九年级数学下册28.2.2第2课时利用仰俯角解直角三角形教案(新版)新人教版
人教九年级下册数学-利用仰俯角解直角三角形教案与教学反思
28.2.2 应用举例第2课时利用仰俯角解直角三角形1．使学生掌握仰角、俯角的意义，并学会正确地判断；(重点)2．初步掌握将实际问题转化为解直角三角形问题的能力．(难点)一、情境导入在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形．当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．今天我们就学习和仰角、俯角有关的应用性问题．二、合作探究探究点：利用仰(俯)角解决实际问题【类型一】利用仰角求高度星期天，身高均为1.6米的小红、小涛来到一个公园，用他们所学的知识测算一座塔的高度．如图，小红站在A处测得她看塔顶C的仰角α为45°，小涛站在B处测得塔顶C的仰角β为30°，他们又测出A、B两点的距离为41.5m，假设他们的眼睛离头顶都是10cm，求塔高(结果保留根号)．解析：设塔高为x m，利用锐角三角函数关系得出PM的长，再利用CP PN ＝tan30°，求出x的值即可．解：设塔底面中心为O，塔高x m，MN∥AB与塔中轴线相交于点P，得到△CPM、△CPN是直角三角形，则x－（1.6－0.1）PM＝tan45°，∵tan45°＝1，∴PM＝CP＝x－1.5.在Rt△CPN中，CPPN＝tan30°，即x－1.5x－1.5＋41.5＝33，解得x＝833＋894.答：塔高为833＋894m.方法总结：解决此类问题要了解角与角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形．当图形中没有直角三角形时，要通过作高或线构造直角三角形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型二】利用俯角求高度如图，在两建筑物之间有一旗杆EG，高15米，从A点经过旗杆顶部E 点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°.若旗杆底部G点为BC的中点，求矮建筑物的高CD.解析：根据点G是BC的中点，可判断EG是△ABC的中位线，求出AB.在t △ABC和Rt△AFD中，利用特殊角的三角函数值分别求出BC、DF，继而可求出CD的长度．解：过点D作DF⊥AF于点F，∵点G是BC的中点，EG∥AB，∴EG是△ABC 的中位线，∴AB＝2EG＝30m.在Rt△ABC中，∵∠CAB＝30°，∴BC＝AB tan∠BAC＝30×33＝10错误!未定义书签。
九年级数学下册 28_2_2 第2课时 利用仰俯角解直角三角形学案(新版)新人教版
的邻边的对边A A∠∠28.2.2 应用举例第2课时 利用仰俯角解直角三角形【学习目标】⑴ 使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题． ⑵ 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．⑶ 渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识【学习重点】将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．【学习难点】实际问题转化成数学模型【导学过程】一、自学提纲：1．解直角三角形指什么？2．解直角三角形主要依据什么？(1)勾股定理：(2)锐角之间的关系：(3)边角之间的关系：tanA=二、合作交流：仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．三、教师点拨：例3 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km 的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P 点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P 点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km ，结果精确到0. 1 km)斜边的邻边A A ∠=cos 斜边的对边A A ∠=sin例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?四、学生展示：一、课本76页练习第1 、2题五、课堂小结：六、作业设置：课本第78页习题28．2复习巩固第3、4题七、自我反思：本节课我的收获:欢迎您的下载，资料仅供参考！。
新人教版九年级下册初中数学 课时2 俯角、仰角问题 教案(教学设计)
第二十八章锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用28.2.2 应用举例课时2 俯角、仰角问题【知识与技能】1.了解仰角、俯角、方位角、坡度、坡角等有关概念,知道坡度与坡角之间的关系.2.经历对实际问题的探究,会利用解直角三角形的知识解决实际问题.3.在具体情景中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识解决简单实际问题.【过程与方法】1.通过画示意图,将实际问题转化为数学问题,发展学生的抽象概括能力,提高应用数学知识解决实际问题的能力.2.经历从实际问题中建立数学模型的过程,增强应用意识,体会数形结合思想的应用.3.通过探究将实际问题转化为数学问题的过程,培养学生分析问题和解决问题的能力,培养学生思维能力的灵活性.【情感态度与价值观】1.学生积极参与探索活动,并在探索过程中发表自己的见解,体会三角函数是解决实际问题的有效工具.2.通过探索三角函数在实际问题中的应用,感受数学来源于生活又应用于生活以及勇于探索的创新精神.3.让学生在自主探索、合作交流中获得成功的体验,建立自信心,让学生在解决问题的过程中体会学数学、用数学的乐趣.能根据题意画出示意图,将实际问题的数量关系转化为直角三角形元素之间的关系.正确理解题意,将实际问题转化为数学模型的建模过程.多媒体课件.导入一:【复习提问】1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.(1)三边a,b,c有什么关系?(2)∠A,∠B有怎样的关系?(3)边与角之间有怎样的关系?2.解直角三角形应具备怎样的条件?【师生活动】学生回答问题,教师点评归纳.导入二:如图,要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子AB的顶端,梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°.现有一架长6m的梯子.(1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙?(2)当梯子底端距离墙面2.4m时,α等于多少度?此时人能否安全使用这架梯子?【师生活动】学生小组内讨论解题思路,小组代表回答解题思路,教师巡视中帮助有困难的学生,对学生的回答作出点评,然后导出新课.[设计意图]通过复习解直角三角形的有关知识,为本节课的用解直角三角形解决实际问题做好铺垫,以旧引新,帮助学生建立新旧知识间的联系,以解决生活实际问题引出新课,激发学生的好奇心和求知欲,感受数学应用的意义.[过渡语]刚才的导入中用解直角三角形的知识解决了实际生活问题,在生活实际中还有许多问题可以用解直角三角形的知识解决,让我们一起去探究吧!一、活动一2012年6月18日,“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行,如图,当组合体运行到地球表面P点的正上方时,从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置?最远点与P点的距离是多少(地球半径约为6400km,π取3.142,结果取整数)?思路一师生合作探究:(1)从组合体上最远能直接看到的地球上的点,应该是视线与地球相切时的切点.(2)根据题意画出平面图形.(3)所要求的距离是图形中的哪条线段的长度?(4)已知中有哪些条件?求弧长需要知道哪些条件?(5)弧所对的圆心角在哪个三角形中?你能求出这个角的度数吗?(如图②,☉O表示地球,点F是组合体的位置,FQ是☉O的切线,切点Q是从组合体中观测地球时的最远点.弧PQ的长就是地面上P,Q两点间的距离.为计算弧PQ的长需先求出∠POQ(即α)的度数)【师生活动】教师通过提出的问题引导学生分析思考,指导学生画出平面图形,分析已知条件和所求的结论,师生共同分析题意及解题思路后,学生独立完成并板书解题过程.【课件展示】解:设∠POQ=α,在图②中,FQ是☉O的切线,△FOQ是直角三角形.∵cosα==≈0.9491,∴α≈18.36°.∴弧PQ的长为×6400≈×6400≈2051(km).由此可知,当组合体在P点正上方时,从中观测地球表面时的最远点距离P点约2051km.思路二教师引导思考:(1)要解决实际问题,首先要做什么?(将实际问题抽象成数学问题)(2)如何根据题意画出平面图形?(地球平面图形是圆,组合体近似看作点)(3)从组合体中看到的地球表面最远的点在什么位置?(过点作圆的切线,切点即为所求)学生操作:画出平面示意图.(4)最远点与P点的距离在示意图中指的是什么的长?(5)如何求这段距离?和圆有什么关系?(6)如何将所需数据转化为解直角三角形的知识?【师生活动】学生尝试根据图形写出解题思路,教师巡视过程中及时帮助有困难的学生,课件展示解题过程,规范解题格式.【课件展示】解答同思路一.[设计意图]引导学生画出示意图,把实际问题转化为数学问题,分析实际问题中的数量关系,利用解直角三角形的知识解决实际问题,让学生经历作图、分析过程,体会数形结合思想在数学中的应用,提高学生分析问题、解决问题的能力.二、活动二【思考】平时我们观察物体时,我们的视线相对于水平线来说可有几种情况?【归纳】视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角是仰角,视线在水平线下方的角是俯角.热气球的探测器显示,从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°,热气球与楼的水平距离为120m,这栋楼有多高(结果取整数)?教师引导分析:(1)如何根据题意画出符合题意的几何图形?(画出示意图如图)(2)分析题意,已知条件有哪些?(3)你能直接求出AB的长吗?(4)如何求出BC的长?(线段BD与线段CD的和)(5)在Rt△ABD中,能否求线段BD的长?(6)在Rt△ACD中,能否求线段CD的长?【师生活动】教师引导学生思考问题,然后独立完成解题过程,教师巡视过程中及时发现问题,并帮助有困难的学生解决问题,然后课件展示解题过程,规范解题格式.【课件展示】解:如图,α=30°,β=60°,AD=120.∵tanα=,tanβ=,∴BD=AD·tanα=120×tan30°=120×=40,CD=AD·tanβ=120×tan60°=120×=120.∴BC=BD+CD=40+120=160≈277(m).因此,这栋楼高约为277m.[设计意图]学生在教师设计的问题串的引导下思考,独立完成解题过程,进一步让学生体会将实际问题转化为数学问题的建模过程,培养学生建模思想,灵活应用解直角三角形知识解决有关线段的长的计算问题,提高学生的数学思维及解题能力.三、活动三:【思考】你能总结利用解直角三角形的有关知识解决实际问题的一般过程吗?【师生活动】学生思考后小组合作交流,共同归纳解题过程,教师对学生的回答以鼓励为主,将学生的回答补充完整.【归纳】(1)将实际问题抽象成数学问题(画出示意图,将其转化为解直角三角形的问题)；(2)根据问题中的条件,适当选用锐角三角函数解直角三角形；(3)得到数学问题的答案；(4)得到实际问题的答案.[设计意图]通过例题的探究,归纳解决实际问题的一般步骤,培养学生归纳总结能力和建模思想.[知识拓展]仰角与俯角都是视线与水平线的夹角.用解直角三角形的有关知识解决实际问题的一般过程:(1)将实际问题抽象成数学问题(画出示意图,将其转化为解直角三角形的问题)；(2)根据问题中的条件,适当选用锐角三角函数等解直角三角形；(3)得到数学问题的答案；(4)得到实际问题的答案.第1课时1.活动一2.活动二3.活动三一、教材作业二、课后作业【基础巩固】1.课外活动小组测量学校旗杆的高度.如图,当太阳光线与地面成30°角时,测得旗杆AB在地面上的影长BC为24米,那么旗杆AB的高度是()A.12米B.8米C.24米D.24米2.如图,为测量一棵与地面垂直的树OA的高度,在距离树的底端30米的B处,测得树顶A的仰角∠ABO为α,则树OA的高度为()A.米B.30sinα米C.30tanα米D.30cosα米3.如图,小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度,已知她与树之间的水平距离BE为5m,AB为1.5m(即小颖的眼睛到地面的距离),那么这棵树高是()A.mB.mC.mD.4m4.一棵树因雪灾于A处折断,如图,测得树梢触地点B到树根C处的距离为4米,∠ABC约45°,树干AC垂直于地面,那么此树在未折断之前的高度约为米(答案保留根号).5.如图,两建筑物的水平距离BC为18m,从A点测得D点的俯角α为30°,测得C点的俯角β为60°,则建筑物CD的高度为m.6.如图,张华同学在学校某建筑物的C点处测得旗杆顶部A点的仰角为30°,旗杆底部B点的俯角为45°.若旗杆底部B点到建筑物的水平距离BE=9米,旗杆台阶高1米,求旗杆顶点A离地面的高度.(结果保留根号)【能力提升】7.如图,小阳发现垂直于地面的电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC 上,量得CD=8米,BC=20米,CD与地面成30°角,且此时测得垂直于地面的1米杆的影长为2米,则电线杆的高度为()A.9米B.28米C.(7+)米D.(14+2)米8.如图,在建筑平台CD的顶部C处,测得大树AB的顶部A的仰角为45°,测得大树AB的底部B的俯角为30°,已知平台CD的高度为5m,则大树的高度为m(结果保留根号).9.如图,为了知道空中一静止的广告气球A的高度,小宇在B处测得气球A的仰角为18°,他向前走了20m到达C处后,再次测得气球A的仰角为45°,已知小宇的眼睛距地面1.6m,则此时气球A距地面的高度约为(结果精确到1m).10.某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼,该居民楼的一楼是高5米的小区超市,超市以上是居民住房.在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼.当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°时.(1)超市以上的居民住房采光是否受影响?为什么?(2)若要使超市以上的居民住房采光不受影响,两楼至少应相距多少米?结果保留整数,参考数据:sin32°≈,cos32°≈,tan32°≈【拓展探究】11.如图,在电线杆上的C处引拉线CE,CF固定电线杆,拉线CE和地面成60°角,在离电线杆6米的B处安置测角仪,在A处测得电线杆上C处的仰角为30°,已知测角仪AB高为1.5米,求拉线CE的长(结果保留根号).【答案与解析】1.B解析:在Rt△ABC中,BC=24米,tan∠ACB=,∴AB=BC·tan30°=24×=8(米).故选B.2.C解析:由题意得OB=30米,tanα=,∴OA=OB tanα=30tanα(米).故选C.3.A解析:在Rt△ACD中,∠CAD=30°,AD=BE=5m,∴CD=AD tan30°=5×=(m),∴CE=CD+DE=CD+AB=m.故选A.4.(4+4)解析:在△ACB中,∠C=90°,∵∠ABC=45°,∴∠A=45°,∴∠ABC=∠A,∴AC=BC.∵BC=4,∴AC=4.由AC2+BC2=AB2，得AB==4,∴此树在未折断之前的高度为(4+4)米.5.12解析:如图,过点D作DE⊥AB于点E,则四边形BCDE是矩形.根据题意得∠ACB=β=60°,∠ADE=α=30°,BC=18m,∴DE=BC=18m,CD=BE.在Rt△ABC中,AB=BC·tan∠ACB=18×tan60°=18(m).在Rt△ADE中,AE=DE·tan∠ADE=18×tan30°=6(m),∴DC=BE=AB-AE=18-6=12(m).6.解:如图,作CH⊥AB于H.在Rt△ACH中,∵∠ACH=30°,tan30°=,∴AH=CH·tan30°=9×=3(米).在Rt△CHB中,∵∠HCB=45°,tan45°=,∴BH=CH·tan45°=9米,∴旗杆顶点A离地面的高度为AH+BH+1=10+3（米）.7.D解析:如图,延长AD交BC的延长线于F点,作DE⊥CF于E点.DE=8sin30°=4,CE=8cos30°=4.∵测得1米杆的影长为2米，∴EF=2DE=8,∴BF=BC+CE+EF=20+4+8=28+4,∴电线杆AB的高度是(28+4)=14+2(米).故选D.8.(5+5)解析:作CE⊥AB于点E.在Rt△BCE中,BE=CD=5m,CE==5m.在Rt△ACE中,AE=CE·tan45°=5m,∴AB=BE+AE=5+5（m）.9.11m解析:如图,过点A作AD⊥BC于点D,交FG于点E.∵∠AGE=45°, ∴AE=GE.在Rt△AFE中,设AE长是x m,则tan∠AFE=,即tan18°=,解得x≈9.6.由题意知ED=FB=1.6,∴AD≈9.6+1.6=11.2≈11(m).10.解:(1)受影响.理由如下:如图,延长光线交CD于F,作FE⊥AB于E.在Rt△AEF中,tan∠AFE=tan32°==≈,解得AE≈=9,故可得FC=EB=20-9=10>5,即超市以上的居民住房采光要受影响.(2)要使采光不受影响,则EB=5米,AE=15米,tan32°=≈,解得EF≈24米,即要使超市以上的居民住房采光不受影响,两楼应至少相距24米.11.解:如图,过点A作AH⊥CD,垂足为H.由题意可知四边形ABDH为矩形,∠CAH=30°,∴DH=AB=1.5,AH=BD=6.在Rt△ACH中,tan∠CAH=,∴CH=AH·tan∠CAH,∴CH=6tan30°=6×=2.∵DH=1.5,∴CD=2+1.5.在Rt△CDE中,∵∠CED=60°,sin∠CED=,∴CE===4+(米).答:拉线CE的长为(4+)米.本节课的内容是应用解直角三角形的知识解决实际问题.教学的重、难点是建立数学模型,把实际问题转化为数学问题,通过对知识点的梳理、分析例题的解题思路、例题变式练习及巩固练习等教学设计,学生在教师的引导下,通过独立思考、自主学习、合作探究等数学活动,充分调动学生参与课堂的积极性,让学生敢于提出问题、分析问题,使不同层次的学生在数学课堂上都得到发展,提高了解决问题的能力,课堂上绝大部分学生能很好地掌握了如何构建模型的解决方法,很好地达到了本节课的教学目的.本节课是锐角三角函数的应用举例,学生对教材例1画出示意图,建立数学模型的理解较难,给学生思考、交流时间较少,造成学生认为本节课的学习较难,失去了学习兴趣,在以后对例1的教学中,教师多设计几个问题引导学生思考,给学生较长时间交流、计算,把理解的难度通过问题降低.另外,对基础较差的学生,对该数学的应用不是那么得心应手,不会合理找出边角关系,所以在以后教学中不宜多讲,多给学生时间思考与交流.。
28.2.2利用仰俯角解直角三角形(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了仰角和俯角的基本概念，以及如何利用它们解直角三角形。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调仰角和俯角的测量方法，以及如何运用正弦、余弦和正切函数这两个重点。对于难点部分，我会通过实际案例和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与利用仰俯角解直角三角形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。比如，通过测量学校旗杆的仰角和水平距离，计算旗杆的高度。
-在使用三角函数时，学生可能会混淆各函数的使用条件，教师需要通过具体例题和图表，指导学生如何根据题目条件选择正确的三角函数。
-在解决实际问题时，学生可能难以确定哪些是已知量，哪些是未知量。教师应指导学生通过画图、列方程等方式，清晰地表达问题中的数学关系，例如在测量距离或高度时，如何利用已知的仰俯角和边长来求解。
4.通过小组合作、交流讨论，发展学生的团队协作和沟通表达能力，培养合作共赢的意识。
这些核心素养目标与新教材要求相契合，旨在全面提升学生的数学学科素养和综合素质。
三、教学难点与重点
1.Байду номын сангаас学重点
-理解仰角和俯角的概念及其在实际问题中的应用。
-掌握在直角三角形中，运用正弦、余弦和正切函数求解未知角度和边长的方法。
本章节内容紧密结合教材，旨在让学生通过具体实例，掌握解直角三角形在实际生活中的应用，提高问题解决能力。
人教版数学九年级下册28.2.2 第2课时 利用仰俯角解直角三角形
►为你理想的人，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。 ►有时候，我们愿意原谅一个人，并不是我们真的愿意原谅他，而是我们 不愿意失去他。不想失去他，惟有假装原谅他。不管你爱过多少人，不管 你爱得多么痛苦或快乐。最后，你不是学会了怎样恋爱，而是学会了，怎 样去爱自己。
某探险者某天到达如 图所示的点A 处时，他准
B．
备估算出离他的目的地，
海拔为3 500 m的山峰顶点
B处的水平距离.他能想出
一个可行的办法吗？
通过这节课的学习，相信你也行.
新课引入
．． A
1 解与仰俯角有关的问题
新课讲解
如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平 线上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线 下方的夹角叫做俯角.
根拉线BC和地面成45°角．则两根拉线的总长度为
10 3
3
5
2
m(结果用带根号的数的形式表示).
随堂即练
5. 目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所 示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人 在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得 塔顶B的仰角为39°．（tan39°≈0.81） (1) 求大楼与电视塔之间的距离AC；
6. 如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处， 从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°， 求飞机的高度PO .
答案：飞机的高度PO为
300 100 3 米.
P
30° A
45° 200米
O
B
U
课堂小结
利用仰俯角解 直角三角形
仰角、俯角的概念
运用解直角三角形解决 仰角、俯角问题
A
A 30°
60°
D
(完整word)数学人教版九年级下册28.2.2解直角三角形第二课时教学设计
28.2.2解直角三角形第二课时教学设计教学准备1. 教学目标知识目标：了解仰角、俯角概念，能应用解直角三角形解决观测中的实际问题．帮助学生学会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而把实际问题转化为数学问题来解决．能力目标：逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．渗透数学建模及方程思想和方法，能将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系．情感与价值观：渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识，同时激发学生对自己家乡的热爱之情及自豪感，更好的激励学习．2. 教学重点/难点重点：应用解直角三角形的有关知识解决观测问题．难点：能够准确分析问题并将实际问题转化为数学模型．3. 教学用具多媒体、板书4. 标签教学过程一．新课导入［设计说明：明确本节课学习目标，复习解直角三角形的概念及相关方法原则，为接下来的学习做好充分准。
］展示学习目标，交流课前预习内容：解直角三角形中常用的数量关系及相关原则方法．（课前布置预习作业，角、边共同回答，其它直接交流，强调三角函数关系形式灵活，可写为比的形式，也可写为乘积形式）（解直角三角形原则（1）、（2）学生齐声回答）（交流自己添加条件解直角三角形问题挑选所给条件不同形式的作业展示，主要是“一边一角”，“两边”等类型，归纳强调已知条件至少有一个必须是边）二、例题分析[设计说明：联系实际，对问题情境的理解需要学生具有一定的空间想象能力，在审题过程中自然引出仰角、俯角概念，逐步向学生渗透数学建模思想，帮助学生从实际问题中，抽象出数学模型，将实际问题转化为数学问题来解决。
例1讲解，先引导学生分析，然后借助多媒体逐步展示解题过程，规范书写格式，强调解题完整性。
变题1与例1是交换题目条件与结论，情境不变，分别求桥长与飞机高。
变题2-3情境有所变化，由测桥变为测楼，所求问题是飞机高及飞机到楼房距离。
以上问题的解题关键在于转化实际问题为数学问题，着重是示意图的画法及让学生说出题中每句话对应图中的哪条边或哪个角（包括已知什么和求什么），进而利用解直角三角形知识解决问题，并在解题后及时加以归纳，挖掘图形结构及条件的特点。
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28.2.2 应用举例
第2课时 利用仰俯角解直角三角形
1．使学生掌握仰角、俯角的意义，并学会正确地判断；(重点)
2．初步掌握将实际问题转化为解直角三角形问题的能力．(难点)
一、情境导入
在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形．当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．今天我们就学习和仰角、俯角有关的应用性问题．
二、合作探究
探究点：利用仰(俯)角解决实际问题
【类型一】 利用仰角求高度
星期天，身高均为1.6米的小红、小涛来到一个公园，用他们所学的知识测算一
座塔的高度．如图，小红站在A 处测得她看塔顶C 的仰角α为45°，小涛站在B 处测得塔顶C 的仰角β为30°，他们又测出A 、B 两点的距离为41.5m ，假设他们的眼睛离头顶都是10cm ，求塔高(结果保留根号)．
解析：设塔高为x m ，利用锐角三角函数关系得出PM 的长，再利用CP
PN
＝tan30°，求出x 的值即可．
解：设塔底面中心为O ，塔高x m ，MN ∥AB 与塔中轴线相交于点P ，得到△CPM 、△CPN 是直角三角形，则
x －（1.6－0.1）PM ＝tan45°，∵tan45°＝1，∴PM ＝CP ＝x －1.5.在Rt △CPN 中，CP PN ＝tan30°，即x －1.5x －1.5＋41.5＝33，解得x ＝833＋894
.
答：塔高为833＋894
m. 方法总结：解决此类问题要了解角与角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形．当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第7题
【类型二】 利用俯角求高度
如图，在两建筑物之间有一旗杆EG ，高15米，从A 点经过旗杆顶部E 点恰好看
到矮建筑物的墙角C 点，且俯角α为60°，又从A 点测得D 点的俯角β为30°.若旗杆底部G 点为BC 的中点，求矮建筑物的高CD .
解析：根据点G 是BC 的中点，可判断EG 是△ABC 的中位线，求出AB .在Rt △ABC 和Rt △AFD 中，利用特殊角的三角函数值分别求出BC 、DF ，继而可求出CD 的长度．
解：过点D 作DF ⊥AF 于点F ，∵点G 是BC 的中点，EG ∥AB ，∴EG 是△ABC 的中位线，∴AB ＝2EG ＝30m.在Rt △ABC 中，∵∠CAB ＝30°，∴BC ＝AB tan ∠BAC ＝30×
33＝103m.在Rt △AFD 中，∵AF ＝BC ＝103m ，∴FD ＝AF ·tan β＝103×33
＝10m ，∴CD ＝AB －FD ＝30－10＝20m.
答：矮建筑物的高为20m.
方法总结：本题考查了利用俯角求高度，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题
【类型三】 利用俯角求不可到达的两点之间的距离
如图，为了测量河的宽度AB ，测量人员在高21m 的建筑物CD 的顶端D 处测得河
岸B 处的俯角为45°，测得河对岸A 处的俯角为30°(A 、B 、C 在同一条直线上)，则河的宽度AB 约是多少m(精确到0.1m ，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)?
解析：在Rt △ACD 中，根据已知条件求出AC 的值，再在Rt △BCD 中，根据∠EDB ＝45°，求出BC ＝CD ＝21m ，最后根据AB ＝AC －BC ，代值计算即可．
解：∵在Rt △ACD 中，CD ＝21m ，∠DAC ＝30°，∴AC ＝CD tan30°＝213
3
＝213m.∵在Rt △BCD 中，∠EDB ＝45°，∴∠DBC ＝45°，∴BC ＝CD ＝21m ，∴AB ＝AC －BC ＝213－21≈15.3(m)．则河的宽度AB 约是15.3m.
方法总结：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第3
题
【类型四】 仰角和俯角的综合
某数学兴趣小组的同学在一次数学活动中，为了测量某建筑物AB 的高，他们来到与建筑物AB 在同一平地且相距12m 的建筑物CD 上的C 处观察，测得此建筑物顶部A 的仰角为30°、底部B 的俯角为45°.求建筑物AB 的高(精确到1m ，可供选用的数据：2≈
1.4
，3≈1.7)．
解析：过点C 作AB 的垂线CE ，垂足为E ，根据题意可得出四边形CDBE 是正方形，再由BD ＝12m 可知BE ＝CE ＝12m ，由AE
＝CE ·tan30°得出AE 的长，进而可得出结论．
解：过点C 作AB 的垂线，垂足为E ，∵CD ⊥BD ，AB ⊥BD ，∠ECB ＝45°，∴四边形CDBE 是正方形．∵BD ＝12m ，∴BE ＝CE ＝12m ，∴AE ＝CE ·tan30°＝12×33
＝43(m)，∴AB ＝43＋12≈19(m)．
答：建筑物AB 的高为19m.
方法总结：本题考查的是解直角三角形的应用中仰角、俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
三、板书设计
1．仰角和俯角的概念；
2
．利用仰角和俯角求高度；
3．利用仰角和俯角求不可到达两点之间的距离；
4．仰角和俯角的综合．
备课时尽可能站在学生的角度上思考问题，设计好教学过程中的每一个细节．上课前多揣摩，让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折，舍得把课堂让给学生，让学生做课堂这个小小舞台的主角．使课堂更加鲜活，充满人性魅力，下课后多反思，做好反馈工作，不断总结得失，不断进步．只有这
样，才能真正提高课堂教学效率.。