数()g x 在(),0-∞上单调递减；则()g x 在()0,∞+上单调递增；又不等式21()(1)x f x ef x -≥-可化为1()(1)x x f x e f x e -≥-，即()()1g x g x ≥-，所以只需1x x ≥-，则()221x x ≥-，解得12x ≥. 故答案为：12x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题主要考查由函数单调性与奇偶性解不等式，考查导数的方法判定函数单调性，涉及绝对值不等式的解法，属于常考题型.18．【分析】当时利用导数法得到函数的单调性与极值再由时作出函数的大致图象令将问题转化为方程有两个不等根且即各有3个根求解【详解】当时所以当时递增当时递减所以当时取得最大值1又当时所以的大致图象如图所示：解析：1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】当1x <时，()()1xf x x e =-，利用导数法得到函数的单调性与极值，再由1≥x 时，()ln f x x =，作出函数()f x 的大致图象，令()f x t =，将问题转化为方程20t t a --=有两个不等根12,t t ，且12,(0,1)t t ∈即()()12,f x t f x t ==各有3个根求解.【详解】当1x <时，()()1xf x x e =-，所以()xf x xe '=-，当0x <时，()0f x '>，()f x 递增，当01x <<时，()0f x '<，()f x 递减，所以当0x =时， ()f x 取得最大值1，又当1≥x 时，()ln f x x =，所以()f x 的大致图象如图所示：令()f x t =，则转化为方程20t t a --=有两个不等根12,t t ，且()()2121,(0,1),,t f x t f t x t ==∈各有3个根，方程20t t a --=在(0,1)有两个不同的解，设2()g t t t a =--，所以(0)0140(1)0g a a g a =->⎧⎪∆=+>⎨⎪=->⎩，解得104a -<<. 故答案为：1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题主要方程的根与函数的零点问题，利用导数研究函数的单调性与极值，还考查了转化化归思想、数形结合思想和运算求解的能力，属于中档题.19．【分析】首先求出函数的导数依题意可得在上恒成立参变分离根据余弦函数的性质求出参数的取值范围；【详解】解：因为所以因为函数在上的单调递减所以在上恒成立即在上恒成立因为在上单调递减所以所以即故答案为：【解析：[2,)+∞【分析】首先求出函数的导数，依题意可得()2cos 0f x x a '=-≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，参变分离，根据余弦函数的性质求出参数的取值范围；【详解】解：因为()2sin f x x ax =-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()2cos f x x a '=-，因为函数()2sin f x x ax =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减，所以()2cos 0f x x a '=-≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即2cos a x ≥在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，因为()2cos g x x =在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()max 02cos02g x g === 所以2a ≥，即[)2,a ∈+∞ 故答案为：[)2,+∞ 【点睛】本题考查根据函数的单调性求参数的取值范围，利用导数研究函数的单调性，属于中档题.20．【解析】试题分析：设切点为所以切点为由点可知直线方程为考点：1直线方程；2导数的几何意义解析：20x y +-=. 【解析】试题分析：设切点为()0000220000111,2y x y y y x x x x -∴==-'∴-=-，所以切点为()1,1，由点()2,0可知直线方程为20x y +-= 考点：1．直线方程；2．导数的几何意义三、解答题21．（1）39a b =-⎧⎨=-⎩；（2）max ()7f x =.【分析】（1）先对函数求导，根据题中条件，列出方程组求解，即可得出结果；（2）先由（1）得到32()392f x x x x =--+，导数的方法研究其单调性，进而可求出最值. 【详解】（1）因为32()2f x x ax bx =+++，所以2()32f x x ax b '=++，又函数32()2f x x ax bx =+++在1x =-处取得极值7，(1)17(1)320f a b f a b -=+-=⎧⎨-=-+='⎩，解得39a b =-⎧⎨=-⎩；，所以3()3693(3)(1)f x x x x x '=--=-+，由()0f x '>得3x >或1x <-；由()0f x '<得13x ；满足题意；（2）又[2,2]x ∈-，由（1）得()f x 在(2,1)x ∈--上单调递增，在(1,2)x ∈-上单调递减，因此max ()(1)7f x f =-=．【点睛】方法点睛：该题考查的是有关利用导数研究函数的问题，解题方法如下：（1）先对函数求导，根据题意，结合函数在某个点处取得极值，导数为0，函数值为极值，列出方程组，求得结果；（2）将所求参数代入，得到解析式，利用导数研究其单调性，得到其最大值. 22．（1）证明见详解；（2）2 【分析】（1）构造新函数利用函数的单调性证明命题成立.（2）对k 进行讨论，利用新函数的单调性求参数k 的取值范围. 【详解】（1）证明：()()1()lnln 1ln 11xf x x x x+==+---， ()2112111f x x x x'=+=+-- 令()3()2()3x g x f x x =-+，则()()()4222211x g x f x x x ''=-+=-，因为()()001g x x '><<，所以()g x 在()0,1上单调递增，所以()()00g x g >=，()0,1x ∈，即当()0,1x ∈时，3()2()3x f x x >+.（2）由（1）可知，当k 2≤时，3()()3x f x k x >+对(0,1)x ∈恒成立，当2k >时，令()3()()3x h x f x k x =-+，则()()2222()(1)1kx k h x f x k x x --''=-+=-，所以当0x <<()0h x '<，因此()h x 在区间⎛ ⎝上单调递减，当0x <<()()00h x h <=，即3()()3x f x k x <+，所以当2k >时，3()()3x f x k x >+并非对(0,1)x ∈恒成立，综上可知，k 的最大值为2. 【点睛】关键点点睛：本题考查了构造新函数，利用导数判断函数的单调性，证明不等式，利用导数研究不等式恒成立，解题的关键是由（1）确定当k 2≤时，3()()3x f x k x >+对(0,1)x ∈恒成立，考查了运算求解能力.23．选①或②或③，（1）2a =-，1b =；（2）0. 【分析】（1）求出()232f x x ax b '=++，根据所选条件可得出关于a 、b 的方程组，即可解得a 、b 的值；（2）利用导数分析函数()f x 的单调性，由此可求得函数()f x 的极小值. 【详解】（1）方案一：选择①，()32f x x ax bx =++，则()232f x x ax b '=++，由已知可得()()1141320f a b f a b ⎧-=-+-=-⎪⎨=++='⎪⎩，解得21a b =-⎧⎨=⎩；方案二：选择②，()32f x x ax bx =++，则()232f x x ax b '=++，由已知可得()()11001f a b f b ⎧=++=⎪⎨=='⎪⎩，解得21a b =-⎧⎨=⎩；方案三：选择③，()32f x x ax bx =++，则()232f x x ax b '=++，因为函数()f x 在()()1,1f --处的切线方程为84y x =+，所以，()()1328114f a b f a b ⎧-=-+=⎪⎨-=-+-=-'⎪⎩，解得21a b =-⎧⎨=⎩；（2）由（1）得()322f x x x x =-+，()2341f x x x '∴=-+，由()0f x '=得：113x =，21x =，列表如下：所以，函数f x 的极小值为10f =. 【点睛】思路点睛：求函数()f x 的极值的步骤：（1）求函数()f x 的定义域；（2）求导()f x '；（3）解方程()00f x '=，当()00f x '=；（4）利用导数分析函数()f x 的单调性；（5）将极值点代入函数解析式计算即可. 24．（1）单调递增区间为,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）证明见解析.【分析】（1）对()f x 求导，分别由()'0f x >和()'0f x <可求得单调递增和单调递减区间；（2）由题意只需证明()2max2aa f x e ≤-即可，讨论当12a ≤，即02a <≤，()f x 在1,a e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，()()max a f x f e =；当2a >时先证明12aa e a >>>，可得()()max a f x f e =或()()max 11f x f ==，比较即可求证.【详解】（1）由题意得:()1,02af x x x'=->，由()'0f x >，得2a x >，由()'0f x <，得02a x <<，所以()f x 的单调递增区间为,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）若12a ≤，即02a <≤，由（1）知()f x 在1,a e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，所以()()22max22a a a a a f x f e e e ==-≤-成立；若12a >，即2a >，设()a g a e a =-，则当2a >时，()'10a g a e =->，所以()()2220g a g e >=->，所以2a a e a >>，从而1,2a a e ∈⎡⎤⎣⎦. 结合（1）可知，()f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,2a a e ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，下面比较()22a aa f e e =-和()11f =的大小，设()22aa h a e =-，当2a >时，()'0,a h a e a =-> 所以()()2221h a h e >=->，即()()1af e f >，而()()2max 2a a a f x f e e ==-，所以当1,a x e ∈⎡⎤⎣⎦时，()22a a f x e ≤- 综上所述：当1,a x e ∈⎡⎤⎣⎦时，()22aa f x e ≤-. 【点睛】方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法：（1）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，由()0f x '>（或()0f x '<）解出相应的x 的范围，对应的区间为()f x 的增区间（或减区间）；（2）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，解方程()0f x '=，利用()0f x '=的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论()'f x 的正负，由符号确定()f x 在子区间上的单调性.25．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）求导根据导数()0f x '>，()0f x '<求出最小值()10f =进而有()0f x ≥成立（2）有（1）得ln 1≤-x x ，令112n x =+得11ln 122n n ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，不等式通项可加性相加，根据等比数列求和化简即可证明.【详解】解：（1）由题意得()111x f x x x-'=-= 当1x >时()0f x '>，()f x 单调增当01x <<时()0f x '<，()f x 单调减所以()f x 的最小值为()10f =，所以()()01x f f ≥=即()0f x ≥成立（2）由（1）知ln 1≤-x x 令112n x =+得11ln 122n n ⎛⎫+< ⎪⎝⎭ 所以2212111111ln 1ln 1ln 1222222n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++<++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111221111212n n ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭==-< ⎪⎝⎭- 即22111ln 1111ln 222e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅++<= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以2111111222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【点睛】已知不等式证明问题常用的方法：（1）证明()min f x a ≥或()max f x a ≤；（3）构造两个函数()()f x g x <，证明()min max ()f x g x <26．（1）2；（2）(,1)-∞-.【分析】（1）将0a =代入，求出函数的导数，分析函数的单调性可得当1x =-时，()f x 有最大值2；（2）若()f x 无最大值，则3123a a a a ≤-⎧⎨->-⎩或312322a a a a a >-⎧⎪->-⎨⎪->⎩，解得可得答案. 【详解】（1）若0a =，33,0()2,0x x x f x x x ⎧-=⎨->⎩，所以233,0()2,0x x f x x ⎧-=⎨->⎩'，当1x <-时，()0f x '>，此时函数为单调递增函数，当1x >-时，()0f x '<，此时函数为单调递减函数，故当1x =-时()f x 有最大值为2 .（2）233,()2,x x a f x x a⎧-=⎨->'⎩，令()0f x '=，则1x =±，若()f x 无最大值，则 3123a a a a ≤-⎧⎨->-⎩ ① 或312322a a a a a >-⎧⎪->-⎨⎪->⎩②，由①得(,1)a ∈-∞-，由②得无解，所以(,1)a ∈-∞-.故答案为：2；(,1)-∞-.【点睛】分段函数在高考中的常见题型有：已知分段函数求值、已知分段函数求值域、已知分段函数求不等式解集、已知分段函数求参数取值范围等，分段函数问题要注意分类讨论，涉及分段函数的单调性、奇偶性、周期性等问题，要善于利用数形结合的思想解决问题.。

数学选修1-1 第三章__导数及其应用练习

3.1 导数的定义基础训练(1)：1. 在求平均变化率中，自变量的增量x ∆（）Ａ．0>∆x Ｂ．0<∆x Ｃ．0=∆x Ｄ．0≠∆x 2. 一质点的运动方程是，则在一段时间[]t ∆+1,1内相应得平均速度为：（）Ａ．63+∆t Ｂ．63+∆-t Ｃ．63-∆t Ｄ．63-∆-t3．在曲线y =x 2+1的图象上取一点（1,2）及邻近一点（1+Δx ,2+Δy ）,则yx ∆∆为（）A.Δx +x ∆1+2 B.Δx －x ∆1－2 C.Δx +2 D.2+Δx －x∆1 4.一物体位移s 和时间t 的关系是s=2t-32t ,则物体的初速度是5．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是巩固训练(1)：1．若质点M 按规律3s t =运动，则3t =秒时的瞬时速度为（）A ．2 B ．9 C ．27 D ．812．任一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是23t t s -=，则物体的初速度是（） A 0 B 3 C －2 D t 23-3．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，函数的改变量y ∆为（）A ()x x f ∆+0B ()x x f ∆+0C ()x x f ∆⋅0D ()()00x f x x f -∆+ 4．物体的运动方程是=s t t 1642+-，在某一时刻的速度为零，则相应时刻为( ) A ．=t 1 B ．=t 2 C ．=t 3 D ． =t 45．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在1秒末的瞬时速度是（） A ．3米/秒 B ．2米/秒 C ．1米/秒 D ．4米/秒6．在曲线223x y =的图象上取一点（1,23）及附近一点⎪⎭⎫⎝⎛∆+∆+y x 23,1，则x y ∆∆为（） A x x ∆++∆1323 B x x ∆--∆1323 C 323+∆x D x x ∆-+∆1323 7．物体的运动规律是)(t s s =，物体在[]t t t ∆+,时间内的平均速度是（）Ａ．t t s t s v ∆∆=∆∆=)( Ｂ．t t s t t s v ∆-∆+=)()(Ｃ．t t s v )(= Ｄ．当0→∆t 时，0)()(→∆-∆+=tt s t t s v8.将边长为8的正方形的边长增加∆a,则面积的增量∆S 为（）A ．16∆a 2 B.64 C.2a +8 D.16∆a+∆a 29．已知一物体的运动方程是=s 7562+-t t ，则其在=t ________时刻的速度为7。

(典型题)高中数学选修1-1第四章《导数应用》测试卷(含答案解析)

一、选择题1．函数()ln f x x x =-与()ln x g x xe x x =--的最小值分别为,a b ，则（） A ．a b = B ．a b >C ．a b <D ．,a b 的大小不能确定2．已知函数()sin f x x x =+，若存在[0,]x π∈使不等式(sin )(cos )f x x f m x ≤-成立，则整数m 的最小值为（） A ．1-B ．0C ．1D ．23．已知函数()1ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．4．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x '<-，则下列式子成立的是（） A ．(2020)(2021)f ef >B ．(2020)(2021)f ef <C ．(2020)(2021)ef f >D ．(2020)(2021)ef f <5．已知曲线1C ：()xf x xe =在0x =处的切线与曲线2C ：()()ln a xg x a x=∈R 在1x =处的切线平行，令()()()h x f x g x =，则()h x 在()0,∞+上（）A ．有唯一零点B ．有两个零点C ．没有零点D ．不确定6．已知函数()f x 的导函数是'()f x ，'()f x 的图象如图所示，下列说法正确的是（）A ．函数()f x 在(2,1)--上单调递减B ．函数()f x 在3x =处取得极大值C ．函数()f x 在(1,1)-上单调递减D ．函数()f x 共有4个极值点7．已知函数()ln f x x =，若对任意的12,(0,)x x ∈+∞，都有()()()()2221212122f x f x x x k x x x -->+⎡⎤⎣⎦恒成立，则实数k 的最大值是（） A ．1-B ．0C ．1D ．28．对于R 上可导的任意函数()f x ，若当2x ≠时满足()02f x x '≤-，则必有（） A ．()()()1322f f f +9．若曲线()11xmy e x x =+<-+上存在两条垂直于y 轴的切线，则m 的取值范围是（） A ．34,1e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．34,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．340,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．341,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭10．已知函数()()()0ln 10xe xf x x x ax x -⎧-<⎪=⎨++>⎪⎩，若()f x 的图象上存在关于原点对称的点，则实数a 的取值范围是（） A ．(),1e -∞-B ．()1,e -+∞C ．[)1,e -+∞D ．(],1e -∞-11．已知函数22(1)2,0()log 0x x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨>⎪⎩，，若方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则23423121()x x x x x +⋅+⋅的取值范围是（）A ．71(,]42-- B ．37[,]24--C ．71[,)42--D ．313(,]42-- 12．若函数(1),()21,x x e x af x x x a⎧-+=⎨-->⎩有最大值，则实数a 的取值范围是（）A ．211[,)22e--+∞ B ．21[,)2e-+∞ C ．[2-，)+∞ D ．211(2,]22e--- 二、填空题13．已知一个母线长33米的圆锥形容器，则当该容器的容积最大时，其高为___________米.14．若函数32()f x x x =-在区间(,3)a a +内存在最大值，则实数a 的取值范围是____________.15．请写出一个使得函数()2()2xf x x ax e =++既有极大值又有极小值的实数a 的值___________．16．若函数()()32f x x ax a R =--∈在(),0-∞内有且只有一个零点，则()f x 在[]1,2-上的最小值为______.17．函数2sin y x x =-在[]0,2π上的递增区间是________.18．已知三次函数()y f x =的图象如图所示，则函数()f x 的解析式是_______.19．已知成立, 则实数a 的取值范围是．20．函数()ln f x x ax =-在()1,+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是______.三、解答题21．已知函数()2ln 2f x x x =-，函数()212g x x a x=--+. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，函数()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 22．已知函数()3f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的单调区间． 23．已知函数()()21xf x x ae=-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在零点，求a 的取值范围. 24．已知函数1()2ln 2f x x x x x=--+. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）设函数()'()g x f x =（'()f x 为()f x 的导函数），若方程()g x a =在1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有且仅有两个实根，求实数a 的取值范围.25．为了美化城市环境，提高市民的精神生活，市政府计划在人民广场一块半径为10米的圆形空地进行种植花草绿化改造．规划如图所示，在中央正六边形区域和六个相同的矩形区域种植鲜花，其余地方种植草地．设OAB θ∠=，正六边形的面积为1S ，六个矩形的面积和为2S ．（1）用θ分别表示区域面积1S ，2S ；（2）求种植鲜花区域面积的最大值．（参考数据：3tan 41︒≈，23tan 49︒≈）26．已知函数1()(0,1)xxf x a a a a =->≠．（I ）若1a >，不等式()2(4)0f x bx f x ++->在x ∈R 上恒成立，求实数b 的取值范围；（II ）若3(1)2f =且221()2()xx h x a mf x a=+-在[1,)+∞上的最小值为2-，求m 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据函数的单调性分别求出函数()f x ，()g x 的最小值，比较a ，b 即可．【详解】()f x 的定义域是()0,∞+，11()1x f x x x'-=-=，令()0f x '<，解得：01x <<，令()0f x '>，解得：1x >，()f x 在(0,1)递减，在(1,)+∞递增，()f x 的最小值是()1f 1=，故1a =，()x g x xe lnx x =--，定义域(0,)+∞，()()()11111x xx g x x e xe x x+=+--=-'，令()1xh x xe =-，则()()10xh x x e '=+>，(0,)x ∈+∞则可得()h x 在(0,)+∞上单调递增，且()010h =-<，()110h e =->，故存在0(0,1)x ∈使得()0h x =即001x x e=，即000x lnx +=，当0(0,)x x ∈时，()0h x <，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当()0x x ∈+∞，时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，故当0x x =时，函数取得最小值0000000()11xg x x e lnx x lnx x =--=--=，即1b =，所以a b = 故选：A ．【点睛】关键点睛：题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，解答本题的关键是由()()()11111xx x g x x e xe x x+=+--=-'，得出当0(0,)x x ∈时，函数()g x 单调递减，当()0x x ∈+∞，时，函数()g x 单调递增，根据000x lnx +=，求出最小值，属于中档题.2．A解析：A 【分析】先对()f x 求导可得()1cos 0f x x '=+≥，()f x 单调递增，原不等式可化为存在[0,]x π∈使得sin cos x x m x ≤-有解，即sin cos m x x x ≥+对于[0,]x π∈有解，只需()min m g x ≥，利用导数判断()g x 的单调性求最小值即可. 【详解】由()sin f x x x =+可得()1cos 0f x x '=+≥，所以()sin f x x x =+在[0,]x π∈单调递增，所以不等式(sin )(cos )f x x f m x ≤-成立等价于sin cos x x m x ≤-，所以sin cos m x x x ≥+对于[0,]x π∈有解，令()sin cos g x x x x =+，只需()min m g x ≥，则()sin cos sin cos g x x x x x x x '=+-=，当02x π≤≤时，()cos 0g x x x '=≥，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，当2x ππ<≤时，()cos 0g x x x '=<，()g x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减， ()0cos01g ==，()sin cos 1g ππππ=+=-，所以()()min 1g x g π==-，所以1m ≥-，整数m 的最小值为1-，故选：A. 【点睛】方法点睛：若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）有解，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈有解，进而转化为()max g x λ≤或()()min g x x D λ≥∈，求()g x 的最值即可.3．A解析：A 【分析】利用导数分析函数ln 1y x x =--的单调性以及函数值符号，由此可得出函数()y f x =的图象. 【详解】对于函数ln 1y x x =--，该函数的定义域为()0,∞+，求导得111x y x x-'=-=. 当01x <<时，0y '<，此时函数ln 1y x x =--单调递减；当1x >时，0y '>，此时函数ln 1y x x =--单调递增.所以，函数ln 1y x x =--的最小值为min 1ln110y =--=，即对任意的0x >，ln 10x x --≥.所以，函数()y f x =的定义域为()()0,11,+∞，且()0f x >，函数()y f x =的单调递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞. 所以，函数()y f x =的图象如A 选项中函数的图象. 故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域，判断图象的上下位置．（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（5）函数的特征点，排除不合要求的图象.4．A解析：A 【分析】构造函数()()xg x e f x =，求导判定函数单调性，根据单调性得(2020)(2021)g g >化简即可. 【详解】解：依题意()()0f x f x '+<，令()()x g x e f x =，则()(()())0xg x f x f x e ''=+<在R 上恒成立，所以函数()()xg x e f x =在R 上单调递减，所以(2020)(2021)g g >即20202021(2020)(2021)(2020)(2021)e e e f f f f >⇒>故选：A. 【点睛】四种常用导数构造法：（1）对于不等式()()0f x g x ''+> (或0<) ，构造函数()()()F x f x g x =+．（2）对于不等式()()0f x g x ''->(或0<) ，构造函数()()()F x f x g x =-．（3）对于不等式()()0f x f x '+>(或0<) ，构造函数()()xF x e f x =．（4）对于不等式()()0f x f x '->(或0<) ，构造函数()()x f x F x e=． 5．A解析：A 【分析】先对函数()xf x xe =和()ln a xg x x=求导，根据两曲线在1x =处的切线平行，由导数的几何意义求出a ，得到函数()()()ln xh x f x g x e x ==，对其求导，利用导数的方法判定单调性，确定其在()0,∞+上的最值，即可确定函数零点个数. 【详解】∵()xf x xe =，∴()()1xf x x e '=+，又()ln a x g x x =，∴()2ln a a xg x x -'=，由题设知，()()01f g '='，即()02ln1101a a e -+=，∴1a =，则()()()ln ln xx xh x f x g x xe e x x==⋅=， ∴()()ln 1ln xx xx x ee h x e x x x+=='+，0x >，令()ln 1m x x x =+，0x >，则()ln 1m x x '=+，当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x '<，即函数()ln 1m x x x =+单调递减；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0m x '>，即函数()ln 1m x x x =+单调递增；∴在()0,∞+上()m x 的最小值为1110m e e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭， ∴()0m x >，则()0h x '>，∴()h x 在()0,∞+上单调递增，且()10h =.()h x 在()0,∞+上有唯一零点，故选：A ．【点睛】思路点睛：利用导数的方法判定函数零点个数时，一般需要先对函数求导，利用导数的方法判定函数单调性，确定函数极值和最值，即可确定函数零点个数.（有时也需要利用数形结合的方法进行判断）6．C解析：C 【分析】对于选项A ，函数()f x 在(2,1)--上单调递增，故A 错误；对于选项B ，函数()f x 在(1,3)上单调递增，在(3,)+∞上单调递增，所以3x =不是()f x 的极值点，故B 错误；对于选项C ，函数()f x 在(1,1)-上单调递减，故C 正确；对于选项D ，由导函数的图象得函数()f x 共有3个极值点，故D 错误. 【详解】对于选项A ，由导函数的图象得函数()f x 在(2,1)--上单调递增，故A 错误；对于选项B ，由导函数的图象得函数()f x 在(1,3)上单调递增，在(3,)+∞上单调递增，所以3x =不是()f x 的极值点，故B 错误；对于选项C ，由导函数的图象得函数()f x 在(1,1)-上单调递减，故C 正确；对于选项D ，由导函数的图象得函数()f x 共有3个极值点，3,1x x =-=是极小值点，1x =-是极大值点，故D 错误. 故选：C. 【点睛】结论点睛：（1）函数()f x 的()0f x '>在(,)a b 上恒成立，则函数()f x 在(,)a b 上单调递增；函数()f x 的()0f x '<在(,)a b 上恒成立，则函数()f x 在(,)a b 上单调递减.（2）如果函数()f x 的极值点是0x ，则0x 附近左右两边的导数符号相反.7．B解析：B 【分析】首先代入函数，变形为1221ln1x kx x x >-，再通过换元设12x t x =(1t >)，则ln 1k t t >-，利用参变分离转化为(1)ln k t t <-，设()()1ln g t t t =-(1t >)，转化为求函数()g t 的最小值. 【详解】设12x x >，因为()()()()2221212122f x f x x x k x x x -->+⎡⎤⎣⎦，变形为()()()()121212212ln ln x x x x x x kx x x -+->+，即12212lnx kx x x x >-，等价于1221ln1x k x x x >-，因为120x x >>，令12x t x =(1t >)，则ln 1k t t >-，即(1)ln k t t <-. 设()()1ln g t t t =-(1t >)，则min ()k g t <.当1t >时1()ln 10g t t t'=+->恒成立，故()g t 在()1,+∞上单调递增，()(1)0g t g >=. 所以0k ≤，k 的最大值为0. 故选：B . 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将条件变形为12212ln x kx x x x >-，并进一步变形为1221ln1x k x x x >-，再通过换元，参变分离后转化为求函数的最值.8．B解析：B 【分析】根据()02f x x '≤-，得到2x >时，()f x 单调非递增函数，2x <时，()f x 单调非递减函数求解. 【详解】因为()02f x x '≤-，所以当20x ->，即2x >时，()0f x '≤，则()f x 单调非递增函数，所以()()32f f ≤；当20x -<，即2x <时，()0f x '≥，()f x 单调非递减函数，所以()()12f f ≤；由不等式的性质得：()()()1322f f f +≤. 故选：B 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及不等式的基本性质，属于中档题.9．C解析：C 【分析】先求出原函数的导函数，令0y '=，得到2(1)x m x e =+，然后将问题转化为2(1)x m x e =+在(,1)-∞-上有两个不同的解，再构造函数2()(1)(1)x f x x e x =+<-，求出()f x 的取值范围，即可得到m 的取值范围．【详解】由(1)1xm y e x x =+<-+，得2(1)xm y e x '=-+，令0y '=，则2(1)x m x e =+，曲线(1)1xmy e x x =+<-+存在两条垂直于y 轴的切线， 2(1)x m x e ∴=+在(,1)-∞-上有两个不同的解．令2()(1)x f x x e =+，则22()2(1)(1)(43)x x x f x x e x e x x e '=+++=++．∴当3x <-时，()0f x '>，当31x -<<-时，()0f x '<，()f x ∴在(,3)-∞-上单调递增，在(3,1)--上单调递减，∴34()(3)max f x f e =-=，又当3x <-时，()0f x >，(1)0f -=．m ∴的取值范围为34(0,)e．故选：C ．【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点处切线斜率，训练了利用导数研究函数的单调性、零点，考查数学转化思想方法，属中档题．10．C解析：C 【分析】转化条件为当0x >时，ln 1x e x x a x--=有解，令()ln 1,0x e x x g x x x --=>，通过导数确定()g x 的取值范围即可得解. 【详解】若()f x 的图象上存在关于原点对称的点，则当0x >时，()()ln 1x ex x ax ----=++有解，即当0x >时，ln 1x e x x ax =++有解，所以当0x >时，ln 1x e x x a x--=有解，令()ln 1,0x e x x g x x x--=>，则()()()2ln 1ln 1xx e x x e x x g x x -----'=()()()221111xx x e x e x x x ----+==，当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()()min 11g x g e ==-，()[)1,g x e ∈-+∞，所以[)1,a e ∈-+∞. 故选：C. 【点睛】本题考查了函数与方程的综合应用及利用导数研究方程有解问题，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.11．D解析：D 【分析】画出图形，数形结合解答．注意到122x x +=-，2324log log x x -=，化简结论得32312xx -，311,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，构造函数21()2f x x x =-，11,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，利用导数判断出函数的单调性即可．【详解】已知函数图象如下：方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则122x x +=-，2324log log x x -=，所以341x x ⋅=，且311,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以234322312311()2x x x x x x x ⋅=+⋅+-，令21()2f x x x =-，11,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则31()1f x x =+'在11,42⎛⎤⎥⎝⎦上恒大于0，故()f x 在11,42x ⎛⎤∈⎥⎝⎦上单调递增，所以313(),42f x ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭，故选:D ．【点评】本题考查了函数的图像运用，利用数形结合判断函数交点问题，属于中档题．12．A解析：A 【分析】由x a >时，()21f x x =--递减，且无最大值，可得x a 时，()f x 取得最大值M ，且21M a --，求出x a 时，()f x 的导数和单调区间、极大值，讨论2a <-，判断单调性，可得最大值，解不等式判断无解，则2a -，求出最大值，解不等式即可得到所求a 的范围. 【详解】解：由x a >时，()21f x x =--递减，可得()21f x a <--，无最大值，函数(1),()21,x x e x af x x x a⎧-+=⎨-->⎩有最大值，可得x a 时，()f x 取得最大值M ，且21M a --，由()(1)x f x x e =-+的导数为()(2)xf x x e '=-+，可得2x >-时，()0f x '<，()f x 递减；2x <-时，()0f x '>，()f x 递增. 即有()f x 在2x =-处取得极大值，且为最大值2e -.若2a <-，则()f x 在(-∞，]a 递增，可得()()f x f a (1)a a e =-+，由题意可得(1)21aa e a -+≥--，即得(1)210aa e a +--≤，令(1))1(2aa e g a a +--=，则()(2)20ag a a e '=+-<，(2)a <-，则()g a 在(),2-∞-递减，可得2(2)0()3g a g e ->-=-+>，则不等式(1)210aa e a +--≤无实数解.故2a -，此时在2x =-处()f x 取得最大值，为2e --，故221e a ----，解得21122a e--，综上可得，a 的范围是211[22e--，)+∞. 故选：A. 【点睛】本题考查了分段函数的最值问题，考查转化思想，以及分类讨论思想方法，注意运用导数，求出单调区间和极值､最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】设圆锥的高为米可得出底面圆的半径为求出圆锥形容器的体积关于的表达式利用导数可求得的最大值及其对应的的值【详解】设圆锥形容器的高为米半径为米由勾股定理可得其中圆锥形容器的体积为则令由于可得当时解析：3【分析】设圆锥的高为h 米，可得出底面圆的半径为r =V 关于h 的表达式，利用导数可求得V 的最大值及其对应的h 的值. 【详解】设圆锥形容器的高为h 米，半径为r 米，由勾股定理可得2227h r +=，2227r h ∴=-，其中0h <<圆锥形容器的体积为()()2231112727333V r h h h h h πππ==-=-，则()29V hπ'=-，令0V '=，由于(h ∈，可得3h =.当03h <<时，0V '>；当3h <<0V '<.所以，当3h =时，圆锥形容器的体积V 取得最大值. 故答案为：3. 【点睛】方法点睛：求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.14．【分析】首先利用导数判断函数的单调性再根据函数在开区间内存在最大值可判断极大值点就是最大值点列式求解【详解】由题可知：所以函数在单调递减在单调递增故函数的极大值为所以在开区间内的最大值一定是又所以得解析：(3,2]--【分析】首先利用导数判断函数的单调性，再根据函数在开区间(),3a a +内存在最大值，可判断极大值点就是最大值点，列式求解. 【详解】由题可知： 2()32(32)f x x x x x '=-=-所以函数()f x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在2(,0),,3⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭单调递增，故函数的极大值为 (0)0f =.所以在开区间(,3)a a +内的最大值一定是(0)0,f =又(1)(0)0f f ==，所以03,31a a a <<+⎧⎨+≤⎩ 得实数a 的取值范围是(3,2].-- 故答案为：(]3,2-- 【点睛】关键点点睛：由函数在开区间内若存在最大值，即极大值点在区间内，同时还得满足极大值点是最大值，还需列不等式31a +≤，不要忽略这个不等式.15．【分析】由题意可得：有2个不相等的实根也即有2个不相等的实根利用即可求解【详解】由题意可得：有2个不相等的实根也即有2个不相等的实根所以即解得：或故答案为：【点睛】本题主要考查了极值和导数的关系属于解析：()(),22,-∞-+∞【分析】由题意可得：()20()22xf x x a x a e '⎡⎤=++++⎣=⎦有2个不相等的实根，也即()2220x a x a ++++=有2个不相等的实根，利用0∆>即可求解.【详解】由题意可得：()20()22xf x x a x a e '⎡⎤=++++⎣=⎦有2个不相等的实根，也即()2220x a x a ++++=有2个不相等的实根，所以()()22420a a ∆=+-+>，即()()2240a a ++->，解得：2a >或2a <-，故答案为：()(),22,-∞-+∞【点睛】本题主要考查了极值和导数的关系，属于中档题.16．【分析】利用导数分析函数在区间上的单调性根据该函数在区间上有且只有一个零点求得参数的值进而利用导数可求得函数在区间上的最小值【详解】则①当时对任意的恒成立此时函数在区间上单调递增且不合乎题意；②当时解析：4-【分析】利用导数分析函数()y f x =在区间(),0-∞上的单调性，根据该函数在区间(),0-∞上有且只有一个零点求得参数a 的值，进而利用导数可求得函数()y f x =在区间[]1,2-上的最小值. 【详解】()32f x x ax =--，则()23f x x a '=-.①当0a ≤时，对任意的(),0x ∈-∞，()0f x '>恒成立，此时，函数()y f x =在区间(),0-∞上单调递增，且()()020f x f <=-<，不合乎题意；②当0a >时，令()230f x x a '=-=，可得x =x =当x <()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增；当0x <<时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减.所以，()max20f x f ⎛=== ⎝，解得3a =，()332f x x x ∴=--. ()()()233311f x x x x '=-=-+，当11x -<<时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减；当12x <<时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增.因此，函数()y f x =在1x =处取得极小值，亦即最小值，故()()min 14f x f ==-.故答案为：4-. 【点睛】本题考查利用导数求解函数在区间上的最值，同时也考查了利用导数研究函数的零点，考查计算能力，属于中等题.17．【分析】根据函数求导解的解集即可【详解】因为函数所以令得或当时所以函数在上的递增区间是故答案为：【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性还考查了转化问题和运算求解的能力属于中档题解析：5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据函数2sin y x x =-，求导12cos y x '=-，解0y '>的解集即可. 【详解】因为函数2sin y x x =-，所以12cos y x '=-，令12cos 0y x '=-=，得3x π=或53x π=，当533x ππ≤≤时，0y '>，所以函数2sin y x x =-在[]0,2π上的递增区间是5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故答案为：5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了转化问题和运算求解的能力，属于中档题.18．【分析】待定系数法:设利用图象上点坐标代入与联立求解可得【详解】设由题知：由图象知解得故答案为：【点睛】求函数解析式的四种方法：配凑法换元法待定系数法解方程组法解题时根据具体条件对应方法求解析式解析：32()232f x x x【分析】待定系数法:设32()f x ax bx cx d =+++，利用图象上点坐标代入，与(0)(1)=0f f ''=联立求解可得. 【详解】设32()f x ax bx cx d =+++，2()32f x ax bx c '=++由题知：(0)2(1)1f f ，== ，由图象知(0)(1)=0f f ''=2++103+20d a b c d c a b c =⎧⎪+=⎪∴⎨=⎪⎪+=⎩ 解得2302a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩32()232f x x x故答案为：32()232f x x x【点睛】求函数解析式的四种方法：配凑法、换元法、待定系数法、解方程组法，解题时根据具体条件对应方法求解析式.19．【详解】当时当时时有最小值因为所以考点：函数的单调性解析：【详解】，当时，，当时，()0,1f x x '>∴=-时，有最小值()1f -．因为()max g x a =，所以．考点：函数的单调性．20．【分析】求导得到恒成立化简得到计算得到答案【详解】在恒成立即恒成立故故答案为【点睛】本题考查了利用导数计算函数的单调性意在考查学生的计算能力解析：[1,)+∞【分析】求导得到1'()0f x a x =-≤恒成立，化简得到1a x≤，计算得到答案. 【详解】1()ln '()0f x x ax f x a x=-∴=-≤在()1,+∞恒成立即1a x≤恒成立，故1a ≥ 故答案为[1,)+∞【点睛】本题考查了利用导数计算函数的单调性，意在考查学生的计算能力.三、解答题21．（1）单调递增区间是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）(],1-∞. 【分析】（1）求导，判断导函数正负，进而判断函数单调区间；（2）()()f x g x ≥恒成立，可转化为不等式1ln a x x ≤+对于1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，设()1ln h x x x=+，求导，判断单调性并求得最小值，()min a h x ≤. 【详解】（1）函数()2ln 2f x x x =-的定义域为0,，则()()()21212114'4x x x f x x x x x-+-=-==，由题意120x +>，得当10,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()()'0,f x f x >递增，当1,2⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭x 时，令()()'0,f x f x <递减，所以()f x 的单调递增区间是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭；（2）对任意1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，函数()()f x g x ≥恒成立，即不等式1ln a x x ≤+对于1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，令()1ln h x x x=+，则()22111'x h x x x x-=-=，当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()'0h x <，函数()h x 单调递减，当时()1,∈+∞x ，()'0h x >，函数()h x 单调递增，所以当1x =时，()h x 有最小值()1ln111h =+=，从而a 的取值范围是(],1-∞. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．22．（1）220x y --=；（2）函数()f x 的单调增区间为,⎛-∞ ⎝⎭，⎫∞⎪⎪⎝⎭，单调减区间为33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．【分析】（1）求出()1f 、()1f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）解方程()0f x '=，列表分析()f x '的符号变化，由此可得出函数()f x 的单调递增区间和递减区间. 【详解】（1）由()3f x x x =-，得()231f x x '=-，所以()12f '=，又()10f =，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为：()21y x =-，即220x y --=．（2）令()2310f x x '=-=，得x =， x 、()f x '、()f x 在R 上的情况如下：所以函数()f x 的单调增区间为,3⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭，3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭，单调减区间为⎛ ⎝⎭．【点睛】方法点睛：利用导数求解函数单调区间的基本步骤：（1）求函数()f x 的定义域；（2）求导数()f x '；（3）解不等式()0f x '>，并与定义域取交集得到的区间为函数()f x 的单调增区间；解不等式()0f x '<，并与定义域取交集得到的区间为函数()f x 的单调减区间. 23．（1）()f x 在()2,1a -∞-上单调递减，在()21,a -+∞上单调递增；（2）(][),11,-∞-+∞.【分析】（1）先求导并解得()0f x '=的根，再判断根附近导数值的正负，即得单调性；（2）先判断极小值即最小值，再结合()210f a =>可知()min0f x ≤，解不等式即得结果. 【详解】解：（1）()()21xf x x a e '=-+，定义域为R ，由()0f x '=，得21x a =-，当21x a <-时，()0f x '<；当21x a >-时，()0f x '>，故()f x 在()2,1a -∞-上单调递减，在()21,a -+∞上单调递增；（2）由（1）知()f x 在21x a =-处取得极小值，也是最小值，则()()221min 11a f x f a e-=-=-，因为()f x 存在零点，且()210f a =>，故只需()21min 10a f x e -=-≤，即2101ae e -≥=，故210a -≥，解得1a ≤-或1a ≥，所以a 的取值范围为(][),11,-∞-+∞.【点睛】方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法：（1）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，由()0f x '>（或()0f x '<）解出相应的x 的范围，对应的区间为()f x 的增区间（或减区间）；（2）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，解方程()0f x '=，利用()0f x '=的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论()'f x 的正负，由符号确定()f x 在子区间上的单调性.24．（1）220x y --=；（2）2(2,1]e -．【分析】（1）求出()'f x ，计算(1)f '得切线斜率，从而得切线议程；（2）对()g x 求导，确定()g x 的单调性，极值，得()g x 的变化趋势，从而可得结论．【详解】（1）由已知2211()2ln 212ln 1f x x x x x'=+-+=++，所以(1)2f '=，又(1)0f =，所以切线议程为2(1)y x =-，即220x y --=；（2）由（1）21()2ln 1g x x x=++，定义域为(0,)+∞，33222(1)(1)()x x g x x x x -+'=-=，所以在(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 递减，(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 递增，所以1x =时，()g x 取得极小值也是最小值(1)2g =，211g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x →+∞时，()g x →+∞，所以方程()g x a =在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有且仅有两个实根，则实数a 的取值范围是2(2,1]e -．【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数研究方程根的分布．根据方程根的个数求参数范围问题，一般方法是数形结合思想，把问题转化为函数图象与直线的交点问题，可利用导数研究出函数的性质，如单调性，极值，确定函数的变化趋势，然后利用函数的图象得出参数范围．25．（1）216003sin S θ=，221200sin cos 12003sin S θθθ=-；（2）()30073-. 【分析】（1）如图：连接BO 、CO 、OD ，过点O 作BC 的垂线，交BC 于点E ，交AD 于点F ，OAD △为等腰三角形，可得AOF OAB θ∠=∠=即可求出BC 的长，进而可得1S ，求出OBC 的高OE ，AB EF OF OE ==-，26S AB BC =⨯⨯即可求解；（2）将面积之和12S S +用角θ表示出来，在求其求导，利用导数判断单调性即可求最值.【详解】（1）如图：连接BO 、CO 、OD ，过点O 作BC 的垂线，交BC 于点E ，交AD 于点F ，由对称性可知OAD △为等腰三角形，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，由AB BC ⊥，OF BC ⊥，可得//AB OF ，所以AOF OAB θ∠=∠=，所以22sin 20sin BC AD AF OA θθ====，所以正六边形的面积2122666400sin OBC SBC S θθ====，在OBC中，20sin 22OE BC θθ===，所以10cos AB EF OF OE θθ==-=-，所以()26610cos 20sin S AB BC θθθ=⨯⨯=-⨯21200sin cos θθθ=-，综上所述：21S θ=，221200sin cos S θθθ=-.（2）求种植鲜花区域面积的最大值即是求12S S +的最大值.设22121200sin cos y S S θθθθ=+=+-21cos21200sin cos 600sin 22θθθθθ-=-=-600sin 2θθ=+-所以1200cos 22y θθ'=-令0y '=，可得tan 2θ= 当249θ>时，0y '<；当249θ<时，0y '>，所以当249θ=时，y 取得最大值，max 600sin 493003cos 493003y =+- 因为tan 49︒≈，可得22sin 49cos 491sin 49cos 493︒︒︒︒⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得2sin 4921cos 49⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以max 60030077y =⨯+-=-. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是得出AOF OAB θ∠=∠=，求出2BC AD AF ==，2OE BC =，AB EF OF OE ==-即可将面积1S ，2S 用θ表示出来，利用导数求面积之和的最值.26．（I ）()3,5-;（II ）2m =【分析】（Ⅰ）判断出()1x x f x a a=-是R 上的单调递增和()f x 为定义域为R 的奇函数，进而转化为()()()()22404f x bx f x f x bx f x ++->⇒+>-，进而可求解（Ⅱ）利用()312f =，所以132a a -=，解得2a =或12a =-（舍去），所以()222111122222222222x x x x x x x x h x m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令()122x x u f x ==-，则()222g u u mu =-+，进而利用导数求最值即可求出m 的值【详解】解:（Ⅰ） ()1(0,1)x x f x a a a a =->≠，因为()10f >，所以10a a->，又0a >且1a ≠，所以1a >，所以，()1x x f x a a =-是R 上的单调递增，又()f x 是定义域为R 的函数，满足()()f x f x -=-，所以，()f x 为定义域为R 的奇函数，所以，()()()()2224044f x bx f x f x bx f x x bx x ++->⇒+>-⇔+>- 即240x bx x +-+>在x ∈R 上恒成立，所以()21160b ∆=--<，即35b -<<，所以实数b 的取值范围为()3,5-.（Ⅱ）因为()312f =，所以132a a -=，解得2a =或12a =-（舍去），所以()222111122222222222x x x x x x x x h x m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令()122x x u f x ==-，则()222g u u mu =-+，因为()122x x f x =-在R 上为增函数，且1≥x ，所以()312u f ≥=，因为()()221222x xh x mf x =+-在[)1,+∞上的最小值为2-，所以()222g u u mu =-+在3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的最小值为2-，因为()()222222g u u mu u m m =-+=-+-的对称轴为u m = 所以当32m ≥时， ()()2min 22g u g m m ==-=-，解得2m =或2m =-（舍去），当32m <时， ()min 3173224g u g m ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，解得253122m =>，综上可知：2m =【点睛】关键点睛：解题关键：（Ⅰ）利用函数的奇偶性和单调性得到 ()()()()22404f x bx f x f x bx f x ++->⇒+>-，进而转化求解即可；（Ⅱ）求出a ，构造函数()222111122222222222x x x x x x x x h x m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，然后令()122x x u f x ==-，构造出()222g u u mu =-+，进而求解。

(好题)高中数学选修1-1第四章《导数应用》检测卷(包含答案解析)

一、选择题1．已知函数23()2ln (0)xf x x x a a=-+>，若函数()f x 在[]1,2上单调递减，则a 的取值范围是（） A ．2,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．20,5⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(0,1]D ．[1,)+∞2．已知函数()()2ex x f x x =∈R ，若关于方程()()210f x tf x t -+-=恰好有4个不相等的实根，则实数t 的取值范围为（）A ．()24,22,e e ⎛⎫⋃⎪⎝⎭ B ．24,1e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．24,e e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．241,1e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3．已知函数()sin f x x x =+，若存在[0,]x π∈使不等式(sin )(cos )f x x f m x ≤-成立，则整数m 的最小值为（） A ．1-B ．0C ．1D ．24．对任意0x >，若不等式2e ln e xa x ax x++≥恒成立(e 为自然对数的底数)，则正实数a 的取值范围是（）A ．(0,e]B ．2(0,e ]C ．2[,e]eD ．22[,e ]e5．已知函数()23ln f x x ax x =-+在其定义域内为增函数，则a 的最大值为（）A ．4B ．C ．D ．66．若函数32()x x x f x e e e a =---存在零点，则实数a 的取值范围为（） A ．[2,)-+∞ B ．[,)e C ．2[,)e -+∞ D ．[1,)-+∞7．已知函数321()13f x x ax x =+++在(,0)-∞，(3,)+∞上为增函数，在()1,2上为减函数，则实数a 的取值范围为（）A ．(,1]-∞-B ．55,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．5,13⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．55,34⎛⎫--⎪⎝⎭8．已知函数()13log xf x e x =-,给出下列两个命题:命题:p 若01x ≥,则()03f x ≥;命题[)0:1,q x ∃∈+∞,()03f x =.则下列叙述错误的是( )A ．p 是假命题B ．p 的否命题是:若01x <,则()03f x <C ．[):1,q x ⌝∀∈+∞,()3f x ≠D ．q ⌝是真命题9．若曲线()11xmy e x x =+<-+上存在两条垂直于y 轴的切线，则m 的取值范围是（） A ．34,1e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．34,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．340,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．341,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭10．函数()327f x x kx x =+-在区间[]1,1-上单调递减，则实数k 的取值范围是（） A ．(],2-∞-B ．[]22-,C ．[)2,-+∞D ．[)2,+∞11．设()f x 是定义在R 上的偶函数，()f x '为其导函数，()20f =，当0x >时，有()()'>xf x f x 恒成立，则不等式()0xf x <的解集为（）A ．()2,2-B ．()(),20,2-∞-C ．()()2,00,2-D ．()()2,02,-+∞12．若函数()(1)x f x x e a =--在(1,)-+∞上只有一个零点，则a 的取值范围为（） A ．21,e ⎛⎫--⎪⎝⎭ B ．2{1},e ⎡⎫-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭ C ．2,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．2{1},0e ⎡⎫-⋃-⎪⎢⎣⎭二、填空题13．已知函数()4,0,0x x e x f x e x x+≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若存在10x ≤，20x >，使得()()12f x f x =，则()12x f x 的取值范围是______.14．已知函数)(f x 的定义域为R ，且)(12f -=．若对任意x ∈R ，)(2f x '>，则)(24f x x >+的解集为______．15．请写出一个使得函数()2()2xf x x ax e =++既有极大值又有极小值的实数a 的值___________． 16．若函数()()32111562f x x mx n x =-++-+是[]0,1上的单调增函数，其中0m ≥，0n ≥，则()()2268m n +++的最小值为________．17．已知函数()f x 定义在R 上的函数，若2()()0x f x e f x --=，当0x ≤时，()()0f x f x '+<，则不等式21()(1)x f x e f x -≥-的解集为__________18．函数()cos f x x x =+在()0,π上的极大值为M ，极小值为N ，则M N +=__________.19．定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()1xf x '<，且(1)1f =，则不等式(31)ln(31)1f x x ->-+的解集是________．20．已知函数()xf x e x =-，()22g x x mx =-，若对任意1x ∈R ，存在[]21,2x ∈，满足()()12f x g x ≥，则实数m 的取值范围为______．三、解答题21．已知函数()()()2220xf x ax x ea =++>，其中e 是自然对数的底数.（1）若()f x 在[]22-,上是单调增函数，求a 的取值范围；（2）证明：当1a =时，方程()5f x x =+有且只有两个零点. 22．已知函数()xf x e ax a =--.（1）当1a =时，求过点()0,1-且与曲线()y f x =相切的直线方程; （2）若()0f x ≥，求实数a 的取值范围. 23．已知函数32()f x x ax =-+．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设1a =-，若()(ln )f x x k x <-，求实数k 的取值范围． 24．已知函数()()x f x x a e =+，其中a 为常数.（1）若函数()f x 在区间[1,)-+∞上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）若3()x f x e xe ≥-在[0,1]x ∈时恒成立，求实数a 的取值范围.25．已知函数()(0)xaxf x a e =≠．（1）当1a =时，求函数()y f x =在[0,2]上的最大值和最小值；（2）求函数()f x 的单调区间．26．设函数33,().()2,x x x af x a R x x a⎧-=∈⎨->⎩ （1）若0a =，则()f x 的最大值为；（2）若()f x 无最大值，则求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】求出()'f x 由()0f x '≤得314x a x ≤-，令1()4g x x x=-，判断出()g x 的单调性并利用单调性可得()g x 的最小值可得答案.【详解】31()4(0)f x x x a x'=-+>，因为函数()f x 在[]1,2上单调递减，所以3140x a x -+≤，即314x a x≤-，令1()4g x x x =-，由于114,y x y x ==-在[]1,2都是增函数，所以1()4g x x x=-在[]1,2单调递增，所以()(1)3g x g ≤=，所以33a ≤，又0a >，解得1a ≥. 故选：D. 【点睛】本题考查了利用函数的单调性求参数的范围问题，关键点是令1()4g x x x=-并求出最小值，考查了学生分析问题、解决问题的能力.2．D解析：D 【分析】求得()f x 的导数，可得单调区间和极值，作出()f x 的图象，将方程()()210f x tf x t -+-=因式分解为()()()110f x f x t ⎡⎤⎡⎤---=⎣⎦⎣⎦，则()1f x =或()1f x t =-，从而()1f x t =-有3个实数根，即函数()y f x =与1y t =-有3个交点，数形结合即可得到1t -的取值范围，从而得解；【详解】解：函数2()x x f x e=的导数为22()xx x f x e -'=，当02x <<时，()0f x '>，()f x 递增；当2x >或0x <时，()0f x '<，()f x 递减，可得()f x 在0x =处取得极小值0，在2x =处取得极大值241e <，作出()y f x =的图象如下所示，因为()()210fx tf x t -+-=恰好有4个不相等的实根，所以()()()110f x f x t ⎡⎤⎡⎤---=⎣⎦⎣⎦，解得()1f x =或()1f x t =-，当()1f x =时，有1个实数解，所以()1f x t =-应有3个实数根，即函数()y f x =与1y t =-有3个交点，所以2401t e <-<，即2411t e<<+ 故选：D 【点睛】本题考查方程的根的个数问题解法，考查数形结合思想方法，以及导数的运用：求单调区间和极值，考查运算能力．3．A解析：A 【分析】先对()f x 求导可得()1cos 0f x x '=+≥，()f x 单调递增，原不等式可化为存在[0,]x π∈ 使得sin cos x x m x ≤-有解，即sin cos m x x x ≥+对于[0,]x π∈有解，只需()min m g x ≥，利用导数判断()g x 的单调性求最小值即可. 【详解】由()sin f x x x =+可得()1cos 0f x x '=+≥，所以()sin f x x x =+在[0,]x π∈单调递增，所以不等式(sin )(cos )f x x f m x ≤-成立等价于sin cos x x m x ≤-，所以sin cos m x x x ≥+对于[0,]x π∈有解，令()sin cos g x x x x =+，只需()min m g x ≥，则()sin cos sin cos g x x x x x x x '=+-=，当02x π≤≤时，()cos 0g x x x '=≥，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，当2x ππ<≤时，()cos 0g x x x '=<，()g x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，()0cos01g ==，()sin cos 1g ππππ=+=-，所以()()min 1g x g π==-，所以1m ≥-，整数m 的最小值为1-，故选：A. 【点睛】方法点睛：若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）有解，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈有解，进而转化为()max g x λ≤或()()min g x x D λ≥∈，求()g x 的最值即可.4．B解析：B 【分析】将不等式化简并换元，构造函数2()ln e (e)f t t a t t =-+≥，则min ()0f t ≥即可，对函数求导，判断导函数零点与区间端点的关系，分类讨论得出函数的单调性和最小值，代入求解可得正实数a 的取值范围．【详解】22e e e ln e ln e 0x x x a x ax a x x x ++≥⇔-+≥，令e x t x=(由e e x x ≥可知e t ≥)，则2ln e 0t a t -+≥，设2()ln e (e)f t t a t t =-+≥，则min ()0f t ≥即可，易得()1(e)a t a f t t t t-'=-=≥， ①当0e a <≤时，()0f t '≥，所以此时()(e)y f t t =≥是增函数，故2min ()(e)e e 0f t f a ==-+≥，解得2e e a ≤+，又0e a <≤，所以0e a <≤；②当e a >时，则()y f t =在[,)e a 上递减，在(,)a +∞上递增，故min ()()f t f a =，min ()0()0f t f a ≥⇔≥，所以2ln e 0a a a -+≥，设2()ln e (e)g a a a a a =-+>，故()0g a ≥即可，而()ln (e)g a a a '=->，显然()0g a '<，即()y g a =在(e,)+∞上递减，又2(e )0g =，而()0g a ≥，所以2()(e )g a g ≥，所以2e a ≤，又e a >，因此2e e a <≤.综上所述，0e a <≤或2e e a <≤，即2(0,e ]a ∈.故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题，考查导数在单调性和最值中的应用，考查分类讨论思想，关于恒成立问题的几种常见解法总结如下： 1.参变分离法，将不等式恒成立问题转化为函数求最值问题；2.主元变换法，把已知取值范围的变量作为主元，把求取值范围的变量看作参数；3.分类讨论，利用函数的性质讨论参数，分别判断单调性求出最值；4.数形结合法，将不等式两端的式子分别看成两个函数，作出函数图象，列出参数的不等式求解．5．B解析：B 【分析】求导，则由题意导函数在0,上恒大于等于0，分参求a 范围.【详解】由题意可得()160f x x a x'=-+≥对()0,x ∈+∞恒成立，即16a x x ≤+，对()0,x ∈+∞恒成立因为16x x +≥16x x =即6x =时取最小值所以a ≤ 故选：B 【点睛】(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数k ，把所求问题转化为求函数的最小值问题．(2)若可导函数f (x )在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．6．D解析：D 【分析】由题意得32x x x a e e e =--，令32()x xx g x e e e =--，求()g x 的取值范围可得答案.【详解】由32()0xx x f x ee e a =---=，则32x x x a e e e =--，令32()xxx g x e ee =--，则()()()3223()3211213xxx x x x x x x g x e ee e e e e e e '=--=+-=--，当()0g x '>得0x >，()g x 单调递增，当()0g x '<得0x <，()g x 单调递减，所以min()(0)1g x g ≥=-，()2215()124xxxxx g x e e e e e ⎡⎤⎛⎫=--=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当x 趋向于正无穷大时，()g x 也趋向于正无穷大，所以函数()f x 存在零点，则1a ≥-. 故选：D. 【点睛】方法点睛：本题考查函数零点问题．解题方法是把零点个数转化为方程解的个数，再转化为函数图象交点个数，由图象观察所需条件求得结论．考查了分析问题、解决问题的能力．7．B解析：B 【分析】求导得到2()21'=++f x x ax ，然后根据()f x 在(,0)-∞，(3,)+∞上为增函数，在()1,2上为减函数，由(0)0(1)0(2)0(3)0f f f f ''≥⎧⎪≤⎪⎨''≤⎪⎪≥⎩求解.【详解】已知函数321()13f x x ax x =+++，则2()21'=++f x x ax ，因为()f x 在(,0)-∞，(3,)+∞上为增函数，在()1,2上为减函数，所以(0)0(1)0(2)0(3)0f f f f ''≥⎧⎪≤⎪⎨''≤⎪⎪≥⎩，即10121044109610a a a ≥⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪++≥⎩，解得 5534a -≤≤-，所以实数a 的取值范围为55,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦故选：B 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及二次函数与根的分布，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.8．D解析：D【分析】分析函数()13log xf x e x =-为增函数，若01x ≥，求出[)1,x ∈+∞时函数的值域，结合命题间的基本关系即可得答案. 【详解】由函数的解析式可得函数的定义域为： ()0,∞+,且导函数()10ln 3xf x e x '+=>，则函数单调递增，结合()1131log 1e f e =-=，可得当1≥x 时，函数的值域为[),e +∞.据此可知p 是假命题， q 是真命题， q ⌝是假命题. 结合全称命题与特称命题的关系可得：p 的否命题是：若01x <,则()03f x <.[):1,q x ⌝∀∈+∞，()3f x ≠故选：D 【点睛】本题通过考查函数的单调性和极值来考查命题间的基本关系，属于中档型综合题.9．C解析：C 【分析】先求出原函数的导函数，令0y '=，得到2(1)x m x e =+，然后将问题转化为2(1)x m x e =+在(,1)-∞-上有两个不同的解，再构造函数2()(1)(1)x f x x e x =+<-，求出()f x 的取值范围，即可得到m 的取值范围．【详解】由(1)1xm y e x x =+<-+，得2(1)xm y e x '=-+，令0y '=，则2(1)x m x e =+，曲线(1)1xmy e x x =+<-+存在两条垂直于y 轴的切线， 2(1)x m x e ∴=+在(,1)-∞-上有两个不同的解．令2()(1)x f x x e =+，则22()2(1)(1)(43)x x x f x x e x e x x e '=+++=++．∴当3x <-时，()0f x '>，当31x -<<-时，()0f x '<，()f x ∴在(,3)-∞-上单调递增，在(3,1)--上单调递减， ∴34()(3)max f x f e =-=，又当3x <-时，()0f x >，(1)0f -=．m ∴的取值范围为34(0,)e．故选：C ．【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点处切线斜率，训练了利用导数研究函数的单调性、零点，考查数学转化思想方法，属中档题．10．B解析：B 【分析】由题意得出()0f x '≤对于任意的[]1,1x ∈-恒成立，由此得出()()1010f f ⎧-≤⎪⎨≤''⎪⎩，进而可求得实数k 的取值范围. 【详解】()327f x x kx x =+-，()2327f x x kx '∴=+-，由题意可知，不等式()0f x '≤对于任意的[]1,1x ∈-恒成立，所以，()()12401240f k f k ⎧-='--≤⎪⎨='-≤⎪⎩，解得22k -≤≤.因此，实数k 的取值范围是[]22-,. 故选：B. 【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，一般转化为导数不等式在区间上恒成立，考查运算求解能力，属于中等题.11．B解析：B 【分析】构造函数()()f xg x x=，易知()g x 在()0,∞+上单调递增，由()f x 是定义在R 上的偶函数可推出()g x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，故()g x 在(),0-∞上也单调递增，且()()220g g =-=.而不等式()0xf x <的解可等价于即()0g x <的解，从而得解. 【详解】解：设()()f x g x x =，0x ≠，则()()()'2xf x f x g x x-'=， ∵当0x >时，有()()'xf x f x >恒成立，∴当0x >时，()0g x '>，()g x 在()0,∞+上单调递增，∵()f x 是定义在R 上的偶函数， ∴()()()()f x f x g x g x x x--===---，即()g x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数， ∴()g x 在(),0-∞上也单调递增. 又()20f =，∴()()2202f g ==，∴()20g -=. 不等式()0xf x <的解可等价于即()0g x <的解， ∴02x <<或2x <-， ∴不等式的解集为()(),20,2-∞-.故选：B . 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，考查函数的单调性，利用了构造思想，导函数的运用，属于中档题．12．B解析：B 【分析】先对函数求导，可得当10x -<<时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>，从而得min ()(0)1f x f a ==--，而x →+∞时，()f x →+∞，所以要函数()(1)x f x x e a =--在(1,)-+∞上只有一个零点，只要满足10a --=或20a e--，从而可求出a 的取值范围【详解】()x f x xe '=，当10x -<<时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>．从而min ()(0)1f x f a ==--，又2(1)f a e-=--，且x →+∞时，()f x →+∞， ∴10a --=或20a e --，即1a =-或2a e-．故选：B 【点睛】此题考查由导数解决函数零点问题，考查转化思想和计算能力，属于中档题二、填空题13．【分析】由得根据的范围得利用导数得可得令将化为关于的二次函数根据二次函数知识可求得结果【详解】因为所以所以因为所以当时由得由得所以在上递减在上递增所以在处取得最小值所以所以令则所以所以当时取得最小值解析：24,0e ⎡⎤-⎣⎦【分析】由()()12f x f x =得2124x e x e x =-，根据1x 的范围得224x e e x ≤，利用导数得22x e e x ≥，可得224x e e e x ≤≤，令22x e t x =，将()12x f x 化为关于t 的二次函数，根据二次函数知识可求得结果. 【详解】因为()()12f x f x =，所以2124x e x e x +=，所以2124x e x e x =-，因为10x ≤，所以224x e e x ≤，当0x >时，()x e f x x =，22(1)()x x x e x e e x f x x x'--==，由()0f x '>得1x >，由()0f x '<得01x <<，所以()f x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，所以()f x 在1x =处取得最小值e ，所以224x e e e x ≤≤，所以()12x f x 22224x x e e e x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭222224x x e e e x x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，令22x e t x =，则4e t e ≤≤，所以()12x f x 24t et =-()2224t e e =--，所以当2t e =时，12()x f x 取得最小值24e -，当4t e =时，12()x f x 取得最大值0，所以12()x f x 的取值范围是24,0e ⎡⎤-⎣⎦. 故答案为：24,0e ⎡⎤-⎣⎦ 【点睛】关键点点睛：令22x e t x =，将()12x f x 化为关于t 的二次函数，根据二次函数知识求解是解题关键.14．【分析】构造函数利用导数研究函数的单调性即可得结论【详解】设则因为对任意所以所以对任意是单调递增函数因为所以由可得则的解集故答案为：【点睛】本题主要考查不等式的求解利用条件构造函数利用导数研究函数的解析：)(1,-+∞【分析】构造函数)(()24g x f x x =--，利用导数研究函数的单调性即可得结论. 【详解】设)(()24g x f x x =--，则)(()2g x f x ='-'，因为对任意x ∈R ，)(2f x '>，所以()0g x '>，所以对任意x ∈R ， ()g x 是单调递增函数，因为)(12f -=，所以)((1)124440g f -=-+-=-=，由()()10g x g >-=，可得1x >-，则)(24f x x >+的解集()1,-+∞. 故答案为：()1,-+∞. 【点睛】本题主要考查不等式的求解，利用条件构造函数、利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键.15．【分析】由题意可得：有2个不相等的实根也即有2个不相等的实根利用即可求解【详解】由题意可得：有2个不相等的实根也即有2个不相等的实根所以即解得：或故答案为：【点睛】本题主要考查了极值和导数的关系属于解析：()(),22,-∞-+∞【分析】由题意可得：()20()22xf x x a x a e '⎡⎤=++++⎣=⎦有2个不相等的实根，也即()2220x a x a ++++=有2个不相等的实根，利用0∆>即可求解.【详解】由题意可得：()20()22xf x x a x a e '⎡⎤=++++⎣=⎦有2个不相等的实根，也即()2220x a x a ++++=有2个不相等的实根，所以()()22420a a ∆=+-+>，即()()2240a a ++->，解得：2a >或2a <-，故答案为：()(),22,-∞-+∞【点睛】本题主要考查了极值和导数的关系，属于中档题.16．49【分析】求出函数的导数根据函数的单调性得到关于的不等式组根据两点间的距离公式求出其最小值即可【详解】若在上递增则故满足条件的平面区域如图示：的几何意义表示和阴影部分的点的距离故到阴影部分的最小值解析：49 【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于m ，n 的不等式组，根据两点间的距离公式求出其最小值即可．【详解】21()(1)2f x x mx n '=-++-，若()f x 在[0，1]上递增，则(0)10f n '=-，()11102m n f =-++-'，故满足条件001102m n n m n ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪-+⎪⎩的平面区域如图示：22(6)(8)m n -+-的几何意义表示(6,8)和阴影部分的点的距离，故(6,8)到阴影部分的最小值是自(6,8)向1n =作垂线，故垂线段是7，故22(6)(8)m n -+-的最小值是49，故答案为：49．【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及简单的线性规划问题，考查了数学运算能力和数形结合思想.17．【分析】令根据题中条件得到为偶函数；对其求导根据题中条件判定在上单调递减；则在上单调递增；化所求不等式为求解即可得出结果【详解】令则因为所以即所以函数为偶函数；又当时所以即函数在上单调递减；则在上单解析：12x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭【分析】令()()xg x f x e =，根据题中条件，得到()g x 为偶函数；对其求导，根据题中条件，判定()g x 在(),0-∞上单调递减；则()g x 在()0,∞+上单调递增；化所求不等式为1x x ≥-，求解，即可得出结果.【详解】令()()xg x f x e =，则()()xg x f x e --=-，因为2()()0xf x ef x --=，所以()()x x f x e f x e -=-，即()()g x g x =-，所以函数()g x 为偶函数；又()[]()()()()x x xg x f x e f x e f x f x e '''=+=+，当0x ≤时，()()0f x f x '+<，所以()[]()()0xg x f x f x e ''=+<，即函数()g x 在(),0-∞上单调递减；则()g x 在()0,∞+上单调递增；又不等式21()(1)x f x ef x -≥-可化为1()(1)x x f x e f x e -≥-，即()()1g x g x ≥-，所以只需1x x ≥-，则()221x x ≥-，解得12x ≥. 故答案为：12x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题主要考查由函数单调性与奇偶性解不等式，考查导数的方法判定函数单调性，涉及绝对值不等式的解法，属于常考题型.18．【分析】直接求导再判断函数单调性进而求出极值即可【详解】因为令解得或当时单调递增；当时单调递减；当时单调递增所以极大值极小值则故答案为：【点睛】本题考查函数的导数的应用函数的极值以及求法考查分析问题解析：2【分析】直接求导，再判断函数单调性，进而求出极值即可．【详解】因为()sin (0)f x x x π'<<，令()0f x '=，解得3x π=或23x π=，当(0,)3x π∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(,)33x π2π∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当2(,)3x ππ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以极大值()cos 333M f πππ==+=极小值222()cos 333N f πππ=+，则M N +==，故答案为：2．【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．19．【分析】构造函数利用导数判断单调性再利用单调性解不等式即可【详解】构造函数则依题意知即在上是减函数又因为所以所以的解为即即的解为所以的解为即即解集是故答案为：【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式解析：12,33⎛⎫⎪⎝⎭【分析】构造函数()()ln 1(0)g x f x x x =-->，利用导数判断单调性，再利用单调性解不等式即可. 【详解】构造函数()()ln 1(0)g x f x x x =-->，则1()1()()xf x g x f x x x'-''=-=，依题意知()0g x '<，即()()ln 1g x f x x =--在0,上是减函数.又因为(1)1f =，所以(1)(1)ln110g f =--=，所以()(1)g x g >的解为01x <<，即()ln 10f x x -->即()ln 1f x x >+的解为01x <<，所以(31)ln(31)1f x x ->-+的解为0311x <-<，即1233x <<，即解集是12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为：12,33⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式，属于中档题.20．【分析】首先对进行求导利用导数研究函数的最值问题根据题意对任意存在使只要的最小值大于等于在指定区间上有解【详解】由得当时当时∴在上单调递减在上单调递增∴在上有解在上有解函数在上单调增故答案为:【点睛解析：[)0,+∞【分析】首先对()f x 进行求导，利用导数研究函数()f x 的最值问题，根据题意对任意1x R ∈，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ，只要()f x 的最小值大于等于()g x 在指定区间上有解 . 【详解】由()x f x e x =-，得()1xf x e '=-，当()1,0x ∈-时，()0f x '<，当()0,1x ∈时，()0f x '>， ∴()f x 在()1,0-上单调递减，在()0,1上单调递增， ∴()()min 01f x f ==()1g x ≤在[]1,2上有解，21212x mx m x x -≤⇔≥-在[]1,2上有解，函数1y x x =-在[]1,2上单调增，1101min y ∴=-=，20,0m m ≥≥.故答案为: [)0,+∞ 【点睛】不等恒成立与能成立的等价转换:任意1x A ∈，存在2x B ∈，使()()12min min ()()f x g x f x g x ⇔≥ 任意1x A ∈，任意2x B ∈，使()()12min max ()()f x g x f x g x ⇔= 存在1x A ∈，存在2x B ∈，使()()12max min ()()f x g x f x g x ⇔⇔三、解答题21．（1）(]0,1；（2）证明见解析. 【分析】（1）转化为()22140ax a x +++≥在[]22-,上恒成立，利用二次函数知识可求得结果；（2）构造函数()()2225xh x x x e x =++--，利用导数可得()h x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，其中()01,0x ∈-，再根据零点存在性定理可证结论成立. 【详解】（1）因为()f x 在[]22-,上是单调增函数，所以()()()()2222222140xxxf x ax e ax x e ax a x e '⎡⎤=++++=+++⎦≥⎣在[]22-,上恒成立，又0x e >，所以()22140ax a x +++≥在[]22-,上恒成立. 令()()2214g x ax a x =+++，又0a >，故对称轴为110x a=--<.①当112a--≤-，即01a <≤时，()g x 在[]22-,上单调递增，则()()min 244(1)40g x g a a =-=-++=，所以此时()()20g x g ≥-=恒成立. ②当1210a -<--<，即1a >时，()g x 在12,1a ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦上单调递减，在11,2a ⎛⎤-- ⎥⎝⎦上单调递增，所以min 1()1g x g a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()21112114a a a a ⎛⎫⎛⎫=--++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1()2a a =-++()21a a-=-0<，所以()0g x ≥在[]22-,上不恒成立，故1a >不合题意，综上所述，a 的取值范围是(]0,1.（2）因为1a =，设()()2225xh x x x e x =++--，则()()()()2222221441xxxh x x e x x e x x e =++'++-=++-.令()()2441xx x x e ϕ=++-，则()()()()()()2224446842xxxxx x e x x e x x e x x e ϕ=+++'+=++=++，由()()()420xx x x e ϕ'=++=，得4x =-或2x =-.所以4410x e =-=-<极大值，210x =-=-<极小值因为()1110eϕ-=-<，()030ϕ=>，所以存在()01,0x ∈-，使()00x ϕ=，当()0,x x ∈-∞时，()0x ϕ<，()0h x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0x ϕ>，()0h x '>，所以()h x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增. 又因为()51750h e -=>，()410410h e -=-<，()030h =-<，()1560h e =->，故根据零点存在定理，可知()0h x =的根()15,4x ∈--，()20,1x ∈，所以方程()5f x x =+有且只有两个零点. 【点睛】关键点点睛：第（1）问转化为()22140ax a x +++≥在[]22-,上恒成立是解题关键，第（2）问构造函数()()2225xh x x x e x =++--，利用导数研究函数的零点是解题关键.22．（1）()110e x y ---=；（2）01a ≤≤. 【分析】（1）设切点坐标，求出导数及切线方程，把()0,1-代入切线方程可得0x ，然后再求出切线方程；（2）求出导函数，对a 进行讨论并判断函数的单调性，利用函数的最小值可得答案. 【详解】（1）当1a =时，点()0,1-不在函数图象上，()1xf x e '=-，设切点为()000, xx e ax a --，则切线方程为()()()0000xy e ax a f x x x '---=-，因为过点()0,1-，所以0000()111x xe x e x --++=--，解得01x =，因此所求的直线方程为()110e x y ---=.（2）()xf x e a '=-，当0a ≤时，()'0f x >，所以在R 上单调递增，其中0a =，()0xf x e =>，符合题意，当0a <时，取110ax a-=<，()1110x f x e =-<，不符合题意；当0a >时，()()n 0,,l x a f x '∈-∞<，所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减，()()ln ,,0x a f x '∈+∞>，所以()f x 在()ln ,a +∞上单调递增，所以()()ln f x f a ≥，要使()0f x ≥，只需()ln 0f a ≥，()ln ln ln 0af a e a a a =--≥，解得01a <≤；综上所述，01a ≤≤. 【点睛】本题考查求函数过一点的切线方程和求参数问题，对于求切线的问题时需要讨论此点是否是切点；对于求参数问题，有时可采用对原函数进行求导讨论其单调性和最值方法求解，也可以采用对参数实行分离的方法，构造新函数并求新函数的值域可得解. 23．（1）单调递减区间为2(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭，单调递增区间为20,3a ⎛⎫⎪⎝⎭；（2）13ln ,24⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.【分析】（1）求出导函数()(32)f x x x a '=--，讨论0a =、0a <或0a >，利用导数与函数单调性之间的关系即可求解.（2）将不等式分离参数转化为2ln k x x x >--在(0,)+∞上恒成立，令2()ln g x x x x =--，利用导数求出()g x 的最大值即可求解.【详解】解：（1）2()32(32)f x x ax x x a '=-+=-- 令()0f x '=，得12203x x a ==，当0a =时，()0f x '≤恒成立，且仅在0x =时取等号，故()f x 在R 上单调递减当0a <时，在区间2,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(0,)+∞上()0f x '<，在区间2a,03⎛⎫⎪⎝⎭上()0f x '>，所以()f x 的单调递减区间为2,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，， ()f x 的单调递增区间为2a,03⎛⎫⎪⎝⎭当0a >时，在区间2(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭上()0f x '<，在区间20,3a ⎛⎫⎪⎝⎭上()0f x '>．所以()f x 的单调递减区间为2(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭，单调递增区间为20,3a ⎛⎫⎪⎝⎭（2）当1a =-时，由题意可知，()(ln )f x x k x <-在(0,)+∞上恒成立，即322(ln )ln x x x k x k x x x --<-⇒>--在(0,)+∞上恒成立设2()ln g x x x x =--，则2121(1)(21)()21x x x x g x x x x x'--+-+-=--==令()0g x '>得10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；令()0g x '<得1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，所以函数()g x 在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减 113()ln 224g x g ⎛⎫∴≤=- ⎪⎝⎭∴实数k 的取值范围是13ln ,24⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数研究不等式恒成立，解题的关键是分离参数，将不等式转化为2ln k x x x >--在(0,)+∞上恒成立，考查了分类讨论的思想.24．（1）0a ≥；（2）3[,)e+∞.【分析】（1）求导函数()'f x ，令()0f x '≥恒成立，可求参数范围；（2）变量分离转化为32x a e x -≥-，求函数3()2x g x ex -=-最大值.【详解】（1）由函数()()x f x x a e =+，得()(1)x f x x a e '=++，∵函数()f x 在区间[1,)-+∞上是增函数，∴()(1)0x f x x a e '=++≥，即1a x ≥--在区间[1,)-+∞上恒成立，∴当[1,)x ∈-+∞时，1(,0]x --∈-∞，∴0a ≥.（2）3()x f x e xe ≥-在[0,1]x ∈时恒成立，等价于32x a e x -≥-在[0,1]x ∈时恒成立，令3()2x g x e x -=-，则max ()a g x ≥，∵3()20x g x e -'=--<，∴()g x 在[0,1]上单调递减， ∵()g x 在区间[0,1]上的最大值3max()(0)g x g e ==，∴3a e ≥，即实数a 的取值范围是3[,)e+∞. 【点睛】关键点睛：变量分离，转化为不等式恒成立问题，进而求又一函数的最值.25．（1）最大值为1e ，最小值分别为0；（2）答案见解析. 【分析】（1）当1a =时，()x x f x e =，对其求导，利用导函数得符号判断()y f x =在[0,2]上的单调性，即可求得最值；（2）对()f x 求导可得()1()x a x f x e-'=，讨论0a >和0a <，由()0f x '>可得单调递增区间，由()0f x '<，可得单调递减区间.【详解】（1）当1a =时，()x x f x e =，所以21()x x x xe xe xf x e e --'==．令()0f x '=，得1x =．当01x ≤<时，()0f x '>；当12x <≤时，()0f x '<．所以()y f x =在()0,1单调递增，在()1,2单调递减，所以当1x =时，()f x 取最大值1(1)f e =．又因为(0)0f =，22(2)f e =，所以函数()x x f x e =的最大值和最小值分别为1e ，0．（2）因为()1()x a x f x e-'=．当0a >时，由()0f x '>，得1x <；由()0f x '<，得1x >，此时函数()x x f x e=的单调递增区间为(,1)-∞，单调递减区间为(1,)+∞；当0a <时，由()0f x '>，得1x >；由()0f x '<，得1x <．此时函数()x x f x e =的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为(,1)-∞ 综上所述：当0a >时，函数()x x f x e =的单调递增区间为(,1)-∞，单调递减区间为(1,)+∞；当0a <时，函数()x x f x e =的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为(,1)-∞．【点睛】方法点睛：求函数()f x 在区间[],a b 上的最值的方法：（1）若函数在区间[],a b 上单调递增或递减，则()f a 与()f b 一个为最大值，另一个为最小值；（2）若函数在区间[],a b 内有极值，则要先求出函数在[],a b 上的极值，再与()f a ，()f b 比较，最大的为最大值，最小的为最小值；（3）函数()f x 在区间(),a b 上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大（或最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.26．（1）2；（2）(,1)-∞-.【分析】（1）将0a =代入，求出函数的导数，分析函数的单调性可得当1x =-时，()f x 有最大值2；（2）若()f x 无最大值，则3123a a a a ≤-⎧⎨->-⎩或312322a a a a a >-⎧⎪->-⎨⎪->⎩，解得可得答案. 【详解】（1）若0a =，33,0()2,0x x x f x x x ⎧-=⎨->⎩，所以233,0()2,0x x f x x ⎧-=⎨->⎩'，当1x <-时，()0f x '>，此时函数为单调递增函数，当1x >-时，()0f x '<，此时函数为单调递减函数，故当1x =-时()f x 有最大值为2 .（2）233,()2,x x a f x x a⎧-=⎨->'⎩，令()0f x '=，则1x =±，若()f x 无最大值，则 3123a a a a ≤-⎧⎨->-⎩ ① 或312322a a a a a >-⎧⎪->-⎨⎪->⎩②，由①得(,1)a ∈-∞-，由②得无解，所以(,1)a ∈-∞-.故答案为：2；(,1)-∞-.【点睛】分段函数在高考中的常见题型有：已知分段函数求值、已知分段函数求值域、已知分段函数求不等式解集、已知分段函数求参数取值范围等，分段函数问题要注意分类讨论，涉及分段函数的单调性、奇偶性、周期性等问题，要善于利用数形结合的思想解决问题.。

(典型题)高中数学选修1-1第四章《导数应用》测试卷(答案解析)

一、选择题1．若关于x 的方程2lnx ax x -=在0,上有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围为（） A ．(],1-∞-B ．(),1-∞-C ．[)1,-+∞D ．()1,-+∞2．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，()10f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（）A ．()()0,11,+∞B ．()(),11,-∞-+∞C ．()(),10,1-∞-⋃D ．()()1,01,-⋃+∞3．已知函数()2sin x m f x x +=-在30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（） A ．3,44ππ⎫⎡--⎪⎢⎣⎭ B ．3,44ππ⎛⎤⎥⎝⎦ C ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭ D ．,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 4．已知函数()23ln f x x ax x =-+在其定义域内为增函数，则a 的最大值为（）A．4B ．C ．D ．65．已知函数()f x 定义域为R ，其导函数为f x ，且()()30f x f x '->在R 上恒成立，则下列不等式定成立的是（） A ．()()310f e f D ．()()210f e f >6．已知函数()()()()221ln 10,,2a f x a x x a a xb x a b =-++--+>∈∈R R .若函数()f x 有三个零点，则（）A ．1a >，0b C ．0a <，0b >D ．01a <<，0b < 7．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x '<-，则下列式子成立的是（）A ．(2020)(2021)f ef >B ．(2020)(2021)f ef <C ．(2020)(2021)ef f >D ．(2020)(2021)ef f <8．已知函数()()()110ln x f x x x++=>，若()1kf x x >+恒成立，则整数k 的最大值为（） A ．2B ．3C ．4D ．59．对于正数k ，定义函数：()()()(),,f x f x k g x k f x k ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩.若对函数()ln 22f x x x =-+，有()()g x f x =恒成立，则（）A ．k 的最大值为1ln2+B ．k 的最小值为1ln2+C ．k 的最大值为ln 2D ．k 的最小值为ln 210．甲乙两人进行乒乓球友谊赛，每局甲胜出概率是()01p p <<，三局两胜制，甲获胜概率是q ，则当q p -取得最大值时，p 的取值为（） A ．12B ．1326-C ．1326+ D ．2311．函数()212x f x x -=+的值域是（） A ．30,⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭,+C ．()0,3D ．)3,⎡+∞⎣12．若函数32()21f x ax x x =+++在(1,2)上有最大值无最小值，则实数a 的取值范围为（） A ．34a >-B ．53a <-C ．5334a -<<- D ．5334a -≤≤- 二、填空题13．已知函数()32133f x x x =++在区间(),3+m m 上存在极大值与极小值，则实数m 的取值范围是_________．14．已知函数()(ln )xe f x k x x x=+-，若1x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围是_______.15．已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示，则函数()()x f x g x e=的单调递减区间为___________．16．已知函数()2ln(1)f x x ax =+-，对任意的(0,1),(0,1)m n ∈∈，当m n ≠时，(1)(1)1f m f n m n+-+<-，则实数a 的取值范围是____________.17．函数21f x x x 的极大值为_________.18．已知函数3223,01()21,1x x m x f x mx x ⎧-+≤≤=⎨-+>⎩，若函数()f x 的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则实数m 的取值范围为________．19．函数2sin y x x =-在[]0,2π上的递增区间是________.20．已知函数()321f x x x =++，若对于x R ∀∈不等式()21xf ax e a -+≤恒成立，则实数a 的取值范围为：____________．三、解答题21．已知函数()2ln f x x a x x=--. （1）已知()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为2y x =-，求实数a 的值；（2）已知()f x 在定义域上是增函数，求实数a 的取值范围. 22．已知函数()xax f x e =．（1）当1a =时，判断函数()f x 的单调性；（2）若0a >，函数()()212g x f x x x =+-只有1个零点，求实数a 的取值范围． 23．已知函数32()691f x x x x =-++．（1）求曲线()y f x =在点()0,1处的切线方程．（2）证明：()()1ln 2cos x x f x x +->对1()2,x ∈+∞恒成立． 24．已知函数()()3f x alnx ax a R =--∈．（1）函数()f x 的单调区间；（2）当1a =-时，证明：当()1x ∈+∞，时，()20f x +>． 25．已知函数21()ln (1)12f x a x x a x =+-++. （I ）当0a =时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数()f x 在1x =处取得极小值，求实数a 的取值范围.26．已知函数321()23f x x x ax =-++，21()42g x x =-. （1）若函数()f x 在()0,∞+上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围；（2）设()()()G x f x g x =-.若02a <<，()G x 在[]1,3上的最小值为13-，求()G x 在[]1,3上取得最大值时，对应的x 值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】通过分离参数变成ln x a x x=-，构造函数()ln x f x xx =-，利用导数求其单调区间和值域，数形结合写出a 的取值范围. 【详解】2lnx ax x -=故ln xa x x=- 则()ln x f x xx=- ()2'221ln 1ln 1x x x f x x x---=-= 设()21ln g x x x =--，0x >故()'120g x x x=--< ()21ln g x x x =--在0,上为减函数，10g .故()0,1∈x 时()'0f x >；()1,∈+∞x 时()'0f x <.故()ln x f x xx=-在0,1上为增函数，在1,上为减函数.()()max 11f x f ==-，且0,x →时()f x →-∞；,x →+∞时()f x →-∞y a =与()ln x f x x x=-的图象要有两个交点则a 的取值范围为(),1-∞-. 故选：B 【点睛】方程在某区间上有解的问题，可通过分离参数，构造函数，利用导数求该区间上单调区间和值域，得出参数的取值范围.2．C解析：C 【分析】构造函数()()f xg x x=，分析出函数()g x 为偶函数，且在()0,∞+上为减函数，由()0f x >可得出()00g x x ⎧>⎨>⎩或()00g x x ⎧<⎨<⎩，解这两个不等式组即可得解.【详解】构造函数()()f xg x x=，该函数的定义域为{}0x x ≠，由于函数()f x 为奇函数，则()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--，所以，函数()()f xg x x=为偶函数. 当0x >时，()()()20xf x f x g x x'-'=<，所以，函数()g x 在()0,∞+上为减函数，由于函数()()f xg x x=为偶函数，则函数()g x 在(),0-∞上为增函数. ()10f -=，则()10f =且()00f =，所以，()()110g g -==.不等式()0f x >等价于()()010g x g x ⎧>=⎨>⎩或()()010g x g x ⎧<=-⎨<⎩，解得1x <-或01x <<.因此，不等式()0f x >的解集为()(),10,1-∞-⋃. 故选：C. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.3．A【分析】()0f x =有两解变形为2sin m xxe e =有两解，设2sin ()xxg xe =，利用导数确定函数的单调性、极值，结合()g x 的大致图象可得结论．【详解】由()22sin x mf x e x +=-得2sin m xxe e =，设2sin ()xxg x e=，则2(cos sin )()x x g x -'=，易知当04x π<<时，()0g x '>，()g x 递增，当344x ππ<<时，()0g x '<，()g x 递减，(0)0g =，414g e ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，34314g e ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，如图是()g x 的大致图象，由2sin mx e =有两解得34411m e e eππ≤<，所以344m ππ-≤<-．故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点问题，解题关键是转化．函数的零点转化为方程的解，再用分离参数变形为2sin m xe =2sin ()x g x =my e =有两个交点，利用导数研究函数()g x 的单调性、极值后可得．4．B解析：B 【分析】求导，则由题意导函数在0,上恒大于等于0，分参求a 范围.【详解】由题意可得()160f x x a x'=-+≥对()0,x ∈+∞恒成立，即16a x x ≤+，对()0,x ∈+∞因为16x x +≥16x x =即x =时取最小值所以a ≤ 故选：B 【点睛】(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数k ，把所求问题转化为求函数的最小值问题．(2)若可导函数f (x )在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．5．A解析：A 【分析】构造函数()()3xf xg x e=，由()()30f x f x '->得0g x ，进而判断函数()g x 的单调性，判断各选项不等式. 【详解】()()3x f x g x e=，则()()()()()()3323333x x x x f x e f x e f x f x g x e e ⋅--=='''，因为()()30f x f x '->在R 上恒成立，所以0g x在R 上恒成立，故()g x 在R 上单调递减，所以()()10g g <，即()()3010f f e e <，即()()310f e f <，故选：A. 【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.6．B解析：B 【分析】首先求出函数的导函数，要使函数()f x 有三个零点，则()0f x '=必定有两个正实数根，即可求出参数a 的取值范围，再求出函数的单调区间，从而得到()10f a ->，即可判断b 的范围；【详解】解：因为()()()()221ln 10,,2a f x a x x a a xb x a b =-++--+>∈∈R R 所以()()()()()()()222111111ax a a x a a ax x a f x ax a a xxx+--+---+-'=++--==要使函数()f x 有三个零点，则()0f x '=必定有两个正实数根，即11x a=，21x a =-，所以1010a a->⎧⎪⎨>⎪⎩解得01a <<，此时111x a =>，211x a =-<，令()0f x '>，解得01x a <<-或1x a >，即函数在()0,1a -和1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，令()0f x '<，解得11a x a -<<或1x a >，即函数在11,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 在1x a =-处取得极大值，在1x a=处取得极小值；因为当0x →时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞，要使函数函数()f x 有三个零点，则()10f a ->，10f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭即()()()()()()2211ln 11112a f a a a a a a ab -=--+-+---+ ()()()()211ln 102a a a a b -+⎡⎤=--++>⎢⎥⎣⎦且()()2211111ln 102a f a a a b a a a a ⎛⎫⎛⎫=-++--+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为01a <<，所以011a <-<，20a -<，所以()()2102a a -+<，()ln 10a -<，所以()()()()211ln 102a a a a -+⎡⎤--+<⎢⎥⎣⎦，又()()()()211ln 102a a a a b -+⎡⎤--++>⎢⎥⎣⎦，所以0b >故选：B 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．7．A解析：A 【分析】构造函数()()xg x e f x =，求导判定函数单调性，根据单调性得(2020)(2021)g g >化简即可. 【详解】解：依题意()()0f x f x '+<，令()()x g x e f x =，则()(()())0xg x f x f x e ''=+<在R 上恒成立，所以函数()()xg x e f x =在R 上单调递减，所以(2020)(2021)g g >即20202021(2020)(2021)(2020)(2021)e e e f f f f >⇒>故选：A. 【点睛】四种常用导数构造法：（1）对于不等式()()0f x g x ''+> (或0<) ，构造函数()()()F x f x g x =+．（2）对于不等式()()0f x g x ''->(或0<) ，构造函数()()()F x f x g x =-．（3）对于不等式()()0f x f x '+>(或0<) ，构造函数()()xF x e f x =．（4）对于不等式()()0f x f x '->(或0<) ，构造函数()()x f x F x e=． 8．B解析：B 【分析】将不等式化为()()111ln x x k x +++>，令()()()111ln x g x xx ++=+，求出导函数，利用导数判断函数的单调性，从而可得()02,3x ∃∈使()00g x '=，进而可得()()001()g x x x g ≥=+，即求.【详解】()()()1ln 10x f x x x ++=>， ()1k f x x ∴>+可化为()111ln x k x x ++>+即()()111ln x x k x+++>，令()()()111ln x g x xx ++=+，则()()()()21ln 11111x x x x ln x g x x +++---++⎡⎤⎣⎦'= ()211x ln x x--+=令()()11h x x ln x =--+，则()111h x x '=-+，()0,x ∈+∞时， ()0h x '>，()g x '∴在()0,∞+单调递增.又()()1ln 32ln 420,30,49g g --''=<=> ()02,3x ∃∈使()00g x '=，即()0011ln x x +=-.当()00,x x ∈时，()()0,g x g x '<单调递减，当0(,)x x ∈+∞时，()()0,g x g x '>单调递增，()()000001ln 1))1(()(1x x g x x x x g +∴≥==+++， ()02,3x ∈，()013,4x +∴∈，∴正整数k 的最大值为3.故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查了导数研究不等式恒成立问题，解题的关键根据函数的单调性确定存在()02,3x ∈，使得()00g x '=，考查了分离参数法求范围.9．B解析：B 【分析】利用导数求出函数()f x 的最大值，由函数()g x 的定义结合()()g x f x =恒成立可知()f x k ≤，由此可得出k 的取值范围，进而可得出合适的选项.【详解】对于正数k ，定义函数：()()()(),,f x f x kg x k f x k ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，且()()g x f x =恒成立，则()f x k ≤.函数()ln 22f x x x =-+的定义域为()0,∞+，且()111x f x x x-'=-=. 当01x <<时，()0f x '>，此时，函数()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，此时，函数()f x 单调递减. 所以，()()max 11ln 2f x f ==+，1ln 2k ∴≥+. 因此，k 的最小值为1ln2+. 故选：B. 【点睛】解决导数中的新定义的问题，要紧扣新定义的本质，将问题转化为导数相关的问题，本题将问题转为不等式()k f x ≥恒成立，从而将问题转化为求函数()f x 的最大值.10．C解析：C 【分析】采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜：甲净胜二局，前二局甲一胜一负，第三局甲胜，由此能求出甲胜概率，进而求得的最大值. 【详解】采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜：甲净胜二局概率为2p ；前二局甲一胜一负，第三局甲胜概率为12(1)C p p p -⋅22(1)p p =-则22(1)q p p p =+-，得q p -222(1)p p p p =+--3223p p p =-+-(01)p <<，设3223y p p p =-+-，(01)p <<，则2661y p p '=-+-6(p p =---则函数y 在单调递减，在单调递增，故函数在36p =+处取得极大值，也是最大值. 故选：C. 【点睛】本题考查了概率的求法和应用以及利用导数求函数最值的方法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用，属于中档题.11．A解析：A 【分析】求出函数的定义域，然后求出导函数，确定单调性，得值域．【详解】由21020x x ⎧-≥⎨+≠⎩得11x -≤≤，()f x '==当112x -≤<-时，()0f x '>，()f x 递增，112x -<≤时，()0f x '<，()f x 递减，所以12x =-时，max()22f x ==-+(1)(1)0f f -==，所以()f x的值域是⎡⎢⎣⎦．故选：A ．【点睛】本题考查用导数求函数的值域，解题方法是由导数确定函数的单调性，得出最大值和最小值，得值域．12．C解析：C 【详解】分析：函数()3221f x ax x x =+++在()1,2上有最大值无最小值，则极大值在()1,2之间，一阶导函数有根在()1,2，且左侧函数值小于0，右侧函数值大于0，列不等式求解详解：f ′（x ）＝3ax 2+4x +1，x ∈（1，2）．a ＝0时，f ′（x ）＝4x +1＞0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去． a ≠0时，△＝16﹣12a ．由△≤0，解得43a ≥，此时f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．由△＞0，解得a 43＜（a ≠0），由f ′（x ）＝0，解得x1=，x2=．当403a ＜＜时，x 1＜0，x 2＜0，因此f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．当a ＜0时，x 1＞0，x 2＜0，∵函数f （x ）＝ax 3+2x 2+x +1在（1，2）上有最大值无最小值，∴必然有f ′（x 1）＝0，∴123a-＜2，a ＜0．解得：53-＜a 34-＜．综上可得：53-＜a 34-＜．故选：C ．点睛：极值转化为最值的性质：1、若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极小值，且无极大值，那么极小值为()f x 的最小值；2、若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极大值，且无极小值，那么极大值为()f x 的最大值；二、填空题13．【分析】利用导数求出函数的极大值点和极小值点由题意可得出关于实数的不等式组由此可解得实数的取值范围【详解】则令可得列表如下：极大值极小值所以函数的极大值点为解析：()3,2--【分析】利用导数求出函数()f x 的极大值点和极小值点，由题意可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】()32133f x x x =++，则()()222f x x x x x '=+=+，令()0f x '=，可得12x =-，20x =，列表如下：所以，函数f x 的极大值点为2x =-，极小值点为0x =，由于函数()32133f x x x =++在区间(),3+m m 上存在极大值与极小值，所以，230m m <-⎧⎨+>⎩，解得32m -<<-.因此，实数m 的取值范围是()3,2--. 故答案为：()3,2--.【点睛】易错点点睛：已知极值点求参数的值，先计算()0f x '=，求得x 的值，再验证极值点．由于导数为0的点不一定是极值点，因此解题时要防止遗漏验证导致错误．14．【分析】首先求函数的导数由条件是函数的唯一极值点说明在无解或有唯一解求实数的取值【详解】∵∴∴x ＝1是函数f （x ）的唯一极值点在上无解或有唯一解x=1①当x=1为其唯一解时k=e 令当时即h(x)的单解析：(,]e -∞【分析】首先求函数的导数2(1)()()x x e kx f x x'--=，由条件1x =是函数()f x 的唯一极值点，说明0-=x e kx 在()0,x ∈+∞无解，或有唯一解1x =，求实数k 的取值. 【详解】∵()(ln )x e f x k x x x =+-，∴22(1)1(1)()()(1)x x x e x e kx f x k x x x'---=+-= ∴x ＝1是函数f （x ）的唯一极值点，0x x e k ∴-=在(0,)x ∈+∞上无解，或有唯一解x =1，①当x =1为其唯一解时，k =e ，令()(0)x h x e ex x =->，()xh x e e '=-，当(0,1)x ∈时，()0h x '<，即h (x )的单调递减区间为(0,1)，当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，即()h x 的单调递增区间为(1,)+∞， ∴()h x 在x =1处，取得极小值， ∴k =e 时，x =1是f (x )的唯一极值点；②当xe k x=在(0,)x ∈+∞上无解，设()x e g x x =则2(1)()x e x g x x'-=，当(0,1)x ∈时，()0g x '<，即g (x )的单调递减区间为(0,1)，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，即()g x 的单调递增区间为(1,)+∞， ∴()g x 在x =1处，取得极小值，也是其最小值，min ()(1)g x g e ==，又k xe x=在(0,)x ∈+∞上无解，e k ∴<，综上k e ≤ 故答案为：(,]e -∞. 【点睛】易错点睛：本题考查根据函数的极值点求参数的取值范围，容易忽略k e =的情况，此时x e ex ≥恒成立.15．【分析】利用图象得出不等式的解集再利用导数可求得函数的单调递减区间【详解】由图象可知不等式的解集为由可得解得因此函数的单调递减区间为故答案为：【点睛】思路点睛：利用导数求函数单调区间的步骤：（1）求解析：()0,1、()4,+∞ 【分析】利用图象得出不等式()()0f x f x '-<的解集，再利用导数可求得函数()()x f x g x e=的单调递减区间. 【详解】由图象可知，不等式()()0f x f x '-<的解集为()()0,14,+∞，()()x f x g x e =，()()()()()()()2x x x x f x e f x e f x f x g x e e ''-⋅'-=='，由()0g x '<，可得()()0f x f x '-<，解得()()0,14,x ∈+∞.因此，函数()()x f x g x e=的单调递减区间为()0,1、()4,+∞．故答案为：()0,1、()4,+∞. 【点睛】思路点睛：利用导数求函数单调区间的步骤：（1）求函数()f x 的定义域；（2）求导数()f x '；（3）解不等式()0f x '>，并与定义域取交集得到的区间为函数()f x 的单调增区间；（4）解不等式()0f x '<，并与定义域取交集得到的区间为函数()f x 的单调减区间.16．【分析】把不等式恒成立转化为函数的导数小于1在内恒成立进而转化为在内恒成立结合函数的性质即可求解【详解】由题意分式的几何意义为：表示点与连线的斜率因为实数在区间内故和在区间内不等式恒成立所以函数图象解析：1,6⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】把不等式(1)(1)1f m f n m n+-+<-恒成立，转化为函数()f x 的导数小于1在(1,2)内恒成立，进而转化为()121a x ->+在(1,2)内恒成立，结合函数的性质，即可求解.【详解】由题意，分式(1)(1)f m f n m n+-+-的几何意义为：表示点(1,(1))m f m ++与(1,(1))n f n ++连线的斜率，因为实数,m n 在区间(0,1)内，故1m + 和1n +在区间(1,2)内，不等式(1)(1)1f m f n m n+-+<-恒成立，所以函数图象上在区间(1,2)内任意两点连线的斜率小于1，故函数()2ln(1)f x x ax =+-的导数小于1在(1,2)内恒成立，由函数()2ln(1)f x x ax =+-满足10x +>，即定义域为(1,)-+∞，即()2111f x ax x '=-<+在(1,2)内恒成立，即()121a x ->+在(1,2)内恒成立，设函数()()121g x x -=+，根据函数的单调性可知函数()()121g x x -=+在(1,2)上是单调增函数，可得()()126g x g <=-，所以16a ≥-，故答案为：1,6⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.17．【分析】利用导数研究函数的单调性由此可求得该函数的极大值【详解】定义域为令可得或当或时此时函数单调递增；当时此时函数单调递减所以函数在处取得极大值且极大值为故答案为：【点睛】本题考查利用导数求解函数解析：427【分析】利用导数研究函数21f x x x 的单调性，由此可求得该函数的极大值.【详解】()()21f x x x =-，定义域为R ，()()()()()2121311f x x x x x x '=-+-=--.令()0f x '=，可得13x =或1x =. 当13x <或1x >时，()0f x '>，此时，函数21f x x x 单调递增；当113x <<时，()0f x '<，此时，函数21f x x x 单调递减.所以，函数21f xx x 在13x =处取得极大值，且极大值为21114133327f ⎛⎫⎛⎫=⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：427. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的极值，考查计算能力，属于中等题.18．【分析】利用导数求得在区间上的单调性和最值对分成三种情况进行分类讨论由此求得的取值范围【详解】当时所以在区间上递减最大值为最小值为当时在区间上没有零点在区间上递增而所以在区间上没有零点所以不符合题意解析：1(0,)2【分析】利用导数求得()f x 在区间[]0,1上的单调性和最值，对m 分成0,0,0m m m <=>三种情况进行分类讨论，由此求得m 的取值范围. 【详解】当01x ≤≤时，()()'26661fx x x x x =-=-，所以()f x 在区间[]0,1上递减，最大值为()0f m =，最小值为()11f m =-.当0m <时，()f x 在区间[]0,1上没有零点，在区间()1,+∞上递增，而2110m -⨯+>，所以()f x 在区间()1,+∞上没有零点.所以0m <不符合题意.当0m =时，3223,01()1,1x x x f x x ⎧-≤≤=⎨>⎩，所以()f x 在区间[)0,+∞上有唯一零点()00f =，所以0m =不符合题意.当0m >时，()f x 在区间[]0,1和区间()1,+∞上递减，要使()f x 的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则需0102110m m m >⎧⎪-≤⎨⎪-⨯+>⎩，解得102m <<.综上所述，m 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为：1(0,)2【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.19．【分析】根据函数求导解的解集即可【详解】因为函数所以令得或当时所以函数在上的递增区间是故答案为：【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性还考查了转化问题和运算求解的能力属于中档题解析：5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据函数2sin y x x =-，求导12cos y x '=-，解0y '>的解集即可. 【详解】因为函数2sin y x x =-，所以12cos y x '=-，令12cos 0y x '=-=，得3x π=或53x π=，当533x ππ≤≤时，0y '>，所以函数2sin y x x =-在[]0,2π上的递增区间是5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故答案为：5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了转化问题和运算求解的能力，属于中档题.20．【分析】根据在R 上递增结合将不等式恒成立转化为恒成立然后分和两种情况利用导数法求解【详解】因为所以成立所以在R 上递增又成立所以恒成立即恒成立当时转化为恒成立令当时单调递减当时单调递增所以当时求得最小解析：10a e≤≤ 【分析】根据()f x 在R 上递增，结合()01f =，将x R ∀∈不等式()21xf ax e a -+≤恒成立，转化为()2xa x e +≤ ，x R ∀∈恒成立，然后分20x +≤和20x +>两种情况，利用导数法求解. 【详解】因为()321f x x x =++，所以()2320f x x '=+>成立，所以()f x 在R 上递增，又()()01,21xf f ax e a =-+≤x R ∀∈成立，所以20x ax e a -+≤，x R ∀∈ 恒成立，即()2xa x e +≤，x R ∀∈恒成立，当20x +>时，转化为2xe a x ≤+恒成立，令()2xg x ex =+，()()()212x x e g x x +'=+，当21x -<<-时，()0g x '<，()g x 单调递减，当1x >-时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以当1x =-时，()g x 求得最小值min 1()(1)g x g e=-=，所以1a e≤，当20x +≤时，转化为2xe a x ≥+恒成立，(),(,2)a g x x ≥∈-∞-上恒成立，(,2)x ∈-∞-时，()0,()g x g x '<单调递减，又(,2),()0x g x ∈-∞-<，所以0a ≥不等式恒成立，综上：实数a 的取值范围为10a e≤≤ 故答案为：10a e≤≤ 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，导数与不等式恒成立，还考查了转化化归的思想，分类讨论思想和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题21．（1）2a =；（2）(-∞. 【分析】（1）由题意可得出()11f '=，由此可求得实数a 的值；（2）求出函数()f x 的定义域为()0,∞+，由题意可知，()2210af x x x'=+-≥在()0,∞+上恒成立，利用参变量分离法得出min2a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求出2x x +在()0,∞+上的最小值，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】（1）()2ln f x x a x x =--，()221af x x x'∴=+-，()13f a '∴=-，又()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为2y x =-，()131f a '∴=-=，解得2a =；（2）()f x 的定义域为()0,∞+，()f x 在定义域上为增函数，()2210af x x x'∴=+-≥在()0,∞+上恒成立， 2a x x ∴≤+在()0,∞+上恒成立，min 2a x x ⎛⎫∴≤+ ⎪⎝⎭，由基本不等式2x x +=≥x时等号成立，故min2x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 故a的取值范围为(-∞. 【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立；（2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立；（3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在异号零点；（4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立；（5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立. 22．（1）当1a =时，函数()f x 在区间(),1-∞上单调递增；在区间1,上单调递减；（2）当函数()g x 只有1个零点时，实数a 的取值范围是,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．【分析】（1）先对函数求导，然后分别由0f x 和0f x 可求出函数的增区间和减区间；（2）由0g x，得1x =，或ln x a =，然后分ln 1a =，ln 1a <和ln 1a >三种情况讨论，当ln 1a =可得()g x 只有1个零点，当ln 1a <时，求出()g x 的单调区间，然后讨论其零点，当ln 1a >时，求出()g x 的单调区间，然后讨论其零点，从而可求出实数a 的取值范围【详解】解：（1）当1a =时，()xxf x e =，定义域为R ，所以()1xxf x e -'=．当1x <时，0f x，函数()f x 单调递增；当1x >时，0f x，函数()f x 单调递减．综上所述，当1a =时，函数()f x 在区间(),1-∞上单调递增；在区间1,上单调递减．（2）因为0a >，函数()212x ax g x e x x =+-，所以()()()111x xx a x e a g x x x e e -⎛⎫-'=+-=- ⎪⎝⎭．当0g x时，得1x =，或ln x a =．①若ln 1a =，即a e =，则0g x恒成立，函数()g x 在R 上单调递增，因为()00g =，所以函数()g x 只有1个零点． ②若ln 1a <，即0a e <<，当ln x a <时，0g x，函数()g x 单调递增；当ln 1a x <<时，0g x ，函数()g x 单调递减；当1x >时，0g x，函数()g x 单调递增．（Ⅰ）当ln 0a <，即01a <<时，()()()ln 001g a g g >=>，又因为()2220ag e =>，所以函数()g x 在区间1,2上有1个零点，故函数()g x 在R 上至少有2个零点，不符合题意．（Ⅱ）当ln 0a =，即1a =时，()()()ln 001g a g g ==>，又因为()2220g e =>，所以函数()g x 在区间1,2上有1个零点，故函数()g x 在R 上至少有2个零点，不符合题意．（Ⅲ）当ln 0a >，即1a e <<时，()()()ln 001g a g g >=>，若函数()g x 只有1个零点，需()1102a e g =->，解得2ea e <<．③若ln 1a >，即a e >，当1x <时，0g x，函数()g x 单调递增；当1ln x a <<时，0g x ，函数()g x 单调递减；当ln x a >时，0g x，函数()g x 单调递增．所以()()100g g >=，()21ln ln 02g a a =>所以函数()g x 在R 上只有1个零点．综上所述，当函数()g x 只有1个零点时，实数a 的取值范围是,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，利用导数求函数的单调区间和求函数的零点，第二问解题的关键是由0g x求得1x =或ln x a =，然后分ln 1a =，ln 1a <和ln 1a >三种情况讨论函数的单调性，从而由零点的情况求出参数的取值范围，属于中档题 23．（1）91y x =+；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出函数在0x =处的导数后可得切线方程.（2）设函数()1ln g x x x =+-，利用导数可证明在1(,)2+∞上有()()1,1f x g x ≥≥，但等号不同时成立，结合余弦函数的性质可证明()()1ln 2cos x x f x x +->在1()2,x ∈+∞恒成立.【详解】（1）解：2()3129f x x x -'=+，则()09f =，故曲线()y f x =在点()0,1处的切线方程为91y x =+．（2）证明：当1(,1)(3,)2x ∈⋃+∞时，()0f x '>，则()f x 在1(,1),(3,)2+∞上单调递增；当()1,3x ∈时，()0f x '<，则()f x 在()1,3上单调递减．因为133()(3)128f f =>=，所以()f x 在1(,)2+∞上的最小值为()31f =．设函数()1ln g x x x =+-．则1()(0)x g x x x -'=>．当1(,1)2x ∈时，()0g x '<，则()g x 在1(,1)2上单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，则()g x 在(1,)+∞上单调递增．故()()12g x g ≥=．从而()()1ln 2x x f x +-≥，但由于()1f x ≥与()2g x ≥的取等条件不同，所以()()1ln 2x x f x +->．因为2cos 2x ≤，所以()()1ln 2cos x x f x x +->对1()2,x ∈+∞恒成立．【点睛】方法点睛：对于不等式的恒成立的问题，如果该不等式中含有三角函数，那么可以利用三角函数的有界性把前者转化为与三角函数无关的不等式，这样便于问题的讨论与处理. 24．（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）求导()()1'(0)a x f x x x-=>，0a >，0a <，0a =讨论，令()'0f x >求解.（2）结合（1）将问题转化为()min 2f x >-求解. 【详解】（1）根据题意知，()()1'(0)a x f x x x-=>，当0a >时，当()01x ∈，时，()'0f x >，当()1x ∈+∞，时，()'0f x <，所以()f x 的单调递增区间为()01，，单调递减区间为()1+∞，；同理，当0a <时，()f x 的单调递增区间为()1+∞，，单调递减区间为()01，；当0a =时，()3f x =-，不是单调函数，无单调区间．（2）证明：当1a =-时，()ln 3f x x x =-+-，所以12f ，由（1）知()ln 3f x x x =-+-在()1+∞，上单调递增，所以当()1x ∈+∞，时，()()1f x f >．即()2f x >-，所以()20f x +>．【点睛】方法点睛：利用导数方法证明不等式f (x )>g (x )在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h (x )>0，其中一个重要技巧就是找到函数h (x )在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口． 25．（I ）1y x =-；（Ⅱ）1a <. 【分析】（Ⅰ）当0a =时，利用导数的几何意义求切线方程；（Ⅱ）首先求函数的导数，2(1)()10a x a x af x x a x x'-++=+--==时，11x =和2x a =，并讨论a 与0,1的大小关系，求实数a 的取值范围. 【详解】（I ）当0a =时，21()12f x x x =-+. 所以()1f x x '=-，所以(2)1k f '==，因为21(2)22112f =⨯-+=. 所以切线方程为1y x =-.（Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞. 因为21()ln (1)12f x a x x a x =+-++ 所以2(1)()1a x a x af x x a x x'-++=+--=. 令()0f x '=，即2(1)0x a x a -++=，解得1x =或x a =.（1）当0a 时，当x 变化时，(),()f x f x '的变化状态如下表：所以0a 成立.（2）当01a <<时，当x 变化时，(),()f x f x '的变化状态如下表：所以01a <<成立.（3）当1a =时，()0f x '在(0,)+∞上恒成立，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，没有板小值，不成立. （4）当1a >时，当x 变化时，(),()f x f x '的变化状态如下表：所以1a >不成立. 综上所述，1a <. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据极值点求a 的取值范围，本题容易求出导函数的零点1和a ，但需讨论a 的范围，这是易错的地方，容易讨论不全面，需注意.26．（1）12a >-；（2）最大值点为36+.36x +=. 【分析】（1）根据()f x 在()0,∞+上存在单调递增区间，由()2220f x x x a =-++>'在()0,∞+上有解求解.（2）由()0G x '=得1x =2x =，根据02a <<，易得10x <，213x <<，则()G x 在[]1,3上的最大值点为2x ，最小值为()1G 或()3G ，然后由()()143143G G a -=-+，分14403a -+<，14403a -+≥确定最小值进而求得a 即可【详解】（1）∵()f x 在()0,∞+上存在单调递增区间， ∴()2220f x x x a =-++>'在()0,∞+上有解，即()max 0f x '>在()0,∞+上成立，而()f x '的最大值为()112f a '=+， ∴120a +>，解得：12a >-. （2）3211()()()2432G x f x g x x x ax =-=-+++， ∴()22G x x x a '=-++，由()0G x '=得：112x =，212x +=，则()G x 在()1,x -∞，()2,x +∞上单调递减，在()12,x x 上单调递增，又∵当02a <<时，10x <，213x <<，∴()G x 在[]1,3上的最大值点为2x ，最小值为()1G 或()3G ，而()()143143G G a -=-+， 1︒当14403a -+<，即706a <<时，()113623G a =-=-，得136a =，此时，最大值点236x +=； 2︒ 当14403a -+≥，即726a ≤<时，()2511263G a =+=-，得94a =-（舍）.综上()G x 在[]1,3 【点睛】方法点睛：(1)求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在[a ，b ]内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内所有使f ′(x )＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得； (2)已知函数的最值求参数，一般先用参数表示最值，列方程求解参数．。

[原创]数学选修1-1《导数及其应用》单元测试卷(含答案).doc

高二数学选修1-1《导数及其应用》单元测试卷班级：姓名：座号：成绩：一、选择题（共7个小题,每小题6分）1、一个物体的运动方程为21s t t =-+,其中s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是 ( )A ．5米/秒B ．6米/秒C ．7米/秒D ．8米/秒2、函数()3f x x x =+的单调递增区间是 ( )A ．()0,+∞B ．(),1-∞C ．(),-∞+∞D ．()1,+∞3、已知()3232f x ax x =++且()14f '-=,则实数a 的值等于 ( )A ．193B ．163C ．133D ．1034、函数()()22f x x π=的导数是 ( )A ．()4f x x π'=B ．()24f x x π'=C ．()28f x x π'=D ．()16f x x π'=5、“函数()00f x '=”是“可导函数()f x 在点0x x =处取到极值”的条件。

( )A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要6、已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．47、设()0sin f x x =,()()10f x f x '=,()()21f x f x '=,,()()1n n f x f x +'=,n ∈N ,则()2005f x = ( )A ．sin xB ．sin x -C ．cos xD ．cos x -二、填空题（共3个小题,每小题6分）8、曲线31y x x =++在点()1,3处的切线方程是．9、已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切,则a = ．10、三次函数()3f x ax x =+在(),-∞+∞内是增函数,则a 的取值范围是．三、解答题（共2个小题,每题20分）11、已知函数()32f x x ax bx c =+++,当1x =-时,取得极大值7；当3x =时,取得极小值．试求a 、b 、c 的值及这个极小值．12、设函数3()3(0)f x x ax b a =-+>.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切,求,a b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点.高二数学选修1-1《导数及其应用》单元测试卷参考答案1-5 ACDCB 6-7 AC 8. 410x y --= 9. 1410. 0a > 11、解：()32f x x ax bx c =+++,∴()232f x x ax b '=++由题意知,1-和3是方程2320x ax b ++=的两个实数根 ∴2133133a b ⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩,解得：39a b =-⎧⎨=-⎩()17f -=∴()()()()3211319157f c c -=--⨯--⨯-+=+=∴2c =∴极小值()32333393225f =-⨯-⨯+=-12、（Ⅰ）()'233f x x a =-,∵曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切,∴()()()'203404,24.86828f a a b a b f ⎧=-=⎧=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=-+==⎪⎩⎪⎩⎩（Ⅱ）∵3()3(0)f x x ax b a =-+>,由()'0f x x =⇒=当(,x ∈-∞时,()'0f x >,函数()f x 单调递增,当(x ∈时,()'0f x <,函数()f x 单调递减,当)x ∈+∞时,()'0f x >,函数()f x 单调递增,∴此时x =()f x 的极大值点,x =()f x 的极小值点.知识改变命运。

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高二文科数学选修1-1《导数及其应用》滚动练习
一、填空题：
1、求下列函数的导数
(1)x y 2=,'y = ; (2)y x =,'y = ;
(3)x x y cos =,'
y = ; (4)x
x y 12+=,'
y = ;
2、函数224y x x =-+的递增区间是 ;递减区间是 .
3、曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1,－1)处的切线方程为____________________.
4、某质点的运动方程是23)12(--=t t S ,则在t=1时的瞬时速度为
5、函数42()25f x x x =-+在区间[2,2]-上的最大值是 ;最小值是
6.曲线y=x 3+x-2 在点P 0处的切线平行于直线y = 4x-1，则点P 0点的坐标是。

7、函数⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈+=2,0,sin πx x x y 的值域是
二、选择题：
8．若函数y=x ·2x 且y’=0 ，则x=( )
A.,2
ln 1
- B.2ln 1 C.-ln2 D.ln2
9、 f(x)=ax 3+3x 2+2，若f ’(-1)=4，则a 的值为（）
A ．319
B 、316
C 、313
D 、3
10
10.若函数f(x)=x 2+bx+c 的图象的顶点在第四象限，则函数f ＇(x)的图象是（）
11.已知函数f(x)的导数为
()344f x x x '=-，且图象过点(0,-5),当函数f(x)取得极大值时x 的值应为( )
A. -1
B. 0
C. 1
D. ±1 12．函数x x y sin 2+=的单调递增区间为（） A ．),(+∞-∞ B ．),0(+∞ C ．))(2
2,22(Z k k k ∈+
-
π
ππ
π D ．))(2,2(Z k k k ∈+πππ
三、解答题 13（12分）、已知抛物线 y =x 2 -4与直线y = x + 2，求：（1）两曲线的交点；（2）抛物线在交点处的切线方程
14、求函数3
1
431)(3+-=
x x x f 的极值（10分）
15.有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问
剪去的小正方形的边长应为多少？（10分）
参考答案
一、填空题
1、 (1)'
y =2 (2),'
y =
x
21 (3),'y =x x x sin cos -(4),'
y =211x
-
2、()+∞,1， ()1.∞-
3、023=-+y x
4、-1
5、13，4
6、(-1,-4)，（1，0）
7、⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+12,
0π 二、选择题8、A 9、D 10、A 11、B 12、A 三、解答题 13、解：：（1）由2
24
y x y x =+⎧⎨
=-⎩，求得交点A （- 2 ，0），B （3，5）
（2）因为y ′ =2x,则y ′
2
4x =-=-，y ′
3
6x ==，所以抛物线在A ，B 处的切线方程分别为y= -4(x + 2)与y -5 =
6(x – 3 )
即4x +y +8 = 0与6x – y – 13 = 0 14
15：（1）正方形边长为x ,则V =（8－2x )·(5－2x )x =2(2x 3－13x 2+20x )(0<x <
2
5
) V ′=4(3x 2－13x +10)(0<x <
2
5) V ′=0得x =1
根据实际情况，小盒容积最大是存在的，∴当x =1时，容积V 取最大值为18.。