2016高考数学二轮复习 专题9 思想方法专题 第四讲 化归与转化思想 文

第四讲化归与转化思想
化归与转化的思想在2016年高考中必然考到，较大的可能是出现在立体几何的大题中，可将空间立体几何的问题转化为平面几何问题，若出现在解析几何大题中，应将解析几何大题中求范围问题的题转化为求函数值域范围问题，总之将复杂问题转化为简单问题是高考中解决问题的重要思想方法．
化归与转化的思想方法
解决数学问题时，常遇到一些直接求解较为困难的问题，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题(相对来说，是自己较熟悉的问题)，通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”．
化归与转化的思想方法应用的主要方向
化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化．除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的．从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程．化归与转化思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程．数学中的转化比比皆是，如未知向已知的转化、复杂问题向简单问题的转化、新知识向旧知识的转化、命题之间的转化、数与形的转化、空间向平面的转化、高维向低维的转化、多元向一元的转化、高次向低次的转化、超越式向代数式的转化、函数与方程的转化等，都是转化思想的体现．
等价转化和非等价转化
转化有等价转化和非等价转化之分．等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证．
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)函数y ＝x ＋1x
的最小值是2.(×) (2)ab ≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22
成立的条件是ab >0.(×) (3)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4.(×) (4)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．(×)
1．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M ，N 两点，则|MN |的最大值为(B )
A ．1 B. 2 C. 3 D ．2
解析： |MN |＝|sin x －cos x |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π4，最大值为 2. 2．下图所示的韦恩图中，A ，B 是非空集合，定义集合A #B 为阴影部分表示的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝3x (x ＞0)}，则A #B 为(D )
A ．{x |0＜x ＜2}
B ．{x |1＜x ≤2}
C ．{x |0≤x ≤1或x ≥2}
D ．{x |0≤x ≤1或x ＞2}
解析：A ＝{}x |y ＝2x －x 2＝{x |2x －x 2≥0}＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ＝3x (x ＞0)}＝{y |y ＞1}，则A ∪B ＝{x |x ≥0}，A ∩B ＝{x |1＜x ≤2}．根据新运算，得A #B ＝∁A ∪B (A ∩B )＝{x |0≤x ≤1或x ＞2}．
3．定义一种运算a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b ，
令f (x )＝(cos 2x ＋sin x )⊗54，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则函
数f ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π2的最大值是(A ) A.54 B ．1 C ．－1 D ．－54
解析：设y ＝cos 2x ＋sin x ＝－sin 2x ＋sin x ＋1＝－⎝
⎛⎭⎪⎫sin x －122＋54， ∵x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴0≤sin x ≤1， ∴1≤y ≤54，即1≤cos 2x ＋sin x ≤54
. 根据新定义的运算可知f (x )＝cos 2x ＋sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴f ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2－122＋54
＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ＋122
＋54，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π. ∴函数f ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π2的最大值是54. 4．若f (x )＝－12
x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是(C ) A ．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞)
C ．(－∞，－1]
D ．(－∞，－1)
解析：∵f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，∴f ′(x )＝－x ＋b x ＋2
＜0在(－1，＋∞)上恒成立，即b ＜x (x ＋2)在(－1，＋∞)上恒成立．
设g (x )＝x (x ＋2)＝(x ＋1)2－1在(－1，＋∞)上单调递增，∴g (x )＞－1，
∴当b ≤－1时，b ＜x (x ＋2)在(－1，＋∞)上恒成立，即f (x )＝－12
x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数．。