控制工程数学模型
控制工程基础第一章控制系统的数学模型
(t)
m dt
m
1a
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
c
式中，
Tm
Ra
Ra J m f m CmCe
为电动机机电时间常数,s；
K1
Ra
f
Cm
C C
m
me
K2
Ra
f
Ra
C C
m
me
为电动机传递系数。
如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm都很小而忽略不计，式（1-9）
还可进一步简化为
C u (t) (t)
em
a
这时，电动机的转速ωm(t)与电枢电压ua(t)成正比，于是电动机可作为
（1）运算放大器Ⅰ。输入量（即给定电压）ug与速度反馈电压uf在此 合成产生偏差电压并经放大，即
u1 K1(ug u f )
式中，
K1
R2 R3
为运算放大器Ⅰ的比例系数。
（2）运算放大器Ⅱ。考虑RC校正网络，u2与u1之间的微分方程为
u2
K（2
d u1
dt
u1）
式中，K 2
R5 R4
为运算放大器Ⅱ的比例系数；τ=R4C为微分时间常数。
m
(t) (t) (t)
m dt
mm
m
c
式中，fm为电动机和负载折合到电动机轴上的黏性摩擦系数；Jm为电
动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量。
由式（1-5）、式（1-6）和式（1-7）中消去中间变量ia(t)、Ea及
Mm(t)，便可得到以ωm(t)为输出量，以ua(t)为输入量的直流电动机微
分方程，即
按照其建立的条件，数学模型可分为两种。一是静态数学模型： 静态条件（变量各阶导数为零）下描述变量之间关系的代数方程。 它反映了系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间的关系。二 是动态数学模型：动态条件（变量各阶导数不为零）下描述变量各 阶导数之间关系的微分方程；也可定义为描述实际系统各物理量随 时间演化的数学表达式。它反映了动态系统瞬态与过渡态的特性。 本章以动态数学模型的研究为主。
控制工程数学模型
控制⼯程数学模型1 控制系统的数学模型数学模型是描述系统输⼊量、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，揭⽰了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。
静态数学模型：静态条件（变量各阶导数为零）下描述变量之间关系的代数⽅程。
反映系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。
动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系的微分⽅程，描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。
也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。
微分⽅程或差分⽅程常⽤作动态数学模型。
对于给定动态系统，数学模型表达不唯⼀。
⼯程上常⽤的有：微分⽅程，传递函数和状态⽅程。
不过对于线性系统，它们之间是等价的。
2 建⽴数学模型的⽅法1. 解析法依据系统及元件各变量之间所遵循的物理规律写出相应的数学关系式，建⽴模型。
2. 实验法⼈为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并⽤适当的数学模型进⾏逼近，这种⽅法也称为系统辨识。
3 数学模型的形式1. 时间域微分⽅程差分⽅程状态⽅程（⼀阶微分⽅程组）2. 复数域传递函数结构图3. 频率域频率域4 建⽴数学模型的⼀般步骤⽤解析法列写系统或元件微分⽅程的⼀般步骤是：1. 分析系统⼯作原理和信号传递变换过程，确定系统和各元件的输⼊、输出量。
2. 从系统输⼊端开始，按照信号传递变换过程，依据各变量所遵循的物理学定律，依次列写各元件、部件的动态微分⽅程。
3. 消去中间变量，得到⼀个描述元件或系统输⼊、输出变量之间关系的微分⽅程。
4. 写成标准化形式。
与输⼊有关项放在等式右侧，与输出有关项放在等式左侧，且各阶导数项按降幂排列。
5 控制系统微分⽅程的列写5.1 机械系统在机械系统中，有些构件惯性和刚度较⼤，有些构件惯性较⼩、柔度较⼤。
我们将前者的弹性忽略视其为质量块，将后者的惯性忽略视其为⽆质量弹簧。
这样，机械系统便可以抽象为质量-弹簧-阻尼系统。
1. 质量2. 弹簧3. 阻尼5.1.1 机械平移系统列出各元件的动态微分⽅程：消去中间变量并写成标准形式：式中，m、D、k通常均为常数，故机械平移系统可以由⼆阶常系数微分⽅程描述。
控制工程基础——数学模型
c
d dt
xo (t)
?
kxo
(t )
?
fi (t)
此式为二阶常系 数线性微分方程。
系统的数学模型可用方块图表示：
方块图描述了系统 中信号转换、传递的 过程，给出了系统的 工作原理。
☆ 举例2：电网络系统
设输入端电压u i(t)为系统输入量。电容器 c两端电压uo(t)为系统输
出量。现研究输入电压 ui(t)和输出电压 uo(t)之间的关系。电路中的
电流i(t)为中间变量。
根据电压方程，可写出
Ri(t) ?
L
d dt
i (t )
?
ui (t)
?
uo (t)
1
? uo (t) ? C i(t)dt
消去中间变量i(t)，稍加整理，即得
LC
d2 dt 2
uo
(t )
?
RC
d dt
uo
(t )
?
uo (t)
?
ui (t)
上式为二阶常系数线性微分方程。该系统也可用方块图表示。
⑵ 同一数学模型可以描述物理性质完全不同的系统。 因此，从控制理论来说，可抛开系统的物理属性，用同 一方法进行普遍意义的分析研究，这就是 信息方法 ，从 信息在系统中传递、转换的方面来研究系统的功能。
☆ 小结：⑶⑷
⑶ 在通常情况下，元件或系统的微分方程的 阶次，等于元件或系统中所包含的独立储能元的 个数。惯性质量、弹性要素、电感和电容都是储 能元件。每当系统中增加一个储能元时，其内部 就增多一层能量交换，即增多一层信息的交换， 描述系统的微分方程将增高一阶。
☆ 举例1：机械平移动力学系统
三 举例
弹簧和质量在静止平衡
控制基本模型-概述说明以及解释
控制基本模型-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述在控制理论和应用中，控制基本模型是指用于描述和分析控制系统的数学模型。
控制基本模型是控制工程师和研究人员研究和设计控制系统时的基础，它提供了系统动力学行为的描述以及控制方法的分析和设计。
控制基本模型可以采用多种形式，包括传递函数模型、状态空间模型和输入-输出模型等。
这些模型通常基于系统动力学方程和输出-输入关系来建立。
通过对模型进行数学分析和仿真实验，我们可以深入了解和预测控制系统的行为，并针对不同的应用需求进行优化设计。
本文将重点介绍控制基本模型的定义和控制方法的介绍。
首先，我们将详细讨论基本模型的定义，包括传递函数模型、状态空间模型和输入-输出模型的基本原理和特点。
然后，我们将介绍一些常用的控制方法，如比例积分微分控制（PID控制），模糊控制和自适应控制等。
这些控制方法可以根据系统的需求和特点来选择和应用。
通过本文的学习，读者将能够理解和掌握控制基本模型的概念和基本原理，了解不同类型的控制方法的适用范围和特点。
同时，读者还将能够应用所学知识来设计和优化控制系统，提高系统的性能和稳定性。
总之，控制基本模型是控制系统设计和分析的基础，具有重要的理论和实际意义。
通过研究和应用控制基本模型，我们可以不断改进和优化控制系统，提高系统的性能和效果。
1.2文章结构1.2 文章结构本文的目的是探讨控制基本模型，并介绍相关的控制方法。
为了更好地组织本文的内容，文章结构如下所示：引言部分将在1.1概述中简要介绍控制基本模型的背景和意义，并在1.3目的中明确阐述本文的研究目标。
正文部分将分为两个小节进行讲解。
首先，在2.1基本模型定义中，我们将详细阐述控制基本模型的定义和内容，包括其在控制系统中的作用和应用领域。
其次，在2.2控制方法介绍中，我们将介绍几种常见的控制方法，包括PID控制器、模糊控制和神经网络控制等，以及它们在控制基本模型中的应用。
结论部分将在3.1总结中对本文进行总结，回顾并强调本文的重点内容和研究成果。
控制工程基础第二章——数学模型
② 脉冲函数： 脉动函数的极限，t0看作变量。
A
fT
(t)
lim
t0 0
t0
d [ A(1 et0s )]
L[
fT
(t
)]
lim
t0 0
A t0s
(1
et0s
)
lim t0 0
dt0
d dt0
(t0 s )
As A s
单位脉冲（Dirac） 定义：
面积为1的脉冲函数
(t)dt 1, (t 0, (t) 0)
fi (t)
此式为二阶常系 数线性微分方程。
系统的数学模型可用方块图表示：
方块图描述了系统
中信号转换、传递的 过程，给出了系统的 工作原理。
☆ 举例2：电网络系统
设输入端电压ui(t)为系统输入量。电容器c两端电压uo(t)为系统输
出量。现研究输入电压ui(t)和输出电压 uo(t)之间的关系。电路中的
.
(n)
x(t) sX (s) x (t) s n X (s)
x(t)dt
1 sn
X
(s)
①平移函数、延迟函数
对于函数 f (t) 函数 f (t )
称为延迟函数，函数本身并
不发生改变，只是延迟α时
间才发生。
注意：t 时，函数 f (t ) 0
②延迟定理
若 f (t) F (s) 则有 f (t ) es F (s) 延迟函数的拉氏变换 原函数的拉氏变换乘以 es
显然 (t) 1, A (t) A
结论：脉冲函数是面积函数； 脉冲函数的拉氏变换就是脉冲下的面积。 换言之，复数域中的实数在时域里是脉冲函数。
☆ 关于单位脉冲函数的说明
控制工程基础6-第2章 (数学模型-4：信号流图及梅逊公式)
1 R E
G1
Q
G2
O
1
C
R(s ) 1 R( s )
1
×G
G5
H
1
G6 G3 -H 1 G4 1 C (s )
G2 -H2
三个回路
梅森公式
C ( s) 1 n pk k R( s) k 1
△为特征式，其计算公式为
D= 1 - 邋 1 + L
其中:
L2 -
L3 +
n 为从输入节点到输出节点间前向通路的条数；
R(s)
E ( s) B( s)
G1 ( s )
G2 ( s )
C (s)
1 R E
N 1
G1
Q
G2
O
1
C
H (s)
H
信号流图常用的名词术语
（1）输入节点(源节点)：只有输出支路而没有输入支路 的节点，称为源节点。它一般表示系统的输入变量，亦称 输入节点，如图中的节点R和N。 （2）输出节点（阱节点）：只有输入支路而没有输出支 路的节点，称为阱节点。它一般表示系统的输出变量，亦 称输出节点，如图中的节点C （3）混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点， 称为混合节点，如图中的节点E,Q,O
6
R(s) 1
G1 2
G2 3
G3 4
G4 H1 5
G5 6
C(s)
解：前向通路有3个
1 2 3 4 5 6
1 2 4 5 6来自H2P1 G1G2 G3G4 G5
2 1
1 1
P2 G1G6 G4 G5
1 2 3 6
P3 G1G2 G7
控制工程基础3-第2章 (数学模型1：微分方程,传递函数)
at
sa
2
• 拉氏变换的基本性质 (1) 线性性质
L[af1 (t ) bf 2 (t )] aL[ f1 (t )] bL[ f 2 (t )]
原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和。 (2) 微分性质 L 若[ f (t )] F ( s ) ，则有 L[ f (t )] sF ( s) f (0) f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。 (3) 积分性质 则 若 L[ f (t )] F ( s )
该标准型为二阶线性常系数微分方程，系统中存在两个储能元件质 量和弹簧，故方程式左端最高阶次为二。
-
机械旋转系统
• [例2]：设有一个惯性负载和粘性摩擦阻尼器组成的机械 旋转系统，试列出以外力矩M(t)为输入信号，角位移 θ(t)为输出信号的数学模型。
M
J
θ
f
解：
1）确定输入量、输出量
M J θ f
F(t) m f
K x(t)
图 2 2 机 械 系 统
d 2x 3）由牛顿第二定律写原始方程： F F (t ) Fk (t ) F f (t ) m 2 dt dx Fk (t ) kx F f (t ) f 4）写中间变量与输出变量的关系式： dt 2 d x dx 5）将上式代入原始方程消中间变量得： m 2 kx f F (t ) dt dt m d 2 x f dx 1 x F (t ) 6）整理成标准型： 令 T2 m T f 2 k dt k dt k m f 2 k k dx 1 2 d x 则方程化为： Tm dt 2 T f dt x k F (t )
第二章 控制系统的数学模型
导 为什么要介绍本章? 分析、设计控制系统的第一步是建立系统的数学模 型。 读
控制系统数学模型
控制系统数学模型
控制系统数学模型是指用数学方法对控制系统进行建模和分析
的过程。
控制系统是指对一些物理过程进行控制的系统，包括机电控制系统、化工控制系统、航空航天控制系统等。
数学模型是指对一个系统或过程进行描述的数学式子或方程组。
建立控制系统的数学模型是控制工程的重要基础之一。
通过建立数学模型，可以更加深入地理解系统的特性，优化控制策略，提高系统的效率和稳定性。
在建立控制系统数学模型时，需要先对被控系统进行分析，确定系统的物理特性和运动规律。
然后，根据控制对象的特性，选择适当的数学模型进行建立。
常用的控制系统数学模型包括线性时不变系统模型、非线性系统模型、时变系统模型等。
线性时不变系统模型是指系统的输出与输入之间满足线性关系，且系统的特性不随时间变化。
非线性系统模型是指系统的输出与输入之间不满足线性关系。
时变系统模型是指系统的特性随时间变化。
除了建立数学模型外，还需要对模型进行分析和仿真。
常用的分析方法包括传递函数法、状态空间法等。
仿真可以通过计算机模拟系统运动过程，验证控制策略的有效性。
总之，控制系统数学模型是控制工程的重要基础之一，对于提高控制系统的性能和稳定性具有重要意义。
- 1 -。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
C
d ( H h) Q1 q1 (t ) Q2 q2 (t ) dt
考虑在平衡状态 H=定值，Q1=Q2，则上式可改写为
dh (t ) C q1 (t ) q2 (t ) dt
图2-4 液位系统
（2-4）
基于液位h(t)与流量q2(t)之间的关系如图2-5所示，它的数学表达式为：
0
2 由于增量Δx x x0 较小，故可略去式中的 （x x0）项及
其后面的所有的高阶项 ，于是得线性化方程 y y 0 K x x0 或写为 式中 y f x 0 , y Kx K df dx
x x0
,
y y y 0， x x x 0
输出流量的变化时
q2 (t )
h(t )
（2-6）
把式（2-6）代入式（2-4）得
或
dh (t ) RC h(t ) Rq1 (t ) dt
dh (t ) h(t ) Rq1 (t ) dt 其中，T=RC T
（2-7）
图2-5 q2(t)与h(t)的关系曲线
2013-7-9
换为相应的象函数C(s)和R(s)，则就把微分方程转换为相应的传递函数。
反之亦然。
单位脉冲响应及应用
根据式 2 31
令r t t ，R s 1， 则C s G s g t L1 C s L1 G s
C s G s R s
惯性环节
特点：输出量延缓地反映输入量的变化规律 微分方程
2013-7-9
T
dc t ct Kr t dt
第二章 控制系统的数学模型 15
自动控制理论 对应的传递函数：
G s
C s K Rs Ts 1
T---环节的时间常数
积分环节
特点：环节的输出量与输入量对时间的积分成正比，即有
建立系统数学模型的方法
实验法 解析法
2013-7-9
第二章 控制系统的数学模型
2
自动控制理论
第一节 列写系统微分方程的一般方法
用解析法建立系统微分方程的一般步骤
根据基本的物理、化学等定律，列写出系统中每一个元件的输入与输出的 微分方程式 确定系统的输入量与输出量，消去其余的中间变量，求得系统输出与输入 的微分方程式 对所求的微分方程进行标准化处理
电气网络系统
1、无负载效应的电路 由基尔霍夫定律得：
di uc ur dt du 1 u c idt, 即i C c C dt iR l
消去中间变量 i ，则有:
图2-1 Ｒ-L-C电路
2013-7-9
d 2uc du LC 2 RC c u c u r dt dt
即 (2 - 30)
于是得
C (s) G(s) R(s)
Gs 就 系 的 递 数 是 统 传 函 。
(2-31)
其 ， C s L[ct ]; Rs L[r t ]它 之 的 递 系 中 们 间 传 关 用 方 图 示 框 表 。
2013-7-9 第二章 控制系统的数学模型 11
2
具有式（2-37）形式的传递函数在控制工程中经常会碰到，例如
2013-7-9
第二章 控制系统的数学模型
18
自动控制理论 1）R-L-C电路的传递函数
U c s 1 U r s LCs 2 RCs 1
2）弹簧-质量-阻尼器系统的传递函数 Y s 1 F s m s2 fs 1 3）直流他励电动机在变化时的传递函数 1 e N s C EG s m a s 2 m s 1 上述三个传递函数在化成式（2-37）所示的形式时，虽然它们的阻尼 比ζ和1/T所含的具体内容各不相同，但只要满足0＜ζ＜1，则它们都 是振荡环节。
消去中间变量i1
、 i2
i1
图2-2 R-C滤波网络
得
d 2uc du R1 R2 C1C 2 R1C1 R2 C 2 R1C 2 c u c u r dt dt 2
或写作
d 2 uc du T1T2 T1 T2 T3 c uc ur dt 2 dt
2013-7-9 第二章 控制系统的数学模型 4
自动控制理论
机械位移系统
求图2-3所示弹簧-质量-阻尼器系统的数据模型 由牛顿第二定律列出方程
dy(t ) d 2 y (t ) F (t ) ky(t ) f m dt dt 2
即
d 2 y (t ) dy(t ) m f ky(t ) F (t ) 2 dt dt
2
d 2 ct dct 2T ct Kr t dt 2 dt
2 - 37
式中T 时间常数 , K 放大系数 , 阻尼比
若令K 1, Rs C t 1 1 1
2
1 , 则0 ＜ 1, 则 ＜ s 1 1 t 1 T e sin 1 2 t arg t an T
自动控制理论
小结 • 传递函数是由系统的微分方程经拉氏变换后求得，而拉氏变换是一种线
性变换，因而这必然同微分方程一样能象征系统的固有特性，即成为描述 系统运动的又一形式的数学模型。
•
由于传递函数包含了微分方程式的所有系数，因而根据微分方程就能直
d dt
接写出对应的传递函数，即把微分算子
用复变量s表示，把c(t) 和r(t)
2013-7-9
第二章 控制系统的数学模型 Nhomakorabea12自动控制理论
传递函数的性质
传递函数只取决于系统(或元件)的结构和参数，与外施信号的
大小和形式无关 传递函数只适用于线性定常系统 传递函数为复变量s的有理分式，它的分母多项式s的最高阶次 n总是大于或等于其分子多项式D的最高阶次m，即n≥m 传递函数不能反映非零初始条件下系统的运动过程 一个传递函数是由相应的零、极点组成 一个传递函数只能表示一个输入与一个输出的关系，它不能反 映系统内部的特性
第二章 控制系统的数学模型 3
自动控制理论 2、有负载效应的电路 对于图2-2所示的电路，在列写方程时必须考虑后级电路对前级电路的 影响，由基尔霍夫定律列出下列方程组：
1 (i1 i2 )dt i1 R1 ur C1 1 1 i2 dt i2 R2 (i1 i2 )dt C2 C1 1 i2 dt uc C2
2013-7-9
第二章 控制系统的数学模型
9
自动控制理论
第三节 传递函数
传递函数的定义 传递函数的定义：在零初始条件下，系统（或元件）输出量的拉氏 变换与其输入量的拉氏变换之比，即为系统（或元件）的传递函数。
设线性定常系统的微分方程式为
d m1r t drt b1 bm1 bm ct n m (2 29) m 1 dt dt 式中 ，r t 为系统的输入量 ; ct 为系统的输出 量
d dt 转角,U fn 测速机的输出电压 U fn K K U fn s
s
Ks
第二章 控制系统的数学模型
图2-17直流测速发电机
17
2013-7-9
自动控制理论
振荡环节
特点：如输入为阶跃信号，则环节的输出却呈周期振荡形式 微分方程
T 传递函数 G s C s K 2 2 R s T s 2Ts 1
2013-7-9 第二章 控制系统的数学模型 14
自动控制理论
典型环节的传递函数 比例环节
特点：输出不失真、不延迟、成比例地复现输入信号的变化
方程式 ct Kr t 传递函数 Cs Gs K R s
Ct 环节的输出量 , r t 环节的输入量
q2 (t ) h(t )
2013-7-9
（2-5）
第二章 控制系统的数学模型 6
自动控制理论 式中α为比例常数（与V2阀开度的大小有关）。经在平衡点作线性化处理后 q2(t)与h(t)的关系为
2 H 或写作： q 2(t ) 1 h(t ) 2 H R
式中， 液位高度的变化量 液阻 R
第二章 控制系统的数学模型
7
自动控制理论
第二节 非线性数学模型的线性化
非线性数学模型线性化的假设
变量对于平衡工作点的偏离较小 非线性函数不仅连续，而且其多阶导数均存在
微偏法
在给定工作点领域将此非线性函数展开为泰勒级数，并略去二阶及二阶以 上的各项，用所得的线性化方程代替原有的非线性方程。 设一非线性元件的输入为x、输出为y，它们间的 关系如图2-11所示，相应的数学表达式为
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
自动控制理论
第二章
控制系统的数学模型
作者： 浙江大学
2013-7-9 第二章 控制系统的数学模型
邹伯敏 教授
1
自动控制理论
描述系统运动的数学模型
输入－输出描述
微分方程是这种描述的最基本形式。传递函数、方框图等其它
模型均由它而导出。 状态变量描述 状态方程是这种描述的最基本形式。
ct K r t dt
t c
传递函数 G s C s K Rs s
例如图2-15所示的积分器，其传递函数为
G s
2013-7-9
1 RCs
第二章 控制系统的数学模型
图2-15 积分调节器
16
自动控制理论
微分环节
理想的微分环节的输出与输入信号对时间的微分成正比，即
2013-7-9 第二章 控制系统的数学模型 10
d n ct d n 1ct dct d m r t a0 a1 an 1 an ct b0 n n 1 dt dt dt dtm